Dominika Bogusz [e-mail], Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski

Zestaw nr 6 Pochodne funkcji i ich zastosowania cd

Zadanie 1. Wyznaczy¢ ekstremum funkcji i zbadaj jej monotoniczno±¢

(1) f(x) = 2x

3

− 3x

2

− 36x − 8

(2) f(x) = x

4

− 4x − 2

(3) f(x) =

(1−x)

2

2x

(4) f(x) =

x − 1

x + 2

(5) f(x) =

x

x

2

− 1

(6) f(x) =

4x

x

2

+ 4

(7) f(x) =

4

√

x

3

(8) f(x) =

x

ln x

(9) f(x) = x − ln 1 + x

2

(10) f(x) =

ln x

√

x

(11) f(x) =

e

x

1 − x

(12) f(x) =

e

x

x + 1

(13) f(x) = e

x

2

−1

(14) f(x) = x

2

e

−x

(15) f(x) = xe

1−2x

(16) f(x) = (−x

2

+ 2)e

x−2

(17) f(x) = e

√

x

2

−6x

(18) f(x) = e

x2 +x+1

x+1

(19) f(x) = ln(1 + 4x

2

)

(20) f(x) =

√

1 − 4x

2

Zadanie 2. Czy funkcja f(x) = (x

2

+ 1)e

x

ma ekstremum w punkcie x

0

= 0

, a w punkcie x

0

= −1

?

Zadanie 3. Czy funkcja f(x) = ln(x

2

− 4) +

1

x

2

− 4

ma ekstremum w punkcie x

0

=

√

5

?

Zadanie 4. Czy funkcja f(x) = (x

2

− 2x) ln x −

3
2

x

2

+ 4x

ma ekstremum w punkcie x

0

= e

?

Zadanie 5. Czy funkcja f(x) = 2x ln x ma ekstremum w punkcie x

0

=

1
e

?

Zadanie 6. Wyznaczy¢ przedziaªy monotoniczno±ci funkcji

(1) f(x) =

ln x

x

(2) f(x) =

x

1 − ln x

(3) f(x) =

x

2

+ x − 3

x + 1

(4) f(x) =

ln x

x

2

(5) f(x) = e

x2 −x+4

x−1

(6) f(x) = ln x +

1

ln x

(7) f(x) = 1 − xe

1

x−2

(8) f(x) =

√

xe

x

2

(9) f(x) = x

2

− 3

e

5−x

2

Zadanie 7. Wykaza¢, »e funkcja f(x) = x −

1

x

jest rosn¡ca w przedziale (−∞, 0).

Zadanie 8. Wyznaczy¢ przedziaªy wkl¦sªo±ci i wypukªo±ci funkcji oraz punkty przegi¦cia

(1)

f (x) = x

3

− 6x

2

(2)

f (x) = xe

−x

(3)

f (x) = x

2

(2 − ln x)

(4)

f (x) = e

x

(x

2

− 3)

(5)

f (x) = x

2

2 − ln x

2

(6)

f (x) =

x

2 + ln x

(7) f(x) = ln(4 + x

2

)

(8) f(x) = x

√

4 − x

2

(9) f(x) = x

2

e

−

x2

2

(10) f(x) =

1

x + 2

e

x

(11) f(x) = 4x

5

− 5x

4

+ 2x

(12) f(x) = (2 − ln x) ln x

(13) f(x) =

x

1 − ln x

(14) f(x) = xe

1

x

(15) f(x) =

1

e

x

− 1

Zadanie 9. Czy punkt x = 2 jest punktem przegi¦cia funkcji f(x) = ln(4 + x

2

)

?

Zadanie 10. Czy punkt x = 5 jest punktem przegi¦cia funkcji f(x) =

x − 1

x

√

x

?

Zadanie 11. Czy punkt x = e jest punktem przegi¦cia funkcji f(x) = x

2

ln x

?

1

Dominika Bogusz [e-mail], Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski

Zestaw nr 6 - Odpowiedzi

Zadanie 1

(1) Maksimum lokalne wªa±ciwe dla x = −2 o warto±ci f(−2) = 36, minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 3 o

warto±ci f(3) = −89, funkcja jest rosn¡ca dla x ∈ (−∞, −2) oraz dla x ∈ (3, +∞) a malej¡ca dla x ∈ (−2, 3).

(2) Minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 1 o warto±ci f(1) = −5, funkcja jest malej¡ca dla x ∈ (−∞, 1) a rosn¡ca

dla x ∈ (1, +∞).

