WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 1
7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH
7.1. Wiadomości podstawowe
W niniejszym rozdziale przyjmiemy założenia przedstawione w punkcie 1.2. Założymy więc, że
mamy do czynienia z ośrodkiem ciągłym, izotropowym i jednorodnym.
q(x)
P
T=TZ
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.1. Siły działające na pręt
Rysunek 7.1 przedstawia pręt wraz z działającymi na niego siłami. Zakładamy, że wszystkie siły
czynne i reakcje będą działały w płaszczyz
nie ZX, która pokrywa się z główną osią bezwładności Zgl.
W takim przypadku w przekroju pręta działają trzy siły przekrojowe: siła normalna N, siła poprzeczna T=TZ
oraz moment zginający M=MY. Wartości i zwroty tych sił będziemy odczytywali z ich wykresów.
Siła normalna będzie dodatnia, jeżeli będzie rozciągała pręt. Moment zginający będzie dodatni,
jeżeli jego wektor będzie miał zwrot zgodny ze zwrotem osi Y. Jak wiadomo zwrot tego wektora jest
zgodny z kierunkiem kręcenia się śruby prawoskrętnej. Rysunek 7.2 przedstawia dodatni moment zginający.
Jak widać rozciąga on dolną część przekroju pręta. Obie zasady znakowania są więc zgodne z zasadami
znakowania tych sił przekrojowych na wykresach.
P
P q(x)
q(x)
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.2. Dodatni moment zginający
Dr inż. Janusz Dębiński
N
M
Y
X
=
M
Y
gl
=
0
=Y
Y
X
X
Y
=M
M
Y
gl
=
Y
l
0
=
g
=Y
Y
Y
0
=
Y
Y
=M
M
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 2
Nieco inaczej sprawa ma się z siłą poprzeczną T=T . Dodatnia siła poprzeczna kręcąca odciętą
Z
częścią pręta zgodnie z ruchem wskazówek zegara nie zawsze będzie dodatnia w układzie związanym
z przekrojem pręta. W związku z tym w niniejszym opracowaniu będziemy operowali zwrotem oraz war-
tością bezwzględną siły poprzecznej odczytaną na podstawie wykresu. Rysunek 7.3 przedstawia siłę pop-
rzeczną, której wartość na wykresie jest dodatnia. Jak widać w układzie związanym z przekrojem pręta jej
zwrot jest zgodny ze zwrotem osi Z=Z . Na rysunku tym jest także przedstawiona dodatnia siła normalna
gl
oraz dodatni moment zginający.
X
N
M=MY
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.3. Siły przekrojowe
7.2. Wektor naprężenia
W dotychczasowych rozważaniach rozpatrywaliśmy działanie sił przekrojowych w całym przekroju
pręta. Teraz zajmiemy się tym, co dzieje się w dowolnym punkcie tego przekroju.
n
f(n)
dA
Rys. 7.4. Wektor naprężenia
Rysunek 7.4 przedstawia elementarne pole powierzchni dA, które jest określone przez jednostkowy
wektor normalny n. Wektor ten jest prostopadły do powierzchni dA. Na tą powierzchnię działa elemen-
tarna siła dF. Wprowadz
my pojęcie wektora naprężenia, który określimy jako
dF
śą n źą
f = . (7.1)
dA
Jednostką wektora naprężenia jest Pascal czyli
N
[ Pa]=
. (7.2)
[ ]
m2
Dr inż. Janusz Dębiński
Z
T=T
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 3
W przypadku materiałów występujących w budownictwie będziemy korzystamy z wielokrotności MPa,
która wynosi
MN
[MPa ]=
. (7.3)
[ ]
m2
Wartość wektora naprężenia możemy wyrażać także w
kN
. (7.4)
[ ]
cm2
Jednostkę (7.4) stosujemy ze względu na to, że siły przekrojowe są wyrażone najczęściej w kN lub kNm
natomiast charakterystyki geometryczne wyraża się najczęściej w cm2, cm3 lub cm4. Jednostkę tę w MPa
możemy wyrazić jako
kN 1kN 10-3 MN
1 = = =10MPa . (7.5)
cm2 1cm2 10-4 m2
Wektor naprężenia na powierzchni dA możemy rozłożyć na dwa wektory składowe. Pierwszym z nich
jest wektor normalny (prostopadły) do tej powierzchni nazywany naprężeniem normalnym �(n). Drugim
jest wektor styczny (leżący na tej powierzchni) nazywany naprężeniem stycznym �(n). Rysunek 7.5 przed-
stawia naprężenie normalne i styczne działające na elementarnej powierzchni dA. Jednostki naprężenia
normalnego i stycznego są takie same jak i dla wektora naprężenia.
n
�(n)
f(n)
dA
�(n)
Rys. 7.5. Naprężenie normalne i styczne
Rysunek 7.6 przedstawia składowe wektora naprężenia w dowolnym punkcie przekroju pręta. Nap-
rężenie normalne oznaczamy jako �X. Indeks X oznacza, że naprężenie to ma kierunek osi X. Naprężenie
styczne będzie miało dwie składowe. Oznaczamy je jako �XY oraz �XZ. Pierwszy z indeksów, czyli X oznacza,
że naprężenia te działają na powierzchni prostopadłej do osi X. Drugi z nich określa kierunek naprężenia.
