1. Wiadomości wstępne

1.1. Układy jednostek miar

Teoretycznie jednostki miar dla różnych wielkości można by dobierać w sposób dowolny. Utrudniałoby to jednakże znacznie prowadzenie pomiarów jak i obliczeń tych wielkości w skali globalnej. Stworzyło to potrzebę ustalenia układów jednostek miar. Znanych jest kilka układów jednostek miar, które ukształtowały się na przestrzeni lat.

Do najbardziej rozpowszechnionych układów jednostek miar należy zaliczyć:

• Układ SI (franc. Système International d'Unités) - Międzynarodowy Układ Jednostek Miar zatwierdzony w 1960 (później modyfikowany) przez Generalną Konferencję Miar, w Polsce układ SI obowiązuje od 1966.

• Układ jednostek miar CGS nazywany bezwzględnym układem jednostek. Jednostki podstawowe: centymetr (cm), gram (g), sekunda (s).

• Układ jednostek miar MKS. Jednostki podstawowe: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s).

• Układ jednostek miar MKSA. Jednostki podstawowe: metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), amper (A). Jest rozszerzeniem układu MKS o wielkości elektryczne.

• Układ jednostek miar MTS. Jednostki podstawowe: metr (m), tona (t), sekunda (s).

• Układ jednostek miar ciężarowy. Jednostki podstawowe: metr (m), kilogram siły (kG), sekunda (s).

Obowiązującym obecnie układem jest Układ SI, który zastąpił wszystkie inne układy jednostek.

1.2. Jednostki Układu SI

Wprowadzenie Układu SI pozwoliło na ujednolicenie jednostek miar w skali międzynarodowej. Punktem wyjścia dla stosowanego układu jednostek są jednostki podstawowe, które zestawiono w tabeli 1.1. Nie da się jednej jednostki podstawowej otrzymać z drugiej jednostki podstawowej za pomocą jakiegoś wzoru. Poza tym każda jednostka podstawowa jest ustalana w oparciu o fizycznie istniejące ciało, lub doświadczenie. 

Jednostka długości - metr (1m) - jest to jedna 1650763,73 długości fali w próżni promieniowania odpowiadającemu przejściu między poziomem 2 p₁₀ a 5 d₅ atomu kryptonu 86 (⁸⁶ Kr).

1 m =10 dm =100 cm =1000 mm

Jednostka masy - kilogram (1 kg) - jest to masa międzynarodowego wzorca znajdującego się w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres pod Paryżem.

1 kg =100 dg =1000 g =1000000 mg

Jednostka czasu - sekunda (1 s) - jest to czas równy 9192631770 okresów promieniowania odpowiadającemu przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu podstawowego atomu cezu 133 ( ¹³³ Cs) (dawniej 1:31556625,9747 część roku zwrotnikowego 1900).

1 h =60 min =3600 s

Jednostka natężenia prądu - amper (1A) - jest to natężenie takiego prądu stałego, który płynąc w dwu nieskończenie długich, nieskończenie cienkich przewodach prostoliniowych umieszczonych równolegle w próżni w odległości 1m od siebie wywołałby miedzy nimi siłę magnetyczną o wartości 210^-7 N na każdy metr długości przewodnika.

1 A =1000 mA

Jednostka temperatury termodynamicznej - kelwin (1 K) - jest to 1/273,16 temperatury punktu potrójnego wody. Stosuje się do wyrażania temperatury termodynamicznej T i różnicy temperatur ΔT i Δt.

1 K = 1°C T = t + 273,16 K

x°C = 5/9^. (yF-32) 300F=5/9^. (300-32) °C=148,9°C

Jednostka ilości substancji - mol (1 mol) - jest to ilości materii zawierającej tyle samo elementów ile jest atomów zawartych w 0,012 kg czystego nuklidu węgla C¹².

W obliczeniach technicznych najczęściej stosowana jest jednostka większa 1kmol.

Jednostka światłości źródła światła - kandela (1 cd) - jest to światłość, jaka ma w danym kierunku źródło emitujące monochromatyczne promieniowanie o częstotliwości 
540 ^.10¹² Hz i mające w tym kierunku wydajność energetyczną 1/683 W/sr.

W układzie SI występują dwie jednostki uzupełniające (tabela 1.2) odnoszące się do rozważań geometrycznych. W dużym stopniu są one równoważne wielkości niemianowanej, czyli jedynce 1. Jednak jej interpretacja różni się od typowej wielkości niemianowanej.

Jednostka kąta płaskiego - radian (1 rad) - jest to kąt między dwoma promieniami okręgu wycinającymi z tego okręgu łuk o długości równej promieniowi.

Jednostka kąta przestrzennego - steradian (1 sr) - jest to kąt bryłowy o wierzchołku w środku kuli, wycinający na powierzchni kuli obszar o polu równym kwadratowi promienia tej kuli.

Jednostki pochodne układu SI to te, które można wyrazić poprzez jednostki podstawowe i uzupełniające. Jednostek pochodnych jest bardzo wiele. W termodynamice stosowane są najczęściej:

Jednostka powierzchni - metr kwadratowy (1m²) jest to powierzchnia kwadratu o boku 1 m.

1 m² =100 dm² =10000 cm² =1000000mm²

Jednostka objętości - metr sześcienny (1 m³) - jest to objętość sześcianu o boku 1 m.

1 m³ =1000 dm³ =1000000 cm³ =1000000000 mm³

Objętość gazu podaje się w m³ umownych w układzie SI czyli pod ciśnieniem 1 bara i w temperaturze 273,16 K (um³).

W układzie technicznym objętościową ilość materii wyraża się w Nm³ (Normalny metr sześcienny). Parametry warunków normalnych wynoszą: p₀=760 mmHg=1,013^.10⁵ Pa i T₀=273,15 K (t=0°C).

Jednostka siły - niuton (1 N) - jest to siła, która masie 1 kg nadaje przyspieszenie 1m/s².

Jednostką stosowaną w układzie MKS jest kilogram siła (1 kG) - jest to siła, która masie 1 kg nadaje przyspieszenie ziemskie (9,81 m / s²).

1 kG = 9,81 N

Jednostka ciśnienia - paskal (1 Pa) - jest to prostopadły nacisk siły 1 N na powierzchnię 1 m² .

Inne jednostki ciśnienia stosowane w praktyce to atmosfera fizyczna (atm), atmosfera techniczna (at), wysokość słupa cieczy (mm H₂O, mm Hg).

1 at = 1 kG/cm² = 10000 mm H₂O =735,68 mm Hg =98100 Pa =0,981 bar =0,968 atm

1 atm =760 mm Hg =1,013^.10⁵ Pa =1,013 bar =10332 mm H₂O =1,033 at

1 bar =10⁵ Pa =1,02 ^.10⁴ mm H₂O =750,12 mm Hg =0,987 atm =1,02 at

1 mm H₂O = 9,807 Pa = 0,073556 mmHg = 10^-4 at = 9,68^.10^-5 atm = 9,807^.10^-5 bara

1 mmHg = 13,595 mm H₂O = 133,32 Pa = 13,595 ^.10^-4 at = 131,6^.10^-5 atm = 133,32^.10^-5 bara

Jednostka pracy, energii, ilości ciepła - dżul (1 J) jest to praca wykonana siłą 1 N na drodze 1 m w kierunku działania tej siły.

Jednostką ciepła jest również kilokaloria (kcal). Jest to ilość ciepła potrzebna do ogrzania 1kg wody na poziomie morza pod ciśnieniem 1atm od temperatury 14,5 ^oC do 15,5 ^oC.

1 kcal = 4,187 kJ 1 kJ = 0,239 kcal

Jednostka mocy - wat (1 W) - jest to praca 1 J wykonana w czasie 1 s.

Moc, szczególnie silników pojazdów, wyrażana jest często w KM (koniach mechanicznych).

1 KM = 736 W= 0,736 kW.

Prędkość - jest to stosunek drogi do czasu.

Przyspieszenie - jest to przyrost prędkości do czasu, w którym ten przyrost nastąpił.

Przyspieszenie ziemskie wynosi g = 9,81 m/s².

Gęstość - jest to stosunek masy do objętości.

Objętość właściwa - jest to odwrotność gęstości.

Ciężar właściwy - stosunek ciężaru ciała do jego objętości.

! kg jest to siła, która masie 1 kg nadaje przyspieszenie ziemskie g=9,81 m/s².

Strumień masowy - masa substancji przepływająca w jednostce czasu.

Strumień objętościowy - objętość substancji przepływająca w jednostce czasu.

Pojemność cieplna - iloraz elementarnej ilości ciepła δQ pochłoniętego przez substancję w dowolnym procesie i odpowiadającej temu zmiany temperatury substancji.

Pojemność cieplna zależy od masy substancji, jej składu chemicznego, stanu termodynamicznego i rodzaju procesu, w którym ciepło jest pochłaniane.

Ciepło właściwe (pojemność cieplna właściwa) - jest to ilość ciepła potrzebna do ogrzania jednostki ilości substancji o 1 K. Ilość substancji wyraża się: masą (kg), objętością (m³) i ilością kilomoli (kmol).

c - ciepło właściwe, J/(kg ^.K) lub J/(m^{3 .}K) lub J/(kmol^.K)

Aby nie operować tysiącami, milionami i miliardami do opisu bardzo dużych i bardzo małych wielkości, stosuje się przedrostki, które zostały zestawione w tabeli 1.3.

