AM 2, krzywe w R

3

, tr´

oj´scian Freneta

Tekst poprawiony 27 XII, godz. 17:56. By´c mo˙ze dojda

,

naste

,

pne zadania

Definicja 17.1 (krzywej)

Niech P oznacza dowolny przedzia l niezdegenerowany. Przekszta lcenie r: P −→ IR

k

nazywamy krzywa

,

. Je´sli r jest cia

,

g le, to m´owimy o krzywej cia

,

g lej, je´sli jest klasy

C

r

, to krzywa jest klasy C

r

. Krzywa jest przedzia lami (lub kawa lkami) klasy C

r

wtedy, gdy przedzia l [a, b] jest suma

,

sko´

nczenie wielu przedzia l´ow i na ka˙zdym z

nich r jest klasy C

r

(w ko´

ncach m´owimy o pochodnych jednostronnych). Je˙zeli

dla ka˙zdej liczby t ∈ P zachodza

,

be

,

da

,

obie nier´owno´sci r

0

−

(t) 6= 0 6= r

0

+

(t) , to

m´owimy o krzywej regularnej. Je˙zeli istnieje taka liczba M ≥ 0 , ˙ze dla dowolnych

liczb a = t

0

< t

1

< t

2

< . . . < t

n−1

< t

n

= b zachodzi nier´owno´s´c

kr(t

1

) − r(t

0

)k + kr(t

2

) − r(t

1

)k + · · · + kr(t

n

) − r(t

n−1

)k ≤ M ,

to krzywa

,

nazywamy prostowalna

,

na przedziale [a, b] , a kres g´orny sum wyste

,

puja

,

-

cych w tej nier´owno´sci nazywany jest d lugo´scia

,

krzywej r: P −→ R

3

.

Twierdzenie 17.2 (o d lugo´sci krzywej)

Je´sli krzywa r jest klasy C

1

, to jej d lugo´s´c jest r´owna

R

b

a

kr

0

(t)kdt .

Dow´

od. Z twierdzenia o warto´sci ´sredniej wynika, ˙ze

kr(t + h) − r(t) − r

0

(t)hk ≤ |h| sup

θ∈[0,1]

kr

0

(t + θh) − r

0

(t)k .

Sta

,

d i z jednostajnej cia

,

g lo´sci funkcji kr

0

k wynika, ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje

taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli a = t

0

< t

1

< t

2

< . . . < t

n−1

< t

n

= b oraz t

j

− t

j−1

< δ

dla j = 1, 2, . . . , n , to zachodza

,

te˙z nier´owno´sci

kr(t

1

) − r

(

t

0

)k + kr(t

2

) − r

(

t

1

)k + · · · + kr(t

n−1

) − r

(

t

n

)k −

− [kr

0

(t

0

)k(t

1

− t

0

) + kr

0

(t

1

)k(t

2

− t

1

) + · · · + kr

0

(t

n−1

)k(t

n

− t

n−1

)]

< ε

oraz

kr

0

(t

0

)k(t

1

−t

0

)+kr

0

(t

1

)k(t

2

−t

1

)+· · ·+kr

0

(t

n−1

)k(t

n

−t

n−1

)−

R

b

a

kr

0

(t)kdt

< ε ,

zatem

kr(t

1

)−r(t

0

)k+kr(t

2

)−r(t

1

)k+· · ·+kr(t

n

)−r(t

n−1

)k−

R

b

a

kr

0

(t)kdt

< 2ε .

W dalszym cia

,

gu zak lada´c be

,

dziemy, ˙ze funkcja r jest klasy C

∞

.

M´owimy, ˙ze dwie krzywe r

1

: P

1

−→ R

3

i r

2

: P

2

−→ R

3

sa

,

r´ownowa˙zne, je´sli

istnieje taka funkcja klasy C

∞

z P

1

na P

2

, ˙ze r

2

(t(s)) = r

1

(s) i

dt

ds

(s) > 0 dla

ka˙zdego s ∈ P

1

. Cze

,

sto my´slimy o krzywej jako o klasie r´ownowa˙zno´sci w la´snie zde-

finiowanej relacji r´ownowa˙zno´sci, a nie jako o jednym odwzorowaniu. Wtedy funkcje

r

1

i r

2

nazywane sa

,

r´o˙znymi parametryzacjami tej samej krzywej.

