Józef Beluch, Robert Krzyżek, Stanisław Latoś
6.11. Obliczenie i wyrównanie sposobem przybliżonym ciągu
poligonowego sytuacyjnego obustronnie dowiązanego kątowo i liniowo
A. Wprowadzenie
Ciąg poligonowy obustronnie nawiązany kątowo i liniowo wraz z oznaczeniami
przedstawiony jest na rysunku 6.38.
n+1
A n-1
0
A
n
d
n-1
2
ą n
n-1
ą
n
d
2
d
n-2
n-2
ą
2
1
3
d
1
ą
n-2
ą
1
ą
3
Rys. 6.38 Ciąg poligonowy obustronnie dowiązany
Obliczenie tego typu ciągu rozpoczynamy od wyznaczenia azymutu początkowego A0 i
końcowego An wzorami (6.1)  (6.3) i ich sprawdzenia wzorami (6.12)  (6.14).
Suma teoretyczna kątów w ciągu obustronnie nawiązanym wynosi:
- dla kątów lewych
[ą]t = An  A0 + n �" 1800 (6.81)
- dla kątów prawych
[�]t = A0  An + n �" 1800 (6.82)
Odchyłkę kątową wyznaczamy wzorami
f = [ą] -[ą]
ą p
t
oraz (6.83)
f = [�] -[�]
� p t
gdzie
[ą] , [�] - suma katów pomierzonych
p p
Odchyłkę kątową można także liczyć jako różnicę azymutów ostatniego boku ciągu:
'
f = A - A (6.84)
� n n
gdzie
1
' 0
A = A - n �"180 + [ą] (6.85)
p
n 0
lub
' 0
A = A + n �"180 -[�] (6.86)
n 0 p
Obliczona odchyłka powinna spełniać warunek:
f d" f (6.87)
� �dop
gdzie
f = m n (6.88)
�dop 0
- średni błąd pomiaru kąta.
m
0
W ciągach sytuacyjnych zakładanych w celu zagęszczenia osnowy pomiarowej pomiary
kątowe należy wykonać w taki sposób ażeby średni błąd:
'' cc
m d" 60 (180 ) - dla ciągów o długości do 1,2 km,
0
'' cc
m d" 30 (90 ) - dla ciągów o długości większej od 1,2 km.
0
Dopuszczalne odchyłki f stabelaryzowane są w Instrukcji G-4 [11 ] zał. 2 str. 68.
�dop
Jeżeli warunek (6.87) jest spełniony, to można przystąpić do rozrzucenia odchyłki
kątowej; przy czym wymieniona instrukcja dopuszcza możliwość przekroczenia wartości f
�dop
dla około 30% ciągów. W tym przypadku odchyłka nie może jednak przekroczyć podwójnej
wartości f .
�dop
Poprawki do poszczególnych ciągów powinny spełniać warunek:
v + v + . . . + v + f = 0 (6.89)
�1 � 2 �n �
przy założeniu
m = m = . . . = m = m
�1 � 2 �n 0
można przyjąć
v = v = . . . = v = v
�1 � 2 �n �i
stąd z równania warunkowego (6.89) wynika, że
n �" v + f = 0
�i �
a zatem
f
�
v = - (6.90)
�i
n
Z wzoru (6.90) wyprowadzamy wniosek, że w ciągu poligonowym odchyłkę kątową
rozrzuca się w formie jednakowej poprawki na każdy pomierzony kąt ze znakiem
przeciwnym do znaku odchyłki, a więc
2
� = � + v
i i �i
gdzie
� - kąt wyrównany
i
Poprawki wpisuje się kolorem czerwonym w formularzach obliczeniowych nad
wartościami kątów pomierzonych.
Na podstawie kątów wyrównanych wylicza się azymuty wyrównane kolejnych boków
wzorami:
- dla kątów lewych
Ai = Ai-1 + ąi - 1800 (6.91)
- dla kątów prawych
Ai = Ai-1 - �i + 1800 (6.92)
Obliczenie kolejnych azymutów boków wykonywane jest sukcesywnie w oparciu o
azymut boku poprzedniego, aż do kontrolnego obliczenia azymutu końcowego An:
An = An-1 + ąn - 1800
lub (6.93)
An = An-1 - �n + 1800
który porównujemy z wartością tegoż azymutu wyliczoną ze współrzędnych (wartość ta
wpisana jest do formularza obliczeniowego).
