Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

Analiza matematyczna 2,

Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´

o˙zniczkowe

Tekst poprawiony i zupe lniony 4.09.2011, 00:15, po wskaz´

owkach pp. Piotra Dworczaka

i Paw la Kopca, kt´

orym bardzo za nie dzie

,

kuje

,

, i po obserwacjach w lasnych.

Rozszerzymy nieco poje

,

cie rozmaito´sci. Zdefiniujemy mianowicie rozmaito´sci z

brzegiem. W dalszym cia

,

gu R

m

+

be

,

dzie oznacza´c domknie

,

ta

,

, m –wymiarowa

,

p´o l-

przestrze´

n przestrzeni R

m

, czyli R

m

+

= {x = (x

1

, x

2

, . . . , x

m

) ∈ R

m

:

x

1

≥ 0} .

Definicja 16.1 (funkcji g ladkiej na otwartym podzbiorze R

m

+

)

Je´sli U ⊆ R

m

+

jest zbiorem otwartym w R

m

+

, to f : R

m

+

−→ R

`

jest funkcja

,

klasy

C

r

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbi´or ˜

U ⊂ R

m

otwarty w R

m

i taka funkcja

klasy C

r

˜

f : ˜

U −→ R

`

klasy C

r

, ˙ze ˜

f

|U

= f .

M´owia

,

c inaczej: funkcja na zbiorze niekoniecznie otwartym w R

m

nazywana

jest funkcja

,

klasy C

r

wtedy i tylko wtedy, gdy mo˙zna przed lu˙zy´c ja

,

do funkcji klasy

C

r

na pewnym otwarym w R

m

nadzbiorze dziedziny funkcji f . Mo˙zna z latwo´scia

,

sprawdzi´c, ˙ze dla tak zdefiniowanych funkcji g ladkich zachodza

,

podstawowe twierdze-

nia o r´o˙zniczkowaniu (suma iloczyn z lo˙zenie). Mo˙zna te˙z zdefiniowa´c funkcje klasy C

r

bez przed lu˙zania podaja

,

c odpowiednie warunki, ale tym nie be

,

dziemy zajmowa´c sie

,

.

Dyskusja szczeg´o lowa wychodzi poza zakres wyk ladu i jest zwia

,

zana z twierdzeniami

Whitney’a o przed lu˙zaniu (por. np. B.Malgrange Ideals of differentiable functions,

1966 albo H.Federer „Geometric measure theory”, 1969 lub 1996, lub t lumaczenie

rosyjskie 1987 z dodatkami L.D.Ivanova i A.T.Fomenko).

Definicja 16.2 (rozmaito´sci z brzegiem)

Zbi´or M ⊆ R

k

jest m –wymiarowa

,

rozmaito´scia

,

z brzegiem klasy C

r

wtedy i tylko

wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu p ∈ M istnieje otwarte w M otoczenie U punktu

p i taki homeomorfizm ϕ: U −→ R

m

+

, kt´orego obraz jest otwarty w R

m

+

, ˙ze odwzo-

rowanie ϕ

−1

: ϕ(U ) −→ R

k

jest klasy C

r

i jego r´o˙zniczka w ka˙zdym punkcie zbioru

ϕ(U ) jest w lo˙zeniem. Brzeg ∂M rozmaito´sci M , to zbi´or tych punkt´ow, kt´ore mapy

odwzorowuja

,

w podprzestrze´

n o r´ownaniu x

1

= 0 .

Podana definicja niewiele r´o˙zni sie

,

od definicji rozmaito´sci, z kt´ora

,

spotkali´smy

sie

,

poprzednio. Jedyna widoczna r´o˙znica, to rozpatrywanie zbior´ow otwartych w R

m

+

zamiast w R

m

. To dosy´c wa˙zna r´o˙znica. Przy okazji nale˙za loby udowodni´c, ˙ze de-

finicja punkt´ow brzegu M nie zale˙zy od wyboru mapy. To akurat latwo wynika

z tego, ˙ze w tych punktach zbi´or T

p

M wektor´ow stycznych do M w punkcie p ∈ M

nie jest przestrzenia

,

liniowa

,

. To rozumowanie mog loby by´c czysto topologiczne (np.

wykorzystuja

,

ce twierdzenie Brouwera o niezmienniczo´sci obszaru, ale wie

,

kszo´s´c stu-

1

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

dent´ow II roku nie zna odpowiednio zaawansowanych twierdze´

n topologicznych, wie

,

c

nie wnikamy tu w te kwestie).

Jasne jest te˙z, ze ka˙zda rozmaito´s´c bez brzegu jest te˙z rozmaito´scia

,

z brzegiem

(pustym), bo otwarte podzbiory R

m

mo˙zna potraktowa´c jako otwarte podzbiory

R

m

+

, bo przekszta lcenie

(x

1

, x

2

, x

3

. . . , x

m

) −→ (e

x

1

, x

2

, x

3

. . . , x

m

)

jest dyfeomorfizmem ca lej przestrzeni R

m

na otwarty podzbi´or R

m

+

, kt´ory jest te˙z

otwartym podzbiorem R

m

. Istnieja

,

jednak rozmaito´sci z brzegiem niepustym.

Przyk lad 16.1

Ko lo domknie

,

te, czyli zbi´or {(x, y) ∈ R

2

:

x

2

+ y

2

≤ 1} .

Przyk lad 16.2

Domknie

,

ty pier´scie´

n ko lowy, czyli np. zbi´or

{(x, y) ∈ R

2

:

1 ≤ x

2

+ y

2

≤ 10} ,

oczywi´scie promienie moga

,

by´c inne.

Przyk lad 16.3

Pier´scie´

n ko lowy, nieca lkiem domknie

,

ty, czyli np. zbi´or

{(x, y) ∈ R

2

:

1 < x

2

+ y

2

≤ 10} .

Przyk lad 16.4

Pe lny torus, czyli zbi´or powsta ly w wyniku obrotu ko la domknie

,

te-

go wok´o l prostej, kt´ora le˙zy w p laszczy´znie obracanego ko la i kt´ora tego ko la nie prze-

cina. Je´sli np. obracamy ko lo o promieniu 1 i ´srodku (2, 0, 0) , le˙za

,

ce w p laszczy´znie

y = 0 wok´o l osi OZ , to otrzymujemy zbi´or z lo˙zony ze wszystkich punkt´ow (x, y, z) ,

dla kt´orych zachodzi nier´owno´s´c

x −

2x

√

x

2

+y

2

2

+ y −

2y

√

x

2

+y

2

2

+ z

2

≤ 1 ,

kt´ora

,

mo˙zna przepisa´c tak:

(x

2

+ y

2

+ z

2

+ 3)

2

≤ 16(x

2

+ y

2

) .

Widzimy wie

,

c, ˙ze niekt´ore rozmaito´sci z brzegiem mo˙zna opisa´c nier´owno´sciami. Za-

che

,

cam do sformu lowania twierdzenia analogicznego do tego, kt´ore pozwala lo rozma-

ito´s´c bez brzegu traktowa´c, przynajmniej lokalnie jako rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n.

Teraz mo˙ze to by´c nier´owno´s´c i r´ownania.

Przyk lad 16.5

Rozwa˙zymy przekszta lcenie F : R × [−1, 1] −→ R

3

zdefiniowane

wzorem F (α, t) = (2 + t sin α) cos(2α), (2 + t sin α) sin(2α), t cos α

. Obraz prze-

kszta lcenia F , czyli zbi´or M := F R × [−1, 1]

jest dwuwymiarowa

,

rozmaito´scia

,

zanurzona

,

w R

3

. Ta rozmaito´s´c to tzw. wste

,

ga M¨obiusa. Jej brzeg jest sp´ojny, jest

homeomorficzny z okre

,

giem.

Przyk lad 16.6

Kwadrat (x, y):

|x|, |y| ≤ 1 rozmaito´scia

,

z brzegiem nie jest.

2

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

Przeszkadzaja

,

wierzcho lki. Je´sli je (cztery wierzcho lki) usuniemy, to otrzymamy dwu-

wymiarowa

,

rozmaito´s´c z brzegiem, kt´ora nie jest zwarta. Jest natomiast rozmaito´scia

,

topologiczna

,

z brzegiem, bo topologia nie rozr´o˙znia wierzcho lka kwadratu od innych

punkt´ow jego brzegu.

Przyk lad 16.7

Zbi´or

{(x, y, z):

x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 100, (x − 3)

2

+ y

2

+ z

2

≥ 1, (x + 3)

2

+ y

2

+ z

2

≥ 1,

x

2

+ (y − 3)

2

+ z

2

≥ 1, x

2

+ (y + 3)

2

+ z

2

≥ 1}

jest tr´ojwymiarowa

,

rozmaito´scia

,

zwarta

,

, kt´orej brzegiem jest suma pie

,

ciu parami

roz la

,

cznych kul.

Twierdzenie 16.3 (o brzegu rozmaito´sci)

Brzeg rozmaito´sci m –wymiarowej jest albo zbiorem pustym, albo rozmaito´scia

,

wy-

miaru m − 1 .

Dow´od tego „twierdzenia” opuszczamy, by nie demoralizowa´c student´ow poda-

waniem a˙z tak latwych rozumowa´

n, ale prosze

,

sie

,

przynajmniej przez chwilke

,

zasta-

nowi´c nad nim.

Definicja 16.4 (rozmaito´sci orientowalnej)

Rozmaito´s´c M (z brzegiem lub bez) nazywana jest orientowalna

,

wtedy i tylko wtedy,

gdy istnieje taki atlas {U

j

, ϕ

j

} , U

j

⊆ M jest otwartym podzbi´or przestrzeni M , ϕ

j

mapa na nim okre´slona, ˙ze je´sli U

j

∩ U

j

0

6= ∅ , to det D(ϕ

j

0

◦ ϕ

−1

j

)

ϕ

j

(p)

> 0 dla

ka˙zdego punktu p ∈ U

j

∩ U

j

0

.

Przyk lad 16.8

k –wymiarowa sfera S

k

= {x ∈ R

k+1

:

kxk = 1} jest oriento-

walna. Mo˙zna latwo wskaza´c atlas z lo˙zony z dwu map, rzut´ow stereograficznych z

punkt´ow (0, 0, . . . , 0, 1) i (0, 0, . . . , 0, −1) . Niech

ϕ

N

(x) =

x

1

1−x

k+1

,

x

2

1−x

k+1

, . . . ,

x

k

1−x

k+1

,

ϕ

S

(x) =

x

1

1+x

k+1

,

x

2

1+x

k+1

, . . . ,

x

k

1+x

k+1

.

Ka˙zde z tych przekszta lce´

n odwzorowuje sfere

,

bez jednego punktu na ca la

,

prze-

strze´

n R

k

. Osoby, kt´ore znaja

,

twierdzenie Talesa*, moga

,

stwierdzi´c bez trudu, ˙ze

dla ka˙zdego y ∈ R

k

\ {0} zachodzi r´owno´s´c

ϕ

S

◦ ϕ

−1

N

(y) =

y

kyk

2

.

Zachodzi wie

,

c r´owno´s´c D ϕ

S

◦ ϕ

−1

N

(y)h =

h

kyk

2

− 2

(y·h)y

kyk

4

. Z niej wynika, ˙ze wek-

tory h prostopad le do y to wektory w lasne przekszta lcenia D ϕ

S

◦ ϕ

−1

N

(y) odpo-

wiadaja

,

ce warto´sci w lasnej

1

kyk

2

, natomiast D ϕ

S

◦ ϕ

−1

N

(y)y = −

1

kyk

2

y , wie

,

c y

*

Mo˙zna te˙z przerachowa´

c i zapomnie´

c o tym poga´

nskim twierdzeniu.

