Wykład 1, energ.12, 4 X 2012, aula A1, 11.40-13.10
1. dr Andrzej [e-mail], pok. 711 Laura
2. W naszej wspólnej pracy w ciągu całego semestru będziemy odwoływać się do zasad roztropnego zarządzania.
Podstawowa zasada, to jasne sformułowanie celu. Celem naszej pracy jest jak najlepsze opanowanie wiedzy
z zakresu matematyki potrzebnej do dalszego studiowania. Matematyka daje także wiele okazji do pracy nad
sobą poprzez studiowanie zagadnień trudnych. Duże znaczenia dla rozwoju myślenia ma opanowanie przykładów
rozumowań matematycznych.
3. Zadaniem prowadzącego zajęcia jest organizowanie całosemestralnej systematycznej pracy indywidualnej i ze-
społowej. Służą temu zestawy ćwiczeń. Z jednej strony mają one charakter indywidualny (różnią się od siebie);
z drugiej strony dają sposobność do wzajemnej pomocy.
4. Aby zaliczyć przedmiot, należy rozwiązać wszystkie ćwiczenia, zaliczyć dwa kolokwia i zdać egzamin.
5. Roztropne zarządzanie proponuje metodę naukową poprawy procesów: obserwacja, hipoteza, dedukcja, wery-
fikacja. Politechnika Świętokrzyska stosuje tę metodę obserwując trudności matematyczne przychodzących do
nas studentów. Hipoteza, to szukanie przyczyn tych trudności. To skłoniło nas do współpracy ze szkołami.
Dedukcja, to szukanie dróg zaradzenia tym trudnościom. W ramach projektów europejskich organizowane są
dodatkowe spotkania dla studentów I roku, tzw. grupy wyrównawcze. Weryfikacja, to ocena skuteczności pro-
ponowanego rozwiązania. Wnioski mogą być stosowane do ulepszania systemu w kolejnych latach. Schemat ten
wyrażony jest w postaci tzw. Cyklu Deminga.
6. Krótka historia rozwoju pojęć matematycznych (kurs.09,11-12) (Grecy: geometria, Arabowie: algebra, algebra
arabska wprowadza symbole i litery). Zdobycze matematyki greckiej i arabskiej przenikajÄ… do Europy w drugim
tysiącleciu. Np. cyfry arabskie spopularyzował Włoch Leonardo Fibonacci (1175-1250).
Za pierwsze europejskie odkrycie matematyczne, nieznane starożytnym, uważa się wzory na pierwiastki rów-
nania ax3 + bx2 + cx + d = 0. Wzory te opublikował w roku 1545 Cardano. Odkrywcami byli Tartaglia i del
Ferro. Równanie to można sprowadzić do równania (*) y3 + 3py + 2q = 0 (patrz: problemy.pdf). Wówczas


3 3
y = -q - p3 + q2 + -q + p3 + q2 . (1)
We wzorach tych pod pierwiastkiem kwadratowym wystÄ™puje ´ = p3 + q2. Jeżeli ´ > 0, to równanie (*) ma
jedno rozwiÄ…zanie opisane wzorem (1). Jeżeli ´ < 0, to równanie (*) ma trzy pierwiastki. We wzorze jednak
występuje wtedy liczba ujemna pod pierwiastkiem kwadratowym. Z pewnymi oporami zdecydowano się na
pierwiastkowanie liczb ujemnych. TÄ… drogÄ… uzyskano trzy rozwiÄ…zania rzeczywiste.
7. Pierwiastki liczb ujemnych przyjmowano z nieufnością i liczby takie nazywano urojonymi (imaginaria). Wpro-
"
wadzono jednostkÄ™ urojonÄ… -1, jako takie  coÅ› , co podniesione do kwadratu daje -1. Stosujemy tutaj po-
dejście algebraiczne, czyli jednostkę urojoną traktujemy jak napis. Tradycyjnie używana jest litera i (i2 = -1).
Ponieważ na Wydziale EAiI litera i potrzebna jest do oznaczania natężenia prądu, jednostkę urojoną będziemy
oznaczać przez j (j2 = -1). Liczby postaci z = a + bj, gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi, nazywamy liczbami
zespolonymi (a nazywamy częścią rzeczywistą; b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z). Na liczbach
zespolonych można wykonywać działania tak, jak na zwykłych liczbach. Wystarczy tylko pamiętać, że j2 = -1.