1.3. Przykłady i zadania

Zad.1. W zbiorniku z gazem panuje ciśnienie p=20 atm. Wyrazić to ciśnienie w: Pa i barach.

Zad. 2. W piecu grzewczym panuje temperatura 2192 F. Podać temperaturę pieca w K i °C.

Zad. 3. W akwarium znajduje się 50 litrów wody. Obliczyć ile m³ wody znajduje się w akwarium.

Zad. 4. Kocioł wytwarza 20 000 kcal ciepła. Wyrazić ilość ciepła w MJ.

Zad. 5. Silnik samochodowy ma moc 400 KM. Wyrazić moc silnika w jednostkach układu SI.

Zad. 6. W zbiorniku znajduje się woda o temperaturze 94°C. Jaką temperaturę ma woda w skali Farenheita i Kelwina?

Zad. 7. Temperatura komory grzewczej laboratoryjnego piecyka elektrycznego wynosi 700 K. Jaką temperaturę ma komora w skali Farenheita i Celsjusza?

Zad. 8. W zbiorniku z gazem panuje ciśnienie p=20 at. Wyrazić to ciśnienie w: Pa, barach, mmH₂O, mmHg, atm i kG/cm².

Zad. 9. Silnik elektryczny ma moc 2 KM. Wyrazić moc silnika w kW.

Zad. 10. W szklanym naczyniu znajduje się 500 ml alkoholu. Ile m³ alkoholu zawiera naczynie?

Zad. 11. Piec ma powierzchnię trzonu równą 4 m². Ile elementów płaskich o powierzchni 1 cm² można ułożyć na trzonie aby go maksymalnie wykorzystać?

Zad. 12. Kondensator ceramiczny ma pojemność elektryczną 200pF. Wyrazić pojemność kondensatora w faradach (F).

Zad. 13. Jaką moc elektryczną pobiera grzejnik dostarczający ciepło w ilości 400 kcal/h?

Zad. 14. Silnik o mocy N=60 KM pracuje przez czas τ=2h. Obliczyć pracę wykonaną przez silnik.

Zad. 15. Kocioł wytwarza 20 GJ ciepła pracując 10 h. Jaką moc cieplną ma kocioł, jeżeli jego sprawność wynosi 50%.

2. Termodynamika gazów

2.1. Charakterystyczne parametry gazów doskonałych

Do charakterystycznych parametrów gazu doskonałego zalicza się: temperaturę, objętość i ciśnienie.

Temperatura to wielkość fizyczna, której wartość ustala się w sposób pośredni, poprzez pomiar innych własności ciała zmieniających się w sposób ustalony z temperaturą. Ciało, którego własności wykorzystuje się do pomiaru temperatury nazywa się ciałem termometrycznym, a wykorzystywaną w tym celu własność określa się mianem własności termometrycznej. Do ciał termometrycznych zalicza się m.in. rtęć, alkohol, spoinę termoelementu i inne, natomiast wielkościami termometrycznymi mogą być: objętość, siła termoelektryczna pomiędzy wolnymi końcami termoelementu, rozszerzalność cieplna itp.

Temperatura jest wielkością fizyczną określającą stan cieplny ciała, będąca miarą energii kinetycznej ruchu cząstek.

Do pomiaru temperatury służą termometry. Wynalezienie tego urządzenia przypisuje się Galileuszowi, co miało miejsce na przełomie XVI i XVII wieku. Istnieje wiele skal temperatur. Do najczęściej stosowanych skal należą:

• Skala Kelwina (skala bezwzględna), 1 K - jest to 1 / 273,16 temperatury punktu potrójnego wody (0K= -273,15 °C);

• Skala Celsjusza, jednostką skali jest 1°C; przy ciśnieniu 101325 Pa temperatura punktu potrójnego wody jest 0°, a wrzącej wody 100° (0°C= 273,15 K);

• Skala Fahrenheita jednostką skali jest 1°F; temperatura topniejącego lodu wynosi 32°, a wrzącej wody 212° {x°C= (1,8x+32) F np.:100°C=1,8*100+32=212 F}.

Ciśnienie jest to stosunek siły do powierzchni, na którą działa siła:

, Pa (2.2)

Zasada pomiaru ciśnienia polega na wykorzysta­niu siły wytworzonej działaniem ciśnienia na daną powierzchnię. Siła ta wywołuje zmiany przestrzenne czujnika przyrządu pomiarowego. Mogą to być przykładowo:

- odkształcenie sprężyste ciał stałych,

- przesunięcia mas cieczy.

Jeżeli będziemy rozpatrywali nacisk słupa cieczy - ciśnienie hydrostatyczne, to jego wartość wyniesie:

, Pa (2.3)

gdzie:

F - siła, N,

A - powierzchnia, na którą działa siła, m²,

h - wysokość słupa cieczy, m,

ρ - gęstość cieczy, kg/m³,

g - przyspieszenie ziemskie, m/s².

Ciśnienie hydrostatyczne zależy od wysokości słupa i gęstości cieczy.

W zależności od przyjętego układu odniesienia, którym może być próżnia lub ciśnienie barometryczne (p_b) rozróżnia się następujące ciśnienia:

• ciśnienie bezwzględne (absolutne) odniesione do ciśnienia w próżni ma zawsze wartość dodatnią (p_a),

• ciśnienie względne odniesione do ciśnienia barometrycznego (p_b) może mieć wartość-dodatnią (nadciśnienie), ujemną (podciśnienie) lub równą zeru (rys. 2.1).

W termodynamice objętość zajmowana przez dany układ jest jedną z jego funkcji stanu.

Doświadczenie wskazuje, że te własności czynnika termodynamicznego są zależne od siebie. Jeżeli tak, to objętość określonej ilości gazu zmienia się wraz z ciśnieniem i temperaturą. Omówione trzy wielkości (p, V, T) nazywa się parametrami stanu czynnika. Znając dwie z tych wielkości trzecią można wyznaczyć z równania stanu.

2.2. Prawo Avogadra

Prawo Avogadra to prawo fizyki sformułowane przez Amadeo Avogadro (znane też jako hipoteza Avogadra) i brzmi ono:

"W tych samych warunkach fizycznych tj. w takiej samej temperaturze i pod takim samym ciśnieniem, w równych objętościach różnych gazów znajduje się taka sama liczba cząsteczek".

Prawo Avogadra jest prawem przybliżonym, którego zakres stosowalności zależy od podobieństwa porównywanych gazów rzeczywistych do gazu doskonałego.

Prawo Avogadra oznacza, że w warunkach umownych 1 mol gazu będzie zajmował objętość 22,71 dm³.

Objętość molowa gazu w tych warunkach wynosi zatem:

(MV)=22,71 dm³/mol=22,71um³/kmol.

Warunki umowne to ściśle określona temperatura i ciśnienie otoczenia, które stanowią rodzaj punktu odniesienia do niektórych obliczeń fizyko-chemicznych.

Warunki te to:

- ciśnienie: p₀ = 100 000 Pa = 1 bar,

- temperatura: T₀ = 273,15 K = 0°C.

Warunki umowne są szczególnie często stosowane do obliczeń przemian zachodzących w fazie gazowej. W obliczeniach tych, przyjęło się odnosić objętość i inne wartości funkcji stanu gazów do tych warunków. Wiele stałych związanych rozmaitych objętością, występujących w równaniach termodynamicznych, jest wyznaczana w warunkach umownych i aby je użyć należy najpierw przeliczyć wartości funkcji stanu wyznaczone w warunkach danego eksperymentu do warunków umownych.

Do warunków umownych, jeżeli T>T₀ a p>p₀:

- objętość:

, um³ (2.13)

a ponieważ
:

- gęstość:

, kg/um³ (2.14)

- objętościowy strumień przepływu:

, um³/ s (2.15)

- masowy strumień przepływu:

, kg/s (2.16)

2.3. Równanie stanu gazu. Równanie Clapeyrona

Równania Boyle'a - Mariotte'a i Gay Lussaca można sprowadzić do ogólnego równania wiążącego parametry wyznaczające stan gazu doskonałego. Parametrami tymi są ciśnienie p, objętość V, temperatura T, oraz ilość moli gazu n i nazywamy je parametrami stanu. Równanie wiążące parametry stanu nosi nazwę równania stanu.

Równanie stanu dla gazu doskonałego ma postać:

(2.17)

Stała c nazywana jest uniwersalną stałą gazową, która wynosi (MR)=8314,7 J/(mol ^.K).

Równanie Clapeyrona, równanie stanu gazu doskonałego to równanie stanu opisujące związek pomiędzy temperaturą, ciśnieniem i objętością gazu doskonałego, a w sposób przybliżony opisujący gazy rzeczywiste:

(2.18)

gdzie:

p - ciśnienie, Pa,

V - objętość, m³,

n - liczba kmoli gazu (będąca miarą liczby cząsteczek rozważanego gazu), kmol,

T - temperatura (bezwzględna), K,

(MR) - uniwersalna stała gazowa, (MR)=8314,7 J/(kmol ^.K).

