Wprowadzenie do opis u, analizy i sy mulacji dynamik i obiektów Wprowadze nie do opis u, analizy i symulacji dynamiki obiek tów
Warunki początkowe dla równania ró\
niczkowego na schemacie mo\
na ustalić za pomocą
4. Symulacyjne rozwiązywanie równań ró\
niczkowych parametrów  Initial condition w blokach całkujących  w przypadku Rys. II-7 będą to
&
wartości x(0) i x(0) . Domyślnie parametr w blokach całkujących ma wartość zero. Jeśli
4.1. Wprowadzenie
&& &
symulacja ma być uruchomiona od stanu równowagi, czyli dla warunków x(0) = x(0) = 0 , to
Badanie dynamiki obiektów opisanych prostymi, liniowymi równaniami ró\
niczkowymi
&
schemacie nale\
y pozostawić domyślną wartość x(0) = 0 , a wartość x(0) nale\
y wyznaczyć
lub układami takich równań mo\
na przeprowadzić rozwiązując analitycznie równanie
ze statycznej postaci równania (II-9). Tak więc zmienna x0 występująca jako warunek
A: I.1.2
ró\
niczkowe, na przykład metodą klasyczną ( ). Nie zawsze jednak potrzebny jest dokładny
początkowy w bloku całkującym nale\
y obliczyć ze wzoru x0=u0/c, który najlepiej umieścić
wzór rozwiązywania. A przede wszystkim nie zawsze jest mo\
liwie uzyskanie tego wzoru,
w skrypcie.
czyli rozwiązanie równania ró\
niczkowego, zwłaszcza gdy jest ono nieliniowe. Równania
Zaleca siÄ™ \
eby nazwy plików skryptów i schematów były ró\
ne (niezale\
nie od ró\
nicy
ró\
niczkowe liniowe/nieliniowe mo\
na rozwiązywać symulacyjnie za pomocą algorytmów
rozszerzeń), poniewa\
programy symulacyjne mają określoną kolejność interpretacji nazw
1
całkowania numerycznego , które pozwalają obliczyć reakcję obiektu na zadane
(komenda/funkcja programu, zmienna, schemat, skrypt) i realizujÄ… pierwszÄ… wyszukanÄ…
wymuszenie. Typowym elementem badania dynamiki obiektów jest obserwacja odpowiedzi
mo\
liwość. Uruchomienie symulacji zaczyna się od wykonania skryptu za pomocą komend
skokowej, czyli reakcji układu na skokową zmianę wartości zmiennej wejściowej.
dostępnych w menu edytora lub przez wywołanie nazwy pliku w oknie Matlaba (Scilaba).
Tak\
e w oknie edytora graficznego dostępne są komendy do określenia parametrów
4.2. Przykład  konstrukcja schematu symulacyjnego
algorytmu obliczeniowego i uruchomienia symulacji dla danego schematu.
Do symulacyjnego rozwiązania równania ró\
niczkowego (układu równań) mo\
na
wykorzystać mo\
liwość graficznego sposobu definiowania badanych modeli dostępnego w
4.3. Zadania  badanie układu 1.rzędu
programie Matlab z dodatkiem Simulink lub Scilab z wbudowanym edytorem graficznym
Celem badań jest uzyskanie rozwiązania równania ró\
niczkowego metodÄ… symulacyjnÄ… i
Xcos. W tym celu nale\
y przekształcić równanie (układ równań), tak aby po lewej stronie
porównanie z rozwiązaniem analitycznym. Badaniom zostanie podane równanie liniowe
została najwy\
sza pochodna zmiennej wyjściowej, na przykład:
równanie ró\
niczkowe 1.rzędu:
1
&& & .
ax(t) + bx(t) + cx(t) = u(t) && & - cx(t) + u(t)) (II-9)
x(t) = (- bx(t)
&
a1x(t) + a0 x(t) = bu(t) (II-10)
a
Przykładem obiektu opisanego tego typu równaniem jest obwód elektryczny z cewką i M: I.2.4.2
Rysowanie schematu (Rys. II-7) rozpoczyna się od łańcucha bloków całkujących (Integrator) 
rezystancjÄ… (np. Rys. I-15) lub sprÄ™\
yna połączona z tłumikiem (np. Rys. I-13), a tak\
e M: I.2.3.2
na wyjściu ostatniego będzie x , czyli szukane rozwiązanie, a na wejściu pierwszego - sygnał
pojedynczy magazyn ciepła (np. Rys. I-11) czy pojedynczy zlinearyzowany zbiornik cieczy z
M: I.2.2.1
&&
najwy\
szej pochodnej x , którą nale\
y odtworzyć graficznie na podstawie równania (II-9).
wypływem (Rys. I-10).