1

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

Stwierdzenie 17.3 (o istnieniu parametryzacji naturalnej)

Dla ka˙zdej krzywej istnieje r´ownowa˙zna jej parametryzacja d lugo´scia

,

luku, wie

,

c taka,

˙ze k

dr
ds

(s)k = 1 dla ka˙zdego s .

Dow´

od. Niech t

0

∈ int P i niech r oznacza jaka

,

kolwiek parametryzacje

,

krzywej.

Niech s(t) =

R

t

t

0

kr

0

(τ )kdt . Funkcja s zmiennej t jest ´sci´sle rosna

,

ca, bo ma wsze

,

dzie

dodatnia

,

pochodna

,

: s

0

(t) = kr

0

(t)k . Poniewa˙z ta pochodna jest klasy C

∞

, wie

,

c

funkcja s te˙z jest niesko´

nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalna. Ma te˙z funkcje

,

odwrotna

,

,

bo jej pochodna jest wsze

,

dzie r´o˙zna od 0 . Mamy dalej

d

ds

r t(s)

=

dr

dt

t(s)

dt

ds

(s) = r

0

(t)

1

kr

0

(t)k

=

r

0

(t)

kr

0

(t)k

.

Ta r´owno´s´c ko´

nczy dow´od.

W dalszym cia

,

gu litera s be

,

dzie oznacza´c parametr naturalny, wie

,

c taki, wzgle

,

-

dem kt´orego pochodna jest wektorem d lugo´sci 1 . Be

,

dziemy te˙z pisa´c r(s) lub r(t)

rozumieja

,

c, ˙ze s jest funkcja

,

zmiennej t luc, ˙ze t jest funkcja

,

zmiennej s . Oznaczenia

takie nie poowduja

,

na og´o l nieporozumie´

n, cho´c z bardzo formalnego punktu widzenia

nie sa

,

precyzyjne. W dalszej cze

,

´sci wyk ladu oka˙ze sie

,

, ˙ze jest to nie tylko zgodne z

tradycja

,

, ale te˙z bardzo po˙zyteczne.

Zajmiemy sie

,

teraz prosta

,

styczna

,

do krzywej r . Ustalamy teraz s i be

,

dziemy

poszukiwa´c prostej naj´sci´slej przylegaja

,

cej do krzywej r w punkcie r(s) . Mamy

r(s + h) = r(s) + r

0

(s)h +

1
2

r

00

(s)h

2

+ o(h

2

) . Odleg lo´s´c punktu r(s + h) od prostej

przechodza

,

cej przez punkt r(s) , r´ownoleg lej do wektora v jest r´owna

kr(s + h) − r(s) −

(r(s+h)−r(s))·v

v·v

vk =

= kr

0

(s)h +

1
2

r

00

(s)h

2

−

1

v·v

r

0

(s) · v · h +

1
2

r

00

(s) · v · h

2

v + o(h

2

)k =

= kh r

0

(s) −

r

0

(s)·v

v·v

v

+

1
2

h

2

r

00

(s) −

r

00

(s)·v

v·v

v

+ o(h

2

)k .

Wynika sta

,

d, ˙ze najmniejszy b la

,

d dla ma lych h pope lnimy, gdy be

,

dzie spe lniona

r´owno´s´c r

0

(s) =

r

0

(s)·v

v·v

v , czyli gdy v = r

0

(s) . Oznacza to, ˙ze najdok ladniej przybli˙za

krzywa

,

prosta do niej styczna, co jest rezultatem oczekiwanym.