Równanie to jest wyprowadzane na podstawie założeń:

• gaz składa się z poruszających się cząsteczek,

• cząsteczki zderzają się ze sobą oraz ze ściankami naczynia w którym się znajdują,

• brak oddziaływań międzycząsteczkowych w gazie, z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek,

• objętość (rozmiary) cząsteczek jest pomijalna,

• zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste.

Z równania (2.18) wynika fundamentalny związek między ciśnieniem, temperaturą i liczbą cząstek gazu, z którego wynikają trzy wnioski:

• taka sama liczba cząstek gazu (n kmoli), przy danej temperaturze i ciśnieniu panującym w naczyniu zajmuje zawsze taką samą objętość, niezależnie od budowy chemicznej tego gazu ,

• w danej objętości, przy danym ciśnieniu i temperaturze, znajduje się zawsze taka sama liczba moli cząsteczek gazu, niezależnie od jego budowy chemicznej,

• n moli gazu zamkniętych w naczyniu o określonej objętości, przy określonej temperaturze, będzie wywierał na jego ścianki zawsze jednakowe ciśnienie, niezależnie od tego, jaki to jest gaz.

Równanie stanu gazu doskonałego stosujemy do obliczania ciśnienia, objętości, gęstości dla znanej ilości gazu w różnych temperaturach, a także do oznaczania masy molowej substancji w stanie pary.

Ponieważ liczbę moli gazu oblicza się z równania:

(2.19)

stąd masę molową wyznacza się z zależności:

(2.20)

gdzie:

M - masa molowa substancji, której pary o masie m wypełniają naczynie o pojemności V, g/mol lub kg/kmol.

Gęstość gazu można wyznaczyć ze wzoru:

a
(2.21)

Ponieważ
, to z równania (2.18):

(2.22)

gdzie:

(2.23)

R - indywidualna stała gazowa wyrażająca pracę jaką wykona 1kg gazu po podgrzaniu izobarycznym o 1K, J/(kg ^.K).

2.4. Ciepło właściwe gazów doskonałych

Jedną z cech charakterystycznych gazu doskonałego jest stałość ciepła właściwego. Mianem ciepła właściwego określa się ilość ciepła, jaka jest niezbędna do ogrzania jednostki (masy, objętości, liczby moli) substancji o 1K.

Jeśli do danego układu o masie m i stałej temperaturze T doprowadzi się elementarną ilość ciepła dQ_c, to jego temperatura podniesie się o elementarną wartość dT. Między wymienionymi wielkościami fizycznymi układu i ilością całkowitego ciepła pochłoniętego istnieje zależność:

(2.24)

Ciepło właściwe może być odniesione do jednostki:

- masy, J/(kg ^. K),

- objętości, J/(um^{3 .} K),

- liczby kilomoli, J/(kmol ^. K).

Relacje pomiędzy poszczególnymi jednostkami odniesienia są następujące:

W przypadku gazów ciepło właściwe zależy od rodzaju przemiany, dlatego wprowadzono pojęcie ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu (c_p) i przy stałej objętości (c_v), które podobnie jak ciepło właściwe ciał stałych i cieczy jest już wartością stałą dla określonych substancji gazowych. c_p i c_v używa się w obliczeniach zależnie od tego, czy dana przemiana zachodzi przy stałym ciśnieniu czy przy stałej objętości gazu.

Dla jednego kmola gazu doskonałego zachodzi zależność:

(2.25)

lub

(2.26)

gdzie:

R - indywidualna stała gazowa, J/(kg ^. K),

(Mc_p), (Mc_v) - molowe ciepła właściwe, J/(kmol ^. K),

(MR) - uniwersalna stała gazowa, 8314,7 J/(kmol ^. K).

Iloraz ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu i ciepła właściwego przy stałej objętości nazywa się wykładnikiem przemiany adiabatycznej:

(2.27)

Wartości liczbowe ciepła właściwego, odniesione do liczby kilomoli, w zależności od liczby atomów gazu zestawiono w tabeli 2.1.

Wartości ciepła właściwego obliczyć można również z zależności:

- dla gazów jednoatomowych:

,

- dla gazów dwuatomowych:

,

- dla gazów trój i wieloatomowych:

.

2.4. Ciepło właściwe gazów półdoskonałych

Gaz półdoskonały różni się tym od gazu doskonałego, że w jego drobinach występują drgania atomów. Gaz rzeczywisty zachowuje się jak gaz półdoskonały lub doskonały pod dostatecznie niskim ciśnieniem. Ciepło właściwe gazów półdoskonałych jest zmienne i zależy od temperatury. Aby w pełni wykorzystać zależności wyprowadzane dla gazów doskonałych wprowadza się pojęcie ciepła średniego ciepła właściwego.

Jeżeli w danym procesie zmiany temperatury stanów początkowego i końcowego są niewielkie, to można przyjąć, że zmiana ciepła właściwego jest niewielka i wówczas, całkując zależność (2.24), otrzymuje się:

(2.28)

W tych przypadkach, kiedy zmiany temperatury układu podczas ogrzewania lub chłodzenia gazów półdoskonałych układu są stosunkowo duże, zachodzi konieczność uwzględnienia jej wpływu na pojemność ciepło właściwe i wówczas zależność (2.24) przyjmuje postać:

(2.29)

przy czym:

- jest średnim ciepłem właściwym substancji w zakresie tem­peratur od T₁ do T₂>T₁, która odpowiada wyrażeniu:

(2.30)

Średnie ciepło właściwe dla danego zakresu temperatur można wyznaczyć na podstawie zależności:

(2.31) Średnie ciepło właściwe
można odczytać z tabeli 2.2.

Wartości średniego ciepła właściwego zestawione w tabeli 2.2 odniesiono do um³. Aby odnieść te wartości do 1 kmola gazu należy wartość z tabeli pomnożyć przez objętość 1 kmola gazu w warunkach umownych (MV)=22,71 um³/kmol.

2.5. Przykłady i zadania

Zad. 1. W zbiorniku o objętości V=5 m³ znajduje się jednoatomowy gaz doskonały o parametrach początkowych: ciśnienie bezwzględne p₁=0,13 MPa i T₁=288 K. Wskutek doprowadzenia ciepła ciśnienie gazu zwiększyło się do p₂=0,18 MPa. Oblicz liczbę kilomoli gazu i temperaturę końcową.

Zad. 2. W zbiorniku o objętości V=10m³ mamy gaz o ciśnieniu bezwzględnym p₁=60 bar i temperaturze t₁=150^oC. Po dodaniu pewnej ilości gazu ciśnienie w zbiorniku wzrosło do p₂=150 bar, a temperatura do t₂=250^oC . Obliczyć ilość kilomoli dodanego gazu.

Zad. 3. W dwóch zbiornikach o objętości V = 3,2 m³ każdy znajduje się azot N₂. W pierwszym zbiorniku parametry gazu wynoszą: ciśnienie bezwzględne p₁=6,1 bar i t₁=132°C, a w drugim zbiorniku p₂=3,35 bar, t₂=12°C. Który ze zbiorników zawiera większą masę azotu?

Zad. 4. Gaz w naczyniu pod tłokiem ogrzano od temperatury T₁=311K do takiej temperatury, że jego objętość wzrosła dwukrotnie. Jaka była temperatura końcowa?

Zad. 5. Bezpośrednio po wpompowaniu do butli zmierzono w niej temperaturę T₁=480 K i ciśnienie p₁=8,2 MPa. Jakie będzie ciśnienie w butli po ostygnięciu powietrza do temperatury T₂=290 K?

Zad. 6. Podczas ogrzewania pewnej masy gazu przy p=const o Δt=2K, jego objętość wzrosła o 0,005 wartości początkowej. Oblicz temperaturę początkową gazu.

Zad. 7. Obliczyć gęstość azotu w temperaturze t=97°C i przy ciśnieniu p=1MPa.

Zad. 8. Do zaizolowanego naczynia zawierającego V=0,8 dm³ wody o temperaturze t_w1=17°C wrzucono kawałek metalu o masie m_m = 0,25 kg i temperaturze t_m1 = 42°C. Po wyrównaniu się temperatury w układzie zmierzona temperatura wody była równa t_k=17,9°C. Ile wynosi ciepło właściwe metalu? Ciepło właściwe wody przyjąć równe c_w = 4,19 kJ/(kg ^.K), a jej gęstość ρ= 1 kg/dm³.

Zad. 9. Obliczyć ilość ciepła potrzebną do ogrzania m=20 kg oleju od t₁=12°C do t₂=37°C, jeżeli średnie ciepło właściwe c=0,45 kcal/(kg ^.K).

Zad. 10. Obliczyć średnie ciepło właściwe powietrza nagrzanego od temperatury t₁=200°C do temperatury t₂=800°C. Ciepło właściwe wyrazić w J/(um^{3 .}K) i J/(kmol ^.K).

Zad. 11. Sprężarka napełnia zbiornik o objętości V = 8,2 m³ tlenem O₂. Obliczyć ile kilogramów tlenu zostało załadowane do zbiornika, jeżeli przed napełnieniem parametry w zbiorniku były równe: ciśnienie bezwzględne p₁ = 0,1 MPa i T₁ = 293 K, a po napełnieniu p₂ = 0,8 MPa, T₂ = 303 K.

