WYKA
AD NR 5
Mechanika Gruntów
Mechanika Gruntów
(stan naprężenia)
(stan naprężenia)
Plan wykładu
Plan wykładu
Wstęp - stan naprężenia w gruncie
Wstęp - stan naprężenia w g
ęp p ę gruncie
ęp p ę g
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia efektywne
Naprężenia efektywne
N ż if kt
N ż if kt
Naprężenia od sił zewnętrznych
Naprężenia od sił zewnętrznych
p ę ę y
p ę ę y
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Stan naprężenia definicja
Stan naprężenia definicja
Stan naprężenia - definicja
Stan naprężenia - definicja
Naprężenie - g y ją j
Naprężenie - g y ją j
p ę graniczna wartość siły działającej na nieskończenie
p ę graniczna wartość siły działającej na nieskończenie
mały element pola przekroju ciała do powierzchni tego pola:
mały element pola przekroju ciała do powierzchni tego pola:
"N
"N
� = lim
"A 0
"A 0
"A
"A
gdzie: � - naprężenie
gdzie: � - naprężenie
N - siła
N - siła
A - pole przekroju
A - pole przekroju
Składowe tensora naprężenia
Składowe tensora naprężenia
p ę
p ę
�zz
z
z
�yz
�zy
zy
�
xz
�
�
� y
�yy y
zx
�
yx �xy
y
xy
x
x
�
�
xx
Stan naprężenia - definicja
Stan naprężenia - definicja
Stan naprężenia - definicja
Stan naprężenia - definicja
� składowa pionowa naprężenia
� składowa pionowa naprężenia
�z składowa pionowa naprężenia,
�z składowa pionowa naprężenia,
�x składowa pozioma naprężenia
�x składowa pozioma naprężenia
�z
Z
�x `" �z
�x `" �z
�x
Plan wykładu
Plan wykładu
Wstęp - stan naprężenia w gruncie
Wstęp - stan naprężenia w g
ęp p ę gruncie
ęp p ę g
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia efektywne
Naprężenia efektywne
N ż if kt
N ż if kt
Naprężenia od sił zewnętrznych
Naprężenia od sił zewnętrznych
p ę ę y
p ę ę y
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Określają  naturalny stan naprężenia w gruncie
Określają  naturalny stan naprężenia w gruncie
wynikający z działania sił grawitacji
wynikający z działania sił gj
yją y grawitacji
yją y gj
Naprężenia pierwotne oznaczamy indeksem �
Naprężenia pierwotne oznaczamy indeksem �
przy symbolu naprężenia: �
przy symbolu naprężenia: �
przy symbolu naprężenia: �
przy symbolu naprężenia: �
Naprężenia pionowe: �z�
Naprężenia pionowe: �z�
Naprężenia poziome: �x�
Naprężenia poziome: �x�
Nap ężenia po iome
Nap ężenia po iome
Naprężenia pierwotne pionowe
Naprężenia pierwotne pionowe
Naprężenia pierwotne pionowe
Naprężenia pierwotne pionowe
(przykład - grunt suchy)
(przykład - grunt suchy)
0 m
�z� Ł łi hi
