Wykład 11

Grupy

Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i

działania binarnego ◦, które spełnia własności:
(i) Działanie ◦ jest łączne, czyli

∀a, b, c ∈ G a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.

(ii) Działanie ◦ posiada element neutralny, to znaczy

∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.

(iii) Każdy element jest odwracalny względem ◦, to znaczy

∀a ∈ G∃a

0

∈ G a ◦ a

0

= a

0

◦ a = e,

gdzie e jest elementem neutralnym tego działania.
Jeśli dodatkowo
(iv) Działanie ◦ jest przemienne, to znaczy

∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a,

to grupę nazywamy grupą abelową (albo przemienną).
Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania
(G, ◦).
Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do a oznaczać bę-
dziemy przez a

−1

.

Niepusty podzbiór H grupy G nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli:
(i) ∀h

1

, h

2

∈ H h

1

◦ h

2

∈ H.

(ii) e ∈ H.
(iii) ∀h ∈ H

h

−1

∈ H.

Łatwo zauważyć, że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura (H, ◦) jest
grupą.
Przykłady grup
1. (Z, +), (R, +) są grupami abelowymi.
2. Jeśli (P, +, ·) jest pierścieniem to (P, +) jest grupą abelową oraz (P

∗

, ·)

jest grupą (gdzie P

∗

oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia P ).

W szczególności zbiór macierzy n × n nad danym ciałem K, o wyznaczniku
niezerowym jest grupą ( dla n > 1 nieabelową). Grupę tą oznaczamy przez
Gl

n

(K) i mamy:

Gl

n

(K) = {A ∈ M

n

(K) : det A 6= 0}

1

Grupa ta jest nazywana grupą liniową macierzy n × n.
3. Zbiór Sl

n

(K) = {A ∈ M

n

:

det A = 1} jest podgrupą grupy Gl

n

(K)

(nazywaną specjalną grupą liniową).
4. Oznaczmy przez S

n

zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} (czyli

wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie). Zbiór
ten wraz z działaniem składania przekształceń ◦ tworzy grupę (dla n > 2
nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której
zbiór G ma skończoną ilość elementów) bo S

n

ma dokłanie n! elementów.

Na przykład

S

3

= {σ

0

, σ

1

, σ

2

, σ

3

, σ

4

, σ

5

}

gdzie:

σ

0

=

1 2 3
1 2 3

!

, σ

1

=

1 2 3
1 3 2

!

, σ

2

=

1 2 3
3 2 1

!

,

σ

3

=

1 2 3
2 1 3

!

, σ

4

=

1 2 3
3 1 2

!

, σ

5

=

1 2 3
2 3 1

!

Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy S

3

są podzbiory:

{σ

0

}

{σ

0

, σ

1

}

{σ

0

, σ

2

}

{σ

0

, σ

3

}

{σ

0

, σ

4

, σ

5

}

S

3

5. Podgrupą grupy S

n

jest zbiór A

n

złożony ze wszystkich permutacji parzy-

stych zbioru {1, 2, . . . , n}. Na przykład

A

3

=

(

1 2 3
1 2 3

!

,

1 2 3
3 1 2

!

,

1 2 3
2 3 1

!)

Grupa (A

n

, ◦) ma

n!

2

elementów i jest nieabelowa dla n > 3.

6. Przekształcenie płaszczyzny (lub przestrzeni), które jest bijekcją i które nie
zmienia odległości punktów nazywamy izometrią płaszczyzny. Przykładami
izometrii są obroty oraz symetrie. Przekształceniem, które nie jest izometrią
jest na przykład rzutowanie na prostą. Zbiór izometrii płaszczyzny z działa-
niem składania przekształceń jest grupą (nieabelową).
7. Niech F będzie pewną figurą na płaszczyźnie. Izometrią własną figury
F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania
przekształceń jest grupą.

2

Figurę F nazywamy n-kątem foremnym jeśli ma n równych boków i n rów-
nych kątów. Na przykład trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny,
czworokątem foremnym jest kwadrat itd. Oznaczmy przez D

n

grupę izome-

trii własnych n-kąta foremnego. Nietrudno jest zauważyć, że grupa D

n

ma

2n elementów: n symetrii względem prostych i n obrotów względem środka
figury.
Na przkład D

4

jest izometrii własnych kwadratu. Wprowadźmy oznaczenia

r

0

jest obrotem o 0 stopni, r

1

jest obrotem o 90 stopni, r

2

obrotem o 180 stop-

ni i r

3

obrotem o 270 stopni, s

1

jest symetrią względem prostej przechodzącą

przez środek pary równoległych boków, s

2

jest symetrią względem prostej

przechodzącą przez środek drugiej pary równoległych boków, s

3

i s

4

są syme-

triami względem prostych przechodzących przez naprzeciwległe wierzchołki.