Zad. 12. Do zbiornika zawierającego wodę zimną o temperaturze t₁=24°C dolano pewną ilość wody gorącej o temperaturze t_d=90°C uzyskując V₂=210 l wody ciepłej o temperaturze t₂ = 42°C. Ile litrów wody początkowo zawierał zbiornik?

Zad. 13. W zbiorniku o objętości V=1m³ jest powietrze o ciśnieniu bezwzględnym p₁=102,313 bara i temperaturze t₁=100^oC. Po zużyciu pewnej ilości powietrza ciśnienie gazu w zbiorniku spadło do p₂=50,043 bara, a temperatura do t₂=90^oC . Obliczyć masę zużytego powietrza.

Zad. 14. W pionowym cylindrze zamkniętym od góry tłokiem przesuwającym się bez tarcia znajduje się azot o parametrach początkowych V₁=0,05 m³, p₁=0,12 MPa, T₁=288 K. Wskutek doprowadzenia ciepła objętość gazu zwiększyła się do V₂=0,07 m³. Obliczyć liczbę kilomoli gazu i jego temperaturę po doprowadzeniu ciepła.

Zad. 15. Zbiornik o objętości 300 dm³ zawiera tlen o nadciśnieniu p_n=6,5 bara i temperaturze T=300 K. Ciśnienie barometryczne p_b=720 mmHg. Obliczyć liczbę kilomoli tlenu n i jego objętość w warunkach umownych.

Zad. 16. Obliczyć gęstość, ciężar właściwy i objętość właściwą azotu w temperaturze t=500°C.

Zad. 17. W zbiorniku o objętości V=15m³ znajduje się tlen o ciśnieniu bezwzględnym p₁=3 bary i temperaturze t₁=25^oC. Po dodaniu pewnej ilości tlenu ciśnienie w zbiorniku wzrosło do p₂=4 MPa, a temperatura do t₂=50^oC . Obliczyć masę dodanego gazu.

Zad. 18. Objętość gazu doskonałego o temperaturze T₁=500 K wynosiła V₁=0,25 m³. Obliczyć, ile wynosi objętość gazu po ogrzaniu go do temperatury T₂=700 K.

Zad. 19. Obliczyć objętość zbiornika, w którym znajduje się m=500 kg azotu o tempearaturze t=20°C pod ciśnieniem manometrycznym p_m=9 bar, jeżeli ciśnienie otoczenia wynosi p_ot=1 bar?

Zad. 20. Obliczyć gęstość wodoru o temperaturze t=20°C pod ciśnieniem bezwzględnym p=0,5 MPa?

3. Mieszaniny gazów doskonałych

3.1. Udziały masowe, molowe i objętościowe

Rzeczywiste czynniki termodynamiczne nie są zazwyczaj czystymi gazami, jednorodnymi lecz stanowią mieszaniny kilku składników. Skład takiej mieszaniny można wyrazić za pomocą udziałów poszczególnych składników w mieszaninie.

Udział masowy g_i składnika w mieszaninie jest to stosunek masy m_i danego składnika do całkowitej masy m mieszaniny:

(3.5)

Suma udziałów masowych wszystkich składników mieszaniny jest równa jedności:

(3.6)

Udział molowy z_i składnika w mieszaninie jest to stosunek liczby kilomoli n_i danego składnika do całkowitej liczby kilomoli n mieszaniny:

(3.7)

Suma udziałów molowych wszystkich składników mieszaniny jest równa jedności:

(3.8)

Udział objętościowy r_i składnika w mieszaninie jest to stosunek objętości V_i danego składnika do całkowitej objętości V mieszaniny:

(3.9)

Suma udziałów objętościowych wszystkich składników mieszaniny jest równa jedności:

(3.10)

W przypadku gazów rzeczywistych suma objętości rozdzielonych składników może być różna od objętości roztworu nierozdzielonego, a więc może zostać nie spełnione równanie (3.10).

Jeżeli jednak rozpatruje się gazy doskonałe lub półdoskonałe to na podstawie równania Clapeyrona otrzymuje się:

(3.11)

Równanie (3.11) wyraża prawo Leduca, zgodnie z którym objętość mieszaniny gazów doskonałych i półdoskonałych jest sumą objętości jego składników, występujących oddzielnie pod ciśnieniem i w temperaturze mieszaniny.

Na podstawie równanie (3.11) można napisać, że dla gazów doskonałych i półdoskonałych udział objętościowy składnika mieszaniny jest równy udziałowi molowemu:

(3.12)

3.2. Prawo Daltona

Prawo Daltona to wspólne określenie na dwa różnie prawa: prawo ciśnień cząstkowych i prawo objętości cząstkowych.

Prawo ciśnień cząstkowych mówi o tym, że ciśnienie wywierane przez mieszaninę gazów jest równe sumie ciśnień wywieranych przez składniki mieszaniny, gdyby każdy z nich był umieszczany osobno w tych samych warunkach objętości i temperatury (suma ciśnień cząstkowych):

(3.13)

gdzie:

p - ciśnienie w mieszaninie k-składnikowej,

p_i - ciśnienie cząstkowe (parcjalne) składnika.

Prawo Daltona jest słuszne dla gazów doskonałych nie reagujących z sobą. Dla gazów rzeczywistych jest słuszne jedynie dla gazów rozrzedzonych i w temperaturze znacznie powyżej punktu krytycznego.

Prawo objętości cząstkowych stwierdza, że objętość zajmowana przez mieszaninę gazów jest równa sumie objętości, które byłyby zajmowane przez składniki mieszaniny, gdyby każdy z nich był umieszczony osobno w tych samych warunkach ciśnienia i temperatury (suma objętości cząstkowych):

(3.14)

gdzie:

V - objętość w mieszaniny k-składnikowej,

V_i - objętość cząstkowa (parcjalna) składnika.

Oba prawa można bardzo łatwo wyprowadzić z równania Clapeyrona. Dla mieszaniny k gazów o ilości n moli, zajmującej objętość V przy ciśnieniu p, mamy:

gdzie:

(3.15)

Ciśnienie cząstkowe gazu doskonałego "i" z definicji i z równania Clapeyrona jest równe:

(3.16)

stąd, suma ciśnień cząstkowych gazów i = 1...k wynosi:

(3.17)

Podobnie, objętość cząstkowa gazu doskonałego "i" z definicji i z równania Clapeyrona wynosi:

(3.18)

a suma objętości cząstkowych gazów i = 1...k równa jest:

(3.17)

3.3. Stała gazowa mieszaniny i zastępcza masa cząsteczkowa

Mieszaninę gazów doskonałych można traktować jak jednorodny gaz doskonały, jeżeli do równań stanu wprowadzi się zastępczą stałą gazową, zastępczą masę cząsteczkową i ciepło właściwe mieszaniny.

Aby wyznaczyć zastępczą stałą gazową mieszaniny R należy rozpatrzyć 1 kg mieszaniny i zastosować równanie Clapeyrona dla poszczególnych składników mieszaniny:

(3.18)

Po zastosowaniu równania Daltona i porównaniu (3.18) i równania Clapeyrona dla masy 1 kg gazu otrzymuje się:

(3.19)

Zastępcza stała gazowa mieszaniny jest zatem średnią ważoną stałych gazowych poszczególnych składników, przy czym jako wagi statystyczne należy stosować udziały masowe g_i składników mieszaniny.

Rozpatrując mieszaniny gazowe często wykorzystuje się przeliczenie udziałów masowych na molowe lub odwrotnie. Zależność pomiędzy tymi udziałami wyznacza się poprzez zastosowanie równania Clapeyrona do pojedynczego składnika mieszaniny oraz dla całej mieszaniny i podzielenie stronami otrzymanych zależności:

(3.20)

lub zgodnie z równaniami (3.5) i (3.19):

(3.21)

Aby wyznaczyć zależność dogodną do obliczania udziałów masowych na podstawie znanych udziałów molowych należy wykorzystać zależność:

(3.22)

i wówczas:

(3.23)

Podstawiając zależność (3.21) do wzoru (3.23) otrzymuje się:

(3.24)

Wzór (3.24) można wykorzystać do obliczeń udziałów masowych na podstawie udziałów molowych, ponieważ udziały molowe pozwalają bezpośrednio wyznaczyć zastępczą masę cząsteczkową mieszaniny M. W tym celu należy zależności (3.24) dla poszczególnych składników mieszaniny:

(3.25)

Stąd po uwzględnieniu równania (3.6) otrzymuje się zależność na zastępczą masę cząsteczkową mieszaniny:

(3.26)

Zastępcza masa cząsteczkowa mieszaniny jest średnią ważoną mas cząsteczkowych składników, przy czym jako wagi statystyczne należy stosować udziały molowe.