Zadamy naste

,

pne pytanie. Chodzi teraz o p laszczyzne

,

najdok ladniej przybli˙za-

ja

,

ca

,

krzywa

,

r w otoczeniu punktu r(s) . Odleg lo´s´c punktu r(s + h) od p laszczyzny

prostopad lej do wektora w 6= 0 , przechodza

,

cej przez punkt r(s) jest, jak wiemy,

r´owna

(r(s+h)−r(s))·w

kw||

=

(r

0

(s)h+

1

2

r

00

(s)h

2

+o(h

2

))·w

kw||

= o(h

2

) wtedy i tylko wtedy,

gdy r

0

(s) · w = 0 i r

00

(s) · w = 0 . Wobec tego je´sli r

00

(s) 6= 0 , to wektor w musi

by´c r´ownoleg ly do wektora r

0

(s) × r

00

(s) . Udowodnili´smy

2

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

Twierdzenie 17.4 (o p laszczy´

znie ´sci´sle stycznej do krzywej)

Je´sli r

00

(s) 6= 0 i d(h) oznacza odleg lo´s´c punktu r(t + h) od p laszczyzny przecho-

dza

,

cej przez punkt r(s) , prostopad lej do wektora r

0

(s) × r

00

(s) , to d(h) = o(h

2

) ,

przy czym jest to jedyna p laszczyzna, kt´ora ma te

,

w lasno´s´c.

Definicja 17.5 (p laszczyzny ´sci´sle stycznej do krzywej)

Je´sli d(h) oznacza odleg lo´s´c punktu r(s + h) od p laszczyzny Π i d(h) = o(h

2

) , to

m´owimy, ˙ze Π jest ´sci´sle styczna do krzywej r .

Definicja 17.6 (punktu wyprostowania krzywej)

r(s) jest punktem wyprostowania krzywej r wtedy i tylko wtedy, gdy r

00

(s) = 0.

Definicja 17.7 (normalnych)

Za l´o˙zmy, ˙ze r(s) nie jest punktem wyprostowania krzywej r . Oznaczamy wtedy

T(s) = r

0

(s) , N(s) =

r

00

(s)

kr

00

(s)k

i T(s) = B(s) × N(s) . T(s) to wektor styczny do

krzywej. Wektor N(s) jest nazywany normalna

,

g l´owna

,

do krzywej, a wektor B(s)

— binormalna

,

.

Definicja 17.8 (krzywizny krzywej)

Liczbe

,

kr

00

(s)k nazywamy krzywizna

,

krzywej w punkcie r(s) i oznaczamy ja

,

sym-

bolem κ(s) .

Mo˙zemy wie

,

c napisa´c:

T

0

(x) = r

00

(s) = κ(s)N(s) .

Znajdziemy teraz tzw. okra

,

g styczny do krzywej w punkcie, w kt´orym krzywizna

jest dodatnia. Be

,

dzie to okra

,

g, kt´orego rza

,

d styczno´sci do krzywej be

,

dzie wy˙zszy

ni˙z 1 , czyli wy˙zszy ni˙z rza

,

d styczno´sci do prostej stycznej. Jest jasne, ˙ze okra

,

g ten

musi le˙ze´c na p laszczy´znie ´sci´sle stycznej, a jego ´srodek musi znale´z´c sie

,

na normalnej

do krzywej, wie

,

c na normalnej g l´ownej. Musi wie

,

c to by´c punkt postaci r(s)+%N(s) ,

gdzie % oznacza pewna

,

liczbe

,

rzeczywista

,

. Mamy kr(s + h) − r(s) − %N(s)k

2

− %

2

=

=kr

0

(s)h +

1
2

r

00

(s)h

2

+ o(h

2

) − %N(s)k

2

− %

2

= h

2

1 − %r

00

(s) · N(s)

+ o(h

2

) =

=h

2

1 − %κ(s)

+ o(h

2

) . Wobec tego rza

,

d styczno´sci jest wie

,

kszy ni˙z 1 wtedy i tylko

wtedy, gdy % =

1

κ(s)

.

Definicja 17.9 (´srodka i promienia krzywizny)

Promieniem krzywizny w punkcie r(s) nazywamy liczbe

,

%(s) =

1

κ(s)

, a ´srodkiem

krzywizny punkt C(s) = r(s) + %(s)N(s) . Okra

,

g o ´srodku C(s) i promieniu %(s)

nazywany jest ´sci´sle stycznym do krzywej w punkcie r(s) .

