Wykład 10. 13 grudnia 2010
Kryterium porównawcze.
Twierdzenie
Niech
∞
P
n
=0
a
n
,
∞
P
n
=0
b
n
będą szeregami o wyrazach dodatnich. Jeśli
0 < α ¬ lim inf
n
→∞
a
n
b
n
¬ lim sup
n
→∞
a
n
b
n
¬
1
α
,
co jest równoważne, ze ciągi
(
a
n
b
n
), (
b
n
a
n
) są ograniczone,
to obydwa szeregi są równocześnie zbieżne lub rozbieżne.
D.
Wystarczy wykazać dwie implikacje, przy założeniu 0 ¬ a
n
¬ αb
n
, α >
0,
∞
X
n
=0
b
n
zbieżny ⇒
∞
X
n
=0
a
n
zbieżny
∞
X
n
=0
a
n
rozbieżny ⇒
∞
X
n
=0
b
n
rozbieżny
Pierwsza implikacja wynika z warunku Cauchy’ego dla szeregów, a druga implikacja
jest konsekwencją pierwszej (gdyby szereg
∞
P
n
=0
b
n
byłby zbieżny to również zbieżny
będzie szereg
∞
P
n
=0
a
n
, wbrew założeniu).
Szereg
∞
P
n
=0
b
n
w pierwszej implikacji nazywamy majorantą zbieżną szeregu
∞
P
n
=0
a
n
, a
szereg
∞
P
n
=0
a
n
w drugiej implikacji nazywamy minorantą rozbieżną szeregu
∞
P
n
=0
b
n
.
Przykład. Dla s ∈
rozważmy szereg
∞
P
n
=0
1
(n+1)
s
.
s
0 to
1
(n+1)
s
1 ⇒
∞
P
n
=0
1
(n+1)
s
rozbieżny (nie jest spełniony warunek konieczny
zbieżności)
0 < s ¬ 1 to
1
(n+1)
s
1
n
+1
⇒
∞
P
n
=0
1
(n+1)
s
rozbieżny (szereg harmoniczny
∞
P
n
=0
1
(n+1)
jest minorantą rozbieżną).
s
= 2 Dla szeregu
∞
P
n
=0
1
(n+1)(n+2)
mamy S
n
= 1 −
1
n
+2
→ 1, czyli szereg ten jest
zbieżny. Ponieważ lim
n
→∞
1
(n+1)(n+2)
:
1
(n+1)
2
= 1 to szereg
∞
P
n
=0
1
(n+1)
2
jest zbieżny
⇓
s
2 ⇒
∞
P
n
=0
1
(n+1)
s
zbieżny.
1 < s < 2 ?
54
Kryterium zagęszczania Cauchy’ego.
Jeżeli szereg
∞
P
n
=0
a
n
ma malejące wyrazy dodatnie to
∞
P
n
=0
a
n
zbieżny
⇔
∞
P
n
=0
2
n
a
2
n
zbieżny
D.
2
n
X
k
=0
a
k
= a
0
+ a
1
+ a
2
+ (a
3
+ a
4
) + (a
5
+ a
6
+ a
7
+ a
8
) + · · ·+(a
2
n
−1
+1
+ a
2
n
−1
+2
+ · · ·+a
2
n
)
a
0
+ a
1
+ a
2
+ 2a
4
+ 4a
8
+ · · · + 2
n
−1
a
2
n
= a
0
+
1
2
a
1
+
1
2
n
X
k
=0
2
k
a
2
k
.
Podobnie
2
n
−1
X
k
=0
a
k
= a
0
+ a
1
+ (a
2
+ a
3
) + (a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
) + · · · + (a
2
n
−1
+ · · · + a
2
n
−1
)
¬ a
0
+ a
1
+ 2a
2
+ 4a
4
+ · · · + a
2
n
−1
a
2
n
−1
= a
0
+
n
−1
X
k
=0
2
k
a
2
k
.
Stąd już wynika powyższa równoważność.
Przykład. Szereg
∞
P
n
=1
1
n
s
, s >
0 ma malejące wyrazy dodatnie. Mamy
2
n
a
2
n
= 2
n
1
2
ns
= (2
n
)
(1−s)
= (2
(1−s)
)
n
.
