Ruch harmoniczny drgania opisane funkcją harmoniczną (sinusoidalną), jest to najprostszy w opisie matematycznym rodzaj drgań.

Ruch harmoniczny jest często spotykanym rodzajem drgań, wiele rodzajów jest w przybliżeniu harmoniczna. Każde drganie można przedstawić jako sumę drgań harmonicznych. Przekształceniem umożliwiającym rozkład ruchu drgającego na drgania harmoniczne jest transformacja Fouriera.

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywany jest ruchem okresowym. Jeżeli ruch ten opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza sie ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się tylko pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi (Prawo Hooke'a):

gdzie:

- siła,

k - współczynnik sprężystości,

- wychylenia z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać jako:

(Druga Zasada Dynamiki Newtona), w postaci różniczkowej:

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu (występuje druga pochodna funkcji położenia x(t)).

Rozwiązania tego równania można opisać przez dwa równania:

x₁(t) = Asin(ω₀t)

x₂(t) = Bcos(ω₀t)

gdzie:

- częstość drgań własnych

A, B - stałe wynikające z warunków początkowych

Suma wyżej opisanych równań może być przedstawiona jednym równaniem zwanym rozwiązaniem ogólnym:

gdzie:

Ważną własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne.

Energia potencjalna dla siły proporcjonalnej do wychylenia.

Z zasady zachowania energii, wynika zależność z której można wyznaczyć energię kinetyczną:

Z równania powyższego wynika kilka faktów (na podstawie jedynki trygonometrycznej i porównania współczynników we wzorze
z powyższym):

Ciało drgajace ma maksymalną prędkość gdy przechodzi przez położenie równowagi i ma ona wartość:

v₀ = x₀ω₀

prędkość chwilowa zmienia się jak

Bezpośrednio z równania ruchu wynika, że przyspeszenie jest opisywane zależnością:

Ruch harmoniczny tłumiony

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

Odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w ogóle nie występuje ruch okresowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

ω₀ > b

Istnieją dwa rozwiązania: analogicznie jak dla r.h.p składowa okresowa, ale z dodatkowym czynnikiem tłumiącym:

gdzie

- jest zmodyfikowaną częstością kątową

- czas relaksacji (czas, po jakim energia całkowita oscylatora spada o 1/e )

Ostatecznie otrzymujemy analogiczny wzór:

Wahadło matematyczne

Ważną cechą wahadła fizycznego i matematycznego jest stałość okresu drgań dla niewielkich wychyleń wahadła.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego wygląda następująco:

Gdzie:

• l - długość nici,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• m - masa ciała,

• θ - kąt wektora wodzącego ciała z pionem

• A - amplituda siły wymuszającej

• ω_D - częstość siły wymuszającej

• γ - współczynnink oporu ośrodka

Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet gdy A=0. Rozwiązanie przybliżone (dla małych wychyleń) otrzymujemy przez zastosowanie przybliżenia:

Wtedy:

gdzie:

Stałe C₁ i C₂ zależą od warunków początkowych. Rozwiązanie równania ruchu jest przybliżone. Jest ono w miarę dobrze spełnione dla wychyleń początkowych mniejszych niż 8 stopni. Gdy nie wystepuje wymuszanie drgań ani opór ośrodka, próba rozwiązania równania różniczkowego prowadzi do całki eliptycznej oraz okresu drgań wyrażonego wzorem:

gdzie E(k,φ) jest funkcją eliptyczną Legendre'a pierwszego rodzaju:

.

Gdy amplituda siły wymuszającej przekroczy pewną wartość krytyczną mamy do czynienia z ruchem chaotycznym przejawiającym wszystkie cechy chaotycznych układów dynamicznych.

Twierdzenie Steinera opisuje w jaki sposób znaleźć moment bezwładności danej bryły względem danej osi, jeżeli znany jest moment bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek bryły.

I = I₀ + md²

gdzie:

I₀ - moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy

I - moment bezwładności względem osi równoległej

d - odległość między osiami

m - masa bryły

Bryłą sztywną- nazywamy ciało stałe, w którym odległość dwu dowolnie wybranych punktów nie ulega zmianie, mimo działających na to ciało sił.
Ruch postępowy br. sztywnej - jest jeżeli wszystkie punkty br. sztywnej mają takie same prędk. liniowe, takie same przyspieszenie, takie same tory.
W ruchu postępowym odcinek łączący dwa dowolne punkty br. sztywnej pozostaje równoległy do swoich poprzednich położeń. x= x0 + V0t + at2/2
Ruch obrotowy br. sztywnej - to taki ruch, podczas którego wszystkie jej punkty z wyjątkiem tych leżących na osi obrotu, zataczają okręgi o środkach leżących na osi obrotu. Podczas ruchu. obrot. każdy punkt br. sztywnej porusza się z taką samą pr. kątową. Jeżeli prędkość kątowa ruchu obrotowego nie jest stała, wprowadza się pojęcie przyspieszenia kątowego Є br. sztywnej (w dowolnej chwili jednakowe dla każdego punktu tej bryły).
Prędkość kątowa (ω) - wartość prędkości kątowej jest równa stosunkowi kąta Δα zakreślonego przez promień przeprowadzony ze środka poruszającego się punktu, do czasu Δt w jakim został on zakreślony => ω = Δα / Δt
Przyśpieszeni kątowe - jest równe stosunkowi przyrostu wektora prędkości kątowej do czasu, w którym ten przyrost nastąpił. Є = Δ ω / Δt [rad / s2]
Droga kątowa - jest to droga jaką przebywa punkt bryły sztywnej, miarą jej jest kąt zakreślony przez wektor wodzący tego punktu φ = n * 2π φ = ω0t + Є t2 / 2
Momentem siły nazywamy wektor będący iloczynem wektorowym siły i wektora r o początku w osi obrotu i końcu w punkcie. M = F * r * sinα [ N * m ]
Momentem bezwładności ciała obracającego się nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów materialnych tego ciała przez kwadraty odległości tych punktów od osi obrotu. I=mr2 pręt I=1/3 mr2 walec I=½ mr2 krążek I=¼ mr2 kula I=2/3 mr2
I zasada dynamiki dla ruchu obrotowego - jeżeli na ciało sztywne działają siły, których wypadkowe mom. sił względem osi obrotu są równe 0 to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą pr. kątową (obraca się ruchem jednostajnie obrotowym).
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego - jeżeli na ciało sztywne działa niezrównoważony moment siły, to moment ten nadaje ciału przyspieszenie kątowe, którego wartość jest wprost proporcjonalna do wartości momentu siły i odwrotnie proporcjonalna do momentu bezwładności ciała. Є =M / I
Pęd bryły sztywnej - jest równy iloczynowi momentu bezwładności i prędkości kątowej z jaką ta bryła się porusza. b = I * ω b0 = b
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym - Ek = I * ω2 / 2
V=2πr/T V=2πrf V=ωr f=n/Δt f=1/T [1/s = Hz] ω=Δα/Δt ω=V/r ω=ω0+ Єt φ=n*2π φ=ω0t + Єt2/2 M=F*r*sinα I=mr2 pręt I=1/3 mr2 walec I=½ mr2 krążek I=¼ mr2 kula I=2/3 mr2
Є = M/I Є =Δω/Δt [rad / s2] Є = 1/r*a ar = V2/r ar = 2π2r / T2

Ruch obrotowy to taki ruch, w którym wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach o środkach leżących na jednej prostej zwanej osią obrotu. Np. ruch Ziemi wokół własnej osi. Jest to ruch złożony z ruchu postępowego środka masy danego ciała oraz ruchu obrotowego względem pewnej osi. Środek masy ciała można uważać za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego używa się odmiennych pojęć od używanych do opisania ruchu postępowego.

Druga zasada dynamiki jest podstawowym prawem ruchu obrotowego.

gdzie M jest momentem siły względem obranego punktu odniesienia, a L - krętem względem tego samego punktu odniesienia.

Jeżeli obrót odbywa się względem osi stałej lub sztywnej wówczas druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może być napisana w następujący sposób:

gdzie M oznacza moment siły a I moment bezwładności względem osi obrotu.

Czasem ta sama siła może powodować ruch postępowy i obrotowy. Wówczas dzieląc obie strony poprzedniego równania przez r oraz dodając po prawej stronie wyraz odnoszący się do ruchu postępowego można otrzymać II zasadę dynamiki w postaci bardziej ogólnej:

Gdy brak momentu sił zewnętrznych (M=0), z równania
otrzymać można zasadę zachowania krętu:

L = Iω = const

Moment bezwładności I punktu materialnego o masie m znajdującego się w odległości r od osi obrotu wyraża się wzorem:

I = mr²

---