Czy e(1,-1,2),e(0,1,-1),e(1,-1,1) tworzą bazę w R³. Podać współrzędne  (1,-2,3) w tej bazie. a) sprawdzamy czy sa liniowo niezależne: (0,0,0)=λ₁(e₁)+ λ₂(e₂)+ λ₃(e₃)=0 => λ₁, λ_2, λ₃ Stąd wynika, że e₁ , e_{2 ,} e₃ sa liniowo niezależne. b) czy e₁ ,e_{2 ,} e₃ generują przestrzeń. Ustalmy dowolny wektor x=(x_1, x₂ x₃)∈ R³ (x₁ , x_{2 ,} x_{3 )} =λ₁(x₁)+ λ₂(x₂)+ λ₃(x₃) -> liczę układ równań i wyliczam λ, Ze względu na dowolność wektora x i λ wnioskujemy ze wektory e…generują bazę przestrzeni R³ czego dowodzą kroki 1 i 2 (a i b). c) współ. wek(a,b,c) w nowej bazie: x₁+x₂..=a; x₁-x₂=b i liczę λ. || (a,b,c) _Bk =(q,w,e) _BN -odwz w bn- można z pkt 2.

Podać bazę wek. wl. odwzor. f:R²R² danego wzoru: f(x,y)=(0,1x+0,8y;0,9x-0,2y) f*10 -> f(x,y)=(1x+8y;9x-2y) A=[macierz np 3x3] det=(A-λI) A=det [macierz 3x3] i odejmujemy λ (tj -1) i wyznaczamy λ. Później robimy np. 1⁰ λ=1 i robimy macierz [9 8][x]=[0] i dół. [1 0 t]*[x/y]=[0] parametr np. x=t ,t∈R i obliczam x, y, z (pion) = [parametr] = t(liczby), t∈R\{0} a później to samo dla innych kroków a na koniec piszemy V1( ) V2( ) V3( ) - to jest ta postać. Macierz A' [po przekątnej piszemy te λ (obliczone) a reszta to zera].

Zbadać określoność formy kwadratowej ∅(x,y,z=x²+y²+z²+3z+2xy-2xz-4yz Czy może przyjąć wartości ujemne. 1. macierz. (ale (x,y,z) do kwadratu!) 2. det(lew.gor.rog)=p Det(kwa od lew.gor.rogu)=p | q; det(else)=r.3.pqr+ ->+// jak - ujemneJakRożneTo nieokre

Dana jest baza(1,2)(2,3) przestrzeni R².Odwzorowanie liniowe R² ->R² jest dane w tej bazie poprzez macierz A=[2/3;1/2]. Oblicz f(2,1)

A'=P^-1AP BN=[1/0;0/1] | P=Bs^-1 | A'_* [2,1]

f:R²->R² jest dane w bazie: e1=(5,1) e2=(5,1) przez macierz A: [ ] Znaleźć macierz odwrotna w bazie e'1,e'2 P=Bs^-1*BN A'= P^-1*A*P x^-1 = 1/(ad-bc)[d -b / -c a]

Podać bazę wek. wl. odwzor. f:R²R² danego wzoru: f(x,y)=(0,1x+0,8y;0,9x-0,2y) f*10 -> f(x,y)=(1x+8y;9x-2y) A=[macierz np 3x3] det=(A-λI) A=det [macierz 3x3] i odejmujemy λ (tj -1) i wyznaczamy λ. Później robimy np. 1⁰ λ=1 i robimy macierz [9 8][x]=[0] i dół. [1 0 t]*[x/y]=[0] parametr np. x=t ,t∈R i obliczam x, y, z (pion) = [parametr] = t(liczby), t∈R\{0} a później to samo dla innych kroków a na koniec piszemy V1( ) V2( ) V3( ) - to jest ta postać. Macierz A' [po przekątnej piszemy te λ (obliczone) a reszta to zera].

