5. Ruch w korytach otwartych

1. Geometria koryt otwartych

Rys. 27

1. Przekrój poprzeczny koryta cieku

Przekrój czynny koryta jest to wypełniona wodą część przekroju poprzecznego zawarta pomiędzy powierzchnią zwierciadła a dnem i brzegami koryta.

Jest to zatem przekrój strumienia przepływu.

Przekrój poprzeczny koryta naturalnego jest opisywany za pomocą dwóch współrzędnych: głębokości h i szerokości B. Zgodnie
z przebiegiem sondowań przekrój zostaje podzielony na ciąg trapezowych pasów (rys. 23). Wymiary każdego z nich są jednoznacznie opisane dwiema głębokościami h_i i h_i+1 oraz szerokością pasa B_i. Trapezy skrajne są zazwyczaj trójkątami (h₁ = 0).

Przekrój trapezowy: koryta sztuczne mają zwykle prostszy kształt, najczęściej trapezu (rys. 23). Opisywane są trzema wielkościami: szerokością
w dnie b, głębokością h i nachyleniem skarp m = ctg  . Szerokość skarpy
w planie wynosi h m . Szczególnym przypadkiem jest koryto trójkątne (b = 0)
i prostokątne (m = 0).

Powierzchnia przekroju koryta

- naturalnego:

,

- trapezowego:

A = b h + m h² .

Obwód zwilżony jest to ta część obwodu przekroju poprzecznego, na którym występuje wymiana pędu
z otoczeniem.

Na powierzchni obwodu zwilżonego występuje tarcie, w wyniku którego lokalna prędkość wyraźnie spada. Ma to miejsce przede wszystkim na dnie i ścianach koryta, gdzie prędkość spada do zera. Natomiast nie wlicza się do obwodu szerokości swobodnego zwierciadła B.

Wartość obwodu zwilżonego oblicza się wzorami:

- w korycie naturalnym:

,

- w korycie trapezowym:

.

Koryto pryzmatyczne to takie, w którym zmienia się jedynie napełnienie h, natomiast geometria dna (szerokość
i nachylenie skarp) pozostaje stała.

Koryto cylindryczne to takie, którego przekrój daje się opisać funkcją ciągłą.

Przykładem takiego koryta jest koryto o przekroju kołowym lub parabolicznym.

2. Profil podłużny koryta

Spadek dna koryta S_o obliczany jest na podstawie najniższych rzędnych dna z w dwóch przekrojach poprzecznych (1 i 2), położonych
w odległości l mierzonej wzdłuż nurtu cieku według wzoru (rys. 28):

.

Spadek dna nie zależy od napełnienia, a jedynie od topografii dna i zwłaszcza na dłuższych odcinkach (l ) zmienia się bardzo wolno (w geologicznej skali czasu).

Spadek zwierciadła S obliczany jest na podstawie rzędnych H zwierciadła w przekrojach:

.

Spadek hydrauliczny S_f , inaczej spadek tarcia, jest równy spadkowi linii energii:

.

W praktyce, ze względu na niewielką zmienność prędkości w ciekach, spadek hydrauliczny jest równy spadkowi zwierciadła.

Rys. 28

Wartości spadków podaje się w promilach [* = m/km] lub w procentach [%]. Dla potoków górskich mogą one wynosić nawet kilkanaście procent, dla rzek nizinnych zwykle dziesiąte części promila. Z tego względu odległość przekrojów ( l ) można mierzyć w planie, co pozwala wyznaczać ją na podstawie mapy.

2. Straty energii w cieku

Reżim ruchu w ciekach ma z reguły charakter turbulentny i wielkość strat energii jest proporcjonalna do kwadratu prędkości średniej.

1. Straty na długości cieku

Obliczenia strat prowadzi się zwykle na jednostkę długości cieku, a więc określany jest spadek hydrauliczny S_f .

Wzór Manninga określa lokalną zależność prędkości średniej od strat na długości przy dowolnym przepływie ze swobodnym zwierciadłem:

.

gdzie: R - promień hydrauliczny [m];

spadek S_f podaje się w wartościach bezwymiarowych.

