Analiza matematyczna 2, cze´

s´

c dziesiata

Informacja og´

olna dla tych, kt´

orzy jeszcze ze mna chca rozmawia´

c o stopniach:

zdecydowana wiekszo´

s´

c twierdze´

n w matematyce, w analizie w szczeg´

olno´

sci, sk lada sie z za lo ˙zenia

i tezy

– znajomo´

s´

c jednej z tych cze´

sci nie oznacza, ˙ze student zna twierdzenie.

Zwyk la pro´

sba: prosze o informacje o zauwa ˙zonych b ledach, poprawie

Nier´

owno´

s´

c H¨

oldera

Niech µ oznacza dowolna miare na przestrzeni X . Niech p, q > 0 beda liczbami rzeczywistymi, dla

kt´

orych

1
p

+

1
q

= 1 , niech f, g beda funkcjami mierzalnymi takimi, ˙ze

R

X

|f |

p

dµ <

∞ i jednocze´snie

R

X

|g|

q

dµ <

∞ . Wtedy funkcja f g jest ca lkowalna i zachodzi nier´owno´s´c

R

X

|f g|dµ <

R

X

|f |

p

dµ

1/p

·

R

X

|g|

q

dµ

1/q

.

Dow´

od.

Skorzystamy z tego, ˙ze dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a

1

, a

2

, . . . , a

n

, b

1

, b

2

, . . . , b

n

zachodzi znana z I roku nier´

owno´s´c H¨

oldera

a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ · · · + a

m

b

m

≤ (a

p
1

+ a

p
2

+ · · · + a

p

m

)

1/p

(b

q
1

+ b

q
2

+ · · · + b

q

m

)

1/q

.

Poniewa˙z ca lkowalno´s´c funkcji jest r´

ownowa˙zna ca lkowalno´sci jej modu lu, wiec mo˙zemy przyja´c,

˙ze funkcje f, g sa nieujemne. Niech (f

n

) i (g

n

) oznaczaja niemalejace ciagi nieujemnych funkcji

prostych zbie˙zne odpowiednio do f i do g . Niech f

n

=

P

k

n

i=1

α

i

χ

A

i

, g

n

=

P

l

n

j=1

β

j

χ

B

j

, przy czym

zbiory A

1

, A

2

, . . . , A

k

n

sa parami roz laczne, r´

ownie˙z zbiory B

1

, B

2

, . . . , B

l

n

sa parami roz laczne.

Mamy f

p

n

=

P

k

n

i=1

α

p
i

χ

A

i

oraz g

q

n

=

P

l

n

j=1

β

q

j

χ

B

j

. Oznacza to, ˙ze (f

p

n

) jest niemalejacym ciagiem

funkcji prostych zbie˙znym do funkcji f za´s (g

q

n

) — niemalejacym ciagiem funkcji prostych zbie˙znym

do g

q

. Z twierdzenia Legesgue’a–Levi’ego o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem

ca lki wynika, ˙ze lim

n→∞

R

X

f

n

g

n

dµ

=

R

X

f g dµ

, lim

n→∞

R

X

f

p

n

dµ

=

R

X

f

p

dµ

i lim

n→∞

R

X

g

q

n

dµ

=

R

X

g

q

dµ

.

Wystarczy wiec udowodni´c nier´

owno´s´c H¨

oldera w przypadku funkcji prostych. Zachodza r´

owno´sci

f

n

g

n

=

P

i,j

α

i

β

j

χ

A

i

∩

B

j

,

R

X

f

n

g

n

dµ

=

P

i,j

α

i

β

j

µ

(A

i

∩ B

j

) ,

R

X

f

p

n

dµ

=

P

i

α

p
i

µ

(A

i

) i wreszcie

R

X

g

q

n

dµ

=

P

j

β

p

j

µ

(B

j

) . Niech a

i,j

= α

i

µ

(A

i

∩ B

j

)

1/p

, b

i,j

= β

j

µ

(A

i

∩ B

j

)

1/q

. Z tego okre´slenia

wynika od razu, ˙ze

P

i,j

a

i,j

b

i,j

=

P

i,j

α

i

β

j

µ

(A

i

∩ B

j

)

