1. Wprowadzenie teoretyczne

Gaz wypływający przez otwór (lub dyszę zbieżną) w ścianie zbiornika rozpręża się według przemiany adiabatycznej, tzn. bez wymiany ciepła z otoczeniem. Aby określić parametry przepływu gazu w tej przemianie korzystamy z równań: Bernoulliego, adiabaty, Clapeyrona, ciągłości. Prędkość wypływu gazu przez otwór w ścianie zbiornika obliczamy ze wzoru Saint-Venanta-Wantzela lub ze wzoru na krytyczną prędkość. Skorzystanie z jednego albo drugiego wzoru uzależnione jest od następujących warunków:

gdzie:

• p₁ - ciśnienie panujące na zewnątrz zbiornika,

• p₀ - ciśnienie panujące wewnątrz zbiornika.

Jeżeli spełniony jest pierwszy warunek to stosujemy wzór Saint-Venanta-Wantzela, a jeżeli warunek drugi to wzór na krytyczną prędkość.

Rys. 1.1. - Schemat stanowiska

W skład stanowiska pomiarowego wchodzą:

• dmuchawa powietrza z pierścieniem wodnym,

• separator wody,

• zbiornik,

• dysza wylotowa,

• manometr sprężysty,

• termometr,

• rurka spiętrzająca Prandtla,

• manometr różnicowy,

• zawór zasilający z sieci wodociągowej,

• zawór rozprężny,

• zawór spustowy,

• odbiornik wody,

• czujnik temperatury,

• miernik.

2. Wzory i obliczenia do ćwiczenia

Dane do obliczeń:

Ciśnienie panujące w pomieszczeniu:

p₁ = p_a = 0,1002 MPa

Ciśnienie w zbiorniku ze sprężonym powietrzem:

p_nzb = p_n0 = 0,055 MPa

Suma obydwu ciśnień:

p₀ = p_n0 + p₁ = 0,055 + 0,1002 = 0,1552 MPa

Z tablic odczytujemy stosunek ciśnień dla χ = 1,4:

= 0,5283

W naszym przypadku:

, stąd

Do dalszych obliczeń będziemy stosowali wzór Saint-Venanta-Wantzela, dzięki któremu obliczymy teoretyczną prędkość wypływu gazu v₁.

Wzór Saint-Venanta-Wantzela:

gdzie:

T₀ = 273,15 + 27 = 300,15 K (temperatura gazu wewnątrz zbiornika)

Znając wartości nadciśnienia p_n0 i temperatury spiętrzenia powietrza w zbiorniku oraz ciśnienia atmosferycznego p₁=p_a wyliczymy teoretyczną prędkość wypływu gazu v₁:

.

Rozkład prędkości wzdłuż osi strumienia powietrza wypływającego z dyszy:

Prędkość lokalną możemy obliczyć ze wzoru:

,

gdzie:

• ϕ - współczynnik prędkości, dla rurki Prandtla w doświadczeniu wynosi ϕ = 0,99;

• ψ - współczynnik uwzględniający wpływ ściśliwości gazu (powierza), wynoszący dla odległości większej od 30 [mm] - 1,0.

• ρ - gęstość gazu w strudze, wyznaczamy z równania Clapeyrona;

• p₀-p₁ - różnica ciśnienia całkowitego i statycznego,
  ;

• ρ_cm - gęstość cieczy manometrycznej = gęstości wody;

• ρ`- gęstość gazu nad cieczą manometryczną;

Uwzględniając, że gęstość gazu ρ` jest daleko mniejsza od gęstości wody ( ρ`<<ρ_H2O), otrzymujemy wzór:

,

Prędkość strumienia w odległości 4,2 cm od otworu wylotowego wynosi:

Dalsze obliczenia zestawione są w tabelach na stronach 4, 5, 6 i 7.

Objętościowe natężenie przepływu.

Aby policzyć objętościowe natężenie przepływu w określonym przekroju poprzecznym, należy podzielić ten przekrój na pierścienie. Znając średnią prędkość w danym pierścieniu, obliczoną z różnicy wskazań na manometrze, pomierzoną w czterech punktach na danym promieniu i znając pole pierścienia, możemy policzyć objętościowe natężenie przepływu w danym pierścieniu. Zsumowane wartości objętościowego natężenia przepływu we wszystkich pierścieniach dadzą całkowitą wartość objętościowego natężenia przepływu w danym przekroju poprzecznym.