M: I.2.1.1
Charakterystyczne pętle jakie powstają pomiędzy wejściami i wyjściami nie stanowią
problemu dla iteracyjnych algorytmów całkowania numerycznego. Do obserwacji wyników
Równanie (II-10) bardzo łatwo jest rozwiązać analitycznie, to pozwoli sprawdzić
symulacji mo\
na u\
yć na przykład bloków Scope.
poprawność rozwiązania symulacyjnego. Nale\
y dobierać parametry a1, a0, b tak aby układ
A: I.1.2
Skrypt (m-plik):
był stabilny. Następnie zbudować schemat równania wykorzystując pakiet Matlab/Simulink
łańcuch bloków
całkujących a=2;
lub Scilab (bloki całkujące) i przygotować skrypt inicjujący wartości parametrów (w tym
b=1;
równie\
parametry sygnału wejściowego i warunki początkowe).
c=5;
1º Wygeneruj rozwiÄ…zania dla wymuszenia skokowego: u(t) = 0 dla t<0, u(t)=du`"0 dla t>=0,
i dla ró\
nych warunków początkowych:
u0=2
&
a) x(0) = 0 , c) x(0) = 0 ,
u0
x0=u0/c
&
b) x(0) `" 0 , d) x(0) `" 0 .
obserwacja
u0+du
x0
rozwiÄ…zania
2º Zweryfikuj otrzymane wykresy przez porównanie z analitycznym rozwiÄ…zaniem równania
du=1
ró\
niczkowego. Wyodrębnij składową swobodną i wymuszoną.
3º Powtórz symulacje 1° dla staÅ‚ej wartoÅ›ci na wejÅ›ciu (du=0). Dlaczego niektóre symulacje
Rys. II-7. Schemat równania 2.rzędu i skrypt (m-plik)
generują wykres o stałej wartości a inne nie?
Na schemacie mo\
na wpisywać bezpośrednio wartości wszystkich potrzebnych parametrów,
4º Zasymuluj rozwiÄ…zanie równania dla nastÄ™pujÄ…cego wymuszenia skokowego:
lub u\
ywać zmiennych Matlaba (Scilaba), które zostaną zainicjowane przed uruchomieniem
u(t) = u0`"0 dla t= t0. Dobrać warunek początkowy tak by do
symulacji  najlepiej w skrypcie. Dzięki zastosowaniu zmiennych uzyskuje się uniwersalny
momentu wystąpienia skoku (t0) układ był w stanie ustalonym (Rys. II-9).
schemat, który mo\
na uruchamiać dla ró\
nych zestawów parametrów. Na schemacie Rys. II-7
StaÅ‚y fragment wykresu na odcinku 0÷t0, jest
x
u\
yto zmiennych a, b, c, które pełnią rolę parametrów równania, a tak\
e zmiennych u0 i du 
równowa\
ny z weryfikacją poprawności
xk
do sparametryzowania funkcji wejściowej (Rys. II-8), oraz x0 do określenia warunków
badanego schematu  gdyby zmienna du była
x0
poczÄ…tkowych.
t równa 0, to układ pozostawałby w stanie
u Zmienna u0 jest równa wartości początkowej sygnału
równowagi (pod warunkiem, \
e skrypt i schemat
t0
wejściowego u. Natomiast zmienna du odpowiada
u0+du sÄ… poprawne).
Rys. II-9. Reakcja układu w stanie równowagi
t wartości skoku (przyrost wartości względem wartości
na skokową zmianę wartości na wejściu
u0
początkowej). Jeśli zostanie ustawione du=0, to na
5º Narysuj charakterystykÄ™ statycznÄ… równania (II-10). Wylicz i oznacz na tej
Rys. II-8. Wymuszenie skokowe
wyjściu bloku Step będzie stała wartość.
charakterystyce punkty odpowiadające wartości początkowej i końcowej na wyjściu
ukÅ‚adu uzyskane w symulacji 4º, czyli tak zwany poczÄ…tkowy i koÅ„cowy punkt pracy
układu.
1
metody całkowania numerycznego
ACzemplik (rękopis) ACzemplik (rękopis)
- 39 - - 40 -