am2cz12

Analiza matematyczna 2, cze

´s´

c dwunasta

Tekst poprawiony 4 wrze´snia 2011, godz. 00:02

Zwyk la pro´sba: prosze

o informacje

o zauwa˙zonych b le

dach, poprawie

Zajmiemy sie

teraz okre´sleniem miary na rozmaito´sci M ⊆ IR

. Rozpoczniemy od przyk ladu

wskazuja

cego na pewna

trudno´s´c.

Przyk lad Schwarza

Niech W oznacza walec o wysoko´sci 1 i kt´orego podstawa ma promie´

n 1. Wyka˙zemy, ˙ze w po-

wierzchnie

boczna

tego walec mo˙zna wpisa´c wielo´scian, kt´ory ma dowolnie du˙za

powierzchnie

kt´orego wszystkie krawe

dzie sa

kr´otkie. ´

Scianami tego wielo´scianu be

tr´ojka

ty r´ownoramienne,

wie

c pole be

dziemy w stanie znale´z´c bez k lopotu. Podzielimy walec p laszczyznami r´ownoleg lymi

do podstaw na n przystaja

cych walc´ow (czyli prowadzimy n − 1 p laszczyzn). Mamy wie

c n + 1

okre

g´ow. W ka˙zdy z nich wpisujemy m –ka

t foremny w ten spos´ob, ˙ze wierzcho lki wieloka

ta wpi-

sanego w j + 1 –wszy (licza

c od do lu) okra

g znajduja

sie

nad ´srodkami luk´ow j –tego okre

gu wy-

znaczonych przez sa

siednie wierzcho lki wieloka

ta wpisanego w j –ty okra

g. Mamy wie

c m(n + 1)

punkt´ow na powierzchni bocznej walca. Rozwa˙zamy powierzchnie

suma

tr´ojka

t´ow, kt´orych

dwoma wierzcho lkami sa

siednie punkty jednego okre

gu, a trzecim wierzcho lek znajduja

cy sie

na sa

siednim okre

gu nad lub pod ´srodkiem luku wyznaczonego przez dwa pierwsze. Otrzymujemy

wie

c 2m tr´ojka

t´ow „mie

dzy” sa

siednimi okre

gami, w sumie 2mn tr´ojka

t´ow. Pole jednego takiego

tr´ojka

ta r´owne jest sin

+ (1 − cos

)

, zatem pole P

m,n

powierzchni ca lkowitej wielo´scianu

r´owne jest 2msin

1 + 4n

sin

4 π

. Przyja

wszy n = m otrzymujemy

m,n

= 2msin

1 + 4m

sin

4 π

−−−−−→

m→∞

2π ,

jest to rezultat zgodny z oczekiwaniami: pole wielo´scianu kt´orego wszystkie krawe

dzie sa

bardzo

kr´otkie i kt´orego wierzcho lki le˙za

na powierzchni bocznej walca w miare

sto przybli˙za pole po-

wierzchni bocznej walca. Przyjmijmy teraz n = m

. Otrzymujemy w tym przypadku

m,n

= 2msin

1 + 4m

sin

4 π

−−−−−→

m→∞

2π

1 + 4π

a wie

c „za du˙zo”. Niech n = m

. Teraz

m,n

= 2msin

1 + 4m

sin

4 π

−−−−−→

m→∞

+∞ .

Oznacza to, ˙ze pr´oba zdefiniowania pola powierzchni bocznej walca przez przybli˙zanie polami wielo-

´scian´ow wpisanych w te

powierzchnie

sko´

nczy sie

niepowodzeniem, chyba ˙ze zwie

kszymy wymagania

wobec nich. Przyczyna

tych nieco dziwacznych rezultat´ow jest to, ˙ze rozpatrywane tr´ojka

ty maja

wierzcho lki na powierzchni bocznej walca i kr´otkie krawe

dzie nie przybli˙za ly jednak powierzchni

bocznej, bo ka

t mie

dzy p laszczyzna

tr´ojka

ta i powierzchnia

boczna

nie da

˙zy l w drugim ani w trze-

cim przypadku do 0 (w pierwszym tak by lo). Oznacza to, ˙ze przy wprowadzaniu definicji nale˙zy

zadba´c r´ownie˙z o ten czynnik.

