Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

1. Definicja prawdopodobieństwa (aksjomatyczna).
2. Własności dystrybuanty.

3. Sprawdzić, czy funkcja

)

2

1

)

(

(

1

)

(









x

arctg

x

F

może być dystrybuantą rozkładu

prawdopodobieństwa.

4. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.
5. Udowodnić, że

0

)

(





P

.

6. Udowodnić, że

)

(

1

)

(

A

P

A

P





7. Udowodnić, że dla dowolnych dwóch zdarzeń

)

(

)

(

)

(

)

(

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P











.

8. Udowodnić, że: jeśli

,

B

A



to

)

(

)

(

B

P

A

P



.

9. Sformułować i udowodnić twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym.
10. Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa.
11. Definicja zmiennej losowej .
12. Udowodnić, że

)

(

)

(

)

(

a

X

P

b

X

P

b

X

a

P













.

13. Rozkład Bernoulliego
14. Rozkład Poissona
15. Rozkład normalny
16.Napisać funkcję gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 5 i
odchyleniem standardowym 7.
17. Podać wartość oczekiwaną, wariancję, wartość modalną i medianę zmiennej losowej, której

funkcja gęstości wyraża się wzorem

8

2

5

2

2

1

)

x

(

e

)

x

(

f









18. Parametry zmiennych losowych (średnia, wariancja, odchylenie standardowe, mediana i
wartość modalna).
19. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe



, to

zmienna losowa







m

X

Y

ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

20. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 7 i odchylenie standardowe 2, to

zmienna losowa

2

7





X

Y

ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

21. Twierdzenie Poissona (dowód)
22. Zmienne losowe typu skokowego. Rozkład zmiennej losowej typu skokowego.
23. Zmienne losowe typu ciągłego. Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego.
24. Twierdzenie Linderberga-Levy’ego
25. Określenie populacji i próby
26. Definicja i własności estymatorów punktowych.
27. Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej.
28. Udowodnić, że średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

29. Udowodnić, że

n

)

x

(

D

2

2





30. Wyprowadzić wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie próby z populacji o

rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym.

1. Definicja prawdopodobieństwa (aksjomatyczna)

Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu A ⊂ Ω przyporządkowuje liczbę
P(A) tak, aby spełnione były warunki:

1. P(A) ≥ 0 dla każdego A∈K
2. P(Ω) = 1
3. Jeśli A ∩ B = ϕ, to P(A∪B) = P(A) + P(B)

zdarzenie elementarne - najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe, którego nie
da się rozłożyć na zdarzenia prostsze.
Ω - zbiór zdarzeń elementarnych
K – zbiór zdarzeń: σ- ciało na zbiorze Ω
σ- ciało - Przestrzeń mierzalna – zbiór z określoną rodziną jego do której należy zbiór
pusty oraz dopełnienia wszystkich jej elementów, a ponadto należy do niej suma dowolnej przeliczalnej
rodziny jej elementów.

2. Własności dystrybuanty

Dystrybuantą nazywany funkcję F która spełnia 3 warunki:

1. F jest funkcją niemalejącą
2. lim

x→−∞

F(x) = 0 lim

x→∞

F(x) = 1

3. F jest funkcją lewostronnie ciągłą (granica funkcji w punkcie = punktowi: lim

x→x

0

F(x) = F(x

0

) )

Dystrybuanta – w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja
rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa.

3. Sprawdzić, czy funkcja

)

2

1

)

(

(

1

)

(









x

arctg

x

F

może być dystrybuantą rozkładu

prawdopodobieństwa.

)

2

1

)

(

(

1

)

(









x

arctg

x

F

1

:

F’(x) =

1

π

∗

1

1+x

2

- dla każdego xϵR F’(x)>0, więc funkcja jest rosnąca.

2: lim

x→−∞

)

2

1

)

(

(

1







x

arctg

=

1

π

(−

π

2

+

π

2

) = 𝟎

(przy tym pytaniu trzeba wiedzieć skąd się wzięło

π

/2 i –

π

/2 w limesie)

lim

x→∞

)

2

1

)

(

(

1







x

arctg

=

1

π

(

π

2

+

π

2

) = 𝟏

3: z analizy funkcja arctg jest ciągła, więc jest też lewostronnie ciągła

4. Definicja prawdopodobieństwa warunkowego.

Jeśli P(B)>0, to P(A/B) =

P(A∩B)

P(B)

1. P(A ∩ B) ≥ 0, P(B) > 0 → P(A B

⁄ ) ≥ 0

2. P(Ω B

⁄ ) =

P(Ω∩B)

P(B)

=

P(B)
P(B)

= 1

3. A

1

,A

2

,… A

i

∩A

j

= ∅

i ≠ j

P((A

1

, A

2

, … ) B

⁄ ) =

P((A

1

∪ A

2

∪ … ) ∩ B)

P(B)

=

P(A

1

∩ B) ∪ P(A

2

∩ B) ∪ …

P(B)

=

P(A

1

∩ B)

P(B)

+

P(A

2

∩ B)

P(B)

+ ⋯ = P(A

1

B

⁄ ) + P(A

2

B

⁄ ) + ⋯

Jeżeli P(A/B) = P(A) to o zdarzeniach A i B mówimy, że są niezależne.