Mo˙zna udowodnione ju˙z twierdzenie wypowiedzie´c tak:

3

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

Twierdzenie 17.10 (o okre

,

gu ´sci´sle stycznym)

Je˙zeli dla dostatecznie ma lych |h| liczba D(h) oznacza odleg lo´s´c punktu r(s + h)

od okre

,

gu o ´srodku w punkcie C(s) = r(s) +

1

κ(s)

N(s) , to D(h) = o(h

2

) .

Udowodnimy teraz naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 17.11 (Freneta)

Je´sli r

00

(s) 6= 0 , to prawdziwe sa

,

wzory:

T

0

(s) = κ(s)N(s) ,

N

0

(s) = −κ(s)T(s) + τ (s)B(s) ,

B

0

(s) = −τ (s)N(s) ,

gdzie τ (s) =

(r

0

(s)×r

00

(s))·r

000

(s)

kr

00

(s)k

2

, T(s) = r

0

(s) , N(s) =

r

00

(s)

|r

00

(s)k

, B(s) = T(s)× N(s) .

Dow´

od. Pierwszy z tych wzor´ow wyprowadzili´smy wcze´sniej. Trzy ostatnie to de-

finicje. Wektory T, N, B sa

,

wzajemnie prostopad le, d lugo´s´c ka˙zdego z nich jest

r´owna 1, wie

,

c T · T = N · N = B · B = 1 , zatem 2 T

0

· T = 2 N

0

· N = 2 B

0

· B = 0 .

Wynika sta

,

d, ˙ze wektor N

0

jest kombinacja

,

liniowa

,

wektor´ow T i B , a wektor

B

0

— kombinacja

,

liniowa

,

wektor´ow T i N . Istnieja

,

wie

,

c takie liczby α, τ, β, γ , ˙ze

N

0

= α T + τ B oraz B

0

= β T + γ N .

Mno˙za

,

c skalarnie te r´owno´sci stronami przez wektory T , N i B otrzymujemy

T · N

0

= α ,

B · N

0

= τ ,

T · B

0

= β ,

N · B

0

= γ .

R´o˙zniczkuja

,

c r´owno´sci T · N = 0 , N · B = 0 , B · T = 0 stronami otrzymujemy

T

0

· N + T · N

0

= 0 ,

N

0

· B + N · B

0

= 0 ,

B

0

· T + B · T

0

= 0 .

Z ostatnich siedmiu r´owno´sci wynika natychmiast, ˙ze α = T · N

0

= −T

0

· N =

−κ(s) , τ = B · N

0

= −B

0

· N = −γ , β = T · B

0

= −T

0

· B = 0 i γ = N · B

0

=

−N

0

· B = −τ (s) .

Otrzymali´smy drugi i trzeci wz´or z tezy twierdzenia. Nale˙zy jeszcze wyrazi´c τ (s) za

pomoca

,

wektor´ow r(s) , r

0

(s) , r

00

(s) i r

000

(s) .

Zachodza

,

r´owno´sci

τ (s) = B(s) · N

0

(s) =

r

0

(s) ×

r

00

(s)

kr

00

(s)k

·

d

ds

r

00

(s)

kr

00

(s)k

=

=

r

0

(s) ×

r

00

(s)

kr

00

(s)k

·

d

ds

r

00

(s)

1

kr

00

(s)k

=

=

r

0

(s) ×

r

00

(s)

kr

00

(s)k

·

r

000

(s)

1

kr

00

(s)k

+ r

00

(s)

−1

kr

00

(s)k

2

r

00

(s)·r

000

(s)

kr

00

(s)k

=

=

1

kr

00

(s)k

2

r

0

(s) × r

00

(s)

· r

000

(s) .

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Definicja 17.12 (skre

,

cenia)

Skre

,

ceniem krzywej r w punkcie r(s) nazywamy liczbe

,

τ (s) .