3.4. Ciepło właściwe mieszaniny

Zależność na energię wewnętrzną mieszaniny gazów doskonałych jest analogiczny jak na energię wewnętrzną czynnika jednoskładnikowego

(3.27)

W celu wyznaczenia ciepła właściwego mieszaniny gazów doskonałych, należy wykorzystać zasadę addytywności energii wewnętrznej i wyrazić energię mieszaniny jako sumę energii poszczególnych jej składników:

(3.28)

Porównując zależności (3.27) i (3.28) oraz dzieląc obustronnie przez masę mieszaniny otrzymuje się zależność na wartość zastępczego ciepła właściwego mieszaniny:

(3.29)

W równaniu (3.29) wartość ciepła właściwego c_v wyrażone są w J/(kg^.K).

Jeżeli składnikami mieszaniny są gazy półdoskonałe to wówczas wartość średniego zastępczego ciepła właściwego dla zakresu temperatur od 0 do T opisuje wzór:

(3.30)

Uwzględniając zależności pomiędzy udziałami masowymi i molowymi oraz równość udziałów molowych i objętościowych można wyznaczyć zastępcze ciepło właściwe odniesione do jednostki objętości:

(3.31)

co pozwala na określenie molowego zastępczego ciepła właściwego mieszaniny gazów doskonałych:

(3.32)

oraz średniego molowego ciepła właściwego dla mieszaniny gazów półdoskonałych:

(3.33)

Analogiczne zależności otrzymuje się dla zastępczego ciepła właściwego mieszaniny przy stałym ciśnieniu.

3.5. Przykłady i zadania

Zad.1. Obliczyć udziały masowe składników roztworu o masie m=250 g, jeżeli wiadomo, że składa się on ze 100g CO₂ i pewnej ilości H₂O.

Zad.2. Obliczyć masę zastępczą gazu o składzie objętościowym: CO₂=15%, H₂O=8%, O₂=7%, N₂=70%.

Zad.3. Oblicz udziały objętościowe CO₂ i CH₄ wiedząc, że parametry mieszaniny p=2,5bara t=325°C V₀=5 um³. Objętość V_CO2 wynosi 1,35 m³.

Zad.4. Roztwór gazów o masie całkowitej m=300 kg charakteryzują udziały masowe: g_N2=0,2, g_CO2=0,5, g_SO2=0,3. Obliczyć udziały objętościowe i kilomolowe.

Zad.5. Obliczyć zastępczą masę cząsteczkową dla gazu ziemnego o udziałach objętościowych: r_CH4=0,95, r_N2=0,05. Wyznaczyć udziały masowe oraz indywidualne stałe gazowe, zastępczą stałą gazową roztworu i gęstość roztworu w warunkach umownych.

Zad.6. Obliczyć ile kg tlenu należy dodać do 7 kmoli azotu, aby otrzymać roztwór o składzie objętościowym r_N2=0,7 r_O2=0,3.

Zad.8. Roztwór gazów zawiera 3 kmole N₂, 128 kg SO₂ i 113,55 um³ CO₂.Wyrazić skład roztworu za pomocą udziałów molowych, masowych i objętościowych.

Zad. 9. Mieszaninę gazów otrzymano ze zmieszania 10 um³ azotu o ciśnieniu bezwzględnym p₁=1 bar i temperaturze t₁=0°C oraz 10 kg CO₂. Obliczyć udziały masowe i objętościowe, jeżeli parametry mieszaniny wynoszą: p₃=0,2 MPa i t₃=27°C.

Zad. 10. Dla mieszaniny gazów z zadania 9 obliczyć zastępczą masę cząsteczkową i stałą gazową.

Zad. 11. Obliczyć ile kg azotu należy dodać do 3 kmoli helu, aby otrzymać mieszaninę o składzie objętościowym: r_N2=0,4, r_He=0,6.

Zad. 12. Obliczyć zastępczą stałą gazową powietrza.

Zad. 13. Zmieszano 3 kmole helu i 1 kmol azotu. Obliczyć udziały molowe i masowe.

Zad. 14. Gaz o składzie objętościowym: r_H2=0,50, r_CO=0,19, r_CH4=0,20, r_C2H4=0,02, r_CO2=0,03 i r_N2=0,06 znajduje się pod ciśnieniem p=1,1 bara. Obliczyć ciśnienia cząstkowe jego składników.

Zad. 15. Mieszanina 3 kmoli metanu CH₄ i acetylenu C₂H₄ ma masę m=66 kg. Obliczyć udziały objętościowe składników.

Zad. 16. W piecu powstają spaliny o składzie objętościowym: r_N2=0,81, r_O2=0,05, r_CO2=0,14. Obliczyć zastępczą masę cząsteczkową spalin i zastępczą stałą gazową.

Zad. 17. Dla składu spalin jak w zad. 16 obliczyć objętościowe ciepło właściwe spalin o temperaturze t=1300°C. Spaliny traktować jak mieszaninę gazów doskonałych.

Zad. 18. Obliczyć gęstość gazu ziemnego w warunkach umownych, jeżeli jego skład objętościowy jest następujący: r_N2=0,05, r_CH4=0,95.

Zad. 19. Dla składu gazu ziemnego o udziałach objętościowych: r_N2=0,05, r_CH4=0,95, obliczyć kilomolowe ciepło właściwe
, jeżeli gaz ziemny został podgrzany do temperatury t=200°C. Gaz ziemny traktować jak gaz doskonały.

Zad. 20. Roztwór gazów zawiera 5 kmoli N₂, 16 kg CH₄ i 90,84 um³ H₂.Wyrazić skład roztworu za pomocą udziałów molowych, masowych i objętościowych.

4. Przepływy

Przepływem nazywa się przemieszczanie się cieczy, gazów lub par w rurociągach, kanałach, dyszach, przewężeniach itp. Jeżeli kierunek i szybkość płynących cząstek w określonym miejscu nie zależy od czasu wówczas przepływ jest ustalony.

Przepływ może mieć charakter laminarny (uwarstwiony) lub turbulentny (burzliwy), rys.14.1.

Przy przepływie laminarnym strugi przepływającego czynnika układają się równolegle do osi przewodu, przy czym w przekroju wzdłużnym rozkład prędkości ma kształt paraboli, a maksymalna szybkość występuje w osi przewodu.

Przy przepływie turbulentnym cząstki czynnika wirują w różnych kierunkach, mieszają się ze sobą tworząc pewnego rodzaju linię śrubową. Rozkład prędkości jest krzywą spłaszczoną, przy czym w środkowej części przewodu szybkość pozostaje taka sama, a od pewnego miejsca zmniejsza się gwałtownie, przy ściance przewodu dążąc do zera.

Kryterium rodzaju przepływu jest wartość liczby Reynoldsa (Re) wyrażająca stosunek sił bezwładności do sił lepkości:

(4.1)

gdzie:

w - prędkość przepływu czynnika, m/s,

ρ - gęstość czynnika, kg/m³,

ν - współczynnik lepkości kinematycznej, m²/s,

η_t - współczynnik lepkości dynamicznej, Pa ^. s ,

d_h- wymiar charakterystyczny (dla przewodów okrągłych d_h = D), m,

, m (4.2)

A - poprzeczny przekrój kanału, m²,

O - zwilżony obwód przewodu, m.

Współczynnik lepkości dynamicznej jest zależny od temperatury, zgodnie z równaniem Sutherlanda:

(4.3)

gdzie:

C_s- stała Sutherlanda,

η₀ - współczynnik lepkości dynamicznej w warunkach umownych, Pa^.s,

T₀ - temperatura dla warunków umownych (273,15 K),

T - temperatura dla warunków rzeczywistych, K.

Wartości współczynnika lepkości dynamicznej niektórych gazów w warunkach umownych oraz wartości stałej Sutherlanda zamieszczono w tabeli 4.1.

Wartość graniczna liczby Re pomiędzy przepływem laminarnym a turbulentnym wynosi 2320. Poniżej tej wartości występuje ruch laminarny. Powyżej tej wartości może występować przepływ turbulentny. Granica ta nie występuje jednak w sposób gwałtowny. Pomiędzy 2320<Re<10⁴ spotyka się ruch mieszany o charakterze laminarnym i turbulentnym. Jest to tzw. obszar przejściowy. Wartość liczby Re, przy której zaczyna pojawiać się przepływ turbulentny, zależy od wielu czynników m.in. od stanu powierzchni stykającej się z płynem, rodzaju płynu itp. Dlatego dolna granica przepływu turbulentnego jest kwestią umowną.

Obok parametrów stanu (ciśnienia i temperatury) pomiary strumienia objętościowego płynów (cieczy, gazów i par) stanowią podstawę do sporządzania bilansów energetycznych urządzeń cieplnych. Strumień objętościowy wyraża ilość (masę bądź objętość) badanego czynnika, jaka przepływa w jednostce czasu przez określony przekrój badanego przewodu.

Poprzez bezpośrednie wyznaczenie rozkładu ciśnienia dynamicznego można obliczyć średnią prędkość i strumień objętościowy. Zgodnie z równaniem Bernouliego, można zapisać:

(4.4)

gdzie:

p_d - ciśnienie dynamiczne, Pa,

p_c - ciśnienie całkowite, Pa,

p_s - ciśnienie statyczne, Pa.