Mając azymuty wyrównane poszczególnych boków obliczamy przyrosty współrzędnych:
"X = d cosA ; "Y = d sinA (6.94)
i i i i i i
które sprawdzamy wykonując obliczenia kontrolne wzorami:
"X = S + C ; "Y = S - C (6.95)
i i
gdzie
2 2
0 0
S = d sin(A + 45 ); C = d cos(A + 45 ) (6.96)
i i i i
2 2
Po obliczeniu i sprawdzeniu przyrostów sumujemy przyrosty i określamy odchyłki
f = ["X] -["X] ; f = ["Y] -["Y] (6.97)
x p t y p t
2 2
f = f + f (6.98)
L x y
gdzie
["X]p , ["Y]p - sumy przyrostów wyznaczonych z elementów pomierzonych,
["X]t , ["Y]t - teoretyczna suma przyrostów
"Xt = Xn  X1
3
"Yt = Yn  Y1 (6.99)
Sprawdzamy warunek
f d" f (6.100)
L Ldop.
gdzie
2
�ł m �ł (n +1)(n + 2)L + c
2 2 2
0
f = u L + �ł �ł (6.101)
Ldop.
�ł �ł
� 12n
�ł łł
L  długość ciągu,
u  współczynnik błędów przypadkowych pomiaru liniowego,
mo  średni błąd pomiaru kąta,
n  liczba boków w ciągu,
c = 0,10  wpływ błędów położenia punktów nawiązania.
Należy zwrócić uwagę, że wzór (6.101) został podany dla odległości mierzonych
przymiarami wstęgowymi. Gdy pomiar długości boków poligonowych wykonywany jest
dalmierzami elektronicznymi wówczas w tym wzorze u2L należy zastąpić na2 + 2a�"b�"10-6 L.
Oznaczenia: a oraz b, są elementami występującymi we wzorze na średni błąd standardowy
pomiaru odległości dalmierzem elektronicznym
-6
m = ą(a + b �"10 L) (6.102)
l
gdzie:
a  parametr o charakterze stałym w [mm]
b  współczynnik błędów zależnych od odległości l w [km].
Dla około 30% ciągów może być spełniony warunek
f d" 2 f (6.103)
L Ldop.
Wartości odchyłki f stabelaryzowane są w Instrukcji G-4 [11 ] zał. 3.
Ldop.
Jeśli warunek (6.100) i (6.103) są spełnione to można przystąpić do rozrzucenia odchyłki
fx i fy na poszczególne przyrosty, w formie poprawek v"x i v"y
i i
Poprawki te powinny spełniać warunek:
v"x + v"x + . . . + v"x + fx = 0 (6.104)
1 2 n-1
oraz
v"y + v"y + . . . + v"y + fx = 0 (6.105)
1 2 n -1
Poszczególne przyrosty wyznaczone są z różnymi błędami średnimi. A zatem posiadają
też różne wagi. W związku z tym wyznaczenie poprawek poszczególnych przyrostów
wymagałoby rozwiązania równań warunkowych (6.104) i (6.105) z uwzględnieniem wag.
4
 Średnie błędy przyrostów wyznaczymy na podstawie formy funkcji (6.94) przy założeniu,
że azymuty wyrównane w zaniedbywanym stopniu wpływają na wartości odchyłek fx i fy,
zatem
(6.106)
m = cosA m ; m = sin A m
"Xi i di "Yi i di
Wagi definiowane są ogólnym wzorem
2
m
0
p =
i
2
m
i
Przyjmując mo = 1 otrzymamy w rozpatrywanym przypadku
1 1
p = ; p = (6.107)
"Xi 2 2 "Yi 2 2
cos A m sin A m
i di i di
Ze ścisłego rozwiązania równań warunkowych (6.104) i (6.105) z uwzględnieniem wag
wynika, że:
f
f
y
x
k = ; k = (6.108)
n-1 n-1
x y
-1 -1
p p
" "
"Xj "Yj
j=1 j=1
stąd
-1 -1
p p
-1 "Xi -1 "Yi
v = -p �" k = - f ; v = -p �" k = - f (6.109)
n
"Xi "Xi x -1 n
x "Yi "Yi y -1
y
-1 -1
p p
" "
"Xj "Yj
j=1 j=1
gdzie
-1 2 2 -1 2 2
p = cos A m ; p = sin A m (6.110)
"Xi i di "Yi i di
zatem
2 2 2 2
cos A m sin A m
i di i di
V = - f ; V = - f (6.111)
"Xi n-1 x "Yi n-1 y
2 2 2 2
sin A m
"cos A m "
j d j d
j j
j=1 j=1
Należy zaznaczyć, że wzory (6.111) są ogólną formą wzorów na wyznaczenie poprawek
przy przybliżonym wyrównaniu ciągów poligonowych.