4

3

2

1

s

1

s

2

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

@

s

3

s

4

Po ponumerowaniu wierzchołków liczbami od 1 do 4 każda izometria kwa-

dratu wyznacza jednoznaczną permutację wierzchołków r

0

= (1)(2)(3)(4),

r

1

= (1, 2, 3, 4), r

2

= (1, 3)(2, 4), r

3

= (1, 4, 3, 2), s

1

= (1, 2)(3, 4), s

2

=

(1, 4)(2, 3), s

3

= (2, 4), s

4

= (1, 3).

Własności grup
(1) Każda grupa posiada dokładnie jeden element neutralny.
(2) Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element odwrotny.
(3) Jeśli w grupie zachodzi równość ax = ay to x = y.
(4) Każde równanie ax = b ma w grupie jednoznaczne rozwiązanie x = a

−1

b.

(5) Dla każdego elementu a ∈ G mamy (a

−1

)

−1

= a.

(6) Dla każdej pary elementów a, b ∈ G mamy (ab)

−1

= b

−1

a

−1

3

W grupie (G, ·) możemy zdefiniować potęgowanie elementu a ∈ G:

a

0

= e, a

1

= a, a

n

= a · · · a

|

{z

}

n

jeśli n > 0 oraz

a

−n

= a

−1

· · · a

−1

|

{z

}

n

Potęgowanie ma następujące własności:
(i) a

m

a

n

= a

m+n

.

(ii) (a

m

)

n

= a

m

n.

Uwaga W grupie możemy stosować zapis addytywny (często stosuje się go
w przypadku grup abelowych) (G, +). Wtedy element neutralny oznacza się
przez 0, a element odwrotny do a oznacza się przez −a. Zamiast potęgowania
wykonuje się mnożenie przez liczby całkowite:

0a = 0, na = a + . . . + a

|

{z

}

n

, (−n)a = (−a) + . . . + (−a)

|

{z

}

n

Wtedy ta operacja ma analogiczne własności jak potęgowanie:
(i) (n + m)a = na + ma.
(ii) (nm)a = n(ma).

Niech a będzie elementem grupy G. Najmniejszą niezerową liczbę natu-

ralną n, taką że a

n

= e nazywamy rzędem elementu a. Jeśli taka liczba nie

istnieje to mówimy, że element a ma rząd nieskończony (w przypadku zapi-
su addytywnego rzędem nazywamy najmniejszą liczbę niezerową dla której
na = 0).
Przykłady

1. Permutacja

1 2 3
2 3 1

!

= (1, 2, 3) ma rząd 3.

2. Element 3 grupy (Z

6

, +

6

) ma rząd 2, bo 3 +

6

3 = 0.

3. Element neutralny e ma rząd równy 1.

Twierdzenie 1 Jeśli grupa G jest skończona i ma n elementów to każdy
element ma skończony rząd.

Dowód Niech a będzie elementem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elementu
a:

{1, a, a

2

, a

3

, . . .}

Elementy te należą do G. Ponieważ G jest zbiorem skończonym to zbiór potęg
elementu a też jest skończony, a to oznacza, że istnieją liczby naturalne i 6= j,
że a

i

= a

j

i jeśli i < j to a

j−i

= e. To oznacza, że rząd elementu a jest

skończony.

4

Twierdzenie 2 Jeśli G

1

i G

2

są grupami to zbiór G

1

× G

2

z działaniem

określonym następująco:

(g

1

, h

1

)(g

2

, h

2

) = (g

1

g

2

, h

1

h

2

)

jest grupą.

Niech G będzie dowolną grupą i niech a ∈ G. Wtedy przez < a > ozna-

czamy zbiór wszystkich potęg elementu a to znaczy:

< a >= {. . . , a

−3

, a

−2

, a

−1

, a

0

, a, a

2

, a

3

, . . .}

Wtedy < a > jest podgrupą grupy G. Jeśli w grupie G istnieje element a,
taki że: G =< a > to G nazywamy grupą cykliczną.

Twierdzenie 3 Jeśli G jest grupą cykliczną to G jest abelowa.

5