Podrecznik Całki Itd(1)

1. WIADOMO´

SCI WSTE,PNE.

1.1. Rachunek zda´

W mowie potocznej formuÃlujemy takie zdania, o kt´orych mo˙zemy powiedzie´c, ˙ze
sa, prawdziwe ba,d´z faÃlszywe bez wzgle,du na to, jaka jest aktualna sytuacja w

otaczaja,cym nas ´swiecie. Na przykÃlad zdanie: ”Je´sli dzi´s jest ´sroda, to jutro

be,dzie czwartek” jest prawdziwe, a zdanie: ”3 jest liczba, parzysta,” jest faÃlszywe.

Natomiast ocena prawdziwo´sci zdania: ”Matematyka jest Ãlatwa” zale˙zy ju˙z od
subiektywnego odczucia osoby je wypowiadaja,cej. W dalszym cia,gu be,da, nas

interesowaÃly zdania pierwszego rodzaju. Przyjmiemy naste,puja,ce oznaczenia i

definicje.

Definicja 1.1.1.

Zdaniem nazywamy w logice wypowied´z orzekaja,ca,, kt´orej

mo˙zna przypisa´c jedna, z dw´och ocen: prawde, lub faÃlsz.

Prawdziwo´s´c i faÃlszywo´s´c nazywamy warto´sciami logicznymi zdania.
Prawde, oznaczamy cyfra, 1, a faÃlsz cyfra, 0.

Zdania be,dziemy oznacza´c symbolami p, q, r, s, a warto´s´c logiczna, zdania w(p).

W´owczas w(p) = 0 oznacza, ˙ze zdanie p jest faÃlszywe, a w(q) = 1 oznacza, ˙ze
zdanie q jest prawdziwe.

Z danych zda´

n mo˙zemy przy pomocy sp´ojnik´ow ”i”, ”lub”, ”je´sli ..., to ...”,

”wtedy i tylko wtedy, gdy ...”, ”nie” tworzy´c nowe zdania. Sp´ojniki te nazywamy
funktorami zdaniotw´orczymi.

Funktory zdaniotw´orcze oznaczamy naste,puja,cymi symbolami i nadajemy im

odpowiednio nazwy

”nie”

∼

negacja

”lub”

∨

alternatywa

”i”

∧

koniunkcja

”je´sli ..., to ...”

⇒

implikacja

”wtedy i tylko wtedy, gdy ...”

⇔

r´ownowa˙zno´s´c

Ze sp´ojnik´ow i zda´

n prostych mo˙zemy tworzy´c zdania zÃlo˙zone. Na mocy

przyje,tych poprzednio oznacze´n definicje, sp´ojnik´ow mo˙zemy zapisa´c przy u˙zyciu

naste,puja,cej tabelki

∼ p p ∧ q

p ∨ q

p ⇒ q

p ⇔ q

Zbudowane przy u˙zyciu zmiennych zdaniowych, funktor´ow zdaniotw´orczych

oraz nawias´ow wyra˙zenia rachunku zda´

n nazywamy tak˙ze formuÃlami rachunku

zda´

n albo schematami rachunku zda´

n. Ka˙zda formuÃla staje sie, zdaniem, gdy w

miejsce wyste,puja,cych w niej liter podstawiamy zdania. W´sr´od wszystkich formuÃl

rachunku zda´

n szczeg´olnie wa˙zna, role, peÃlnia, tautologie.

Definicja 1.1.2. Zdanie prawdziwe bez wzgÃledu na warto´sci logiczne zda´

n skÃla-

dowych nazywamy tautologia,.

Wa˙znym zagadnieniem rachunku zda´

n jest sprawdzenie, czy dana formuÃla jest

tautologia,. Najcze,´sciej stosowana, metoda, badania warto´sci logicznej wyra˙ze´n

rachunku zda´

n jest metoda zero-jedynkowa. Polega ona na rozpatrzeniu wszyst-

kich ukÃlad´ow warto´sci logicznych zmiennych zdaniowych wyste,puja,cych w danym

wyra˙zeniu. Metode, ta, zilustrujemy naste,puja,cym przykÃladem.

PrzykÃlad 1.1.1. Sprawdzi´c czy wyra˙zenie

p ⇒ q

⇒

h¡

q ⇒ r

⇒

p ⇒ r

¢i

jest tautologia,.

p q r p ⇒ q q ⇒ r p ⇒ r (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) (p ⇒ q) ⇒ [(q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)]

1 1 1

1 1 0

1 0 1

0 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0

Zadanie 1.1.1. Sprawdzi´c czy podane zdania sa, tautologiami

a) p ⇒

q ⇒ p

p ⇒

q ⇒ r

¢i

⇒

h¡

p ⇒ q

⇒

p ⇒ r

¢i

c) p ⇒

∼ p ⇒ q

⇒ p,

p ∨ q

⇔

∼ p ⇒ q

f )

p ∧ q

⇔

p ⇒∼ q

g) ∼

p ∧ q

⇔

∼ p∨ ∼ q

- prawo de Morgana,

h) ∼

p ∨ q

⇔

∼ p∧ ∼ q

- prawo de Morgana,

i) ∼

p ⇒ q

⇔

p∧ ∼ q

p ∧

q ∨ r

¢i

⇔

h¡

p ∧ q

∨

p ∧ r

¢i

-prawo rozdzielno´sci koniunkcji wzgle,dem

alternatywy,
k)

p ∨

q ∧ r

¢i

⇔

h¡

p ∨ q

∧

p ∨ r

¢i

-prawo rozdzielno´sci alternatywy wzgle,dem

koniunkcji.

Interptretacja fizyczna koniunkcji i alternatywy.

Niech p, q oznaczja, wyÃla,czniki, z kt´orych ka˙zdy mo˙ze by´c wÃla,czony (stan 1) albo

wyÃla,czony (stan 0). W stanie ”1” wyÃla,cznik przewodzi pra,d, natomiast w stanie

”0” wyÃla,cznik nie przewodzi pra,du. Stan ukÃladu utworzonego przez poÃla,czenie

szeregowe wyÃla,cznik´ow p i q zale˙zy od stanu wyÃla,cznika p i od stanu wyÃla,cznika

q tak, jak warto´s´c logiczna koniunkcji p ∧ q zale˙zy od warto´sci logicznych zda´

n p i

q. W zwia,zku z tym mo˙zna powiedzie´c, ˙ze

koniunkcje, realizuje poÃla,czenie szeregowe.

Podobnie stan ukÃladu utworzonego przez poÃla,czenie r´ownolegÃle wyÃla,cznik´ow p i q

zale˙zy od stanu wyÃla,cznika p lub od stanu wyÃla,cznika q tak, jak warto´s´c logiczna

alternatywy p ∨ q zale˙zy od warto´sci logicznych zda´

n p i q. W zwia,zku z tym

mo˙zna powiedzie´c, ˙ze

alternatywe, realizuje poÃla,czenie r´ownolegÃle.

Warunek konieczny i dostateczny.

Je˙zeli ze zdania p wynika zdanie q (p ⇒ q), to m´owimy, ˙ze

p jest warunkiem dostatecznym (wystarczaja,cym) dla q,

natomiast q jest warunkiem koniecznym dla p.

PrzykÃlad 1.1.2.

Podzielno´s´c liczby n przez 4 jest warunkiem dostatecznym

podzielno´sci liczby n przez 2.

n ⇒ 2

Podzielno´s´c liczby n przez 4 nie jest warunkiem koniecznym podzielno´sci

liczby n przez 2, o czym ´swiadczy przykÃlad liczby 6, kt´ora jest podzielna przez 2,
ale nie jest podzielna przez 4.

Mo˙ze sie, zda˙zy´c, ˙ze warunek konieczny jest jednocze´snie warunkiem dostatecznym.