Niech ϕ(h) ∈ [0, π] oznacza ka

,

t mie

,

dzy wektorami B(s) i B(s + h) . Mamy

| sin ϕ(h)| = kB(s + h) × B(s)k = k B(s) + B

0

(s)h + o(h)

× B(s)k =

4

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

= k B

0

(s)h + o(h)

× B(s)k = k − τ (s)N(s)h + o(h)

× B(s)k = |τ (s)| · |h| + o(h) .

Wynika sta

,

d

Stwierdzenie 17.13

Je´sli r

00

(s) 6= 0 , to lim

h→0

ϕ(h)

h

= |τ(s)| .

Czas na wyra˙zenie wektor´ow T , N , B oraz krzywizny i skre

,

cenia za po-

moca

,

funkcji r i jej pochodnych przy u˙zyciu dowolnej parametryzacji. Czasem natu-

ralna

,

parametryzacje

,

mo˙zna znale´z´c jedynie u˙zywaja

,

c tzw. funkcji specjalnych. Jest

tak w przypadku elipsy, wie

,

c bardzo prostej krzywej. W dalszym cia

,

gu be

,

dziemy

pisa´c r(t) maja

,

c na my´sli dowolna

,

parametryzacje

,

krzywej. Symbol r

0

(s(t)) ozna-

cza´c be

,

dzie

dr
ds

(s(t)) , czyli pochodna

,

funkcji r zmiennej s w punkcie s(t) . Symbol

r

0

(t) oznacza pochodna

,

funkcji r zmiennej t w punkcie t . Prawdziwy jest wie

,

c wz´or

r

0

(t) = r

0

(s(t))s

0

(t) — w tym wzorze litera r oznacza punkt na krzywej przy czym

mo˙ze on by´c opisywany za pomoca

,

parametru t (po lewej stronie) lub za pomoca

,

parametru naturalnego s (po prawej stronie). Mo˙zna te˙z napisa´c r

0

(s) = r

0

(t)t

0

(s) .

Z tej r´owno´sci i z tego, ˙ze kr

0

(s)k = 1 oraz t

0

(s) > 0 wynika natychmiast, ˙ze

t

0

(s) =

1

kr

0

(t)k

. Dalej t jest funkcja

,

s .

Mamy wie

,

c T(t) = r

0

(s) = r

0

(t)t

0

(s) =

r

0

(t)

kr

0

(t)k

. Sta

,

d wynika, ˙ze

r

00

(s) =

d

2

ds

2

(r(t(s)) =

d

ds

r

0

(t(s))

kr

0

(t(s))k

= r

00

(t)t

0

(s)·

1

kr

0

(t)k

+r

0

(t)·

−1

kr

0

(t)k

2

·

r

0

(t)·r

00

(t)

kr

0

(t)k

·t

0

(s) =

=

1

kr

0

(t)k

4

r

00

(t) r

0

(t)

2

− r

0

(t) · r

0

(t) · r

00

(t)

=

1

kr

0

(t)k

4

r

0

(t) × r

00

(t)

× r

0

(t)

.*

Wobec tego N(s) =

(r

0

(t)×r

00

(t))×r

0

(t)

k(r

0

(t)×r

00

(t))×r

0

(t)k

=

r

00

(t) r

0

(t)

2

−r

0

(t)·(r

0

(t)·r

00

(t))

k(r

0

(t)×r

00

(t))×r

0

(t)k

.

Mo˙zemy napisa´c B(s) = T(s) × N(s) =

r

0

(t)×( r

00

(t)(r

0

(t))

2

−r

0

(t)(r

0

(t)·r

00

(t) )

kr

0

(t)×( r

00

(t)(r

0

(t))

2

−r

0

(t)(r

0

(t)·r

00

(t) )k

=

=

r

0

(t)×r

00

(t)(r

0

(t))

2

kr

0

(t)×r

00

(t)(r

0

(t))

2

k

=

r

0

(t)×r

00

(t)

kr

0

(t)×r

00

(t)k

.