�z� = Ł łi�" hi
ł = 16 kN/m3
5 m
�z�
80 kPa
ł = 18 kN/m3
9 m 80 72
152 kPa
Naprężenia pierwotne p
Naprężenia ppoziome
p ę pierwotne p
p ę ppoziome
(przykład - grunt suchy)
(przykład - grunt suchy)
0 m
�x� K0 �z�
�x� = K0 �" �z�
ł =16kN/m3
ł = 16 kN/m3
K0 = 0.4
5 m
�x�
32 kPa
ł = 18 kN/m3
K0 = 0.5
9 m 32 36
68 kPa
Współczynnik p
Współczynnik p
p yparcia
p yparcia
spoczynkowego K0
spoczynkowego K0
K0 = f (rodzaj gruntu, e, OCR)
K0 = f (rodzaj gruntu, e, OCR)
OCR = overconsolidation ratio
OCR = overconsolidation ratio
OCR overconsolidation ratio
OCR overconsolidation ratio
Dla gruntów normalnie skonsolidowanych np.:
Dla gruntów normalnie skonsolidowanych np.:
wzór Jaky ego (1944):
wzór Jaky ego (1944):
wzór Jaky ego (1944):
wzór Jaky ego (1944):
K =1 sin(Ć)
K =1 sin(Ć)
K0 = 1  sin(Ć)
K0 = 1  sin(Ć)
gdzie Ć - kąt tarcia wewnętrznego gruntu
gdzie Ć - kąt tarcia wewnętrznego gruntu
d i Ć k t t i tt
d i Ć k t t i tt
K kł di lk ś i
K kł di lk ś i
K0 przykładowe wielkości
K0 przykładowe wielkości
RODZAJ GRUNTU Ko
RODZAJ GRUNTU Ko
Piaski w stanie luz
nym 06
Piaski w stanie luz
nym 06
Piaski w stanie luz
nym 0.6
Piaski w stanie luz
nym 0.6
Piaski zagęszczone 0.35
Piaski zagęszczone 0.35
Gliny NC (Skandynawia) 0.5  0.6
Gliny NC (Skandynawia) 0.5  0.6
L d l OCR 3 5 1 0
L d l OCR 3 5 1 0
London clay OCR = 3.5 1.0
London clay OCR = 3.5 1.0
London clay OCR = 20 2.8
London clay OCR = 20 2.8
y
y
Plan wykładu
Plan wykładu
Plan wykładu
Plan wykładu
Wstęp - stan naprężenia w gruncie
Wstęp - stan naprężenia w g
ęp p ę gruncie
ęp p ę g
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia efektywne
Naprężenia efektywne
N ż if kt
N ż if kt
Naprężenia od sił zewnętrznych
Naprężenia od sił zewnętrznych
p ę ę y
p ę ę y
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Naprężenia całkowite i efektywne
Naprężenia całkowite i efektywne
Naprężenia całkowite i efektywne
Naprężenia całkowite i efektywne
a) 11 b)
) )
wykres ciśnienia obojętnego
h2
wykres naprężeń
łw=�wg
efektywnych
y y
2 � =zł
2
ł=�g
z u=(h2+z)łw
h1
m
m
n
3
3
piezometr
p
� =h1ł
 h 
u=(h1+h2)łw
(h h )
�=� +u
Rozkład naprężeń w gruncie: a) cylinder z gruntem obciążonym wodą
Rozkład naprężeń w gruncie: a) cylinder z gruntem obciążonym wodą
b) wykres naprężeń
b) wykres naprężeń
0 m
ł = 16 kN/m3
Zw.
2 m 32 kPa
wody
wody
łsr = 18 kN/m3
5 m 86 kPa 29.4
łsr 0/
łsr = 20 kN/m3
86 80
9 m
166 kPa 68.6 kPa
�z u
�z naprężenie całkowite
u - ciśnienie wody w porach
0 m
ł = 16 kN/m3
Zw.