M´owimy w´owczas, ˙ze jest to warunek konieczny i dostateczny.

PrzykÃlad 1.1.3. Podzielno´s´c liczby n przez 2 i przez 5 jest warunkiem koniecznym
i dostatecznym podzielno´sci liczby n przez 10.

n ∧ 5

⇒ 10

1.2. Rachunek zbior´

ow.

Poje,cie zbioru i nale˙zenia do zbioru przyjmujemy jako pierwotne i nie wyma-

gaja,ce definiowania.

Je˙zeli element a nale˙zy do zbioru A, to piszemy a ∈ A, w przeciwnym przy-

padku, gdy element a nie nale˙zy do zbioru A piszemy a 6∈ A.

Definicja 1.2.1. Zbi´or, kt´orego wszystkimi elementami sa, a

, a

, . . . , a

nazy-

wamy zbiorem sko´

nczonym.

Zbi´or, kt´ory posiada tylko jeden element nazywamy zbiorem jednoelemen-

towym.

Zbi´or, do kt´orego ˙zaden element nie nale˙zy nazywamy zbiorem pustym.
Zbi´or, kt´ory nie jest ani sko´

nczony, ani pusty nazywamy zbiorem niesko´

nczo-

nym.

Niech A i B be,da, dowolnymi zbiorami.

Definicja 1.2.2. M´owimy, ˙ze zbi´or A jest r´owny zbiorowi B, gdy ka˙zdy element
zbioru A jest elementem zbioru B i ka˙zdy element zbioru B jest elementem zbioru
A. Piszemy wtedy A = B.

Okre´slimy teraz dziaÃlania na zbiorach.

Definicja 1.2.3. Suma, zbior´ow A i B nazywamy zbi´or zÃlo˙zony ze wszystkich

element´ow, kt´ore nale˙za, do zbioru A lub do zbioru B.

a ∈

A ∪ B

⇔

h¡

a ∈ A

∨

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.4. Iloczynem zbior´ow A i B nazywamy zbi´or zÃlo˙zony z element´ow,
kt´ore jednocze´snie nale˙za, do zbioru A i do zbioru B.

a ∈

A ∩ B

⇔

h¡

a ∈ A

∧

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.5. R´o˙znica, zbior´ow A i B nazywamy zbi´or zÃlo˙zony z tych ele-

ment´ow, kt´ore nale˙za, do zbioru A i nie nale˙za, do zbioru B.

a ∈

A \ B

⇔

h¡

a ∈ A

∧ ∼

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.6. Je˙zeli ka˙zdy element zbioru A nale˙zy do zbioru B, to m´owimy,

˙ze zbi´or A zawiera sie, w zbiorze B.

a ∈

A ⊂ B

⇔

h¡

a ∈ A

⇒

a ∈ B

¢i

Definicja 1.2.7. Zbiory A i B nazywamy rozÃla,cznymi, je˙zeli nie maja, wsp´olnego

elementu, tzn. A ∩ B = ∅.

Przypu´s´cmy teraz, ˙ze wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory, w ustalonym

zagadnieniu sa, podzbiorami jednego zbioru, kt´ory oznaczymy przez X. Wtedy

dla ka˙zdego rozpatrywanego zbioru A mamy: A ⊂ X. Zbi´or X nazywa´c be,dziemy

przestrzenia,.
Definicja 1.2.8. DopeÃlnieniem zbioru A (do przestrzeni X) nazywamy zbi´or
A

= X \ A.

x ∈ A

⇔

h¡

x ∈ X

∧ ∼

x ∈ A

¢i

PrzykÃlad 1.2.1. DopeÃlnieniem zbioru liczb ujemnych (do zbioru liczb rzeczy-
wistych) jest zbi´or liczb nieujemnych.

Ka˙zde dziaÃlanie w rachunku zbior´ow ma sw´oj odpowiednik w rachunku zda´

i na odwr´ot. Mo˙zemy to ustali´c por´ownuja,c okre´slenia odpowiednich dziaÃla´n. Na

przykÃlad iloczynowi zbior´ow odpowiada koniunkcja, gdy˙z a ∈ A ∩ B wtedy i tylko
wtedy, gdy a jest elementem zbioru A i (koniunkcja) jest elementem zbioru B.
Fakt ten prowadzi w konsekwencji do wykorzystania praw rachunku zda´

n przy

dowodzeniu praw rachunku zbior´ow.

Niech dane be,da, dwa dowolne i niepuste zbiory A i B oraz niech a ∈ A i b ∈ B.

Uporza,dkowana, pare, element´ow a i b be,dziemy oznaczali (a, b).
Definicja 1.2.8. Iloczynem kartezja´

nskim zbior´ow A i B nazywamy zbi´or upo-

rza,dkowanych par (a, b) takich, ˙ze a ∈ A i b ∈ B.

A × B = {(a, b) : a ∈ A ∩ b ∈ B}.

Zadanie 1.2.1. Udowodni´c podane r´owno´sci
a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C),
b) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C),
c) (A ∪ B)

= A

∩ B

d) (A ∩ B)

= A

∪ B

e) (A \ B) ∩ B = ∅,
f ) A \ B = A ∩ B

g) A \ B = A \ (A ∩ B),
h) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,
i) (A ∩ B) ∪ (A

∩ B) = B.

Zadanie 1.2.2. Podaj interpretacje, geometryczna, na pÃlaszczy´znie OXY naste,-

puja,cych zbior´ow

a) < 2, 3 > × < 1, 5 >,

b) N × {2},

c) R× < 1, ∞ >,

d) R × {π}.

1.3. Funkcje zdaniowe. Kwantyfikatory.

Definicja 1.3.1. Funkcja, zdaniowa, z jedna, zmienna,, okre´slona, w dziedzinie D

nazywamy takie wyra˙zenie zawieraja,ce ta, zmienna,, kt´ore staje sie, zdaniem, gdy

na miejsce zmiennej podstawimy dowolny element zbioru D.

PrzykÃlad 1.3.1.

”x jest liczba, pierwsza,”

Powy˙zsza funkcja zdaniowa ze zmienna, x okre´slona na zbiorze liczb rzeczy-

wistych, na przykÃlad dla x = 2 jest zdaniem prawdziwym, a dla x = 100 jest
zdaniem faÃlszywym.

PrzykÃlad 1.3.2. Ka˙zde r´ownanie oraz ka˙zda nier´owno´s´c sa, funkcjami zdaniowy-

mi.

W´sr´od wszystkich element´ow a z dziedziny D funkcji zdaniowej ϕ wyr´o˙zniamy

te, dla kt´orych zdanie ϕ(a) jest prawdziwe. O takich elementach m´owimy, ˙ze
speÃlniaja, funkcja, zdaniowa,.

Definicja 1.3.2. Funkcje, zdaniowa, nazywamy to˙zsamo´sciowa, , je˙zeli speÃlnia ja,

ka˙zdy element z jej dziedziny, natomiast nazywamy ja, sprzeczna,, je˙zeli nie speÃlnia

jej ˙zaden element z dziedziny.

Dwie funkcje zdaniowe nazywamy r´ownowa˙znymi , gdy maja, wsp´olna, dzie-

dzine, i gdy ka˙zdy element, kt´ory speÃlnia jedna, z nich, speÃlnia tak˙ze druga, i na

odwr´ot.

Je˙zeli dla ka˙zdego x ∈ D funkcja zdaniowa ϕ(x) o dziedzinie D jest zdaniem

prawdziwym, to fakt ten zapisujemy w naste,puja,cy spos´ob

x∈D

ϕ(x)

i odczytujemy: ”dla ka˙zdego x jest ϕ(x)”.