Naprężenie �XY ma kierunek osi Y natomiast naprężenie �XZ ma kierunek osi Z. Odpowiednie naprężenie
będzie dodatnie, jeżeli będzie miało zwrot zgodny ze zwrotem odpowiedniej osi. Naprężenia przed-
stawione na rysunku 7.6 są więc dodatnie.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 4
�XY
�X
�XZ
dA
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.6. Składowe wektora naprężenia w punkcie przekroju pręta
7.3. Działanie siły normalnej
Jeżeli w przekroju pręta działa tylko siła normalna to w dowolnym punkcie działać będzie tylko
składowa normalna wektora naprężenia czyli naprężenie normalne �X. Przedstawia to rysunek 7.7.
�X
dA
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.7 Siła normalna w przekroju pręta
Naprężenie normalne w dowolnym punkcie przekroju pręta wyznacza się ze wzoru
N
�ąX = , (7.6)
A
w którym N oznacza wartość siły normalnej działającej w przekroju pręta natomiast A oznacza pole
powierzchni przekroju pręta. Jak widać naprężenie normalne od działania tylko siły normalnej jest stałe na
całej powierzchni przekroju pręta.
7.4. Działanie momentu zginającego
Jeżeli w przekroju pręta działa tylko moment zginający to w dowolnym punkcie działać będzie tylko
składowa normalna wektora naprężenia czyli naprężenie normalne �X. Naprężenie to przedstawia rysunek
7.8.
Dr inż. Janusz Dębiński
A
d
X
Y
gl
=
0
=Y
Y
A
d
N
Y
X
gl
=
0
=Y
Y
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 5
�X
dA
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.8. Moment zginający w przekroju pręta
Naprężenie normalne w dowolnym punkcie przekroju pręta wyznacza się ze wzoru
M
Y
�ąX = �"z , (7.7)
JY
w którym M oznacza moment zginający działający w przekroju pręta, J oznacza główny moment bezwład-
Y Y
ności przekroju pręta względem osi Y=Y natomiast z oznacza współrzędną punktu, w którym wyznaczamy
gl
wartość naprężenia normalnego. Jak więc widać wartość naprężenia normalnego od działania momentu
zginającego nie zależy od współrzędnej y. czyli dla punktów znajdujących się na jednej wysokości
naprężenie to jest jednakowe.
Y=Y0=Ygl
sc
0
M=MY
�X(z)
�X
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.9. Wykres naprężenia normalnego na wysokości przekroju od działania momentu zginającego
Rysunek 7.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego od działania momentu zginającego na wyso-
kości przekroju. Jak widać największe naprężenia występują na krawędzi dolnej i górnej przekroju. Naprę-
żenie to wynosi zero w punktach leżących na wysokości środka ciężkości przekroju. Punkty te tworzą tak
zwaną oś obojętną.
7.5. Działanie siły normalnej i momentu zginającego
Jeżeli w przekroju pręta działa siła normalna oraz moment zginający to w dowolnym punkcie działać
będzie tylko składowa normalna wektora naprężenia czyli naprężenie normalne �X. Naprężenie to przedsta-
wia rysunek 7.10.
Dr inż. Janusz Dębiński
z
A
d
X
Y
=M
M
gl
=Y
0
=Y
Y
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 6
�X
dA
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.10. Siła normalna i moment zginający w przekroju pręta
Naprężenie normalne w dowolnym punkcie przekroju pręta wyznacza się ze wzoru
M
N
Y
�ąX = �ą �"z . (7.8)
A JY
Jak więc widać wartość naprężenia normalnego od działania siły normalnej oraz momentu zginającego nie
zależy od współrzędnej y. czyli dla punktów znajdujących się na jednej wysokości naprężenie to jest jedna-
kowe.
Y=Y0=Ygl
sc
N
A
N>0
M=MY
�X(z)
Z=Z0=Zgl �X
Rys. 7.11. Wykres naprężenia normalnego na wysokości przekroju od działania siły normalnej i momentu zginającego
Rysunek 7.11 przedstawia wykres naprężenia normalnego od działania siły normalnej i momentu
zginającego na wysokości przekroju. Największe naprężenia występują na krawędzi dolnej i górnej przek-
roju. W punktach znajdujących się na wysokości środka ciężkości naprężenie normalne jest równe
N
. (7.9)
A
Oś obojętna będzie zbiorem punktów o współrzędnej z równej
N�" JY .
z0=- (7.10)
A M
Y
Dr inż. Janusz Dębiński
0
z
z
A
d
N
Y
X
=M
M
gl
=Y
0
=Y
Y
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 7
Analizując wzór (7.8) widać, że naprężenie normalne jest sumą naprężenia od działania siły normal-
nej i od działania momentu zginającego. Także wykres naprężeń będzie sumą wykresu od siły normalnej i od
momentu zginającego.