3

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

jest wektorem w lasnym odpowiadaja

,

cym warto´sci w lasnej −

1

kyk

2

. Wynika sta

,

d, ˙ze

det

D ϕ

S

◦ϕ

−1

N

(y)

= −

1

kyk

2k

< 0 , wie

,

c na razie nie mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze sfera S

k

jest orientowalna. Je´sli jednak zasta

,

pimy mape

,

ϕ

S

przez mape

,

ψ zdefiniowana

,

wzo-

rem ψ(x) =

−x

1

1+x

k+1

,

x

2

1+x

k+1

, . . . ,

x

k

1+x

k+1

, czyli z lo˙zeniem ϕ

S

z symetria

,

wzgle

,

dem

podprzestrzeni y

1

= 0 , to stwierdzimy, ˙ze det

D ψ ◦ ϕ

−1

N

(y)

=

1

kyk

2k

> 0 , a to

oznacza, ˙ze sfera S

k

jest orientowalna.

Przyk lad 16.9

Niech

T

2

= {(x, y, z):

∃

α,β

x = (2 + cos α) cos β, y = (2 + cos α) sin β, z = sin α} .

Przyjmijmy te˙z F (α, β) = (2 + cos α) cos β, (2 + cos α) sin β, sin α

. Zbi´or T

2

jest

wie

,

c obrazem p laszczyzny w przekszta lceniu F . Jest to torus powsta ly z obrotu

okre

,

gu o ´srodku w punkcie (2, 0, 0) le˙za

,

cego w p laszczy´znie y = 0 wok´o l osi OZ .

Wyka˙zemy, ˙ze jest on rozmaito´scia

,

orientowalna

,

. Atlasem be

,

dzie zbi´or z lo˙zony z prze-

kszta lce´

n odwrotnych do obcie

,

´c przekszta lcenia F do otwartych kwadrat´ow o bokach

r´ownoleg lych do osi uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, o boku 2π , na kt´orych przekszta lcenie

jest r´o˙znowarto´sciowe, nawet wie

,

cej kwadrat jest homeomorfizmem na obraz, co udo-

wodnili´smy wcze´sniej. Nale˙zy wykaza´c, ˙ze je´sli F

1

i F

2

sa

,

takimi parametryzacjami,

tzn. F

−1

1

i F

−1

2

sa

,

mapami, to det D(F

−1

1

◦F

2

)(y)

> 0 dla ka˙zdego y , dla kt´orego

z lo˙zenie to jest dobrze okre´slone. Wynika to sta

,

d, ˙ze przekszta lcenie F

−1

1

◦ F

2

)(y)

jest na ka˙zdej sk ladowej swej dziedziny przesunie

,

ciem.

Bez dowodu poda´c wypada naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 16.5 (o orientowalno´sci rozmaito´sci kowymiaru 1 )

Je´sli M ⊆ R

k

jest (k − 1) –wymiarowa

,

zwarta

,

rozmaito´scia

,

bez brzegu, to M jest

orientowalna.

Twierdzenie to podaje

,

cho´c jego dow´od wykracza znacznie ponad to, co jest

w stanie udowodni´c teraz. W przyk ladach korzysta´c z niego nie be

,

dziemy. Nied lugo

przekonamy sie

,

o tym, ˙ze zar´owno za lo˙zenie, ˙ze M jest bez brzegu jak i za lo˙zenie,

˙ze jest zwarta i jej kowymiar r´owny jest 1 , sa

,

istotne. Po to, by wykaza´c nieoriento-

walno´s´c jakiej´s rozmaito´sci, nale˙zy wykaza´c jakie´s twierdzenie, kt´ore to u latwi.

Lemat 16.6 (o mapach na rozmaito´sci orientowalnej)

Niech M be

,

dzie m –wymiarowa

,

rozmaito´scia

,

zorientowana

,

za pomoca

,

atlasu A

i niech ϕ be

,

dzie mapa

,

, kt´orej dziedzina jest sp´ojna. Niech σ be

,

dzie symetria

,

zdefi-

niowana

,

wzorem σ(y) = (−y

1

, y

2

, y

3

, . . . , y

m

) i niech ˜

ϕ = σ ◦ ϕ . Wtedy dok ladnie

jeden ze zbior´ow zbi´or A ∪ {ϕ} , A ∪ { ˜

ϕ} te˙z jest atlasem definiuja

,

cym orientacje

,

4

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

rozmaito´sci M , tzn. dla ka˙zdej pary map ψ

1

, ψ

2

∈ A ∪ {ϕ} nier´owno´s´c

det D ψ

1

◦ ψ

−1

2

(y)

> 0

zachodzi dla dowolnego y , dla kt´orego z lo˙zenie ψ

1

◦ ψ

−1

2

jest okre´slone.

Dow´

od. Zauwa˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej mapy ψ ∈ A zbi´or

D

ψ

= {x ∈ dom(ϕ):

det D(ψ ◦ ϕ

−1

)([ϕ(x)])

> 0}

jest otwarty. Zauwa˙zmy te˙z, ˙ze je´sli x ∈ dom(ϕ) ∩ dom(ψ

1

) ∩ dom(ψ

2

) i x ∈ D

ψ

1

,

to r´ownie˙z x ∈ D

ψ

2

. Wynika to od razu z tego, ˙ze det D(ψ

2

◦ ψ

−1

1

)[ψ

1

(x)]

> 0 , bo

atlas A wyznacza orientacje

,

rozmaito´sci M . Jasne jest, ˙ze r´ownie˙z zbi´or

˜

D

ψ

= {x ∈ dom(ϕ):

det D(ψ ◦ ϕ

−1

)([ϕ(x)])

< 0}

jest otwarty. Niech D =

S

ψ∈A

D

ψ

, ˜

D =

S

ψ∈A

˜

D

ψ

. Zbiory D i ˜

D sa

,

otwarte

i roz la

,

czne. Ich suma

,

jest dziedzina mapy ϕ , kt´ora jest sp´ojna. Wobec tego jeden

z nich jest pusty. Je´sli ˜

D = ∅ , to zbi´or A∪{ϕ} jest atlasem, kt´ory wyznacza te

,

sama

,

orientacje

,

, co atlas A . Je´sli D = ∅ , to zbi´or A ∪ { ˜

ϕ} jest poszukiwanym atlasem.

Dzie

,

ki temu pro´sciutkiemu lematowi jeste´smy w stanie wykaza´c nieorientowal-

no´s´c r´o˙znych rozmaito´sci.

Przyk lad 16.10

Wste

,

ga M¨obiusa nie jest orientowalna. Zdefiniujmy odwzorowa-

nie F : R × [−1, 1] −→ R

3

wzorem

F (α, t) = (2 + t sin α) cos(2α), (2 + t sin α) sin(2α), t cos α

.

Jego obraz jest rozmaito´scia

,

z brzegiem. Ta rozmaito´s´c z brzegiem nazywana jest

wste

,

ga

,

M¨obiusa. Niech ϕ

1

= F

|(0,π)×(−1,1)

−1

, ϕ

2

= F

|(π/2,3π/2)×(−1,1)

−1

. Ka˙zde

z tych przekszta lce´

n jest mapa

,

. W sumie te mapy nie daja

,

atlasu, bo suma ich dziedzin

nie pokrywa brzegu wste

,

gi M¨obiusa.

Rozwa˙zmy przekszta lcenie h := ϕ

1

◦ ϕ

−1

2

. Za l´o˙zmy, ˙ze h(α, t) = (β, s) , czyli ˙ze

F (β, s) = F (α, t) . Wykazali´smy (zob. „Definicja i przyk lady rozmaito´sci”), ˙ze wtedy

istnieje taka liczba ca lkowita n , ˙ze α − β = nπ . Poniewa˙z

π

2

< α <

3π

2

i 0 < β < π ,

wie

,

c albo n = 0 i wtedy r´ownie˙z t = s , albo n = 1 i wtedy t = −s . Wykazali´smy,

˙ze

h(α, t) =

(α, t),

gdy

π

2

< α < π;

(α − π, −t), gdy π < α <

3π

2

.

Wobec tego det Dh(α, t)

= ±1 i oba przypadki maja

,

miejsce. Oznacza to, ˙ze gdyby

wste

,

ga M¨obiusa by la orientowalna, to jedna

,

z map ϕ

1

, ϕ

2

da loby sie

,

do la

,

czy´c do

atlasu orientuja

,

cego wste

,

ge

,

, bo dla dowolnej mapy ψ okre´slonej w otoczeniu punktu

p = F (π +

π

4

,

1
2

) = F (

π

4

, −

1
2

) = (0, 2 −

√

2

4

, −

√

2

4

) , bo wyznacznik jednego z prze-

kszta lce´

n D(ψ◦ϕ

−1

1

)(ϕ

1

(p)), D(ψ◦ϕ

−1

2

)(ϕ

2

(p)) jest dodatni (a drugiego — ujemny).

5

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

Nie jest mo˙zliwe, bo wtedy znak wyznacznika r´o˙zniczki h musia lby, na mocy lematu

o mapach na rozmaito´sci orientowalnej, by´c niezale˙zny od punktu, a tak nie jest!

Przyk lad 16.11

P laszczyzna rzutowa (zob. „Definicja i przyk lady rozmaito´sci”)

jest nieorientowalna. Wynika to natychmiast z tego, ˙ze wste

,

ga M¨obiusa jest nieorien-

towalna i tego, ˙ze wste

,

ga M¨obiusa jest otwartym podzbiorem p laszczyzny rzutowej.

Przyk lad 16.12

Butelka Kleina (zob. „Definicja i przyk lady rozmaito´sci”) jest

nieorientowalna. Wynika to natychmiast z tego, ˙ze wste

,

ga M¨obiusa jest nieoriento-

walna i tego, ˙ze wste

,

ga M¨obiusa jest otwartym podzbiorem butelki Kleina.

W dw´och ostatnich przyk ladach skorzystali´smy z naste

,

puja

,

cego stwierdzenia.

Uwaga 16.7

Otwarty podzbi´or rozmaito´sci orientowalnej jest rozmaito´scia

,

orientowalna

,

.

Je´sli M

1

jest orientowalna i homeomorfizm h przekszta lca rozmaito´s´c M

1

na roz-

maito´s´c M

2

, przy czym dla dowolnych dwu map: ϕ okre´slonej na otwartym pod-

zbiorze M

1

i ψ okre´slonej na otwartym podzbiorze M

2

przekszta lcenia ψ ◦ h ◦ ϕ

−1

i ϕ ◦ h

−1

◦ ψ

−1

sa

,

klasy C

1

lub wy˙zszej, to M

2

te˙z jest orientowalna.*

Twierdzenie 16.8 (o orientowalno´sci w kowymiarze 1)

Rozmaito´s´c M ⊂ R

k

wymiaru k − 1 jest orientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje taka funkcja cia

,

g la n: M −→ R

k

, ˙ze dla ka˙zdego punktu p ∈ M i ka˙zdego

wektora v ∈ T

p

M zachodza

,

r´owno´sci n · v = 0 i kn(p)k = 1 .

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze rozmaito´s´c M jest orientowalna i niech {(U

j

, ϕ

j

)} be

,

dzie

atlasem definiuja

,

cym orientacje

,

, ϕ

j

: U

j

−→ R

k−1

jest mapa

,

okre´slona

,

na zbiorze U

j

otwartym (w przestrzeni M ). Niech V

j

= ϕ

j

(U

j

) ⊆ R

k−1

i niech ψ

j

= ϕ

−1

j

. Niech

n(p) be

,

dzie takim wektorem o d lugo´sci 1 , ˙ze wyznacznik macierzy, kt´orej kolejnymi

kolumnami sa

,

wektory n(p) ,

∂ψ

j

∂y

1

ϕ

j

(p)

,

∂ψ

j

∂y

2

ϕ

j

(p)

, . . . ,

∂ψ

j

∂y

k−1

ϕ

j

(p)

, jest

dodatni — przyk ladem wektora takiego wektora dla k = 3 jest iloczyn wektorowy

wektor´ow

∂ψ

j

∂y

1

ϕ

j

(p)

i

∂ψ

j

∂y

2

ϕ

j

(p)

podzielony przez swoja

,

d lugo´s´c; w wy˙zszym

wymiarze robimy w zasadzie to samo, tzn. dzielimy wektor utworzony z dope lnie´

n

algebraicznych wyraz´ow znajduja

,

cych sie

,

w pierwszej kolumnie przez jego d lugo´s´c.

Ze wzgle

,

du na to, ˙ze szukamy wektora o d lugo´sci 1 , kt´ory jest prostopad ly do

ka˙zdego z k − 1 wektor´ow liniowo niezale˙znych, jest on okre´slony z dok ladno´scia

,

do

zwrotu. Zwrot jest zdeterminowany przez znak opisanego wcze´sniej wyznacznika.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze p ∈ U

i

∩ U

j

. Mamy wtedy do czynienia z dwiema definicjami

*

Wtedy h nazywamy dyfeomorfizmem rozmaito´sci M

1

na rozmaito´s´

c M

2

.

6

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

wektora n(p) . Moga

,

r´o˙zni´c sie

,

one jedynie zwrotem. Wyka˙zemy, ˙ze nie r´o˙znia

,

sie

,

ni-

czym. Mamy ψ

j

= ψ

i

◦ ϕ

i

◦ ψ

j

, zatem Dψ

j

[ϕ

j

(p)] = Dψ

i

[ϕ

i

(p)] · D ϕ

i

◦ ψ

j

[ϕ

j

(p)] .

Macierz D ϕ

i

◦ ψ

j

[ϕ

j

(p)] ma k − 1 wierszy i tyle˙z kolumn, macierze Dψ

j

[ϕ

j

(p)] i

Dψ

i

[ϕ

i

(p)] maja

,

po k−1 kolumn i po k wierszy. Do macierzy D ϕ

i

◦ψ

j

[ϕ

j

(p)] do-

piszmy na g´orze wiersz postaci 1, 0, 0, . . . , 0 i kolumne

,

z lewej strony z lo˙zona

,

z jedynki

i k − 1 zer pod nia

,

. Otrzymana

,

macierz oznaczmy przez A . Do ka˙zdej z macierzy

Dψ

j

[ϕ

j

(p)] i Dψ

i

[ϕ

i

(p)] dopisujemy z lewej strony ten sam wektor n(p) otrzy-

many dla mapy ψ

j

. Otrzymane macierze kwadratowe oznaczmy odpowiednio przez

A

j

oraz A

i

. W wyniku otrzymujemy r´owno´s´c A

j

= A

i

· A . Zachodza

,

oczywi´scie

r´owno´sci det(A) = det D ϕ

i

◦ ψ

j

[ϕ

j

(p)]

oraz det(A

j

) = det(A

i

) det(A) . Wynika

sta

,

d, ˙ze wyznaczniki macierzy A

j

oraz A

i

maja

,

ten sam znak, wie

,

c oba sa

,

dodat-

nie. Wobec tego wektory prostopad le do T

p

M otrzymane za pomoca

,

map ϕ

j

i ϕ

i

pokrywaja

,

sie

,

. Wykazali´smy twierdzenie w jedna

,

strone

,

.

Dow´od w druga

,

strone

,

r´ownie˙z jest prosty. Je´sli n jest cia

,

g lym polem wek-

tor´ow normalnych na M * i ψ jest lokalna

,

parametryzacja

,

M okre´slona

,

na sp´ojnej

dziedzinie, to po dopisaniu do macierzy Dψ z lewej strony kolumny n(p) otrzymu-

jemy macierz k × k , kt´orej kolumny sa

,

liniowo niezale˙zne, wie

,

c kt´orej wyznacznik

jest r´o˙zny od 0 . Poniewa˙z jest tak na sp´ojnej dziedzinie, wie

,

c wyznacznik ten jest

wsze

,

dzie dodatni lub wsze

,

dzie ujemny. W drugim przypadku zaste

,

pujemy parame-

tryzacje

,

ψ przez przekszta lcenie ˜

ψ odwrotne do z lo˙zenia symetrii wzgle

,

dem pod-

przestrzeni k − 2 wymiarowej z mapa

,

ψ

−1

. Wyznacznik macierzy, kt´orej pierwsza

,

kolumna

,

jest n a naste

,

pnymi — kolejne kolumny macierzy D ˜

ψ , jest dodatni. Popra-

wiaja

,

c w ten spos´ob mapy z wybranego dowolnie atlasu z lo˙zonego z map o sp´ojnych

dziedzinach otrzymujemy atlas z lo˙zony z map, kt´ore oznaczamy przez ϕ

j

. Czytel-

nik zechce sprawdzi´c, ˙ze r´o˙zniczki dyfeomorfizm´ow postaci ϕ

j

◦ ϕ

−1

i

maja

,

dodatnie

wyznaczniki. Oznacza to, ˙ze te mapy definiuja

,

orientacje

,

rozmaito´sci M.

Tak prosto nie mo˙zna scharakteryzowa´c orientowalno´sci rozmaito´sci kowymiaru

wie

,

kszego ni˙z 1 . G l´owna

,

przyczyna

,

jest to, ˙ze jest „zbyt du˙zo kierunk´ow” prosto-

pad lych do podprzestrzeni kowymiaru 2 lub jeszcze wie

,

kszego.

Po to, by ten problem przewalczy´c uciekniemy sie

,

do przestrzeni sprze

,

˙zonej do

przestrzeni liniowej T

p

M . Be

,

dziemy zamiast wektor´ow normalnych rozwa˙za´c funk-

cjona ly. W istocie rzeczy chodzi o uog´olnienie definicji iloczynu wektorowego. Od

razu wypada stwierdzi´c, ˙ze gdyby chodzi lo jedynie o abstrakcyjna

,

definicje

,

, to za-

*

Ta powszechnie u˙zywana nazwa nie ma nic wsp´

olnego z polityka,

7

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

pewne nikt powa˙zny nie zajmowa lby sie

,

tym problemem. Jednak okazuje sie

,

, ˙ze to

uog´olnienie jest bardzo owocne i upraszcza m´owienie o wielu kwestiach z pogranicza

matematyki i fizyki. U latwia te˙z ˙zycie matematykom.

Najwa˙zniejsza

,

cecha

,

iloczynu wektorowego (i r´ownie˙z wyznacznika) jest linio-

wo´s´c ze wzgle

,

du na ka˙zdy czynnik (ka˙zdy wiersz lub ka˙zda

,

kolumne

,

) oraz antysyme-

tria. Antysymetria oznacza, ˙ze zamiana miejscami dw´och wektor´ow powoduje zmiane

,

zwrotu iloczynu wektorowego (zamiana dw´och wierszy lub kolumn powoduje zmiane

,

znaku wyznacznika).

Definicja 16.9 (formy m –liniowej antysymetrycznej)

Przekszta lcenie ω: V × V × V × . . . × V

|

{z

}

m czynnik´

ow

−→ R m -liniowe, antysymetryczne nazy-

wamy forma

,

antysymetryczna

,

(zewne

,

trzna

,

) stopnia m .

Przyk lad 16.13

V = R

m

. ω(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) =

v

1,1

v

2,1

v

3,1

. . .

v

m,1

v

1,2

v

2,2

v

3,2

. . .

v

m,2

..

.

..

.

..

.

. ..

..

.

v

1,m

v

2,m

v

3,m

. . . v

m,m

jest przyk ladem formy stopnia m na R

m

. Jest jasne, ˙ze zbi´or m –form na R

m

ma

wymiar

m
m

= 1 , wie

,

c inne formy stopnia m otrzymujemy mno˙za

,

c wyznacznik przez

sta la

,

.

Przyk lad 16.14

Niech w ∈ R

m

be

,

dzie dowolnym ustalonym wektorem. Niech

ω(v

1

, v

2

, . . . , v

m−1

) be

,

dzie wyznacznikiem macierzy kt´orej kolumnami sa

,

kolejno

wektory w, v

1

, v

2

, . . . , v

m−1

. Jasne jest, ˙ze zdefiniowali´smy forme

,

stopnia m − 1 na

R

m

. Je´sli m = 3 , to forme

,

te

,

mo˙zna zdefiniowa´c jako w · (v

1

× v

2

) , czyli iloczyn

skalarny wektora w i iloczynu wektorowego wektor´ow v

1

i v

2

.

Definicja 16.10 (bazowych form zewne

,

trznych)

Okre´slimy pewna

,

forme

,

stopnia m na R

k

. Za l´o˙zmy, ˙ze i

1

< i

2

< . . . < i

m

zosta ly

wybrane spo´sr´od 1, 2, . . . , k . Niech

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) =

v

1,i

1

v

2,i

1

. . .

v

m,i

1

v

1,i

2

v

2,i

2

. . .

v

m,i

2

..

.

..

.

. ..

..

.

v

1,i

m

v

2,i

m

. . . v

m,i

m

.

Mo˙zna na to spojrze´c tak: rzutujemy wektory v

1

, v

2

, . . . , v

m

na podprzestrze´

n

wyznaczona

,

przez wektory e

i

1

, e

i

2

, . . . , e

i

m

i obliczmy ± obje

,

to´s´c (miare

,

m –wy-

miarowa

,

) r´ownoleg lo´scianu rozpie

,

tego przez te rzuty. Dzie

,

ki wyborowi znaku otrzy-

8

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

mujemy funkcje

,

klasy C

∞

. Te

,

forme

,

oznacza´c be

,

dziemy zwykle dziwnym symbolem:

dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

.

Jasne jest, ˙ze je´sli nie za lo˙zymy, ˙ze i

1

< i

2

< . . . < i

m

i zdefiniujemy tak samo

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

= dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

, to oka˙ze sie

,

, ˙ze je´sli w´sr´od liczb i

1

, i

2

, . . . , i

m

sa

,

co najmniej dwie r´owne, to

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) = dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) = 0

i og´olnie zmiana kolejno´sci czynnik´ow dx

i

1

, dx

i

2

, . . . , dx

i

m

prowadzi do zmiany zna-

ku formy, je´sli permutacja symboli jest nieparzysta i do tej samej formy (tylko nieco

inaczej zapisanej), je´sli permutacja jest parzysta.

Przyk lad 16.15

dx

1

∧ dx

3

∧ dx

2

= −dx

1

∧ dx

2

∧ dx

3

= dx

2

∧ dx

1

∧ dx

3

=

= − dx

2

∧ dx

3

∧ dx

1

= dx

3

∧ dx

2

∧ dx

1

= −dx

3

∧ dx

1

∧ dx

2

. dx

1

∧ dx

3

∧ dx

1

= 0 .

Jasne jest, ˙ze formy zewne

,

trzne stopnia m na R

k

tworza

,

przestrze´

n liniowa

,

wymiaru

k

m

oraz ˙ze formy opisane w definicji 16.10 stanowia

,

baze

,

w tej przestrzeni.

Wobec tego ka˙zda

,

m –forme

,

zewne

,

trzna

,

na R

k

mo˙zemy zapisa´c w postaci

P

1≤i

1

<i

2

<...<i

m

≤k

a

i

1

,i

2

,...,i

m

dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

,

sumowanie odbywa sie

,

po wszystkich wyborach numer´ow i

1

, i

2

, . . . , i

m

spe lniaja

,

cych

warunek widoczny przy znaku sumy.

