Temat: Prędkość i przyspieszenie?

Przykładowe wartości prędkości to 60 km/h, 2m/s. Mówią ile drogi przebywa ciało w godzinę czy sekundę, a nie w „danym czasie”. Na przykład z prędkością 60 km/h samochód jechał przez dwie godziny. Dwie godziny to jest „dany czas”, ale prędkość nie mówi ile samochód przejechał w dwie godziny, a tylko ile w godzinę.

Prędkość mówi ile drogi ciało przebywa w jednostce czasu.

Przykład

Drogę s=100km samochód przejechał w czasie t=2h. Jaką miał prędkość, to znaczy ile przejeżdżał w godzinę?

Nietrudno zauważyć, że w godzinę przejeżdżał 50km. Rozdzieliliśmy 50km między dwie godziny. Nasze rozumowanie możemy zapisać wzorem:

Wzory na drogę i czas. Przypomnienie ze szkoły podstawowej.

Skoro rozumiemy o czym mówi prędkość, to jak obliczymy ile ów samochód przebyłby drogi w 10 godzin? Oczywiście 10 razy więcej niż w godzinę czyli:

s = vt

A jeśli znamy drogę i prędkość, jak obliczymy czas?

Wystarczy zastanowić się nad prostym przykładem. Samochód przejechał 100 km z prędkością 50 km/h. I już widzimy, że musiał jechać 2 godziny. Czyli:

Zapamiętanie tych wzorów może być kłopotliwe. Dlatego matematycy wymyślili metody, które może stosować nawet nie mający wyobraźni komputer. Musi tylko stosować się do reguł matematycznych:

Startujemy z tego, że:

Aby obliczyć s, musimy pozbyć się t spod s. Dlatego obie strony mnożymy przez t.

Aby obliczyć t przekształcamy dalej. Czas jest pomnożony przez v, więc musimy się pozbyć v.

Ciąg dalszy nowego materiału.

Wróćmy do naszej definicji prędkości. Ale jeśli samochód przebył 25km i jechał tylko pół godziny, to przecież nie można powiedzieć, ile drogi przejechał w godzinę.

Przykład

W takim razie ścisła definicja to:

Prędkość mówi ile drogi przebywa ciało w przeliczeniu na jednostkę czasu.

Policję zazwyczaj nie interesuje prędkość na całej drodze, którą przejechał samochód, a tylko prędkość chwilowa, tzn. w chwili, gdy namierzyli samochód radarem.

Prędkość chwilowa, to prędkość policzona na bardzo krótkiej drodze przebytej w bardzo krótkim czasie.

Im krótszy czas weźmiemy, tym dokładniej wyliczymy prędkość chwilową. Dla odróżnienia od całej drogi oznaczanej jako s, krótki jej fragment oznaczamy symbolem
. Podobnie postępujemy z oznaczeniami czasu: cały czas ruchu to t, a krótki odstęp czasu to
.

Dlatego wzór na prędkość chwilową to:
, gdy
(czytaj: gdy
dąży do zera, czyli zakładamy, że bierzemy jak najkrótszy odstęp czasu).

Policję interesuje prędkość chwilowa, a przeciętnego kierowcę czy pasażera bardziej niż prędkość średnia. Co to?

Wyobraźmy sobie, że jedziemy z Otwocka do Warszawy autobusem. Na bilecie mamy podaną drogę 30 km. Niestety po drodze autobus się psuł, albo były okropne korki. Podróż zajęła 2 godziny.

Co z tego, że chwilami autobus miał 50 km/h. Jeśli spojrzymy na ruch jakby był jednostajny, nie wnikając w zwalniania, przyspieszania i postoje, to okaże się, że tak uśredniając autobus miał zaledwie 15km/h.

Prędkość średnia to prędkość policzona tak jakby ruch był jednostajny.

Aby ją obliczyć wystarczy całą drogę podzielić przez cały czas.