Y=Y0=Ygl
sc
N>0
M=MY
Z=Z0=Zgl
�X(N) �X(M) �X
Rys. 7.12. Wykres naprężenia normalnego od dodatniej siły normalnej i dodatniego momentu zginającego
Rysunek 7.12 przedstawia wykres naprężeń normalnych od działania dodatniej siły normalnej i do-
datniego momentu zginającego. Na krawędzi dolnej dodatnie naprężenie normalne od siły normalnej i mo-
mentu zginającego sumuje się. W środku ciężkości mamy tylko naprężenie od dodatniej siły normalnej. Na
krawędzi górnej ujemne naprężenie od działania momentu zginającego zwiększa się o wartość naprężenia od
działania siły normalnej. Nachylenie wykresu od momentu zginającego i wykresu sumarycznego jest takie
samo.
Y=Y0=Ygl
sc
N<0
M=MY
Z=Z0=Zgl
�X(N) �X(M) �X
Rys. 7.13. Wykres naprężenia normalnego od ujemnej siły normalnej i dodatniego momentu zginającego
Rysunek 7.13 przedstawia wykres naprężeń normalnych od działania ujemnej siły normalnej i do-
datniego momentu zginającego. Na krawędzi górnej ujemne naprężenie normalne od siły normalnej i mo-
mentu zginającego sumuje się. W środku ciężkości mamy tylko naprężenie od ujemnej siły normalnej. Na
krawędzi dolnej dodatnie naprężenie od działania momentu zginającego zmniejsza się się o wartość naprę-
żenia od działania siły normalnej. Nachylenie wykresu od momentu zginającego i wykresu sumarycznego
jest takie samo.
Rysunek 7.14 przedstawia wykres naprężeń normalnych od działania dodatniej siły normalnej i ujem-
nego momentu zginającego. Na krawędzi górnej dodatnie naprężenie normalne od siły normalnej i momentu
zginającego sumuje się. W środku ciężkości mamy tylko naprężenie od dodatniej siły normalnej. Na
krawędzi dolnej ujemne naprężenie od działania momentu zginającego zwiększa się się o wartość naprę-
żenia od działania siły normalnej. Nachylenie wykresu od momentu zginającego i wykresu sumarycznego
jest takie samo.
Rysunek 7.15 przedstawia wykres naprężeń normalnych od działania ujemnej siły normalnej i ujem-
nego momentu zginającego. Na krawędzi dolnej ujemne naprężenie normalne od siły normalnej i momentu
zginającego sumuje się. W środku ciężkości mamy tylko naprężenie od ujemnej siły normalnej. Na krawędzi
górnej dodatnie naprężenie od działania momentu zginającego zmniejsza się o wartość naprężenia od
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 8
działania siły normalnej. Nachylenie wykresu od momentu zginającego i wykresu sumarycznego jest takie
samo.
Y=Y0=Ygl
sc
N>0
M=MY
Z=Z0=Zgl
�X(N) �X(M) �X
Rys. 7.14. Wykres naprężenia normalnego od dodatniej siły normalnej i ujemnego momentu zginającego
Y=Y0=Ygl
sc
N<0
M=MY
Z=Z0=Zgl
�X(N) �X(M) �X
Rys. 7.15. Wykres naprężenia normalnego od ujemnej siły normalnej i ujemnego momentu zginającego
7.6. Projektowanie przekroju pręta
Projektowanie przekroju pręta ograniczymy tylko do przypadku działania momentu zginającego,
ponieważ naprężenie normalne �X od działania siły normalnej jest z reguły dużo mniejsze niż naprężenie
normalne �X od działania momentu zginającego. Rysunek 7.16 przedstawia wykres naprężeń normalnych od
działania tylko momentu zginającego.
�X(g)
Y=Y0=Ygl
sc
0
N=0
M=MY
�X(d) �X
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.16. Wykres naprężenia normalnego �X od działania tylko momentu zginającego
Na długości pręta naprężenia normalne �X będą największe w tym przekroju pręta, w którym moment
zginający M(x) osiąga wartość ekstremalną czyli
Dr inż. Janusz Dębiński
g
z
d
z
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 9
EXT
. (7.11)
M =max#"M śą xźą#"
Y
Wartość bezwzględną największego naprężenia normalnego �X na krawędzi dolnej przekroju pręta wyzna-
czymy ze wzoru
MEXT .
Y
�ąśąd źą = (7.12)
#" #"
X
śąd
WY źą
We wzorze (7.12) wielkość w mianowniku nazywa się wskaz
nikiem wytrzymałości na zginanie dla kra-
wędzi dolnej. Wyznacza się go ze wzoru
J
Y
Wśąd źą= (7.13)
Y
zśąd źą
Wartość bezwzględną największego naprężenia normalnego �X na krawędzi górnej przekroju pręta wyzna-
czymy ze wzoru
EXT
M
g Y
.
(7.14)
�ąśąX źą =
#" #"
Wśąg źą
Y
We wzorze (7.14) wielkość w mianowniku nazywa się wskaz
nikiem wytrzymałości na zginanie dla kra-
wędzi górnej. Wyznacza się go ze wzoru
J
Y
.