Podać bazę wek. wl. odwzor. f:R²R² danego wzoru: f(x,y)=(0,1x+0,8y;0,9x-0,2y) f*10 -> f(x,y)=(1x+8y;9x-2y) A=[macierz np 3x3] det=(A-λI) A=det [macierz 3x3] i odejmujemy λ (tj -1) i wyznaczamy λ. Później robimy np. 1⁰ λ=1 i robimy macierz [9 8][x]=[0] i dół. [1 0 t]*[x/y]=[0] parametr np. x=t ,t∈R i obliczam x, y, z (pion) = [parametr] = t(liczby), t∈R\{0} a później to samo dla innych kroków a na koniec piszemy V1( ) V2( ) V3( ) - to jest ta postać. Macierz A' [po przekątnej piszemy te λ (obliczone) a reszta to zera].

V={(x₁, x₂ x₃ x₄ )∈ R⁴ : x₄ -3x₁=0, x₁-5x₃-x₄=0} Wykażemy ze A jest podprzestrznia liniawa przestrzeni R⁴ a) Załóżmy że a=(x₁, x₂ x₃ x₄ )∈A oraz a'=(x'₁, x'₂ x'₃ x'₄) stąd:

{ x₄ -3x₁=0 {x₁-5x₃-x₄=0 || (x₄ - x'₄ )-3(x₁ - x'₁ )=0

{ x'₄ -3x'₁=0 { x'₁-5'x₃-x'₄=0 ||stad (x₁ +x'₁, x₂+x'₂ ;x₃+x'₃ ;x₄+x'₄ )=a+a'∈A

b) załóżmy ze a=(x₁, x₂ x₃ x₄ )∈A oraz λ∈R, stad: //równania mnożymy przez λ // a to => (λx₁, λx₂ λx₃ λx ₄ = λa∈A, Ze względu na dowolność a i a' i λ wnioskujemy ze jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R⁴ * Wyznaczamy bazę przestrzeni A

[wzory |0] || równan z param i wyznaczamy (x₁, x₂ x₃ x₄ )-pion=[t,s,-3/5t,3t] ^T = to samo w

[wzory |0] || pionie i wylicz t( ) i s( ) t,s∈R A={t(1)+s(2):t,s∈R} stad A=lin{ (1),(2) } lin{e_1,e₂}

**sprawdzamy czy wektor e1,e2 sa liniowo niezależne Załóżmy ze λ1*e1+λ2*e2=0=>(pion z `λ') =(pion:zera)=> wyznaczamy λ1, λ2 itd. Wykazaliśmy że (λ1*e1+λ2*e2=0 => λ1=λ2=0 .Krok 1 i 2 dowodzą ze wektory (pion)(pion) stanowią bazę podprzestrzeni A.

R²: B1={(-1,2),(1,1)} B2={(3,1),(1,-2)} x∈ R² ma współrzędne (4,1) w B1 (x=(-1,3)B1). Oblicz wektor w B2 a) ukl. r-n. b) p->B1=>2 c) odwr a) (4,1)=λ1(wek1)+λ2(wek2). i pozniej 4=3λ1+λ2 drogi i spinam klamra. Licze x i y -> i to jest ten nowy wektor
b) licze P=B1^-1*B2 ; P^-1 i mnożę razy wektor z B1 (-1,3) i mam wektor w B2

c) licze P=B2^-1*B1 ; P i mnożę razy wektor z B1 (-1,3) i mam wektor w B2

Zbadać określoność formy kwadratowej ∅(x,y,z=x²+y²+z²+3z+2xy-2xz-4yz Czy może przyjąć wartości ujemne. 1. macierz. (ale (x,y,z) do kwadratu!) 2. det(lew.gor.rog)=p Det(kwa od lew.gor.rogu)=p |q; det(else)=r.3.pqr+ ->+// jak - ujemne Jak rożne to nieokre

Odwzor. R² ->R² ma wekt wl (2,1)(1,-2) oraz odpow. im wartości wlasne 2 i -3. Oblicz f(1,0)

[ab] [2] = 2 (2) | na dole [ab] [1] = -3 (1) | robie ukl rownan i wyliczam

[cd] * [1] = (1) | [cd] * [-2] = (-2) | a,b,c,d, pisze maciez i Transp. i mam A'. [a-to x ; c-to y]

[b-to x ; d-to y] f(x,y)=(ax+cy;bx=dy) a za x,y pods (1,0) czyli f(x,y)