Definicja 16.11 (elementarnej jednoformy)

W przypadku m = 1 otrzymujemy dx

i

(

P

v

j

e

j

) = v

i

. Funkcje dx

1

, dx

2

, . . . , dx

k

sa

,

przekszta lceniami liniowymi o warto´sciach w przestrzeni jednowymiarowej ( czyli

funkcjona lami) tworza

,

cymi w przestrzeni (R

k

)

∗

baze

,

sprze

,

˙zona

,

do bazy ortonormal-

nej e

1

, e

2

, . . . e

k

.

Mo˙zna i nale˙zy my´sle´c o tym w spos´ob opisany dalej w kilku zdaniach. Funkcja

przypisuja

,

ca punktowi (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) liczbe

,

x

j

oznaczana jest cze

,

sto (nawet chyba

na og´o l) symbolem x

j

, czyli warto´s´c funkcji i sama funkcja oznaczane sa

,

tak samo.

dx

j

oznacza r´o˙zniczke

,

tej funkcji. Poniewa˙z wspomniana funkcja, czyli rzut na j –ta

,

o´s uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, jest liniowa, wie

,

c jej r´o˙zniczka to ta sama funkcja liniowa,

czyli rzut na j –ta

,

o´s uk ladu wsp´o lrze

,

dnych. Mogliby´smy teoretycznie opisa´c Dx

j

,

ale powszechnie stosowanym oznaczeniem jest dx

j

, zreszta

,

za chwile

,

oka˙ze sie

,

, ˙ze

to drugie jest lepsze i ˙ze nale˙zy w tym kontek´scie u˙zywa´c nieco innego symbolu ni˙z

poprzednio.

Zdefiniujemy teraz m –forme

,

na otwartym podzbiorze G ⊆ R

k

. W tym celu

oznaczmy przez L

m

as

(R

k

) zbi´or m –linowych antysymetrycznych przekszta lce´

n linio-

wych na R

k

o warto´sciach w R . Jest to jak ju˙z wcze´sniej stwierdzili´smy przestrze´

n

9

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

liniowa wymiaru

k

m

.

Definicja 16.12 (zewne

,

trznej formy r´

o˙zniczkowej)

Odwzorowanie ω: G −→ L

m

as

(R

k

) nazywamy zewne

,

trzna

,

forma

,

r´o˙zniczkowa

,

stopnia

m . Je´sli jest ono klasy C

r

, to m´owimy, ˙ze forma r´o˙zniczkowa jest klasy C

r

. Zbi´or

form r´o˙zniczkowych stopnia m oznacza´c be

,

dziemy symbolem Ω

m

(G) .

Nie uwidaczniamy tu klasy r´o˙zniczkowalno´sci, ale w razie potrzeby be

,

dzie m´owi´c

ile razy r´o˙zniczkowalna ma by´c forma r´o˙zniczkowa. Je´sli nie wspomnimy o tym, nale˙zy

zak lada´c, ˙ze mowa jest o formie klasy C

1

.

Przyjmujemy dodatkowo, ˙ze Ω

0

(G) oznacza zbi´or funkcji rzeczywistych na zbio-

rze otwartym G .

Ka˙zda

,

funkcje

,

o warto´sciach w przestrzeni liniowej mo˙zna zapisa´c w wybranej

bazie. Nasza

,

wybrana

,

baza

,

be

,

da

,

standardowo formy postaci dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

opisane nieco wcze´sniej w jednym z przyk lad´ow. Je´sli ω ∈ Ω

m

(G) , to istnieja

,

takie

funkcje rzeczywiste ω

i

1

,i

2

,...,i

m

okre´slone na zbiorze G , ˙ze

ω(x) =

X

i

1

<i

2

<...<i

m

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(x) dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

.

Jest jasne, ˙ze forma r´o˙zniczkowa jest klasy C

r

na zbiorze G wtedy i tylko wtedy,

gdy wszystkie funkcje ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(x) sa

,

tej w la´snie klasy.

Zdefiniujemy iloczyn zewne

,

trzny form r´o˙zniczkowych.

Definicja 16.13 (iloczynu zewne

,

trznego form zewne

,

trznych)

Przyjmujemy, ˙ze

(dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

) ∧ (dx

j

1

∧ dx

j

2

∧ . . . ∧ dx

j

n

) =

= dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

∧ dx

j

1

∧ dx

j

2

∧ . . . ∧ dx

j

n

,

Je´sli ω =

P

i

1

<i

2

<...<i

m

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(x) dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

jest forma

,

zewne

,

trzna

,

stopnia m , η =

P

j

1

<j

2

<...<j

n

η

j

1

,j

2

,...,j

n

(x) dx

j

1

∧ dx

j

2

∧. . .∧ dx

j

n

— forma

,

zewne

,

trz-

na stopnia n , to ich iloczynem zewne

,

trznym nazywamy forme

,

ω ∧ η zdefiniowana

,

za pomoca

,

r´owno´sci:

X

i1<i2<...<im

j1<j2<...<jn

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(x)η

j

1

,j

2

,...,j

n

(x) dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

∧ dx

j

1

∧ . . . ∧ dx

j

n

.

Je´sli nie zachodza

,

nier´owno´sci i

1

< i

2

< . . . < i

m

< j

1

< j

2

< . . . < j

n

, to zmie-

niamy kolejno´s´c zmiennych przestawiaja

,

c zmienne x

j

1

, x

j

2

, . . . , dx

j

n

na w la´sciwe

miejsca, a ka˙zde przestawienie o jedno miejsce powoduje jedna zmiane znaku. Oczy-

wi´scie, je´sli kt´orakolwiek zmienna powtarza sie

,

, to forma jest r´owna 0 . Jest tak

zawsze w sytuacji, gdy m + n > k .

10

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

Przyk lad 16.16

(x

3

dx

1

∧ dx

2

+x

1

dx

2

∧ dx

3

+x

2

dx

3

∧ dx

1

)∧(dx

1

+ dx

2

+ dx

3

) =

=(x

1

+ x

2

+ x

3

)dx

1

∧ dx

2

∧ dx

3

.

Bez wie

,

kszego trudu mo˙zemy przekona´c sie

,

, ˙ze zachodzi

Twierdzenie 16.14 (o w lasno´sciach iloczynu zewne

,

trznego form)

1. ω

1

∧ (ω

2

+ ω

3

) = ω

1

∧ ω

2

+ ω

1

∧ ω

3

dla dowolnej m –formy ω

1

i dowolnych

n –form ω

2

, ω

3

;

2. ω ∧ (tη) = tω ∧ η dla dowolnej m –formy ω , dowolnej n –formy η i dla

dowolnej liczby rzeczywistej t ;

2’. ω ∧ (f η) = f ω ∧ η dla dowolnej m –formy ω , dowolnej n –formy η i dla

dowolnej funkcji rzeczywistej f ;

3. ω ∧ η = (−1)

mn

η ∧ ω dla dowolnej m –formy ω i dowolnej n –formy η .

Definicja 16.15 (r´

o˙zniczki zewne

,

trznej m –formy r´

o˙zniczkowej)

d

P

i

1

<i

2

<...<i

m

ω

i

1

,i

2

,...,i

m

(x) dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

=

=

P

i

1

<i

2

<...<i

m

P

k
i=1

∂ω

i1,i2,...,im

∂x

i

dx

i

∧ dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

.

Zak ladamy ˙ze r´o˙zniczkowana forma jest klasy C

r

, r ≥ 1 . Zak ladamy te˙z, ˙ze je´sli i

jest jedna

,

z liczb i

1

, i

2

, . . . , i

m

, to dx

i

∧ dx

i

1

∧ dx

i

2

∧. . .∧ dx

i

m

jest przekszta lceniem

zerowym. Je´sli w´sr´od liczb i

1

, i

2

, . . . , i

m

liczby i nie ma oraz i

s

< i < i

s+1

, to

dx

i

∧ dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

m

=

= (−1)

s

dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

s

∧ dx

i

∧ dx

s+1

∧ . . . ∧ dx

i

m

.

Ta definicja jest zgodna z tym, czego nale˙zy oczekiwa´c — odpowiada ona temu,

˙ze przestawiaja

,

c wiersz wyznacznika s razy zmieniamy jego znak w la´snie tyle razy.

Jest w niej zbyt wiele s l´ow, ale zdecydowa lem sie

,

na pewne powt´orzenia w nadziei,

˙ze u latwia

,

studentom lekture

,

.

Z definicji tej wynika, ˙ze spe lnione jest naste

,

puja

,

ce twierdzenie, kt´orego rachun-

kowy dow´od pozostawiam czytaja

,

cym ten tekst studentom.

Twierdzenie 16.16 (o w lasno´sciach r´

o˙zniczki zewne

,

trznej)

1. d(ω + η) = dω + dη dla dowolnych m – form ω, η ;

2. d(tω) = tdω dla dowolnej m –formy ω i liczby rzeczywistej t .

3. d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)

m

ω ∧ dη dla dowolnej m –formy ω i dowolnej

n –formy η .

4. d(dω) = 0 dla dowolnej formy klasy C

2

.

Dow´od trudny nie jest, ale wypada stwierdzi´c, ˙ze w lasno´s´c czwarta to po prostu

twierdzenie o symetrii drugiej r´o˙zniczki funkcji klasy C

2

. W lasno´s´c trzecia to w za-

11

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

sadzie zwyk ly wz´or na pochodna

,

iloczynu uwzgle

,

dniaja

,

cy to, ˙ze mno˙zenie zewne

,

trzne

przemienne nie jest.

Znaczenie w lasno´sci czwartej jest ogromne, ale niestety w analizie brak miejsca

na dok ladniejsze rozwa˙zania, czy cho´cby ilustracje. Powiedzmy tylko, ˙ze z tego wzoru

p lyna

,

daleko ida

,

ce wnioski dotycza

,

ce struktury topologicznej dziedziny, na kt´orej

rozpatrywane sa

,

formy r´o˙zniczkowe zewne

,

trzne.

Je´sli ϕ: G −→ H jest przekszta lceniem klasy C

r

i ω jest m –forma

,

na H , to

mo˙zna okre´sli´c forme

,

ϕ

∗

(ω) na zbiorze G za pomoca

,

wzoru

ϕ

∗

(ω)(x)(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) = ω ϕ(x)

Dϕ(x)v

1

, Dϕ(x)v

2

, . . . , Dϕ(x)v

m

.

Oczywi´scie na og´o l je´sli ω jest forma

,

klasy C

r

, to ϕ

∗

(ω) jest forma

,

klasy C

r−1

.

Nie trzeba oczywi´scie zak lada´c r´o˙znowarto´sciowo´sci przekszta lcenia ϕ .

Mo˙zna latwo sprawdzi´c, ˙ze spe lnione sa

,

naste

,

puja

,

ce wzory:

1. ϕ

∗

(ω + η) = ϕ

∗

(ω) + ϕ

∗

(η) dla dowolnych m –form ω i η ;

2. ϕ

∗

(f ω) = f ◦ ϕ · ϕ

∗

(ω) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej funkcji ϕ ;

3. ϕ

∗

(ω∧η) = ϕ

∗

(ω)∧ϕ

∗

(η) dla dowolnej m –formy ω i dowolnej n –formy η ;

4. ϕ

∗

(dω) = d ϕ

∗

(ω)

dla dowolnej m –formy ω i dowolnej funkcji ϕ

Przyk lad 16.17

Je´sli ϕ(α, β) = (cos α cos β, cos α sin β, sin α) oraz

ω(x, y, z) = xdy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy , to

ϕ

∗

(ω)(α, β) = cos α cos β d(cos α sin β)∧ d(sin β)+cos α sin β d(sin β)∧ d(cos α cos β)+

+ sin αd(cos α cos β) ∧ d(cos α sin β) =

= cos α cos β(− sin α cos β dα + cos α cos β dβ) ∧ (cos αdα) +

+ cos α sin β(cos αdα) ∧ (− sin α cos β dα − cos α sin β dβ) +

+ sin α − sin α cos β dα − cos α sin β dβ

∧ − sin α sin β dα + cos α cos β dβ

=

= − cos

3

α cos

2

β − cos

3

α sin

2

β − sin

2

α cos α cos

2

β − sin

2

α cos α sin

2

β

dα ∧ dβ =

= − cos αdα ∧ dβ = cos αdβ ∧ dα .

