Wektory – zadania rozwiązane

Zad.1.

Samochód przemieścił się z punktu A=(5 km ; 3 km) do B=(-2 km ; 5 km). Wyznacz

współrzędne wektora przemieszczenia oraz oblicz jego wartość (długość).

Rozwiązanie

Dane:

Szukane:

A=(5 km ; 3 km)

?

=

∆

r

B=(-2 km ; 5 km)

?

|

|

=

∆

r

]

;

[

y

y

x

x

A

B

A

B

r

−

−

=

∆

km

km

r

]

2

;

7

[

]

3

5

;

5

2

[

−

=

−

−

−

=

∆

2

2

2

2

)

(

)

(

|

|

y

x

y

y

x

x

r

r

A

B

A

B

r

r

∆

+

∆

=

−

+

−

=

∆

=

∆

km

km

km

r

53

4

49

)

2

(

)

7

(

2

2

=

+

=

+

−

=

∆

Odp.: Samochód przemieścił się o wektor

km

r

]

2

;

7

[

−

=

∆

. Wartość wektora

przemieszczenia samochodu wynosi

km

r

53

=

∆

.

Zad.2.

Samochód przemieścił się z punktu A=(2 km ; 7 km) o wektor

km

r

]

2

;

8

[

−

=

∆

.

Znajdź współrzędne punktu B, do którego przemieścił się samochód. Oblicz odległość od

początku układu odniesienia do punktu B (długość wektora położenia

B

r

).

Rozwiązanie

Dane:

Szukane:

A=(2 km ; 7 km)

B=?

km

r

]

2

;

8

[

−

=

∆

?

=

r

]

;

[

y

y

x

x

A

B

A

B

r

−

−

=

∆

]

;

[

y

x

r

r

r

∆

∆

=

∆

x

x

x

r

A

B

∆

=

−

oraz

y

y

y

r

A

B

∆

=

−

x

x

x

r

A

B

∆

+

=

y

y

y

r

A

B

∆

+

=

km

km

km

B

x

10

8

2

=

+

=

km

km

km

B

y

5

2

7

=

−

=

B= (10 km ; 5 km) = (10;5) km

]

5

;

10

[

km

km

r

B

=

2

2

|

|

B

B

B

B

y

x

r

r

+

=

=

km

km

km

km

r

B

5

5

125

25

100

5

10

2

2

=

=

+

=

+

=

Odp.: Samochód przemieścił się do punktu B= (10 ; 5) km. Punkt ten znajduje się w

odległości

km

5

5

od początku układu odniesienia.

Zad.3.

Sprawdź, czy wektory

]

5

;

3

[

=

a

oraz

]

3

;

5

[

−

=

b

są prostopadłe?

Rozwiązanie

Wektory są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny jest równy 0.

0

15

15

5

3

)

5

(

3

=

+

−

=

⋅

+

−

⋅

=

+

=

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a o

Odp.: Wektory

]

5

;

3

[

=

a

oraz

]

3

;

5

[

−

=

b

są prostopadłe.

Zad. 4.

Oblicz wartość względnej prędkości samochodów o prędkościach

s

m

v

/

]

5

;

4

[

1

−

=

oraz

s

m

v

/

]

2

;

3

[

2

=

Rozwiązanie

Dane:

Szukane:

s

m

v

/

]

5

;

4

[

1

−

=

?

=

w

v

s

m

v

/

]

2

;

3

[

2

=

2

1

2

2

1

2

1

2

)

(

)

(

|

|

|

|

y

y

x

x

w

w

v

v

v

v

v

v

v

v

−

+

−

=

−

=

=

s

m

s

m

s

m

s

m

s

m

v

w

/

62

,

7

/

58

/

9

49

/

)

3

(

)

7

(

/

)

5

2

(

)

4

3

(

2

2

2

2

≈

=

+

=

−

+

=

−

+

−

−

=

Odp.: Względna prędkość samochodów ma wartość około 7,62 m/s.