Promień hydrauliczny R określany jest na ogólnych zasadach (rozdz. 3.2.3) i w płytkich, a szerokich ciekach odpowiada on głębokości średniej:

(dla b → ∞) ,

nigdy tej wielkości nie przekraczając. W rzeczywistości, przy praktycznie występujących proporcjach wymiarów koryt cieków, promień hydrauliczny spełnia warunki:

.

Współczynnik szorstkości n jest parametrem empirycznym zależnym od charakteru powierzchni dna. Przybiera wartości od 0.009 (powierzchnia szklista) poprzez 0.014 dla kanałów betonowych, 0.025 dla ziemnych, 0.040 dla rzek aż do 0.20 [s/m^1/3] dla powierzchni porośniętej krzewami.

Rys. 29

Uśrednianie współczynnika szorstkości. W przypadku gdy dno cieku nie ma jednolitego charakteru i w danym przekroju występują jego fragmenty o różnej szorstkości, współczynnik szorstkości obliczany jest jako średnia ważona. Rolę wagi pełni długość obwodu zwilżonego odpowiadająca danej szorstkości (rys. 29):

.

Wzór Darcy'ego-Weissbacha

W dokładniejszych obliczeniach uwzględniających przepływy na terasach porośniętych wysoką roślinnością stosowane jest tzw. uniwersalne prawo przepływu oparte na wzorze Darcy'ego-Weissbacha (rozdział 4.2.3):

,

gdzie współczynnik tarcia  dla koryt nie porośniętych określa się ze wzoru Prandtla-Nikuradse'go (rozdz. 4.2.3):

.

Chropowatość bezwzględna k przyjmuje wartości od 1 [mm] dla dna piaszczystego do 30 [cm] dla kamienistego.

2. Straty lokalne w korycie cieku

Przy przepływie ze swobodnym zwierciadłem duże przeszkody powodują zmiany kształtu powierzchni wody. W efekcie pojawiają się zmiany głębokości
i prędkości ruchu i związane z nimi lokalne straty energii. Teoria obliczeń jest bardziej rozbudowana niż w przypadku strat lokalnych w rurociągach i nosi nazwę hydrauliki budowli wodnych (rozdział 6).

3. Ruch jednostajny W korytach otwartych

1. Głębokość i prędkość normalna

Zgodnie z definicją ruchu jednostajnego ustalonego (rozdział 3.2.1) średnia prędkość przepływu w korycie nie zmienia się w czasie ani na długości cieku. Warunkiem zaistnienia takiego przepływu jest pryzmatyczny charakter koryta.
W praktyce przyjmuje się, że przekroje są mało zmienne, spadek dna i szorstkość koryta stałe, a krzywizny osi strumienia niewielkie. Z ustalonego charakteru ruchu wynika stałość przepływu (rozdział 3.3.2), a stąd stałość przekroju czynnego
i napełnienia h. Stała prędkość i głębokość w przepływie jednostajnym ustalonym noszą nazwę prędkości normalnej v_o i głębokości normalnej h_o. Spadek hydrauliczny jest przy stałej głębokości równy spadkowi dna. Wielkość przepływu w ruchu jednostajnym oblicza się na podstawie wzoru Manninga:

.

2. Obliczanie przepływu w korytach wielodzielnych

Rys. 30

W korytach otwartych o złożonym przekroju poprzecznym, szczególnie
w korytach terasowych, które służą do przeprowadzenia wielkich wód (rys. 30), obliczenia prowadzone dla całego przekroju mogą doprowadzić do uzyskania skokowego spadku przepływu przy wzroście głębokości. Jest to efekt nieciągłości promienia hydraulicznego przy napełnieniu odpowiadającym poziomowi terasy. Następuje tu nagły przyrost obwodu zwilżonego przy niewielkim przyroście powierzchni. Koryta o takiej charakterystyce muszą być traktowane jako koryta wielodzielne. Podział na części obliczeniowe przeprowadza się w ten sposób, by oddzielić od siebie fragmenty przekroju, na których występują wyraźnie różne prędkości przepływu.

Koryto wielodzielne jest to koryto, którego przekrój został podzielony liniami pionowymi na części obliczeniowe
w celu uniknięcie nieciągłości w obliczeniach przepływu
(rys. 30).