Formy r´o˙zniczkowe mo˙zna ca lkowa´c.

Definicja 16.17 (ca lki z k –formy na otwartym podzbiorze R

k

)

Je´sli ω(x) = ω

1,2,...,k

(x)dx

1

∧ dx

2

∧ . . . ∧ dx

k

dla x ∈ int G , to definiujemy

R

G

ω =

R

G

ω

1,2,...,k

(x)d`

k

(x) .

Je´sli (i

1

, i

2

, . . . , i

k

) jest permutacja

,

liczb (1, 2, . . . , k) i dla ka˙zdego x ∈ G spe lniona

jest r´owno´s´c η(x) = f (x)dx

i

1

∧ dx

i

2

∧ . . . ∧ dx

i

k

, to prawdziwy jest wz´or

R

G

η = sgn(i

1

, i

2

, . . . , i

k

)

R

G

f (x)d`

k

,

tu symbol sgn(i

1

, i

2

, . . . , i

k

) oznacza znak permutacji (i

1

, i

2

, . . . , i

k

) .

M´owimy, ˙ze dyfeomorfizm ϕ: G −→ R

k

zachowuje orientacje

,

wtedy i tylko wte-

12

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

dy, gdy det Dϕ(x)

> 0 dla x ∈ G .

Mo˙zemy teraz sformu lowa´c wa˙zny cho´c bardzo prosty

Lemat 16.18 (o zamianie zmiennych)

Je´sli ϕ jest zachowuja

,

cym orientacje

,

dyfeomorfizmem zbioru otwartego G ⊆ R

k

na

zbi´or ϕ(G) , k –forma r´o˙zniczkowa ω jest okre´slona na zbiorze ϕ(G) , to zachodzi

r´owno´s´c

R

ϕ(G)

ω =

R

G

ϕ

∗

(ω) .

Dow´od lematu pomijamy. Polega on na bezpo´srednim zastosowaniu definicji ca lki

z formy i twierdzenia o zamianie zmiennych w ca lce Lebesgue’a. Wyste

,

puja

,

ca w

twierdzeniu o zamianie zmiennych warto´s´c bezwzgle

,

dna w niczym nie przeszkadza,

bo dyfeomorfizm, z kt´orym mamy do czynienia zachowuje orientacje

,

— wybieramy

mapy zgodne z nia

,

!

Zdefiniujemy teraz ca lke

,

z formy r´o˙zniczkowej okre´slonej na rozmaito´sci zwartej.

Zaczniemy od twierdzenia, kt´orego uog´olnienia Czytelnik mo˙ze znale´z´c np. w ksia

,

˙zce

Ryszarda Engelkinga „Topologia og´olna” lub w kr´otszej wersji „Zarys topologii og´ol-

nej”, w rozdziale po´swie

,

conym przestrzeniom parazwartym.

Lemat 16.19 (o wpisywaniu pokry´

c)

Je´sli U

1

, U

2

,. . . , U

n

sa

,

otwartymi podzbiorami przestrzeni metrycznej X i spe lniona

jest r´owno´s´c X = U

1

∪ U

2

∪ . . . ∪ U

n

, to istnieja

,

takie zbiory otwarte V

1

, V

2

,. . . ,

V

n

, ˙ze V

1

∪ V

2

∪ . . . ∪ V

n

= X oraz V

i

⊆ V

i

⊆ U

i

.

Dow´

od. Niech F

1

= X \ (U

2

∪ U

3

∪ . . . U

n

) , H = X \ U

1

. Zbiory F

1

⊆ U

1

, H sa

,

domknie

,

te jako dope lnienia otwartych. Oczywi´scie F

1

∩H = ∅ . Istnieja

,

wie

,

c roz la

,

czne

zbiory otwarte V

1

⊇ F

1

i W ⊇ H . Poniewa˙z V

1

⊆ X \ W , wie

,

c V

1

⊆ X \ W ⊆ U

1

.

Oczywi´scie V

1

∪ U

2

∪ . . . ∪ U

n

= X . W taki sam spos´ob zaste

,

pujemy kolejne zbiory

U

2

, . . . , U

n

przez mniejsze zbiory V

2

,. . . , V

n

— indukcja.

Uwaga 16.20 Je´sli dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, . . . , n} zachodzi V

i

⊆ V

i

⊆ U

i

, to pokrycie

{V

i

:

i = 1, 2, . . . , n} nazywamy wpisanym w pokrycie {U

i

:

i = 1, 2, . . . , n} .

Lemat 16.21 (Urysohna — g ladka wersja*)

Je´sli zbiory F, H ⊂ R

k

sa

,

domknie

,

te i roz la

,

czne, to istnieje taka niesko´

nczenie wiele

razy r´o˙zniczkowalna funkcja f : R

k

−→ [0, 1] , ˙ze f (x) = 0 dla ka˙zdego x ∈ F oraz

f (x) = 1 dla ka˙zdego x ∈ H .

Dow´

od. Niech α, β: R

k

−→ [0, ∞) be

,

da

,

takimi funkcjami klasy C

∞

, kt´ore zeruja

,

*

Profesor Jerzy Mioduszewski twierdzi, ˙ze Luzin pierwszy to udowodni l w tej wersji, a Urysohn zasta,pi l

g ladko´s´

c cia,g lo´scia, i przeni´os l na dowolne przestrzenie metryczne.

13

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

sie

,

odpowiednio na F i H , a poza tym ka˙zda z nich jest dodatnia (istnienie takich

funkcji jest tre´scia

,

twierdzenia o najpaskudniejszej poziomicy, z I semestru). Niech

f (x) =

α(x)

α(x)+β(x)

. Poniewa˙z α(x) + β(x) > 0 dla ka˙zdego x ∈ R

k

, wie

,

c funkcja f

jest niesko´

nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalna, a poniewa˙z β(x) = 0 dla x ∈ H , wie

,

c

f (x) = 1 dla x ∈ H . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Zadanie 1.

Udowodni´c, ˙ze je´sli zbiory F, H ⊂ R

k

sa

,

domknie

,

te i roz la

,

czne, to

istnieje taka niesko´

nczenie wiele razy r´o˙zniczkowalna funkcja f : R

k

−→ [0, 1] , ˙ze

f (x) = 0 ⇐⇒ x ∈ F oraz f (x) = 1 ⇐⇒ x ∈ H .

Definicja 16.22 (no´snika funkcji)

Je´sli f : X −→ R jest funkcja

,

okre´slona

,

na przestrzeni metrycznej X , to zbi´or do-

mknie

,

ty {x ∈ X :

f (x) 6= 0} nazywamy no´snikiem funkcji f i oznaczamy symbolem

supp(f ).*

Definicja 16.23 (rozk ladu jedno´sci wpisanego w rodzine

,

)

M´owimy, ˙ze cia

,

g funkcji α

1

, α

2

,. . . , α

n

jest rozk ladem jedno´sci wpisanym w rodzine

,

{U

i

:

i = 1, 2, . . . , n} wtedy i tylko wtedy, gdy suppα

i

⊆ U

i

dla i = 1, 2, . . . , n i dla

ka˙zdego x ∈ U

1

∪ U

2

∪ . . . ∪ U

n

zachodzi r´owno´s´c α

1

(x) + α

2

(x) + · · · + α

n

(x) = 1 .

W zasadzie be

,

dziemy wpisywa´c rozk lady jedno´sci w rodziny zbior´ow otwartych.

Og´olnie nie wymaga sie

,

sko´

nczono´sci rodziny, ale ograniczamy definicje do przypadku,

kt´ory wyste

,

puje w dalszym cia

,

gu.

Twierdzenie 16.24 (o istnieniu rozk lad´

ow jedno´sci)

Dla ka˙zdej rodziny {U

1

, U

2

, . . . , U

n

} zbior´ow otwartych w R

k

istnieje rozk lad jed-

no´sci klasy C

∞

w nia

,

wpisany.

Dow´

od. Z lematu o wpisywaniu pokry´c wynika, ˙ze istnieja

,

takie zbiory otwarte

V

1

, V

2

, . . . , V

n

, W

1

, W

2

, . . . , W

n

, ˙ze V

1

∪ V

2

∪ . . . ∪ V

n

= U

1

∪ U

2

∪ . . . ∪ U

n

oraz

V

i

⊆ W

i

⊆ W

i

⊆ U

i

dla i ∈ {1, 2, . . . , n} . Niech β

i

be

,

dzie funkcja

,

klasy C

∞

,

kt´ora jest r´owna 1 na zbiorze V

i

i 0 poza zbiorem W

i

— istnienie takiej funkcji

wynika z lematu Urysohna dla funkcji g ladkich. Niech α

i

=

β

i

β

1

+β

2

+·+β

n

. Jasne jest,

˙ze zdefiniowali´smy rozk lad jedno´sci wpisany w rodzine

,

{U

1

, U

2

, . . . , U

n

} .

Definicja 16.25 (funkcji g ladkich na rozmaito´sci)

Niech M, N be

,

da

,

rozmaito´sciami klasy C

r

, r ≥ 1 . M´owimy, ˙ze funkcja f : M −→ N

jest klasy C

r

wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu p ∈ M istnieja

,

takie

*

Od angielskiego s lowa support.

14

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

mapy ϕ okre´slona w otoczeniu punktu p i ψ okre´slona w otoczeniu punktu f (p) ,

˙ze przekszta lcenie ψ ◦ f ◦ ϕ

−1

jest klasy C

r

.

W tej definicji pisza

,

c ψ◦f ◦ϕ

−1

mamy oczywi´scie na my´sli funkcje

,

f ograniczona

,

do tak ma lego otoczenia punktu p , by rozpatrywane z lo˙zenie mia lo sens.

Latwo stwierdzi´c mo˙zna, ˙ze funkcje klasy C

r

o warto´sciach w przestrzeni R

`

okre´slone w otoczeniu rozmaito´sci M ⊆ R

k

klasy C

r

sa

,

, po ograniczeniu dziedziny

do M , klasy C

r

w sensie nowej definicji.

Czytelnicy bez wie

,

kszych trudno´sci przeniosa

,

twierdzenie o istnieniu rozk lad´ow

jedno´sci na rozmaito´sci.

Definicja 16.26 (ca lki z formy r´

o˙zniczkowej)

Za l´o˙zmy, ˙ze ω jest m –forma

,

r´o˙zniczkowa

,

klasy C

1

okre´slona

,

w otoczeniu m –wy-

miarowej, zorientowanej rozmaito´sci zwartej M ⊆ R

k

(lub tylko na samej rozmaito´sci

M ). Niech α

1

, α

2

, . . . , α

n

be

,

dzie rozk ladem jedno´sci klasy C

1

, okre´slonym na roz-

maito´sci M , przy czym dla ka˙zdego i ∈ {1, 2, . . . , n} istnieje mapa ϕ

i

klasy C

1

,

zgodna z orientacja

,

, kt´orej dziedzina U

i

zawiera no´snik funkcji α

i

. Definiujemy

ca lke

,

z formy ω :

Z

M

ω =

n

X

i=1

Z

ϕ

i

(U

i

)

ϕ

−1

i

∗

(α

i

· ω).