5. Udowodnić, że P(ϕ) = 0.

P(ϕ) = 0

ϕ = ϕ ∪ ϕ ∪ ϕ ∪ ϕ ∪ ϕ ∪ …

P(ϕ) = P(ϕ ∪ ϕ ∪ … ) , ponieważ zdarzenia niemożliwe ϕ są rozłączne (wzajemnie się wykluczają):

P(ϕ) = P(ϕ) + P(ϕ) + P(ϕ) + ⋯

P(ϕ) = 0

6.Udowodnić, że

)

(

1

)

(

A

P

A

P





)

(

1

)

(

A

P

A

P





A ∪ A

̅ = Ω

P(A ∪ A

̅ ) = Ω A ∩ A̅ = ∅

P(A

̅ ) + P(A) = 1

)

(

1

)

(

A

P

A

P





c.n.d.

7.Udowodnić, że dla dowolnych dwóch zdarzeń

)

(

)

(

)

(

)

(

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P











P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
A ∪ B = B ∪ (A − B) = B ∪ (A ∩ B

′

)

A = (A ∩ B) ∪ (A − B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B

′

)

P(A ∪ B) = P(B ∪ (A ∩ B

′

))

P(A) = P((A ∩ B) ∪ (A ∩ B

′

))

B i A∩B’ oraz (A ∩ B) i (A ∩ B

′

) wzajemnie się wykluczają, więc:

P(A ∪ B) = P(B) + P(A ∩ B

′

)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B

′

)

P(A ∩ B

′

) = P(A) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) c.n.d.

8.Udowodnić, że: jeśli

,

B

A



to

)

(

)

(

B

P

A

P



Tw.

B

A



→

)

(

)

(

B

P

A

P



B = A ∪ (B − A) = A ∪ (B ∪ A

′

)

P(B) = P(A ∪ (B ∩ A

′

)) = P(A) + P(B ∩ A

′

) ≥ P(A) c.n.d.

9.Sformułować i udowodnić twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym

Tw. Jeśli zdarzenia A

1

, A

2

,… tworzą układ zupełny zdarzeń, oraz P(Ai)>0 (i=1,2,3…),

to dla dowolnego zdarzenia B zachodzi równość:
P(B) = P(A

1

)P(B A

1

⁄ ) + P(A

2

)P(B A

2

⁄ ) + ⋯

Wyjaśnienie – tworzą układ zupełny zdarzeń, tzn.
A

1

∪ A

2

∪ A

3

∪ … = Ω A

i

∩ A

j

= ∅ dla i ≠ j

Dowód:
A

1

, A

2,

A

3

– układ zupełny zdarzeń, P(Ai)>0

P(B) = P(B ∩ Ω) = P(B) ∩ (A

1

∪ A

2

∪ A

3

∪ … ) = P((B ∩ A

1

) ∪ (B ∩ A

2

) ∪ (B ∩ A

3

))

= P(B ∩ A

1

) + P(B ∩ A

2

) + ⋯ = P(A

1

)P(B A

1

⁄ ) + P(A

1

)P(B A

1

⁄ ) + ⋯

Ostatnie przejście na mocy definicji prawdopodobieństwa warunkowego:

P(A/B) =

P(A∩B)

P(B)

, więc P(A ∩ B) = P(B)P(A B

⁄ )

10. Sformułować i udowodnić twierdzenie Bayesa

Jeśli zdarzenia A

1

, A

2

, A

3

… tworzą układ zupełny zdarzeń (A

1

∪ A

2

∪ A

3

∪ … = Ω ; A

i

∩ A

j

= ∅ dla i ≠ j)

oraz P(A

i

)>0 (i=1,2,3…), i mamy zdarzenie B, takie że P(B)>0, to dla każdego zdarzenia A

j

(j=1,2,3…)

zachodzi równość zwana wzorem Bayesa:

P(A

j

B

⁄ ) =

P(A

j

)P(B A

j

⁄ )

P(B)

Dowód:
P(B ∩ A

j

) = P(A

j

) P(B /A

j

) z tw. o prawdopodobieństwie warunkowym

P(B ∩ A

j

) = P(B) P(A

j

/ B)

P(A

j

) P(B /A

j

) = P(B) P(A

j

/ B)

P(A

j

/ B) =

P(A

j

)P(B A

j

⁄ )

P(B)

c.n.d.

