Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. inż. Jan Maciej Kościelny
PODSTAWY AUTOMATYKI
część 11
Układy nieliniowe
Układy nieliniowe
Układem nieliniowym jest każdy układ zawierający chociaż jeden
Układem nieliniowym jest każdy układ zawierający chociaż jeden
element nieliniowy
element nieliniowy
Elementy i układy nieliniowe opisywane są za pomocą nieliniowych
Elementy i układy nieliniowe opisywane są za pomocą nieliniowych
równań różniczkowych, różnicowych lub algebraicznych.
równań różniczkowych, różnicowych lub algebraicznych.
Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.
Nie obowiązuje ich zasada superpozycji.
Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, niestacjonarny układ:
Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, niestacjonarny układ:
F(y(n),y(n-1),...,y,u(m),u(m-1),...,u,t)=0
F(y(n),y(n-1),...,y,u(m),u(m-1),...,u,t)=0
Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, stacjonarny układ:
Ogólna postać równania opisującego nieliniowy, stacjonarny układ:
F(y(n),y(n-1),...,y,u(m),u(m-1),...,u)=0
F(y(n),y(n-1),...,y,u(m),u(m-1),...,u)=0
Układy nieliniowe
Nieliniowe są wszystkie układy zawierające elementy o działaniu
Nieliniowe są wszystkie układy zawierające elementy o działaniu
przekaz
nikowym lub elementy, w których uwzględniamy takie
przekaz
nikowym lub elementy, w których uwzględniamy takie
zjawiska jak tarcie suche (Columba), luzy, histereza albo
zjawiska jak tarcie suche (Columba), luzy, histereza albo
mechaniczne ograniczenia ruchu.
mechaniczne ograniczenia ruchu.
W najprostszym przypadku, kiedy element nieliniowy można
W najprostszym przypadku, kiedy element nieliniowy można
traktować jako bezinercyjny, własności elementu są zdefiniowane
traktować jako bezinercyjny, własności elementu są zdefiniowane
przez podanie jego charakterystyki statycznej
przez podanie jego charakterystyki statycznej
Układ nieliniowy statyczny (niestacjonarny) opisuje równanie:
Układ nieliniowy statyczny (niestacjonarny) opisuje równanie:
F1(u,y,t)=0
F1(u,y,t)=0
Układ nieliniowy statyczny (stacjonarny) opisuje równanie:
Układ nieliniowy statyczny (stacjonarny) opisuje równanie:
F1(u,y)=0
F1(u,y)=0
Podstawowe charakterystyki statyczne
elementów nieliniowych
Charakterystyki statyczne elementów nieliniowych dzielimy na jednoznaczne i
wieloznaczne. Wieloznaczne są charakterystyki elementów z histerezą.
Złożone charakterystyki statyczne
elementów nieliniowych
Przykład
Przykład
Wyznaczanie charakterystyki statycznej
członów połączonych szeregowo
Wyznaczanie charakterystyki statycznej
członów połączonych równolegle
Wyznaczanie charakterystyki statycznej
członów układu s.z.
yp
yp=f(u2)
yp=f(B) yp=f(A)
1
0,5
0 u2
3 45
12 wejście
B
A=u2+B
Przestrzeń stanów
Zachowanie układu nieliniowego może zależeć od rodzaju i wielkości zakłócenia,
mogą występować stany stałych drgań.
Podstawowa definicja sformułowana przez Lapunowa dotyczy stabilności punktu
równowagi układu i opiera się na pojęciu przestrzeni stanów (przestrzeni fazowej).
Przyjmijmy, że współrzędne punktu równowagi X0 zostały sprowadzone do początku
układu współrzędnych:
A
Stabilność lokalna wg Lapunowa
Punkt równowagi nazywa się stabilnym, jeżeli dla każdego, dowolnie
Punkt równowagi nazywa się stabilnym, jeżeli dla każdego, dowolnie
małego obszaru � odchyleń od stanu równowagi można dobrać taki obszar �
małego obszaru � odchyleń od stanu równowagi można dobrać taki obszar �
warunków początkowych, że cała trajektoria startująca z obszaru � będzie
warunków początkowych, że cała trajektoria startująca z obszaru � będzie
zawarta wewnątrz obszaru �.
zawarta wewnątrz obszaru �.
Jeżeli dodatkowo spełniony jest warunek:
to dany punkt nazywa się stabilnym asymptotycznie.
Stabilność lokalna i globalna
Stabilność lokalna - dotyczy stabilności układu w małym otoczeniu punktu
równowagi.
Stabilność globalna  dotyczy punktu równowagi przy dowolnie dużych
warunkach początkowych
Niestabilny punkt równowagi Stabilność lokalna Stabilność globalna
Pierwsza metoda Lapunowa
Metoda ta formułuje warunki stabilności lokalnej układu, którego równania mogą być
linearyzowane:
Przyjmijmy, że stan równowagi znajduje się w początku układu współrzędnych i układ
nieliniowy opisany jest za pomocą równań stanu:
A
Funkcję można w otoczeniu punktu równowagi rozwinąć w szereg Taylora:
Pierwsza metoda Lapunowa
Pomijając (przyrównując do zera) nieliniowe części Ri rozwinięcia oraz biorąc pod
uwagę, że w punkcie równowagi fi(0,0,...,0)=0, możemy liniowe przybliżenie układu
równań przedstawić w postaci:
B
Do badania stabilności tego układu możemy zastosować znane kryteria stabilności
układów liniowych.
Podstawowe tezy pierwszej metody Lapunowa:
1. Jeżeli zastępczy układ liniowy opisany równaniami B jest stabilny asymptotycznie,
to układ nieliniowy opisany równaniami A jest równie stabilny asymptotycznie ( i
odwrotnie).
2. Jeżeli zastępczy układ liniowy jest na granicy stabilności, to układ nieliniowy
może być zarówno stabilny jak i niestabilny. Decydujący wpływ na stabilność układu
mają wtedy części Ri rozwinięcia w szereg Taylora, pominięte w równaniach A
Przykład
2
d y d y d y
+ T + y + c( )2 = 0 0 1
A =
dt2 dt dt
-1 - T
d y
x1 = y, x2 =
dt
- s 1
= s2 + Ts +1 = 0
-1 - T - s
d x1
= x2
dt
T > 0
d x2
= -x1 - Tx2 - cx22
dt
d x1
= x2
Dla T>0 układ jest stabilny
dt
asymptotycznie w punkcie (0,0)
d x2
= -x1 - Tx2
dt
Druga metoda Lapunowa
Metoda ta nazywana jest bezpośrednią. Wykazuje ona analogię do metod
rozpatrujących dynamikę układu na podstawie analizy zmagazynowanej energii.
Jeśli szybkość zmiany energii układu swobodnego jest wartością ujemną dla
wszystkich możliwych stanów układu z wyjątkiem pojedynczego punktu
równowagi, to energia układu maleje, aż do chwili osiągnięcia wartości
minimalnej w punkcie równowagi.
Nie zawsze można wyznaczyć energię układu, dlatego stosowana jest funkcja
Lapunowa, będąca skalarną funkcją stanu układu:
V (x1, x2,..., xn )
Funkcja powinna być dodatnio określona w obszarze D zawierającym początek
układu współrzędnych, jeśli w każdym punkcie tego obszaru, różnym od
początku układu współrzędnych przyjmuje wartości dodatnie.
V = x12 + x22 + ... + xn2
Twierdzenie Lapunowa
I. Twierdzenie o stabilności
Układ nieliniowy opisany równaniami stanu jest stabilny asymptotycznie w
obszarze D zawierającym początek układu współrzędnych, jeżeli można
dobrać taką funkcję V dodatnio określoną w obszarze D, której pochodna
względem czasu jest funkcją ujemnie określoną w tym obszarze.
Jeżeli dV/dt jest funkcją niedodatnio określoną w obszarze D, to
rozpatrywany układ nieliniowy jest stabilny, ale nie asymptotycznie.
II Twierdzenie o niestabilności
Układ nieliniowy opisany równaniami stanu, dla którego istnieje
rzeczywista funkcja ciągła V, mająca ujemnie określoną pochodną
dV/dt =W, jest niestabilny w tym ograniczonym obszarze przestrzeni stanów,
w którym V nie jest nieujemnie określona.
V (x1, x2,..., xn )
Druga metoda Lapunowa
Tw. Lapunowa podają warunki dostateczne, ale nie konieczne.
Dla danego ukladu można stworzyć wiele funkcji V (x1, x2,..., xn )
Jeśli pewna funkcja nie pozwoli stwierdzić, czy układ jest stabilny, to nie
wyklucza to możliwości znalezienia innej funkcji V, która pozwoli na ocenę
stabilności układu.
Układ nieliniowy
y
x e
f(e) G(s)
-
-B dla e<=a, de>0
B dla e>a, de>0
np.: G(s)=k/s(Ts+1)
f(e)=
B dla e>=-a, de<0
-B dla e<-a, de<0
Przestrzeń stanów (fazowa)
n  wymiarowa przestrzeń w układzie współrzędnych
kartezjańskich, na którego osiach odkładamy kolejno:
y(t), y (t), y  (t),..., y(n-1)(t).
Charakterystyczny jest wybór współrzędnych stanu:
x1=y(t), x2= y (t), x3= y  (t),...
y
dla n=3:
y
y 
W praktyce posługujemy się szczególnym przypadkiem
przestrzeni, mianowicie płaszczyzną fazową.