Jeżeli s > 1 to q = 2
(1−s)
<
1, szereg
∞
P
n
=0
q
n
jest zbieżny, skąd zbieżny jest wyjściowy
szereg.
Podobnie (i wykorzystując wcześniejsze przykłady) można wykazać, że szereg
∞
P
n
=2
1
n
ln
s
n
jest zbieżny dla s > 1 a dla s ¬ 1 rozbieżny.
Zbieżność szeregów postaci
∞
P
n
=0
a
n
b
n
.
Jeżeli w szeregu
∞
P
n
=0
a
n
b
n
a
n
&, to szereg ten jest zbieżny przy następujących założeniach
a
n
& 0, ∃M
n
P
k
=0
b
k
¬ M − kryterium Dirichleta
a
n
& g,
∞
P
n
=0
b
n
zbieżny − kryterium Abela
55
Tożsamość Abela.
Niech A
n
=
n
P
k
=0
a
k
, B
n
=
n
P
k
=0
k
k
.
Wtedy
S
n
=
n
P
k
=0
a
k
b
k
= a
n
B
n
−
n
−1
P
k
=0
(a
k
+1
− a
k
)B
k
Kryterium Leibniza.
Jeżeli a
n
& 0 to szereg
∞
P
n
=0
(−1)
n
a
n
jest zbieżny.
Mamy przy tym
∞
P
n
=0
(−1)
n
a
n
−
n
P
k
=0
(−1)
k
a
k
< a
n
+1
.
Kryterium d’Alemberta.
Jeżeli a
n
6= 0 dla n N
0
oraz q = lim sup
n
→∞
|a
n+1
|
|a
n
|
to
q <
1 ⇒
∞
P
n
=0
a
n
jest zbieżny bezwzględnie.
Jeżeli lim inf
n
→∞
|a
n+1
|
|a
n
|
>
1 lub |a
n
+1
| |a
n
|, n N
1
⇒
∞
P
n
=0
a
n
jest rozbieżny
Kryterium Cauchy’ego.
Jeżeli q = lim sup
n
→∞
n
q
|a
n
| to
q <
1 ⇒
∞
P
n
=0
a
n
jest zbieżny bezwzględnie.
q >
1 lub
n
q
|a
n
| 1, n N
1
⇒
∞
P
n
=0
a
n
jest rozbieżny
56
Granice z
n
√
a
n
.
Twierdzenie.
lim
n
→∞
n
√
n
= 1.
D.
Niech
n
√
n
= 1 + α
n
, przy czym jest α
n
>
0 dla n > 1. Mamy n = (1 + α
n
)
n
,
skąd korzystając z II nierówności Bernoulliego otrzymamy
n
1 + nα
n
+
1
2
n
(n − 1)α
2
n
>
1
2
n
(n − 1)α
2
n
⇒ α
2
n
¬
2
n
− 1
⇒ α
2
n
→ 0,
skąd wynika, że α
n
→ 0 - gdyby lim sup
n
→∞
α
n
>
0 to również lim sup
n
→∞
α
2
n
>
0 - sprzeczność.
Wniosek.
Jeżeli a > 0 to lim
n
→∞
n
√
a
= 1
Dla dowolnego k ∈
lim
n
→∞
n
√
n
k
= 1
Jeżeli p(x) = a
0
+ a
1
x
+ · · · + a
k
x
k
, a
k
6= 0 to lim
n
→∞
n
q
|p(n)| = 1.
Uwaga. Jeżeli a > 0 to
lim
n
→∞
n
√
a
− 1
1
n
= ln a
(wynika stąd praktyczna metoda obliczania logarytmów naturalnych, a stąd i innych
logarytmów, przy pomocy pierwiastka kwadratowego) natomiast
lim
n
→∞
n
√
n
− 1
1
√
n
= 0, lim
n
→∞
n
√
n
− 1
ln n
n
= 1.
Twierdzenie. Jeżeli lim
n
→∞
a
n+1
a
n
= q, gdzie a
n
>
0, to
lim
n
→∞
n
√
a
n
= q.