11.Definicja zmiennej losowej

Niech (Ω, K, P) będzie przestrzenia probabilistyczną.

Zmienną losową nazywamy każda funkcje

ξ

określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych, przyjmująca

wartości rzeczywiste, taka, ze dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych ω
spełniających warunek ξ (ω) < x jest zdarzeniem losowym, tzn. należy do rodziny K.

Tzn.

ξ: Ω → ℝ

nazywamy zmienną losowa, jeżeli:

⋀{ω ∈ Ω: ξ(ω) < x} ∈ K

x∈R

K – zbiór zdarzeń: σ- ciało na zbiorze Ω
σ- ciało - Przestrzeń mierzalna – zbiór z określoną rodziną jego do której należy zbiór
pusty oraz dopełnienia wszystkich jej elementów, a ponadto należy do niej suma dowolnej przeliczalnej
rodziny jej elementów.


12.Udowodnić, że

)

(

)

(

)

(

a

X

P

b

X

P

b

X

a

P













Przyjmijmy, że A: X<a B: a ≤ X < b C: X<b

(A∪B) = C
P(A∪B) = P(C)
A∩B = ∅, więc P(A) + P(B) = P(C)
P(B) = P(C) - P(A) c.n.d.

13.Rozkład Bernoulliego

Rozkład Bernoulliego (dwumianowy) to dyskretny (ze zbioru przeliczalnego) rozkład prawdopodobieństwa
opisujący liczbę sukcesów k w ciągu n niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo
sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

ξ

k=0,1,2,3,…,n

Jeżeli:

P(ξ = k) = (

n
k

) p

k

(1 − p)

n−k

To mówimy, że zmienna losowa ξ ma rozkład Bernoulliego.
m=n*p σ

2

=np-(1-p)

14.Rozkład Poissona

Rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa, wyrażającym prawdopodobieństwo
szeregu wydarzeń mających miejsce w określonym czasie, gdy te wydarzenia występują ze znaną średnią
częstotliwością i w sposób niezależny od czasu jaki upłynął od ostatniego zajścia takiego zdarzenia.

Zmienna losowa ma rozkład Poissona jeśli zmienna ξ przyjmuje wartości k=0,1,2,3,... i ich
prawdopodobieństwo wynosi

P(ξ = k) =

λ

k

k!

e

−λ

m=

λ

λ ≡ const. > 0; λ – oczekiwana liczba zdarzeń w danym przedziale czasu;
15.Rozkład normalny

O zmiennej losowej ciągłej powiemy, że posiada rozkład normalny, jeżeli funkcja gęstości f(x) tego
rozkładu ma postać:

f(x) =

1

σ√2π

e

−(x−m)

2

2σ

2

Fakt, że zmienna losowa ξ ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną m i wariancją σ

2

zapisuje się

często ξ ~ N(m, σ).
Jeśli m = 0 i σ = 1, to rozkład ten nazywa się standardowym rozkładem normalnym.
Dystrybuanta:

F(x) =

1

σ√2π

∫ e

−(x−m)

2

2σ

2

x

−∞

16.Napisać funkcję gęstości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwaną 5 i
odchyleniem standardowym 7

N(5,7) -> m=5, σ = 7

f(x) =

1

σ√2π

e

−(x−m)

2

2σ

2

f(x) =

1

7√2π

e

−(x−5)2

2∗72

=

1

7√2π

e

−(x−5)2

98

17.Podać wartość oczekiwaną, wariancję, wartość modalną i medianę zmiennej losowej, której funkcja

gęstości wyraża się wzorem

8

2

5

2

2

1

)

x

(

e

)

x

(

f









m=5, σ = 2 -> N(5,2)
Wartość oczekiwana: 5
Mediana: 5
Wartość modalna: 5
Wariancja: 2

2

=4

18.Parametry zmiennych losowych (średnia, wariancja, odch. standardowe, mediana i wartość
modalna)

Wariancja: Niech (Ω, K, P) będzie przestrzenią probabilistyczną, zaś

- zmienną losową,

posiadającą skończoną wartość oczekiwaną m = E(X). Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę:

Mediana: P(ξ ≤ x) ≤

1
2

< P(ξ ≥ x)

Dla zmiennej typu ciągłego:

Średnia (wartość oczekiwana)

m = ∫ xf(x)dx

∞

−∞

Wariancja

σ

2

= ∫(x − m)

2

f(x)dx

∞

−∞

Odchylenie standardowe

σ = √ ∫(x − m)

2

f(x)dx

∞

−∞

Mediana
Funkcja gęstości przyjmuje wartość

1
2

Wartość modalna
Max dla funkcji gęstości.