Wśąg źą=- (7.15)
Y
zśąg źą
Znak minus wynika z tego, że współrzędna krawędzi górnej jest ujemna natomiast wskaz
nik wytrzymałości
na zginanie jest dodatni.
Największą wartość naprężenie normalne osiąga na tej krawędzi, dla której wskaz
nik wytrzymałości
jest mniejszy. Możemy w ten sposób określić wskaz
nik wytrzymałości dla całego przekroju jako
Wśąd źą .
Y
WY=min (7.16)
{
Wśąg źą
Y
Dla przekrojów, w których oś Y=Ygl jest osią symetrii wskaz
niki wytrzymałości na zginie dla krawędzi
dolnej i górnej są takie same. Przykładem takich przekrojów są: przekrój dwuteowy i skrzynkowy. Wartość
bezwzględną największych naprężeń normalnych obliczymy ze wzoru
EXT
M
Y
.
(7.17)
�ąEXT =
#" #"
X
W
Y
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 10
Naprężenie (7.17) powinno być mniejsze lub równe wytrzymałości materiału R czyli
EXT
M
Y
.
(7.18)
�ąEXT = d"R
#" #"
X
W
Y
Czyli wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie powinien wynosić
EXT
M
Y .
(7.19)
WYe"
R
Procedura projektowania przekrojów prętów zostanie pokazana na załączonych do niniejszego opracowania
przykładach.
Projektując przekroje wykonane z kształtowników walcowanych możemy z tablic do projektowania
konstrukcji metalowych odczytać odpowiednie wartości wskaz
ników wytrzymałości i tak dobrać przekrój
belki lub ramy aby spełniał on warunek (7.19). Należy pamiętać, że podany w tablicach do projektowania
konstrukcji stalowych wskaz
nik jest wskaz
nikiem minimalnym. Należy także zwrócić uwagę na oznaczenia
osi zastosowane w tablicach. Najczęściej należy przyjmować wskaz
niki wytrzymałości oznaczone w tab-
licach jako WX, ponieważ oś X w tablicach pokrywa się z naszą osią główną Y=Ygl.
7.7. Działanie siły poprzecznej
Jeżeli w przekroju pręta działa siła poprzeczna T=T to w dowolnym punkcie działać będzie tylko
Z
składowa styczna wektora naprężenia czyli naprężenie styczne �. Jak wiadomo naprężenie to ma dwie
składowe �XY oraz �XZ. Przedstawia je rysunek 7.17.
�XY
T=TZ
�XZ
dA
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.17. Siła poprzeczna w przekroju pręta
Przyjmuje się, że od działania siły poprzecznej T=TZ powstają przede wszystkim naprężenia �XZ, które
w punktach o jednakowej współrzędnej z są stałe. Przedstawia je rysunek 7.18. Wartość bezwzględną naprę-
żenia stycznego � w punktach o jednakowej współrzędnej z wyznacza się ze wzoru
XZ
#"T #"�"#"S śą zźą#"
Z Y
,
(7.20)
�ąXZ =
#" #"
b śą zźą�"J
Y
Dr inż. Janusz Dębiński
A
d
X
l
g
=Y
Y
0
=
Y
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 11
T=TZ
Y=Y0=Ygl
sc
�XZ(z)
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.18. Przekrój obciążony siłą poprzeczną
w którym SY(z) jest momentem statycznym względem głównej osi bezwładności Y=Ygl części przekroju
pręta leżącej poniżej lub powyżej punktu, w którym wyznaczamy naprężenia styczne �XZ natomiast b(z) jest
szerokością przekroju w miejscu, w którym wyznaczmy naprężenia styczne � . Wielkości te przedstawia
XZ
rysunek 7.19.
a) b)
T=TZ T=TZ
SY(z)(g)
Y=Y0=Ygl
Y=Y0=Ygl
sc
sc
SY(z)(d)
b(z) b(z)
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.19. Wielkości wykorzystywane do wyznaczenia naprężenia stycznego
Moment statyczny części przekroju zaznaczonej na rysunku 7.19 a) jest dodatni natomiast moment
statyczny części zaznaczonej na rysunku 7.19 b) jest ujemny. Ich suma wynosi
SY z �ąS z =S =0 , (7.21)
śą źąśą d źą Y śą źąśą g źą Y0
ponieważ oś Y=Y jest osią środkową przekroju. Możemy więc napisać, że
gl
SY z =-SY z . (7.22)
śą źąśąd źą śą źąśą g źą
Dlatego więc we wzorze (7.20) nie ma znaczenia czy wykorzystamy część przekroju znajdującą się powyżej
czy poniżej punktu, w którym wyznaczamy naprężenia styczne �XZ. Ich wartości bezwzględne są jak widać
jednakowe.
Dr inż. Janusz Dębiński
z
z
z
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 12
Wzór (7.20) jest wzorem ścisłym tylko dla przekroju prostokątnego lub kwadratowego. Dla pozosta-
łych przekrojów jest to wzór przybliżony. Jednak przybliżenie to w przypadkach tu rozpatrywanych jest
zadowalające.
Naprężenie styczne � ma zawsze ten sam zwrot co siła poprzeczna. Jeżeli siła poprzeczna
XZ
działa w dół to naprężenie styczne � działa w dół zgodnie ze zwrotem osi Z= czyli jest dodatnie.
XZ Zgl
Jeżeli siła poprzeczna działa do góry to i naprężenie styczne � działa do góry przeciwnie do zwrotu
XZ
osi Z=Z czyli jest ujemne.
gl
T=TZ
Y=Y0=Ygl
sc
�XZ(z)
�XZ
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.20. Wykres naprężenia stycznego � w przekroju pręta
XZ
A A
Y=Y0=Ygl y
Y=Y0=Ygl
y
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.21. Część półki w przekroju teowym
Największą wartość naprężenia styczne �XZ osiągną w punktach znajdujących się na wysokości środka
ciężkości przekroju pręta. Natomiast w punktach znajdujących się na krawędzi dolnej i górnej przekroju
pręta naprężenia styczne �XZ osiągną wartość zero. Rysunek 7.20 przedstawia wykres naprężeń stycznych �XZ
na wysokości przekroju pręta. Dla przekroju, w którym oś Y=Y jest osią symetrii wykres naprężeń
gl
stycznych � będzie względem niej symetryczny.
XZ
W przekrojach blachownicowych dwuteowych, teowych i skrzynkowych naprężenia styczne �
XZ
występują w środnikach tych przekrojów. Natomiast w półkach tych blachownic występują naprężenia
styczne �XY. Wartość bezwzględną naprężenia stycznego �XY wyznaczać będziemy ze wzoru
#"T #"�"#"S śą yźą#"
Z Y
,
(7.23)
�ąXY =
#" #"
hśą yźą�"JY
Dr inż. Janusz Dębiński
z
h(y)
h(y)
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 13
w którym h(y) oznacza grubość półki. SY(y) oznacza część przekroju półki. W przypadku przekroju
dwuteowego i teowego część półki mierzymy od krawędzi półki do punktu, w których wyznaczamy
naprężenia styczne � . W przypadku przekroju skrzynkowego część półki mierzymy od osi Z=Z do
XY gl
punktu, w których wyznaczamy naprężenia styczne � Rysunki 7.21, 7.22 i 7.23 przedstawiają części
XY
półki, których momenty statyczne uwzględniamy we wzorze (7.23).
Y=Y0=Ygl
Y=Y0=Ygl
y y
A A
Z=Z0=Zgl Z=Z0=Zgl
Rys. 7.22. Część półki w przekroju dwuteowym
Y=Y0=Ygl Y=Y0=Ygl
y y
A A
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.23. Część półki w przekroju skrzynkowym
T=TZ
T=TZ
Y=Y0=Ygl
Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.24. Analogia wodna do ustalenia zwrotów naprężeń stycznych �XY w przekroju dwuteowym
Dr inż. Janusz Dębiński
h(y)
h(y)
h(y)
h(y)
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 14
Ze wzoru (7.23) możemy wyznaczyć tylko wartość bezwzględną naprężenia stycznego �XY. Chcąc
wyznaczyć znak tego naprężenia możemy się posłużyć modelem systemu rurek, w których płynie woda. Dla
przekrojów dwuteowego oraz teowego usuwamy najkrótsze krawędzie w pólkach, którymi woda będzie
wpływać i wypływać. Kierunek przepływu musi być taki, żeby w środniku woda płynęła zgodnie ze
zwrotem naprężeń stycznych �XZ. Dla przekroju skrzynkowego robimy małą dziurkę w miejscu, w którym
półka przecina oś Z=Zgl. Kierunek przepływu wody w półce jest zgodny z kierunkiem naprężenia stycznego
�XY. Naprężenie styczne � będzie dodatnie, jeżeli będzie miało taki sam zwrot jak Y=Y . Będzie
XY gl
natomiast ujemne, jeżeli jego zwrot będzie przeciwny do zwrotu osi Y=Y . Rysunki 7.24, 7.25 oraz 7.26
gl
przedstawiają kierunki przepływu wody w systemie rurek w kształcie teownika, dwuteownika i przekroju
skrzynkowego. Strzałki pokazują kierunek przepływu wody.
T=TZ T=TZ
Y=Y0=Ygl Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.25. Analogia wodna do ustalenia zwrotów naprężeń stycznych �XY w przekroju teowym
T=TZ
T=TZ
Y=Y0=Ygl Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.26. Analogia wodna do ustalenia zwrotów naprężeń stycznych � w przekroju skrzynkowym
XY
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 15
7.8. Środek ścinania
Przekrój dwuteowy, skrzynkowy oraz teowy są symetryczne względem osi Z=Zgl. Rysunki 7.27, 7.28
i 7.29 przedstawiają siły wypadkowe z odpowiednich naprężeń stycznych. Wypadkowa naprężeń stycznych
�XZ Q równa się w przybliżeniu sile poprzecznej TZ. Wypadkowa ta w dwuteowniku i teowniku przechodzi
przez środek ciężkości tych przekrojów. W przypadku przekroju skrzynkowego w każdym ze środników
działają siły Q1 równe w przybliżeniu połowie siły poprzecznej. Wypadkowe naprężeń �XY w każdej z półek
będą sobie równe co wartości, różnić się będą tylko zwrotem. Wypadkowe te zostały także pokazane na
rysunkach 7.27, 7.28 i 7.29.
H
H
Q
X
H
H
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.27. Siły wypadkowe z naprężeń stycznych w dwuteowniku
H
H
Q
X
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.28. Siły wypadkowe z naprężeń stycznych w teowniku
Zupełnie inaczej jest w przekroju ceowym. Naprężenia styczne �XZ w środniku wyznaczamy ze wzoru
(7.20), naprężenia styczne �XY w półce wyznaczamy ze wzoru (7.23). Rysunek 7.30 przedstawia część półki,
której moment statyczny podstawiamy do tego wzoru. Jak widać jest ona mierzona od krawędzi półki do
punktu, w którym chcemy wyznaczyć wartość naprężenia stycznego �XY. Rysunek 7.31 przedstawia zasadę
znakowania naprężeń stycznych � , która jest taka sama, jak zasada dla dwuteownika oraz teownika.
XY
Dr inż. Janusz Dębiński
l
g
=Y
Y
0
=
Y
l
g
=Y
0
=Y
Y
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 16
H
H
Q1
Q1
X
H
H
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.29. Siły wypadkowe z naprężeń stycznych w przekroju skrzynkowym
T=TZ
Y=Y0=Ygl
y
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.30. Część półki
Rozpatrzymy wspornikowy pręt obciążony na końcu siłą P. Siła ta działa w płaszczyz
nie pokrywa-
jącej się z osią główną Z=Z . Pręt taki przedstawia rysunek 7.32. W dowolnym przekroju tego pręta działają
gl
tylko: siła poprzeczna oraz moment zginający. Rysunek 7.33 a) przedstawia siły wypadkowe z naprężeń
stycznych �XZ w środniku oraz �XY w półkach. W przekroju powstanie niezrównoważony moment względem
środka ciężkości przekroju teowego. Kręci się on jak wykręcająca się śruba prawoskrętna. Musi on zostać
zrównoważony momentem o takiej samej wartości ale przeciwnie skierowanym. Ten dodatkowy moment
będzie więc się wkręcał w pręt. Przedstawia go rysunek 7.33 b). Moment ten spowoduje skręcenie się pręta.
Tak skręcony pręt przedstawia rysunek 7.34.
Aby zrównoważyć to skręcanie należy wymusić skręcanie pręta poprzez przesunięcie siły P. Siłę tą
przesuwamy poziomo do punktu, który nazywa się środkiem ścinania lub środkiem skręcania S. Poło-
żenie tego punktu w przekroju ceowym przedstawia rysunek 7.35. Rysunek 7.36 przedstawia położenie
środka ścinania w kilku przykładowych przekrojach prętów. Lina przerywana oznacza płaszczyznę, w której
działa pionowa siła P na końcu wspornika.
Aby uniknąć skręcania należy więc tak projektować przekrój pręta aby był on symetryczny
względem osi, która pokrywa się z płaszczyzną działania sił czynnych i reakcji.
Dr inż. Janusz Dębiński
h(y)
l
g
=Y
Y
0
=
Y
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 17
a) b)
T=TZ T=TZ
Y=Y0=Ygl Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.31. Zasada znakowania naprężeń stycznych w półkach ceownika
P
M
P
P
P
P
M(x)
Y=Y0=Ygl
M
M(x)
P
P
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.32. Wspornikowy pręt obciążony siłą P na końcu
7.9. Połączenie środnika z półką
W przypadku blachownic o przekroju dwuteowym, teowym lub skrzynkowym należy w jakiś sposób
połączyć środnik i półki. W przeciwnym wypadku każda blacha (środnik i półki) będzie pracowała osobno.
Najczęściej stosowaną metodą jest spawanie. W trakcie spawania poszczególne części łączy się za pomocą
spoin. Spoiną nazywamy tę część złącza, która składa się z metalu stopionego podczas spawania. Może ona
powstać wyłącznie z materiału rodzimego albo z udziałem materiału doprowadzonego z zewnątrz, nazywa-
nego spoiwem. Podstawowy podział spawania jest następujący:
" spawanie łukiem elektrycznym z elektrodą topliwą lub nietopliwą
" spawanie gazowe.
Podstawowym i najbardziej rozpowszechnionym sposobem spawania elektrodą topliwą jest spawanie
elektrodą otuloną, potocznie nazywane ręcznym spawaniem łukowym. y
ródłem ciepła jest łuk elektryczny
jarzący się między dwoma elektrodami. Jedną z elektrod może być spawany przedmiot natomiast druga
elektroda może służyć jako spoiwo (elektroda topliwa) lub może tylko służyć do utrzymania łuku (elektroda
nietopliwa), a spoina powstaje wyłącznie ze stopionego materiału rodzimego. Schemat technologii spawania
tą metodą pokazuje schematycznie rysunek 7.37.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 18
a) b)
H H
Q
Q
M
X X
H H
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.33. Siły wypadkowe z naprężeń stycznych w przekroju ceowym
Rys. 7.34. Deformacja pręta wspornikowego o przekroju ceowym
a
Y=Y0=Ygl S
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.35. Środek ścinania w przekroju ceowym
Dr inż. Janusz Dębiński
Y
gl
=
0
=Y
Y
Y
l
g
=
0
=Y
Y
Y
=Y
=
Y
0
gl
Z
=
Z
=
Z
0
g
l
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 19
R
Y=Y0=Ygl
S
S
Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Y=Y0=Ygl S
Y=Y0=Ygl
S
Z=Z0=Zgl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.36. Położenie środka ścinania w różnych przekrojach pręta
Rys. 7.37. Schemat ręcznego spawania łukowego
Drugą metodą spawania elektrodą topliwą jest spawanie łukiem krytym. Schemat tej metody został
pokazany na rysunku 7.38.
