Metoda Eulera
Wez
my równanie różniczkowe w postaci:
y (x)=f(x,y) dla a<=x<=b
y(a)=ya
Takie równanie wraz z podanym warunkiem początkowym nazywamy zagadnieniem
początkowym Cauchy ego.
Niech xi=a+ih, i=0,1,& ,N, gdzie h=(b-a)/N. Pochodną y (x) przybliżamy ilorazem
różnicowym pierwszego rzędu opartym na węzłach x i x+h. Jeżeli funkcja f jest ciągła na
przedziale [a,b] i posiada pochodną, to ze wzoru Taylora otrzymamy:
y(x +� h) -� y(x) h
y'(x) =� +� y"(x�) , gdzie x� ��[x, x +� h].
h 2
Wykorzystując warunek początkowy dla x=xi i odrzucając resztę we wzorze Taylora
dostajemy:
y(xi+�1) =� y(xi ) +� hf (xi , y(xi ))
��
��
y(a) =� ya
��
Schemat metody Eulera:
yi+�1 =� yi +� hf (xi , yi )
��
��
y0 =� ya
��
Przykład:
Oblicz y(0,3) dla y spełniającego równanie:
y (x)=x2+y
y(0)=0,1
Rozwiązanie:
Przyjmujemy h=0,1
x0=0
y0=0,1
x1=x0+h=0,1
y1=y(0,1)=y0+h(x02+y0)=0,1+0,1(02+0,1)=0,11
x2=x1+h=0,2
y2=y(0,2)= y1+h(x12+y1)=0,11+0,1(0,01+0,11)=0,122
x3=0,3
y3=0,122+0,1(0,04+0,122)=0,1382.
Odpowiedz
: y(0,3)=0,1382.
Metoda Rungego-Kutty
Metody Rungego-Kutty to metody numerycznego rozwiązywania równania różniczkowego
pierwszego rzędu w postaci:
y =f(x,y).
Rozwiązaniem takiego zagadnienia jest funkcja f(x,y(x))=y (x) dla x ��[a,b] . Rozwiązanie to
nie jest jednoznczne, dlatego by uzyskać jednoznaczne rozwiązanie konieczne jest zadanie na
przykład warunku początkowego:
y(a)=ya.
Takie zagadnienie nosi nazwę zagadnienia Cauchy ego [1].
Metoda Rungego-Kutty jest zdefiniowana wzorem:
yi+�1 =� yi +� hf�(xi , yi ,h) , i=0,1,& ,N-1
y0=ya
gdzie:
r
��
f�(x, y, h) =� ki
��ci
��
�� i=�1
dla i=1,2,& ,r.
��
r r
��ki =� ki (x, y, h) =� f ć� x +� h , y +� h k j ��
�� ��
��bij ��bij
�� ��
��
j=�1 j=�1
Ł� ł�
��
Rząd metody Rungego-Kutty jest równy r. Najczęściej stosuje się metodę Rungego-Kutty
czwartego rzędu (RK4), dla której powyższe wzory przyjmują postać:
1
f�(x, y,h) =� (k1 +� 2k2 +� 2k3 +� k4 ) ,
6
k1 =� f (x, y) ,
1 1
k2 =� f (x +� h, y +� hk1) ,
2 2
1 1
k3 =� f (x +� h, y +� hk2 ) ,
2 2
k4 =� f (x +� h, y +� hk3) .
Metoda Rungego-Kutty drugiego rzędu (zmodyfikowana metoda Eulera):
1
f�(x, y, h) =� (k1 +� k2 ) ,
2
k1 =� f (x, y) ,
k2 =� f (x +� h, y +� hk1) .
Przykład:
y'=y-x2, y0=1, h=0,01.
Obliczymy wartość rozwiązania y w punkcie x=0,1.
Dla metody RK4:
y(0,1)= 1,104845
Dla metody RK2:
k1=1, k2=1,09, Ć=1,045, yi=1,1045
y(0,1)=1,104821
Rozwiązanie dokładne to funkcja y=2+2x+x2-ex, która w punkcie x=0,1 przyjmuje wartość
1,104829.
1. Jankowscy, Janina i Michał. Przegląd Metod i Algorytmów Numerycznych, cz.1.
Warszawa : Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1981. ISBN 83-204-0226-3.