Je˙zeli w dziedzinie D istnieje co najmniej jeden element x, dla kt´orego funkcja

zdaniowa ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym, to piszemy

x∈D

ϕ(x)

i odczytujemy: ”istnieje taki x, ˙ze ϕ(x)”.

Definicja 1.3.3. Funktor

nazywamy kwantyfikatorem og´olnym, a funktor

kwantyfikatorem szczeg´oÃlowym.

Zauwa˙zmy, ˙ze kwantyfikator og´olny jest uog´olnieniem koniunkcji

x∈X

ϕ(x) ⇔

ϕ(x

) ∧ ϕ(x

) ∧ . . . ∧ ϕ(x

)

Natomiast kwantyfikator szczeg´oÃlowy jest uog´olnieniem alternatywy

x∈X

ϕ(x) ⇔

ϕ(x

) ∨ ϕ(x

) ∨ . . . ∨ ϕ(x

)

Podamy teraz kilka tautologii rachunku funkcji zdaniowych.
1.

x∈X

[ϕ(x) ∨ ψ(x)] ⇔

x∈X

ϕ(x) ∨

x∈X

ψ(x)

x∈X

[ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇒

x∈X

ϕ(x) ∧

x∈X

ψ(x)

x∈X

[ϕ(x) ∧ ψ(x)] ⇔

x∈X

ϕ(x) ∧

x∈X

ψ(x)

x∈X

[ϕ(x) ∨ ψ(x)] ⇐

x∈X

ϕ(x) ∨

x∈X

ψ(x)

5. Prawa de Morgana dla kwantyfikator´ow
∼

h W

x∈X

ϕ(x)

⇔

x∈X

∼ ϕ(x)

∼

h V

x∈X

ϕ(x)

⇔

x∈X

∼ ϕ(x)

PrzykÃlad 1.3.1. Rozwa˙zmy dwa zdania
p =

x∈X

x ≥ 0 ∨ x < 0

q =

x∈X

x ≥ 0 ∨

x∈X

x < 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze w(p) = 1 oraz w(q) = 0. Zatem jedynie zdanie p mo˙ze wynika´c

ze zdania q (q ⇒ p). Niech teraz
p =

x∈X

x ≥ 0 ∧ x < 0

q =

x∈X

x ≥ 0 ∧

x∈X

x < 0.

W tym przypadku w(p) = 0 oraz w(q) = 1. Zatem mo˙ze tylko zachodzi´c

p ⇒ q.

Zadanie 1.3.1. Kt´ore z podanych zda´

n sa, prawdziwe, a kt´ore faÃlszywe.

x∈R

sin 2x = 2 sin x cos x,

x∈R

sin 2x = 2 sin x,

x∈R

√

= x,

x∈R

√

= −x,

x∈R

| x |≥ 0,

f )

x∈R

y∈R

y < x,

x∈R

y∈R

y < x.

Zadanie 1.3.2. Zbuduj zaprzeczenie podanych zda´

x∈R

cos 2x = cos

x − sin

x∈R

y∈R

y < x,

x∈R

y∈R

x < y,

x∈R

− 2 ≤ 0.

1.4. Kres g´

orny i dolny zbioru.

W tym paragrafie be,dziemy rozwa˙za´c podzbiory przestrzeni liczb rzeczywis-

tych R. Niech Z be,dzie dowolnym podzbiorem przestrzeni R.

Definicja 1.4.1. Elementem najwie,kszym zbioru Z nazywamy te, liczbe,, kt´ora

nale˙zy do zbioru Z i jest wie,ksza od ka˙zdego z pozostaÃlych element´ow zbioru Z.

max Z = a ⇔

a ∈ Z ∧

x∈Z

x ≤ a

Elementem najmniejszym zbioru Z nazywamy te, liczbe,, kt´ora nale˙zy do zbioru Z

i jest mniejsza od ka˙zdego z pozostaÃlych element´ow zbioru Z.

min Z = b ⇔

b ∈ Z ∧

x∈Z

x ≥ b

PrzykÃlad 1.4.1. Elementem najmniejszym zbioru liczb naturalnych jest liczba
1.

Zbi´or liczb caÃlkowitych nie ma element´ow najmniejszego i najwie,kszego.

Niech A =< 2; 4 >. Wtedy max A = 4 oraz min A = 2. Je˙zeli A = (2, 4 >, to

min A nie istnieje.

Definicja 1.4.2. Liczbe, a nazywamy ograniczeniem g´ornym zbioru Z, je´sli

x∈Z

x ≤ a.

Liczbe, a nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru Z, je´sli

x∈Z

x ≥ a.

PrzykÃlad 1.4.2. Niech dane be,da, zbiory A = {

n+1

: n ∈ N} i B = {

2n−1

n ∈ N}. Wtedy A = {1,

4
3

3
2

8
5

5
3

, . . .}. Zauwa˙zmy, ˙ze ograniczeniem dolnym

zbioru A moga, by´c mie,dzy innymi naste,puja,ce liczby: -100, -0.5, 0,

1
3

. Ponadto

B = {1,

2
3

3
5

4
7

, . . .}. W tym przypadku ograniczeniem g´ornym zbioru B sa, mie,dzy

innymi liczby: 1,

3
2

, 2, 101.

Definicja 1.4.3. Zbi´or Z nazywamy ograniczonym od g´ory , je˙zeli istnieje ogra-
niczenie g´orne zbioru Z.

M ∈R

x∈Z

x ≤ M

Zbi´or Z nazywamy ograniczonym od doÃlu, je˙zeli istnieje ograniczenie dolne zbioru
Z.

m∈R

x∈Z

x ≥ m

Zbi´or Z nazywamy ograniczonym, je´sli jest ograniczony od g´ory i od doÃlu. W
przeciwnym przypadku zbi´or Z nazywamy nieograniczonym.

PrzykÃlad 1.4.3.

Zbi´or liczb naturalnych jest ograniczony od doÃlu i nie jest

ograniczony od g´ory. Zbi´or odwrotno´sci liczb naturalnych jest ograniczony od
dolu (przez liczbe, 0) i od g´ory (przez liczbe, 1).

Definicja 1.4.4. Kresem g´ornym zbioru nazywamy najmniejsze z ogranicze´

g´ornych tego zbioru.

M = sup Z ⇔

x∈Z

x ≤ M ∧

ε>0

∈Z

> M − ε

Kresem dolnym zbioru nazywamy najwie,ksze z ogranicze´n dolnych tego zbioru.

m = inf Z ⇔

x∈Z

x ≥ m ∧

ε>0

∈Z

< m + ε

Zauwa˙zmy, ˙ze kres g´orny zbioru jest najmniejsza, liczba, ograniczaja,ca, ten zbi´or z

g´ory, za´s kres dolny zbioru jest najwie,ksza, liczba, ograniczaja,ca, ten zbi´or z doÃlu.

Ponadto najmniejszy element zbioru (o ile istnieje) jest jednocze´snie kresem dol-
nym tego zbioru, a najwie,kszy jego element (o ile istnieje) jest kresem g´onym.

PrzykÃlad 1.4.4. Rozwa˙zmy zbiory A i B z przykÃladu 1.4.2. Mamy

sup A = 2,

inf A = 1,

sup B = 1,

inf B =

1
2

Twierdzenie 1.4.1. (Aksjomat cia,gÃlo´sci Dedekinda) Ka˙zdy niepusty zbi´or ogra-

niczony z g´ory ma kres g´orny. Ka˙zdy niepusty zbi´or ograniczony z doÃlu ma kres
dolny.

Zadanie 1.4.1. Znale´z´c kresy podanych zbior´ow.
A = (−∞, 1 >,

B = (2, ∞),

C = {2

−n

: n ∈ N},

D = {

n+1

: n ∈ N},

E = {

n−1

: n ∈ N}.