(3) Maksimum lokalne wªa±ciwe dla x = −1 o warto±ci f(−1) = −2, minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 1 o

warto±ci f(1) = 0, funkcja jest rosn¡ca dla x ∈ (−∞, −1) oraz dla x ∈ (1, +∞) a malej¡ca dla x ∈ (−1, 0)
oraz dla x ∈ (0, 1).

(4) Brak ekstremów, funkcja rosnie dla x ∈ (−2, +∞), maleje dla x ∈ (−2, +∞)

(5) Brak ekstremów, funkcja malej¡ca przedziaªami w caªej swojej dziedzinie.

(6) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x = −2 o warto±ci f(−2) = −1 oraz maksimum lokalne

wªa±ciwe dla x = 2 o warto±ci f(2) = 1. Funkcja jest rosn¡ca dla x ∈ (−2, 2) a malej¡ca dla x ∈ (−∞, −2)
oraz dla x ∈ (2, +∞).

(7) Brak ekstremów, funkcja ro±nie w caªej dziedzinie.

(8) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x = e o warto±ci f(e) = e oraz jest rosn¡ca dla x ∈ (e, +∞) a

malej¡ca dla x ∈ (0, 1) oraz dla x ∈ (1, e).

(9) Brak ekstremów, funkcja ro±nie w swojej dziedzinie.

(10) Maksimum lokalne wªa±ciwe dla x = e

2

o warto±ci f(e

2

) =

2
e

, funkcja jest rosn¡ca dla x ∈ (0, e

2

)

a malej¡ca

dla x ∈ (e

2

, +∞)

.

(11) Maksimum lokalne wªa±ciwe dla x = 2 o warto±ci f(2) = −e

2

, funkcja jest rosn¡ca dla x ∈ (−∞, 1) oraz dla

x ∈ (1, 2)

a malej¡ca dla x ∈ (2, +∞).

(12) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 0 o warto±ci f(0) = 1 oraz jest rosn¡ca dla x ∈ (0, +∞) a

malej¡ca dla x ∈ (−∞, 0).

(13) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 0 o warto±ci f(0) =

1
e

oraz jest rosn¡ca dla x ∈ (0, +∞) a

malej¡ca dla x ∈ (−∞, 0).

(14) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 0 o warto±ci f(0) = 0 maksimum lokalne wªa±ciwe dla

x = 2

o warto±ci f(2) =

4

e

2

. Jest rosn¡ca dla x ∈ (0, 2) a malej¡ca dla x ∈ (−∞, 0) oraz dla x ∈ (2, +∞).

(15) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x =

1
2

o warto±ci f(

1
2

) =

1
2

i jest rosn¡ca dla x ∈ (−∞,

1
2

)

a

malej¡ca dla x ∈ (

1
2

, +∞)

.

2

Dominika Bogusz [e-mail], Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski

(16) Funkcja posiada maksimum lokalne wªa±ciwe dla x =

√

3 − 1

o warto±ci f(

√

3 − 1) = (2

√

3 − 2)e

√

3−3

oraz

minimum lokalne wªa±ciwe dla x = −

√

3 − 1

o warto±ci f(−

√

3 − 1) = (−2

√

3 − 2)e

−

√

3−3

. Jest rosn¡ca dla

x ∈ (−

√

3 − 1,

√

3 − 1)

a malejaca dla x ∈ (−∞, −

√

3 − 1)

oraz dla x ∈ (

√

3 − 1, +∞)

.

(17) Brak ekstremów. Funkcja malej¡ca dla x ∈ (−∞, 0) a rosn¡ca dla x ∈ (6, +∞).

(18) Funkcja posiada maksimum lokalne wªa±ciwe dla x = −2 o warto±ci f(−2) = e

−3

oraz minimum lokalne

wªa±ciwe dla x = 0 o warto±ci f(0) = e. Jest rosn¡ca dla x ∈ (−∞, −2) oraz dla x ∈ (0, +∞). Jest malejaca
dla x ∈ (−2, −1) oraz dla x ∈ (−1, 0).

(19) Funkcja osi¡ga minimum lokalne wªa±ciwe dla x = 0 o warto±ci f(0) = 0 i jest malej¡ca dla x ∈ (−∞, 0) a

rosn¡ca dla x ∈ (0, +∞).

(20) Funkcja osi¡ga maksimum lokalne wªa±ciwe dla x = 0 o warto±ci f(0) = 1 i jest rosn¡ca dla x ∈ (−

1
2

, 0)

a

malej¡ca dla x ∈ (0,

1
2

)

.

Zadanie 2 Nie.
Zadanie 3 Tak. W punkcie x =

√

5

funkcja ma minimum lokalne o warto±ci f(

√

5) = 1

.