Np.:
(1 + 2j)(3 - 4j) = 3 - 4j + 6j - 8j2 = 11 + 2j .
Podczas dzielenia postępujemy tak, jak podczas usuwania niewymierności z mianownika:
1 + 2j (1 + 2j)(3 + 4j) 3 + 4j + 6j + 8j2 -5 + 10j 1 2
= = = = - + j .
3 - 4j (3 - 4j)(3 + 4j) 9 - 16j2 25 5 5
8. Patrząc na jednostkę urojoną geometrycznie, powinniśmy znalez
ć dla niej miejsce. Ponieważ żadna liczba rze-
czywista podniesiona do kwadratu nie daje liczby ujemnej, dlatego j nie można zaznaczyć na osi liczbowej
(oś liczbową utożsamiamy ze zbiorem liczb rzeczywistych). Jednostkę urojoną możemy w zasadzie umieścić w
dowolnym miejscu poza osią. Najbardziej naturalne wydaje się miejsce nad zerem w odległości jeden od osi.
j

0 1
9. Jednostka urojona wyznacza nową oś, którą nazywamy osią urojoną (Im od Imaginaria). Oś rzeczywistą ozna-
czamy Re (Realis).
Jeżeli jednostkę urojoną zaznaczymy tak, jak wyżej, to wtedy liczbie zespolonej z = a + bj odpowiada punkt
(a, b) na płaszczyz
nie. Dlatego liczby zespolone można wyobrażać sobie jako liczby dwuwymiarowe. Odległość
liczby zespolonej od początku układu (od zera) nazywamy jej modułem i oznaczamy |z|. Z twierdzenia Pita-
"
gorasa mamy |z| = a2 + b2. KÄ…t Õ, jaki tworzy odcinek 0z z osiÄ… rzeczywistÄ… nazywamy argumentem liczby
zespolonej. Kąt ten wyrażamy w mierze łukowej.
10. Aby omówić tzw. postać trygonometryczną liczby zespolonej, potrzebujemy funkcji sinus i cosinus kąta dowol-
nego. Dla kąta ostrego funkcje te definiujemy w trójkącie prostokątnym. Dzięki twierdzeniu Talesa definicja nie
zależy od rozmiarów trójkąta (kurs.09,29). Jedynka trygonomertyczna jest innym sposobem zapisania twier-
1
dzenia Pitagorasa (30-31). Analiza wzoru na pole trójkąta S = ab sin ą pozwala naturalnie uogólnić funkcję
2
sinus na kąty rozwarte (33-34). Dla funkcji cosinus można to uzyskać analizując wzór cosinusów (34,91-
92). JednolitÄ… definicjÄ™ cos Õ oraz sin Õ (Õ miara Å‚ukowa  dowolna liczba rzeczywista) można uzyskać przez
 nawijanie osi Õ na okrÄ…g jednostkowy (82-83).
11. Zapis liczby zespolonej z = a + bj w postaci trygonometrycznej polega na tym, że zamiast a i b posługujemy
siÄ™ argumentem Õ i moduÅ‚em |z|. Mamy
a b
= cos Õ , = sin Õ , skÄ…d a = |z| cos Õ oraz b = |z| sin Õ .
|z| |z|
Zatem z = a + bj = |z| cos Õ + j|z| sin Õ. Czyli
z = |z|(cos Õ + j sin Õ) .
Zapis ten nazywamy postaciÄ… trygonometrycznÄ… liczby zespolonej. Wyrażenie cos Õ+j sin Õ czasami oznaczamy
symbolem ejÕ (sens tego symbolu bÄ™dzie wyjaÅ›niony póz
niej; na razie traktujemy go jako napis). Zapis
z = |z|ejÕ
nazywamy także postacią wykładniczą liczby zespolonej.
"
" " "
3 1 Ä„
PrzykÅ‚ad. Niech z = 3 + j. Mamy a = 3, b = 1, |z| = 3 + 1 = 2, cos Õ = , sin Õ = , zatem Õ = .
2 2 6
Ä„
Ä„ Ä„
6
Czyli z = 2(cos + j sin ) = 2ej .
6 6
" "
-1 1 3Ä„
" "
PrzykÅ‚ad. Niech z = -1 + j. Mamy a = -1, b = 1, |z| = 1 + 1 = 2, cos Õ = , sin Õ = , zatem Õ = .
4
2 2
" "
3Ä„
3Ä„ 3Ä„
4
Czyli z = 2(cos + j sin ) = 2ej .
4 4