UWAGA! KONWENCJE ZAPISU:

alfa, beta = α, β

x1, x2, xk = x₁, x₂, x_k

tk, bk, dk, t alfa = t_k, b_k, d_k, t_α

| t3 | = wartość bezwzględna z t₃

ln = logarytm naturalny

EKONOMETRIA - 9 lutego 2008

Imię i nazwisko ..................................................................... Pkty............. Ocena ................

Zad. 1. Przypuszcza się, że liczba osób zwiedzających Międzynarodowe Targi Poznańskie (Y w tys.) zależy od: powierzchni wystawowej (X₁ w tys. m²), liczby wystawców (X₂ w tys.), indeksu zmiany przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia (X₃, rok 1991 = 100) oraz liczby miejsc noclegowych w Poznaniu (X₄). Na podstawie zebranych danych oszacowano model z potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi i otrzymano m.in. następujące wyniki:

ANALIZA WARIANCJI
	df	SS
Regresja	4	164181,4
Resztkowy	7
Razem	11	167131,9

	Współczynniki	Błąd standardowy	Wartość-p
Przecięcie	-507,6	103,395	0,002
POW -1	0,32	0,205	0,159
WYST -2	79,1	10,381	0,000
WYNAGR -3	-0,82	0,862	0,371
NOCLEGI -4	0,12	0,011	0,000

1. Napisz równanie modelu teoretycznego

Y^ = 0,32x₁ + 79,1x₂ - 0,82x₃ + 0,12x₄ - 507,6

2. Oceń dobroć dopasowania tego modelu do obserwacji.

R² = RSK / OSK = 164181,4 / 167131,9 = 0,98.

R² >= 0,9 a nawet jest bliski 1 -> a więc Model jest bardzo dobrze dopasowany. Zmienne xk w 98% wyjaśniają zmienność liczby odwiedzających targi.

3. Podaj wartość i interpretację odchylenia standardowego składnika losowego.

s = pierwiastek (SKR / (T-K)) = pierwiastek (2950,4 / 7) = 20,530 [tys. osób].

Rzeczywista liczba osób zwiedzających targi na skutek składnika losowego różni się od liczby zwiedzających z oszacowanego modelu średnio o 20530 osób.

SKR = OSK - RSK = 167131,9 - 164181,4 = 2950,4.

T-K = 7 [z pierwszej tabeli >> df Resztkowy]

4. Czy przy poziomie istotności α = 0.05 uznać możemy, że zmienne objaśniające występujące w modelu mają istotny wpływ na liczbę osób zwiedzających MTP? Odpowiedź uzasadnij.

H₀: beta k = 0

H₁: beta k <> 0

gdy | tk | > t alfa, to zmienna xk jest istotna:

tk = bk / dk

t alfa odczytujemy z tablic / Excela lub stosujemy bez tablic zasadę mnemotechniczną „Doroty”:

gdy |tk|>3 zmienna xk jest istotna

gdy |tk|<2 zmienna xk jest NIEistotna

gdy 2<|tk|<3 to musimy użyć tablic/Excela

t1 = b1 / d1 = 0,32 / 0,205 = 1,56, więc | t1 | < 2, więc bez tablic rozkładu (dla α = 0.05) zmienna x1 jest NIEistotna.

| t2 | = 7,62, >3, więc bez tablic rozkładu (dla α = 0.05) zmienna x2 jest istotna (możemy odrzucić H0 na rzecz hipotezy alternatywnej)

| t3 | = 0,95, <2, więc bez tablic rozkładu (dla α = 0.05) zmienna x3 jest NIEistotna

| t4 | = 10,91, >3, więc bez tablic rozkładu (dla α = 0.05) zmienna x4 jest istotna

Dodatkowo potwierdza to podana w drugiej tabeli „Wartość-p” - empiryczny poziom istotności - ustalone na podstawie obserwacji prawdopodobieństwo tego, że dana zmienna jest nieistotna w modelu.

Gdy p < alfa, to zmienna jest istotna.

W zadaniu dla x₂ [WYST] i x₄ [NOCLEGI]: p=0,000, a 0,000 < 0,05, więc x₂ i x₄ są istotne.

Natomiast dla x₁ i x₃: p > alfa, więc zmienne x₁ i x₃ są NIEistotne.

Zad. 2. Postanowiono skonstruować trend wykładniczy, opisujący zmiany rozmiarów sprzedaży pewnego kosmetyku (w tys. opakowań) w latach 1993 - 2000. Na podstawie zebranych danych statystycznych oszacowano parametry liniowego modelu pomocniczego i otrzymano równanie:

ln Y = 2.1761 - 0.043*t (dla t = 1, 2, ..., 6).

1. Model oryginalny po oszacowaniu ma postać

Y=beta0 * e^beta1*t / logarytmujemy (ln) obie strony równania

ln Y = ln beta0 + beta1*t * ln e

ln e = 1

beta1*t = - 0,043*t

ln beta0 = beta0* = 2,1761

beta0 = e^beta0* = e^2,1761 = 8,812

Y^ = 8,812 * e^-0,043*t

2. Liczba -0.043 informuje nas o tym, że

wzrost „t“ o 1 (w kolejnym okresie) spowoduje zmianę rozmiarów sprzedaży o beta1 * 100% = -4,3%.