Dla zmiennej losowej typu skokowego

Średnia (wartość oczekiwana)
m = ∑ x

i

p

i

i

Wariancja
σ

2

= ∑(x − m)

2

p

i

i

Odchylenie standardowe

σ = √∑(x − m)

2

p

i

i

Mediana
Środkowy element, w posortowanym ciągu x.

Wartość modalna
Taki x, dla którego prawdopodobieństwo p jest największe.

19.Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną m i odchylenie standardowe



, to

zmienna losowa







m

X

Y

ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

Y =

X−m

σ

E(x)=m D

2

(x)=

σ

2

E(Y) = E (

X−m

σ

) =

1

σ

E(X − m) =

1

σ

(E(x) − m) =

1

σ

(m − m) = 0

D

2

(Y) = D

2

(

X−m

σ

) =

1

σ

2

D

2

(X − m) =

1

σ

2

D

2

(X) =

1

σ

2

σ

2

= 1

20.Udowodnić, że jeśli zmienna losowa X ma wartość oczekiwaną 7 i odchylenie standardowe 2, to

zmienna losowa

2

7





X

Y

ma wartość oczekiwaną zero i odchylenie standardowe 1.

Y =

X−7

2

E(x)=7 D

2

(x)=

4

E(Y) = E (

X−7

2

) =

1
2

E(X − 7) =

1
2

(E(x) − 7) =

1
2

(7 − 7) = 0

D

2

(Y) = D

2

(

X−7

2

) =

1

2

2

D

2

(X − 7) =

1

2

2

D

2

(X) =

1
4

∗ 4 = 1

21. Twierdzenie Poissona (dowód)

Niech zmienna losowa X

n

ma rozkład Bernoulliego określony wzorem:

P(X

n

= k) = (

n
k

)p

n

k

(1 − p

n

)

n−k

k=0,1,2,3,…,n

p

n

- prawdopodobieństwo sukcesu dla określonej zmiennej losowej X

n

Jeśli prawdopodobieństwo p

n

maleje do 0 w ten sposób, że poczynając od pewnego n

0

:

⋀

np

n

= σ

n>n

0

,

gdzie σ ≡ const. > 0, to:

lim

n→∞

P(X

n

= k) =

σ

k

k!

e

−σ

Jeśli wykonujemy dużą liczbę doświadczeń zgodnych ze schematem Bernoulliego, a prawdopodobieństwo
sukcesu jest bliskie 0, to zamiast liczyć z rozkładu Bernoulliego liczymy z rozkładu Poissona.

Dowód: niech λ = np

n

lim

n→∞

P(X

n

= k) = lim

n→∞

(

n
k

)p

n

k

(1 − p

n

)

n−k

) = lim

n→∞

n!

k!(n−k)!

p

n

k 1−p

n

n

1−p

n

k

=

1

k!

lim

n→∞

(n − k + 1)(n − k +

2) ∗ … ∗ (n − 1) ∗ n ∗

λ

k

n

k

∗

(1−

λ
n

)

n

(1−

λ
n

)

k

=

λ

k

k!

lim

n→∞

(

n−k+1

n

) ∗ (

n−k+2

n

) ∗ … ∗ (

n−1

n

) ∗

n
n

∗

(1−

λ
n

)

n

(1−

λ
n

)

k

=

λ

k

k!

lim

n→∞

(1 −

k−1

n

)(1 −

k−2

n

) … (1 −

1
n

) ∗

[(1+

1

−n

λ

)

−n

λ

]

−λ

(1−

λ
n

)

k

=

λ

k

k!

e

−λ

c.n.d.

22. Zmienne losowe typu skokowego. Rozkład zmiennej losowej typu skokowego.

Skokowy (dyskretny) rozkład prawdopodobieństwa to w probabilistyce rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej dający się opisać przez podanie wszystkich przyjmowanych przez nią wartości, wraz z
prawdopodobieństwem przyjęcia każdej z nich. Przykład: rzut monetą lub rzut kostką.
+ wzory ze pkt 18

Zmienne losowe typu skokowego , np.: rzut kostką, zbiór wartości jest przeliczalny. Oznaczenie
prawdopodobieństwa to określenie prawdopodobieństw dla każdego ze zdarzeń.