Dla pomiarów odległości wykonywanych przymiarami wstęgowymi, na przykład w
wyrobiskach górniczych, można przyjąć
m = u d (6.112)
di i
Wprowadzając (6.112) do wzorów (6.111) otrzymamy
2 2
d cos A d sin A
i i i i
V = - f ; V = - f (6.113)
"Xi n-1 x "Yi n-1 y
2 2
"d cos A "d sin A
j j j j
j=1 j=1
lub uwzględniając związki (8.94) dojdziemy do postaci
5
"X cosA "Y sin A
i i i i
V = - f ; V = - f (6.114)
"Xi n -1 x "Yi n -1
y
"Y sin A
""X cosA "
j j j j
j=1 j=1
Dla wszystkich poprawek określonego ciągu wyrażenia
f
f
y
x
= q ; = q (6.115)
n-1 n
x -1
y
"X cos A "Y sin A
" "
j j j j
j=1 j=1
są stałe stąd można napisać
V = -q "X cosA ; V = -q "Y sin A (6.116)
"Xi x i i "Yi y i i
Z wyprowadzonych wzorów wynika, że wartość poprawek przyrostów zależy między
innymi od azymutu boku dla którego poprawki do przyrostów są liczone.
Dla ciągu prostoliniowego można przyjąć
A H" A H" . . . H" A H" A (6.117)
1 2 n-1
stąd
cos A H" cos A H" . . . H" cos A H" cos A (6.118)
1 2 n-1
oraz
sin A H" sin A H" . . . H" sin A H" sin A
1 2 n-1
Uwzględniając te założenia we wzorach (6.113) oraz (6.114) otrzymamy
d d
i i
V = - f ; V = - f (6.119)
"Xi n-1 x "Yi n-1 y
d d
" "
j j
j=1 j=1
oraz
"X "Y
i i
V = - f ; V = - f (6.120)
n
"Xi n-1 x "Yi -1 y
"X "Y
" "
j j
j=1 j=1
Otrzymaliśmy wzory, które powszechnie są stosowane w praktyce geodezyjnej. Różne
wyrażano poglądy w publikacjach, w sprawie stosowania formy (6.119) lub (6.120). Na
podstawie dokonanego wyprowadzenia można stwierdzić, że obie formy są jednakowo
słuszne ale tylko przy założeniu prostoliniowego przebiegu ciągu.
Dla przyjętego założenia obie formy są także równoważne gdyż do postaci (6.120)
możemy dojść podstawiając we wzorach (6.119) za di :
"X "Y
i i
d = lub d =
i i
cosA sin A
i i
W przypadku pomiaru odległości dalmierzem elektromagnetycznym przyjmuje się
najczęściej, że średnie błędy pomiaru są jednakowe, czyli
6
m = m = . . . = m = m
d1 d2 dn-1
d
Uwzględniając to założenie we wzorach (6.111) otrzymamy
2 2
cos A sin A
i i
V = - f ; V = - f (6.121)
n
"Xi -1 x "Yi n-1 y
2 2
cos A sin A
" "
j j
j=1 j=1
lub przyjmując
f
f
y
x
= h ; = h (6.122)
n-1
n-1 x y
2 2
cos A sin A
" "
j j
j=1 j=1
dojdziemy do postaci
2 2
V = -h cos A ; V = -h sin A (6.123)
"Xi x i "Yi y i
Przyjmując założenia (6.117) i (6.118) słuszne dla prostoliniowego przebiegu ciągu
otrzymamy na podstawie wzorów (6.121)
f
f
y
x
V = - ; V = - (6.124)
"Xi "Yi
n -1 n -1
Wynika stąd wniosek, że odchyłki sum przyrostów w ciągach o przebiegu
prostoliniowym w których pomiar odległości wykonywany był dalmierzem
elektromagnetycznym można by rozrzucać jednakowo na każdy przyrost.
Po obliczeniu poprawek V i V wybranymi wzorami sprawdzamy czy spełniają one
"X "Y
równania warunkowe (6.104) i (6.105).
Poprawki wpisywane są do formularza obliczeniowego kolorem czerwonym nad
poszczególnymi przyrostami z dokładnością zapisu przyrostów.