Stosujemy zatem wzór na prędkość w ruchu jednostajnym.

Od policji wiemy już, że można określić prędkość w bardzo krótkim, bliskim zeru, odstępie czasu.

Na poniższym rysunku ciało miało w pewnej chwili i w pewnym miejscu prędkość 3 m/s, a po upływie 5s w innym miejscu 18 m/s.

Ciało rozpędzało się. Jeśli rozpędzało się równomiernie, to o ile przyspieszało co sekundę?

To, co obliczyliśmy nazywamy przyspieszeniem.

Przyspieszenie mówi o ile przyrasta prędkość w przeliczeniu na jednostkę czasu.

Wzór, który odkryliśmy to:

Jednostki przyspieszenia to metry na sekundę dzielone na sekundę:

Ponieważ pisanie piętrowych ułamków jest niewygodne, zgodnie z regułami matematyki chciałoby się tę sekundę skrócić. Czy mamy prawo? Przypomnijmy jak się dzieli ułamek przez liczbę. Podzielmy ½ przez 2:

Widzimy, że 2 się nie skróciło. Z dzielenia połowy przez dwa powstała jedna czwarta.

To samo dzieje się w przypadku jednostek:

Trzeba jednak zaznaczyć, że sekundy kwadratowe nie istnieją. To tylko matematyczny zapis. Nikt nie jeszcze przeżył sekund kwadratowych.

Co znaczy, że przyspieszenie ziemskie wynosi
? To znaczy, że wynosi ono
.

Prędkość każdego ciała spadającego przy powierzchni ziemi rośnie co sekundę o 10 m/s. Oczywiście takie przyspieszenie mają tylko ciała nie hamowane przez powietrze, w tym wszystkie spadające w próżni. W powietrzu wszystkie ciała im dłużej lecą, tym słabiej się rozpędzają, wreszcie przestają przyspieszać. Na przykład kropla deszczu już kilkadziesiąt metrów poniżej chmury leci ruchem jednostajnym.

Zadanie

Zakładając, że opór powietrza jest zaniedbywanie mały oblicz jaką prędkość osiągnie po:

a) 1s

b) 2s

jabłko, które:

1. urwało się z gałęzi i zaczynało ruch z prędkością zerową.

2. zostało dzióbnięte przez ptaka i zaczęło spadać z prędkością początkową v_o=1m/s.

Rozwiązując zadanie odkryliśmy jak obliczyć prędkość po czasie t:

Mówi, że do prędkości początkowej co sekundę trzeba dodać a (w sumie a razy t)

.

Praca domowa

Zadanie 1.

Pielgrzymka warszawska do Częstochowy pokonuje 300 km w 10 dni. Oblicz jej prędkość w kilometrach na dzień
. Czy wyliczona prędkość to prędkość chwilowa czy średnia (tzn. taka, przy której obliczeniu traktujemy ruch jakby był jednostajny, choć w rzeczywistości taki nie był)?

Zadanie2.

W pewnej chwili samochód miał prędkość 10 m/s. Po 20 sekundach miał już 30 m/s. Ile wynosiło średnio biorąc przyspieszenie samochodu w tych 20 sekundach?

Zadanie 3

Ptak dzióbnął jabłko nadając mu prędkość początkową 2 m/s. Jaką prędkość osiągnie jabłko po a) jednej, b) dwu sekundach spadania.

Z lekcji powinieneś

wiedzieć o czym mówi prędkość, znać wzór na nią, umieć wyliczyć z tego wzoru drogę i czas.

wiedzieć, co to jest prędkość średnia

wiedzieć, co to jest prędkość chwilowa i znać wzór

wiedzieć o czym mówi przyspieszenie i jak je obliczamy

wiedzieć co znaczy, że przyspieszenie ziemskie to
.

