MINI 2013/14, Warsztaty badawcze, Numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego zwy-
czajnego.

Zadanie 1
Rozwiązać numerycznie 2 zagadnienia Cauchy’ego, każde z nich dwoma metodami.

Zagadnienia:
Z1:































x ∈< 0, 10 >
y

0

1

= y

2

y

0

2

= − sin x

y

1

(0) = 0

y

2

(0) = 1

Z2:











x ∈< 0, 1 >
y

0

= y

2

y(0) = 0.50

Metody rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego:











x ∈< a, b >
y

0

= f (x, y)

y(x

0

) = y

0

Dla ustalonego n ∈ N wprowadzamy oznaczenia:

h

n

=

b − a

n

x

i

= x

0

+ ih , i = 0, 1, 2, . . . n

y

i

= y(x

i

) , i = 0, 1, 2, . . . n - rozwiązanie dokładne

¯

y

i

- przybliżona wartość y

i

, i = 0, 1, 2, . . . n

Metoda 1: Eulera

¯

y

0

= y

0

¯

y

i+1

= ¯

y

i

+ hf (x

i

, ¯

y

i

) , i = 0, 1, 2, . . . n − 1

Metoda 2:

¯

y

0

= y

0

¯

y

i+1

= ¯

y

i

+ hf (x

i

, ¯

y

i

+

h

2

f (x

i

, ¯

y

i

)) , i = 0, 1, 2, . . . n − 1

Dla n

k

= 10

k

, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 znaleźć (numerycznie) błąd rozwiązania:

ε

k

= max|y

i

− ¯

y

i

| , i = 0, 1, 2, . . . n

k

(Dla zagadnienia 1 do obliczenia błędu potraktować jako rozwiązanie dokładne, rozwiązanie
z najmniejszym krokiem h)
Wyniki umieścić w czterech tabelkach:
(h

k

- skrótowe oznaczenie h

n

k

)

Problem 1, Metoda 1

k

h

k

ε

k

ln h

k

ln ε

k

ln ε

k

ln h

k

ln ε

k

− ln ε

k−1

ln h

k

− ln h

k−1

1

0.1

×

2

0.01

3

0.001

4

0.0001

5

0.00001

6

0.000001

Dla zagadnienia 2 i metody Eulera oszacować analitycznie błąd rozwiązania numerycznego
(wyliczając w sposób jawny wszystkie stałe) i porównać z błędami w tabelce.

Dla zagadnienia 1 zrobić jeden wykres (wybrana metoda i wybrany krok). W ykresu odczytać
okres drgań.