Estymacja parametrów liniowego modelu

z wieloma zmiennymi objaśniającymi

Model liniowy ma ogólną postać:

natomiast z dwoma zmiennymi opisującymi

gdzie:

y_i - zmienna objaśniana (zależna, zjawisko),

x_1i, x_2i - zmienne objaśniające (niezależna, czynniki),

α₀, α₁, α₂ - parametry strukturalne modelu,

ε - składnik losowy

Postać empiryczna modelu:

w którym:

ŷ_i - wartości teoretyczne zmiennej y oszacowane na podstawie modelu,

a₀, a₁, a₂ - oceny (estymatory) nieznanych parametrów strukturalnych

modelu oszacowane na podstawie próby losowej

e_i - reszty modelu określające odchylenie wartości rzeczywistych zmiennej

y od wartości teoretycznych ŷ; e_i= y_i- ŷ_i

Do estymacji (szacowania) parametrów modelu liniowego z wieloma zmiennymi objaśniającymi stosujemy klasyczną metodę najmniejszych kwadratów (MNK).

Etapy wyznaczania macierzy odwrotnej X^TX:

1. Wyznacznik macierzy można obliczyć metodą Sarrusa, w której do macierzy X^TX dopisujemy dwa pierwsze wiersze (lub dwie pierwsze kolumny) oraz obliczamy różnicę sum iloczynów elementów mnożonych po głównej przekątnej macierzy oraz elementów mnożonych po przeciwnej przekątnej.

2. Wyznaczenie macierzy minorów.

Kolejny element macierzy minorów (M_ik) uzyskujemy przez usunięcie
z macierzy X^TX wiersza i kolumny w którym znajduje się element i obliczenie wyznacznika cząstkowego macierzy utworzonej z pozostałych elementów macierzy X^TX.

3. Wyznaczenie macierzy dopełnień algebraicznych.

Elementy macierzy minorów mnożymy przez liczbę -1 podniesioną do potęgi, która jest sumą numeru wiersza i numeru kolumny w którym znajduje się dany element.

4. Ostatnim etapem jest pomnożenie elementów macierzy dopełnień algebraicznych przez odwrotność wyznacznika macierzy X^TX.

Wektor ocen parametrów strukturalnych modelu (a) otrzymujemy poprzez mnożenie macierzy (X^TX)^-1 i wektora kolumnowego X^Ty.

Interpretacja ocen parametrów modelu liniowego

z wieloma zmiennymi objaśniającymi

W wyniku szacowania parametrów strukturalnych modelu liniowego z jedną zmienną objaśniającą otrzymujemy wektor a o postaci:

Estymator a₀ interpretujemy jako poziom zmiennej objaśnianej Y przy zerowym poziomie zmiennych objaśniających x₁ i x₂.

Natomiast wzrost wartości zmiennej objaśniającej x₁ o jednostkę, przy stałym poziomie zmiennej x₂ powoduje zmianę (wzrost lub spadek) wartości zmiennej objaśnianej Y o a₁ jednostek.

Analogicznie, wzrost wartości zmiennej objaśniającej x₂ o jednostkę, przy stałym poziomie zmiennej x₁ powoduje zmianę (wzrost lub spadek) wartości zmiennej objaśnianej Y o a₂ jednostek.

Przykład :

Za pomocą MNK oszacować i zinterpretować parametry liniowego modelu opisującego kształtowanie się sprzedaży energii elektrycznej Y (w mln MWh) w pewnym przedsiębiorstwie energetycznym w zależności od długości linii przesyłowych x₁ ( w 10 tys km) i ilości odbiorców energii x₂ (w 100 tys osób). Zebrano następujące dane dotyczące zmiennych.

Y	X1	X2
10	2	1
12	1	1
13	2	2
15	1	3
20	4	3

Zadanie 1.:

Oszacować i zinterpretować parametry strukturalne liniowego modelu regresji wielorakiej opisującego zespołową wydajność pracy Y(w tys zł) w zależności od technicznego uzbrojenia pracy x₁ (w tys zł) oraz liczby zatrudnionych x₂ (w tys osób). Z kolejnych 10-ciu miesięcy zebrano następujące dane dotyczące analizowanych zmiennych.

Y	X1	X2
14,0	0,4	15
17,0	0,6	13
14,5	0,4	15
20,0	0,7	11
21,6	1,0	10
23,0	1,2	10
24,5	1,0	7
28,0	1,5	6
26,4	1,5	8
29,0	1,7	5

Zadanie 2.:

Na podstawie danych oszacować i zinterpretować parametry strukturalne liniowego modelu regresji wielorakiej.

a)

,

b)

,

4

---