Podział koryta ma uzasadnia się występowaniem wyraźnie różnych prędkości przepływu w jego poszczególnych częściach. W praktyce linie podziału wystawia się na krawędziach teras.

Obliczanie przepływu w korycie wielodzielnym

Przepływ w korycie wielodzielnym jest obliczany niezależnie dla każdej części (od I do N) tak jak w korytach jednodzielnych. Całkowity przepływ
w korycie jest sumą przepływów cząstkowych:

.

Uwaga: w klasycznych obliczeniach linia podziału nie jest częścią obwodu zwilżonego (rozdział 5.1.1)!

3. Rozwiązywanie zadań

Zmienne występujące w zadaniach z ruchu jednostajnego
w korytach otwartych można podzielić na 4 grupy:

- zmienne opisujące ruch w korycie: Q, v_o ,

- napełnienie: h_o ,

- spadek dna koryta: S_o ,

- parametry przekroju poprzecznego:

- szorstkość n ,

- typ geometrii i wymiary dna (np. b, m) oraz zależne od napełnienia funkcje opisujące koryto: A(h_o), U(h_o), R(h_o);

Typy zadań z hydrauliki koryt otwartych

Parametry przekroju poprzecznego wynikają z zastosowanego materiału i są przyjmowane z powodów pozahydraulicznych (praktyka regulacji cieków, melioracji itp.). Wzór na przepływ pozwala wyliczyć jedną spośród zmiennych Q, h_o, S_o przy zadanych pozostałych. Pojawiają się zatem trzy typy zadań:

- Zadanie typu Q - obliczenie przepływu w kanale:

dane: h, S_o, szukane: Q i v_o .

Obliczenie polega na bezpośrednim zastosowaniu wzoru na wydatek (rozdział 5.3.1 lub 5.3.2) i prędkość;

- Zadanie typu S_o - obliczenie spadku dna kanału:

dane: Q, h_o , szukane: S_o.

Obliczenie polega na rozwiązaniu wzoru na wydatek ze względu na spadek S_o:

;

Rys. 31

- Zadanie typu h - obliczenie napełnienia kanału:

dane: Q, S_o, szukane: h_o.

Ze względu na uwikłanie zmiennej h_o we wzorach opisujących geometrię przekroju (A, U, R) obliczenie polega na iteracyjnym zastosowaniu wzoru na wydatek dla kolejnych przybliżeń wartości h_o . Wyniki przedstawia się zwykle
w tabeli:

Lp.	ho	U	A	R	n	v	Q
1	1 m
2

Obliczony przepływ porównuje się z zadanym i na tej podstawie przyjmuje się nowe przybliżenie napełnienia h_o zakładając proporcjonalność Q ~ h_o . Można posłużyć się przy tym pomocniczym wykresem (rys. 31). Iteracje kończy się, gdy kolejne przybliżenia h różnią się nie więcej niż o 1 %, a jako wynik przyjmuje się wartość dającą wydatek bliższy zadanemu.

4. Obliczanie przepływu w kolektorach

Kolektor jest to kanał o przekroju zamkniętym (rurociąg),
w którym odbywa się przepływ ze swobodnym zwierciadłem.

Obliczenia przepływu przeprowadza się zgodnie z zasadami przyjętymi dla koryt otwartych.

Geometria kolektorów

Przekroje poprzeczne kolektorów są przystosowane do transportowania ścieków, a więc cieczy niosących znaczne ilości cząstek stałych. Dla zapobieżenia osadzaniu się mułu podczas przepływów niżówkowych wiele z tych przekrojów ma wąskie dno zapewniające duże prędkości przy niskich napełnieniach.
W powszechnym zastosowaniu są przekroje z prefabrykatów betonowych
o znormalizowanych kształtach (rys. 32).

Rys. 32

Moduł przepływu i moduł prędkości

Przepływ w całkowicie wypełnionym przekroju zamkniętym jest funkcją spadku dna S_o oraz rodzaju zastosowanego przekroju. Rodzaj przekroju określa jego wymiary geometryczne i materiał ścian, a więc współczynnik szorstkości n. Tak więc wzór na prędkość i przepływ można zapisać w postaci:

,
,

gdzie w i K są charakterystyczne dla danego rodzaju przekroju:

- moduł prędkości:

,

- moduł przepływu:

.