1/p+1/q

=

P

i,j

α

i

β

j

µ

(A

i

∩ B

j

) =

R

X

f

n

g

n

dµ

,

P

i,j

a

p
i,j

=

P

i,j

α

p
i

µ

(A

i

∩ B

j

) =

P

i

α

p
i

µ

(A

i

) =

R

X

f

p

n

dµ

oraz

P

i,j

b

q
i,j

=

P

i,j

β

q

i

µ

(A

i

∩ B

j

) =

=

P

i

β

q

i

µ

(B

j

) =

R

X

g

q

n

dµ

. Stad wnioskujemy, ˙ze

R

X

f

n

g

n

dµ

=

P

i,j

a

i,j

b

i,j

≤

P

i,j

a

p
i,j

1/p

·

P

i,j

b

q
i,j

1/q

=

R

X

f

p

n

dµ

1/p

·

R

X

g

q

n

dµ

1/q

– nier´

owno´s´c wynika oczywi´scie z nier´

owno´sci H¨

oldera zastosowanej dla m = k

n

l

n

sk ladnik´

ow.

Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Zadanie H1

Wykaza´c, ze dla dowolnej liczby p > 1 i dowolnych funkcji mierzalnych f, g , dla kt´

orych zachodza

nier´

owno´sci

R

X

|f |

p

dµ,

R

X

|g|

p

dµ <

∞ zachodzi nier´owno´s´c (Hermanna Minkowskiego)

132

R

X

|f + g|

p

dµ

1/p

≤

R

X

|f |

p

dµ

1/p

+

R

X

|g|

p

dµ

1/p

.

Zadanie H2

Zdefiniujmy L

p

(X) jako zbi´

or z lo˙zony z tych wszystkich funkcji mierzalnych f , dla kt´

orych zachodzi

nier´

owno´s´c

R

X

|f |

p

dµ <

∞ przy czym uto˙zsamiamy funkcje, r´o˙zniace sie jedynie na zbiorze miary 0 .

Wykaza´c, ˙ze je´sli kf k

p

=

R

X

|f |

p

dµ

1/p

, to k k

p

jest norma na przestrzeni liniowej L

p

(µ) .

Zadanie H3

Przestrze´

n metryczna L

p

(µ) jest zupe lna — udowodni´c to stwierdzenie (mo˙zna na´sladowa´c dow´

od

zupe lno´sci przestrzeni L

1

podany w poprzedniej cze´sci notatek).

Zadanie H4

Wykaza´c, ˙ze przestrze´

n metryczna L

p

(`

k

) jest o´srodkowa i poda´c przyk lad miary µ , dla kt´

orej

przestrze´

n L

p

(µ) NIE jest o´srodkowa.

Zadanie H5

Wykaza´c, ˙ze operacja < f, g >−→

R

X

f g dµ

jest iloczynem skalarnym w przestrzeni metrycz-

nej L

2

(µ) .

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze je´sli X = {1, 2, . . . , m} i µ jest miara zdefiniowana na rodzinie wszystkich

podzbior´

ow zbioru X tak, ˙ze µ({i}) = 1 , f : X −→ IR jest zdefiniowana za pomoca r´

owno´sci

f

(i) = a

i

, to

R

X

|f |

p

dµ

=

P

m
i=1

|a

i

|

p

. Oznacza to, ˙ze nier´

owno´s´c H¨

oldera znana z analizy 1.2

jest szczeg´

olnym przypadkiem nier´

owno´sci H¨

oldera dla funkcji mierzalnych, wystarczy odpowiednio

dobra´c miare.

O przestrzeni L

2

([−π, π]) , z miara Lebesgue’a, wspominali´smy, nie wnikajac w szczeg´

o ly, przy

okazji omawiania szereg´

ow Fouriera — funkcje ca lkowalne w sensie Riemanna na przedziale [−π, π]

by ly traktowane jako elementy tej przestrzeni. liniowej.

Zadanko

Poda´c przyk lad funkcji f : [−π, π] −→ [0, 1] , kt´

ora jest mierzalna i dla kt´

orej nie istnieje funkcja

g

: [−π, π] −→ IR ca lkowalna w sensie Riemanna taka, ˙ze `

1

{x ∈ [−π, π]:

f

(x) 6= g(x)}

= 0 .

