Liczba Napiera e doc


Wiadomości wstępne

Liczbę Napiera (zwaną także liczbą Eulera-Nepera, albo Eulera) oznaczamy małą literką e. Jest to szczególna liczba. Pojawia się bardzo często w analizie. Jest podstawą logarytmu naturalnego. Definiujemy ją jako granicę następującego ciągu:

0x01 graphic



Można łatwo dowieść że ciąg zdefiniowany tak:

0x01 graphic



Jest rosnący. Oto dowód: z dwumianu Newtona mamy

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Zatem (co widać od razu):

0x01 graphic



Równie łatwo dowieść że ciąg ten jest ograniczony. Dowód polega na odpowiednim ograniczeniu z góry i wygląda tak:

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Zatem:

0x01 graphic



e można jeszcze zdefiniować inaczej za pomocą rozwinięcia funkcji wykładniczej o podstawie równej e w szereg Taylora. W praktyce często używa się tej własnie definicji:

0x01 graphic



(można zresztą wyprowadzić łatwo ten wzór nawet bez korzystania z szeregów Taylora, a bespośrednio z definicji.) Euler odkrył że liczbę e można rozwinąć w ułamek łańcuchowy.

0x01 graphic



Liczba e jest niewymierna Można tego dowieść w następujący sposób:
Wiemy, że e to liczba niecałkowita z przedziału (2,3). Załóżmy zatem, że e jest liczbą wymierną:

0x01 graphic


0x01 graphic

Tworzymy teraz następujący ciąg:

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Łatwo teraz zauważyć następujący fakt:

0x01 graphic

Oszacujmy zatem ciąg c :

0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic


0x01 graphic

Uzyskana sprzeczność dowodzi iż liczba e nie jest wymierna.

Jest również przestępna (nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu stopnia skończonego o współczynnikach wymiernych), co już zdecydowanie trudniej udowodnić W przybliżeniu e równa się 2.71828.Poniżej zamieszczam jej sensowne przybliżenie:

e=

2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821

W pliku tekstowym umieścilem jako ciekawostkę liczbę e z dokładnością do 100000 miejsca po przecinku. Aby go obejrzeć należy klikąć tutaj.


Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
oraz wszelkie tablice matematyczne.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Krytyczna liczba Reynoldsa DOC
Krytyczna liczba DOC
Krytyczna liczba1 DOC
europejski system energetyczny doc
KLASA 1 POZIOM ROZSZERZONY doc Nieznany
elementarz liczba 6 A(1)
5 M1 OsowskiM BalaR ZAD5 doc
Opis zawodu Hostessa, Opis-stanowiska-pracy-DOC
Messerschmitt Me-262, DOC
Opis zawodu Robotnik gospodarczy, Opis-stanowiska-pracy-DOC
Opis zawodu Położna, Opis-stanowiska-pracy-DOC
Opis zawodu Przetwórca ryb, Opis-stanowiska-pracy-DOC
Blessing in disguise(1), Fanfiction, Blessing in disguise zawieszony na czas nie określony, Doc
Opis zawodu Politolog, Opis-stanowiska-pracy-DOC
Protokół wprowadzenia na roboty, Pliki DOC PPT
Połączenie komputerów w sieć, DOC

więcej podobnych podstron