32 kPa
2 m
wody
ł2 = 8.2 kN/m3
5 m
56.6 kPa
ł2 0 /
ł = 10.2 kN/m3
9 m
97 4 kP
97.4 kPa
ł2 ł ł � � u
ł = łsr - łw �2 = �z - u
z
32 kPa
32 kPa
86 kPa
29.4
56.6 kPa
=+
86 80
97.4 kPa
166 kPa
68.6 kPa
�z
� z u
Składowe tensora naprężenia
Składowe tensora naprężenia
Składowe tensora naprężenia
Składowe tensora naprężenia
�zz
z
z
�yz
�zy
zy
�
xz
�
�
� y
�yy y
zx
�
yx �xy
y
xy
x
x
�
�
xx
Naprężenia całkowite
Naprężenia całkowite
p ę
p ę
i efektywne
i efektywne
Ogólna zasada
Ogólna zasada
g
g
naprężeń efektywnych Terzaghi ego
naprężeń efektywnych Terzaghi ego
� = � - uw ; � = �yz
2 2
xx xx yz
� = � u ; � = �
�yy = �yy - uw ; �zx = �zx
2 2
�zz = �zz - uw ; � = �
2 2
xy xy
3xXXX - Nap ę y
3xXXX - Naprężenia efektywne 
prężenia efektywne 
p ę y
przykład nr 2
przykład nr 2
1 m
P tk
Początkowe
5 m
ZWG
Obniżone
ZWG
ZWG
ł = 20kN/m3
Piasek
10m
ł = 12kN/m3
drobny
K0 = 0.4
Ił pylasty
1 m
Początkowe
k
5 m
Obniżone
ZWG
ZWG
ZWG
ł = 20kN/m3
Piasek
10m
ł = 12kN/m3
drobny
K0 = 0.4
Ił pylasty
py y
Początkowe ZWG Obniżone ZWG
Początkowe ZWG Obniżone ZWG
� �
z
1�"20+9�"12= 128 kPa 5�"20+5�"12= 160 kPa
u
9�"9.8= 88.2 kPa 5�"9.8= 49.0 kPa
�
z
128+88.2=216.2 kPa 160+49= 209.0 kPa
1 m
Początkowe
k
5 m
Obniżone
ZWG
ZWG
ZWG
ł = 20kN/m3
Piasek
10m
ł = 12kN/m3
drobny
K0 = 0.4
Ił pylasty
py y
Początkowe ZWG Obniżone ZWG
Początkowe ZWG Obniżone ZWG
� �
x
128�"0.4= 51.2 kPa 160�"0.4= 64.0 kPa
u
9�"9.8= 88.2 kPa 5�"9.8= 49.0 kPa
�
x
51.2+88.2=139.4 kPa 64+49= 113.0 kPa
Plan wykładu
Plan wykładu
Wstęp - stan naprężenia w gruncie
Wstęp - stan naprężenia w g
ęp p ę gruncie
ęp p ę g
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia efektywne
Naprężenia efektywne
N ż if kt
N ż if kt
Naprężenia od sił zewnętrznych
Naprężenia od sił zewnętrznych
p ę ę y
p ę ę y
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Naprężenie powstałe wskutek
Naprężenie p
p ę powstałe wskutek
p ę p
działania obciążeń zewnętrznych
działania obciążeń zewnętrznych
Zasadasuperpozycji przy działaniu wielu sił skupionych
Zasada superpozycji przy działaniu wielu sił skupionych
q Q
q Q
Q Q
Q1 Q2
M
M
M
M
�q=f(q)
M �q=f(Q)
�1
�
�2
�2
Naprężenie od dwóch sił skupionych Naprężenie od obciążenia ciągłego
Zgodnie z zasadą superpozycji naprężenie całkowite �z w
Zgodnie z zasadą superpozycji naprężenie całkowite �z w
gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego � naprężenia
gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego � naprężenia
gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego �łz ii naprężenia
gruncie jest sumą naprężenia pierwotnego �łz ii naprężenia
od obciążenia zewnętrznego �qz:
od obciążenia zewnętrznego �qz:
� = � + �
z łz qz
Jeżeli przyłożymy obciążenie nie na powierzchni, lecz na
Jeżeli przyłożymy obciążenie nie na powierzchni, lecz na
pewnej głębokości - po wykonaniu wykopu naprężenie
pewnej głębokości - po wykonaniu wykopu naprężenie
pewnej głębokości - po wykonaniu wykopu, naprężenie
pewnej głębokości - po wykonaniu wykopu, naprężenie
całkowite �z w dowolnym punkcie wyznacza się jako sumę
całkowite �z w dowolnym punkcie wyznacza się jako sumę
naprężenia pg geostatycznego �łz zmniejszonego o
naprężenia pg geostatycznego �łz zmniejszonego o
p ę pierwotnego gy g jg
p ę pierwotnego gy g jg
łz
łz
odciążenie wykopem "�łz:
odciążenie wykopem "�łz:
( )
( " )
�z = �łz - "�łz + �qz
Rozkład naprężenia w gruncie od
Rozkład naprężenia w g
p ę gruncie od
p ę g
pionowej siły skupionej
pionowej siły skupionej
(rozwiązanie Boussinesq a 1885)
(rozwiązanie Boussinesq a 1885)
( ą q)
( ą q)
Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy
Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy
Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy
Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy
(tzn. działanie jednakowych naprężeń w dowol-
(tzn. działanie jednakowych naprężeń w dowol-
nym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia
nym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia
nym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia
nym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia
Grunt jest materiałem sprężystym, tzn. podlega
Grunt jest materiałem sprężystym, tzn. podlega
prawu Hooke a
prawu Hooke a
prawu Hooke a
prawu Hooke a
Naprężenia rozchodzą się promieniście od punktu
Naprężenia rozchodzą się promieniście od punktu
przyłożenia siły
przyłożenia siły
przyłożenia siły
przyłożenia siły
Nie uwzględnia się ciężaru własnego gruntu
Nie uwzględnia się ciężaru własnego gruntu
Obowiązuje zasada superpozycji
Obowiązuje zasada superpozycji
Obowiązuje zasada superpozycji
Obowiązuje zasada superpozycji
Rozkład naprężenia w gruncie od
Rozkład naprężenia w gruncie od
pionowej siły skupionej
pionowej siły skupionej
ij ił k i j
ij ił k i j
(rozwiązanie Boussinesq a 1885)
(rozwiązanie Boussinesq a 1885)
Pionowo działająca siła powoduje obniżenie się
Pionowo działająca siła powoduje obniżenie się
półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem
półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem
półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem
półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem
w punkcie zaczepienia
w punkcie zaczepienia
siły o jednakową
siły o jednakową
siły o jednakową
siły o jednakową
wartość  S
wartość  S
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
Izobary naprężeń w półprzestrzeni sprężystej
Izobary naprężeń w półprzestrzeni sprężystej
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
ą q
ą q
rozkład naprężeń pionowych w osi  z krzywa zaniku naprężeń
Rozwiązanie Boussinesq a
Rozwiązanie Boussinesq a
rozkład naprężeń pionowych w linii  a krzywa zaniku naprężeń
Rozwiązanie Flamanta
Rozwiązanie Flamanta
Rozwiązanie Flamanta
Rozwiązanie Flamanta
P
(obciążenie pasmowe)
(obciążenie p)
( ą pasmowe)
( ą p)
2Pz3
2Px2z
� =
� =
z
x
Ą (x + z )
Ą (x2 + z2)2
Ą (x + z )
Ą (x2 + z2)2
2P�
2P xz2
� =
y �
y � = �"
2 2
xz
2 2 2
Ą (x2 + z2)
( )
Ą (x2 + z2)2
Obciążenie rozłożone równomiernie:
Obciążenie rozłożone równomiernie:
qs
� = [ą + siną cos(ą + 2� )]
z
Ą
qs
� = [ą - siną cos(ą + 2� )]
x
Ą
q
qs
� = [siną �"sin(ą + 2� )]
zx
Ą
Obciążenie trójkątne:
Obciążenie trójkątne:
qs x 1
1
Ą# ń#
Ą# ń#
� = ą - sin 2�
z
ó# Ą#
Ą B 2
Ł# Ś#
Ą# ń#
Ą# ń#
qs x z R12 1
R2 1
� = ą - ln + sin 2�
x ó# Ą#
2
Ą B B R2 2
Ł# Ś#
qs z
Ą# ń#
Ą#1+ cos 2� - 2 ą ń#
� =
zx
ó# Ą#
2Ą B
Ł# Ś#
Naprężenie pionowe pod środkiem
Naprężenie pionowe pod środkiem
Naprężenie pionowe pod środkiem
Naprężenie pionowe pod środkiem
równomiernego obciążenia prostokątnego:
równomiernego obciążenia prostokątnego:
obciążenie q
B
2.6-0.84
�# ś#
L
L
ś# �# ś#
ś# �# ś#
ś# ź#
ś# ź#
ś# ź#
L
ś# 1 ź#
� = qś#1
� = qś#1- ś#
ś#
z
B
1.38+0.62
ś# ź#
L
B
ś# ź#
�# ś#
B
1+
ś# ź#
ś# ź#
ś#
2z
2z
�# #
�# #
ś# �# #
ś# �# #
�# #
Rozkład naprężenia w gruncie od
Rozkład naprężenia w gruncie od
kł d d
kł d d
działania obciążenia ciągłego
działania obciążenia ciągłego
działania obciążenia ciągłego
działania obciążenia ciągłego
Zastosowanie superpozycji do wyznacza- Obszar obciążony dzieli się na
Zastosowanie superpozycji do wyznacza- Obszar obciążony dzieli się na
nia naprężenia od obciążenia ciągłego
nia naprężenia od obciążenia ciągłego
nia naprężenia od obciążenia ciągłego.