Mamy dalej

κ(t) = kr

00

(s)k =

1

kr

0

(t)k

4

r

00

(t) r

0

(t)

2

− r

0

(t) · (r

0

(t) · r

00

(t))

=

=

1

kr

0

(t)k

4

k r

0

(t) × r

00

(t)

× r

0

(t)k =

1

kr

0

(t)k

4

kr

0

(t) × r

00

(t)k · kr

0

(t)k =

=

1

kr

0

(t)k

3

· kr

0

(t) × r

00

(t)k .

♣

Zachodzi r´owno´s´c B

0

(s) =

r

0

(t)×r

00

(t)

kr

0

(t)×r

00

(t)k

0

t

0

(s) = r

0

(t)×r

000

(t)

1

kr

0

(t)×r

00

(t)k·kr

0

(t)k

+

+ r

0

(t) × r

00

(t)

·

−1

kr

0

(t)×r

00

(t)k

2

·

(r

0

(t)×r

00

(t))((r

0

(t)×r

000

(t))

kr

0

(t)×r

00

(t)k·kr

0

(t)k

Z wzoru Freneta, prostopad lo´sci wektor´ow r

0

(t) × r

00

(t) i r

0

(t) × r

00

(t)

× r

0

(t)

*

(u×v)×w=v(u·w)−u(v·w) dla dowolnych u,v,w∈R

3

, co studenci wyka˙za, bez trudu.

♣

Wektory r

0

×r

00

i r

0

sa, prostopad le, wie,c d lugo´s´c ich iloczynu wektorowego to iloczyn ich d lugo´sci.

5

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

oraz formu ly na B

0

wynika, ˙ze

τ (t) = −B

0

(s) · N(s) =

=

−r

0

(t)×r

000

(t)

kr

0

(t)×r

00

(t)k·kr

0

(t)k

·

r

00

(t) r

0

(t)

2

−r

0

(t)·(r

0

(t)·r

00

(t))

k(r

0

(t)×r

00

(t))×r

0

(t)k

=

=

r

000

(t)×r

0

(t)

kr

0

(t)×r

00

(t)k·kr

0

(t)k

·

r

00

(t) r

0

(t)

2

kr

0

(t)×r

00

(t)k·kr

0

(t)k

=

1

kr

0

(t)×r

00

(t)k

2

r

000

(t) × r

0

(t)

· r

00

(t) =

=

1

kr

0

(t)×r

00

(t)k

2

r

0

(t) × r

00

(t)

· r

000

(t) .

Udowodnimy teraz, ˙ze je´sli dane sa

,

funkcje κ > 0 i τ na pewnym przedziale

otwartym, to istnieje krzywa r , kt´orej krzywizna

,

jest κ , a skre

,

ceniem — τ . Poprze-

dzimy to twierdzeniem o istnieniu i jednoznaczno´sci rozwia

,

za´

n uk ladu r´owna´

n r´o˙z-

niczkowych liniowych.

Twierdzenie 17.14 (o istnieniu i jednoznaczno´sci rozwia

,

za´

n ) *

Je´sli A jest funkcja

,

cia

,

g la

,

na przedziale otwartym (a, b) o warto´sciach w L(R

k

, R

k

) ,

to dla ka˙zdego t

0

∈ (a, b) i ka˙zdego x

0

∈ R

k

istnieje dok ladnie taka jedna funkcja

r´o˙zniczkowalna x: (a, b) −→ R

k

, ˙ze x(t

0

) = x

0

oraz x

0

(t) = A(t)x(t) .

Przy ustalonym t

0

przyporza

,

dkowanie punktowi x

0

funkcji x jest liniowym izomor-

fizmem przestrzeni R

k

na przestrze´

n wszystkich funkcji x: (a, b) −→ R

k

spe lniaja

,

-

cych r´ownanie x

0

(t) = A(t)x(t) .