Temat: Droga w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Chcemy teraz ustalić jaką drogę przebędzie jabłko z przykładów z poprzedniej lekcji. Rozpatrzmy na początek zdarzenie, gdy jabłko urywa się samoistnie i leci przez sekundę. Jak pamiętamy osiągnie prędkość 10 m/s. Czy to jednak znaczy, że pokonana droga to 10 metrów? Gdyby jabłko przez całą sekundę miało tę prędkość, to oczywiście tyle drogi by przebyło. Tu dopiero w ostatnim momencie, na bardzo króciutkim odcinku taką prędkość posiadało. Prędkość narastała równomiernie od zera do 10 m/s. Zatem jaka była średnio biorąc? Średnia arytmetyczna to 5 m/s. W takim średnim tempie jabłko przebyło tę drogę. A że leciało przez sekundę, no to musiało przebyć 5 metrów.

Zapamiętaj: W ruchu jednostajnie przyspieszonym średnia prędkość jest średnią arytmetyczną prędkości początkowej i końcowej.

Doświadczenie: Rzut kamienia z okna na wysokości 5 m.

Jeśli policzymy prędkość średnią, którą będzie miało jabłko spadając przez 2 sekundy, to wyjdzie nam 10m/s. Jabłko spadało przez dwie sekundy. Już wiemy, że średnio biorąc co sekundę pokonywało 10 metrów. To ile w sumie przeleciało? 20 metrów. Widzimy, że choć to ruch przyspieszony, używając prędkości średniej możemy posługiwać się tym samym wzorem na drogę, co w jednostajnym.

Analogicznie, gdy jabłko zostało dzióbnięte i już na początku otrzymało prędkość 1m/s, wyliczamy, że prędkość średnia podczas pierwszej sekundy wynosiła 6m/s, a przebyta droga 6m. Gdy spadało przez 2 sekundy, prędkość średnia wyniosła 11m/s i przebyło 22 m.

Praca domowa

Ptak dzióbnął jabłko, nadając mu prędkość początkową 2m/s. Ile drogi przebędzie jabłko

1. przez sekundę

2. przez dwie sekundy.

Dodatek

MacGyver przejeżdża przez budynek. Słupy się walą. Czy zdąży uciec przed walącymi się pustakami?

Aby ocenić sytuację musi znać wysokość, na której położone są pustaki, wysokość i długość kabiny, długość samochodu, i prędkość, z jaką się porusza. Załóżmy, że prędkość wynosi 72km/h. Sprawdzamy ile to metrów na sekundę. Skoro 72 000m przebywa w 3 600s, więc:

Obliczmy czas potrzeby do minięcia feralnego miejsca. Samochód musi przesunąć się minimum o swą długość 4,5 m, by pustaki na niego nie spadły. Ponieważ nie są to spadające punkty, lecz mają pewne wymiary, dołóżmy jeszcze pół metra, by nie zahaczyły krawędzią o koniec pojazdu. Zatem samochód powinien przesunąć się o s = 5m. Ile czasu to zajmie?

Aby poznać o ile w tym czasie przemieszczą się pustaki, obliczmy wpierw ich prędkość po t=0,25s.

Podstawiamy dane do wzoru:
, pamiętając że początkowa prędkość pustaków v_o=0.

Obliczamy prędkość średnią:

A stąd drogę, którą pokonają:

Otrzymaliśmy zadziwiający wynik. Wystarczyłoby, by pustaki znajdowały się na wysokości nieco większej niż 30 cm nad końcem samochodu. Jeśli pustaki były 30 cm nad szoferką, to z pewnością nie zahaczą też o nią.

Temat: Powtórzenie o prędkości i przyspieszeniu.

Kartkówka 3.

a) O czym mówi prędkość? +wzór

b) O czym mówi przyspieszenie? +wzór

c) Co to jest prędkość średnia? +wzór

d) Co to jest prędkość chwilowa? +wzór

2. Co znaczy, że przyspieszenie wynosi

a) 2m/s²

b)- 2m/s²

3.