146

Za l´o˙zmy, ˙ze ψ : V −→ M ⊆ IR

jest parametryzacja

pewnego otwartego podzbioru U = ψ(V )

rozmaito´sci m –wymiarowej M . Zdefiniujemy najpierw miare

borelowska

na zbiorze U . Przy-

pomnijmy, ˙ze wyznacznikiem Grama wektor´ow v

, v

, . . . , v

nazywamy wyznacznik macierzy

)

1≤i,j≤m

. Pe lni on role

kwadratu obje

to´sci m –wymiarowego r´ownoleg lo´scianu rozpie

tego przez

wektory v

, v

, . . . , v

. Je´sli jest on r´owny 0 , to wektory sa

liniowo zale˙zne, co jest zgodne z intui-

cyjnym pojmowaniem obje

to´sci.

Zdefiniujmy g(v

, v

, . . . , v

, w

, . . . , w

) = det(v

· w

)

1≤i,j≤m

dla dowolnych wektor´ow

, . . . , v

, w

, . . . , w

∈ IR

. Mamy wie

c g(v

, v

, . . . , v

, v

, . . . , v

) = G(v

, v

, . . . , v

) .

Jasne jest, ˙ze funkcja g jest 2m –liniowa na (IR

)

przy czym jest ona antysymetryczna jako

funkcja wektor´ow v

, v

, . . . , v

przy ustalonych wektorach w

, w

, . . . , w

. Jest te˙z antysyme-

tryczna przy ustalonych wektorach v

, v

, . . . , v

jako funkcja wektor´ow w

, w

, . . . , w

. Mamy

g(v

, v

, . . . , v

+ tv

, v

, . . . , v

+ tv

) = g(v

, v

, . . . , v

, v

, . . . , v

) +

+ g(v

, v

, . . . , tv

, v

, . . . , v

) + g(v

, v

, . . . , v

, v

, . . . , tv

) +

+ g(v

, v

, . . . , tv

, v

, . . . , tv

) =

= g(v

, v

, . . . , v

, v

, . . . , v

) + 0 + 0 + 0 = G(v

, v

, . . . , v

) ,

bo wyznacznik macierzy zawieraja

cej proporcjonalne wiersze jest r´owny 0 . Oczywi´scie wektor v

mo˙zna zasta

pi´c dowolnym z wektor´ow v

, . . . , v

m−1

. W rezultacie: warto´s´c wyznacznika Grama

uk ladu wektor´ow v

, v

, . . . , v

nie zmienia sie

w wyniku dodania do wektora v

dowolnej kombi-

nacji liniowej wektor´ow v

, v

, . . . , v

m−1

. Mo˙zna wie

c odja

´c od v

rzut tego wektora na podprze-

strze´

n rozpie

przez wektory v

, v

, . . . , v

m−1

zachowuja

c warto´s´c wyznacznika Grama. Z definicji

wynika natychmiast, ˙ze je´sli v

⊥ v

dla i = 1, 2, . . . , m − 1 , to zachodzi G(v

, v

, . . . , v

) =

G(v

, v

, . . . , v

m−1

)kv

. To ˙zywo przypomina dosy´c znany wz´or na obje

to´s´c r´ownoleg lo´scianu:

obje

to´s´c r´ownoleg lo´scianu to iloczyn pola podstawy i wysoko´sci. Druga mi la okoliczno´s´c to nie-

zmienniczo´s´c wyznacznika Grama przy izometriach: je´sli L: IR

−→ IR

jest izometria

liniowa

, to

G(v

, v

, . . . , v

) = G(Lv

, Lv

, . . . , Lv

) . Dla dowolnych wektor´ow v

, v

, . . . , v

∈ IR

istnieje

izometria liniowa L: IR

−→ IR

taka, ˙ze Lv

, Lv

, . . . , Lv

∈ IR

× {0, . . . , 0

| {z }

k−m

} . Dla wektor´ow

, v

, . . . , v

∈ IR

wyznacznik Grama G(v

, v

, . . . , v

) jest r´owny kwadratowi wyznacznika

macierzy, kt´orej kolumnami sa

wektory v

, v

, . . . , v

, czyli kwadratowi miary Lebesgue’a `

r´ownoleg lo´scianu rozpie

tego przez te wektory. Rozsa

dnie jest wie

c przyja

´c, ˙ze G(v

, v

, . . . , v

)

jest kwadratem miary r´ownoleg lo´scianu rozpie

tego przez wektory v

, v

, . . . , v

nie tylko w tym

przypadku, ale r´ownie˙z, gdy sa

one po lo˙zone w przestrzeni wy˙zszego wymiaru (np. r´ownoleg lobok

w IR

ma jakie´s pole).