Dla kolektora betonowego (n = 0.014 [s/m^1/3]):

-  500 [mm]: K = 3.50 [m³/s],

- 1000 [mm]: K = 22.2 [m³/s].

Wartości modułów dla kolektorów o typowych przekrojach można znaleźć
w tablicach jako funkcje ich rozmiarów. Przy częstych obliczeniach (np. w biurach projektów) opłacalne jest opracowanie tablic modułów dla innych typów przekrojów, również otwartych. W przypadku przekroju otwartego moduł wylicza się dla pewnego stałego napełnienia uznanego za podstawowe.

Funkcje sprawności

Przepływ w kolektorze zależy od jego napełnienia. Przy kolektorach tego samego typu, różniących się tylko skalą, wygodnie jest posługiwać się bezwymiarowymi parametrami przepływu, czyli funkcjami sprawności.

Podstawowe znaczenie mają:

- Funkcja sprawności przepływu: F_Q(h/H) = Q(h)/Q_o ;

- Funkcja sprawności prędkości: F_v(h/H) = v(h)/v_o .

Pomocniczo stosowane są również:

- Funkcja przekroju: F_A(h/H) = A(h)/A_o ;

- Funkcja obwodu zwilżonego: F_U(h/H) = U(h)/U_o ;

- Funkcja promienia hydraulicznego: F_R(h/H) = R(h)/R_o .

Wielkość H oznacza tu wartość całkowitego napełnienia, czyli wysokość przekroju, wielkości Q_o , v_o , A_o  i U_o odpowiadają całkowitemu napełnieniu kolektora, natomiast R_o  zazwyczaj oznacza podstawowy promień przekroju (rys. 32). Wartości funkcji sprawności dla kolektorów o typowych przekrojach można znaleźć w tablicach. Podobnie jak dla modułów przy częstych obliczeniach (np.
w biurach projektów) opłacalne jest opracowanie tablic sprawności dla innych przekrojów. W przypadku kolektora kołowego, przy napełnieniu 40 %, F_Q(h/H = 0.4) = 0.332, F_v(h/H = 0.4) = 0.889; maksymalne sprawności wynoszą odpowiednio: F_Q(h/H = 0.93) = 1.09, F_v(h/H = 0.81) = 1.16.

Obliczanie przepływu w kolektorze

Stablicowanie modułów i funkcji sprawności pozwala na uproszczenie obliczeń hydraulicznych kolektorów niezależnie od typu rozwiązywanego zadania. Tok postępowania jest następujący:

- Zadanie typu Q :

dane: h, S_o, rozmiar kolektora H; szukane: Q i v_o

- wyznaczenie z tablic modułów K i w dla danego kolektora,

- obliczenie Q_o :
oraz v_o:
,

- obliczenie napełnienia względnego  = h/H,

- wyznaczenie z tablic współczynników sprawności F_Q i F_v dla danego napełnienia ,

- obliczenie wydatku: Q = F_Q Q_o oraz prędkości: v = F_v v_o;

- Zadanie typu S_o :

dane: Q, h, rozmiar kolektora H; szukane: S_o

- obliczenie napełnienia względnego  = h/H,

- wyznaczenie z tablic współczynnika sprawności F_Q dla danego napełnie-
nia  ,

- obliczenie wydatku przy całkowitym napełnieniu: Q_o = Q / F_Q,

- wyznaczenie modułu K dla danego kolektora z tablic,

- obliczenie spadku kolektora:
;

- Zadanie typu h :

dane: Q, S_o, rozmiar kolektora H; szukane: h

- wyznaczenie z tablic modułów K i w dla danego kolektora,

- obliczenie Q_o :
,

- obliczenie współczynnika sprawności F_Q: F_Q = Q / Q_o,

- wyznaczenie z tablic napełnienia względnego  = h/H na podstawie wartości F_Q,

- obliczenie napełnienia: h =  H.

4. Reżimy ruchu w korytach otwartych

1. Definicja głębokości krytycznej

Głębokość krytyczna h_k jest to głębokość normalna strumienia, przy której energia ruchu jest dla danego przepływu najmniejsza.