Trajektoria fazowa (krzywa całkowa)
Trajektoria fazowa - zbiór kolejnych stanów dynamicznych układu
(punktów w przestrzeni fazowej)
Wychodzi z punktu przedstawiającego warunki początkowe.
Wyznaczenie trajektorii fazowej umożliwia ocenę stabilności układu
(lokalnej lub globalnej) oraz charakteru przebiegów przejściowych
i niektórych własności statycznych.
Wyróżniamy trzy przypadki zachowania się krzywych:
y y y
y y y
y  y  y 
kończy się w punkcie zmierza do przechodzi w krzywą
równowagi nieskończoności zamkniętą (cykl graniczny)
Opis matematyczny analizowanych układów
Za pomocą trajektorii fazowych możemy rozważać na płaszczyz
nie
fazowej tylko układy pierwszego rzędu oraz te układy drugiego rzędu:
F(y, y ,y  )=0,
których równania dają się sprowadzić do postaci: y  =P(y, y )=0
&
d y
&
= P( y, y)
dt
d y
&
= y
d t
eliminując czas mamy:
& &
d y P(y, y)
=
&
d y y
Własności trajektorii fazowych
Kierunek przesuwania się punktu po trajektorii fazowej jest zawsze
dy>0 w górnej półpłaszczyz
nie i dy<0 w dolnej półpłaszczyz
nie.
dy dy
&
y = �! dt = , (dt > 0)
&
dt y
y
y
Własności trajektorii fazowych
Trajektorie przecinają oś y pod kątem prostym:
dy
&
= y = 0
dt
y
y
Własności trajektorii fazowych
Przez dany punkt płaszczyzny fazowej może przechodzić jedna
krzywa całkowa.
Wyjątek stanowią punkty osobliwe, przez które przechodzi kilka
krzywych całkowych albo żadna, w których:
& &
P(y, y) = 0 oraz y = 0
tangens nachylenia stycznej do krzywej całkowej jest nieoznaczony:
& &
d y P(y, y)
&
d y 0
=
=
&
d y y d y 0
Własności trajektorii fazowych
Równanie jest podstawą tzw. metody izoklin
Izoklina jest krzywą łącząca punkty o jednakowym nachyleniu
stycznych do trajektorii fazowej
& &
d y P( y, y)
= = tgą
&
d y y
Równanie izoklin:
&
P( y, y)
= tgą = const = C
&
y
Zmieniając wartość C, tzn. kąt ą, otrzymamy siatkę izoklin pozwalającą
wykreślić przebieg krzywych całkowych i wyznaczyć tzw. portret
fazowy.
Izokliny
Izokliny są to krzywe łączące na płaszczyz
nie fazowej punkty o jednakowym
nachyleniu krzywych całkowych
y znaczniki nachylenia
trajektorie fazowe
izokliny
y
Dlaczego rys. jest niepoprawny?
Własności trajektorii fazowych
Punkty osobliwe reprezentują punkty (stany) równowagi układu.
W układach liniowych istnieje tylko jeden punkt równowagi (0,0):
& &
P(y, y) = ay + by = 0
W układach nieliniowych punktów równowagi jest tyle, ile
pierwiastków równania:
&
P(y, y)y=0 = 0
&
Punkty osobliwe
Przykłady punktów osobliwych: ognisko, węzeł, siodło, środek
Cykle graniczne
Analiza własności układu
Z portretu fazowego możemy określić:
- rodzaj przebiegu przejściowego
- liczbę przeregulowań
- stabilność układu
- amplitudę cyklu granicznego (jeśli istnieje)
Przykład 1
Określić trajektorię fazową układu określonego równaniem:
&
2y + y = 2
&
y
1
y
2
Określić czas przejścia od punktu o współrzędnej y=0 do y=1:
dy
&
= y 1
&
y = 1- y / 2
dy
dt
t =
+"
dy
&
y
dt =
0
t = ln 4
&
y
Przykład 2
Schemat blokowy badanego układu nadążnego (serwomechanizmu)
Przyjmijmy, że wzmacniacz jest elementem bezinercyjnym o
współczynniku proporcjonalności A, natomiast silnik ma moment
bezwładności I oraz tarcie suche, którego moment ma wartość
bezwzględną K i znak zależy od znaku prędkości kątowej.
Charakterystyka tarcia suchego
Przykład
Przykład
Przykład
Przykład
Przykład
Przykład
Własności trajektorii fazowych
Czas przejścia odcinka AB na trajektorii fazowej:
Własności trajektorii fazowych
Prędkość na trajektorii fazowej w punkcie
&
( y, y)
składowe prędkości
&
P(y, y)y=0 = 0
&
Przykład
d x1
= x2
dt
1
V = (x12 + x22)
d x2
2
= -x1 - Tx2 - cx22
dt
dV "V dx1 "V dx2
= + = -x22(T + cx2)
dt "x1 dt "x2 dt
T > 0 i c > 0