Podanie takiej definicji wymaga jednak tego, by przekona´c sie

,

o niezale˙zno´sci

ca lki z formy r´o˙zniczkowej od wyboru rozk ladu jedno´sci i map. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli

mamy dwa rozk lady jedno´sci α

1

+ α

2

+ · · · + α

n

i β

1

+ β

2

+ · · · + β

`

, to r´ownie˙z

P

i,j

α

i

β

j

= (α

1

+ α

2

+ · · · + α

n

)(β

1

+ β

2

+ · · · + β

`

) = 1 . Jednocze´snie mamy

supp(α

i

β

j

) ⊆ supp(α

i

) ∩ supp(β

j

) . Wiemy te˙z, ˙ze podana definicja ca lki na zbiorze,

na kt´orym okre´slone sa

,

dwie mapy daje ten sam wynik (lemat 16.18 o zamianie

zmiennych). Wynika sta

,

d, ˙ze ca lka

R

M

(α

j

· β

j

)ω jest dobrze okre´slona, tzn. u˙zycie w

definicji mapy ϕ

i

: U

i

−→ R

m

daje ten sam wynik, co u˙zycie mapy ψ

j

: V

j

−→ R

m

,

w istocie rzeczy wa˙zne jest to, ˙ze sa

,

one obie okre´slone na zbiorze U

i

∩ V

j

. Ca lka

z formy ω jest wie

,

c suma

,

n · ` ca lek z formy ω pomno˙zonej przez funkcje

,

α

i

· β

j

,

a te ca lki nie zale˙za

,

od u˙zywanej ich definicji mapy.

Uwaga 16.27 (o formach okre´slonych na rozmaito´sci)

M´owimy, ˙ze na rozmaito´sci M jest okre´slona s –forma ω (forma stopnia s ), je´sli

dla ka˙zdego punktu p ∈ M okre´slone jest przekszta lcenie s –liniowe antysymetryczne

ω(p): T

p

M × T

p

M × . . . × T

p

M

|

{z

}

s czynnik´

ow

−→ R . Forma ω jest klasy C

r

wtedy i tylko wtedy,

15

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

gdy dla ka˙zdej mapy ϕ forma ϕ

−1

∗

(ω) jest klasy C

r

, ta ostatnia jest okre´slona na

otwartym podzbiorze R

m

, oczywi´scie aby wszystkie operacje mia ly sens nale˙zy ogra-

nicza´c dziedzine

,

formy. Trzeba te˙z za lo˙zy´c, ˙ze rozmaito´s´c M oraz rozpatrywane mapy

sa

,

klasy co najmniej C

r+1

. Formy okre´slone na rozmaito´sciach niekoniecznie zanu-

rzonych w przestrzeni euklidesowej maja

,

du˙ze znaczenie w geometrii r´o˙zniczkowej

i wielu dzia lach analizy. W tym wyk ladzie wysta

,

pia

,

w jednym twierdzeniu.

Uwaga 16.28

Czytelnik mo˙ze rozszerzy´c definicje

,

ca lki z formy po ca lej rozmaito´sci i zdefiniowa´c

ca lke

,

z formy po jej otwartym podzbiorze. W naszym uje

,

ciu to tylko kwestia istnienia

sko´

nczonego pokrycia dziedzinami map zbioru, po kt´orym zamierzamy ca lkowa´c.

Przyk lad 16.18

Niech ω(x, y, z) = xdy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy . Obliczymy

ca lke

,

z tej formy po sferze jednostkowej S

2

, z lo˙zonej z tych punkt´ow (x, y, z) , dla

kt´orych x

2

+ y

2

+ z

2

= 1 . Za l´o˙zmy, ˙ze jest ona zorientowana w ten spos´ob, ˙ze

uporza

,

dkowana para wektor´ow (e

2

, e

3

) , kt´ore sa

,

styczne do sfery w punkcie (1, 0, 0) ,

jest zgodna z orientacja

,

. Niech (u, v) = ϕ(x, y, z) =

x

1+z

,

y

1+z

. Oczywi´scie prze-

kszta lcenie ϕ jest klasy C

∞

poza p laszczyzna

,

z = −1 , na kt´orej nie jest zdefi-

niowane. Jest niezdefiniowane tylko w jednym punkcie sfery, mianowicie w punkcie

(0, 0, −1) . Na sferze jest r´o˙znowarto´sciowe. Dla dowodu wystarczy poda´c wz´or na

przekszta lcenie odwrotne, co wymaga rozwia

,

zania uk ladu r´owna´

n:







x

2

+ y

2

+ z

2

= 1,

x

1+z

= u,

y

1+z

= v.

Niewiadomymi sa

,

tu x, y, z . Mamy 1 − z

2

= x

2

+ y

2

= u

2

(1 + z)

2

+ v

2

(1 + z)

2

,

wie

,

c 1 − z = (1 + z)(u

2

+ v

2

) . Sta

,

d z =

1−u

2

−v

2

1+u

2

+v

2

, zatem 1 + z =

2

1+u

2

+v

2

, wie

,

c

x =

2u

1+u

2

+v

2

, y =

2v

1+u

2

+v

2

. Mo˙zemy napisa´c

(x, y, z) = ϕ

−1

(u, v) =

2u

1+u

2

+v

2

,

2v

1+u

2

+v

2

,

1−u

2

−v

2

1+u

2

+v

2

.

Mamy wie

,

c (bezmy´slne obliczenia)

(ϕ

−1

)

∗

(ω)(u, v) =

2u

1+u

2

+v

2

d

2v

1+u

2

+v

2

∧ d

1−u

2

−v

2

1+u

2

+v

2

+

+

2v

1+u

2

+v

2

d

1−u

2

−v

2

1+u

2

+v

2

∧ d

2u

1+u

2

+v

2

+

1−u

2

−v

2

1+u

2

+v

2

d

2u

1+u

2

+v

2

∧ d

2v

1+u

2

+v

2

=

=

2u

1+u

2

+v

2

−4uv

(1+u

2

+v

2

)

2

du +

2(1+u

2

−v

2

)

(1+u

2

+v

2

)

2

dv

∧

−4u

(1+u

2

+v

2

)

2

du +

−4v

(1+u

2

+v

2

)

2

dv

+

+

2v

1+u

2

+v

2

−4u

(1+u

2

+v

2

)

2

du +

−4v

(1+u

2

+v

2

)

2

dv

∧

2(1−u

2

+v

2

)

(1+u

2

+v

2

)

2

du +

−4uv

(1+u

2

+v

2

)

2

dv

+

+

1−u

2

−v

2

1+u

2

+v

2

2(1−u

2

+v

2

)

(1+u

2

+v

2

)

2

du +

−4uv

(1+u

2

+v

2

)

2

dv

∧

−4uv

(1+u

2

+v

2

)

2

du +

2(1+u

2

−v

2

)

(1+u

2

+v

2

)

2

dv

=

16

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

=

1

(1+u

2

+v

2

)

5

2u

−4uv 2(1 + u

2

− v

2

)

−4u

−4v

+ 2v

−4u

−4v

2(1 − u

2

+ v

2

) −4uv

+

+ (1 − u

2

− v

2

)

2(1 − u

2

+ v

2

)

−4uv

−4uv

2(1 + u

2

− v

2

)

du ∧ dv =

=

4

(1+u

2

+v

2

)

5

4u

2

−2v 1 + u

2

− v

2

−1

−v

+ 4v

2

−u

−1

1 − u

2

+ v

2

−2u

+

+ (1 − u

2

− v

2

)

1 − u

2

+ v

2

−2uv

−2uv

1 + u

2

− v

2

du ∧ dv =

=

4

(1+u

2

+v

2

)

5

4u

2

(2v

2

+ 1 + u

2

− v

2

) + 4v

2

(2u

2

+ 1 − u

2

+ v

2

) +

+ (1 − u

2

− v

2

)(1 − (u

2

− v

2

)

2

− 4u

2

v

2

)

du ∧ dv =

=

4

(1+u

2

+v

2

)

5

4(u

2

+ v

2

)(1 + u

2

+ v

2

) + (1 − u

2

− v

2

) 1 − (u

2

+ v

2

)

2

du ∧ dv =

=

4

(1+u

2

+v

2

)

4

4(u

2

+ v

2

) + (1 − u

2

− v

2

)

2

du ∧ dv =

4

(1+u

2

+v

2

)

2

du ∧ dv .

Mapa ϕ jest okre´slona na prawie ca lej sferze, poza dziedzina

,

jest tylko jeden

punkt: (0, 0, −1) . Wobec tego

R

S

2

ω =

R

R

2

(ϕ

−1

)

∗

(ω) =

R

R

2

4

(1+u

2

+v

2

)

2

du ∧ dv =

=

R

R

2

4

(1+u

2

+v

2

)

2

d`

2

u=r cos θ

=======

v=r sin θ

R

r>0, |θ|<π

4

(1+r

2

)

2

cos θ

−r sin θ

sin θ

r cos θ

d`

2

=

=

R

π

−π

R

∞

0

4r

(1+r

2

)

2

d`

2

= 2π · (−

2

(1+r

2

)

∞
0

= 4π .

Obliczenia zako´

nczyli´smy. Mogli´smy u˙zy´c innej mapy, np. okre´slonej na innym

zbiorze. Niech x = cos α cos β , y = cos α sin β , z = sin α dla |α| <

π

2

, |β| < π .

Zdefiniowali´smy parametryzacje

,

prawie ca lej sfery, z wyja

,

tkiem jednego domknie

,

tego

p´o lokre

,

gu, kt´orego punkty (x, y, z) spe lniaja

,

warunki x ≤ 0 , y = 0 , x

2

+ z

2

= 1 ,

kt´orego miara jest r´owna 0 . Uporza

,

dokwana para

∂x
∂β

,

∂y

∂β

,

∂z

∂β

,

∂x

∂α

,

∂y

∂α

,

∂z

∂α

wek-

tor´ow stycznych do sfery w punkcie (cos α cos β, cos α sin β, sin α) wyznacza „orienta-

cje

,

okre´slona

,

przez zewne

,

trzny wektor normalny”. Wobec tego (por. przyk lad 16.17):

R

S

2

ω =

R

|β|<π,2|α|<π

cos αdβ ∧ dα =

R

|β|<π,2|α|<π

cos αd`

2

F ubini

======

=

R

π/2

−π/2

R

π

−π

cos αdβ

dα =

R

π/2

−π/2

2π cos α

dα = 4π .

Uwaga 16.29

Wynik z ostatniego przyk ladu by l do przewidzenia bez oblicze´

n. Mamy bowiem

(xdy ∧ dz + y dz ∧ dx + z dx ∧ dy)(v, w) = x

v

2

w

2

v

3

w

3

+ y

v

3

w

3

v

1

w

1

+ z

v

1

w

1

v

2

w

2

=

= (x, y, z)·(v×w) = kv×wk =

s

v · v

v · w

w · v w · w

, je´sli tr´ojka wektor´ow (x, y, z), v, w

jest dodatnio zorientowana w R

3

, przypominam, ˙ze x

2

+y

2

+z

2

= 1 , wie

,

c ca lkowanie

tej formy po sferze to ca lkowanie funkcji charakterystycznej sfery wzgle

,

dem miary

Lebesgue’a–Riemanna, zatem ca lka jest miara

,

tej sfery (czyli jej polem).