D.
Niech q > 0. Dla dowolnego (ustalonego) małego ε > 0 istnieje N takie, że
q
− ε <
a
n
a
n
−1
< q
+ ε dla n N. Ponieważ
a
n
=
a
n
a
n
−1
· · ·
a
N
a
N
−1
a
N
−1
,
to przy n N
a
N
−1
(q − ε)
n
−N
¬ a
n
¬ a
N
−1
(q + ε)
n
−N
,
skąd
(q − ε)
n
q
a
N
−1
(q − ε)
−N
¬
n
√
a
n
¬ (q + ε)
n
q
a
N
−1
(q + ε)
−N
,
57
co daje
q
− ε ¬ lim inf
n
→∞
n
√
a
n
¬ lim sup
n
→∞
n
√
a
n
¬ q + ε
i musi być lim
n
→∞
n
√
a
n
= q. W przypadku q = 0 zamiast q − ε bierzemy 0 w oszacowaniu
od dołu.
Przykład.
Jeżeli a
n
=
1
n
!
to
a
n+1
a
n
=
1
n
+1
→ 0 ⇒
n
q
1
n
!
→ 0
Jeżeli a
n
=
n
n
e
n
n
!
to
a
n
+1
a
n
= (n + 1)
n
n
−n
e
−1
=
1 +
1
n
n
1
e
−→ 1,
skąd mamy
lim
n
→∞
n
s
n
n
e
n
n
!
= 1,
skąd mamy słabą wersję wzoru Stirliga
n
! =
n
e
n
(1 + α
n
)
−n
,
lim
n
→∞
α
n
= 0.
(Wzór Stirlinga ma postać n! =
n
e
n
√
2πn(1 + β
n
), lim
n
→∞
β
n
= 0.)
Przykład. Niech x ∈
. Zbadamy zbieżność
∞
P
n
=0
x
n
n
!
,
∞
P
n
=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
,
∞
P
n
=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
. Wszystkie trzy są oczywiście zbieżne dla
x
= 0. Niech zatem x 6= 0.
a
n
=
x
n
n
!
. Mamy
n
q
|a
n
| = |x|
n
q
1
n
!
−→ |x| · 0 = 0, czyli z kryterium Cauchy’ego
szereg ten jest zbieżny dla wszystkich x ∈
. Definiujemy
E
(x) =
∞
P
n
=0
x
n
n
!
.
a
n
= (−1)
n x
2n
(2n)!
. Mamy
n
q
|a
n
| = |x|
2
2n
q
1
(2n)!
2
−→ |x|
2
·0
2
= 0, czyli z kryterium
Cauchy’ego szereg ten jest zbieżny dla wszystkich x ∈
. Definiujemy
C
(x) =
∞
P
n
=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
.
a
n
= (−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
. Mamy
n
q
|a
n
| =
n
r
|x|
(2n+1)
|x|
2
2n
q
1
(2n)!
2
−→ |x|
2
· 0
2
= 0, czyli z
kryterium Cauchy’ego szereg ten jest zbieżny dla wszystkich x ∈
. Definiujemy
S
(x) =
∞
P
n
=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
.
Definicja sinusa i cosinusa.
Definiujemy dla wszystkich x ∈
sin x = S(x) =
∞
X
n
=0
(−1)
n
x
2n+1
(2n + 1)!
,
58
cos x = C(x) =
∞
X
n
=0
(−1)
n
x
2n
(2n)!
.
Podstawowa zależność między sinusem i cosinusem sin
x
+
π
2
= cos x.
Funkcje elementarne.
Do rodziny funkcji elementarnych należą funkcje
(1) f (x) = ax + b, a, b - parametry
(2) f (x) = sin x
(3) f (x) = e
x
(4) funkcje powstałe z powyższych funkcji poprzez operacje arytmetyczne, podsta-
wianie jednych funkcji do drugich (tam gdzie to jest wykonalne) i, jeżeli to moż-
liwe, branie funkcji odwrotnych
Pochodna funkcji elementarnych.
Podstawowe pochodne.