Zajmiemy sie teraz produktami miar. Chodzi o uog´

olnienie twierdzenia Fubiniego, kt´

ore po-

zwala sprowadza´c ca lkowanie funkcji wielu zmiennych do ca lkowania funkcji jednej zmiennej. W

r´

o˙znych sytuacjach rozpatrywanie iloczynu kartezja´

nskiego dwu przestrzeni, na kt´

orych sa okre´slone

miary, jest naturalne o czym studenci przekonaja sie miedzy innymi na zajeciach z rachunku praw-

dopodobie´

nstwa. Miary te jednak nie moga by´c ca lkiem dowolne. Bedziemy rozpatrywa´c tzw. miary

σ

–sko´

nczone.

Definicja miary

σ –sko´

nczonej

Miara µ okre´slona na przeliczalnie addytywnym ciele podzbior´

ow przestrzeni X nazywana jest

σ

–sko´

nczona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja zbiory mierzalne X

1

, X

2

,. . . takie, ˙ze µ(X

n

) < ∞

dla n = 1, 2, . . . i X =

S

∞

n=1

X

n

.

133

Przyk ladem miary σ –sko´

nczonej jest miara Lebesgue’a: `

k

B

(0, n)

<

∞ ,

∞

[

n=1

B

(0, n) = IR

k

.

Przyk ladem miary µ , kt´

ora tego warunku nie spe lnia jest „miara liczaca” na dowolnej przestrzeni

nieprzeliczalnej, np. na IR , tzn. µ(A) jest r´

owne liczbie element´

ow zbioru A , w przypadku zbioru

niesko´

nczonego µ(A) = ∞ .

Definicja

σ –cia la produktowego

Niech (X, F, µ) i (Y, G, ν) beda przestrzeniami z miara. Niech F × G oznacza najmniejsze σ –cia lo

z lo˙zone z podzbior´

ow produktu X × Y zawierajace wszystkie „prostokaty mierzalne”, tj. zbiory

postaci A × B , gdzie A ∈ F , B ∈ G . σ –cia lo F × G nazywane jest σ –cia lem produktowym.

Je´sli C ⊆ X ×Y , to zbi´

or C

x

= {y ∈ Y :

(x, y) ∈ C} nazywamy przekrojem pionowym zbioru

C

wyznaczonym przez punkt x , a zbi´

or C

y

= {x ∈ X :

(x, y) ∈ C} — przekrojem poziomym, te

oznaczenia ju˙z by ly u˙zywane.

Twierdzenie o mierzalno´

sci przekroj´

ow

Je´sli C ⊆ X ×Y jest zbiorem mierzalnym, to dla ka˙zdego x ∈ X przekr´

oj pionowy C

x

jest mierzalny

i dla ka˙zdego y ∈ Y przekr´

oj poziomy C

y

jest mierzalny.

Dow´

od.

Ten dow´

od ju˙z raz by l podany (str. 122) w szczeg´

olnym przypadku. Powtarzamy: Dla dowolnych

zbior´

ow C, C

1

, C

2

, . . .

⊆ X × Y zachodza wzory

S

n

C

n

x

=

S

n

(C

n

)

x

,

T

n

C

n

x

=

T

n

(C

n

)

x

oraz X × Y \ C

x

= Y \ C

x

.

Z tych r´

owno´sci wynika, ˙ze rodzina M tych zbior´

ow C ⊆ X × Y , dla kt´

orych przekr´

oj pionowy C

x

jest mierzalny dla ka˙zdego x ∈ X , jest σ –cia lem zbior´

ow. σ –cia lo M zawiera oczywi´scie wszystkie

zbiory postaci A × B ⊆ X × Y , wiec zawiera rodzine F × G . Analogicznie jest dla przekroj´

ow

poziomych. Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie o generowaniu

σ –cia la produktowego

σ

–cia lo F × G jest najmniejsza rodzina M spe lniajaca nastepujace cztery warunki:

1

◦

je´sli A ∈ F i B ∈ G , to A × B ∈ M ,

2

◦

je´sli C, D ∈ M i C ∩ D = ∅ , to C ∪ D ∈ M ,

3

◦

je´sli dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi C

n

∈ M oraz C

n

⊆ C

n+1

, to

S

n

C

n

∈ M ,

4

◦

je´sli dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi C

n

∈ M oraz C

n

⊇ C

n+1

, to

T

n

C

n

∈ M .