Dow´

od. Dow´od przeprowadzimy zak ladaja

,

c, ˙ze a = −∞ , b = ∞ . Czytelnik powi-

nien zmodyfikowa´c rozumowanie tak, by uzyska´c dow´od w dowolnej sytuacji. Funkcja

r´o˙zniczkowalna x: R −→ R

k

spe lnia warunki x(t

0

) = x

0

, x

0

(t) = A(t)x(t) wtedy

i tylko wtedy, gdy jest cia

,

g la i x(t) = x

0

+

R

t

t

0

A(τ )x(τ )dτ dla ka˙zdego t ∈ R .

♣

Ustalmy d > 0 i α > 0 . Niech kxk

α,d

= sup{kx(t)ke

−α|t−t

0

|

:

|t − t

0

| ≤ d} . Niech

ϕ(x)(t) = x

0

+

R

t

t

0

A(τ )x(τ )dτ dla t ∈ [t

0

− d, t

0

+ d] . Poniewa˙z A jest funkcja

,

cia

,

g la

,

, wie

,

c istnieje taka liczba M > 0 , ˙ze dla ka˙zdego t ∈ [t

0

− d, t

0

+ d] zachodzi

nier´owno´s´c kA(t)k ≤ M . Mamy zatem

k ϕ(x

1

) − ϕ(x

2

)

(t)k

α,d

= sup

|t−t

0

|≤d

ke

−α|t−t

0

|

R

t

t

0

A(τ ) x

1

(τ ) − x

2

(τ )

dτ k ≤

≤ M sup

|t−t

0

|≤d

e

−α|t−t

0

|

k

R

t

t

0

x

1

(τ ) − x

2

(τ )

e

−α|τ −t

0

|

e

α|τ −t

0

|

dτ k ≤

≤ M sup

|t−t

0

|≤d

e

−α|t−t

0

|

kx

1

− x

2

k

α,d

R

t

t

0

e

α|τ −t

0

|

dτ k ≤

M

α

kx

1

− x

2

k

α,d

.

Je´sli wie

,

c α > d , to przekszta lcenie ϕ odwzorowuja

,

ce przestrze´

n funkcji cia

,

g-

lych z [t

0

− d, t

0

+ d] z norma

,

k k

α,d

w R

k

jest zwe

,

˙zaja

,

ce, a ta przestrze´

n jest

zupe lna, wie

,

c ϕ ma dok ladnie jeden punkt sta ly.

Zwie

,

kszaja

,

c d otrzymujemy funkcje na wie

,

kszym przedziale. W tej przestrzeni

*

Og´

olniejsza wersja pojawi sie, na r´ownaniach r´o˙zniczkowych

♣

Ca lkownie odbywa sie, po ka˙zdej wsp´o lrze,dnej z osobna. Z r´o˙zniczkowalno´sci funkcji x i z r´ownania

x

0

(t)=A(t)x(t) wynika cia,g lo´s´c pochodnej x

0

.

6

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

te˙z jest rozwia

,

zanie naszego r´ownania. Bez trudu stwierdzamy, ˙ze jest ono przed lu-

˙zeniem rozwia

,

zania okre´slonego na kr´otszym przedziale (z jednoznaczno´sci).

Zbi´or rozwia

,

za´

n r´ownania x

0

(t) = A(t)x(t) jest oczywi´scie przestrzenia

,

liniowa

,

— formalne sprawdzenie. Poniewa˙z warto´s´c tego rozwia

,

zania w punkcie t

0

wyznacza

je, przy czym kombinacji liniowej punkt´ow x

0

odpowiada kombinacja liniowa ich

rozwia

,

za´

n, wie

,

c przestrze´

n rozwia

,

za´

n jest izomorficzna z przestrzenia

,

R

k

. Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Wzory Freneta przy danych funkcjach κ i τ mo˙zna potraktowa´c jako uk lad

r´owna´

n r´o˙zniczkowych, w kt´orym niewiadomymi sa

,

wsp´o lrze

,

dne wektor´ow T , N

i B (Czytelniku jak wygla

,

da macierz A(t) ?). Z udowodnionego twierdzenia wy-

nika, ˙ze ma on dok ladnie jedno rozwia

,

zanie spe lniaja

,

ce warunek pocza

,

tkowy (trzeba

powiedzie´c, jakie warto´sci maja

,

przyjmowa´c niewiadome funkcje w dowolnie wybra-

nym punkcie dziedziny). Pozostawiamy Czytelnikowi sprawdzenie tego, ˙ze „startuja

,

c

z wzajemnie prostopad lych wektor´ow o d lugo´sci 1 ” otrzymujemy funkcje, kt´orych

warto´sci spe lniaja

,

ten warunek w ca lej swej dziedzinie (oczywi´scie wsp´olnej).