Je´sli ψ: V −→ IR

jest parametryzacja

otwartego podzbioru U rozmaito´sci M ⊆ IR

, q ∈ V ,

to r´o˙zniczka Dψ(q): IR

−→ IR

odwzorowuje przestrze´

n IR

na T

ψ(q)

M . Je´sli Q jest kostka

o ´srodku q , to Dψ(q)(Q) ⊆ T

ψ(q)

jest m –wymiarowym r´ownoleg lo´scianem, kt´orego obje

to´s´c r´ow-

147

na jest

det Dψ(q)

· Dψ(q)

· `

(Q) . To sugeruje naste

puja

definicje

: je´sli A ⊆ V , to

(ψ(A)) =

det Dψ(q)

· Dψ(q)

Tutaj `

oznacza miare

na rozmaito´sci, kt´ora

w la´snie definiujemy. Nazywa´c ja

dziemy miara

Lebesgue’a–Riemanna na M . Taka definicja wymaga po pierwsze stwierdzenia, ˙ze wynik jest zale˙zny

jedynie od zbioru ψ(A) , a nie od A , ψ itp. Po drugie trzeba wyja´sni´c, dla jakich zbior´ow okre´slamy

miare

, po trzecie trzeba rozszerzy´c te

definicje

na zbiory, kt´ore nie sa

zawarte w dziedzinie jednej

mapy, czyli na taki, kt´orych nie mo˙zna sparametryzowa´c za pomoca

jednego przekszta lcenia ψ .

Zaczniemy od pierwszej kwestii. Dow´od odpowiedniego lematu poprzedzimy dosy´c wa˙znym

twierdzeniem opisuja

cym strukture

przekszta lcenia klasy C

, kt´orego r´o˙zniczka ma rza

d niezale˙zny

od punktu.

Twierdzenie o rze

dzie

Je´sli ψ: V −→ IR

jest przekszta lceniem klasy C

, r ≥ 1 i dla ka˙zdego x ∈ V ⊆ IR

zachodzi

r´owno´s´c r(Dψ)(x) = m , to dla ka˙zdego punktu q ∈ V istnieja

otwarte otoczenia V

3 q oraz

3 ψ(q) oraz dyfeomorfizmy (na obraz) f : V

−→ IR

, g: V

−→ IR

takie, ˙ze

g ◦ ψ ◦ f

−1

, x

, . . . , x

) = (x

, x

, . . . , x

, 0, . . . , 0

| {z }

l−m

)

Dow´

od. Niech ψ = (ψ

, ψ

, . . . , ψ

) . Niech q ∈ V . Poniewa˙z rza

d przekszta lcenia Dψ(q)

r´owny jest m , wie

c pewien minor wymiaru m macierzy Dψ(q) =

∂ψ

∂x

(q)

jest r´o˙zny od 0 .

Po ewentualnej zmianie numeracji wsp´o lrze

dnych w dziedzinie lub w obrazie mo˙zna przyja

´c, ˙ze

∂ψ

∂x

(q)

1≤i,j≤m

6= 0 . Niech f (x) = f (x

, . . . x

) = ψ

(x), ψ

(x), . . . , ψ

(x), x

m+1

, x

m+2

, . . . , x

oczywi´scie je´sli m = k , to wsp´o lrze

dnych o numerach wie

kszych ni˙z m = k nie ma. Przekszta lcenie

f jest oczywi´scie tej samej klasy co ψ (a przynajmniej nie mniejszej). Mamy

Df (q) =







∂ψ

∂x

(q)

. . .

∂ψ

∂x

(q)

∂ψ

∂x

m+1

(q) . . .

∂ψ

∂x

(q)

∂ψ

∂x

(q)

. . .

∂ψ

∂x

(q)

∂ψ

∂x

m+1

(q) . . .

∂ψ

∂x

(q)

. ..

∂ψ

∂x

(q) . . .

∂ψ

∂x

(q)

∂ψ

∂x

m+1

(q) . . .

∂ψ

∂x

(q)

. . .

. ..

. . .







Wyznacznik tej macierzy r´owny jest

∂ψ

∂x

(q)

1≤i,j≤m

1 . . . 0

. .. ...

0 . . . 1

6= 0 . Wynika sta

d (twierdzenie

o odwracaniu funkcji), ˙ze istnieje otoczenie V

punktu q , po obcie

ciu do kt´orego f jest dyfe-

omorfizmem. Pierwszych m wsp´o lrze

dnych przekszta lcenia ψ ◦ f

−1

pokrywa sie

z pierwszymi m

wsp´o lrze

dnymi przekszta lcenia f ◦ f

−1

= id . Niech ψ(f

−1

(x)) = (x

, . . . , x

, ˜

m+1

(x), . . . , ˜

(x)) .

148

Bez trudu stwierdzamy, ˙ze

D(ψ ◦ f

−1

)(x) =







. . .

. ..

. . .

∂ ˜

m+1

∂x

(x)

∂ ˜

m+1

∂x

(x) . . .

∂ ˜

m+1

∂x

(x)

∂ ˜

m+1

∂x

m+1

. . .

∂ ˜

m+1

∂x

(x)

. ..

∂ ˜

∂x

(x)

∂ ˜

∂x

(x)

. . .

∂ ˜

∂x

(x)

∂ ˜

∂x

m+1

. . .

∂ ˜

∂x

(x)







Z lo˙zenie przekszta lcenia liniowego z izomorfizmem nie zmienia rze

du. Wobec tego rza

d D(ψ◦f

−1

)(x)

jest r´owny m , czyli taki sam jak macierz jednostkowa znajduja

ca sie

w lewym g´ornym rogu ma-

cierzy D(ψ ◦ f

−1

)(x) . Wynika sta

d, ˙ze

∂ ˜

∂x

(x) = 0 dla i = m + 1, . . . , l , j = m + 1, . . . , k .

Oznacza to, ˙ze funkcje ˜

m+1

, ˜

m+2

, . . . , ˜

nie zale˙za

od zmiennych x

m+1

, x

m+2

, . . . , x

, po ewen-

tualnym zmniejszeniu V

mo˙zna przyja

´c, ˙ze f (V

) jest k –wymiarowym przedzia lem, wie

c nie mam

k lopotu z wywnioskowaniem sta lo´sci funkcji, kt´orej pochodna jest zerowa. Mamy wie

c prawo pisa´c

, . . . , x

) zamiast ˜

, . . . , x

, x

m+1

, . . . , x

) w przypadku j = m + 1, . . . , l . Definiujemy

teraz g(y

, . . . , y

) = y

, . . . , y

, y

m+1

− ˜

m+1

, . . . , y

), . . . , y

− ˜

, . . . , y

)

. Mo˙zna z la-

two´scia

przekona´c sie

o tym, ˙ze g ◦ ψ ◦ f

−1

, . . . , x

) = (x

, . . . , x

, 0, . . . , 0) oraz ˙ze g jest

dyfeomorfizmem: g

−1

, . . . , y

) = y

, . . . , y

, y

m+1

+ ˜

m+1

, . . . , y

), . . . , y

+ ˜

, . . . , y

)

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Lemat o przechodzeniu od jednej mapy do drugiej mapy

Je´sli ψ: V −→ IR

i ˜

ψ: ˜

V −→ IR

homeomorfizmami klasy C

, r ≥ 1 , kt´orych r´o˙zniczki we

wszystkich punktach sa

r´o˙znowarto´sciowe, ψ(V ) = ˜

ψ( ˜

V ) , to przekszta lcenie ψ

−1

◦ ˜

ψ jest dyfeomor-

fizmem.

Dow´

od. Niech q ∈ V . Zgodnie z twierdzeniem o rze

dzie istnieja

(lokalnie) dyfeomorfizmy g

i f takie, ˙ze g ◦ ψ ◦ f

−1

, . . . , x

) = (x

, . . . , x

, 0 . . . , 0) w pewnym otoczeniu punktu f (q) .