Rodzine spe lniajaca warunki

3

◦

i

4

◦

nazywamy rodzina monotoniczna.

Dow´

od.

Rodzina F × G jest σ –cia lem, wiec dla niej wszystkie cztery warunki sa spe lnione.

Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze dla pewnej rodziny M ⊆ 2

X×Y

spe lnione sa warunki 1

◦

− 4

◦

. Wyka˙zemy, ˙ze

wtedy M ⊇ F × G .

Je´sli zbiory A

1

× B

1

, A

2

× B

2

,. . . , A

n

× B

n

sa parami roz laczne przy czym A

i

∈ F , B

i

∈ G ,

to

S

n
i=1

A

i

× B

i

∈ F × G na mocy warunk´ow 1

◦

i 2

◦

. Je´sli A

1

, A

2

∈ F i B

1

, B

2

∈ G , to

134

(A

1

× B

1

) \ (A

2

× B

2

) = (A

1

\ A

2

) × B

1

∪ (A

1

∩ A

2

) × (B

1

\ B

2

)

, wiec zbi´

or (A

1

× B

1

) \ (A

2

× B

2

)

jest suma dw´

och „prostokat´

ow mierzalnych”, zatem jest elementem rodziny M . Jednocze´snie z tego

zdania wynika, ˙ze suma sko´

nczenie wielu „prostokat´

ow mierzalnych” mo˙ze by´c przedstawiona jako

suma sko´

nczenie wielu parami roz lacznych „prostokat´

ow mierzalnych”. Stad wynika, ˙ze rodzina K

z lo˙zona ze wszystkich sko´

nczonych sum „mierzalnych prostokat´

ow” jest cia lem zbior´

ow zawartym

w rodzinie M .

Wyka˙zemy teraz, ˙ze najmniejsza rodzina monotoniczna N zawierajaca cia lo K jest σ –cia lem

zbior´

ow, co zako´

nczy dow´

od (bo z definicji N wynika, ˙ze N ⊆ F × G ).

Niech N (K) = {C ⊆ X × Y :

C

∪ D, C \ D, D \ C ∈ N dla D ∈ K} . Poniewa˙z K jest cia lem

zbior´

ow, wiec N (K) ⊇ K .

Je´sli C

n

∈ N (K) i C

1

⊆ C

2

⊆ . . . oraz D ∈ K , to C

1

∪D ⊆ C

2

∪D ⊆ . . . , C

1

\D ⊆ C

2

\D ⊆ . . . ,

D

\ C

1

⊇ D \ C

2

⊇ . . . oraz C

n

∪ D, C

n

\ D, D \ C

n

∈ N , wiec na mocy warunku 3

◦

mamy

(

S

n

C

n

) ∪ D =

S

n

(C

n

∪ D) ∈ N i (

S

n

C

n

) \ D =

S

n

(C

n

\ D) ∈ N a na mocy warunku 4

◦

mamy D \ (

S

n

C

n

) =

T

(D \ C

n

) ∈ N . Wobec tego

S

n

C

n

∈ N (K) , zatem dla N (K) spe lniony

jest warunek 3

◦

.

Niech C

n

∈ N i niech C

1

⊇ C

2

⊇ . . . oraz D ∈ K . Rozumujac tak jak poprzednio i korzystajac

z warunku 4

◦

stwierdzamy, ˙ze (

T

n

C

n

)∪D =

T

n

(C

n

∪D) ∈ N , (

T

n

C

n

)\D =

T

n

(C

n

\D) ∈ N , za´s

z warunku 3

◦

wnioskujemy, ˙ze D \ (

T

n

C

n

) =

S

n

(D \ C

n

) ∈ N . Stad wynika, ˙ze

T

n

C

n

∈ N (K) , a

wiec rodzina N (K) spe lnia r´

ownie˙z warunek 4

◦

. Wykazali´smy, ˙ze N (K) jest monotoniczna rodzina

zbior´

ow zawierajaca rodzinke K , zatem N (K) ⊇ N .

