Prąd elektryczny I - Zadanie 1

Treść: Ile wynosi natężenie prądu wytwarzanego przez elektron krążący na pierwszej orbicie atomu wodoru z częstotliwością 6.5^.10^15Hz?

Dane: f = 6.5^. 10^15 Hz

Szukane: I = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Aby wyliczyć natężenie korzystając z pierwszego wzoru potrzebna nam będzie wartość ładunku elektronu. Wartość ta jest zawsze stała i wynosi (znajdziesz ją w każdych porządnych tablicach fizycznych)

Potrzebujemy czas, w jakim elektron okrąża orbitę atomu wodoru, a znajdujemy go korzystając z tego, że czas ten (tak zwany okres) jest odwrotnością częstotliwości

Zbierając wszystkie powyższe dane, wyliczamy szukane natężenie

Sprawdzamy jednostkę, pamiętając o tym, że herc to odwrotność sekundy

Natężenie prądu wytwarzanego przez elektron wynosi 1.0413 ^. 10^-3 A.

Prąd elektryczny I - Zadanie 2

Treść: Przy napięciu 24V przez przewodnik w ciągu 2 minut przepływa ładunek 12C. Ile wynosi opór tego przewodnika?

Dane: U = 24 V t = 2 min = 120 s Q = 12 C

Szukane: R = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Szukając oporu przewodnika R skorzystamy ze wzoru na opór elektryczny, czyli inaczej mówiąc z prawa Ohma. Otóż to prawo mówi, że opór jest liczbowo równy stosunkowi napięcia U, do którego podłączony jest przewodnik przez natężenie prądu I, które płynie przez nasz przewodnik.

W zadaniu nie mamy danego natężenia I. Ale wiemy (np. z poprzedniego zadania), że natężenie to stosunek ładunku do czasu, w którym ten ładunek przepływa, czyli

Możemy zatem połączyć dwa powyższe wzory i wyliczyć szukany opór

Opór przewodnika wynosi 240 omów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 3

Treść: Drut o oporze 8Ω rozciągnięto do długości dwukrotnie większej niż początkowa. Ile wyniesie opór rozciągniętego drutu, jeżeli podczas rozciągania nie zmieniają się ani opór właściwy ani gęstość materiału?

Dane: R = 8 Ω ρ = const (opór właściwy) G = const (gęstość) l' = 2l

Szukane: R' = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Zadanie nie jest takie trudne, jednak łatwo w nim się pomylić.
Na pewno skorzystamy ze wzoru, w którym zarówno występuje opór elektryczny i opór właściwy

gdzie:
R - opór elektryczny,
ρ - opór właściwy,
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju przewodnika.
Nie mamy danego pola przekroju, a jak wiadomo, skoro przewodnik się wydłuża, to jego pole przekroju musi się zmniejszyć. A jak liczbowo prezentują się te zmiany? Sprawdzimy to, korzystając z tego, że pole przekroju przewodnika S razy jego długość l to nic innego, jak objętość V

Przekształcamy ten wzór...

...i podstawiamy go do wzoru na opór

Powinniśmy się jeszcze zastanowić, czy zmienia się objętość przewodnika. Intuicyjnie wydaje się, że nie - ale we fizyce wszystko musi być udowodnione. Jak to zrobić? Ano wiemy jeszcze, że gęstość G materiału (czyli ilorazu masy przez objętość), z którego wykonany jest przewodnik nie zmienia się. Ze wzoru na gęstość...

...wyprowadzamy objętość...

...i wstawiamy to wszystko do wzoru na opór:

A przecież po rozciągnięciu masa drutu na pewno się nie zmieni!

Liczymy więc opór drutu przed rozciąganiem...

i szukany opór po rozciągnięciu:

Wykorzystujemy oczywiście to, że stałe są wartości charakteryzujące przewodnik: opór właściwy ρ, gęstość G oraz masa m.
Sprawdzimy jeszcze tylko, czy wzór generuje poprawną jednostkę, a co za tym idzie czy jest poprawny

Opór rozciągniętego drutu wynosi 32 omów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 4

Treść: Przy gęstości prądu 10^6A/m^2 między końcami przewodnika o długości 2m utrzymuje się różnica potencjałów 2V. Ile wynosi opór właściwy przewodnika?