Przekszta lcenie g ◦ ψ ◦ f

−1

formalnie przekszta lca pewien podzbi´or przestrzeni IR

w przestrze´

, ale faktycznie — w IR

. Mo˙zna je wie

c odwraca´c, odwrotne jest klasy C

. Zachodzi r´owno´s´c

−1

◦ ˜

ψ = f

−1

◦ g ◦ ψ ◦ f

−1

◦ g ◦ ˜

ψ .

Z niej wynika, ˙ze ψ

−1

◦ ˜

ψ klasy C

, bo jest z lo˙zeniem przekszta lce´

n takiej klasy (r´o˙zniczkowalno´s´c w

punkcie jest w lasno´scia

lokalna

, wie

c niczemu w dowodzie nie przeszkadza to, ˙ze rozwa˙zane z lo˙zenie

jest okre´slone jedynie w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu f (q) ). Jest to oczywi´scie prawda

r´ownie˙z w przypadku przekszta lcenia odwrotnego ˜

−1

◦ ψ , zatem jest to dyfeomorfizm.Dow´od zos-

ta l zako´

nczony.

Lemat o niezale˙zno´sci miary od mapy

Je´sli ψ: V −→ IR

i ˜

ψ: ˜

V −→ IR

homeomorfizmami klasy C

, r ≥ 1 , kt´orych r´o˙zniczki we

149

wszystkich punktach sa

r´o˙znowarto´sciowe, A ⊆ ψ(V ) = ˜

ψ( ˜

V ) jest zbiorem borelowskim, to

−1

(A)

det Dψ(q)

· Dψ(q)

−1

(A)

det D ˜

ψ(q)

· D ˜

ψ(q)

Dow´

od. Skorzystamy z tego, ˙ze przekszta lcenie ˜

−1

◦ ψ jest dyfeomorfizmem (poprzedni

lemat). Z twierdzenia o zamianie zmiennych wynika, ˙ze

we wzorach poni˙zej q = ˜

−1

◦ ψ

(x)

−1

(A)

det D ˜

ψ(q)

· D ˜

ψ(q)

(q) =

−1

(A)

det D ˜

ψ(q)

· D ˜

ψ(q)

det D( ˜

−1

◦ψ)(x)

(x) =

−1

(A)

det D ˜

ψ(q)

· D ˜

ψ(q)

· det D( ˜

−1

◦ ψ)(x)

(x) =

−1

(A)

det D( ˜

−1

◦ ψ)(x)

· det D ˜

ψ(q)

D ˜

ψ(q)

· det D( ˜

−1

◦ ψ)(x)d`

(x) =

−1

(A)

det

D( ˜

−1

◦ ψ)(x)

· D ˜

ψ(q)

· D ˜

ψ(q) · D( ˜

−1

◦ ψ)(x)

(x) =

−1

(A)

det

D ˜

ψ(q) · D( ˜

−1

◦ ψ)(x)

D ˜

ψ ◦ ˜

−1

◦ ψ

(x)

(x) =

−1

(A)

det

Dψ(x)

(x) .

W tym rozumowaniu korzystali´smy z tego, ˙ze wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest

iloczynem wyznacznik´ow macierzy oraz, ˙ze w mno˙zenie liczb jest przemienne (mno˙zenie macierzy

niestety przemienne nie jest).

Teraz mo˙zna ju˙z zdefiniowa´c miare

na rozmaito´sci M ⊆ IR

. Istnieje na ka˙zdej z nich atlas

z lo˙zony z nie wie

cej ni˙z przeliczalnej liczby map ϕ

, ϕ

, . . . . Za l´o˙zmy, ˙ze ich dziedzinami sa

zbiory U

, U

, . . . Je´sli A ⊆ M jest zbiorem borelowskim, to ka˙zdy ze zbior´ow V

:= A ∩ U

\ U

, V

:= A ∩ U

\ (U

∪ U

) , . . . jest borelowski, sa

one parami roz la

czne, wie

mo˙zna miare

okre´sli´c wzorem

(A) =

∞

n=1

) , gdzie `

) =

)

det Dϕ

−1

(x)

Dϕ

−1

(x)

(x) .