Zdefniujmy e

N = {C ⊆ X × Y :

C

∪ D, C \ D, D \ C ∈ N dla D ∈ N (K} . W dok ladnie

taki sam spos´

ob jak przed chwila stwierdzamy, ˙ze e

N ⊇ K oraz ˙ze e

N jest rodzina monotoniczna,

wiec e

N ⊇ N . Wynika stad, ˙ze je´sli C, D ∈ N ⊆ e

N , to C ∪ D, C \ D, D \ C ∈ N , a to oznacza,

˙ze N jest cia lem zbior´

ow. Je´sli C

1

, C

2

, . . .

∈ N , to r´ownie˙z C

1

∪ C

2

∪ . . . ∪ C

n

∈ N dla ka˙zdej

liczby naturalnej n . Poniewa˙z C

1

⊆ C

1

∪ C

2

⊆ C

1

∪ C

2

∪ C

3

⊆ . . . i N jest zamknieta ze wzgledu

na przeliczalne sumy wstepujacych rodzin zbior´

ow, wiec

S

n

C

n

=

S

n

(C

1

∪ C

2

∪ . . . ∪ C

n

) ∈ N , co

ko´

nczy dow´

od tego, ˙ze N jest σ –cia lem.

Dzieki tym nudnawym rozwa˙zaniom jeste´smy wyposa˙zeni w kryterium pozwalajace na stwier-

dzanie, ˙ze jaka´s rodzina jest przeliczalnie addytywnym cia lem w prostszy nieco spos´

ob. Mo˙zemy teraz

nie meczac sie zbytnio posprawdza´c nastepne detale zwiazane z okre´slaniem miary produktowej.

Niech f : X × Y −→ IR bedzie funkcja mierzalna. Definiujemy f

x

(y) = f (x, y) = f

y

(x) .

Twierdzenie o mierzalno´

sci ogranicze´

n funkcji mierzalnej do przekroj´

ow

Je´sli f : X × Y −→ IR jest funkcja mierzalna, to dla ka˙zdego x ∈ X funkcja f

x

: Y −→ IR jest

mierzalna, dla ka˙zdego y ∈ Y funkcja f

y

: X −→ IR jest mierzalna.

Dow´

od.

Wynika to od razu z twierdzenia o mierzalno´sci przekroj´

ow i tego ˙ze

135

{(r, s):

f

(r, s) > a}

x

= {s:

f

x

(s) > a} i {(r, s):

f

(r, s) > a}

y

= {r:

f

y

(r) > a} .

Uwaga: funkcja jednej zmiennej jest mierzalna jako funkcja dwu zmiennych

Je´sli funkcja f : X −→ IR jest mierzalna i ˜

f

(x, y) = f (x) , to ˜

f

: X × Y −→ IR jest mierzalna.

Dow´

od.

{(x, y):

˜

f

(x, y) > a} = {x:

f

(x) > a} × Y .

Twierdzenie o produkcie miar sko´

nczonych

Je´sli µ(X) < ∞ , ν(Y ) < ∞ i C ∈ F × G , to funkcje x −→ ν(C

x

) i y −→ µ(C

y

) sa mierzalne i

zachodzi r´

owno´s´c

R

X

ν

(C

x

)dµ(x) =

R

Y

µ

(C

y

)dν(y) =: (µ × ν)(C) .

Funkcja (µ × ν): F × G −→ IR jest miara. Jest to jedyna miara na σ –ciele F × G , dla kt´

orej

(µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B) dla dowolnych A ∈ F i B ∈ G .

Dow´

od.