Dane: j = 10^6 A/m^2 l = 2 m U = 2 V

Szukane: ρ = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy znaleźć opór właściwy rozpatrywanego przewodnika. Cóż począć? Ano trzeba skorzystać ze wzoru na opór, w skład którego wchodzi opór właściwy ρ

Przekształcamy nasz wzór do postaci, w której wyliczymy szukaną

Oczywiście nie mamy danego oporu R, który możemy zastąpić stosując wzór trzeci

Nie mamy jednak danego natężenia prądu I oraz przekroju poprzecznego przewodnika S. Ale przecież za pomocą tych wartości wyrażamy gęstość prądu j (wzór pierwszy)

Otrzymany wzór posłużył nam do wyliczenia wartości gęstości prądu (pamiętajmy, że różnica potencjałów to inaczej napięcie), sprawdźmy jeszcze na wszelki wypadek jednostkę:

Trzeba wiedzieć, że jednostką oporu właściwego jest omometr (Ωm) - i tak nam wyszło.

Opór właściwy rozpatrywanego przewodnika wynosi 10^-6 Ωm.

Prąd elektryczny I - Zadanie 5

Treść: Jakie natężenie wskazuje amperomierz A na schemacie przedstawionym obok? Przyjąć R1=12Ω, R2=4Ω, I2=3A.

Dane: R1 = 12Ω R2 = 4Ω I2 = 3A

Szukane: I = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Przyjmujemy oznaczenia tak, jak na rysunku powyżej.
Mamy tu do czynienia z równoległym łączeniem oporów. W takim razie możemy wywnioskować, że:

Z prawa Ohma wiemy, że

Przekształcając ten wzór otrzymujemy

Zatem dla równoległego połączenia oporów prawdziwym jest

gdzie R jest oporem zastępczym oporów R₁ i R₂.
Z powyższej zależności wynika między innymi

Wzór na szukane natężenie I przyjmie postać

Znajdziemy najpierw opór zastępczy R dla równoległego połączenia kondensatorów

Wyliczamy na koniec szukane natężenie:

Amperomierz powinien wskazać natężenie równe 4 amperom.

Prąd elektryczny I - Zadanie 6

Treść: W przedstawionym obwodzie napięcie między końcami opornika R1 wynosi 4V. Jaką wartość ma napięcie między końcami opornika R2? Przyjąć R1=2Ω, R2=3Ω, R3=3Ω.

Dane: R1 = 2 Ω R2 = 3 Ω R3 = 3 Ω U1 = 4 V

Szukane: U2 = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Żeby rozwiązać powyższe zadanie, należy zapoznać się z zasadami równoległego i szeregowego łączenia oporników.
Najpierw rozpatrzymy natężenie prądu. Ze źródła prądu wypływa prąd o natężeniu I. Natężenie to przechodzi przez pierwszy opornik, a na połączeniu równoległym rozdziela się ono na dwa natężenia:
- przy oporniku drugim natężenie I₂
- przy oporniku trzecim natężenie I₃ (patrz rysunek).
Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:

A co dzieje się z napięciem? Zgodnie z zasadą szeregowego łączenia oporników napięcie całkowite dzieli się pomiędzy opornik pierwszy (U₁) oraz opornik drugi i trzeci. A ponieważ te dwa ostatnie są połączone równolegle, to oznacza to, że napięcia na nich są identyczne

Z prawa Ohma wiemy, że opór to stosunek napięcia U do natężenia I. Przekształcając ten wzór otrzymujemy:

Powyższy wzór zastosujemy do naszego równania przedstawiającego rozkład natężenia prądu:

A ponieważ napięcia na drugim i trzecim oporniku są identyczne, to:

Pozostaje nam teraz wyprowadzić wzór na szukane napięcie U₂ i je wyliczyć

Napięcie między końcami opornika R₂ ma wartość 3 V.

Prąd elektryczny I - Zadanie 7

Treść: Policzyć opory zastępcze dla przedstawionych układów oporników o oporze R każdy.