Ciśnienie dynamiczne płynu zależy od jego prędkości i gęstości. Zatem znając wartość ciśnienia dynamicznego można wyznaczyć prędkość przepływu medium z zależności:

, m/s (4.5)

Strumień objętościowy czynnika oblicza się wg wzoru:

, m³/s (4.6)

Strumień masowy czynnika wyznacza się z zależności:

, kg/s (4.7)

Objętościowy strumień przepływu należy odnieść do warunków umownych:

, um³/ s (4.8)

i wówczas:

, kg/s (4.9)

Przykłady i zadania z przepływów

Zad. 4.1. Obliczyć ciśnienie dynamiczne gazu o gęstości ρ=0,8 kg/m³ przepływającego rurociągiem średnicy d=20 cm. Objętościowy strumień przepływu gazu w warunkach rzeczywistych wynosi
.

Zad. 4.2. Obliczyć prędkość przepływu powietrza w rurociągu o średnicy d=200 mm, jeżeli zmierzone nadciśnienie statyczne p_s=1000 Pa, ciśnienie całkowite p_c=1100 Pa, temperatura powietrza t=20ºC, ciśnienie barometryczne p_b=1000 hPa, a gęstość powietrza dla warunków umownych ρ₀=1,27 kg/um³.

Zad. 4.3. Określić charakter przepływu powietrza w rurociągu o średnicy d=500mm, jeżeli ciśnienie statyczne p_s=500 Pa, ciśnienie całkowite p_c=600Pa, temperatura powietrza t=20ºC, ciśnienie barometryczne p_b=1bar, a współczynnik lepkości dynamicznej η=17,2^.10^-6 kg/(m^.s).

Zad. 4.4. Powietrze przepływa przez rurociąg o średnicy d=300mm. Strumień objętościowy wynosi
, a gęstość powietrza w warunkach rzeczywistych wynosi ρ=1,236 kg/m³. Obliczyć liczbę Reynoldsa jeżeli η=17,2^.10^-6 kg/(m^.s).

Zad.4.5. Rurociągiem o średnicy d=250 mm przepływa powietrze o
. Obliczyć ciśnienie dynamiczna p_d, jeżeli podczas przepływu: t= 500°C, p=2bary.

Zad.4.6. Rurociągiem o średnicy d=0,5 m przepływa powietrze o temperaturze 100ºC i nadciśnieniu statycznym p_n=500 mmH₂O. Zmierzone ciśnienie dynamiczne w miejscu o średniej prędkości wynosi 20 mmH₂O. Obliczyć objętościowy i masowy strumień przepływu powietrza, jeżeli p_b=750 mmHg.

Zad.4.7. Obliczyć objętościowy strumień przepływu i ciśnienie statyczne powietrza o gęstości ρ=1,4 kg/m³ płynącego rurociągiem o średnicy d=0,2 m z prędkością w=20 m/s, jeżeli ciśnienie całkowite powietrza w rurociągu wynosi p_c=0,01 bara.

5. Przemiany odwracalne gazu doskonałego

5.1. Przemiana politropowa

Przemiana politropowa to proces termodynamiczny, podczas którego jest spełniona następująca zależność:

(5.1)

gdzie:

p - ciśnienie, Pa,

v - objętość właściwa, m³/kg,

m - wykładnik politropy, stały dla danego procesu politropowego, ale przyjmujący dla różnych procesów politropowych różne wartości, od minus do plus nieskończoności.

Równanie (5.1) stanowi podstawowe równanie przemiany politropowej. Wiąże ono trzy parametry stanu i dlatego można podać jeszcze dwa dodatkowe równania politropy:

(5.2)

(5.3)

Na rys. 5.1 przedstawiono przemianę politropowa w układzie p-v.

Przemianę politropową w układzie T-s przedstawiono na rys. 5.2.

Przytoczona definicja dotyczy wszystkich czynników. Posługując się równaniem stanu po przekształceniach uzyskuje się:

(5.4)

lub

(5.5)

(5.6)

Pracę w przemianie politropowej wyznacza się z następującego wzoru:

(5.7)

Pracę techniczną w przemianie politropowej oblicza się wg. wzoru:

(5.8)

Rzeczywiste ciepło właściwe w przemianie politropowej wyznacza się z zależności:

(5.9)

Dla przemiany politropowej zmianę energii wewnętrznej oblicza się z zależności:

(5.10)

a zmianę entalpii:

(5.11)

Zgodnie z podstawowym równaniem termodynamiki:

(5.12)

oraz:

(5.13)

Zmiana entropii układu, dla
, wynosi:

(5.14)

oraz:

(5.15)

Jak wynika z zależności (5.9) ciepło właściwe gazu doskonałego i półdoskonałego w przemianie politropowej zależy od wykładnika m. Przy m=1 jest ono nieskończenie wielkie, przy m=κ staje się natomiast równe zeru. Jeżeli we wzorze (5.7) licznik i mianownik mają przeciwne znaki to wówczas c<0, co ma miejsce wówczas, gdy 1<m<κ .

Wynika stąd, że czynnik ma ujemną pojemność cieplną wówczas, gdy mimo doprowadzenia ciepła temperatura czynnika obniża się lub mimo odprowadzania ciepła podwyższa się.

Przemiany zachodzące przy ujemnej pojemności cieplnej są często spotykane w praktyce, dlatego politropę o wykładniku 1<m<κ nazywa się często politropą techniczną.

W przypadku gazów doskonałych można wykazać, że wszystkie przemiany odwracalne są szczególnymi przypadkami politropy:

• izochora m=∞,

• izobara m=0,

• izoterma m=1,

• adiabata m=κ.

Ciepło właściwe gazów półdoskonałych w przemianie politropowej zależy od temperatury. Średnie ciepło właściwe można obliczyć z następującego wzoru:

(5.16)

5.2. Przemiana izochoryczna

Przemiana izochoryczna jest to proces termodynamiczny przebiegający przy stałej objętości czynnika:

(5.17)

Równanie podstawowe izochory otrzymuje się, gdy do równania politropy (5.3) podstawi się m=∞, wtedy:

(5.18)

Równanie (5.18) w formie dogodnej do obliczeń zapisuje się w postaci:

(5.19)

Praca bezwzględna podczas przemiany izochorycznej w układzie zamkniętym jest równa zeru:

(5.20)

Pracę techniczną w układzie p-V opisuje zależność:

(5.21)

Graficzny obraz przemiany izochorycznej w układzie p-v przedstawiono na rys. 5.3.

Przebieg przemiany izochorycznej w układzie T-s przedstawiono na rys. 5.4.

Ciepło pobrane przez czynnik w przemianie izochorycznej można obliczyć z I zasady termodynamiki wstawiając w niej l_1-2=0. Można też je obliczyć za pomocą ciepła właściwego:

(5.22)

lub wykorzystując molowe ciepło właściwe:

(5.23)

Zmianę entalpii układu oblicza się z zależności (5.11), natomiast zmianę entropii układu z zależności:

(5.24)

oraz:

(5.25)

W rozważaniach praktycznych za przemiany izochoryczne uważa się przemiany przebiegające w szczelnie zamkniętych zbiornikach.

5.3. Przemiana izobaryczna

Przemiana izobaryczna to proces termodynamiczny przebiegający przy stałym ciśnieniu czynnika:

(5.26)

Dla równania politropy pv^m=const warunek ten będzie spełniony dla m=0. W przemianie tej zmianom ulega objętość i temperatura. Z równania (5.2) dla m=0 uzyskuje się:

(5.27)

lub

(5.28)

Przemianę izobaryczną w układzie p-V przedstawiono na rys. 5.5.

Przebieg przemiany izobarycznej w układzie T-s zamieszczono na rys. 5.6.

Pracę bezwzględną podczas przemiany izobarycznej w układzie p-v opisuje zależność:

(5.29)

Praca techniczna podczas przemiany izobarycznej w układzie zamkniętym jest równa zeru:

(5.30)

Ciepło pobrane przez czynnik w przemianie izochorycznej można obliczyć z I zasady termodynamiki wstawiając w niej l_1-2=0. Można też je obliczyć za pomocą ciepła właściwego:

(5.31)

lub wykorzystując molowe ciepło właściwe:

(5.32)

Zmianę entropii w czasie przemiany wyznacza się z zależności:

(5.33)

Przemianę izobaryczną można zrealizować nie tylko w zamkniętych zbiornikach, lecz także przy przepływie czynnika. Jeżeli czynnik przepływa z niewielką prędkością bez tarcia przewodem o stałym przekroju, to doprowadzenie lub odprowadzenie ciepła powoduje zmianę temperatury czynnika przy stałej wartości ciśnienia.

5.4. Przemiana izotermiczna

Przemiana izotermiczna jest to proces termodynamiczny przebiegający przy stałej temperaturze czynnika:

(5.34)

Równanie izotermy można uzyskać z ogólnego równania politropy dla m=1 i wtedy:

(5.35)

Dla określenia zmian stanu termodynamicznego czynnika równanie (5.35) należy zapisać w postaci:

(5.36)

Jest to prawo Boyle'a - Mariotte'a.

Przemianę izobaryczną w układzie p-v przedstawiono na rys. 5.7, a w układzie T-s na rys. 5.8.

Dla przemiany izotermicznej energia wewnętrzna i entalpia układu zależą tylko od temperatury i wobec tego są niezmienne.