nia naprężenia od obciążenia ciągłego.
mniejsze elementy w środku
mniejsze elementy w środku
mniejsze elementy, w środku
mniejsze elementy, w środku
Q
elementów przykłada się zastępcze
elementów przykłada się zastępcze
siły skupione.
siły skupione.
Wartość naprężenia pionowego
Wartość naprężenia pionowego
Wartość naprężenia pionowego
Wartość naprężenia pionowego
normalnego w dowolnym punkcie
normalnego w dowolnym punkcie
ośrodka gruntowego obciążonego
ośrodka gruntowego obciążonego
L=mLi
wyznacza się na podstawie wzoru
wyznacza się na podstawie wzoru
i di
i di
Q
Boussinesq a:
Boussinesq a:
r
3Q
Q
�z =
z
5
B=nBi Q=qLiBi
2
2
R1
Ą# ń#
r
�# ś#
2Ąz2 1+
ó# Ą#
ó# Ą#
ś#
ś#
z
�# #
�# #
�z ó# Ą#
Ł# Ś#
Metoda punktów narożnych
Metoda punktów narożnych
ó
ó
y
y
dQ
Na danym obszarze A wydziela się
Na danym obszarze A wydziela się
nieskończenie mały element o polu
nieskończenie mały element o polu
L
dA = dx dy. Elementarna siła dQ = q
dA = dx dy. Elementarna siła dQ = q
y Q qdA
y Q qdA
dy
dy
r
wywołuje w rozpatrywanym punkcie M
wywołuje w rozpatrywanym punkcie M
dx
0 x
na głębokości z poniżej powierzchni
na głębokości z poniżej powierzchni
B
półprzestrzeni elementarne naprężenie:
półprzestrzeni elementarne naprężenie:
półprzestrzeni elementarne naprężenie:
półprzestrzeni elementarne naprężenie:
z
3 dQ
d � =
z 5
2
2
Ą# ń#
Ą# ń#
M
r
�# ś#
�# ś#
2
2 Ą z 1 + Ą#
ó#
ś# ź#
d�z
z
�# #
ó# Ą#
Ł# Ś#
Naprężenie pionowe w rozpatrywanym
Naprężenie pionowe w rozpatrywanym
L B
3qdxdy
�z =
punkcie M od obciążenia ciągłego
punkcie M od obciążenia ciągłego +" +"
5
2
2
0 0
Ą#
Ą# ń#
x + y
x + y2 ń#
działającego w obszarze A wynosi: 2
działającego w obszarze A wynosi:
działającego w obszarze A wynosi:
działającego w obszarze A wynosi:
2Ąz2 ó#1 +
ó# Ą#
Ą#
z2 Ś#
ó# Ą#
Ł#
M t d któ ż h żli i ż i
M t d któ ż h żli i ii ż i
Metoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia
Metoda punktów narożnych umożliwia wyznaczanie naprężenia
pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem
pionowego oraz sumy naprężeń głównych pod narożem
prostokątnego obciążonego obszaru według wzoru:
prostokątnego obciążonego obszaru według wzoru:
prostokątnego obciążonego obszaru według wzoru:
prostokątnego obciążonego obszaru według wzoru:
q LBz(L + B + 2z ) LB
q LBz(L2 + B2 + 2z2) LB
�zn = + arc tg = q�n
2
(L2 + z2)(B2 + z2) L2 + B2 + z2 z L2 + B2 + z2
gdzie:
�n - współczynnik wyznaczany z nomogramu w zależności od
stosunku L:B (długość obszaru obciążonego do jego szerokości)
k (dł ść bb i d j k ś i)
oraz od stosunku z:B (zagłębienie punktu poniżej powierzchni
do szerokości)
do szerokości),
q - obciążenie ciągłe.