Parametr ten nazywamy stałą stopą wzrostu Y ze względu na zmienną t stojącą przy tym parametrze.

3. Na podstawie modelu ustal, jakiej należy się spodziewać zmiany wielkości sprzedaży kosmetyku w roku 2001 w stosunku do roku 2000

t = 6 (2000 r.)

t = 7 (2001 r.)

Zmianę obliczymy jako różnicę wielkości sprzedaży:

Y*(7) - Y*(6) = (8,812 * e^-0,043*7) - (8,812 * e^-0,043*6) = 6,521 - 6,808 = - 0,287 [tys. opakowań]

Prognozujemy, że w 2001 roku sprzedaż spadnie o 287 szt. kosmetyku w porównaniu do roku 2000.

Zad. 3. Postanowiono skonstruować model, w którym wartość produkcji (Y - w tys. zł) w kolejnych latach zależy od wielkości zatrudnienia (X₁) i wartości zainstalowanych maszyn (X₂). Przyjęto hipotezę, że model ten ma postać:

.

Zebrano odpowiednie obserwacje i oszacowano parametry pomocniczego modelu liniowego otrzymując równanie:

W = 2 + 0.40 Z₁ + 0.70 Z₂

1. Przedstaw sposób postępowania przy tworzeniu pomocniczego modelu liniowego:

Y = beta0 * X₁^beta1 * X₂^beta2 / logarytmujemy (ln) obie strony równania

ln Y = ln beta0 + beta1 * ln X₁ + beta2 * ln X₂

ln Y = W

ln X₁ = Z₁ [wprowadzamy zmienne pomocnicze]

ln X₂ = Z₂

W = ln beta0 + beta1 * Z₁ + beta2 * Z₂

W = 2 + 0.40 Z₁ + 0.70 Z₂

2 = ln beta0

beta0 = e² = 7,389

2. Model oryginalny po oszacowaniu ma postać:

Y^ = 7,389 * X₁^0,4 * X₂^0,7

3. O ile zmieni się łącznie wartość produkcji, jeżeli zatrudnienie spadnie o 2%, a wartość zainstalowanych maszyn wzrośnie o 3%?

W następnym okresie (t+1):

zmienna X₁ dla t+1: 0,98 X₁ (zatrudnienie spadnie o 2%);

zmienna X₂ dla t+1: 1,03 X₂ (wartość zainstalowanych maszyn wzrośnie o 3%)

Y* = 7,389 * (0,98*X₁)^0,4 * (1,03*X₂)^0,7 = 7,389 * 1,013 * X₁^0,4 * X₂^0,7 = 1,013 * (7,389 * X₁^0,4 * X₂^0,7)

1,013 = wzrost o 0,013 (+ 1,3 %)

Przy założeniu, że zatrudnienie spadnie o 2%, a wartość zainstalowanych maszyn wzrośnie o 3%, to prognozujemy, że łączna wartość produkcji wzrośnie o 1,3 %.

Zad. 4. Komenda Główna Straży Pożarnej postanowiła skonstruować model opisujący zmiany powierzchni pożarów lasów, by na jego podstawie prognozować zapotrzebowanie na wozy strażackie. W oparciu o zabrane dane kwartalne oszacowano trend liniowy i otrzymano równanie:

oraz
.

1. Ile wynosi i o czym informuje współczynnik kierunkowy oszacowanego trendu?

Współczynnik kierunkowy = 77,53 [uwaga wsp. kier. jest przy t - należy zwracać uwagę jak jest zapisane równanie modelu!]

Informuje on o tym, że w okresie większym o 1 (w kolejnym okresie) powierzchnia pożarów lasów zwiększy się o 77,53 [jednostek powierzchni].

2. Oceń dobroć dopasowania tego trendu do obserwacji

R² = 0,04 (< 0,9), czyli wyznaczony model trendu jest słabo dopasowany do obserwacji.

3. Aby poprawić jakość modelu postanowiono trend uzupełnić o względne wskaźniki sezonowości. Odpowiednie obliczenia przeprowadzano w poniższej tabelce. Niestety niektóre liczby „zniknęły”. Uzupełnij je:

ROK	Kwartał	Sprzedaż	t	trend	reszty_wzgl	Dla poszczególnych pór roku oblicz surowe względne wskaźniki sezonowości (oczyszczone z wpływu wahań przypadkowych) Szima = 0,802 [(1,590+0,581+0,736+0,302) / 4] Swiosna = 2,133 Slato = 0,738 Sjesień = 0,062
1997	Zima	2008	1	podstawiamy do równania trendu, dla t = 1: 1185,64+77,53*1= 1263,17	Sprzedaż / trend 2008 / 1263,17 = 1,590
	Wiosna	3351	2	1340,7	2,499
	Lato	691	3	1418,24	0,487
	Jesień	116	4	1495,77	0,078
1998	Zima	914	5	1573,31	0,581
	Wiosna	2779	6	1650,84	1,683
	Lato	848	7	1728,38	0,491
	Jesień	123	8	1805,88	0,068
1999	Zima	1386	9	1883,41	0,736
	Wiosna	3911	10	1960,98	1,994
	Lato	2520	11	2038,51	1,236
	Jesień	83	12	2116,05	0,039
2000	Zima	662	13	2193,58	0,302
	Wiosna	5348	14	2271,11	2,355