Dane: R

Szukane: RZ = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
a)

Najpierw policzymy opory zastępcze szeregowego połączenia oporników 1 i 2 oraz 3 i 4:

Te opory zastępcze tworzą układ równoległy, którego opór zastępczy wynosi:

Pozostaje nam wyliczenie oporu zastępczego całego układu oporników (teraz mamy układ szeregowy)

b)

Jeśli ktoś powie, że powyższy układ sprawia wrażenie trudnego, to ma rację - rzeczywiście tylko sprawia takie wrażenie. W rzeczywistości zadanie jest banalne, wystarczy zauważyć, że poniższy układ jest identyczny z powyższym:

Tak więc liczymy opór zastępczy układów równoległych złożonych z oporników 1, 2 i 3 oraz 4 i 5:

Powstaje nam układ szeregowy, którego opór zastępczy wynosi:

c)

Najpierw policzymy opór układu równoległego kondensatorów 6 i 7:

Teraz mamy szeregowe układy kondensatorów: 1-2-3, 4-5, 67-8. Liczymy ich opory:

Z powyższych układów utworzył nam się układ równoległy, po wyliczeniu jego oporu otrzymamy opór zastępczy:

d)

Zastanówmy się jak zachowuje się prąd elektryczny. Skoro mamy jednakowe oporniki o oporze R każdy, to prąd będzie chciał przepływać przez jak najmniejszą liczbę oporników. W naszym przypadku prąd może przepływać przez jeden z oporników na trzy różne sposoby:

Spróbujmy narysować nasz układ w nieco inny sposób

I w ten sposób zadanie stało się... proste. :) Liczymy opór zastępczy:

Prąd elektryczny I - Zadanie 8

Treść: W układzie przedstawionym na rysunku galwanometr G nie wskazuje przepływu prądu. Ile wynosi opór R4, jeżeli R1=1Ω, R2=4Ω i R3=3Ω?

Dane: R1 = 1 Ω R2 = 4 Ω R3 = 3 Ω

Szukane: R4 = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na początek definicja:
Galwanometr - elektryczny przyrząd pomiarowy, służący do pomiaru małych natężeń prądu, napięcia oraz ładunku elektrycznego; urządzenie stosowane jest także jako wskaźnik zaniku prądu, tzw. wskaźnik zera.

Jeśli galwanometr nie wskazuje przepływu prądu, to znaczy, że napięcie pomiędzy punktami C i D jest równe zeru. Zatem

Niech potencjał punktu A będzie wyższy niż punktu B. Wtedy rozpływ prądów pokazuje powyższy rysunek. Napięcia na opornikach są równe:

A wobec faktu, że V_C = V_D, to

Policzmy, korzystając ze wzoru na opór, jak możemy wyrazić każde napięcie za pomocą oporu i natężenia prądu:

Z powyższych wzorów możemy zapisać dwie zależności (przyrównujemy te same natężenia):

Czas skorzystać z tego, że U₁ = U₂ i U₃ = U₄. Wobec tego powyższe dwie równości można zapisać jako jedną

Szukany opór wynosi:

Aby galwanometr nie wskazywał przepływu prądu, opornik R₄ musi mieć opór 12 omów.

Uwaga wniosek!
Jeżeli warunek

jest spełniony, to prąd nie płynie przez opór (w tym zadaniu galwanometr) łączący punkty C i D.

Prąd elektryczny I - Zadanie 9

Treść: Trzyżyłową linkę o oporze 10Ω rozpleciono i otrzymane przewody połączono w jeden szereg. Ile wynosi opór uzyskanego przewodnika?

Dane: R1 = 10 Ω S1 = 3S l1 = l S2 = S l2 = 3l

Szukane: R2 = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Opór drutu zmieni się wskutek zmiany długości oraz pola powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika. Dlatego skorzystamy z poniższego wzoru

gdzie:
l - długość przewodnika,
S - pole powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika,
ρ - opór właściwy.
Ponieważ opór właściwy zależy od materiału, z którego wykonany jest przewodnik, to będzie to wartość, która u nas nie będzie się zmieniać.
Przed rozkręceniem nasz przewodnik miał następujący opór:

Po rozkręceniu przewodów i połączeniu ich szeregowo otrzymamy przewodnik o trzykrotnie mniejszym przekroju poprzecznym, ale o trzykrotnie większej długości. Zatem:

Opór uzyskanego przewodu wynosi 90 omów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 10

Treść: Z drutu oporowego zbudowano szkielet kwadratu wraz z jedną przekątną (patrz rysunek). Ile wynosi stosunek wypadkowego oporu RAC do RBD?

