Matematyka A, kolokwium, 2 grudnia 2008, 18:15 – 19:55
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne
osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n
elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wyÃla
,
czone! Nie dotyczy rozruszni-
k´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powoÃlywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore
zostaÃly udowodnione na wykÃladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (10 pt.) Wykaza´c, ˙ze niezale˙znie od wyboru liczb a, b ∈ R funkcja f zdefiniowana wzorem
f (x) = x
2
e
3x
+ (a + bx)e
2x
speÃlnia r´ownanie
f
00
(x) − 4f
0
(x) + 4f (x) = (x
2
+ 4x + 2)e
3x
.
2. (10 pt.) Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji
√
x w punkcie p = 49 .
3. (10 pt.) Znale´z´c lim
x→0
x cos x − sin x
x
2
sin x
oraz lim
x→0
³ sin x
x
´
1/x
2
.
4. (10 pt.) Niech f (x) =
3
√
x
3
− 12x . Wiadomo, ˙ze f
0
(x) =
x
2
−4
3
√
x
3
−12x
i f
00
(x) =
4(x
4
−14x
2
−16)
3(
3
√
x
3
−12x)
3
.
Pierwiastkami wielomianu x
4
− 14x
2
− 16 sa
,
dwie liczby rzeczywiste ±
p
7 +
√
57 ≈ ±3,81 ,
innych pierwiastk´ow rzeczywistych ten wielomian nie ma.
Znale´z´c przedziaÃly, na kt´orych funkcja f jest ´sci´sle rosna
,
ca, na kt´orych jest ´sci´sle maleja
,
ca,
na kt´orych jest ´sci´sle wypukÃla, na kt´orych jest ´sci´sle wkle
,
sÃla.
Znale´z´c asymptoty funkcji f .
Znale´z´c lim
x→2
f
0
(x) oraz lim
x→−2
f
0
(x) .
Korzystaja
,
c z uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .
5. (10 pt.) Z ka˙zdego z czterech rog´ow tekturowego prostoka
,
ta o bokach 15 cm i 7 cm wycie
,
to
kwadrat o boku x . Otrzymano dwunastoka
,
t, kt´orego osiem bok´ow ma dÃlugo´s´c x i kt´orego
ka˙zde dwa kolejne boki sa
,
prostopadÃle. Zagie
,
to tekture
,
w wyniku czego powstaÃlo pudeÃlko
(bez pokrywki) w ksztaÃlcie prostopadÃlo´scianu. Wysoko´s´c pudeÃlka r´owna jest x . Dla jakiego
x pojemno´s´c otrzymanego pudeÃlka jest najwie
,
ksza?