Niech h

C

(x) = ν(C

x

) . Je´sli C = A × B , A ∈ F , B ∈ G , to h

C

(x) = 0 dla x 6= A i h

C

(x) = ν(B)

dla x ∈ A , zatem h

C

= ν(B) χ

A

, wiec h

C

jest w tym przypadku funkcja mierzalna. Je´sli zbiory

C, D

∈ F × G sa roz laczne, to dla ka˙zdego x ∈ X zbiory C

x

i D

x

sa roz laczne. Stad wynika, ˙ze

h

C∪D

= h

C

+ h

D

, je´sli wiec funkcje h

C

, h

D

sa mierzalne, to r´

ownie˙z funkcja h

C∪D

ma te w lasno´s´c.

Niech M oznacza rodzine wszystkich zbior´

ow C ∈ F × G , dla kt´

orych funkcja h

C

jest mie-

rzalna. Wykazali´smy ju˙z, ˙ze rodzinie M przys luguja w lasno´sci 1

◦

i 2

◦

twierdzenia o generowaniu

σ

–cia la produktowego. Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze C

1

⊆ C

2

⊆ . . . sa elementami rodziny M . Poniewa˙z

ν

jest miara, wiec lim

n→∞

ν

(C

n

)

x

= ν(C

x

) , gdzie C =

S

n

C

n

, czyli h

C

(x) = lim

n→∞

h

C

n

(x) dla

ka˙zdego x ∈ X . Wobec tego funkcja h

C

jest mierzalna jako granica ciagu funkcji mierzalnych,

czyli C ∈ M . Za l´

o˙zmy dla odmiany, ˙ze C

1

⊇ C

2

⊇ . . . sa elementami rodziny M . Poniewa˙z

ν

(C

1

)

x

<

∞ , wiec lim

n→∞

ν

(C

n

)

x

= ν(C

x

) , gdzie C =

T

n

C

n

. Wobec tego r´

ownie˙z w tym przy-

padku mamy h

C

(x) = lim

n→∞

h

C

n

(x) dla ka˙zdego x ∈ X i wobec tego funkcja h

C

jest mierzalna, tzn.

C

∈ M . W ten spos´ob wykazali´smy, ˙ze dla rodziny M spe lnione sa warunki 1

◦

− 4

◦

twierdzenia

o generowaniu σ –cia la produktowego. Stad wynika, ˙ze M = F × G , a to oznacza, ˙ze dla ka˙zdego

zbioru C ∈ F × G funkcja h

C

jest mierzalna.

Mo˙zemy wiec rozpatrywa´c ca lke

R

X

h

C

dµ

=

R

X

ν

(C

x

)dµ =: (µ × ν)(C) . Z twierdzenia o mono-

tonicznym przechodzeniu do granicy po znakiem ca lki wynika od razu, ˙ze µ × ν jest miara (chodzi

o przeliczalna addytywno´s´c). Z okre´slenia wynika natychmiast, ˙ze (µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B) .

Te same rozwa˙zania mo˙zna przeprowadzi´c w przypadku funkcji przypisujacej zbiorowi

C

∈ F × G liczbe

R

Y

µ

(C

y

)dν . Ta funkcja te˙z jest miara i te obie miary pokrywaja sie na „pro-

stokatach mierzalnych”.

Niech m oznacza dowolna miare na F × G , kt´

ora pokrywa sie z miara µ × ν na „prostokatach

mierzalnych”. By wykaza´c, ˙ze µ×ν = m sprawdzamy po prostu, ˙ze rodzina tych zbior´

ow C ∈ F ×G ,

dla kt´

orych zachodzi r´

owno´s´c (µ×ν)(C) = m(C) jest jest σ –cia lem. Wynika to od razu z twierdzenia

136

o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki — sprawdzamy, ˙ze rodzina tych

zbior´

ow jest monotoniczna., czyli ˙ze spe lnione sa warunki 3

◦

i 4

◦

twierdzenia o generowaniu σ –cia la

produktowego.

Cel jest ju˙z prawie zrealizowany. Trzeba jeszcze wykaza´c to samo twierdzenie przy nieco s lab-

szych za lo˙zeniach, bo czesto trzeba rozwa˙za´c miary, kt´

ore nie sa sko´

nczone.