Rys. 7.38 Schemat spawania łukiem krytym
Dr inż. Janusz Dębiński
R
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 20
Zamiast otuliny stosuje się topnik w postaci proszku, pod którego warstwą jarzy się łuk między
elektrodą topliwą a przedmiotem spawania. Spawanie łukiem krytym odbywa się tylko automatycznie lub
półautomatycznie. A
uk jarzy się niewidocznie pod warstwą topnika (D) zsypywanego z leja (A). Elektroda
w postaci drutu (B) jest podawana samoczynnie z bębna. Na spoinie (C) krzepnie żużel (F). Nadmiar
topnika (G) pozostały na spoinie jest zasysany z powrotem do leja zasypowego. Podkładka (E) jest
stosowana w pewnych przypadkach aby zapobiec wyciekaniu metalu. Proces ten charakteryzuje się bardzo
wysoką wydajnością.
Do łączenia środnika z półką w przekroju dwuteowym i teowym stosuje się spoinę pachwinową.
Nazwy części spoiny pachwinowej pokazane są na rysunku 7.39 natomiast na rysunek 7.40 przedstawia
widok takiej spoiny. Na rysunku 7.41 pokazano przekrój przez spoinę pachwinową. Rysunek 7.41 a)
przedstawia spoinę płaską, rysunek 7.41 b) wypukłą natomiast rysunek 7.41 c) wklęsłą. Grubością spoiny
pachwinowej a określa się wysokość trójkąta wpisanego w spoinę. Przedstawia to także rysunek 7.41.
Rys. 7.39. Podstawowe elementy spoiny pachwinowej
Rys. 7.40. Widok spoiny pachwinowej
a) b) c)
Rys/ 7.41. Przekrój przez spoinę pachwinową
Dr inż. Janusz Dębiński
a
a
a
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 21
Y=Y0=Ygl
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.42. Przekrój przez spoinę pachwinową łączącą środnik z półką
�XZ
T=TZ
�XZ
T=TZ
�XZ
Y=Y0=Ygl
X
Y=Y0=Ygl
�XZ
g
�XZ
�XZ
�XZ
Z=Z0=Zgl
s
�XZ
Z=Zgl
Rys. 7.43. Elementarne kostki naprężeń w środniku i półce dolnej
Przekrój spoiny pachwinowej łączącej środnik z półką przedstawiony jest na rysunku 7.42. Rysunek
7.43 przedstawia elementarne kostki naprężeń z zaznaczonymi naprężeniami stycznymi � od siły poprzecz-
XZ
nej T . Naprężenia te zostały obliczone z wzoru (7.20) podstawiając do niego moment statyczny półki dolnej
Z
względem osi Y=Y =Y oraz dla górnej kostki jako b(z) grubość środnika g. Dla dolnej kostki należałoby do
0 gl
wzoru (7.20) wstawić jako b(z) szerokość półki, jednak ze względów praktycznych przyjmuje się szerokość
środnika czyli tak samo jak dla kostki górnej. Sytuacja przedstawiona na rysunku 7.43 dotyczy przypadku,
gdy pręt jest wykonany z jednego kawałka metalu. Na styku środnik-półka powstanie siła, którą nazywamy
siłą rozwarstwiającą R przedstawioną na rysunku 7.44. W przypadku blachownicy pręt jest wykonany
z trzech blach, które są połączone za pomocą spoin pachwinowych przedstawionych na rysunku 7.42.
Naprężenia styczne na obu kostkach występujące w pręcie wykonanym z jednego kawałka metalu zostaną
przeniesione przez te spoiny. Siła rozwarstwiająca próbuje przesunąć środnik względem półki. Jednak na
przeszkodzie temu stoją spoiny pachwinowe łączące środnik z półką.
Ze względu na to, że siła poprzeczna TZ zmienia się na długości pręta siła rozwarstwiająca także
zmienia swoją wartość. Powoduje to, że spoiny pachwinowe łączące środnik z półką powinny mieć na
długości pręta różną grubość. Ze względów technologicznych jest to nieopłacalne. W praktyce wystarczy
znalez
ć ekstremalną siłę poprzeczną na długości pręta i dla tej siły zaprojektować spoiny pachwinowe
o stałej grubości na całej długości pręta.