ZADANIA

17. 01 Udowodni´c, ˙ze je´sli r

00

(s) 6= 0 i Π(h) oznacza p laszczyzne

,

przechodza

,

ca

,

przez

punkt r(s+h) , prostopad la

,

do wektora r

0

(s+h) , a P (h) jest punktem przecie

,

cia

Π(h) i normalnej g l´ownej do krzywej r w punkcie r(s) , to lim

h→0

P (h) = C(s) .

17. 02 Udowodni´c, ˙ze je´sli r

00

(s) 6= 0 i b(h) jest wektorem o d lugo´sci 1 , prostopad lym

do p laszczyzny, kt´ora przechodzi przez punkty r(s − h) , r(s) i r(s + h) , to

lim

h→0

b(h) = ±B(s) .

17. 03 Niech a, b > 0 i r(t) = (at − b sin t, a − b cos t) .

Sprawdzi´c dla jakich a, b krzywa ma punkty samoprzecie

,

cia.

Znale´z´c d lugo´s´c luku tej krzywej odpowiadaja

,

cemu przedzia lowi [0, π] w przy-

padku a = b .

Znale´z´c ewentualne punkty wyprostowania krzywej r .

Znale´z´c krzywizne

,

i skre

,

cenie krzywej r .

17. 04 Znale´z´c p laszczyzne

,

´sci´sle styczna

,

do linii ´srubowej: x = a cos t , y = a sin t ,

z = bt w dowolnym punkcie oraz ka

,

t, kt´ory tworzy ona z osia

,

OZ .

17. 05 Znale´z´c p laszczyzne

,

´sci´sle styczna

,

do krzywej x = y , x =

1
2

z

2

.

17. 06 Znale´z´c p laszczyzne

,

´sci´sle styczna

,

do krzywej x = t

2

, y = t − t

2

, z = 2t .

17. 07 Znale´z´c tr´oj´scian Freneta krzywej y = x

3

, z = x

4

. Znale´z´c punkty wyprosto-

wania tej krzywej.

7

AM 2, krzywe w R

3

, tr´oj´scian Freneta

17. 08 Wykaza´c, ˙ze je´sli wszystkie p laszczyzny normalne krzywej przechodza

,

przez je-

den punkt, to krzywa le˙zy na sferze o ´srodku w ich punkcie wsp´olnym.

17. 09 Wykaza´c, ˙ze je´sli wszystkie p laszczyzny ´sci´sle styczne do krzywej przechodza

,

przez jeden punkt, to krzywa jest p laska.

17. 10 Obliczy´c krzywizne

,

linii la´

ncuchowej: y =

a
2

e

x/a

+ e

−x/a

) , z = 0 .

17. 11 Znale´z´c ´srodki krzywizny elipsy

x

2

a

2

+

v

2

b

2

= 1 w tych jej punktach, w kt´orych ma

ona najwie

,

ksza

,

lub najmniejsza

,

krzywizne

,

.

17. 12 Znale´z´c krzywizne

,

i skre

,

cenie krzywej r , je´sli r(t) = (t, t

2

, t

3

) .

17. 13 Znale´z´c krzywizne

,

i skre

,

cenie krzywej r , je´sli r(t) = (t, 1 + t

−1

, −t + t

−1

) .

17. 14 Znale´z´c krzywizne

,

i skre

,

cenie krzywej r , je´sli jej wsp´o lrze

,

dne spe lniaja

,

r´ownania

y

2

= x , x

2

= z .

8