Twierdzenie o produkcie miar

σ –sko´

nczonych

Je´sli µ i ν sa miarami σ –sko´

nczonymi oraz C ∈ F × G , to funkcje x −→ ν(C

x

) i y −→ µ(C

y

) sa

mierzalne i zachodzi r´

owno´s´c

R

X

ν

(C

x

)dµ(x) =

R

Y

µ

(C

y

)dν(y) =: (µ × ν)(C) .

Funkcja (µ × ν): F × G −→ IR jest miara. Jest to jedyna miara na σ –ciele F × G , dla kt´

orej

(µ × ν)(A × B) = µ(A) · ν(B) dla dowolnych A ∈ F i B ∈ G .

Dow´

od.

Niech X

1

, X

2

, . . .

∈ F , X =

S

n

X

n

, Y

1

, Y

2

, . . .

∈ G , Y =

S

n

Y

n

i µ(X

n

) < ∞ oraz ν(Y

n

) < ∞ dla

ka˙zdego n ∈ IN . Mo˙zna przyja´c, ˙ze zbiory X

1

, X

2

, . . .

sa parami roz laczne, je´sli nie, to zastepujemy

je zbiorami X

1

, X

2

\ X

1

, X

3

\ (X

1

∪ X

2

) , . . . , kt´

ore sa parami roz laczne, ich miary sa sko´

nczone i

ich suma jest X . Analogicznie mo˙zna przyja´c, ˙ze zbiory Y

1

, Y

2

, . . . sa parami roz laczne.

Miare µ mo˙zna ograniczy´c do zbioru X

m

, miare ν – do zbioru Y

n

. Wtedy na zbiorze X

m

× Y

n

dana jest miara µ × ν . Je´sli (m, n) 6= (i, j) , to oczywi´scie (X

m

× Y

n

) ∩ (X

i

× Y

j

) = ∅ . Mamy te˙z

S

(m,n)

X

m

× Y

n

= X × Y . Niech M oznacza rodzine wszystkich takich zbior´

ow C ∈ F × G , ˙ze

C

∩ (X

m

× Y

n

) jest zbiorem mierzalnym dla ka˙zdej pary (m, n) . Je´sli C ∈ M , to (X × Y ) \ C ∈ M ,

bo (X ×Y )\C =

S

(m,n)

(X

m

×Y

n

)\C

=

S

(m,n)

(X

m

×Y

n

)\ C ∩(X

m

×Y

n

)

∈ M . Je´sli C

j

∈ M

dla j = 1, 2, . . . , to C

j

∩ X

m

× Y

n

jest zbiorem mierzalnym, wiec mierzalny jest r´

ownie˙z zbi´

or

S

j

C

j

∩ (X

m

× Y

n

)

=

S

j

C

j

∩ X

m

× Y

n

, a to oznacza, ˙ze

S

j

C

j

∈ M . Udowodnili´smy w la´snie,

˙ze rodzina M jest σ –cia lem. Je´sli A ∈ F , b ∈ G , to (A × B) ∩ (X

m

× Y

n

) = (A ∩ X

m

) × (B ∩ Y

n

)

jest zbiorem mierzalnym, wiec A × B ∈ M . Wobec tego M ⊇ F × G , wiec M = F × G .

Za pomoca r´

owno´sci (µ × ν)(C) =

P

(m,n)

(µ × ν) C ∩ (X

m

× Y

n

)

mo˙zemy zdefiniowa´c miare

µ

× ν na F × G . Sprawdzenie, ˙ze jest ona przeliczalnie addytywna to czysta formalno´s´c. Niech

C

∈ F × G . Z podanej definicji miary wnioskujemy, ˙ze

(µ × ν)(C)

1

==

P

(m,n)

(µ × ν) C ∩ (X

m

× Y

n

)

2

==

P

(m,n)

R

X

m

ν

C

∩ (X

m

× Y

n

)

x

3

==

=

P

(m,n)

R

X

m

ν

(C

x

∩ Y

n

)

4

==

P

m

P

n

R

X

m

ν

(C

x

∩ Y

n

)

5

==

P

m

R

X

m

P

n

ν

(C

x

∩ Y

n

)

6

==

=

P

m

R

X

m

ν

(C

x

)

7

==

R

X

ν

(C

x

)

R´

owno´sci te wynikaja kolejno

1 — z definicji µ × ν ,

2 — z w lasno´sci µ × ν na produkcie przestrzeni sko´

nczonej miary,

3 — z definicji przekroju C

x

,

137

4 — z w lasno´sci sumy podw´

ojnej,

5 — z twierdzenia o monotonicznym przechodzeniu do granicy pod znakiem ca lki

6 — z przeliczalnej addytywno´sci miary ν ,

7 — z elementarnych w lasno´sci ca lki.