Dane:

Szukane: RAC / RBD = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że opór każdego boku kwadratu jest równy R. Znajdźmy najpierw opór przekątnej kwadratu R'.
Spójrzmy na wzór:

gdzie:
R - opór elektryczny przewodnika,
ρ - opór właściwy przewodnika (zależy od materiału, z którego przewodnik jest wykonany),
l - długość przewodnika,
S - pole przekroju poprzecznego przewodnika.
Oczywistym jest, że wartości ρ i S są identyczne zarówno na bokach, jak i na przekątnej kwadratu. Ze wzoru widzimy, że opór wtedy jest proporcjonalny do długości przewodnika. W takim razie korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy opór przekątnej R':

Opory R_AC i R_BD policzymy posługując się schematem pokazanym na rysunku. Warto zauważyć, że opór R_AC jest oporem zastępczym trzech przewodników połączonych równolegle: R-R, R', R-R. R-R to dwa przewody połączone szeregowo, tak więc ich opór wynosi 2R. Stąd:

Obliczając R_BD należy zauważyć, że

Zatem na podstawie zadania 8 z tego działu stwierdzamy, że przez przekątną prąd nie płynie! I to jest właśnie najtrudniejsza część zadania.
Opór R_BD jest więc zastępczym oporem dwóch przewodników R-R i R-R połączonych równolegle, zatem

Szukany stosunek oporów wynosi:

Prąd elektryczny I - Zadanie 11

Treść: Jaki opór należy dołączyć równolegle do oporu 24Ω, aby przez taki układ pod napięciem 12V płynął prąd o natężeniu 2A?

Dane: U = 12 V I = 2 A R1 = 24 Ω

Szukane: R2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z prostym obwodem elektrycznym. Spójrzmy na wzór wyrażający prawo Ohma:

Mówi on, że całkowity opór układu, to iloraz napięcia do natężenia prądu.
Musimy więc znaleźć całkowity (zastępczy) opór układu. Zgodnie z zasadami równoległego łączenia oporników:

Opór zastępczy R_Z jest równy zgodnie z powyższym ilorazowi napięcia i natężenia prądu:

Pozostaje nam wyliczyć wartość szukanego oporu. Można od razu podstawiać dane, ale my to zrobimy w ładniejszy sposób - najpierw wyprowadzimy wzór:

Do danego oporu należy dołączyć równolegle opornik o oporze 8 Ω, aby otrzymać prąd o zadanych parametrach.

Prąd elektryczny I - Zadanie 12

Treść: Oblicz wartość oporu R2, jeżeli R1=4Ω. Woltomierz U1 wskazał napięcie 8V, a U2 napięcie 2V.

Dane: R1 = 4 Ω U1 = 8 V U2 = 2 V

Szukane: R2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy szeregowe połączenie oporników. Zatem:

Korzystamy z (***), czyli z tego że natężenie prądu jest wszędzie takie samo. Przekształcając wzór wynikający z prawa Ohma, otrzymujemy:

Nie przypadkiem tak zrobiliśmy. Możemy teraz wyliczyć opór zastępczy całego układu. Ponieważ

to...

...a korzystając z (**):

Szukany opór możemy wyliczyć teraz na dwa równoważne sposoby.

Pierwszy sposób:
Wykorzystujemy po prostu równanie (*):

Drugi sposób:
Korzystamy z równania wynikającego z (***):

Szukany opornik ma wartość 1 Ω.

Uwaga!
Ktoś może słusznie zauważyć taką rzecz. Dlaczego natężenie prądu jest wszędzie takie samo, skoro część natężenia idzie do oporników, a część do woltomierzów?
W zadaniu zakładamy, że mamy woltomierz idealny, czyli taki, który ma nieskończenie duży opór. A taki opór spowodowałby, że natężenie prądu byłoby nieskończenie małe (więcej znajdziesz w teorii - punkt 19.6).

Prąd elektryczny I - Zadanie 13

Treść: Ile musi być równy opór R2, aby napięcia między punktami AB i BC obwodu były jednakowe? Przyjąć, że R1=11Ω, R3=1Ω.

