Zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwania się reprezentacjami symbolicznymi w zakresie pojęć liczbowych, działań arytmetycznych i schematów graficznych.
Jak już wspominałam we wcześniejszych rozdziałach jednym z głównych zadań nauczania początkowego matematyki jest umożliwienie uczniom interioryzacji podstawowych pojęć matematycznych. Wymaga to od dziecka wstępującego do szkoły, aby było w stanie oderwać swoje myślenie od przedmiotów konkretnych i posługiwać się ich reprezentacjami, docelowo- symbolicznymi. Warunek taki uznaje także E. Gruszczyk – Kolczyńska jako jeden ze składowych dojrzałości do uczenia się matematyki na sposób szkolny. Zanim przejdę do omówienia teorii reprezentacji pragnę przyjrzeć się innym opisom przechodzenia od konkretu do abstrakcji. Jeden z nich przedstawia A. Olecka prezentując w swoim artykule podział Z.P. Diensa:
Etap swobodnej zabawy
Etap gry z ustalonymi regułami
Etap porównywania różnych gier i szukania wspólnych treści matematycznych
Etap graficznej reprezentacji gier
Etap symbolicznego opisu różnych reprezentacji
Etap dedukcyjny.1
Nieco inaczej ujmuje tę kwestię P.I. Galpiergin cytowany przez T. Tomaszewskiego. Wyróżnia on następujące fazy przechodzenia od czynności zewnętrznych do umysłowych:
Faza orientacyjna: zapoznanie się ze wzorem czynności, która ma być wykonana, i z innymi informacjami otrzymywanymi od dorosłych, dotyczącymi zadania, które ma być wykonane
Wykonanie samej czynności na przedmiotach rzeczywistych bądź na materialnej reprezentacji przedmiotów (rysunkach, makietach itp.); czynności są wykonywane bądź całkowicie, bądź tylko skrótowo
Wykonywanie czynności na przedmiotach wyobrażonych przez głośne operowanie odpowiednimi nazwami
Przejście od mowy głośnej do mowy cichej
Czynności umysłowe odbywające się bez uświadamiania sobie ich przebiegu.2
Choć powyższe klasyfikacje akcentują różne sposoby poznawania rzeczywistości w swej istocie są do siebie podobne. Opierają się bowiem na podstawowych etapach przechodzenia od konkretu do abstrakcji. Skonstruowaną w ten sam sposób, choć o wiele bardziej przejrzystą teorię stworzył Jerome Bruner. Posługuje się on terminem reprezentacji, którą definiuje jako zbiór reguł w kategoriach których jednostka tworzy pojęcie stałości zdarzeń, z którymi się zetknęła.3
Istnieją trzy sposoby reprezentacji, rozwojowo kolejno po sobie następujące. Najwcześniejszą z nich jest reprezentacja enaktywna. J. Bruner definiuje ją jako reprezentowanie zdarzeń ubiegłych za pośrednictwem odpowiedniej reakcji ruchowej.4 Inaczej mówiąc: jest to tworzenie schematu czynności tego, co jest reprezentowane. Poznanie przez działanie jest pierwszym jego rodzajem dostępnym człowiekowi. Niemowlę poznaje świat przede wszystkim poprzez aktywność ruchową.
Z czasem kolejnym ważnym źródłem informacji o świecie staje się zmysł wzroku. Wtedy możemy zacząć mówić o reprezentacji ikonicznej. Według Brunera podsumowuje ona zdarzenia przez wybiórczą organizację spostrzeżeń i wyobrażeń, przez czasową, przestrzenną i jakościową strukturalizację pola spostrzeżeniowego oraz przekształcone obrazy tych struktur. Obrazy czy wyobrażenia przedstawiają zdarzenia percepcyjne w sposób zbliżony, lecz konwencjonalnie wybiórczy- tak jak rysunki przedstawiają narysowany przedmiot. 5
Ostatnią reprezentacją pojawiającą się w rozwoju jest reprezentacja symboliczna. Jej pojawienie się jest związane z rozwojem mowy dziecka i zbiega się w czasie z jej pojawieniem. Bruner pisze, iż system symboliczny reprezentuje rzeczy za pośrednictwem cech modelowanych w sposób odległy i arbitralny. Słowo ani nie wskazuje bezpośrednio „tu i teraz” na swój desygnat, ani nie przypomina go jako obraz. Jest oderwane od konkretów i dlatego produktywność kombinacji języka znacznie przekracza to, co da się zrobić z obrazami myślowymi czy schematami działania.6 Istotą reprezentacji symbolicznej jest to, iż fakty są kodowane za pomocą abstrakcyjnych symboli takich jak słowa mówione lub pisane czy symbole matematyczne. Anna Sajdak zwraca uwagę, ze każda, nawet najprostsza formuła matematyczna stanowi dla dziecka trudna syntezę symboliczną.7
Edyta Gruszczyk – Kolczyńska zwraca uwagę na to, że sukcesy w nauce zależą od łatwości przechodzenia z jednego poziomu reprezentacji na drugi, do integrowania doświadczeń na poziomie reprezentacji symbolicznych. Takie kompetencje są konieczne dla rozpoczęcia nauki czytania i pisania, a także do uczenia się matematyki na sposób szkolny. W jednym i w drugim przypadku dziecko musi się bowiem nauczyć kodowania i dekodowania informacji oraz zrozumieć sens tak ujmowanych pojęć i umieć się nimi posługiwać. 8 W nauczaniu początkowym matematyki oprócz symboli matematycznych dziecko styka się z reprezentacjami graficznymi. W zamyśle autorów najczęściej mają one na celu zobrazowanie treści i ułatwienie przez to ich zrozumienia. Korzystanie z nich wymaga jednak od dziecka swobodnego posługiwania się wszystkimi typami reprezentacji i przekodowywania jednych na drugie. Szczególną rolę na tym etapie nauczania spełniają tzw. reprezentacje ideograficzne.