Definicja 1.4.5. Otoczeniem punktu x

o promieniu δ(δ > 0) nazywamy zbi´or

Q(x

, δ) = {x : 0 ≤| x − x

|< δ}.

Sa,siedztwem punktu x

o promieniu δ(δ > 0) nazywamy zbi´or

S(x

, δ) = {x : 0 <| x − x

|< δ}.

Z powy˙zszej definicji wynika, ˙ze

Q(x

, δ) = (x

− δ; x

+ δ) oraz S(x

, δ) = (x

− δ; x

+ δ) \ {x

Zauw˙zmy, ˙ze w definicji 1.4.5. wykorzystano warto´s´c bezwzgle,dna,, kt´ora w

dalszej cze,´sci wykÃladu be,dzie sie, cze,sto pojawia´c. Przypomnimy wie,c definicje, i

pewne wÃlasno´sci warto´sci bezwzgle,dnej.

Definicja 1.4.6.

| x |=

x ≥ 0,

−x, x < 0.

WÃla´sciwo´sci warto´sci bezwzgle,dnej:

1. | x |≥ 0,
2. | x |=| −x |,
3. | x |≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a ⇔ x ∈< −a; a >,
4. | x |≥ a ⇔ (x ≥ a ∨ x ≤ −a) ⇔ x ∈ (−∞; −a > ∪ < a; ∞),
5. | x · y |=| x | · | y |,
6. |

x
y

|x|
|y|

, dla y 6= 0,

7. | x + y |≤| x | + | y | (nier´owno´s´c tr´ojka,ta),

8. | x − y |≤| x | + | y |,
9.

¯| x | − | y |

¯≤| x + y |,

10.

¯| x | − | y |

¯≤| x − y |.

Ponadto w dalszym cia,gu be,dziemy wykorzystywa´c symbol ”du˙zej sigmy”

Sume, n skÃladnik´ow zapisujemy kr´otko w naste,puja,cy spos´ob

+ a

+ . . . + a

k=1

Litere, k nazywamy wska´znikiem sumacyjnym, n za´s - g´orna, granica, sumowania.

Zadanie 1.4.2. Zapisa´c kr´otko przy u˙zyciu symbolu du˙zej sigmy
a) sume, wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 80,

b) sume, odwrotno´sci wszystkich liczb naturalnych z przedziaÃlu (π; 14 >,

c) sume, kwadrat´ow wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 8,

d) sume, kwadrat´ow odwrotno´sci wszystkich liczb naturalnych z przedziaÃlu (0, 2π).

Zadanie 1.4.3. Oblicz

k=0

k=1

k=0

k+1

k=2

k+2

k=1

k−1

1.5. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne.

Definicja 1.5.1. M´owimy, ˙ze zbi´or A jest r´ownoliczny ze zbiorem B i piszemy
A ∼ B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja r´o˙znowarto´sciowa f : A → B,
kt´ora jest odwzorowaniem zbioru A na zbi´or B.

Zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or sko´

nczony nie jest r´ownoliczny z ˙zadnym ze swoich pod-

zbior´ow. Istnieja, zbiory , kt´ore sa, r´ownoliczne ze swoimi podzbiorami. Na przy-

kÃlad zbi´or liczb naturalnych jest r´ownoliczny ze zbiorem liczb nieparzystych lub
ze zbiorem liczb podzielnych przez 3. Istotnie w obu tych przypadkach mo˙zemy
znale´z´c r´o˙znowarto´sciwa, funkcje, odwzorowuja,ca, zbi´or liczb naturalnych na jeden

z wymienionych zbior´ow. W przypadku zbioru liczb nieparzystych taka, funkcja,

jest f (x) = 2x + 1, x ∈ N, za´s w przypadku zbioru liczb podzielnych przez 3
f (x) = 3x, x ∈ N.

Definicja 1.5.2. Zbi´or Z nazywamy zbiorem niesko´

nczonym wtedy i tylko wtedy,

gdy jest on r´ownoliczny z pewnym swoim podzbiorem.

Na mocy poprzednich rozwa˙za´

n zauwa˙zmy, ˙ze zbi´or liczb naturalnych jest

niesko´

nczony.

Definicja 1.5.3. Zbi´or Z nazywamy zbiorem przeliczalnym wtedy i tylko wtedy,
gdy jest on r´ownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.

Oczywi´scie ka˙zdy zbi´or przeliczalny jest zbiorem niesko´

nczonym.

Cze,sto m´owi sie,, ˙ze zbi´or przeliczalny to zbi´or, kt´orego wszystkie elementy

mo˙zna ustawi´c w cia,g niesko´nczony, przy czym ka˙zdy element zbioru wysta,pi w

tym cia,gu tylko raz.

PrzykÃlad 1.5.1.

Rozwa˙zmy zbi´or liczb caÃlkowitych.

Elementy tego zbioru

ustawmy w naste,puja,cy cia,g

0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . .

W cia,gu tym ka˙zda liczba caÃlkowita wysta,pi tylko raz. Oznacza to, ˙ze zbi´or liczb

caÃlkowitych jest przeliczalny.

Definicja 1.5.4. Niepusty zbi´or Z, kt´ory nie jest ani sko´

nczony, ani przeliczalny

nazywamy zbiorem nieprzeliczalnym.

2. CIA,GI LICZBOWE.

RozdziaÃl ten rozpoczniemy przypomnieniem podstawowych wiadomo´sci doty-

cza,cych funkcji.
Definicja 2.1. Funkcja f : X → Y odwzorowuja,ca zbi´or X w zbi´or Y jest to

przyporza,dkowanie ka˙zdemu elementowi ze zbioru X dokÃladnie jedenego elementu

ze zbioru Y .

Zbi´or X nazywamy dziedzina, funkcji, a zbi´or Y przeciwdziedzina, lub zbiorem

warto´sci. Elementy zbioru X nazywamy argumentami, a elementy zbioru Y -
warto´sciami funkcji.

Wykresem funkcji y = f (x) nazywamy zbi´or wszystkich punkt´ow (x, f (x)),

x ∈ X.

Czasami be,dziemy stosowa´c naste,puja,ce oznaczenie dziedziny funkcji D

Interesowa´c nas be,da, przede wszystkim funkcje, kt´orych dziedzina, i prze-

ciwdziedzina, sa, podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Takie funkcje nazywamy

funkcjami liczbowymi. Przy okre´slaniu tych funkcji niekiedy podajemy tylko przy-
porza,dkowanie nie ustalaja,c dziedziny. Obowia,zuje wtedy umowa, ˙ze za dziedzine,

nale˙zy przyja,´c podzbi´or zbioru liczb rzeczywistych, dla kt´orego wz´or ustalaja,cy

przyporza,dkowanie ma sens. Tak rozumiana, dziedzine, nazywamy dziedzina, natu-

ralna,.

Podamy teraz kilka szczeg´olnych wÃlasno´sci funkcji liczbowych.

Definicja 2.2. Funkcje, f nazywamy ograniczona, z doÃlu (z g´ory) na zbiorze A ⊂

, je˙zeli zbi´or jej warto´sci jest ograniczony z doÃlu (z g´ory), tzn.

m∈R

x∈A

f (x) ≥ (≤)m

Definicja 2.3. Funkcje, f nazywamy rosna,ca, na zbiorze A ⊂ D

, je˙zeli wie,kszej

warto´sci argumentu odpowiada wie,ksza warto´s´c funkcji, tzn.

∈A

< x

⇒ f (x

) < f (x

)

(2.1)

Definicja 2.4. Funkcje, f nazywamy maleja,ca, na zbiorze A ⊂ D

, je˙zeli wie,kszej

warto´sci argumentu odpowiada mniejsza warto´s´c funkcji, tzn.