Podać bazę wek. wl. odwzor. f:R²R² danego wzoru: f(x,y)=(0,1x+0,8y;0,9x-0,2y) f*10 -> f(x,y)=(1x+8y;9x-2y) A=[macierz np 3x3] det=(A-λI) A=det [macierz 3x3] i odejmujemy λ (tj -1) i wyznaczamy λ. Później robimy np. 1⁰ λ=1 i robimy macierz [9 8][x]=[0] i dół. [1 0 t]*[x/y]=[0] parametr np. x=t ,t∈R i obliczam x, y, z (pion) = [parametr] = t(liczby), t∈R\{0} a później to samo dla innych kroków a na koniec piszemy V1( ) V2( ) V3( ) - to jest ta postać. Macierz A' [po przekątnej piszemy te λ (obliczone) a reszta to zera].

| sin od 0 | 0 | ½ | p2/2 | p3/2 | 1 | r=sqrt(a^2+b^2) cosΦ=a/r sinΦ=b/r

|cos od 1 | 1 | p3/2 | p2/2 | 1/2 | 0 | s|+++----+ (90-+)~360

|__________|_ Π/6_|_Π/4__| Π/3 __| Π/2| c|+----+++

Dane jest odwzor liniowe f:R⁴->R³ wzorem f(x,y,z,t)=(x+y-z+t, x-y+z+t,x-+t) Podac bazy jadra i obrazu f. 1. f: przepisuje. 2.f:v->w f liniowa -> dim(ker f)+dim(im f)=dimV wyznaczmy kerf kerf={(xyzt)∈ R⁴ : f(xyzt)=(000)}!!!3 zera!! ={(xyzt)∈ R⁴ : x+y-z+t=0, x-y+z+t=0, x+t=0} - z tego robie macierz i parametr(pion:xyzt) -> (λλλλ)=λ₁(1001)+λ₂(1020)- i podpisuje je jako e1, e2 λ1,λ2∈R stąd wektory e1, e2 generują kref // Spr czy e1,e2 sa liniow niezale; z (xyzt) mam {pion:-b=0/a=0/a=0/b=0 => a=0/b=0 stąd e1,e2 sa linio niezale.

Wykazaismy ze e1,e2 generuja kerf oraz ze e1,e2 sa liniowo niezalezne wiec stwierdzam ze tworza kerf=2 /// Wyznaczmy imf: imf={(xyzt)^T∈R⁴: (xyzt)∈R⁴}= `'z gl. wzoru-liniowo” ={(x/x/x)(y/-y/0)(-z/z/0)(t/t/t):(xyzt∈R}={x(1/1/1)+y(1/-1/0)+z(-1/1/0)+t(1/1/1)=(xyzt)∈R⁴}

pisze macierz z tego wyzej ale zmieniam pion na poziom (dol w prwao). i przep wekt z param stad imf={λ1(1/1/1)+λ2(-1/1/0);λ1,λ2λ∈R} `'podpisuje wekroty” stad wetory b… generuja imf. Sprawdzmy czy b1, b2 sa liniow niezależ {c-d=0 / c+d=0 / c=0 => c=d=0 stad b1, b2 sa liniowo niezależne c,d∈R c,d biore z ww wektorow. /// Wykazaliśmy ze b1, b2 generuja imf oraz b1,b2 sa liniowo niezależne wiec stwierdzamy ze b1,b2 tworza baze imf.

dim(kerf)+dim(imf)=dim R⁴ odp. Baze kerf stanowi (0/1/1/0)(-1/0/0/1) a baze imf

2 2 4 stanowi (1/1/1)(-1/1/0)

Dla jakich wart. param. a∈R wekt(a,1)∈R² jest kombin. liniowa wekt (2,a²) (1,2). Kiedy kombinacja taka jest jednoznaczna.

λ₁(pion: 2/a²)+λ₂(pion: ½)=(pion: a/1) ->ukl. rownan 2λ₁+λ₂=a i ten drugi

Robie z tego macierz A i licze wyznacznik W(A), i wyznaczam `a' z det'a

Licze W(x)=costam -> x=W(A)/W(x) - to jest λ¹, i tak dla y-to λ₂…

1⁰ licze dla tego co mam z W(A), 2⁰ to samo dla drugiej liczby.

Dla a=t i a=s brak rozwiązan. Istnieje jedno rozwiązanie dla R\{to z w(a)} Rowne x=… y=…

---