17

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

Poka˙zemy teraz, jak mo˙zna u˙zy´c form r´o˙zniczkowych do uog´olnienia twierdzenia

o orientowalno´sci w kowymiarze 1 (rozmaito´s´c jest orientowalna wtedy i tylko wtedy,

gdy istnieje nigdzie niezeruja

,

ce sie

,

cia

,

g le pole wektor´ow normalnych).

Stwierdzenie 16.30 (o orientowalno´sci)

Rozmaito´s´c sp´ojna M , klasy C

r

, wymiaru m jest orientowalna wtedy i tylko wtedy,

gdy istnieje taka forma ω klasy C

r−1

, stopnia m okre´slona na M , ˙ze dla ka˙zdego

p ∈ M i dowolnych liniowo niezale˙znych wektor´ow v

1

, v

2

, . . . , v

m

∈ T

p

M zachodzi

nier´owno´s´c ω(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) 6= 0 .

Dow´

od. Je´sli taka forma istnieje, to rozmaito´s´c mo˙zna zorientowa´c przyjmuja

,

c,

˙ze uporza

,

dkowana baza v

1

, v

2

, . . . , v

m

w przestrzeni T

p

M jest zgodna z orientacja

,

wtedy i tylko wtedy, gdy ω(v

1

, v

2

, . . . , v

m

) > 0 . Atlas orientuja

,

cy uzyskujemy roz-

patruja

,

c te mapy ϕ , dla kt´orych kolumny macierzy Dϕ

−1

ϕ(x)

sa

,

baza

,

zgodna

,

z orientacja

,

. Jasne jest, ˙ze przy takiej definicji det(D(ψ ◦ ϕ

−1

)) > 0 dla dowolnych

map ϕ, ψ spe lniaja

,

cych na lo˙zony warunek.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze rozmaito´s´c M jest orientowalna. Niech {(U

i

, ϕ

i

)} be

,

dzie atla-

sem definiuja

,

cym jej orientacje

,

, ϕ

i

: U

i

−→ R

m

jest mapa

,

, kt´orej dziedzina

,

jest zbi´or

U

i

otwarty w przestrzeni M . Zbi´or V

i

= ϕ

i

(U

i

) jest otwartym podzbiorem R

m

.

Niech ψ

i

= ϕ

−1

i

. Zdefiniujemy m –forme

,

ω

i

na zbiorze V

i

. Niech

ω

i

(y) =

q

det

Dψ

i

(y)

T

· Dψ

i

(y)

dy

1

∧ dy

2

∧ . . . ∧ dy

m

.

Poniewa˙z rozmaito´s´c jest zorientowana, wie

,

c dla ka˙zdej parametryzacji ψ

j

zachodzi

r´owno´s´c (ϕ

i

◦ ψ

j

)

∗

(ω

i

) = ω

j

, oczywi´scie na zbiorze V

j

∩ ϕ

j

(U

i

∩ U

j

) — obliczenia

bardzo podobne do tych, kt´ore mia ly miejsce przy sprawdzaniu, ˙ze definicja miary na

rozmaito´sci jest niezale˙zna od wyboru mapy, korzystamy te˙z oczywi´scie z nier´owno´sci

det(D(ϕ

i

◦ ψ

j

)) > 0 . Z tego wynika, ˙ze definiuja

,

c forme

,

ω wzorem ω = (ϕ

i

)

∗

(ω

i

)

na zbiorze U

i

. Jasne jest, ˙ze tak zdefiniowana forma spe lnia oczekiwane warunki.

Uwaga 16.31 Podany dow´od mo˙zna przeprowadzi´c nieco inaczej. Na zbiorze U

i

mo˙zna okre´sli´c forme

,

ν

i

= (ϕ

i

)

∗

(dy

1

∧ dy

2

∧ . . . ∧ dy

m

) . Ta forma nie znika w ˙zad-

nym punkcie zbioru U

i

, co wie

,

cej, przyjmuje dodatnia

,

warto´s´c na dowolnej bazie

przestrzeni T

x

M , zgodnej z orientacja

,

, dla ka˙zdego x ∈ U

i

. Naste

,

pnie wpisa´c g ladki

rozk lad jedno´sci {α

i

} w pokrycie {U

i

} i zdefiniowa´c forme

,

ν na ca lej rozmaito´sci

M wzorem ν =

P

i

α

i

ν

i

. Dow´od jest nieco kr´otszy, ale mniej widoczny jest jego

zwia

,

zek z miara

,

ma M . Nigdzie nie zeruja

,

ca sie

,

forma stopnia m na rozmaito´sci M

cze

,

sto nazywana jest forma

,

obje

,

to´sci na M.

Przejdziemy teraz do uog´olnienia twierdzenia Greena na dowolne rozmaito´sci

18

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

zwarte. To uog´olnienie nazywane jest twierdzeniem Stokesa. Zaczniemy od szczeg´ol-

nego przypadku.

Lemat 16.32 (twierdzenie Stokesa dla kostki)

Je´sli ω jest m − 1 –forma

,

klasy C

1

, okre´slona

,

w otoczeniu kostki Q = [0, 1]

m

,

kt´orej ka˙zda ´sciana jest zorientowana za pomoca

,

zewne

,

trznego wektora normalnego,

to zachodzi r´owno´s´c

Z

∂Q

ω =

Z

Q

dω .

Dow´

od. Istnieja

,

takie funkcje ω

1

, ω

2

, . . . , ω

m

klasy C

1

, ˙ze

ω(x) =

P

(−1)

i−1

ω

i

(x)dx

1

∧ dx

2

∧ . . . d

dx

i

∧ . . . ∧ dx

m

,

symbol d

dx

i

oznacza, ˙ze ten jeden czynnik pomijamy. Dla ka˙zdego i mamy

d (−1)

i−1

ω

i

(x)dx

1

∧ dx

2

∧ . . . d

dx

i

∧ . . . ∧ dx

m

=

∂ω

i

∂x

i

dx

1

∧ dx

2

∧ . . . dx

i

∧ . . . ∧ dx

m

.

Z definicji ca lki z formy i z twierdzenia Fubiniego wynika, ˙ze

R

Q

∂ω

i

∂x

i

dx

1

∧ dx

2

∧ . . . dx

i

∧ . . . ∧ dx

m

=

R

Q

∂ω

i

∂x

i

d`

m

=

=

R

Q

m−1

ω

i

(x

1

, . . . , x

i−1

, 1, x

i+1

, . . . , x

m

)−ω

i

(x

1

, . . . , x

i−1

, 0, x

i+1

, . . . , x

m

)

d`

m−1

=

=

R

∂Q

m

(−1)

i−1

ω

i

(x)dx

1

∧ dx

2

∧ . . . d

dx

i

∧ . . . ∧ dx

m

. — ostatnia r´owno´s´c r´owno´s´c

wynika z tego, ˙ze na ka˙zdej ´scianie kostki jedna ze wsp´o lrze

,

dnych jest sta la, aby

ca lka by la r´o˙zna od 0 musi to by´c i –ta wsp´o lrze

,

dna, po uwzgle

,

dnieniu orientacji

otrzymujemy ostatnia

,

r´owno´s´c.* Po zsumowaniu uzyskanych r´owno´sci otrzymujemy

teze

,

.

Twierdzenie 16.33 (Stokesa)

Dla ka˙zdej m − 1 –formy ω klasy C

1

na zorientowanej rozmaito´sci zwartej M za-

chodzi r´owno´s´c

Z

∂M

ω =

Z

M

dω .

Dow´

od. Pokrywamy rozmaito´s´c M zbiorami otwartymi U

1

, U

2

, . . . , U

n

, kt´ore

sa

,

dziedzinami map ϕ

1

, ϕ

2

, . . . , ϕ

n

, zgodnych z orientacja

,

. Zak ladamy, ˙ze w pokrycie

{U

i

} mo˙zna wpisa´c taki rozk lad jedno´sci {α

i

} , ˙ze mapa przekszta lca no´snik funkcji

α

i

w pewna

,

m–wymiarowa

,

kostke

,

Q

i

. Dodatkowo, je´sli x ∈ U

i

∩∂M , to ϕ

i

(x) ∈ ∂Q

i

.

Mamy teraz

R

∂M

ω =

R

∂M

(

P

i

α

i

)ω =

P

i

R

∂M

α

i

ω

tw. Stokesa

==========

dla kostki

P

i

R

M

d(α

i

ω) =

*

Zewne,trzny wektor normalny w punktach ´sciany danej r´ownaniem x

i

=1 to wektor e

i

, a w punktach

´sciany danej r´

ownaniem x

i

=0 to wektor −e

i

.

19

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

=

P

i

R

M

dα

i

∧ ω +

P

i

R

M

α

i

dω =

R

M

P

i

dα

i

ω +

R

M

P

i

α

i

dω =

R

M

dω

— ostatnia r´owno´s´c wynika z tego, ˙ze

P

i

α

i

(x) = 1 dla ka˙zdego x ∈ M .

Uwaga 16.34 W twietdzeniu za lo˙zyli´smy, ˙ze zbi´or M jest rozmaito´scia

,

z brzegiem.

W szczeg´olno´sci „brzeg” jest rozmaito´scia

,

(ju˙z bez brzegu). W rezultacie tak sformu-

lowane twierdzenie nie daje sie

,

u˙zy´c w r´o˙znych, wa˙znych przypadkach, np. gdy M jest

prostoka

,

tem, prostopad lo´scianem itp. W istocie rzeczy to za lo˙zennie jest zbyt mocne.

Mo˙zna dopu´sci´c rogi, za lamania, byle nie by lo ich zbyt du˙zo. Nale˙za loby jednak

wyja´sni´c, co to znaczy. Napisze

,

nie wchodza

,

c w szczeg´o ly. Nale˙zy zak lada´c, ˙ze zbi´or

M jest zwarty i po usunie

,

ciu zbioru B , kt´orego (m − 1) –wymiarowa miara Haus-

dorffa jest r´owna 0 , staje sie

,

m –wymiarowa

,

rozmaito´scia

,

z (m − 1) –wymiarowym

brzegiem. Nale˙zy wyja´sni´c, co oznacza sformu lowanie „ (m − 1) –wymiarowa miara

Hausdorffa jest r´owna 0 ”. Ot´o˙z oznacza to, ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje taki

cia

,

g kul B(p

1

, r

1

) , B(p

2

, r

2

) , . . . , ˙ze

P

∞
n=1

r

m−1

i

< ε oraz

S

∞
n=1

B(p

n

, r

n

) ⊇ B .

W szczeg´olno´sci zbi´or B mo˙ze by´c suma

,

przeliczalnie wielu rozmaito´sci wymiaru

mniejszego (ostro!) ni˙z m − 1 . Szczeg´o lowy dow´od tej wersji twierdzenia znajda

,

zainteresowani studenci w wielokrotnie polecanym podre

,

czniku „Analiza matema-

tyczna” Andrzeja Birkholca. Mo˙zna te˙z znale´z´c te

,

wersje

,

twierdzenia w monografii „

Geometric measure theory” Herberta Federera.

Najbardziej klasyczna wersja twierdzenia Stokesa to zapewne twierdzenie zwane

twierdzeniem Gaussa – Ostrogradzkiego wyste

,

puja

,

ca w wielu podre

,

cznikach fizyki

(w dzia lach po´swie

,

conych elektryczno´sci, magnetyzmowi). To bardzo szczeg´olny przy-

padek: M ⊂ R

3

, dimM = 3 . Wtedy wz´or Stokesa wygla

,

da tak:

R

∂M

P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + R dx ∧ dy

=

R

M

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

dx ∧ dy ∧ dz .

Z definicji ca lki z formy wynika, ˙ze prawa strona jest r´owna

R

M

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

d`

3

.