0
0,05 0,100 0,150 0,200 0,250
a)
�n
A F B
2,0
M
G
E
D C
H
4,0
AFME FBGM EMHD MGCH
� = (�n +�n +�n +�n )�" q
zq
b)
B
E
A
6,0
C
F
D
8,0
H G
M
AEMH
10 0
10,0
� = (� �BEMG �DFMH +�CFMG)�" q
� = (�n -�n -�n +�n )�" q
zq
z/B
Zastosowanie metody punktów narożnych do
Zastosowanie metody punktów narożnych do
Nomogram do wyznaczania
Nomogram do wyznaczania
obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża:
obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża:
obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża:
obliczania naprężeń w dowolnym punkcie podłoża:
współczynnika �n
współczynnika �n
a) naroże wewnątrz obciążonego obszaru,
a) naroże wewnątrz obciążonego obszaru,
b) naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.
b) naroże na zewnątrz obciążonego obszaru.
Metoda punktów środkowych
Metoda punktów środkowych
ó ś
ó ś
1
1
0
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Naprężenie pionowe pod środkiem
�0
prostokątnego obszaru obciążo-
nego wyznaczamy ze wzoru:
nego, wyznaczamy ze wzoru:
1,0
2,0
� = � q
� = � q
z 0
3,0
Wartość �z można również
wyznaczyć, stosując superpozycję
yy j y j
40
4,0
naprężeń pod wspólnym narożem
czterech obciążonych prostokątów
5
50
5,0
L B
L B
o bokach i .
b k h i
z/B
2
2
Nomogram �0
Nomogram �0
Naprężenia pionowe p środkiem
Naprężenia ppod
p ę ppod
p ę pionowe p środkiem
obszaru kołowego
obszaru kołowego
Naprężenia pionowe pod środkiem
Naprężenia pionowe pod środkiem
Naprężenia pionowe pod środkiem
Naprężenia pionowe pod środkiem
obszaru kołowego
obszaru kołowego
Z d i ki l l dA
Zgodnie z rysunkiem na elementarne pole dA
działa elementarna siła:
d d d d
dQ = qdA= q�d�d�
Z d i i i B i 
Zgodnie z rozwiązaniem Boussinesq a
elementarne naprężenie pionowe pod środkiem
obszaru kołowego wynosi:
obszaru kołowego wynosi:
3qz2�d�d�
d� =
z
2ĄR
2ĄR5
Całkowite naprężenie pionowe pod środkiem obszaru będzie
więc równe:
Naprężenia pionowe pod
Naprężenia pionowe pod
Naprężenia pionowe pod
Naprężenia pionowe pod
środkiem obszaru kołowego
środkiem obszaru kołowego
3
r 2Ą r 2Ą r
r 2Ą r 2Ą r
3 d d d
3qz3 �d�d� �d�
� = = 3qz3
+" +"d� =0 0 +"
+" +"
z z
2ĄR5 R5
0 0 0
Uwzględniając, że:
2
R2 = z2 + � ,
2RdR = 2�d�
otrzymujemy:
tj
ż# �#
ż# �#
�# �#
�# �#
z2 +r2
2 2
dR 1 1
dR 1 1
�# �#
�#
z2 +r2
� =3qz3 = 3qz3 = q�#1-
�# Ź#
+"
z
3
R4 -3R3 z
z
�# �#
2
2
Ą# ń#
r
�# �#
1+
1+�# ś#
ó# ś# Ą#
ó# ś# Ą#
�# �#
�# �#
z
�# #
ó# Ą#
Ł# Ś#
�# �#
Naprężenia pionowe pod
Naprężenia pionowe pod
środkiem obszaru kołowego
środkiem obszaru kołowego
czyli:
li
� = q�k
z
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka (metoda pól
Nomogram Newmarka (metoda pól
wpływowych) umożliwia wyznaczanie rozkładu
wpływowych) umożliwia wyznaczanie rozkładu
wpływowych) umożliwia wyznaczanie rozkładu
wpływowych) umożliwia wyznaczanie rozkładu
naprężenia pod dowolnie obciążoną
naprężenia pod dowolnie obciążoną
powierzchnią którą dzieli się współśrodkowymi
powierzchnią którą dzieli się współśrodkowymi
powierzchnią, którą dzieli się współśrodkowymi
powierzchnią, którą dzieli się współśrodkowymi
okręgami o promieniach rii na n promieni
okręgami o promieniach r na n promieni
równoważnych pod względem wartości
równoważnych pod względem wartości
równoważnych pod względem wartości
równoważnych pod względem wartości
wzbudzonego przez każde z nich naprężenia
wzbudzonego przez każde z nich naprężenia
pionowego pod środkiem tych kół
pionowego pod środkiem tych kół
pionowego pod środkiem tych kół.