Dla takich warunków równania podstawowe termodynamiki przyjmują postać:

(5.37)

(5.38)

Tak więc:

(5.39)

W przemianie izotermicznej dla układu zamkniętego pracę bezwzględną można obliczyć za pomocą równania:

(5.40)

Po scałkowaniu w granicach od v₁ do v₂ otrzymuje się:

(5.41)

W przemianie izotermicznej gazu doskonałego lub półdoskonałego energia wewnętrzna gazu nie ulega zmianie. Zgodnie z I zasadą termodynamiki ciepło pobrane równe jest pracy bezwzględnej jak również pracy technicznej:

(5.42)

W przemianie izotermicznej ciepło pobrane przez czynnik i praca mają jednakowy znak, zależny od kierunku przemiany:

• rozprężanie: L₁₂>0, Q₁₂>0,

• sprężanie: L₁₂ <0, Q₁₂<0.

W przemianie izotermicznej, mimo pobierania lub oddawania ciepła temperatura czynnika nie ulega zmianie. Można zatem stwierdzić, że ciepło właściwe czynnika jest nieskończenie wielkie.

5.5. Przemiana adiabatyczna

Przemiana adiabatyczna to proces termodynamiczny przebiegający bez wymiany ciepła z zewnętrznymi źródłami (dq = 0). Adiabata odwracalna przebiegająca bez tarcia (dq_f = 0) inaczej nazywana jest izentropą. Ponieważ dQ=Tds, warunek ten powoduje stałość entropii ds.=0, czyli s=const.

Przy rozpatrywaniu gazu doskonałego równanie izentropy zwane równaniem Poissona ma postać:

(5.43)

Wstawiając do wzoru (5.43):

otrzymuje się drugą postać izentropy:

(5.44)

Trzecią postać izentropy uzyskuje się wstawiając:

do równania (5.43)

(5.45)

Z równań (5.43), (5.44) i (5.45) można wyprowadzić parametry początkowe i końcowe czynnika termodynamicznego w przemianie izentropowej:

(5.46)

(5.47)

(5.48)

Przebieg przemiany adiabatycznej w układzie p-v i T-s zamieszczono na rys. 5.9 i 5.10.

Pracę zewnętrzną przemiany adiabatycznej wyznacza się z zależności:

(5.49)

Pracę techniczną, która jest κ razy większa, wyznacza się z równania:

(5.50)

Równanie (5.49), wykorzystując równanie stanu gazu, można zapisać również w postaci:

(5.51)

Na pytanie kosztem czego układ wykonuje pracę (skoro q=0) odpowiada podstawowe równanie termodynamiki:

(5.52)

czyli:

(5.53)

Jednocześnie:

(5.54)

czyli:

(5.55)

Uzyskane zależności wskazują, że układ może wykonać pracę zewnętrzną kosztem ubytku energii wewnętrznej. Pracę techniczną natomiast kosztem ubytku entalpii.

Zmiana energii wewnętrznej układu wynosi Δu=c_v(T₂-T₁) a zmiana entalpii Δi=c_p(T₂-T₁).

5.6. Porównanie przemian politropowych

Wszystkie omówione przemiany charakteryzują się stałością ciepła właściwego. Poszczególne przemiany politropowe opisuje wartość wykładnika m. Charakterystyki przemian politropowych zamieszczono w tabeli 5.1.

Zrealizowanie izentropy odwracalnej nie jest możliwe, gdyż w przemianach rzeczywistych występuje tarcie i dlatego rzeczywiste przemiany adiabatyczne są nieodwracalne. Im mniejsze tarcie, tym bardziej adiabata rzeczywista zbliża się do izentropy. Dlatego przyjmuje się izentropę jako przemianę porównawczą.

5.7. Przykłady i zadania

Zad. 1. Hel uległ izobarycznej przemianie odwracalnej od stanu: p₁=7 bar, t₁=17ºC, V₁=15 dm³ do stanu w którym t₂=887ºC.

Traktując hel jako gaz doskonały obliczyć:

• pracę bezwzględną przemiany,

• ilość ciepła doprowadzoną do czynnika,

• pracę techniczną,

• zmianę energii wewnętrznej.

Zad. 2. Tlen uległ przemianie izobarycznej od stanu: p=4 bary, V₁=30 dm³, t₁=15ºC do V₂=180 dm³. Traktując tlen jako gaz doskonały obliczyć:

• temperaturę tlenu po przemianie,

• pracę bezwzględną,

• ilość ciepła doprowadzonego do czynnika.

Zad. 3. 1,2 kg amoniaku NH₃ zostało izochorycznie ochłodzone od t₁=300ºC do stanu określonego parametrami p₂=0,4 bar, t₂=50ºC. Traktując amoniak jak gaz doskonały obliczyć:

• objętość czynnika,

• ciśnienie na początku przemiany,

• pracę bezwzględną przemiany,

• pracę techniczna przemiany,

• ilość ciepła odprowadzoną od czynnika,

• zmianę energii wewnętrznej.

Zad. 4. Gaz doskonały uległ przeminie izotermicznej od stanu p₁=12 bar, V₁=20 dm³ do ciśnienia p₂=1 bar. Obliczyć objętość gazu w chwilach, w których ciśnienie wynosiło:

p_a=8 bar, p_b=6 bar, p_c=5 bar, p_d=4 bar, p_e=3 bar, p_f=2 bar, i p₂=1 bar.

Obliczyć pracę bezwzględną i techniczną,

Zad. 5. Roztwór helu i azotu uległ adiabatycznej przemianie odwracalnej od stanu p₁=24 bar, V₁=10 dm³ do stanu p₂=3 bar i V₂=40 dm³. Traktując hel i azot jak gazy doskonałe obliczyć udziały objętościowe składników tego roztworu.

Zad. 6. Dwuatomowy gaz doskonały uległ odwracalnej przemianie adiabatycznej. Parametry gazu na początku przemiany: p₁=12 bar, V₁=0,1dm³, T₁=2000 K, ciśnienie na końcu przemiany miało wartość p₂=1,5 bara. Obliczyć:

• objętość i temperaturę czynnika na końcu przemiany,

• pracę bezwzględną i techniczną przemiany,

• ilość ciepła odprowadzonego od czynnika,

• objętość i temperaturę czynnika dla p_a=6 bar i p_b=3 bary,

Dla gazów dwuatomowych
.

Zad. 7. W cylindrze zamkniętym tłokiem znajduje się azot o parametrach początkowych V₁=3 m³, p₁=0,25 MPa i T₁=288 K. Wskutek doprowadzenia ciepła objętość gazu wzrosła do V₂=8 m³. Oblicz ilość ciepła pochłoniętego przez azot (gaz doskonały).

Zad. 8. 10 kmoli helu poddano przemianie izobarycznej powodując wzrost temperatury od T₁=300K do T₂=500K. Jaki był przyrost energii wewnętrznej i jaką hel wykonał pracę?

Dla gazu jednoatomowego (M_cp)=20800 J/(kmol ^.K), (M_cv)=12500 J/(kmol ^.K).

Zad. 9. W zbiorniku o objętości V=5m³ znajduje się jednoatomowy gaz doskonały o parametrach początkowych: p₁=0,15 MPa i T₁=323 K. Wskutek doprowadzenia ciepła ciśnienie gazu zwiększyło się do p₂=0,23 MPa. Oblicz ilość pochłoniętego ciepła.

Zad.10. Gaz doskonały uległ przemianie izotermicznej od stanu p₁=40 bar i V₁=2 m³. Praca techniczna przemiany wynosi L_{t 12}=7846634 J. Obliczyć końcowe ciśnienie gazu.

Zad. 11. W zamkniętym zbiorniku powietrza o objętości V=0,5m³ i parametrach początkowych p₁=1,5 MPa i T₁=363 K. Ile ciepła trzeba odebrać od powietrza, aby jego temperatura spadła do T₂=288 K.

Zad. 12. W zamkniętym zbiorniku znajduje się metan o parametrach początkowych V₁=2 m³, p₁=0,4 MPa, T₁=288 K. Wskutek doprowadzenia ciepła objętość gazu wzrosła do V₂=5 m³. Oblicz ilość ciepła pochłoniętego przez metan CH₄ (gaz doskonały).

Zad. 13. Cylinder zawiera n=10 kmoli argonu przy ciśnieniu p₁=0,7 MPa i temperaturze T₁=400 K. Argon ulega rozprężeniu do ciśnienia p₂=0,1 MPa w przemianie adiabatycznej odwracalnej. Określić pracę przemiany. Dla gazów jednoatomowych

Zad. 14. Gaz jednoatomowy o parametrach początkowych V₁=0,4 dm³, p₁=1 MPa, T₁=600 K ulega przemianie adiabatycznej. Ciśnienie końcowe gazu wynosi do p₂=1,5 bara. Obliczyć pracę techniczną i bezwzględną oraz końcowe parametry gazu.

Zad. 15. 16 kg tlenu uległo przemianie izotermicznej od p₁=6 bar, T₁=423 K. W czasie przemiany została wykonana praca techniczna L_{t 12}=600 kJ. Obliczyć końcową objętość i ciśnienie tlenu.