Przyjrzymy sie

,

lewej stronie. Za l´o˙zmy, ˙ze brzeg M zosta l lokalnie sparametryzowany

zgodnie z orientacja

,

. Oznacza to, ˙ze mo˙zemy potraktowa´c zmienne x, y, z jako funk-

cje dw´och argument´ow, np. u, v . Wtedy zachodza

,

r´owno´sci

P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + R dx ∧ dy = P

∂y
∂u

du +

∂y
∂v

dv

∧

∂z

∂u

du +

∂z
∂v

dv

+

+ Q

∂z

∂u

du +

∂z
∂v

dv

∧

∂x
∂u

du +

∂x
∂v

dv

+ R

∂x
∂u

du +

∂x
∂v

dv

∧

∂y
∂u

du +

∂y
∂v

dv

=

= P

∂y
∂u

∂y
∂v

∂z

∂u

∂z
∂v

+ Q

∂z

∂u

∂z
∂v

∂x
∂u

∂x
∂v

+ R

∂x
∂u

∂x
∂v

∂y
∂u

∂y
∂v

=

= [P, Q, R] ·

∂x
∂u

,

∂y
∂u

,

∂z

∂u

×

∂x
∂v

,

∂y
∂v

,

∂z
∂v

= [P, Q, R] · n ·

∂x
∂u

,

∂y
∂u

,

∂z

∂u

×

∂x
∂v

,

∂y
∂v

,

∂z
∂v

.

Wektor n to jednostkowy wektor otrzymany przez podzielenie iloczynu wektoro-

wego

∂x
∂u

,

∂y
∂u

,

∂z

∂u

×

∂x
∂v

,

∂y
∂v

,

∂z
∂v

przez d lugo´s´c tego iloczynu. Jest wie

,

c prostopad ly

20

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

do p laszczyzny mno˙zonych wektor´ow, czyli p laszczyzny stycznej do rozmaito´sci ∂M

i skierowany „na zewna

,

trz” M .

Poniewa˙z d lugo´s´c iloczynu wektorowego dw´och wektor´ow w R

3

to pole r´ow-

noleg loboku przez nie rozpie

,

tego, czyli pierwiastek z ich wyznacznika Grama, wie

,

c

zachodzi r´owno´s´c

R

∂M

P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + R dx ∧ dy

=

R

∂M

[P, Q, R] · nd`

∂M

.

Mo˙zemy teraz zapisa´c klasyczna

,

wersje

,

twierdzenia Gaussa–Ostrogradzkiego:

R

∂M

[P, Q, R] · nd`

∂M

=

R

M

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

d`

3

=

R

M

div [P, Q, R]d`

3

.

Lewa strona zwana jest strumieniem pola [P, Q, R] przez powierzchnie

,

∂M .

Zache

,

cam Pa´

nstwa do obejrzenia wyprowadzenia „fizycznego” tego twierdzenia, np.

J.Orear „Fizyka”, tom 1, tam fizycy m´owia

,

o liczbie linii si l pola. Dok ladnie tak samo

wygla

,

da ten wz´or w dowolnym wymiarze:

R

∂M

P · nd`

∂M

=

R

M

div Pd`

M

,

gdzie P = (P

1

, P

2

, . . . , P

m

) , div P =

∂P

1

∂x

1

+

∂P

2

∂x

2

+ · · · +

∂P

m

∂x

m

*, a M ⊆ R

m

jest

m –wymiarowa

,

rozmaito´scia

,

z (m − 1) –wymiarowym brzegiem.

Zapewne to dobry moment na podanie wzoru wia

,

˙za

,

cego minory iloczynu macie-

rzy z minorami macierzy mno˙zonych. Za l´o˙zmy, ˙ze liczba kolumn macierzy A = (a

i,j

)

jest r´owna r jest r´owna liczbie wierszy macierzy B = (b

j,n

) . Niech (c

i,n

) = C = AB .

Wybierzmy s wierszy macierzy A , czyli liczby i

1

< i

2

< . . . < i

s

i tyle˙z samo kolumn

macierzy macierzy B , czyli liczby n

1

< n

2

< . . . < n

s

. Wtedy zachodzi r´owno´s´c

det(c

i

ν

,n

ν

) =

P

j

1

<j

2

<...<j

s

det(a

i

ν

,j

µ

) det(b

j

µ

,n

ν

) ,

(G),

sumujemy po wszystkich mo˙zliwych

r
s

wyborach liczb j

1

< j

2

< . . . < j

s

. Wz´or

mo˙zna dosy´c szybko udowodni´c korzystaja

,

c z tego, ˙ze przy ustalonej macierzy B obie

strony sa

,

s –liniowymi funkcjami antysymetrycznymi wierszy macierzy A . Oznacza

to, ˙ze mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze r´owno´s´c ma miejsce, gdy wiersze macierzy A sa

,

wekto-

rami liniowo niezale˙znymi wybranymi z pewnej ustalonej bazy, np. bazy e

1

, e

2

, . . . .

Wypisujemy wie

,

c kolejne wektory e

j

1

, e

j

2

, . . . , e

j

s

jako wiersze macierzy A . Wtedy

odpowiedni minor macierzy C jest po prostu r´owny minorowi macierzy B — zga-

dzaja

,

nawet wsp´o lczynnik obu macierzy, wie

,

c tym bardziej ich wyznaczniki. Po pra-

wej stronie tylko jeden z wybieranych minor´ow macierzy A jest niezerowy i to ten

akurat, kt´ory mno˙zymy przez det(b

j

µ

,n

ν

) . W ten spos´ob wykazali´smy wz´or (G).

Z wzoru (G) wynika, ˙ze wyznacznik Grama s wektor´ow w R

m

jest suma

,

kwa-

drat´ow wszystkich minor´ow wymiaru s macierzy, kt´orej wierszami sa

,

te w la´snie

wektory — to uog´olnienie r´owno´sci kv×wk

2

= kvk

2

·kwk

2

−(v·w)

2

, dla v, w ∈ R

3

.

*

Symbol div P czytamy: dywergencja pola P.

21

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

O dywergencji powiemy jeszcze co´s wa˙znego. Za l´o˙zmy, ˙ze rozpatrujemy uk lad m

r´owna´

n r´o˙zniczkowych z m niewiadomymi funkcjami:

x

0

(t) = P(x(t)) .

P jest funkcja

,

klasy C

1

. Wtedy, jak wiadomo z teorii r´owna´

n r´o˙zniczkowych, wa-

runek pocza

,

tkowy wyznacza jednoznacznie rozwia

,

zanie, kt´ore zale˙zy g ladko od tego

warunku pocza

,

tkowego. Niech ϕ

t

(x) be

,

dzie funkcja

,

zmiennych t ∈ R oraz x ∈ R

m

,

kt´ora jest rozwia

,

zaniem uk ladu spe lniaja

,

cym warunek ϕ

0

(x) = x . Mamy zatem

∂

∂t

ϕ

t

(x) = P(ϕ

t

(x)) .

Przy ustalonym t otrzymujemy przekszta lcenie okre´slone na pewnym zbiorze otwar-

tym (gdyby wszystkie rozwia

,

zania by ly okre´slone na ca lej prostej dla ka˙zdego wa-

runku pocza

,

tkowego i funkcja P na ca lej przestrzeni R

m

, to przekszta lcenie ϕ

t

by loby okre´slone na ca lym R

m

). Z twierdzenia o jednoznaczno´sci rozwia

,

za´

n wynika,

˙ze ϕ

t

◦ ϕ

s

= ϕ

t+s

, a poniewa˙z ϕ

0

jest identyczno´scia

,

, wie

,

c ϕ

t

jest dyfeomerfizmem

(odwrotne to ϕ

−t

). Niech ϕ

t

= (ϕ

1

t

, ϕ

2

t

, . . . , ϕ

m

t

) . Wtedy mo˙zemy napisa´c

∂

∂t

det(Dϕ

t

) =

∂

2

ϕ

1

t

∂t∂x

1

∂

2

ϕ

1

t

∂t∂x

2

. . .

∂

2

ϕ

1

t

∂t∂x

m

∂ϕ

2

t

∂x

1

∂ϕ

2

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

2

t

∂x

m

∂ϕ

3

t

∂x

1

∂ϕ

3

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

3

t

∂x

m

..

.

..

.

. ..

..

.

∂ϕ

m

t

∂x

1

∂ϕ

m

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

m

t

∂x

m

+

∂ϕ

1

t

∂x

1

∂ϕ

1

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

1

t

∂x

m

∂

2

ϕ

2

t

∂t∂x

1

∂

2

ϕ

2

t

∂t∂x

2

. . .

∂

2

ϕ

2

t

∂t∂x

m

∂ϕ

3

t

∂x

1

∂ϕ

3

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

3

t

∂x

m

..

.

..

.

. ..

..

.

∂ϕ

m

t

∂x

1

∂ϕ

m

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

m

t

∂x

m

+ · · · +

+

∂ϕ

1

t

∂x

1

∂ϕ

1

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

1

t

∂x

m

∂ϕ

2

t

∂x

1

∂ϕ

2

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

2

t

∂x

m

∂ϕ

3

t

∂x

1

∂ϕ

3

t

∂x

2

. . .

∂ϕ

3

t

∂x

m

..

.

..

.

. ..

..

.

∂

2

ϕ

m

t

∂t∂x

1

∂

2

ϕ

m

t

∂t∂x

2

. . .

∂

2

ϕ

m

t

∂t∂x

m

— tylko w jednym wierszu w ka˙zdym z m wyznacz-

nik´ow wyste

,

puja

,

pochodne drugiego rze

,

du. Do otrzymanego wzoru podstawiamy

t = 0 pamie

,

taja

,

c o tym, ˙ze ϕ

0

(x) = x i

∂ϕ

i

t

∂t

(x) = P

i

(ϕ

t

(x)) . W rezultacie

∂

∂t

det(Dϕ

t

)

t=0

=

∂P

1

∂x

1

∂P

1

∂x

2

. . .

∂P

1

∂x

m

0

1

. . .

0

..

.

..

.

. ..

..

.

0

0

. . .

1

+

1

0

. . .

0

∂P

2

∂x

1

∂P

2

∂x

2

. . .

∂P

2

∂x

m

..

.

..

.

. ..

..

.

0

0

. . .

1

+

+

1

0

. . .

0

0

1

. . .

0

..

.

..

.

. ..

..

.

∂P

m

∂x

1

∂P

m

∂x

2

. . .

∂P

m

∂x

m

=

∂P

1

∂x

1

+

∂P

2

∂x

2

+ · · · +

∂P

m

∂x

m

.

22

Analiza matematyczna 2, Rozmaito´sci z brzegiem, formy r´o˙zniczkowe

Udowodnili´smy

Twierdzenie 16.35 (Liouville’a)

Je´sli pole wektorowe P jest klasy C

1

, (ϕ

t

) oznacza jego potok, to zachodzi r´owno´s´c:

∂

∂t

det(Dϕ

t

)

t=0

=

∂P

1

∂x

1

+

∂P

2

∂x

2

+ · · · +

∂P

m

∂x

m

.

Wniosek 16.36

divP

(x) = lim

r→0

+

1

`(B(0, r))

·

d

dt

` ϕ

t

B(x, r)

.

Wniosek wynika latwo z twierdzenia Liouville’a, twierdzenia o zamianie zmien-

nych w ca lce Lebesgue’a i twierdzenia o zmajoryzowanym przechodzeniu do granicy

pod znakiem ca lki.

Zadanie 2.

Udowodni´c, ˙ze je´sli (divP)(x) = 0 dla ka˙zdego x , to `

m

(A) =

`

m

(ϕ

t

(A)) dla ka˙zdego zbioru mierzalnego A .

23