pionowego pod środkiem tych kół.
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
g
g
5
2 4 6 7 8 9
1 3
0
M
zn
ww=0,005
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
Wykreślenie nomogramu polega na przyjęciu liczby n
Wykreślenie nomogramu polega na przyjęciu liczby n
okręgów i obliczenie ich promieni. Następnie dzieli się
okręgów i obliczenie ich promieni. Następnie dzieli się
powierzchnię kół na m wycinków Otrzymuje się m*n pól
powierzchnię kół na m wycinków Otrzymuje się m*n pól
powierzchnię kół na m wycinków. Otrzymuje się m*n pól
powierzchnię kół na m wycinków. Otrzymuje się m*n pól
równoważnych, które nazywa się polami wpływu.
równoważnych, które nazywa się polami wpływu.
Współczynnik wpływu jednego pola wynosi:
Współczynnik wpływu jednego pola wynosi:
Współczynnik wpływu jednego pola wynosi:
Współczynnik wpływu jednego pola wynosi:
'
�k
1
Ww = =
w
m nm
Nomogram Newmarka umożliwia wyznaczenie
Nomogram Newmarka umożliwia wyznaczenie
naprężenia pionowego od obciążenia równomiernie
naprężenia pionowego od obciążenia równomiernie
ż i i d b i ż i ó i i
ż i i d b i ż i ó i i
rozłożonego q na dowolnej powierzchni ze wzoru:
rozłożonego q na dowolnej powierzchni ze wzoru:
� = I Wwq
I W
z p
Nomogram Newmarka
Nomogram Newmarka
g
g
Przy wyznaczaniu naprężenia punktowego, pod którym wyznacza
się naprężenie �z, należy umieścić w środku nomogramu kontur
ę p ę , y g
z
obciążonego obszaru w skali odpowiadającej danemu zagłębieniu:
1: (z/zn). Następnie oblicza się liczbę pól zakrytych na nomogramie
obszarem obciążonym. wg wzoru:
Icz
I = Ic +
P
P c
2
2
gdzie:
Ic liczba pól mieszczących się całkowicie wewnątrz konturów fundamentów
I liczba pól przykrytych częściowo obszarem obciążonym
Icz liczba pól przykrytych częściowo obszarem obciążonym
Rozkład naprężeń pod nasypami
Rozkład naprężeń pod nasypami
Rozkład naprężeń pod nasypami
Rozkład naprężeń pod nasypami
a) b)
"
Schemat do wyznaczania naprężenia pionowego �z
w podłożu gruntowym pod nasypem:
a) schemat nasypu,
) h
b) nomogram do wyznaczania współczynnika �.
Rozkład naprężeń pod nasypami
Naprężenie w dowolnym punkcie podłoża jest równe sumie naprężeń
od obciążenia równomiernego pasmowego i obciążenia pasmowego
od obciążenia równomiernego pasmowego i obciążenia pasmowego
w postaci dwóch prostokątnych trójkątów a mianowicie:
� = � + � + � = (�1 +�2 +�3)q
z z1 z2 z3
gdzie: �2 - współczynnik odpowiadający obciążeniu pasmowemu o
rozkładzie prostokątnym,
�1 i �3 - współczynnik odpowiadające obciążeniu pasmowemu o
rozkładzie trójkątnym
q - obciążenie od nasypu (q = ł h)
q - obciążenie od nasypu (q = ł h).