Zad. 16. Gaz uległa przemianie izotermicznej od V₁=2 m³. W czasie przemiany została wykonana praca techniczna L_{t 12}=0,5 MJ. Obliczyć końcową objętość i ciśnienie tlenu, jeżeli wiadomo, że podczas przemiany ciśnienie zmniejszyło się o 50%.

Zad. 17. Gaz dwuatomowy ulega kolejno przemianie izotermicznej a następnie adiabatycznej. Obliczyć całkowitą pracę bezwzględną po obu przemianach, jeżeli wiadomo, że praca bezwzględna przemiany adiabatycznej wynosi L₂₃=0,05 MJ, a ciśnienia dla tej przemiany wynoszą: p₂=0,5 MPa i p₃=2 bary, natomiast przemiana izotermiczna zachodzi przy stałej temperaturze t=300°C. Objętość początkowa gazu dla przemiany izotermicznej wynosi V₁=30 dm³.

Zad. 18. Gaz dwuatomowy ulega przemianie adiabatycznej od p₁=2MPa i V₁=0,4 m³ wykonując pracę bezwzględną L₁₂=1 MJ. Obliczyć końcową objętość gazu.

Zad. 19. Gaz doskonały ulega przemianie adiabatycznej od p₁=2,5 bara i T₁=600 K do p₂=0,1 MPa i t₁=189°C. Wyznaczyć wykładnik adiabaty.

Wskazówka:

Zad. 20. Gaz jednoatomowy ulega przemianie izochorycznej od p₁=1,5 bara i T₁=600 K. Wiedząc, że w przemianie bierze udział n=0,28 kmola gazu oraz że ciepło przemiany Q₁₂=600 kJ, obliczyć końcową temperaturę i ciśnienie gazu.

1

Tabela 1.1

Jednostki podstawowe Układu SI

Lp.	Nazwa wielkości	Nazwa jednostki	Skrót literowy
1	długość	metr	m
2	masa	kilogram	kg
3	czas	sekunda	s
4	natężenie prądu	amper	A
5	temperatura	kelwin	K
6	ilość substancji	mol	mol
7	światłość źródła światła	kandela	cd

Tabela 1.2

Jednostki uzupełniające Układu SI

Lp.	Nazwa wielkości	Nazwa jednostki	Skrót literowy
1.	kąt płaski	radian	rad
2.	kąt przestrzenny	steradian	sr

Tabela 1.3

Stosowane przedrostki i mnożniki

Przedrostek	Skrót	Liczba, przez którą mnożymy jednostkę	Przykład
atto	a	10^-18	as (attosekunda)
femto	f	10^-15	fm (femtometr)
piko	p	10^-12	pF (pikofarad)
nano	n	10^-9	nm (nanometr)
mikro		10^-6	m (mikrometr)
mili	m	10^-3	mg (miligram)
decy	d	10^-1=0,01	dm (decymetr)
centy	c	10^-2=0,01	cm (centymetr)
deka	da	10	dag (dekagram)
hekto	h	10^2=100	hl (hektolitr)
kilo	k	10^3=1000	kg (kilogram)
mega	M	10^6	MW (megawat)
giga	G	10^9	GHz (gigaherc)
tera	T	10^12	-
peta	P	10^15	-
exa	E	10^18	-
zetta	Z	10^21	-
jetta	Y	10^24	-

nadciśnienie bezwzględne

nadciśnienie

względne

podciśnienie

bezwzględne

p_p

p_a1

podciśnienie

względne

ciśnienie

linia ciśnienia barometrycznego

p_n

ciśnienie otoczenia

p_b

p_a2

próżnia p_a=0

Rys. 2.1. Rodzaje ciśnień

Tabela 2.1

Wartości ciepła właściwego w zależności od liczby atomów gazu doskonałego [2]

Liczba atomów gazu	(Mcv), J/(kmol ^. K)	(Mcp), J/(kmol ^. K)	wykładnik adiabaty κ
1	12500	20800	1,667
2	20800	29100	1,400
3 i więcej	24900	33300	1,333

Tabela 2.2

Średnie ciepło właściwe gazów przy stałym ciśnieniu w warunkach umownych [3]

Temp. t, ºC	Średnie ciepło właściwe , kJ/(um^3 ^.K)
		CH4	C2H6	H2	N2	CO2	H2O	CO	O2	powietrze	SO2
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
100	1,621	2,462	1,274	1,283	1,678	1,485	1,284	1,300	1,283	1,790
200	1,736	2,737	1,280	1,286	1,764	1,502	1,290	1,317	1,290	1,864
300	1,861	3,004	1,282	1,294	1,839	1,523	1,300	1,338	1,300	1,903
400	1,990	3,265	1,285	1,304	1,905	1,545	1,312	1,359	1,312	1,990
500	2,112	3,506	1,288	1,315	1,963	1,569	1,326	1,379	1,326	2,042
600	2,232	3,728	1,290	1,328	2,015	1,594	1,339	1,398	1,338	2,076
700	2,346	3,934	1,295	1,341	2,061	1,620	1,354	1,415	1,353	2,124
800	2,461	4,126	1,300	1,354	2,104	1,646	1,369	1,431	1,366	2,155
900	2,568	4,304	1,305	1,367	2,141	1,673	1,381	1,445	1,379	2,184
1000	2,664	4,471	1,312	1,379	2,175	1,700	1,394	1,458	1,391	2,204
1100	2,750	4,624	1,318	1,391	2,205	1,727	1,406	1,470	1,403	2,231
1200	2,826	4,762	1,326	1,402	2,234	1,753	1,417	1,481	1,414	2,248
1300	-	-	1,333	1,411	2,268	1,779	1,428	1,491	1,425	-
1400	-	-	1,341	1,421	2,283	1,804	1,438	1,500	1,436	-
1500	-	-	1,349	1,431	2,305	1,829	1,447	1,509	1,443	-
1600	-	-	1,357	1,439	3,324	1,854	1,455	1,517	1,452	-
1700	-	-	1,365	1,448	3,343	1,875	1,463	1,526	1,459	-
1800	-	-	1,373	1,455	2,360	1,896	1,470	1,534	1,467	-
1900	-	-	1,382	1,463	2,376	1,916	1,477	1,541	1,474	-
2000	-	-	1,389	1,469	2,390	1,937	1,484	1,548	1,481	-
2100	-	-	1,397	1,476	2,404	1,956	1,490	1,555	1,488	-
2200	-	-	1,404	1,482	2,417	1,975	1,496	1,562	1,494	-
2300	-	-	1,412	1,487	2,427	1,993	1,502	1,569	1,500	-
2400	-	-	1,418	1,493	2,438	2,010	1,508	1,575	1,505	-
2500	-	-	1,426	1,498	2,450	2,026	1,515	1,582	1,510	-
2600	-	-	1,433	-	-	-	-	1,588	-	-
2700	-	-	1,439	-	-	-	-	1,595	-	-

Rys. 5.1. Przebieg przemiany politropowej w układzie p-v [5]

Rys. 5.2. Przebieg przemiany politropowej w układzie T-s [5]

Rys. 5.3. Graficzny obraz przemiany izochorycznej w układzie p-v [4]

p

v

v

p₁

2

1

p₂

l_{t 12}

q

t₂

t₁

Rys. 5.4. Graficzny obraz przemiany izochorycznej w układzie T-s [5]

p

v

v₁

p

2

1

v₂

l₁₂

q

Rys. 5.5. Graficzny obraz przemiany izobarycznej w układzie p-v [4]

t₂

t₁

Rys. 5.6. Graficzny obraz przemiany izobarycznej w układzie T-s [5]

Rys. 5.7. Graficzny obraz przemiany izobarycznej w układzie p-V[4]

p

v

v₁

p₁

2

1

v₂

p₂

l₁₂

l_{t 12}

q

Rys. 5.8. Graficzny obraz przemiany izotermicznej w układzie T-s [5]

Rys. 5.9. Graficzny obraz przemiany adiabatycznej w układzie p-v [5]

Rys. 5.10. Graficzny obraz przemiany adiabatycznej w układzie T-s [5]

Tabela 5.1

Charakterystyki przemian politropowych

L.p.	Nazwa przemiany	Wykładnik rownania	Równanie politropowe	Ciepło właściwe przemiany
1	Politropa	m=m	pv^m=const
2	Izochora	m=±∞	Tp^-1=const	c=cv
3	Izobara	m=0	pv^-1=const	c=cv^.κ=cp
4	Izoterma	m=1	pv=const	c=±∞
5	Adiabata	m=κ	pv^κ=const	c=0

Rys. 4.1. Schematyczne porównanie przepływu laminarnego i turbulentnego

Tabela 4.1

Współczynnik lepkości dynamicznej oraz stała Sutherlanda niektórych gazów w warunkach umownych [1]

Lp.	Rodzaj gazu	Współczynnik lepkości dynamicznej x10^-6 Pa^.s	Cs-stała Sutherlanda
1 2 3 4 5 6 7 8 9	powietrze azot tlen CO2 CO wodór metan para wodna spaliny	17,19 16,60 19,20 13,82 16,60 8,40 10,35 8,50 10,36	122 107 138 250 102 83 198 673 173

---