Zadanie 4 Tak. W punkcie x = e funkcja ma minimum lokalne o warto±ci f(e) = −

1
2

e

2

+ 3e

.

Zadanie 5Tak. W punkcie x =

1
e

funkcja ma minimum lokalne o warto±ci f(

1
e

) = −2

.

Zadanie 6

(1) rosn¡ca dla x ∈ (0, e), malej¡ca dla x ∈ (e, +∞).
(2) rosn¡ca dla x ∈ (0, e

−2

)

, malej¡ca dla x ∈ (e

−2

, e)

oraz dla x ∈ (e, +∞).

(3) rosn¡ca przedziaªami w caªej dziedzinie.
(4) rosn¡ca dla x ∈ (0,

√

e)

, malej¡ca dla x ∈ (

√

e, +∞)

.

(5) rosn¡ca dla x ∈ (−∞, −1) oraz dla x ∈ (3, +∞), malej¡ca dla x ∈ (−1, 1) oraz dla x ∈ (1, 3).
(6) rosn¡ca przedziaªami w caªej dziedzinie.
(7) rosn¡ca dla x ∈ (

3−

√

5

2

, 2)

oraz dla x ∈ (2,

3+

√

5

2

)

, malej¡ca dla x ∈ (−∞,

3−

√

5

2

)

oraz dla x ∈ (

3+

√

5

2

, +∞)

.

(8)rosn¡ca w caªej dziedzinie
(9) rosn¡ca dla x ∈ (−∞, −2) oraz dla x ∈ (0, 2), malej¡ca dla x ∈ (−2, 0) oraz dla x ∈ (2, +∞)

Zadanie 8

(1) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, 2), wypukªy dla x ∈ (2, +∞), punkt przegi¦cia x = 2.
(2) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, 2), wypukªy dla x ∈ (2, +∞), punkt przegi¦cia x = 2.
(3) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (0,

√

e)

, wypukªy dla x ∈ (

√

e, +∞)

, punkt przegi¦cia x =

√

e

.

(4) wykres wypukªy dla x ∈ (−∞, −2 −

√

5)

oraz dla x ∈ (−2 +

√

5, +∞)

, wkl¦sªy dla x ∈ (−2 −

√

5, −2 +

√

5)

,

punkty przegi¦cia x = −2 −

√

5

oraz x = −2 +

√

5

.

(5) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, −

q

1
e

)

oraz dla x ∈ (

q

1
e

, +∞)

, wkl¦sªy dla x ∈ (−

q

1
e

,

q

1
e

)

, punkty przegi¦cia

x = −

q

1
e

oraz x =

q

1
e

.

(6) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (0, e

−2

)

oraz dla x ∈ (1, +∞), wypukªy dla x ∈ (e

−2

, 1)

, punkt przegi¦cia x = 1.

(7) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, −2) oraz dla x ∈ (2, +∞), wypukªy dla x ∈ (−2, 2), punkty przegi¦cia x = −2

oraz x = 2.

(8) wykres wypukªy dla x ∈ (−2, 0), wkl¦sªy dla x ∈ (0, 2), punkt przegi¦cia x = 0.

3

Dominika Bogusz [e-mail], Aneta Zgli«ska - Pietrzak, Maciej Malaczewski

(9) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, −

√

3)

oraz dla x ∈ (0,

√

3)

, wypukªy dla x ∈ (−

√

3, 0)

oraz dla x ∈ (

√

3, +∞)

,

punkty przegi¦cia x = −

√

3

, x = 0 oraz x =

√

3

.

(10) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, −2), wypukªy dla x ∈ (−2, +∞), brak punktów przegi¦cia.
(11) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞,

3
4

)

, wypukªy dla x ∈ (

3
4

, +∞)

, punkt przegi¦cia x =

3
4

.

(12) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (0, e

2

)

, wypukªy dla x ∈ (e

2

, +∞)

, punkt przegi¦cia x = e

2

.

(13) wykres wypukªy dla x ∈ (0, e) oraz dla x ∈ (e

3

, +∞)

, wkl¦sªy dla x ∈ (e, e

3

)

, punkt przegi¦cia x = e

3

.

(14) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, 0), wypukªy dla x ∈ (0, +∞), brak punktów przegi¦cia.
(15) wykres wkl¦sªy dla x ∈ (−∞, 0), wypukªy dla x ∈ (0, +∞), brak punktów przegi¦cia.

Zadanie 9 Tak.
Zadanie 10 Tak.
Zadanie 11 Nie.

4