Wykazali´smy, ˙ze wynik nie zale˙zy od wyboru mapy. Jest jasne, ˙ze jest on r´ownie˙z niezale˙zny od spo-

sobu rozbicia zbioru A na roz la

czne podzbiory mieszcza

ce sie

w dziedzinach map z jednego atlasu (na

dziedzinie jednej mapy `

jest miara

, wie

c maja

c dwa rozbicia przeliczalne rozbicia {V

} i {W

}

zbioru A mo˙zemy rozwa˙zy´c rozbicie przeliczalne {V

∩ W

} zbioru A ). Miare

okre´slili´smy na zbio-

rach borelowskich. Mo˙zna ja

uzupe lni´c (np. korzystaja

c z twierdzenia Carat´eodory’go) do la

czaja

do σ –cia la podzbiory zbior´ow miary 0 . Mo˙zna te˙z od razu przyja

´c, ˙ze zbi´or A jest mierzalny wte-

dy i tylko wtedy, gdy zbi´or ϕ(A ∩ U ) jest mierzalny dla dowolnej mapy ϕ okre´slonej na zbiorze

U . Rozumowanie nie ulega zmianie, bo dyfeomorfizmy przekszta lcaja

zbiory mierzalne na zbiory

mierzalne.

Przyk lad (sfera)

Znajdziemy miare

sfery k –wymiarowej S

⊆ IR

k+1

. Miara zbiory sko´

nczonego jest oczywi´scie

150

r´owna 0 . Rzut stereograficzny przekszta lca sfere

bez jednego punktu na IR

. Wystarczy wie

c znale´z´c

ca lke

det Dψ(q)

· Dψ(q)

, gdzie ψ(x) =

1+kxk

kxk

−1

kxk

, x = (x

, x

, . . . , x

) ∈ IR

Zaczniemy od znalezienia Dψ(x) . Korzystaja

c ze standardowych praw r´o˙zniczkowania otrzymu-

jemy:

Dψ(x)h =

1+kxk

− 2x

2x·h

(1+kxk

)

−4x·h

(1+kxk

)

Mamy wie

Dψ(x)h

4khk

(1+kxk

)

−

16(x·h)

(1+kxk

)

16kxk

(x·h)

(1+kxk

)

16(x·h)

(1+kxk

)

4khk

(1+kxk

)

. Wykazali´smy

wie

c, ˙ze przekszta lcenie liniowe Dψ(x) przekszta lca wektor h na wektor o d lugo´sci

2khk

1+kxk

. Jest

wie

c podobie´

nstwem w skali

1+kxk

. Oznacza to, ˙ze kolumny macierzy dψ(x) sa

wzajemnie pro-

stopad lymi wektorami o d lugo´sci

1+kxk

, a sta

d wynika, ˙ze det Dψ(q)

· Dψ(q)

1+kxk

Miara sfery S

jest wie

c r´owna

1+kxk

. Dla obliczenia tej ca lki zastosujemy wsp´o lrze

dne

sferyczne (biegunowe). Przyjmujemy wie

c jak w cze

´sci dziewia

tej, gdy obliczali´smy miare

kuli k –wy-

miarowej, ˙ze

=% cos θ

cos θ

· . . . · cos θ

k−2

cos θ

k−1

=% cos θ

cos θ

· . . . · cos θ

k−2

sin θ

k−1

=% cos θ

cos θ

· . . . · sin θ

k−2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

k−2

=% cos θ

cos θ

sin θ

k−1

=% cos θ

sin θ

=% sin θ

Niech H = {(θ

, θ

, . . . , θ

k−2

, θ

k−1

|θ

| <

, |θ

| <

, . . . , |θ

k−2

| <

, |θ

k−1

| < π} . Z twierdzenia

o zamianie zmiennych wynika, ˙ze (nie przejmujemy sie

zbiorami miary 0 )

) =

1+kxk

(0,∞)×H

1+%

k−1

cos

k−2

cos

k−3

. . . cos θ

k−2

F ubini

=======

(0,∞)

1+%

k−1

d% ·

cos

k−2

cos

k−3

. . . cos θ

k−2

k−1

∞

1+%

k−1

d% · k`

(B(0, 1))

%=tg t

==========

d%=(1+tg

π/2

2 tg t

1+tg

k−1

dt · k`

(B(0, 1)) =

= 2

π/2

sin

k−1

2tdt · k`

(B(0, 1)) =

sin

k−1

τ dτ · k`

(B(0, 1)) =

(

k−2
k−1

k−4
k−3

· . . . ·

1
2

· π · k`

(B(0, 1)), je´sli k > 1 jest nieparzyste ;

k−2
k−1

k−4
k−3

· . . . ·

2
3

· 2 · k`

(B(0, 1)),

je´sli k > 2 jest parzyste.

Mo˙zemy wie

c napisa´c `

) =

Γ(

)

Γ(

k+1

)

√

π ·k ·`

(B(0, 1)) , przy czym ten ostatni wz´or zachodzi dla

k = 1, 2, . . . do sprawdzenia jego prawdziwo´sci zache

cam student´ow: przy okazji mo˙zna przypomnie´c

sobie czym jest jest funkcja Γ . Na wszelki wypadek : Γ(

1
2

) =

√

π , Γ(x + 1) = xΓ(x) dla x > 0 .

Otrzymali´smy wie

c wz´or ma miare

sfery wielowymiarowej o promieniu 1 . Jasne jest, ˙ze z tego

151

wzoru bez trudu mo˙zna otrzyma´c wz´or na miare

sfery k –wymiarowej o promieniu r > 0 .

Zadanko

Wykaza´c, ˙ze je´sli S

jest k –wymiarowa

sfera

o promieniu r , to

) = r

k Γ(

)

Γ(

k+1

)

√

π · k · `

(B(0, 1)) .

Zadanko

Wykaza´c, ˙ze liczba

)dr jest miara

k + 1 –wymiarowej kuli o promieniu R > 0 .

Drugie zadanie jest wa˙zne. Nale˙zy spr´obowa´c zrozumie´c dlaczego to twierdzenie jest prawdziwe.

Ono obejmuje wzory, kt´ore wszyscy ko´

ncza

cy licea znaja

, ale nieliczni je zauwa˙zaja

πr

= 2πr ,

4
3

πr

= 4πr

W zasadzie niewiele zosta lo tu do zrobienia, wystarczy sie

uwa˙znie przyjrze´c temu, co zrobili´smy.

W cze

´sci dziewia

tej zdefiniowali´smy ´srodek cie

˙zko´sci zbioru borelowskiego A ⊆ IR

. Poje

cie

to mo˙zemy teraz stosowa´c do rozmaito´sci. Mo˙zna te˙z wykaza´c twierdzenie Pappusa—Guldina dla

powierzchni obrotowych.

Twierdzenie Pappusa–Guldina

∗

Je´sli A ⊆ ˜

M ⊆ {x ∈ IR

= 0 < x

} jest zbiorem, kt´ory ma ´srodek cie

˙zko´sci wzgle

dem miary

, ˜

M jest rozmaito´scia

, B jest zbiorem, kt´ory powstaje w wyniku obrotu zbioru A o ka

t 2π

wok´o l prostej x

= x

= 0 , to `

(B) = 2πr`

(A) , gdzie r jest odleg lo´scia

´srodka cie

˙zko´sci zbioru

A od osi obrotu, M ⊆ IR

jest rozmaito´scia

powsta la

w wyniku obrotu rozmaito´sci ˜

M wok´o l prostej

= x

= 0 .

Dow´

od. Zaczniemy oczywi´scie od wykazania, ˙ze M jest rozmaito´scia

zak ladaja

c, ˙ze ˜

M jest

rozmaito´scia

jednowymiarowa

. Przypadek dwuwymiarowej rozmaito´sci ˜

M jest obje

ty poprzednia

wersja

tego twierdzenia, rozmaito´sci wymiaru 0 nie sa

przesadnie interesuja

ce: sa

to przestrze-

nie dyskretne. Niech ˜

U be

dzie dziedzina

mapy ˜

ϕ i niech ˜

ψ = ˜

−1

, ˜

V = ˜

ϕ( ˜

U ) . Niech ˜

ψ(x) =

(ψ

(x), 0, ψ

(x)) . Definiujemy ψ(x, t) = ψ

(x) cos t, ψ

(x) sin t, ψ

(x)

. Je´sli liczby t wybierane sa

z przedzia lu (α, β) o d lugo´sci mniejszej ni˙z 2π , to przekszta lcenie ψ jest cia

g le i r´o˙znowarto´sciowe.