Objętościowe natężenie przepływu liczymy ze wzoru:

gdzie:

-
- uśredniona prędkość w środku pierścienia
w odległości
od osi strumienia;

-
- pole i-tego pierścienia o szerokości
w przekroju poprzecznym strumienia;

Dla przekroju j=i (L=4,2cm), dla pierścienia nr. 0:

gdzie
to średnia prędkość strumienia dla danego pierścienia

Dalsze obliczenia zestawione są w tabelach na stronach 4, 5, 6 i 7.

3. Zestawienie wyników.

Tab. 3.1. - Rozkład prędkości wzdłuż osi strumienia

Nr. Serii	lp.	L [cm]	H1[m]	H2[m]	Hśr[m]
1	1	4,2	0,350	-0,085	0,435
		2	8,2	0,165	0,040	0,125
		3	12,2	0,120	0,070	0,050
		4	16,2	0,104	0,082	0,022
		5	20,2	0,098	0,085	0,013
		6	24,2	0,096	0,086	0,010
		7	28,2	0,094	0,090	0,004
	2	1	4,2	0,350	-0,086	0,436
		2	8,2	0,166	0,041	0,125
		3	12,2	0,120	0,071	0,049
		4	16,2	0,106	0,079	0,027
		5	20,2	0,100	0,082	0,018
		6	24,2	0,098	0,085	0,013
		7	28,2	0,094	0,089	0,005

Lp - liczba porządkowa

L - odległość rurki Prandla od otworu dyszy

H₁ - odczyt pierwszej wysokości z manometru

H₂ - odczyt drugiej wysokości z manometru

H_śr - różnica wskazań manometru

Tab. 3.2. - Rozkład prędkości wzdłuż osi strumienia - dalsze obliczenia

L [cm]	ΔH1[mm]	ΔH2[mm]	Hśr[mm]	v[m/s]
4,2	435	436	435,5	24,934
8,2	125	125	125	13,359
12,2	50	49	49,5	8,406
16,2	22	27	24,5	5,914
20,2	13	18	15,5	4,704
24,2	10	13	11,5	4,052
8,2	4	5	4,5	2,535

L - odległość rurki Prandla od dyszy

H₁ - różnica wskazań manometru dla pierwszego pomiaru

H₂ - różnica wskazań manometru dla drugiego pomiaru

H_śr - średnia różnica wskazań manometru

V - obliczona prędkość strugi powietrza

Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia powietrza, temperatura strumienia w określonych punktach oraz objętościowe natężenie przepływu.

Tab. 3.3.1 - Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia, wzdłuż osi poziomej:

Seria	L[cm]	L0[cm]	H1[m]	H2[m]	ΔH1[m]
1	8,550	-1,050	0,090	0,090	0,000
		8,700	-0,900	0,092	0,088	0,004
		8,850	-0,750	0,100	0,084	0,016
		9,000	-0,600	0,128	0,065	0,063
		9,150	-0,450	0,180	0,030	0,150
		9,300	-0,300	0,270	-0,040	0,310
		9,450	-0,150	0,036	-0,092	0,128
		9,600	0,000	0,350	-0,085	0,435
		9,750	0,150	0,300	-0,050	0,350
		9,900	0,300	0,217	0,012	0,205
		10,050	0,450	0,150	0,050	0,100
		10,200	0,600	0,105	0,078	0,027
		10,350	0,750	0,095	0,085	0,010
		10,500	0,900	0,092	0,088	0,004
		10,650	1,050	0,090	0,090	0,000
	2	8,550	-1,050	0,091	0,090	0,001
		8,700	-0,900	0,093	0,087	0,006
		8,850	-0,750	0,101	0,085	0,016
		9,000	-0,600	0,130	0,070	0,060
		9,150	-0,450	0,182	0,032	0,150
		9,300	-0,300	0,270	-0,042	0,312
		9,450	-0,150	0,362	-0,092	0,454
		9,600	0,000	0,350	-0,085	0,435
		9,750	0,150	0,301	-0,050	0,351
		9,900	0,300	0,220	0,015	0,205
		10,050	0,450	0,152	0,050	0,102
		10,200	0,600	0,103	0,078	0,025
		10,350	0,750	0,093	0,085	0,008
		10,500	0,900	0,092	0,088	0,004
		10,650	1,050	0,090	0,085	0,005