Z mierzalno´scia ca lkowanych funkcji nie ma ˙zadnych k lopot´

ow, bo funkcje mierzalne okre´slone

na zbiorach X

m

× Y

n

mo˙zna przed lu˙za´c na X × Y przyjmujac, ˙ze sa r´

owne 0 poza X

m

× Y

n

,

nastepnie korzystajac z tego, ˙ze granica ciagu funkcji mierzalnych (np. suma szeregu funkcji mie-

rzalnych) jest mierzalna.

Wykazali´smy, ˙ze zdefiniowana przez nas miara µ × ν jest niezale˙zna od sposobu przedstawienia

przestrzeni X i Y w postaci sumy przeliczalnej rodziny zbior´

ow sko´

nczonej miary. Jest jasne, ˙ze

miara jest jednoznacznie wyznaczona jako ca lka z miary przekroj´

ow, bo tak jest na przestrzeni

X

m

× Y

n

, bowiem µ(X

m

), ν(Y

n

) < ∞ .

Teraz mo˙zemy sformu lowa´c twierdzenie Fubiniego dla produktu dwu miar σ –sko´

nczonych.

Twierdzenie Fubiniego

Je´sli µ jest miara σ –sko´

nczona na przestrzeni X , ν jest miara σ –sko´

nczona na przestrzeni Y ,

f

: X × Y −→ IR funkcja mierzalna nieujemna lub ca lkowalna, to dla ka˙zdego x ∈ X funkcja

f

x

: Y −→ IR zdefiniowana wzorem f

x

(y) = f (x, y) jest mierzalna, funkcja f

y

: Y −→ IR zdefi-

niowana wzorem f

y

(x) = f (x, y) jest mierzalna, funkcja x −→

R

Y

f

x

dν

jest mierzalna, funkcja

y

−→

R

X

f

y

dµ

jest mierzalna i zachodza r´

owno´sci

R

X

R

Y

f

x

dν

dµ

=

R

X×Y

f d

(µ × ν) =

R

Y

R

X

f

y

dµ

dν

.

Dow´

od.

W tym przypadku mamy do czynienia z miara produktowa, wiec nie musimy pisa´c dla prawie

ka˙zdego

. Miara `

k+l

nie jest produktem miar `

k

i `

l

, bo niekt´

ore zbiory C ⊆ IR

k+l

sa niemierzalne

z wzgledu na miare `

k

×`

l

i jednocze´snie `

k+l

(C) = 0 . Jest to jedyny problem. Poza ta jedna kwestia

nie ma r´

o˙znicy i dowodu nie warto powtarza´c – jest po prostu taki sam (poprzednie twierdzenie to

twierdzenie Fubiniego dla funkcji charakterystycznych zbior´

ow mierzalnych).

Zadanie 6

Wykaza´c, ˙ze istnieje funkcja r´

o˙znowarto´sciowa ϕ: [0, 1]

na

−−→[0, 1] × [0, 1] taka, ˙ze zbi´or A ⊆ [0, 1]

jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbi´

or ϕ(A) jest mierzalny i dla ka˙zdego zbioru A ⊆ [0, 1]

zachodzi r´

owno´s´c `

1

(A) = `

2

(ϕ(A)) .

Oznacza to, ˙ze z punktu widzenia teorii miary odcinek nie r´

o˙zni sie od kwadratu, zupe lnie inaczej

ni˙z z punktu widzenia topologii!

Zadanie 7

Niech µ oznacza jednowymiarowa miare Lebesgue’a ograniczona do przedzia lu [0, 1] , ν — miare

„liczaca” na przedziale [0, 1] . Wykaza´c, ˙ze dla tej pary miar twierdzenie Fubiniego nie zachodzi.

138