Ma wtedy miejsce ruch krytyczny (porównaj rozdział 3.2.4). Wysokość energii określa się na podstawie wzoru Bernoulliego:

.

Analiza definicji prowadzi do wniosku, że przy zadanej wysokości energii H przepływ osiąga maksimum przy głębokości krytycznej.

2. Wzór na głębokość krytyczną w korycie prostokątnym

W korycie prostokątnym prędkość daje się wyrazić prostą funkcją głębokości:

.

To pozwala wyznaczyć głębokość krytyczną wprost z warunku na minimum energii strumienia:

,

stąd:

.

Łatwo jest dowieść, że:

.

Podobnie można wyznaczyć głębokość krytyczną w innych korytach o prostej geometrii przekroju.

3. Wzór na głębokość krytyczną w korycie dowolnym

W korycie dowolnym warunek minimum energii prowadzi do wzoru na głębokość krytyczną w postaci uwikłanej:

.

Wielkość B(h_k) jest szerokością zwierciadła zależną od napełnienia. Rozwiązanie uzyskuje się metodą prób i błędów podstawiając kolejne przybliżenia wartości h_k do lewej strony równania aż do osiągnięcia przez nią wartości podanej przez stronę prawą.

4. Prędkość i spadek krytyczny

Prędkość krytyczna jest to średnia prędkość w ruchu jednostajnym ustalonym, który ma charakter ruchu krytycznego (porównaj rozdział 3.2.4).

Jest to więc prędkość przy głębokości normalnej równej krytycznej h_o = h_k . Dla koryta prostokątnego (porównaj rozdział 5.3.1) uzyskuje się wzór:

.

Jeśli w strumieniu panuje prędkość wyższa - nadkrytyczna, związek pomiędzy głębokościami w poszczególnych przekrojach ulega zerwaniu (ruch nadkrytyczny).

Spadek krytyczny jest to spadek dna koryta, w którym ruch jednostajny ustalony ma charakter ruchu krytycznego.

Jest to więc spadek dna, przy którym głębokość normalna jest równa krytycznej h_o = h_k . Dla dowolnego koryta uzyskuje się zależność:

.

Daje to dla szerokiego koryta prostokątnego wielkość:

.

Wielkości z indeksem k są obliczane dla głębokości krytycznej. Spadek krytyczny ma charakter graniczny: przy spadku niższym istnieje związek pomiędzy głębokościami w poszczególnych przekrojach, przy wyższym związek ten ulega zerwaniu.

5. Ruch niejednostajny w korycie otwartym

1. Warunki występowania

Ruch niejednostajny w korycie otwartym wiąże się ze zmianami głębokości wody na długości cieku (rozdział 3.2.1). Mają one różny zasięg w zależności od charakterystyki ruchu. W ruchu podkrytycznym zmiany głębokości są tak szybkie, że na ogół nie przeprowadza się obliczeń kształtu zwierciadła zakładając całkowite zerwanie związku między kolejnymi przekrojami obliczeniowymi (rozdz. 5.4.4). Praktyczne znaczenie mają jedynie obliczenia dla cieków o dodatnich spadkach dna (S_o > 0) i reżimie nadkrytycznym.

2. Metoda od przekroju do przekroju

Równanie Bernoulliego pozwala ustalić związek pomiędzy stanami wody
w kolejnych przekrojach (rys. 28):

.

Wysokość strat określa się na podstawie średniego spadku hydraulicznego S na odcinku l:

,

który można wyliczyć ze spadków w poszczególnych przekrojach na podstawie wzoru Manninga:

.

Wielkość l oznacza odległość między przekrojami. Przy znanej geometrii koryta (A₂), wydatku Q i stanie wody H₂ w dolnym przekroju stan w przekroju górnym można wyliczyć ze wzoru:

.

Ostatni człon wzoru, wyrażający zamianę energii kinetycznej na potencjalną, uwzględnia się tylko w ciekach o skoncentrowanym przekroju (rzeki, kanały).
W zbiornikach, w których wykształcają się wewnętrzne strumienie, podczas gdy pozostała masa wody pozostaje niemal nieruchoma, człon kinetyczny pomija się w obliczeniach. Zakłada się, że energia prędkości zostaje rozproszona na skutek tarcia wewnętrznego.

