University  of  Washington  

Sec.on  2:  Integer  &  Floa.ng  Point  Numbers  

¢

 

Representa.on  of  integers:  unsigned  and  signed  

¢

 

Unsigned  and  signed  integers  in  C  

¢

 

Arithme.c  and  shiBing  

¢

 

Sign  extension  

¢

 

Background:  frac.onal  binary  numbers  

¢

 

IEEE  floa.ng-­‐point  standard  

¢

 

Floa.ng-­‐point  opera.ons  and  rounding  

¢

 

Floa.ng-­‐point  in  C  

  

Frac.onal  Values  

University  of  Washington  

Frac.onal  Binary  Numbers  

¢

 

What  is  1011.101

2

?  

¢

 

How  do  we  interpret  frac.onal  decimal  numbers?  

§

 

e.g.  107.95

10  

§

 

Can  we  interpret  frac9onal  binary  numbers  in  an  analogous  way?  

Frac.onal  Values  

University  of  Washington  

• •

 •

b

–1

.

Frac.onal  Binary  Numbers  

Frac.onal  Values  

¢

 

Representa.on  

§

 

Bits  to  right  of  “binary  point”  represent  frac9onal  powers  of  2  

§

 

Represents  ra9onal  number:  

b

i

 b

i–1

b

2

 b

1

 b

0

b

–2

b

–3

b

–j

• • •

• • •

1

2

4

2

i–1

2

i

• • •

1/2

1/4
1/8

2

–j

b

k

⋅2

k

k =− j

i

∑

University  of  Washington  

Frac.onal  Binary  Numbers:  Examples  

¢

 

Value

  Representa.on  

§

 

5  and  3/4     

§

 

2  and  7/8     

§

 

63/64

    

¢

 

Observa.ons  

§

 

Divide  by  2  by  shiMing  right  

§

 

Mul9ply  by  2  by  shiMing  leM  

§

 

Numbers  of  the  form  0.111111…

2

  are  just  below  1.0  

§ 

1/2  +  1/4  +  1/8  +  …  +  1/2

i

  +  …  →  1.0  

§ 

Shorthand  nota9on  for  all  1  bits  to  the  right  of  binary  point:  

1.0  –  

ε

  

Frac.onal  Values  

101.11

2 

10.111

2 

0.111111

2 

University  of  Washington  

Representable  Values  

¢

 

Limita.ons  of  frac.onal  binary  numbers:  

§

 

Can  only  exactly  represent  numbers  that  can  be  wriWen  as  

x  *  2

y  

§

 

Other  ra9onal  numbers  have  repea9ng  bit  representa9ons  

¢

 

Value

  Representa.on  

§

 

1/3

  0.0101010101[01]…

2 

§

 

1/5

  0.001100110011[0011]…

2 

§

 

1/10

  0.0001100110011[0011]…

2 

Frac.onal  Values  

University  of  Washington  

Fixed  Point  Representa.on  

¢

 

We  might  try  represen.ng  frac.onal  binary  numbers  by  

picking  a  fixed  place  for  an  implied  binary  point  

§

 

“fixed  point  binary  numbers”  

¢

 

Let's  do  that,  using  8-­‐bit  fixed  point  numbers  as  an  example  

§

 

#1:  the  binary  point  is  between  bits  2  and  3  

        b

7

  b

6

  b

5  

b

4

  b

3

    [.]  b

2

  b

1

  b

0  

§

 

#2:  the  binary  point  is  between  bits  4  and  5  

        b

7

  b

6

  b

5

  [.]  b

4

  b

3

  b

2

  b

1

  b

0  

¢

 

The  posi.on  of  the  binary  point  affects  the  range  and  

precision  of  the  representa.on  

§

 

range:  difference  between  largest  and  smallest  numbers  possible  

§

 

precision:  smallest  possible  difference  between  any  two  numbers  

Frac.onal  Values  

University  of  Washington  

Fixed  Point  Pros  and  Cons  

¢

 

Pros  

§

 

It's  simple.    The  same  hardware  that  does  integer  arithme9c  can  do  

fixed  point  arithme9c  

§ 

In  fact,  the  programmer  can  use  ints  with  an  implicit  fixed  point  

§ 

ints  are  just  fixed  point  numbers  with  the  binary  point    

to  the  right  of  b

0  

¢

 

Cons  

§

 

There  is  no  good  way  to  pick  where  the  fixed  point  should  be  

§ 

Some9mes  you  need  range,  some9mes  you  need  precision  –  the  

more  you  have  of  one,  the  less  of  the  other.    

Frac.onal  Values