10. FALE, ELEMENTY TERMODYNAMIKI I HYDRODY-NAMIKI.

10.9. Podstawy termodynamiki i praw gazowych.

Podstawowe pojęcia

Gaz doskonały: - cząsteczki są punktami materialnymi,

• nie oddziałują ze sobą siłami międzycząsteczkowymi,

• poruszają się ruchem jednostajnym, prostoliniowym,

• zderzenia ich są idealnie sprężyste.

Symbolika: - M - masa cząsteczki gazu,

• m - masa wszystkich cząsteczek gazu w naczyniu,

• μ - masa molowa,

• N - liczba cząsteczek gazu

• n - liczba moli gazu,

• N_A - liczba Avogadro (N = n⋅ N_A)

Stopnie swobody:

cząsteczka jednoatomowa cząsteczka dwuatomowa

i = 3 i = 5

Temperatura bezwzględna gazu jest wprost proporcjonalna do średniej energii kinetycznej ruchu postępowego cząsteczek gazu:

gdzie k - stała Boltzmana

Zasada ekwipartycji energii.

W stanie równowagi termodynamicznej, na każdy stopień swobody cząsteczki przypada przeciętnie taka sama energia kinetyczna E_k = ½ kT (niezależnie od ilości stopni swobody).

Cząsteczka 1 - atomowa:

2 - atomowa:

wieloatomowe:

Równanie stanu gazu doskonałego.

Z teorii kinetyczno-molekularnej gazu wynika, że o ciśnieniu gazu zawartego w naczyniu decyduje:

skoro
więc

a więc dla stałej masy gazu

Dla n - moli gazu jednoatomowego
gdzie R - stała gazowa (R = 8,31
)

Skoro
równanie stanu gazu zapisujemy:
jest to równanie Clapeyrona.

Energia wewnętrzna i praca.

Energia wewnętrzna - suma wszystkich rodzajów energii, wszystkich cząsteczek danego ciała. W procesach termodynamicznych zmianie może ulegać tylko suma energii kinetycznych (i ew. potencjalnych) cząsteczek gazów.

Dla gazu doskonałego energia wewnętrzna

czyli dla gazu jednoatomowego

Zmiana energii wewnętrznej gazu jest równa
co oznacza, że jest ona jednoznacznie związana ze zmiana temperatury gazu.

Obliczamy pracę siły zewnętrznej przy sprężaniu gazu tłokiem o powierzchni S.

korzystając z definicji ciśnienia

F = p⋅ S oraz S⋅ dr = dV

otrzymujemy

Zał.: Δr na tyle małe, że p ≈ const wówczas praca wykonana przez siłę zewnętrzną

Skoro przy sprężaniu ΔV= - ΔV więc W = -p⋅ ΔV > 0

Praca wykonana przez gaz W_gazu =-p⋅ ΔV

I zasada termodynamiki.

Ciepło dostarczone do układu jest zużywane na: zwiększenie energii wewnętrznej gazu i wykonanie przez układ pracy przeciw siłom zewnętrznym.

ΔQ = ΔU + ΔW ⇔ dU = dQ - dW

Najczęściej energia wewnętrzna układu zmienia się równocześnie przez wykonanie pracy i przekazanie do układu ciepła: ΔU = Q + W

W przemianach termodynamicznych zmiana energii wewnętrznej ΔU zależy wyłącznie od tego jaki jest stan początkowy i końcowy układu.

Przemiany gazowe.

1. Przemiana izotermiczna.

T = const

p₁V₁ = p₂V₂

၄U = 0 więc W = -Q

Rozprężanie izotermiczne: ၄V > 0 ⇒ W < 0 ⇒ Q > 0 - gaz pobiera ciepło z otoczenia i jego kosztem wykonuje pracę.

Sprężanie izotermiczne: ၄V < 0 ⇒ W > 0 ⇒ Q < 0 - siła zewnętrzna wykonuje pracę i gaz oddaje otoczeniu ciepło (o wartości równej wykonanej pracy).

2. 
   Przemiana izochoryczna.

V = const

၄V = 0 პ W = 0 პ ၄U = Q

Ogrzewanie izochoryczne: ၄T > 0 პ ၄U > 0 პ

Q > 0 - energia wewnętrzna gazu wzrasta kosztem pobranego ciepła.

Oziębianie izochoryczne: ၄T < 0 პ ၄U < 0 პ

Q < 0 - energia wewnętrzna gazu maleje o tyle, ile gaz oddał ciepła do otoczenia.

3. Przemiana izobaryczna.

p = const

W = p⋅၄V

Ogrzewanie izobaryczne: ၄T > 0 პ ၄V > 0 პ W < 0

• Q > 0

• ၄U > 0 czyli ၄U = Q - W

czyli gaz pobiera ciepło z otoczenia, część tego ciepła zostaje zamieniona na pracę, a część zużyta na wzrost energii wewnętrznej gazu.

Oziębianie izobaryczne: ၄T < 0 პ ၄V < 0 პ W > 0

• Q < 0

• ၄U < 0 czyli ၄U = W - Q

czyli gaz oddaje ciepło do otoczenia, a energia wewnętrzna gazu maleje.

4. Przemiana adiabatyczna.

Brak wymiany ciepła z otoczeniem, tzn. Q = 0 პ ၄U = W.

Zmianie ulegają wszystkie parametry gazu. Opisana jest równaniem Poissona:

gdzie
(C_p, C_V to ciepła molowe w stałym ciśnieniu i objętości).

Podczas np. rozprężania adiabatycznego gaz wykonuje pracę kosztem swojej energii wewnętrznej.

W przypadku gazów, ciepło właściwe zależy nie tylko od rodzaju gazu, ale i od tego w jakim procesie ciepło jest wymieniane z otoczeniem. Inną ilość ciepła należy dostarczyć podczas ogrzewania izochorycznego, a inną podczas izobarycznego:

Gdy V = const p = const

Q_V= c_vm၄T = C_V ⋅ n၄T Q_p= c_pm၄T = C_p ⋅ n၄T

gdzie C_V = μ⋅ c_v gdzie C_p = μ⋅ c_p

Q_V = ၄U (bo W = 0) Q_p = ၄U - W = ၄U + p ၄V

obu przypadkach energia wewnętrzna gazu wzrasta o tyle samo, bo ၄T są jednakowe

a więc Q_p = Q_V + p ၄V

Z równania Clapeyrona mamy p ၄V = nR ၄T

a zatem Q_p = Q_V + nR ၄T

Podstawiając odpowiednio za Q_V i Q_p otrzymujemy C_p ⋅ n၄T = C_V ⋅ n၄T + nR ၄T

stąd C_p = C_V + R

---