Kolejność obliczeń jest następująca:

1. Wstępne założenie nieznanej wartości stanu H₁ w przekroju górnym. Można ją określić z warunku: z₁ + h_o < H₁ < z₁ + h₂ .

2. Wyznaczenie na podstawie stanów wody głębokości (h₁ i h₂) i parametrów przekroju czynnego (A, U, R, C) w obu przekrojach.

3. Obliczenie prędkości średnich w obu przekrojach na podstawie równania ciągłości Q = v_i A_i = const (pomijane w zbiornikach).

4. Obliczenie spadków hydraulicznych (S₁ i S₂) w obu przekrojach na podstawie wzoru Manninga.

5. Obliczenie wartości stanu H₁ w górnym przekroju z podanego wzoru.

6. Jeśli obliczona wartość H₁ różni się od założonej wstępnie o więcej niż 1 % h₁ , powtarza się cykl obliczeń dla nowego przybliżenia.

Stosowana jest tu metoda prób i błędów z doborem wartości wyjściowej na podstawie poprzednich wyników. W obliczeniach automatycznych najczęściej jest stosowana (nie zawsze skuteczna) metoda podstawiania ostatniego wyniku (tzw. metoda Seidla) lub metoda podziału. Metoda podziału polega na określeniu, na podstawie dotychczasowych obliczeń, przedziału w którym znajduje się rozwiązanie i przyjęciu nowego przybliżenia w jego połowie. Jest skuteczna zawsze, gdy rozwiązanie istnieje.

Dokładność obliczeń jest tym większa, im mniejsza jest odległość przekrojów obliczeniowych (l ) i im mniejsze zróżnicowanie ich kształtu. Obliczenia praktyczne prowadzi się kolejno dla szeregu pomierzonych geodezyjnie przekrojów cieku rozpoczynając od budowli, gdzie stan H₂ jest zadany przez założony poziom piętrzenia lub wydajność przelewu (rozdział 6). Po obliczeniu stanu H₁ w następnym przekroju staje się on wartością zadaną H₂ w obliczeniach dla następnego odcinka, stąd nazwa metody „od przekroju do przekroju”. Metodę stosuje się zarówno do obliczeń ruchu opóźnionego, jak i przyspieszonego.

3. Obliczanie zasięgu cofki

Zasięg cofki budowli piętrzącej (cofka) jest to długość L odcinka cieku powyżej budowli, na którym występują głębokości wyższe niż głębokość normalna; h(L) = h_o .

W praktyce zakłada się koniec cofki w miejscu, gdzie głębokość przekracza normalną o mniej niż 1 %. Na podstawie definicji cofki i wzoru na stan
w przekroju górnym można ocenić jej długość:

.

Głębokość normalną h_o (w ruchu jednostajnym ustalonym) określa się dla zadanego wydatku Q (rozdz. 5.3.3). Ze względu na znaczne na ogół długości cofki obliczenia takie są bardzo przybliżone. Dokładny wynik uzyskuje się wykonując obliczenia stanów w kolejnych przekrojach aż do uzyskania głębokości normalnej
i sumując odległości między przekrojami.

4. Metody uproszczone

Dla koryt o regularnych przekrojach poprzecznych opracowano tablice bezwymiarowych krzywych spiętrzenia (wartości h/h_o), bazujące na metodzie Bachmietiewa. Szczególnym przypadkiem tej metody jest metoda Rühlmanna dla koryt prostokątnych i metoda Tolkmitta dla koryt o kształcie parabolicznym.
W obu przypadkach stosowany jest wzór:

,

gdzie  jest stablicowaną funkcją piętrzenia. Obliczenia dla koryt rzeczywistych wymagają określenia parametrów zastępczego koryta regularnego, to jest takiego, które prowadzi ten sam przepływ. Metody uproszczone mogą być stosowane tylko dla ruchu opóźnionego i to przy zachowaniu szeregu ograniczeń. Wobec istnienia doskonałych programów komputerowych do numerycznych obliczeń przepływu
w ciekach, metody uproszczone są wykorzystywane rzadko i nie będą tu szerzej omawiane.

71

---