∈A

< x

⇒ f (x

) > f (x

)

(2.2)

Je˙zeli w warunku (2.1) osÃlabimy druga, nier´owno´s´c, to funkcje, f be,dziemy nazywa´c

niemaleja,ca,. Je´sli za´s osÃlabimy druga, nier´owno´s´c w warunku (2.2), to funkcje,

be,dziemy nazywa´c nierosna,ca,.

Powiemy, ˙ze funkcja f jest monotoniczna, gdy jest rosna,ca, maleja,ca, nieros-

na,ca lub niemaleja,ca.

Definicja 2.5. Funkcje, f nazywamy parzysta,, je˙zeli

x∈D

− x ∈ D

∧ f (−x) = f (x)

Definicja 2.6. Funkcje, f nazywamy nieparzysta,, je˙zeli

x∈D

− x ∈ D

∧ f (−x) = −f (x)

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgle,dem osi OY , a wykres funkcji

nieparzystej jest symetryczny wzgle,dem pocza,tku ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych.

Definicja 2.7. Funkcje, f nazywamy okresowa,, je˙zeli

T >0

x∈D

x + T ∈ D

∧ f (x + T ) = f (x)].

Liczbe, T nazywamy wtedy okresem funkcji f.

Zadanie 2.1. Zbada´c monotoniczno´s´c podanych funkcji na wskazanych zbiorach

a) f (x) =

+ 1

, (−∞; 0 >;

b) f (x) =

√

x + 1, < −1; ∞);

c) f (x) =

1 + x

, < 0, ∞);

d) f (x) = x

− 2x, (−∞, 1 >.

Zadanie 2.2. Zbada´c, czy podane funkcje sa, parzyste, czy nieparzyste

a) f (x) = 2

+ 2

−x

;

b) f (x) =

sin x

;

c) f (x) =

2 + x

;

d) f (x) = 3

− 3

−x

Przypomnimy teraz definicje, cia,gu liczbowego.

Definicja 2.8.

Funkcje, odwzorowuja,ca, zbi´or liczb naturalnych w zbi´or liczb

rzeczywistych nazywamy cia,giem liczbowym.

Warto´sci tej funkcji nazywamy wyrazami cia,gu i oznaczamy f(n) = a

Na mocy tej definicji wÃlasno´sci funkcji, takie jak monotoniczno´s´c i ograniczo-

no´s´c w naturalny spos´ob mo˙zna przenie´s´c na cia,gi liczbowe.

Zadanie 2.3. Zbada´c monotoniczno´s´c podanych cia,g´ow

a) a

n − 1

;

b) a

= 5

− 3

;

c) a

+ 4 − n;

d) a

+ 1

Zadanie 2.4. Podaj przykÃlad cia,gu ograniczonego.

Wa˙zna, role, w zastosowaniach peÃlnia, cia,gi arytmetyczne i geometryczne, znane z

kursu matematyki w szkole ´sredniej. Przypomnijmy w tym miejscu kilka podsta-
wowych wiadomo´sci dotycza,cych tego zagadnienia.

Definicja 2.9. Cia,giem arytmetycznym nazywamy cia,g, w k´orym ka˙zdy wyraz,

z wyja,tkiem pierwszego, r´o˙zni sie, od wyrazu bezpo´srednio go poprzedzaja,cego o

staÃla, liczbe, r´o˙zna, od zera, zwana, r´o˙znica, cia,gu

r∈R

n∈N\{1}

− a

n−1

= r

ÃLatwo wykaza´c, ˙ze je˙zeli r > 0, to cia,g jest rosna,cy, a gdy r < 0, to cia,g jest

maleja,cy.

Ponadto dla cia,gu arytmetycznego prawdziwe sa, wzory

n∈N\{1}

= a

+ (n − 1)r,

n∈N\{1}

n−1

+ a

n+1

n∈N\{1}

= a

+ a

+ . . . + a

+ a

= a

Definicja 2.10.

Cia,giem geometrycznym nazywamy cia,g, w k´orym stosunek

dowolnego wyrazu, z wyja,tkiem pierwszego, do wyrazu bezpo´srednio go poprze-

dzaja,cego jest staÃly.

q∈R

n∈N\{1}

n−1

= q

Liczbe, q nazywamy ilorazem cia,gu.

Dla cia,gu geometrycznego prawdziwe sa, wzory

n∈N\{1}

= a

n−1

n∈N\{1}

= a

+ a

+ . . . + a

= a

1 − q

gdy q 6= 1,

n∈N\{1}

= n · a

gdy q = 1,

oraz

= a

Ponadto dla cia,gu o wyrazach dodatnich mamy

n∈N\{1}

√

n−1

· a

n+1

Je˙zeli w cia,gu geometrycznym o wyrazach dodatnich 0 < q < 1, to cia,g ten jest

maleja,cy, je´sli q > 1, to cia,g jest rosna,cy.

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze | q |< 1. W´owczas naste,puja,cym wzorem mo˙zemy zsumo-

wa´c wszystkie wyrazy cia,gu geometrycznego {a

}

S =

1 − q

Zadanie 2.5. Znale´z´c cia,g arytmetyczny, kt´orego pierwszy wyraz jest r´owny 1, a

suma pocza,tkowych pie,ciu wyraz´ow jest cztery razy mniejsza od sumy naste,pnych

pie,ciu wyraz´ow.

Zadanie 2.6. Sprawdzi´c, ˙ze je˙zeli {a

} jest cia,giem geometrycznym, to cia,g

+ a

n+1

} jest tak˙ze cia,giem geometrycznym.

Zadanie 2.7. Obliczy´c sume, 1 −

√

1
2

−

√

+ ... .

Zadanie 2.8. Zamieni´c uÃlamek 0, 4(12) na uÃlamek zwykÃly.

Zadanie 2.9. Rozwia,za´c podane r´ownania i nier´owno´sci

a) 2

+ 2

+ .. = 1,

b) (x + 1) + (x + 1)

+ (x + 1)

+ ... =

x +

3
2

c) 1 + a + a

+ a

+ ... + a

= (1 + a)(1 + a

)(1 + a

d) (x + 1) + (x + 4) + .. + (x + 28) = 155.

2.1. Granica cia,gu.

Definicja 2.1.1. Liczbe, g nazywamy granica, cia,gu {a

}, je˙zeli prawie wszystkie

wyrazy tego cia,gu nale˙za, do otoczenia liczy g o promieniu ε, tj.

lim

n→∞

= g ⇔

ε>0

n>δ

| a

− g |< ε.

Je˙zeli cia,g {a

} ma granice, to nazywa´c go be,dziemy cia,giem zbie˙znym.

Definicje, granicy mo˙zna r´ownie˙z sformuÃlowa´c w naste,pujc,y spos´ob: Liczba

g jest granica, cia,gu, gdy wszystkie jego wyrazy r´o˙znia, sie, od g o dowolnie maÃla

liczbe, dodatnia, ε, pocza,wszy od pewnego wska´znika. Wa˙zna jest uwaga, ˙ze na og´oÃl

liczba δ, o kt´orej mowa w definicji, nie mo˙ze by´c ustalona na zawsze, ale zale˙zy od
wyboru ε.

Wa˙zna, role, odgrywa przypadek, gdy cia,g jest zbie˙zny do zera. W´owczas

mamy

lim

n→∞

= 0 ⇔

ε>0

n>δ

| a

|< ε

co oznacza, ˙ze prawie wszystkie wyrazy cia,gu zbie˙znego do zera co do warto´sci

bezwzgle,dnej sa, mniejsze od pewnej maÃlej ustalonej liczby dodatniej ε.

Twierdzenie 2.1.1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym zbie˙zno´sci cia,gu

} do liczby g jest zbie˙zno´s´c cia,gu {a

− g} do zera.

Dow´

od. Konieczno´s´c warunku wynika bezpo´srednio z definicji 2.1.1. granicy

cia,gu.

Aby dowie´s´c dostateczno´sci tego warunku zaÃl´o˙zmy, ˙ze cia,g α

= a

− g jest

zbie˙zny do zera. Mamy w´owczas

ε>0

n>δ

| α

|< ε.

Zatem

ε>0

n>δ

| a

− g |< ε.

Co ko´

nczy dow´od.

PrzykÃlad 2.1.1. Rozwa˙zmy cia,g {

√

n}. Poka˙zemy, ˙ze jest to cia,g zbie˙zny do 1.

Niech wie,c a

√

n − 1. Korzystaja,c ze wzoru Newtona mamy

n = (

√

= (1 + a

)

= 1 + na

+ . . . + a

czyli

n − 1 = na

+ . . . + a

Niech n ≥ 2. Poniewa˙z a

> 0, wie,c

n − 1 >

n(n − 1)

czyli

Sta,d otrzymujemy

| a

Zatem

√

n − 1 |<

Oznacza to, ˙ze dla dowolnie wybranego ε > 0 istnieje taka liczba δ =

, ˙ze

n>δ

√

n − 1 |< ε.

Wobec tego mo˙zemy twierdzi´c, ˙ze

lim

n→∞

√

n = 1.

Twierdzenie 2.1.2. Ka˙zdy cia,g zbie˙zny jest ograniczony.

Dow´

od. Niech {a

} be,dzie cia,giem zbie˙znym do granicy g. Zatem dla ε = 1

istnieje taka liczba δ, ˙ze dla wszystkich n > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c

| a

− g |< 1.

Wobec tego, na mocy nier´owno´sci tr´ojka,ta mamy

| a

|=| a

− g + g |≤| a

− g | + | g | .

Sta,d wynika, ˙ze dla wszystkich n > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c

| a

|≤ 1+ | g | .

Dla n ≤ δ niech A oznacza najwie,ksza, z liczb | a

|. Niech ponadto M =

max

A, 1+ | g |

. Wtedy dla ka˙zdego n ∈ N mamy | a

|≤ M , co oznacza,

˙ze cia,g {a

} jest ograniczony.

Z twierdzenia 2.1.2. wynika, ˙ze warunkiem koniecznym zbie˙zno´sci cia,gu licz-

bowego jest jego ograniczono´s´c. Nie jest to jednak warunek dostateczny, o czym

´swiadczy naste,puja,cy przykÃlad.

PrzykÃlad 2.1.2. Niech dany be,dzie cia,g o wyrazie og´olnym a

= (−1)

. ÃLatwo

wida´c, ˙ze cia,g ten jest ograniczony, gdy˙z

n∈N

| (−1)

|≤ 1.

Z drugiej strony wyrazami tego cia,gu sa, liczby 1 lub −1. Jednak˙ze ˙zadna z nich

nie jest jego granica,, gdy˙z istnieja, takie otoczenia liczb 1 i −1, w kt´orych nie le˙za,

prawie wszystkie wyrazy cia,gu, np. S(1;

1
2

), S(−1 :

1
2

). Liczba r´o˙zna od 1 i −1

te˙z nie mo˙ze by´c granica, tego cia,gu, bo w jej otoczeniu o dostatecznie maÃlym

promieniu nie znajduje sie, ˙zaden wyraz tego cia,gu. Oznacza to, ˙ze cia,g {(−1)

}

nie ma granicy.

Z powy˙zszego przykÃladu wynika te˙z, ˙ze w´sr´od cia,g´ow liczbowych istnieja, takie

cia,gi, kt´ore nie posiadaja, granicy.

Ponadto mo˙zemy r´ownie˙z m´owi´c o cia,gach rozbie˙znych.

Definicja 2.1.2. M´owimy, ˙ze cia,g {a

} jest rozbie˙zny do plus niesko´

nczono´sci

wtedy i tylko wtedy, gdy

n>δ

> ε.

Definicja 2.1.3. M´owimy, ˙ze cia,g {a

} jest rozbie˙zny do minus niesko´

nczono´sci

wtedy i tylko wtedy, gdy

n>δ

< ε.

PrzykÃlad 2.1.3. Ka˙zdy cia,g arytmetyczny o r´o˙znicy dodatniej jest rozbie˙zny do

plus niesko´

nczono´sci. Ka˙zdy cia,g arytmetyczny o r´o˙znicy ujemniej jest rozbie˙zny

do minus niesko´

nczono´sci.

Zadanie 2.1.1. Korzystaja,c z definicji granicy cia,gu pokaza´c, ˙ze

a) lim

n→∞

−1

= 1,

b) lim

n→∞

3n−1
2n+1

3
2

lim

n→∞











+∞, q > 1,
1,

q = 1,

| q |< 1.

2.2. DziaÃlania arytmetyczne na granicach cia,g´ow.

Niech dane be,da, cia,gi liczbowe {a

} i {b

}. Cia,gi

+ b

− b

· b

}

nazywamy odpowiednio: suma,, r´o˙znica, i iloczynem cia,g´ow {a

} i {b

}. Je˙zeli

zaÃlo˙zymy dodatkowo, ˙ze

n∈N

6= 0, to cia,g

n a

nazywamy ilorazem cia,g´ow {a

} i {b

Twierdzenie 2.2.1. (o dziaÃlaniach arytmetycznych na granicach cia,g´ow zbie˙z-

nych) Je˙zeli cia,gi {a

} i {b

} sa, zbie˙zne i

lim

n→∞

= a

lim

n→∞

= b,

to istnieja, granice cia,g´ow {a

+ b

}, {a

− b

}, {a

· b

} i

1. lim

n→∞

+ b

) = a + b,

2. lim

n→∞

− b

) = a − b,

3. lim

n→∞

· b

) = a · b,

oraz przy zaÃlo˙zeniu, ˙ze

n∈N

6= 0 i b 6= 0 istnieje granica cia,gu

n a

4. lim

n→∞

Dow´

od.

Niech ε be,dzie dowolna, liczba, dodatnia,. Poniewa˙z lim

n→∞

= a i

lim

n→∞

= b, to istnieja, takie liczby δ

i δ

, ˙ze speÃlnione sa, naste,puja,ce warunki

n>δ

| a

− a |<

ε
2

n>δ

| b

− b |<

ε
2

Niech δ = max(δ

; δ

). Wtedy mamy

1. Dla ka˙zdego n > δ na mocy nier´owno´sci tr´ojka,ta

| (a

+ b

) − (a + b) |≤| a

− a | + | b

− b |<

ε
2

= ε.

Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

+ b

) = a + b.

2. Dla ka˙zdego n > δ na mocy wÃla´sciwo´sci 8 warto´sci bezwzgle,dnej

| (a

− b

) − (a − b) |≤| a

− a | + | b

− b |<

ε
2

= ε.

Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

− b

) = a − b.

Aby dowie´s´c punktu 3 tego twierdzenia zauwa˙zmy, ˙ze z zaÃlo˙zenia lim

n→∞

= a

na mocy twierdzenia 2.1.2. wynika, ˙ze cia,g {a

} jest ograniczony, tzn.

M >0

n∈N

| a

|≤ M.

Ponadto z zaÃlo˙zenia lim

n→∞

= a i lim

n→∞

= b wynikaja, odpowiednio naste,puja,ce

warunki

n>δ

| a

− a |<

2(| b | +1)

n>δ

| b

− b |<

Wobec tego mamy

| a

− ab |=| a

− a

b + a

b − ab |≤| a

| · | b

− b | + | b | · | a

− a |

≤ M · | b

− b | +(| b | +1)· | a

− a |

< M

+ (| b | +1) ·

2(| b | +1)

= ε.