23.Zmienne losowe typu ciągłego. Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego.

Ciągły rozkład prawdopodobieństwa - rozkład prawdopodobieństwa dla którego dystrybuanta jest funkcją
ciągłą. Przykład: rozkład normalny.
+ wzory ze pkt 18

Zmienne losowe typu ciągłego, (zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych). Są one
charakteryzowane przez funkcję gęstości .

24.Twierdzenie Linderberga-Levy’ego

Jeżeli X

n

jest ciągiem losowym niezależnych zmiennych o jednakowych rozkładach mających wartość

oczekiwaną m i wariancję σ

2

> 0, to ciąg losowy {U

n

}: U

n

=

1

σ√n

(∑

X

k

− nm)

n

k=0

jest zbieżny według

dystrybuant do zmiennej losowej o rozkładzie N(0,1). Czyli dla każdego U zachodzi relacja:

lim

n→∞

F

n

(U) =

1

√2π

∫ e

−

x

2

2

dx

U

−∞

= Φ(U)

E (∑ X

k

n

k=0

) = ∑ E(X

k

) =

n

k=0

∑ m =

n

k=0

nm

D

2

(∑ X

k

n

k=0

) = ∑ D

2

(X

k

) =

n

k=0

∑ σ

2

=

n

k=0

nσ

2

U

n

=

∑

x

k

− mn

n

k=0

σ√n

25.Określenie populacji i próby

Populacja - zbiór elementów podlegających badaniu statystycznemu.

Próbą jest część populacji spełniająca następujące warunki: musi być reprezentatywna i losowa .
Struktura próby musi być taka jak struktura badanej populacji.

26.Definicja i własności estymatorów punktowych.

Estymator – statystyka z próby obliczona celem uzyskania informacji o parametrach populacji generalnej.

Q – parametr populacji generalnej

Q

n

– jego estymator obliczony z próby n-elementowej

Q

n

= f(x

1

,x

2

,…) jest zmienną losową, Q NIE.

Inaczej: Wzory podające oszacowania (oceny) parametrów rozkładów teoretycznych (x,𝜎

2

, 𝜎 i innych)

nazywamy estymatorami.

Własności estymatorów:

Nieobciążoność – wartość średnia estymatora jest równa wartości parametru populacyjnego.
Zgodność – wraz ze wzrostem liczebności próby wartość estymatora zbliża się do parametru
Efektywność – miarą efektywności estymatora jest rozrzut otrzymywanych wartości, czyli wariancja;
najefektywniejszy estymator ma najmniejszą wariancję.
Dostateczność – estymator jest dostateczny, jeśli wykorzystuje całą informację o parametrze, jaka
zawarta jest w próbie.

parametr

estymator

średnia

m

𝑥̅

wariancja

σ

2

s

2

odchylenie standardowe

σ

s

modalna

m

o

𝑚𝑜

̂

mediana

m

e

𝑚𝑒

̂

27.Wyprowadzić wzór na estymator wartości oczekiwanej.

x

i

= m + ε

i

ε

i

− błąd losowy

∑

ε

i

2

→ min

n

i=1

– metoda najmniejszych kwadratów

Q(m) = ∑(x

i

− m)

2

n

i=1

→ min

Q

′

(m) = 2 ∑(x

i

− m) ∗ (−1) =

n

i=1

− 2 ∑(x

i

− m) = 0 | ∶ −2

n

i=1

∑(x

i

− m) = 0

n

i=1

∑(x

i

) −

n

i=1

∑(m) = 0

n

i=1

∑ (x

i

) − n ∗ m = 0

n

i=1

m =

1
n

∑ x

i

n

i=1

x̅ =

1
n

∑ x

i

n

i=1

28.Udowodnić, że średnia arytmetyczna jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej.

E(x̅) = E (

1
n

∑

x

i

n

i=1

) =

1
n

E(∑

x

i

n

i=1

) =

1
n

∑

E(x

i

)

n

i=1

=

1
n

∑

m =

n

i=1

1
n

nm = m

c.n.d.

29.Udowodnić, że

n

)

x

(

D

2

2





D

2

(x

i

) = σ

2

D

2

(x̅) = D

2

(

1
n

∑

x

i

n

i=1

) =

1

n

2

D

2

(∑

x

i

n

i=1

) =

1

n

2

∑

D

2

(x

i

)

n

i=1

=

1

n

2

∑

σ

2

=

n

i=1

1

n

2

nσ

2

=

σ

2

n

c.n.d.

30.Wyprowadzić wzór na przedział ufności dla wartości oczekiwanej na podstawie próby z populacji o
rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym.