Zadanie 1

Obligacja A 3-letnia o wartości nominalnej 100 zł wypłaca kupony co pół roku w wysokości P% P
(3; 6) i ma stopę rentowności R₅₂. Obligacja B 2-letnia o wartości nominalnej 100 zł wypłaca odsetki na koniec roku w wysokości rentowności R₅₂. Rentowność tej obligacji w pierwszym roku jest roczny WIBOR 6M+3%, a w drugim roku WIBOR 6M+1%. Obligacja C 2-letnia, o wartości nominalnej 100 zł, wypłaca odsetki co kwartał w wysokości R₁₃ (rentowność 13-tyg bonów skarbowych). Rentowność obligacji w pierwszym roku jest R₅₂+1%, a w drugim roku roczny R₅₂+2%.

Dla wybranych parametrów:

Podpunkt 1a) Oblicz duration portfeli P₁ i P₂ oraz podaj interpretację.

P₁ = (X_A = 0,2; X_B; X_C=05,)

P₂ = (x_A; x_B = 0,25; x_C = 0,4)

Podpunkt 1b) Która obligacja ma największą wypukłość?

Podpunkt 1c) jaka jest średnia stopa rentowności do wykupu każdej z tych obligacji?

Podpunkt 1d) skonstruować uodporniony na zmianę stopy procentowej portfel 3-elementowy, którego wartość po dwóch latach ma być 10 mln zł.

Dane:

N = 100 zł

P = 4,1%

R₁₃ = 4,28% - dane z notowania w dniu 02.01.2006

R₅₂ = 4,395% - dane z notowania w dniu 02.01.2006

WIBOR 6M = 4,46% - dane z notowania w dniu 13.01.2006

t_C

Podpunkt 1a)

Obliczam PV - wartość bieżąca przepływów pieniężnych z obligacji oraz D - durację obligacji

PV =

D =

OBLIGACJA A

N=100 zł

P=4,27% (wybrałam ze zbioru (3;6))

R_A= R₅₂ = 4,395%

t_A

YTM_A = R₅₂/2 =2,1975% ≈ 0,022

PV_A =

PV_A=

D_A =

D_A=
Duracja obligacji A wynosi 2,73 roku

OBLIGACJA B

N=100 zł

P_B =R₅₂ = 4,395%

R₁ (rentowność w 1 roku) = YTM1_B = WIBOR 6M + 3% = 7,46%

R₂ (rentowność w 2 roku) = YTM2_B = WIBOR 6M + 1% = 5,46%

t_B

PV_B =

PV_B =

D_B =

D_B =

Duracja obligacji B wynosi 1,96 roku

OBLIGACJA C

N=100 zł

P_C =R₁₃ = 4,28%

R₁ (rentowność w 1 roku) = R₅₂+ 1%

R₂ (rentowność w 2 roku) = R₅₂+ 2%

YTM1_C = (R₅₂+ 1%)/4 = 1,35%

YTM2_C = (R₅₂+ 2%)/4 = 1,60%

t_C

PV_C =

PV_C =

D_C =

D_C=

Duracja obligacji C wynosi 1,76 roku

Obliczam durację portfeli P1 i P2 według wzoru: D_P =

P₁ = (x_A = 0,2; x_B=0,3; x_C=0,5)

D_P1 = 0,2 ·2,73 + 0,3 · 1,96 + 0,5 · 1,76 = 2,013 roku

P₂ = (x_A = 0,35; x_B = 0,25; x_C = 0,4)

D_P2 = 0,35 ·2,73 + 0,25 · 1,96 + 0,4 · 1,76 = 2,14 roku

Interpretacja:

Duracja jest to okres, po upływie którego inwestor otrzymuje zwrot kapitału wraz z odsetkami. Czas trwania inwestycji. Inwestor, który ma portfel P1, otrzyma kapitał i odsetki po 2,013 roku, zaś inwestor, który ma portfel P2 otrzyma kapitał i odsetki po 2,14 roku

Podpunkt 1b)

Obliczam wypukłość (convexity) poszczególnych obligacji:

Obligacja A

C_A =

C_A = 5,173 (lat)

Obligacja B

YTM_średni =
= 6,46%

C_B =

C_B = 2,57(lat)

Obligacja C

YTM_średni =
= 5,895%

C_C=

C_C = 2,28(lat)

Odpowiedź:

Największą wypukłość ma obligacja A, 5,173 (lat)

Podpunkt 1c)

Średnia stopa do wykupu obligacji, to Yield To Maturity (YTM)

Dla obligacji A: YTM wynosi R₅₂ = 4,395%

Dla obligacji B:

R₁ (rentowność w 1 roku) = WIBOR 6M + 3% = 7,46%

R₂ (rentowność w 2 roku) = WIBOR 6M + 1% = 5,46%

YTM =
-1

YTM = 6,455%

Dla obligacji C:

R₁ (rentowność w 1 roku) = R₅₂+ 1% = 5,395%

R₂ (rentowność w 2 roku) = R₅₂+ 2% = 6,395%

YTM =
-1

YTM = 5,894%

Podpunkt 1d)

Uodpornienie portfela na zmiany stóp procentowych.

Konstrukcja portfela uodpornionego na zmianę stóp YTM oraz osiągnięcie określonej wartości portfela (10mln) w danym okresie - 2 lata.

Portfel:

(2 lata - horyzont czasowy)

Niech
= a

Wybieram niski udział obligacji A w portfelu, ponieważ obligacja A ma największą durację, czyli obarczona jest też wyższym ryzykiem zmiany stopy procentowej.

=a

= 1- a -

Po przekształceniach otrzymujemy:

=a >= 0

=3,9016 - a >=0

= 1,2131-4,9016a >= 0

Z czego wynika, że:

a>=0

a<=1,28

a>=1,35,

To oznacza, że a=
=0, po podstawieniu tego do układu równań otrzymujemy, że

=0

= 6,28

= 0

Oznacza to, że portfel uodporniony na zmiany stopy procentowej, składa się tylko z obligacji B, której udział w portfelu wynosi 1

Zadanie 2

Dane są tygodniowe stopy zwrotu, wariancje stóp zwrotu i korelacje między stopami zwrotu następujących akcji:

r δ²

A 0,7 δ²_A
AB = 0,1

B 0,9 δ²_B
AC = - 0,2

C 0,3 2,25
_AE = - 0,15

D r_D 1,6
_BE = 0,2

E r_E δ²_E

Dla wybranych parametrów:

Podpunkt 2a) Który z portfeli P_R i P_K portfel jest bardziej zyskowny, a który bardzie ryzykowny?

P_R = (x_A = 0,6; x_B = 0,2; x_C)

P_K = (x_C = 0,3; x_D; x_E = 0,3)

Podpunkt 2b) Wyznaczyć jeden portfel dwuelementowy, który przy określonym minimalnym zysku ma najmniejsze ryzyko?

Podpunkt 2c) Wyznaczyć portfel mieszany złożony z 3 wybranych akcji i jednotygodniowych instrumentów finansowych bezpiecznych o rentowności r₅₂. Inwestor na zakup takiego portfela przeznacza 2 mln zł, w tym na część ryzykowną X%, X
(30; 60).

Dane:

Tablica 1.

	r (tygodniowe)	s2	s		Kor
A	0,70%	1,21%	0,11	Kor AB	0,1
B	0,90%	2,25%	0,15	Kor AC	-0,2
C	0,30%	1,60%	0,126491	Kor AE	-0,15
D	0,24%	1,96%	0,14	Kor BE	0,2
E	0,51%	1,69%	0,13	Kor DE	0,3
instr wolny od ryzyka	16,000%			Kor BC	0,33
	0,31%			Kor CD	0,05
				Kor CE	0,16
				Kor BD	-0,16
				Kor AD	-0,015

Tablica 2.

		Udział w portfelu (wektor w)
Portfel 1	A	0,6
	B	0,2
	C	0,3
Portfel 2	C	0,3
	D	0,4
	E	0,3

Podpunkt 2a)

Wyznaczam, który portfel jest bardziej ryzykowny, a który bardziej zyskowny:

1. Obliczam kowariancje poszczególnych elementów macierzy VCV, korzystając ze wzoru:

Na przekątnej macierzy VCV znajdują się wariancje stóp zwrotu poszczególnych akcji.

2. Macierz VCV dla portfela 1 wygląda następująco:

	A	B	C
A	1,21	0,165	-0,2783
B	0,165	2,25	0,626175
C	-0,2783	0,626175	1,6

3. Obliczam ze wzoru w^TVCVw (gdzie w - wektor udziałów akcji w portfelu 1) ryzyko portfela mierzone wariancją:

Wariancja dla portfela 1 wynosi: 0,68415

4. Macierz VCV dla portfela 2 wygląda następująco:

	C	D	E
C	1,6	0,08855	0,26312
D	0,08855	1,96	0,546
E	0,26312	0,546	1,69

A wariancja dla portfela 2 wynosi: 0,80935

5. W związku z obliczeniami w powyższych punktach, stwierdzam, że portfelem bardziej ryzykownym jest portfel 2, ponieważ ma wyższą wariancję równą 0,80935.