1. Rowerzysta jechał przez 3 godziny z prędkością 8 km/h. Ile drogi przebył?

2. Rowerzysta przejechał 60 km z prędkością 12 km/h. Ile czasu jechał?

4. a) Samochód o prędkości v_o=10 m/s ma przyspieszenie 0,5m/ s². Jaką prędkość będzie miał po 10 sekundach?

b) Samochód o prędkości v_o=10 m/s ma przyspieszenie -0,5m/ s². Jaką prędkość będzie miał po 10 sekundach?

5. Oblicz przyspieszenie:

6. Oblicz prędkość średnią z jaką jechał samochód z poprzedniego zadania i drogę przebytą podczas zmieniania prędkości.

Odpowiedzi:

1

a) Prędkość mówi ile drogi przebywa ciało w przeliczeniu na jednostkę czasu.

b) Przyspieszenie mówi o ile przyrasta prędkość w przeliczeniu na jednostkę czasu.

c) Prędkość średnia to prędkość policzona tak jakby ruch był jednostajny.

d) Prędkość chwilowa, to prędkość policzona na bardzo krótkiej drodze przebytej w bardzo krótkim czasie.
, gdy

2

a) że co sekundę prędkość rosła o 2m/s.

b) że co sekundę prędkość spadała o 2 m/s

3)

a)
, więc

, więc

4)

(do prędkości początkowej dodajemy tyle a ile jest sekund)

a)

b)

5)

a)

b)

6)

a)
, więc droga

b)
, więc droga

Praca domowa

Przećwicz rozwiązując samodzielnie zadania z lekcji. Jeśli ci dobrze idą, sprawdź czy potrafisz uzyskać prawidłowy wynik w poniższych przykładach. Jeśli umiesz to 6 murowana!

1. Jak daleko uderzył piorun jeśli grzmot usłyszano w 12 sekund po błysku?(przyjmij, że błysk widzimy natychmiast, a prędkość dźwięku to 1/3 km/s).

2. Ile czasu zajmuje kropli deszczu spadek na ziemię z chmury na wysokości 300 m? Przyjmij, że krople spadają cały czas ruchem jednostajnym. Prędkość największych kropli to 10 m/s.

3. Jakie przyspieszenie miał Jasio, który szedł z prędkością 1m/s, a gdy zobaczył mamę przyspieszył w jej kierunku i w ciągu 3 sekund rozpędził się do 4 m/s?

4. Wielki kamień zepchnięty z prędkością początkową zerową ze skraju przepaści spadał przez 10 sekund. Zakładając, że opór powietrza był znikomy oszacuj z jaką prędkością kamień uderzył w dno przepaści. Oblicz jego prędkość średnią i głębokość przepaści.

Odpowiedzi:

1. 4 km 2. pół minuty 3. 1 m/s² 4. v=100m/s, v_śr.=50m/s, h=0,5 km

Uwaga dla dociekliwych. Jest to możliwe tylko dlatego, że prędkość rośnie równomiernie. Popatrzmy na podobny przykład poniżej. W klasie 1a jest jedenastu chłopców. Najmniejszy ma zaledwie metr, największy dwa metry. Wszyscy różnią się o 5 cm. Jaka jest średnia wysokość chłopców w tej klasie? Bez obliczania możemy zgadnąć, że 1,5 m. Kto nie wierzy, niech obliczy sumując wysokości wszystkich i dzieląc przez 11.

W klasie 1b dziesięciu chłopców ma 1m, a jedenasty 2m. Czujemy, że tym razem przeciętna wysokość będzie niewiele ponad metr. Ile?

W pierwszym przypadku wystarczyło wziąć wzrost najmniejszego i największego i policzyć średnią z nich dwu. W drugim ( i każdym innym) tak się nie da. Podobnie jest z prędkościami. Tylko ruch jednostajnie zmienny jest taki „cool”.

---