Plan wykładu
Plan wykładu
Wstęp - stan naprężenia w gruncie
Wstęp - stan naprężenia w g
ęp p ę gruncie
ęp p ę g
Naprężenia pierwotne
Naprężenia pierwotne
Naprężenia efektywne
Naprężenia efektywne
N ż if kt
N ż if kt
Naprężenia od sił zewnętrznych
Naprężenia od sił zewnętrznych
p ę ę y
p ę ę y
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Rozkład naprężeń pod fundamentami
R kł d ż ń d f d t i
Rozkład naprężeń pod fundamentami
Najczęściej stosuje się metodę punktów
Najczęściej stosuje się metodę punktów
ś ó
ś ó
środkowych przyjmując uproszczenie, że
środkowych przyjmując uproszczenie, że
naprężenia pionowe w poziomie posadowienia
naprężenia pionowe w poziomie posadowienia
naprężenia pionowe w poziomie posadowienia
naprężenia pionowe w poziomie posadowienia
fundamentu i w głębszych poziomach są
fundamentu i w głębszych poziomach są
rozłożone równomiernie
rozłożone równomiernie
rozłożone równomiernie.
rozłożone równomiernie.
W niektórych przypadkach przy obliczaniu
W niektórych przypadkach przy obliczaniu
osiadań różnych punktów tej samej budowli
osiadań różnych punktów tej samej budowli
osiadań różnych punktów tej samej budowli
osiadań różnych punktów tej samej budowli
stosuje się metodę punktów narożnych.
stosuje się metodę punktów narożnych.
Rozkład naprężeń pod
Rozkład naprężeń pod
Rozkład naprężeń pod
Rozkład naprężeń pod
fundamentami
fundamentami
Przy konstruowaniu fundamentu budowli obcią-
Przy konstruowaniu fundamentu budowli obcią-
żenia są przykładane przeważnie nie na powierz
żenia są przykładane przeważnie nie na powierz-
żenia są przykładane przeważnie nie na powierz-
żenia są przykładane przeważnie nie na powierz
chni terenu, lecz na pewnej głębokości po wyko-
chni terenu, lecz na pewnej głębokości po wyko-
paniu wykopu. W takich przypadkach uwzględnia
paniu y opu takich przypadkach uwzględnia
pa u y opu ta c p ypad ac u g ęd a
pa u wykopu. W ta c p ypad ac u g ęd a
się odciążenie gruntu spowodowane wykopem.
się odciążenie gruntu spowodowane wykopem.
Wpływ odciążenia wykopem na naprężenie w
Wpływ odciążenia wykopem na naprężenie w
p y ą y p p ę
p y ą y p p ę
głębszych warstwach oblicza się podobnie jak
głębszych warstwach oblicza się podobnie jak
przy obciążaniu podłoża z tym, że odciążanie
przy obciążaniu podłoża z tym, że odciążanie
uwzględnia się ze znakiem ujemnym i przyjmuje,
uwzględnia się ze znakiem ujemnym i przyjmuje,
że działa ono w poziomie dna wykopu.
że działa ono w poziomie dna wykopu.
Stan pierwotny w gruncie Stan po wykonaniu wykopu
Stan pierwotny w gruncie Stan po wykonaniu wykopu
Stan pierwotny w gruncie Stan po wykonaniu wykopu
Stan pierwotny w gruncie Stan po wykonaniu wykopu
Stan po zasypaniu wykopu
Stan p zasypaniu wykopu
po yp y p
pyp y p
Stan po wykonaniu konstrukcji
Stan po wykonaniu konstrukcji
Stan po wykonaniu konstrukcji
Stan po wykonaniu konstrukcji
Za tydzień ciąg dalszy&
Za tydzień ciąg dalszy&
ń
ń