Dr inż. Janusz Dębiński
t
S
h
t
a
a
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 22
T=TZ
X
Y=Y0=Ygl
R
R
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.44. Siła rozwarstwiająca
Spoina pachwinowa może być spoiną ciągłą lub przerywaną i wtedy nazywa się szwem spawanym.
Jeżeli stosujemy szew spawany to poszczególne spoiny szwu mogą leżeć po obu stronach naprzeciw siebie,
albo przestawnie wtedy, gdy poszczególne spoiny są układane po obu stronach na przemian. W niniejszym
kursie będziemy rozpatrywać tylko spoinę przerywaną symetryczną.
Na początek zajmiemy się spoiną ciągłą. Siła rozwarstwiająca jak istniałaby pomiędzy środnikiem
i półką wynosi
,
R=�ąXZ�"g�"L (7.24)
w którym �XZ oznacza naprężenie styczne na styku środnik-półka, g oznacza grubość środnika, L oznacza
długość pręta. Siła rozwarstwiająca przypadająca na parę spoin pachwinowych wynosi
,
R=�ąsp�"2�"a�"L (7.25)
w którym �sp oznacza naprężenia styczne w spoinie pachwinowej, natomiast a oznacza grubość spoiny
pachwinowej. Przyrównując do siebie siły rozwarstwiające (7.24) i (7.25) otrzymamy wzór na obliczenie
naprężeń stycznych w spoinie �sp w postaci
�ąXZ�"g
(7.26)
�ąsp=
2�"a
Korzystając ze wzoru (7.20) naprężenia styczne w spoinie pachwinowej wynoszą
p
#"T #"�"
#"SY#"
Z
,
(7.27)
�ąsp=
2�"a�"JY
w którym SYP oznacza moment statyczny półki względem osi Y=Ygl.
Rysunek 7.45 przedstawia widok z boku i z góry przekroju dwuteowego na spoinę przerywaną,
będącą symetryczną względem środnika. Jak widać składa się ona z odcinków o długości l, które są odda-
lone od siebie o odcinek e.
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 23
Widok z boku
l e l e l
Widok z góry
Rys. 7.45. Spoina przerywana
l e l e l
R
R
e e
l
2 2
x
Rys. 7.46. Spoina przerywana
Rysunek 7.46 przedstawia podstawowe wymiary spoiny przerywanej. Siła rozwarstwiająca przypada-
jąca na jedną spoinę będzie wypadkową z naprężeń stycznych � z długości x przedstawionej na rysunku
XZ
7.46. Siła rozwarstwiająca R jaka działałaby na odcinku o długości x pełnego przekroju dwuteowego wynosi
,
R=�ąXZ�"g�"x=�ąXZ�"g�" l�ąe (7.28)
śą źą
w którym g jest grubością środnika. Siła rozwarstwiająca przypadająca na parę spoin pachwinowych prze-
rywanych wynosi
.
(7.29)
R=�ąsp�"2�"a�"l
w którym a oznacza grubość spoiny pachwinowej. Przyrównując do siebie wzory (7.28) oraz (7.29)
otrzymamy wzór na obliczenie naprężeń stycznych w pojedynczej spoinie pachwinowej w postaci
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 24
�ąXZ�"g�" l�ąe
śą źą
.
(7.30)
�ąsp=
2�"a�"l
Podstawiając wzór (7.20) otrzymamy ostatecznie
p
#"T #"�"
#"SY#"
śąl�ąeźą
Z
,
(7.31)
�ąsp= �"
2�"a�"JY l
w którym SYP oznacza moment statyczny półki względem osi Y=Ygl.
Drugim rodzajem połączenia spawanego jest spoina czołowa. Połączenie dwóch elementów spoiną
czołową następuje przez całkowite przetopienie ich brzegów na całej grubości łączonych blach. Rysunek
7.47 przedstawia wygląd kilku podstawowych typów spoin czołowych. Jak widać większość typów spoin
czołowych wymaga tak zwanego ukosowania brzegów. Spowodowane jest to wymogiem, aby spoina czoło-
wa znalazła się na całej grubości połączenia. Na rysunku 7.48 przedstawione są elementy przykładowej
spoiny czołowej typu V.
Rys. 7.47. Różne rodzaje spoin czołowych
Rys. 7.48. Podstawowe elementy spoiny czołowej
g
g
g=a
Y=Y0=Ygl
spoina czołowa
Z=Z0=Zgl
Rys. 7.49. Spoina czołowa łącząca środnik i półkę przekroju skrzynkowego
Dr inż. Janusz Dębiński
WM 7. NAPR
ŻENIA W BELKACH I RAMACH PA
ASKICH 25
Rysunek 7.49 przedstawia spoinę czołową łączącą środnik i półkę w przekroju skrzynkowym. Jak
widać grubość takiej spoiny równa się grubości środnika. Naprężenia styczne w spoinie czołowej
wyznaczymy więc tak samo jak naprężenia w środniku ze wzoru
P P
#"T #"�" #"T #"#"S #"
#"SY#" �"
Z Z Y
,
(7.32)
�ąsp= =
2�"g�"JY 2�"a�"JY
w którym SYP oznacza moment statyczny półki względem osi Y=Ygl.
Dr inż. Janusz Dębiński