6. Obliczam stopę zwrotu dla każdego z portfeli:

,

gdzie dla portfela 1:

0,6

0,2

0,3

0,007

0,009

0,003

= 0,0069

0,3

0,4

0,3

0,003

0,0024

0,0051

= 0,00339

Z tego wynika, że wyższą stopę zwrotu ma portfel 1, więc jest bardziej zyskowny.

Wniosek:

Portfel 1 jest bardziej zyskowny i jednocześnie mniej ryzykowny niż portfel 2.

Podpunkt 2b)

1. Wyznaczam portfel 2-elementowy, który przy określonym minimalnym zysku ma najmniejsze ryzyko.

2. Minimalny poziom zysku (roczną stopę zwrotu portfela) określam na 41,44%, co tygodniowo daje 41,44%/52 = 0,797%

Portfel będzie się składał z akcji A i B.

3. Korzystam z metody mnożników Lagrane'a. Tworzę macierz D, w której na przekątnej znajdują się:

d_ii=2s_i², d_ij=2s_is_jρ_ij, d_i,n+1=d_n+1,1=1, d_i,n+2=d_n+2,i=R_i,

d_n+1,n+1=d_n+1,n+2=d_n+2,n+1=d_n+1,n+2=0

Macierz D

	A	B
A	0,024	0,003	1	0,007
B	0,003	0,045	1	0,009
	1	1	0	0
	0,007	0,009	0	0,000

4. Wyznaczam macierz do niej odwrotną:

	A	B
A	0,00	0,00	4,5	-500
B	0,00	0,00	-3,5	500
	4,5	-3,5	-0,93735	120
	-500	500	120	-15650

5. Korzystając ze wzoru: w=D^-1I₀ obliczam wektor udziałów.

Wektor I₀ ma postać:

0

0

1

0,00797

gdzie ostatnim elementem jest określona przeze mnie minimalną tygodniową stopą zwrotu portfela.

6. Po obliczeniach wektor w ma postać:

0,515208333

0,484791667

0,019

-4,723979167

gdzie 0,515208333, to udział akcji A, a 0,484791667, to udział akcji B w portfelu o założonym minimalnym zysku rocznym 41,44%

Podpunkt 2c)

1. Wyznaczam portfel mieszany składający się z trzech akcji B, D i E oraz z instrumentów wolnych od ryzyka o rentowności rocznej 16%.

Na zakup portfela przeznaczam 2 mln zł, w tym na część ryzykowną: 56% wartości portfela.

2. Zakładam, że poszczególne udziały akcji w portfelu wynoszą odpowiednio po 14%. Wektor udziałów ma więc następująca postać:

B	0,14
D	0,14
E	0,14
Instr. wolny od ryzyka	0,44

3. Wyznaczam macierz VCV dla portfela o powyższych udziałach:

	B	D	E	instr
B	0,02	-0,00336	0,0039	0
D	-0,00336	0,02	0,00546	0
E	0,0039	0,00546	0,02	0
instr	0	0	0	0

4. Korzystając ze wzoru w^TVCV obliczam ryzyko portfela mierzone wariancją. Wynosi ono: 0,13916%

5. Obliczam stopę zwrotu portfela, korzystając ze wzoru:

gdzie:

0,14

0,14

0,14

0,44

0,0090

0,0024

0,0051

0,0031

Zakładam, że roczna stopa zwrotu instrumentu wolnego od ryzyka wynosi 16%, co daje tygodniowo 0,31%

Z obliczeń wynika, że tygodniowa stopa zwrotu portfela wynosi:

= 3,664%

6. Określam ceny akcji B, C i E:

= 110 zł

= 115 zł

= 120 zł

Inwestor przeznaczył 56% z 2mln zł na zakup akcji, co daje kwotę 1.120.000 zł. To oznacza, że na każdy rodzaj akcji przeznaczył około 373.333,33 zł.

Inwestor kupił następujące ilości jednostek poszczególnych akcji:

B: 373333,33/110 = 3394

D: 373333,33/115 = 3246

E: 373333,33/120 = 3111

2

---