Dane: R1 = 11 Ω R3 = 1 Ω

Szukane: R2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Jak Jamnik zazwyczaj rozwiązuje takie zadania? Najpierw z tabelki o szeregowym i równoległym łączeniu oporników (lub z głowy) wypisuje potrzebne wartości:

Skąd on wie, że akurat te są potrzebne? Z doświadczenia. Jeśli go nie masz, po prostu wypisz wszystkie wzory. :)
Wzór (*) oznacza, że napięcia na układzie równoległym oporników 1 i 2 oraz na oporniku 3 są równe - to akurat wynika z treści zadania.
Wzór (**) mówi, że natężenie prądu się nie zmienia (szeregowe połączenie oporników).
Natomiast wzór (***) to nic innego, jak opór zastępczy układu równoległego oporników 1 i 2.

Indeks "12" przy oznaczeniach oznaczać będzie, że wartość ta odnosi się do układu zastępczego równoległego połączenia oporników R₁ i R₂. Policzmy opór zastępczy tych oporników zgodnie z (***):

Korzystamy z danych zadania. Mamy dane, zgodnie z (*), że:

Korzystamy ze wzoru na prawo Ohma i przekształcając go odpowiednio, otrzymujemy, że:

A ponieważ natężenia prądu są sobie równe (**), to:

Zatem:

Aby napięcia między punktami AB i BC były równe, opór R₂ musi być równy 1.1 Ω.

Prąd elektryczny I - Zadanie 14

Treść: Znajdź opór R2, jeżeli w obwodzie napięcie między punktami A i B jest równe 2V. Przyjąć U=6V, R1=2Ω.

Dane: U = 6 V UAB = 2 V R1 = 2 Ω

Szukane: R2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mamy tu do czynienia z szeregowym łączeniem oporników. W takim przypadku natężenie prądu w każdym punkcie obwodu jest stałe (I = const), a zatem:

Przekształcając wzór na prawo Ohma, otrzymujemy wyrażenie opisujące wartość natężenia prądu:

Możemy zapisać więc nasze równanie jako:

gdzie:
R_Z - opór zastępczy szeregowego układu oporników,
U₂ - to inaczej natężenie prądu pomiędzy punktami U_AB.
Oczywiście opór zastępczy oporników wynosi:

Obliczamy więc nasz szukany opór R₂ (środkowa część równania nie będzie nam potrzebna):

Wartość szukanego opornika wynosi 1 Ω.

Prąd elektryczny I - Zadanie 15

Treść: Do jakiego napięcia naładuje się kondensator w obwodzie elektrycznym na rysunku obok? Jaki będzie ładunek na kondensatorze? Przyjąć U=10V, R1=2Ω, R2=3Ω, C=1µF.

Dane: U = 10 V R1 = 2 Ω R2 = 3 Ω C = 1 µF

Szukane: UC = ? QC = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Powyższy rysunek przedstawia ten sam obwód elektryczny - jeśli tego nie widać od razu, należy się dokładniej przypatrzeć. :)
Mamy więc układ równoległy kondensatora i opornika 2, a układ ten jest połączony szeregowo z opornikiem pierwszym.
I teraz potrzebne są nam podstawowe wiadomości o kondensatorach.
Wiemy, że kondensator gromadzi ładunek - nie przepływa więc przez niego prąd. Dlatego przebieg natężenia prądu I w układzie zaznaczono niebieskimi strzałkami - widzimy, że dla natężenia prądu oporniki są połączone szeregowo. Dlatego opór zastępczy układu wynosi:

Ponieważ natężenie prądu w układzie szeregowym oporników jest stałe, to możemy zapisać, że:

Przekształcając wzór na prawo Ohma (wyprowadzamy z niego natężenie I) otrzymujemy:

Naszym zadaniem jest znaleźć napięcie U_BC. Ponieważ pod tym napięciem znajduje się układ równoległy kondensatora i opornika drugiego, to napięcia na tych podzespołach będą identyczne:

gdzie:
U_C - napięcie, do którego naładuje się kondensator (szukana),
U₂ - napięcie na drugim oporniku.