R´o˙znowarto´sciowo´s´c wynika natychmiast z r´o˙znowarto´sciowo´sci ˜

ψ i r´o˙znowarto´sciowo´sci przekszta l-

cenia t −→ (cos t, sin t) na przedziale d lugo´sci < 2π . Przekszta lcenie ψ jest homeomorfizmem: je´sli

ψ(x

, t

) −−−−→

n→∞

ψ(y, s) , to ψ

) −−−−→

n→∞

ψ(y) i

) =

) cos t

+ ψ

) sin t

−−−−→

n→∞

(y) cos s

+ ψ

(y) sin s

= ψ(y) .

Sta

d i z cia

g lo´sci ϕ wynika, ˙ze x

−−−−→

n→∞

y . Co najmniej jedna z liczb | cos s| , | sin s| jest r´o˙zna

od 1 . Dla ustalenia uwagi niech −1 < cos s < 1 . Wtedy w pewnym otoczeniu liczby s funkcja cos

jest homeomorfizmem. Wobec tego z r´owno´sci lim

n→∞

cos t

= cos s wynika, ˙ze lim

n→∞

= s . Mamy

∗ Pappus (290–350), Guldin(1577–1643)

152

Dψ(x, t) =





(x) cos t

−ψ

(x) sin t

(x) cos t

(x)



.

Mamy wie

Dψ(x, t)

Dψ(x, t) =

(x)

+ ψ

(x)

Wobec tego det Dψ(x, t)

Dψ(x, t)

= ψ

(x)

+ ψ

(x)

> 0 , bo D ˜

ψ(x) jest r´o˙znowarto´s-

ciowe, zatem Dψ(x, t) r´ownie˙z jest r´o˙znowarto´sciowe (rza

d tego przekszta lcenia liniowego jest r´ow-

ny 2). Wskazali´smy wie

c atlas dla M . Mo˙zemy teraz znale´z´c miare

zbioru ψ(ϕ(A) × (0, 2π)) . Jest

ona na mocy definicji r´owna

ϕ(A)×(0,2π)

(x)

+ ψ

(x)

F ubini

======= 2π

ϕ(A)

(x)

+ ψ

(x)

(x) =

= 2π

(x) = 2π`

(A) ·

(A)

(x) .

Liczba

(A)

(x) to pierwsza wsp´o lrze

dna ´srodka cie

˙zko´sci zbioru A wzgle

dem miary `

zatem jest to odleg lo´s´c od prostej x

= 0 = x

, czyli od osi obrotu, jest wie

c r´owna r .

Wida´c wie

c, ˙ze jest to taki sam dow´od, jak poprzedniej wersji tego twierdzenia. Z tego twierdze-

nia latwo mo˙zna wyprowadzi´c wzory na pole powierzchni bocznej sto˙zka, lub og´olniej sto˙zka ´scie

tego

— wystarczy stwierdzi´c, ˙ze ´srodkiem cie

˙zko´sci odcinka jest jego ´srodek. Mo˙zna znale´z´c wz´or na pole

powierzchni torusa, je´sli tylko zdo lamy wykaza´c, ˙ze ´srodkiem cie

˙zko´sci okre

gu (nie ko la!) jest jego

´srodek. Wz´or jest u˙zyteczny i latwy w dowodzie. W zasadzie to szczeg´olny przypadek twierdzenia

Fubiniego.

Warto doda´c jeszcze, ˙ze je´sli f : M −→ [0, ∞] jest funkcja

mierzalna

a zbi´or A ⊆ M jest

zawarty w obrazie parametryzacji ψ: V −→ M ⊆ IR

, to

f d`

−1

(A)

f ◦ ψ

Dψ(x)

Dψ(x)d`

(x) .

Ten wz´or pozwala w wielu przypadkach na ca lkowanie funkcji okre´slonych na rozmaito´sciach. Oczy-

wi´scie funkcje

nieujemna mo˙zna zasta

pi´c funkcja

ca lkowalna

lub taka

, kt´ora ma ca lke

, niekoniecznie

sko´

nczona

153

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
am2cz17 frenet
am2cz10
am2cz13
am2cz11
am2cz16
am2cz15 kolnierzyki

więcej podobnych podstron