1) (ax + b)
0
= a, w szczególności (x)
0
= 1, (b)
0
= 0;
2) (sin x)
0
= cos x = sin
x
+
π
2
;
3) (e
x
)
0
= e
x
.
Reguły różniczkowania.
R1) (af (x))
0
= af
0
(x), (f (x)+g(x))
0
= f
0
(x)+g
0
(x), (f (x)−g(x))
0
= f
0
(x)−g
0
(x);
R2) (f (x) · g(x))
0
= f
0
(x) · g(x) + f(x) · g
0
(x);
R3)
f
(x)
g
(x)
!
0
=
f
0
(x)g(x) − f(x)g
0
(x)
g
2
(x)
;
R4) (g(f (x)))
0
= g
0
(f (x)) · f
0
(x);
R5)
f
−1
(x)
0
=
1
f
0
(f
−1
(x))
.
Przy pomocy powyższych reguł wyprowadzamy dalsze wzory na podstawowe po-
chodne.
(x
n
)
0
= nx
n
−1
, n
∈
indukcja :
x
n
+1
0
= (x · x
n
)
0
= 1 · x
n
+ x · nx
n
−1
= (n + 1)x
n
;
x
−n
0
=
1
x
n
0
=
−nx
n
−1
x
2n
= −nx
−n−1
;
59
(a
n
x
n
+ · · · + a
1
x
+ a
0
)
0
= na
n
x
n
−1
+ · · · + a
1
;
f
(x)
g
(x)
!
0
=
f
0
(x)g(x) − f(x)g
0
(x)
g
2
(x)
, f
(x), g(x) − wielomiany.
(a
x
)
0
= a
x
ln a
a
x
= e
x
ln a
;
(ln x)
0
=
1
x
ln = exp
−1
;
(log
a
x
)
0
=
1
x
ln a
log
a
x
=
1
ln a
ln x;
(x
a
)
0
= ax
a
−1
x
a
= e
a
ln x
;
(cos x)
0
= − sin x = cos
x
+
π
2
cos x = sin
x
+
π
2
;
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x
tg x =
sin x
cos x
;
(ctg x)
0
=
−1
sin
2
x
= − (1 + ctg
2
x
)
ctg x =
cos x
sin x
;
(cosh x)
0
= sinh x, (sinh x)
0
= cosh x
cosh x =
1
2
(e
x
+ e
−x
) , sinh x =
1
2
(e
x
− e
−x
);
(arc sin x)
0
=
1
cos(arc sin x)
=
1
√
1−x
2
arc sin = sin
−1
|[−
π
2
,
π
2
]
;
(arc cos x)
0
=
−1
sin(arc sin x)
=
−1
√
1−x
2
arc cos = cos
−1
|[0,π]
;
(arctg x)
0
=
1
1+tg
2
(arctg x)
=
1
1+x
2
arctg = tg
−1
|(−
π
2
,
π
2
)
60
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
PWiK - Wykład 13-12-2007, Budownictwo S1, Semestr IV, PWiK, Wykłady, PWiK 2
IS 2011 12 wyklad 13 12 01 2012 MDW
wdsp-wyklad-13.12.2010, pradziejowa
Wykłady, 13) 12.01, Zarządzanie wykład 12
Wykład 3 13 12 12
wykład 7 (13 12 2011)
Mikroekonomia - wyklad 10 [13.12.2001], Ekonomia, ekonomia, Mikroekonomia
13 12 2013 Wykład
wyklady-bsi 9-13 12-archiwizacja
Wyklad 8 - Vico - 13.12.2010 r, Teoria kultury (koziczka)
Wykład biologia 12 13
Mikroekonomia - wyklad 11 [13.12.2001], Ekonomia, ekonomia, Mikroekonomia
wykład z 12 13
Wykład 2011-12-13, psychologia drugi rok, psychologia ról
AiR 11 12 wyklad 13 13 01 2012 Nieznany (2)
Wykłady Stoffa 12 13 (1)
Notatki z wykładów, Prawo Konstytucyjne - Wykład 11, 12, 13 - Prawo Wyborcze, VIII
Mikroekonomia - wyklad 10 [13.12.2001], Ekonomia, ekonomia, Mikroekonomia
więcej podobnych podstron