L - położenie rurki Prandla względem miarki umieszczonej na modelu

L₀ - odległość od punktu „0”

H₁ - odczyt pierwszej wysokości z manometru

H₂ - odczyt drugiej wysokości z manometru

ΔH - różnica wskazań manometru

Tab. 3.3.2 - Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia, wzdłuż osi poziomej - dalsze obliczenia

pierścień	ΔH1[mm]	ΔH2[m]	Hśr[m]	v[m/s]
7	0,000	0,001	0,001	2,844
6	0,004	0,006	0,005	8,994
5	0,016	0,016	0,016	16,089
4	0,063	0,060	0,062	31,543
3	0,150	0,150	0,150	49,262
2	0,310	0,312	0,311	70,933
1	0,128	0,454	0,291	68,615
0	0,435	0,435	0,435	83,891
1	0,350	0,351	0,351	75,303
2	0,205	0,205	0,205	57,590
3	0,100	0,102	0,101	40,423
4	0,027	0,025	0,026	20,510
5	0,010	0,008	0,009	12,067
6	0,004	0,004	0,004	8,045
7	0,000	0,005	0,003	6,360

Tab. 3.3.3 - Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia, wzdłuż osi poziomej - obliczenia końcowe

pierścień	v[m/s] seria1	v[m/s] seria 2	vśr[m/s]
0	-	83,891	83,891
1	75,303	68,615	71,959
2	57,590	70,933	64,262
3	40,423	49,262	44,843
4	20,510	31,543	26,026
5	12,067	16,089	14,078
6	8,045	8,994	8,519
7	6,360	2,844	4,602

Tab. 3.4.1 - Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia, wzdłuż osi pionowej

Seria	L[cm]	L0[cm]	H1[m]	H2[m]	ΔH2[m]
1	50,050	-1,050	0,091	0,088	0,003
		50,200	-0,900	0,095	0,088	0,007
		50,350	-0,750	0,105	0,079	0,026
		50,500	-0,600	0,148	0,053	0,095
		50,650	-0,450	0,221	0,005	0,216
		50,800	-0,300	0,310	-0,062	0,372
		50,950	-0,150	0,375	-0,103	0,478
		51,100	0,000	0,380	-0,108	0,488
		51,250	0,150	0,308	-0,050	0,358
		51,400	0,300	0,198	0,018	0,180
		51,550	0,450	0,130	0,060	0,070
		51,700	0,600	0,103	0,080	0,023
		51,850	0,750	0,093	0,088	0,005
		52,000	0,900	0,091	0,088	0,003
		52,150	1,050	0,090	0,090	0,000
	2	50,050	-1,050	0,091	0,089	0,002
		50,200	-0,900	0,095	0,088	0,007
		50,350	-0,750	0,105	0,079	0,026
		50,500	-0,600	0,148	0,053	0,095
		50,650	-0,450	0,221	0,006	0,215
		50,800	-0,300	0,310	-0,062	0,372
		50,950	-0,150	0,380	-0,103	0,483
		51,100	0,000	0,385	-0,108	0,493
		51,250	0,150	0,305	-0,055	0,360
		51,400	0,300	0,200	0,020	0,180
		51,550	0,450	0,135	0,060	0,075
		51,700	0,600	0,102	0,080	0,022
		51,850	0,750	0,093	0,089	0,004
		52,000	0,900	0,092	0,090	0,002
		52,150	1,050	0,091	0,090	0,001

L - położenie rurki Prandla względem miarki umieszczonej na modelu

L₀ - odległość od punktu „0”

H₁ - odczyt pierwszej wysokości z manometru

H₂ - odczyt drugiej wysokości z manometru

ΔH - różnica wskazań manometru

Tab. 3.4.2 - Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia, wzdłuż osi pionowej - dalsze obliczenia

pierścień	ΔH1[m]	ΔH2[m]	Hśr[m]	v[m/s]
7	0,003	0,002	0,003	6,360
6	0,007	0,007	0,007	10,642
5	0,026	0,026	0,026	20,510
4	0,095	0,095	0,095	39,204
3	0,216	0,215	0,216	59,047
2	0,372	0,372	0,372	77,579
1	0,478	0,483	0,481	88,169
0	0,488	0,493	0,491	89,082
1	0,358	0,360	0,359	76,211
2	0,180	0,180	0,180	53,964
3	0,070	0,075	0,073	34,248
4	0,023	0,022	0,023	19,079
5	0,005	0,004	0,005	8,533
6	0,003	0,002	0,003	6,360
7	0,000	0,001	0,001	2,844

Tab. 3.4.3 - Rozkład prędkości w przekroju poprzecznym strumienia, wzdłuż osi pionowej - obliczenia końcowe

pierścień	v[m/s] seria1	v[m/s] seria 2	vśr[m/s]
0	-	89,082	89,082
1	76,211	88,169	82,190
2	53,964	77,579	65,771
3	34,248	59,047	46,647
4	19,079	39,204	29,142
5	8,533	20,510	14,521
6	6,360	10,642	8,501
7	2,844	6,360	4,602

ΔH₁ - różnica wskazań manometru dla pierwszego pomiaru

ΔH₂ - różnica wskazań manometru dla drugiego pomiaru

ΔH_śr - średnia różnica wskazań manometru

V - obliczona prędkość strugi powietrza

Vśr - średnia prędkość strugi powietrza

A - pole powierzchni pierścienia

Q - objętościowe natężenie przepływu w danym pierścieniu

Tab. 3.5. - średnie prędkości strugi powietrza, pole powierzchni pierścienia oraz objętościowe natężenie przepływu.

pierścień	vśr[m/s] poziomo	vśr[m/s] pionowo	vśr[m/s]	r[m]	A[m^2]	Q[m^3/s]
0	83,89	89,08	86,49	0,0015	0,00001414	0,001223
1	71,96	82,19	77,07	0,003	0,00002827	0,002179
2	64,26	65,77	65,02	0,0045	0,00004241	0,002757
3	44,84	46,65	45,75	0,006	0,00005655	0,002587
4	26,03	29,14	27,58	0,0075	0,00007069	0,00195
5	14,08	14,52	14,30	0,009	0,00008482	0,001213
6	8,52	8,50	8,51	0,0105	0,00009896	0,000842
7	4,60	4,60	4,60	0,012	0,00011310	0,00052
					ΣA	ΣQ
	delta ri	0,0015	m		0,00050894	0,013272

Pole powierzchni pierścienia - A oraz objętościowe natężenie przepływu w danym pierścieniu - Q, zestawione w tabeli 3.5., zostały wyliczone na podstawie wzorów zamieszczonych na stronie 4!!

Znając średnicę otworu dyszy d = 2 mm oraz v_t, możemy wyliczyć Q_t - teoretyczne natężenie przepływu:

Z powyższego wykresu rozpływu strumienia wnioskujemy, że w osi wypływu powietrza, czyli dla pierścienia zerowego prędkość powietrza jest największa. Natomiast na granicach strumienia i otaczającej go cieczy występuje duża różnica prędkości między sąsiednimi strugami. W obszarze tym burzliwość ruchu jest największa.

4. Wnioski

Na podstawie otrzymanych wyników możemy wnioskować, że prędkości na poszczególnych pierścieniach, nie zależnie od położenia punktu pomiarowego na poszczególnym pierścieniu są porównywalne. Doświadczenia pokazało również, że na zewnętrznych pierścieniach zarówno prędkość średnia jak i objętościowe natężenie przepływu jest mniejsze niż na tych wewnętrznych.

Tak, więc z policzonych wartości objętościowego natężenia przepływu można wywnioskować, że w miarę wzrastania odległości od otworu wylotowego ta wartość maleje, mimo iż teoretycznie powinna być stałą. Najprawdopodobniej przyczyną tego jest dobrany zbyt mały promień przekroi poprzecznych i w związku z tym zewnętrzna część strumienia powietrza nie została w ogóle wzięta pod uwagę w doświadczeniu.

Zarówno prędkość wypływu gazu obliczona metodą teoretyczna oraz metoda doświadczalną, jaki i natężenie przepływu wyliczone tymi dwoma metodami znacznie się od siebie różni, co w pewnym stopniu spowodowane jest błędami grubymi, popełnionymi podczas wykonywania ćwiczenia. Jednak w głównym stopniu na tę różnicę wpłynęły zawirowaniami powietrza, które występowały tuż za wylotem dyszy. Jest to zjawisko, które nie zależnie od naszej dokładności zawsze wpłynie na wynik końcowy i spowoduje dość znaczną różnicę pomiędzy wynikami teoretycznymi i doświadczalnymi.

- 9 -

---