5. Jeżeli obliczone wskaźniki wymagają korekty, to jej dokonaj:

ΣS_i = 0,802+2,133+0,738+0,062 = 3,735. Suma ta nie jest równa N=4, więc wskaźniki S_i wymagają korekty:

wk = ΣS_i / N = 3,735 / 4 = 0,934

Wskaźniki skorygowane:

S_zima = 0,802/0,934=0,859 S_wiosna = 2,133/0,934=2,285 S_lato = 0,790 S_jesień = 0,066

6. Podaj interpretację skorygowanego względnego wskaźnika sezonowości dla lata:

S`_lato = 0,790

Latem rzeczywista ilość {zmiennej Y} jest średnio o: (S`_lato - 1) * 100 % = 21% mniejsza niż to wynika z równania trendu.

7. Wyjaśnij, kiedy uzasadnione jest opisywanie i prognozowanie szeregu czasowego za pomocą modelu multiplikatywnego i względnych wskaźników sezonowości

Model multiplikatywny stosujemy dla zjawisk, w których występują następujące sytuacje:

*przy trendzie rosnącym rośnie amplituda wahań;

*przy trendzie malejącym maleje amplituda wahań.

Zad. 5. Postanowiono skonstruować trend, opisujący zmiany liczby kin (w tys.) w pewnym województwie w latach 1992 - 2006. Rozważano dwie alternatywne postacie modelu: globalny trend liniowy, którego oszacowanie przedstawia wydruk (1) oraz liniowy trend segmentowy (punkt zwrotny t* = 8 dla roku 1999), którego oszacowanie przedstawia wydruk (2).

Wydruk (1) - model globalny
	df	SS	MS	F
Regresja	1	3628,8	3628,8	67,68854
Resztkowy	13	696,9333	53,61026
Razem	14	4325,733
	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p
Przecięcie	199,333	3,978	50,104	2,92E-16
t	3,600	0,438	8,227	1,64E-06

1. Model globalny ma postać:

Y^ = 3,6 t + 199,333

2. Współczynnik R² dla modelu globalnego przyjmuje wartość 3628,8 / 4325,733 = 0,83, co oznacza, że

zbudowany model jest dość dobrze dopasowany do obserwacji.

Zmienność liczby kin jest w 83% wyjaśniona przez powyższy model.

3. Czy przyjmując poziom istotności α = 0,01 zmiany liczby kin w modelu globalnym uznać należy za istotne? Odpowiedź uzasadnij.

p [z tabeli „Wartość-p” dla t] = 1,64E-06

1,64E-06 < 0,01

Przy prawdopodobieństwie 99% należy uznać zmiany liczby kin w modelu globalnym za istotne, gdyż empiryczny poziom istotności p < α.

Wydruk (2) - model segmentowy

	df	SS	MS	F
Regresja	4	3906,269	976,5673	25,60943
Resztkowy	11	419,4643	38,13312
Razem	15	4325,733
	Współczynniki	Błąd standard	t Stat	Wartość-p
Przecięcie	0	#N/D!	#N/D!	#N/D!
t1	4,893	1,167	4,193	0,001504
Z1	196,429	5,219	37,637	5,63E-13
t2	5,571	0,953	5,847	0,000111
Z2	174,679	11,173	15,634	7,37E-09

4. Model segmentowy przedstawiający zmiany liczby kin w badanym okresie ma postać:

nie mieliśmy modelu segmentowego

5. Współczynnik kierunkowy dla pierwszego segmentu ma wartość i informuje, że

nie mieliśmy modelu segmentowego

6. Przyjmując poziom istotności = 0.05 sprawdź, czy rok 1998 może być uznany za istotny punkt zwrotny badanej tendencji rozwojowej:

nie mieliśmy modelu segmentowego

F = F ( = 0.05, K = , v = ) = 3,98

Wniosek:

Zad. 6. Postanowiono skonstruować model opisujący kształtowanie sprzedaży pewnego kosmetyku (zmienna Y). Jako potencjalne zmienne objaśniające przyjęto cenę kosmetyku (X₁) oraz przeciętne dochody w sektorze uspołecznionym (X₂). Poniższa tabelka przedstawia wartości współczynników korelacji między tymi trzema zmiennymi.

	Sprzedaż	Cena
Cena	-0,7
Dochody	0,9	-0,8

1. Wypisz kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających, które można utworzyć z rozważanych zmiennych objaśniających i oblicz integralną pojemność informacyjną każdej z nich.

???

2. Która z rozważanych kombinacji zmiennych jest optymalna?

???

1

4

IiE_zaoczne

---