Korzystamy więc z naszego równania (środkowy człon nie będzie nam potrzebny) do wyliczenia szukanego napięcia:

Wyliczenie drugiej szukanej, czyli ładunku kondensatora, nie powinno sprawić trudności. Liczymy to ze wzoru na pojemność kondensatora, który przekształcamy do postaci:

Zatem kondensator naładował się do napięcia 6 woltów, a jego ładunek to 6 mikrokulombów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 16

Treść: Amperomierz o oporze wewnętrznym 1Ω posiada zakres do 3A. Jaki należy podłączyć równolegle do amperomierza opór, aby jego zakres rozszerzyć do 15A?

Dane: I1 = 3 A I2 = 15 A RA = 1 Ω

Szukane: R = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Skoro amperomierz pozwala nam mierzyć natężenie prądu do zakresu I₁, to napięcie na amperomierzu wynosi (przekształciłem wzór na prawo Ohma):

Teraz pod to samo napięcie przykładamy zmodyfikowany amperomierz. Dołączyliśmy do niego równolegle opornik R. Wobec tego opór zastępczy naszego układu wynosi:

Natężenie prądu na zmodyfikowanym amperomierzu ma wynosić I₂, napięcie jest równe więc:

Przyrównujemy nasze wzory na napięcia i otrzymujemy szukaną wartość oporu:

Aby uzyskać zakres pomiaru do 15 A, należy dołączyć równolegle do amperomierza opornik o wartości 0.25 Ω.

Prąd elektryczny I - Zadanie 17

Treść: Ile wynosi moc wydzielana na oporniku R3? Przyjąć: U=120V, I=3A, R1=20Ω, R2=60Ω.

Dane: U = 120 V I = 3 A R1 = 20 Ω R2 = 60 Ω

Szukane: P3 = ?

Wzory:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Skoro dotarłeś/aś już do tego zadania, bez problemu zauważysz, że obwód na powyższym rysunku jest identyczny z obwodem na rysunku z treści zadania.
Aby policzyć moc wydzieloną na oporniku R₃, należy znaleźć napięcie U₃ i natężenie I₃ dla tego opornika.
Przystępujemy do dzieła.
Źródło prądu daje napięcie U. Zgodnie z zasadami szeregowego łączenia oporników, zostaje one podzielone na napięcia U₁ i U₂₃. Jednocześnie natężenie prądu nie zmieni się:

Możemy zatem wyliczyć napięcie na oporniku pierwszym:

Zatem napięcie U₂₃ (czyli na układzie oporników połączonych równolegle) wynosi:

Przechodzimy teraz do równoległego układu oporników.
Wiemy, że w takim przypadku napięcie nie zmieni się, jednak podzieli się natężenie. Zatem słuszne są wzory:

Pamiętamy oczywiście, że:

Liczymy natężenie prądu dla opornika drugiego:

Zatem przez opornik trzeci przepływa prąd o natężeniu:

Szukana moc wydzielona na oporniku R₃ wynosi więc:

Prąd elektryczny I - Zadanie 18

Treść: Grzejnik elektryczny o oporze 12Ω pobierał prąd o natężeniu 10A. Po jakim czasie grzejnik zużył 10kWh energii?

Dane: R = 12 Ω I = 10 A E = 10 kWh

Szukane: t = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Co to jest kilowatogodzina (kWh)?
Jest to oczywiście alternatywna jednostka energii. Otóż my przyzwyczailiśmy się do podawania wartości energii wyrażonej w dżulach (J). Spróbujmy przeliczyć kilowatogodziny na dżule:

Skorzystaliśmy z tego, że moc razy czas daje nam energię (pracę)

Nasz grzejnik ma opór R i pobiera prąd o natężeniu I. Znajdźmy jego moc P. W tym celu korzystamy z odpowiedniego wzoru na moc:

Teraz szukamy czasu t. Grzejnik zużył W = 10 kWh energii. Przekształcając wzór na moc otrzymujemy:

W ten sposób możemy wyliczyć szukany czas

Sprawdzimy jeszcze jednostkę:

W ciągu 500 minut grzejnik zużyje 10 kilowatogodzin energii.

Zad19

Treść: Na końcach drutu oporowego panuje napięcie 3V. Jak należy zmienić pole przekroju poprzecznego drutu, aby po zmianie napięcia na 15V ilość ciepła wydzielającego się w drucie w jednostce czasu nie uległa zmianie (przy niezmienionej długości drutu)?

