MINI 2013/14, Warsztaty badawcze, Numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego cząst-
kowego.

Zadanie 1
Zastosować niestabilny schemat Forward-time-forward-space do równania

(

u

t

+ u

x

= 0

u(0, x) = u

0

(x)

x ∈< −1, 3 > , 0 < t ¬ 1
h = 0, 1 , λ = 0, 8

u

0

(x) =

(

1 − |x| , |x| ¬ 1
0

, |x| > 1

Zademonstrować niestabilność
u(t, −1) = 0

Zadanie 2
Zastosować niestabilny schemat Forward-time, central-space do równania

(

u

t

+ u

x

= 0

u(0, x) = u

0

(x)

x ∈< −1, 3 > , 0 < t ¬ 4
h = 0, 1 , λ = 0, 8

a) u

0

(x) =

(

1 − |x| , |x| ¬ 1
0

, |x| > 1

b) u

0

(x) = sin x

Pokazać, że niestabilność pojawia się szybciej dla a)niże dla gładkich danych b).
a) u(t, −1) = 0
b) u(t, −1) = − sin(1 + t)

Zadanie 3
Rozwiązać zagadnienie

(

u

t

+ (1 +

1
4

(3 − x)(1 + x))u

x

= 0

u(0, x) = u

0

(x)

x ∈ (−1, 3)

u

0

(x) =

(

1 − |x| , |x| ¬ 1
0

, |x| > 1

stosując schemat Lax-Friedrichsa
dla λ = 0, 8 z zerowymi warunkami brzegowymi dla x = −1 i x = 3
Pokazać, że niestabilność pojawia się w miejscach nieciągłości dla
|a(t, x)λ| > 1
Wylicz rozwiązanie do czasu t = 0, 2 i zmniejszaj stopniowo h żeby pokazać lokalizację
niestabilności.