Matematyka A, kolokwium, 2 grudnia 2008, 18:15 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wyÃla

,

czone! Nie dotyczy rozruszni-

k´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powoÃlywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zostaÃly udowodnione na wykÃladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Wykaza´c, ˙ze niezale˙znie od wyboru liczb a, b ∈ R funkcja f zdefiniowana wzorem

f (x) = x

2

e

3x

+ (a + bx)e

2x

speÃlnia r´ownanie

f

00

(x) − 4f

0

(x) + 4f (x) = (x

2

+ 4x + 2)e

3x

.

2. (10 pt.) Znale´z´c trzeci wielomian Taylora funkcji

√

x w punkcie p = 49 .

3. (10 pt.) Znale´z´c lim

x→0

x cos x − sin x

x

2

sin x

oraz lim

x→0

³ sin x

x

´

1/x

2

.

4. (10 pt.) Niech f (x) =

3

√

x

3

− 12x . Wiadomo, ˙ze f

0

(x) =

x

2

−4

3

√

x

3

−12x

i f

00

(x) =

4(x

4

−14x

2

−16)

3(

3

√

x

3

−12x)

3

.

Pierwiastkami wielomianu x

4

− 14x

2

− 16 sa

,

dwie liczby rzeczywiste ±

p

7 +

√

57 ≈ ±3,81 ,

innych pierwiastk´ow rzeczywistych ten wielomian nie ma.

Znale´z´c przedziaÃly, na kt´orych funkcja f jest ´sci´sle rosna

,

ca, na kt´orych jest ´sci´sle maleja

,

ca,

na kt´orych jest ´sci´sle wypukÃla, na kt´orych jest ´sci´sle wkle

,

sÃla.

Znale´z´c asymptoty funkcji f .

Znale´z´c lim

x→2

f

0

(x) oraz lim

x→−2

f

0

(x) .

Korzystaja

,

c z uzyskanych informacji naszkicowa´c wykres funkcji f .

5. (10 pt.) Z ka˙zdego z czterech rog´ow tekturowego prostoka

,

ta o bokach 15 cm i 7 cm wycie

,

to

kwadrat o boku x . Otrzymano dwunastoka

,

t, kt´orego osiem bok´ow ma dÃlugo´s´c x i kt´orego

ka˙zde dwa kolejne boki sa

,

prostopadÃle. Zagie

,

to tekture

,

w wyniku czego powstaÃlo pudeÃlko

(bez pokrywki) w ksztaÃlcie prostopadÃlo´scianu. Wysoko´s´c pudeÃlka r´owna jest x . Dla jakiego

x pojemno´s´c otrzymanego pudeÃlka jest najwie

,

ksza?