Współrzędne wyrównane poszczególnych punktów liczone są wzorami:
X = X + "X
i i-1 i-1
Y = Y + "Y (6.125)
i i-1 i-1
gdzie
"X , "Y - przyrosty wyrównane.
i-1 i-1
Kontrole obliczenia współrzędnych stanowi wyliczenie współrzędnych n-tego punktu
wzorem
Xn = Xn-1 + "Xn-1 = Xn
Yn = Yn-1 + "Yn-1 = Yn (6.126)
i porównanie wyników ze współrzędnymi Xn, Yn - danymi katalogowymi tego punktu.
B. Przykład
7
 Obliczyć i wyrównać ciąg poligonowy dwustronnie dowiązany  przedstawiony na
rysunku 8.39 w którym odległości pomierzono przymiarem wstęgowym. Poprawki do
przyrostów należy obliczyć tradycyjnymi wzorami (6.119).
86
74
6
5
4
3
2
1
54
58
Rys. 6.39 Szkic ciągu sytuacyjnego do przykładu obliczeniowego
Realizacja
Dane do obliczeń i wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 6.6.
8
Tabela 6.6
Część I
Przybliżone obliczenie i wyrównanie ciągu sytuacyjnego obustronnie dowiązanego
Azymuty
Przyrosty
Numery
1800
Średnie wartości kątów At = At-1 + ą -
punktów
200g Zredu-
Poprawki
Numer nawiązania kowane CosAt
ciągu i punktów
"y =
1800 długości SinAt "x =
poligono- boków l
At = At-1 - � + l cosAt l sinAt
200g
wych
ą - lewe � - prawe
g c cc g c cc
1 2 3 4 5 6 7 8
54
100 72 85
-10
58 167 90
40
0,473 038
+1
68 63 15 172,80 152,24
-10 0,881 042 81,74
1 220 94
77
0,162 975 +2
89 57 82 140,04 138,17
0,986 630 22,82
-10
2 199 87
82
+1
0,164 878 +2
89 45 54 227,26 224,15
0,986 314 37,47
-11
3 207 97
58
+1
0,040 357 +2
97 43 01 273,39 273,17
0,999 185 11,03
-10
4 150 77
42
0,726 779 +2
48 20 33 246,85 169,55
0,686 872 179,40
-10
5 199 52
02
0,731 946 +2
47 72 25 223,51 152,29
0,681 363 163,60
-10
6 200 46
92
0,726 915 +2
48 19 07 277,40 190,50
0,686 728 201,65
-10
74 170 82
52
19 01 49
86
["x]p = 697,71 ["y]p = 1300,07
[ l ] 1561,25
["x]t = 697,84 ["y]t = 1300,09
1518 29 45
Łąp =
1518 fx = -0,13 fy = -0,02
Łąt = 28 64
fl = 0,132 + 0,022 = ą0,13 m
+ 81
fą =
fl dop =ą0,34 m
fą = 90cc 8 = 2c55cc
dop
9
Tabela 6.6 cd.
Część II
Przybliżone obliczenie i wyrównanie ciągu sytuacyjnego obustronnie dowiązanego
Obliczenia kontrolne Współrzędne
Obliczenia
sin(A+50g)
"x = s+c Numer
s pomocnicze
0,7071 �" l X Y punktu
c U W A G I
cos(A+50g)
"y = s-c
9 10 11 12 13 14 15
3 933,42 6 510,87 54
3899,09 9 510,67 58
0,957 479
116,99 81,74
122,19
-35,25 152,24
-0,288 503
3 980,84 9 662,91 1
0,812 894
80,49 22,82
99,02
-57,67 138,16
-0,582 412
4 003,68 9 801,08 2
0,814 016
130,81 37,47
160,70
-93,34 224,15
-0,580 843
4 041,17 10 025,24 3
0,735 067 142,10
11,04
193,31
-131,06
273,16
-0,677 994
4 052,22 10 298,42 4
0,999 602
174,48 179,40
174,55
4,92 169,55
0,028 219
4 231,64 10 467,97 5
0,999 360
157,94 163,59
158,04
5,65 152,29
0,035 767
4 395,26 10 620,26 6
0,999 596
196,07 201,64
196,15
5,57 190,50
0,028 416
10 810,76 74
4 596,93
7 464,10 11 693,55 86
Obliczył
Zofia Biedroń
imię i nazwisko
1987 - 05 - 05
data i podpis
10