Dane: U1 = 3 V U2 = 15 V Q = const l = const (długość drutu) t = const

Szukane: S1 / S2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Zmieniając przekrój poprzeczny drutu, zmienimy jego opór R zgodnie ze wzorem:

gdzie:
l - długość drutu (const),
S - pole przekroju poprzecznego drutu,
ρ - opór właściwy (też const, bo ta wielkość charakteryzuje materiał, z którego wykonany jest drut).

Spróbujmy jeszcze wyrazić ciepło (pracę) prądu stałego przepływającego przez nasz drut. Korzystając z prawa Ohma, możemy je wyrazić na trzy równoważne sposoby:

Nam najbardziej przyda się wzór, w którym jest natężenie U oraz opór R, czyli

Korzystając z naszych rozważań o oporze, wzór na ciepło przyjmie postać:

Przed zmniejszeniem przekroju poprzecznego, gdy panowało napięcie U₁ mieliśmy sytuację (korzystamy od razu z tego, że W, t, l, ρ = const):

Po zwiększeniu napięcia:

Przyrównujemy oba wzory...

...upraszczamy co się da i otrzymujemy zależność:

Aby ilość ciepła w jednostce czasu nie uległa zmianie, należy zmniejszyć przekrój poprzeczny drutu 25 razy.

Prąd elektryczny I - Zadanie 20

Treść: Żarówka o mocy 20W przystosowana do napięcia 200V została włączona do napięcia 100V. Jaką posiada ona moc przy niezmienionej oporności włókna?

Dane: P1 = 20 W U1 = 200 V U2 = 100 V R = const

Szukane: P2 = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Indeksem "1" będziemy zaznaczać wielkości charakteryzujące żarówkę, do których jest przystosowana, a "2" wielkości, w których żarówka pracuje.
Należy znaleźć wzór na moc żarówki, w którym zarówno występuje napięcie U, jak i opór R. Znając jeden wzór na moc prądu stałego, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory (korzystając z prawa Ohma). Mamy zatem:

My oczywiście korzystamy z tego trzeciego.
Dla warunków "normalnych" dla żarówki mamy:

Dla żarówki z zadania:

W obu przypadkach korzystamy z tego, że opór R nie zmienia się. Po prawo wyprowadzamy wzory na opór, które teraz przyrównamy:

Możemy więc już znaleźć wartość szukanej mocy

Żarówka przy napięciu 100 woltów posiada moc 5 watów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 21

Treść: Na którym z oporników w obwodzie prądu stałego wydzieli się najwięcej ciepła? Przyjąć R1=1Ω, R2=1Ω, R3=2Ω, R4=1Ω.

Dane: R1 = 1 Ω R2 = 1 Ω R3 = 2 Ω R4 = 1 Ω

Szukane: WMAX = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na ciepło (pracę), możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając z prawa Ohma:

Będziemy korzystać ze wzoru, w którym występuje zarówno opór R, jaki i napięcie U. A dlaczego?
Dlatego, że stworzymy sobie teraz układ równoległy oporników 1-2-3 i 4. Wtedy napięcia na takich opornikach będą identyczne (czas również jest stały - liczymy ciepło w tych samych jednostkach czasu). Należy więc policzyć opór zastępczy układu oporników 1-2-3:

Liczymy ciepło (pracę) dla układu oporników 1-2-3 i opornika 4:

Czyli widzimy, że na opornikach 1-2-3 wydziela się mniej ciepła niż, na oporniku czwartym.

Najwięcej ciepła wydzieli się na oporniku czwartym.

Prąd elektryczny I - Zadanie 22

Treść: Na którym oporniku podczas przepływu prądu wydzieli się największa moc? Przyjąć R1=1Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=1Ω.

Dane: R1 = 1 Ω R2 = 2 Ω R3 = 3 Ω R4 = 1 Ω

Szukane: PMAX = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Mając jeden wzór na moc prądu, możemy wyprowadzić dwa pozostałe wzory, korzystając z prawa Ohma:

Rozważmy układ szeregowy oporników 1-2 i 3-4. Policzymy ich opory:

W układzie szeregowym mamy stałe natężenie prądu I, więc przekształcając wzór na prawo Ohma zauważymy, że:

Będziemy mieli teraz do rozważenia dwa równoległe układy oporników, w których napięcie prądu jest stałe. Mamy więc:

Czyli w grę tylko wchodzą oporniki nr 1 i 4. Ale:

Dlatego też największa moc wydzieli się na oporniku czwartym.