Reprezentacje graficzne w nauczaniu początkowym matematyki
Reprezentacje ideograficzne są to rysunki schematyczne, uproszczone, stylizowane, jednak zawsze odzwierciedlające jakieś istotne cechy rozpatrywanych pojęć i sytuacji.9 Reprezentacja taka w nauczaniu początkowym stanowi fazę przejściową między rozumowaniem konkretnym a abstrakcyjnym. Powinna być ona wykorzystywana wówczas, gdy sytuacja zaprezentowana w zadaniu jest dla dziecka zbyt trudna. Rysowanie schematu przyjmuje w tym przypadku funkcje manipulacji na przedmiotach. Zdaje ono jednak swoją rolę tylko wtedy, gdy dziecko należycie rozumie istotę schematu i nie jest on stosowany w sposób sztuczny. A. Olecka i Z. Semadeni wyróżniają następujące rodzaje reprezentacji ideograficznych:10
strzałki- wprowadza się stopniowo przechodząc od strzałek symbolizujących kierunek wykonywania konkretnych czynności do strzałek mających bardziej abstrakcyjne znaczenie. Mogą one mieć różne znaczenie:
- strzałki wskazujące doraźnie kierunek ruchu
- strzałki pokazujące zwrot na osi liczbowej lub osi układu współrzędnych
- strzałki symbolizujące działania arytmetyczne
- strzałki ustalające jakieś przyporządkowanie, odpowiedniość lub relację
2. tabele – są szeroko rozpowszechnionym sposobem przedstawiania danych. Pozwalają uprościć sytuację i przedstawić w sposób bardziej przejrzysty istotne rzeczy. Wobec tego uczeń musi posiąść wprawę w ich odczytywaniu i stosowaniu.
3. drzewa – są schematami, które spotyka się dość często. Typowymi przykładami są np. drzewa genealogiczne. Drzewa mogą służyć do klasyfikacji elementów danego zbioru oraz w arytmetyce przy ustalaniu kolejności wykonywanych działań.
E. Gruszczyk – Kolczyńska po przeprowadzeniu analizy dziecięcych podręczników do matematyki wyróżniła pięć kategorii występujących w nich schematów graficznych11:
- strzałki lub kreski przedstawiające czynność łączenia w pary wybranych obiektów, a więc przyporządkowywanie
- pętle będące symbolem oddzielania wybranych obiektów od innych
- strzałki z zaznaczonymi w równych odstępach punktami i zapisanymi obok cyframi jako schemat osi liczbowej
- „drzewka” i „słoneczka”
- pierwsze tabelki.
Reprezentacje graficzne właściwie wprowadzone i stosowane mogą stać się dla dziecka znacznym ułatwieniem. Nie należy jednak zapominać, ze ich stosowanie niesie za sobą pewne niebezpieczeństwa. Marek Pisarski zwraca uwagę, że w praktyce szkolnej mocno zakorzenione jest przekonanie, że rysunki stanowią jednak wystarczające ułatwienie umożliwiające zrozumienie pojęć matematycznych.(…) Słusznym wydaje się, aby odpowiednia reprezentacja graficzna była wprowadzana dopiero wtedy, gdy dzieci chętnie przyjmą ją jako ułatwienie, dzięki któremu rzeczywiście będą mogły szybciej i bez zbędnych już teraz czynności konkretnych zrozumieć istotę zadania lub rozwiązać je w sposób prostszy.12
1 A. Olecka, Pewna koncepcja strukturalizacji nauczania początków rachunku prawdopodobieństwa, „Dydaktyka Matematyki” 3(1983), s. 85-154
2 T. Tomaszewski, Wstęp do psychologii, Warszawa 1971, s.223
3 J.Bruner, Poza dostarczone informacje. Warszawa 1978, s. 530-531
4 Tamże, s.548
5 Tamże.
6 Tamże.
7 A. Sajdak, Wprowadzenie dziecka w świat języka matematyki w: Mój uczeń przekracza próg szkolny. (red.) J. Kędzierska. Kraków 2005, s.35
8, Dzieci ze specyficznymi trudnościami w uczeniu się matematyki. Warszawa 1997, s. 85
9 A. Olecka, Z. Semadeni, Rola reprezentacji graficznych, w: Nauczanie początkowe matematyki, t. I. Warszawa 1991, s. 77
10 A. Olecka, Z. Semadeni, tamże, s. 79-83
11 E. Gruszczyk – Kolczyńska, tamże, s. 96- 100
12 M. Pisarski, Ułatwienia metodyczne w nauczaniu początkowym matematyki w: Dydaktyka matematyki. O badaniach nad nauczaniem i uczeniem się matematyki. Kraków 1996, s. 154