Prąd elektryczny I - Zadanie 23

Treść: Winda o ciężarze 5000N wznosiła się przez 10 sekund. Na jaką wysokość wzniosła się winda, jeżeli natężenie prądu w silniku windy wynosiło 10A, a napięcie 500V?

Dane: Q = 5000 N t = 10 s I = 10 A U = 500 V

Szukane: s = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Jak już się domyślacie, w zadaniu trzeba porównać powyższe dwa wzory na pracę. Jednocześnie przypomnimy sobie parę informacji z dynamiki. :)
Pierwszy wzór na pracę to iloczyn wektora siły, wektora przesunięcia i kąta między nimi. Winda porusza się w górę, wektory siły działającej i przesunięcia mają te same zwroty oraz kierunki, więc

Zatem wzór na pracę przyjmie postać:

Zakładamy, że siłą działającą jest siła równoważna sile ciężkości, a wtedy zgodnie z I zasadą dynamiki winda będzie poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Wzór na pracę prądu stałego ma postać:

Należy więc porównać oba wzory na pracę i wyliczyć szukane przesunięcie (droga) s:

Sprawdzimy jeszcze jednostkę:

Zatem winda wzniosła się na wysokość 10 metrów.

Prąd elektryczny I - Zadanie 24

Treść: Do obwodu prądu stałego o napięciu 220V włączono silnik elektryczny. Oporność uzwojeń silnika wynosi 20Ω, a natężenie prądu płynącego przez silnik wynosi 1A. Ile wynosi moc użytkowa oraz sprawność silnika?

Dane: U = 220 V RS = 20 Ω I = 1 A

Szukane: PUŻ = ? η = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Moc silnika można wyliczyć z trzech alternatywnych wzorów. Mając jeden z nich i stosując prawo Ohma, otrzymamy dwa pozostałe, tak więc

Mamy obwód elektryczny, do którego podłączony jest silnik. Parametry prądu elektrycznego określają wartości napięcia U i natężenia I. Korzystając z prawa Ohma, możemy obliczyć opór:

Ale zaraz, my przecież już mamy dany jakiś opór. Owszem, ale to jest tylko opór uzwojenia silnika i wchodzi on w skład oporu całkowitego R.
No właśnie. Korzystając z oporu całkowitego R, możemy obliczyć moc całego układu:

Mogliśmy skorzystać z innego wzoru na moc, to bez różnicy - zawsze wyjdzie to samo.
A jak obliczyć moc użytkową? Tak samo, tylko że zmieni nam się wartość oporu. Od całkowitego oporu odejmujemy opór uzwojenia silnika i w ten sposób otrzymamy opór "użytkowy":

Liczymy więc moc użytkową:

Teraz bez problemu możemy wyliczyć sprawność silnika:

Moc użytkowa silnika wynosi 200 watów, a jego sprawność około 91%.

Prąd elektryczny I - Zadanie 25

Treść: Mierząc sprawność grzałki elektrycznej podczas ogrzewania wody, otrzymano wynik: η=80%. Ile ciepła w ciągu 5 minut woda pobrała od grzałki, jeżeli moc prądu płynącego przez grzałkę wynosiła 500W?

Dane: P = 500 W η = 80% t = 5 min = 300 s

Szukane: W = ?

Wzory:

Rozwiązanie:
Uwaga! Przed rozwiązaniem tego zadania, przyda się zapoznanie z zadaniem poprzednim.
Aby obliczyć ilość ciepła, jakie woda pobrała od grzałki, musimy znaleźć moc użytkową grzałki. Gdyby sprawność grzałki wynosiła 100%, to moglibyśmy skorzystać już z danej mocy P, jednak tak nie jest. Zatem korzystamy ze wzoru na sprawność i liczymy moc użytkową P_UŻ:

Ilość ciepła znajdujemy korzystając ze wzoru na pracę prądu stałego:

A zatem:

Woda pobrała od grzałki 120 kilodżuli ciepła.

36

---