Otrzymali´smy zatem

ε>0

n>δ

| a

− ab |< ε.

Dowodza,c punkt 4 twierdzenia zaÃl´o˙zmy, ˙ze

n∈N

6= 0 i

lim

n→∞

= b 6= 0.

Zatem inf | b · b

|= k > 0 oraz

ε>0

n>δ

| b

− b |<

kε

Ponadto z zaÃlo˙zenia lim

n→∞

= a mamy

M >0

n∈N

| a

|≤ M

oraz

ε>0

n>δ

| a

− a |<

| b | ε

Sta,d dla n > δ otrzymujemy

−

¯ =

b − b

¯ =

| a

(b − b

) + b

− a) |

| b

b |

≤

| b

− b | +

| b |

| a

− a |

kε

| b |

| b | ε

= ε.

Zatem mamy

ε>0

n>δ

−

¯ < ε,

co ko´

nczy dow´od.

Czasami spotykamy sie, z zagadnieniem obliczenia granicy cia,gu w sytuacji,

gdy nie mo˙zna bezpo´srednio skorzysta´c z twierdzenia o dziaÃlaniach arytmety-
cznych na granicach cia,g´ow zbie˙znych. Taki przypadek ma miejsce, gdy jeden

z rozwa˙zanych cia,g´ow ma granice, niesko´nczona,. W obliczaniu takich granic mo˙ze

nam pom´oc poni˙zsza tabela.

Je˙zeli

lim

n→∞

= 0, a

> 0

lim

n→∞

= +∞

lim

n→∞

= 0, a

< 0

lim

n→∞

= −∞

lim

n→∞

= ±∞

lim

n→∞

= 0

lim

n→∞

= ±∞

lim

n→∞

· b

) = ±∞

lim

n→∞

= b > 0

lim

n→∞

= ±∞

lim

n→∞

· b

) = ∓∞

lim

n→∞

= b < 0

lim

n→∞

= ±∞

lim

n→∞

· b

) = [0 · ∞] =?

lim

n→∞

= 0

lim

n→∞

· b

) = +∞

lim

n→∞

= lim

n→∞

= ±∞

lim

n→∞

− b

) = [∞ − ∞] =?

lim

n→∞

∞
∞

n∈N

| a

|< M,

lim

n→∞

= 0

lim

n→∞

· b

) = 0

n∈N

| a

|< M,

lim

n→∞

= ±∞

lim

n→∞

= 0

lim

n→∞

= lim

n→∞

= 0

lim

n→∞

0
0

Znak zapytania oznacza, ˙ze bez bardziej szczeg´oÃlowych informacji o cia,gach

} i {b

} nic nie mo˙zna powiedzie´c o danych granicach. Symbole z nawias´ow

kwadratowych: 0 · ∞, ∞ − ∞,

∞
∞

0
0

nazywamy symbolami nieoznaczonymi.

2.3. Twierdzenia o cia,gach monotonicznych i ograniczonych.

W paragrafie tym podamy pewne twierdzenia, kt´ore uÃlatwia, nam liczenie

granic niekt´orych cia,g´ow liczbowych.

Twierdzenie 2.3.1. Je˙zeli cia,g jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbie˙zny.

Dow´

od. Niech cia,g {a

} be,dzie cia,giem niemaleja,cym i ograniczonym. Na pod-

stawie aksjomatu cia,gÃlo´sci Dedekinda, zbi´or jego wyraz´ow posiada kres g´orny

a = sup{a

: n ∈ N}. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

= a. Niech wie,c ε be,dzie dowolna,

liczba, dodatnia,. Z definicji 1.4.4. kresu g´ornego wynika, ˙ze

n≥n

≤ a ∧

> a − ε.

Niech δ = max(n

, n

). Wtedy z monotoniczno´sci cia,gu {a

} mamy

n>δ

≤ a < a + ε ∧ a − ε < a

≤ a

Wobec tego

n>δ

a − ε < a

< a + ε,

co oznacza, ˙ze

ε>0

n>δ

| a

− a |< ε.

W przypadku, gdy cia,g {a

} jest nierosna,cy dow´od przebiega w spos´ob analogicz-

ny.

Twierdzenie 2.3.2. Je˙zeli cia,g jest monotoniczny i nieograniczony, to jest roz-

bie˙zny.

Twierdzenie 2.3.3. (o trzech cia,gach) Je˙zeli cia,gi {a

} i {c

} sa, zbie˙zne do tej

samej granicy oraz

n>n

≤ b

≤ c

(2.3.1)

to cia,g {b

} jest zbie˙zny do tej samej granicy, co cia,gi {a

} i {c

Dow´

od. Niech ε be,dzie dowolna, liczba, dodatnia, i niech

lim

n→∞

= lim

n→∞

= g.

Wtedy istnieje liczba δ taka, ˙ze

n>δ

∈ O(g, ε) ∧ c

∈ O(g, ε).

Poniewa˙z cia,g {b

} speÃlnia nier´owno´s´c (2.3.1), to

n∈N

∈ O(g, ε).

Twierdzenie 2.3.4. (o dw´och cia,gach) Je˙zeli cia,g {a

} jest rozbie˙zny do plus

niesko´

nczono´sci i cia,g {b

} speÃlnia warunek

n>n

≤ b

to lim

n→∞

= +∞.

Twierdzenie 2.3.5. (o dw´och cia,gach) Je˙zeli cia,g {a

} jest rozbie˙zny do minus

niesko´

nczono´sci i cia,g {b

} speÃlnia warunek

n>n

≥ b

to lim

n→∞

= −∞.

Zadanie 2.3.1.

Cia,g {a

} o wyrazach dodatnich jest maleja,cy. Co mo˙zna

powiedzie´c o zbie˙zno´sci tego cia,gu?

Zadanie 2.3.2. Wykaza´c, ˙ze cia,g

jest zbie˙zny.

Zadanie 2.3.3. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli cia,g {a

} jest cia,giem ograniczonym, a cia,g

} jest zbie˙zny do zera, to cia,g {a

} ma granice, r´owna, 0.

Zadanie 2.3.4. Oblicz granice cia,g´ow o naste,puja,cych wyrazach og´olnych
a

√

+ 3

+ 5

(2 + sin n)

+ (2 − cos n)

+ 3

r³

3
5

³ 2

n +

√

+ n

n +

√

n + 1

√

+ n

+ . . . +

n +

√

n + 2n + 1

√

+ n

Zadanie 2.3.5. Oblicz podane granice

a) lim

n→∞

√

i) lim

n→∞

³ 1 + 3 + 5 + ... + 2n − 1

n + 1

− n

b) lim

n→∞

³p

+ 1 − 3n

j) lim

n→∞

³p

+ 3n + 1 − 2n

c) lim

n→∞

n −

√

k) lim

n→∞

1 − 4n

2 + 4 + 6 + . . . + 2n

d) lim

n→∞

1 +

1
2

1
4

1
8

+ .. +

1
2

1 +

1
3

1
9

+ ... +

1
2

l) lim

n→∞

√

n +

√

e) lim

n→∞

³ 1

cos n

−

6n + 1

Ãl) lim

n→∞

³ 2n

1 − 3n

− sin n!

+ 1

2.4. Poje,cie podcia,gu. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa.

Definicja 2.4.1. Niech dany be,dzie cia,g liczbowy

} = {a

, a

, . . .}

oraz rosna,cy cia,g liczb naturalnych

} = {n

, n

, . . .}.

Cia,g

} = {a

, a

, . . .}

nazywamy podcia,giem cia,gu {a

PrzykÃlad 2.4.1. Podcia,gami cia,gu {a

} sa, mie,dzy innymi naste,puja,ce cia,gi

} = {a

, a

, . . .};

n+6

} = {a

, a

, . . .};

2n−1

} = {a

, a

, . . .};

} = {a

, a

, . . .}.

Podamy teraz bez dowodu kilka twierdze´

n dotycza,cych wÃlasno´sci podcia,g´ow.

Twierdzenie 2.4.1. Je˙zeli cia,g {a

} jest zbie˙zny do granicy a, to ka˙zdy jego

podcia,g jest zbie˙zny do granicy a.

Twierdzenie 2.4.2. Je˙zeli cia,g {a

} jest rozbie˙zny, to ka˙zdy jego podcia,g jest

te˙z rozbie˙zny.

Z twierdze´

n 2.4.1 i 2.4.2 wynika, ˙ze odrzucenie dowolnie wielu wyraz´ow cia,gu

nie zmienia jego granicy. R´ownie˙z doÃla,cznie do cia,gu jednego wyrazu nie zmienia

granicy tego cia,gu. Jednak doÃla,czenie do danego cia,gu niesko´nczenie wielu wyra-

z´ow mo˙ze spowodowa´c zmiane, jego granicy.

Wa˙znym twierdzeniem, kt´ore mo˙zemy wykorzysta´c przy liczeniu granic pew-

nych cia,g´ow jest naste,puja,ce twierdzenie

Twierdzenie 2.4.3. Ka˙zdy cia,g ograniczony zawiera podcia,g zbie˙zny.

Z tego twierdzenia wynika naste,puja,cy wniosek

Wniosek 2.4.1. Je´sli wszystkie podcia,gi zbie˙zne danego cia,gu ograniczonego

maja, te, sama, granice,, to dany cia,g jest zbie˙zny do tej granicy.

Zauwa˙zmy, ˙ze wniosek ten mo˙zna wykorzysta´c do pokazania, ˙ze cia,g nie ma

granicy. Wystarczy bowiem wybra´c z tego cia,gu dwa podcia,gi zbie˙zne do dw´och

r´o˙znych granic.

2.5. Liczba e.

Rozwa˙zany cia,g liczbowy o wyrazie og´olnym a

1 +

. Zauwa˙zmy, ˙ze gdy

n → ∞, to wyrazy tego cia,gu daja, nam symbol nieoznaczony 1

∞

Zauwa˙zmy, ˙ze korzystaja,c z dwumianu Newtona mamy

= 1 +

+ . . . +

n
n

= 1 + 1 +

n(n − 1)

+ . . . +

n(n − 1) . . . [n − (n − 1)]

= 1 + 1 +

1 −

+ . . . +

1 −

´³

1 −

· . . . ·

1 −

n − 1

Sta,d otrzymujemy

n+1

= 1+1+

1−

n + 1

+. . .+

(n + 1)!

1−

n + 1

´³

1−

n + 1

·. . .·

1−

n + 1

Wobec tego mamy a

< a

n+1

. Oznacza to, .,ze cia,g

n³

1 +

jest cia,giem

rosna,cym.

Ponadto zauwa˙zmy, ˙ze

≤ 2 +

+ . . . +

Korzystaja,c z faktu, ˙ze

k∈N

k! ≥ 2

k−1

otrzymujemy

≤ 2 +

1
2

+ . . . +

n−1

= 2 +

1
2

1 −

1
2

n−1

1 −

1
2

= 2 +

1 −

¡ 1

n−1

< 3.

Oznacza to, ˙ze cia,g

n³

1 +

jest cia,giem ograniczonym od g´ory.

Zatem na mocy twierdzenia 2.3.1 wnioskujemy, ˙ze cia,g o wyrazie og´olnym

1 +

ma granice,. Granica, tego cia,gu jest liczba niewymierna, kt´ora,

oznaczamy przez e. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze e = 2, 718281828459045 . . . .

Zadanie 2.5.1. Oblicz granice cia,g´ow o wyrazach og´olnych

a) lim

n→∞

1 −

d) lim

n→∞

³ n + 6

b) lim

n→∞

³ n

+ 5

e) lim

n→∞

³ 2 + n

3 + n

c) lim

n→∞

³ n

+ 1

f ) lim

n→∞

³ n

+ 7

n + 1

3. FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ.

W rozdziale tym om´owimy podstawowe wÃlasno´sci funkcji rzeczywistych jednej

zmiennej rzeczywistej, kt´ore nie byÃly wymienione w rozdziale 2.

W szkole ´sredniej analizowane byÃly takie funkcje elementarne jak funkcja li-

niowa i kwadratowa, wielomiany, funkcje wymierne, pote,gowe, wykÃladnicze, loga-

rytmiczne i trygonometryczne. Oczywi´scie opr´ocz wymienionych funkcji istnieja,

inne funkcje elementarne takie jak funkcje cyklometryczne i hiperboliczne, kt´ore
kr´otko om´owimy w tym rozdziale oraz funkcje nie elementarne. Do najcze,´sciej

spotykanych funkcji nie elementarnych zaliczy´c mo˙zemy mie,dzy innymi

1. funkcje, cze,´s´c caÃlkowita Ent : R → Z dana, wzorem

Ent(x) =











...

−2, dla − 2 ≤ x < −1,
−1, dla − 1 ≤ x < 0,
0,

dla 0 ≤ x < 1,

dla 1 ≤ x < 2,

dla 2 ≤ x < 3,

...

;

2. funkcje, signum sgn : R → {−1, 0, 1} dana, wzorem

sgn(x) =











−1, dla x < 0,
0,

dla x = 0,

dla x > 0;

3. funkcje, Dirichleta D : R → {0, 1} dana, wzorem

D(x) =

0, dla x 6∈ Q,
1, dla x ∈ Q.

W dalszej cze,´sci wykÃladu be,dziemy cze,sto posÃlugiwa´c sie, takimi poje,ciami jak

superpozycja funkcji i funkcja odwrotna, dlatego te˙z w naste,pnych paragrafach

zdefiniujemy te poje,cia.

3.1. Superpozycja funkcji.

Niech dane be,da, dwie funkcje f : X → Y oraz g : Z → T. Niech ponadto Y ⊂

Z. Je˙zeli ka˙zdemu elementowi x ∈ X przyporza,dkujemy dokÃladnie jeden element

z ∈ T taki, ˙ze z = g(f (x)), to zdefiniujemy w ten spos´ob funkcje, h : X → T

okre´slona, r´owno´scia, h(x) = g(f(x)) i zwana, superpozycja, funkcji f i g lub funkcja,

zÃlo˙zona,. Superpozycje, funkcji oznaczamy symbolem g ◦ f. Funkcje, f nazywamy

funkcja, wewne,trzna,, a funkcje, g funkcja, zewne,trzna,.

PrzykÃlad 3.1.1. Niech f (x) = tgx i g(x) = x

. W´owczas f : R \ {

+ kπ; k ∈

Z} → R, g : R → R

∪ {0}. Zatem w tym przypadku X = R \ {

+ kπ; k ∈ Z},

Y = R, Z = R i T = R

∪ {0}. Istnieje zatem g ◦ f : R \ {

+ kπ, k ∈ Z} →

∪ {0}, przy czym g ◦ f (x) = g(f (x)) = tg

Ponadto je´sli zawe,zimy przeciwdziedzine, funkcji g tak aby T ⊂ X, to be,dzie-

my mogli okre´sli´c superpozycje, f ◦ g(x) = f(g(x)) = tg(x

Oczywi´scie f ◦ g 6= g ◦ f .

3.2. Funkcja odwrotna.

Niech dana be,dzie funkcja f : X → Y i niech A ⊂ X.

Definicja 3.2.1. Funkcje, f nazywamy r´o˙znowarto´sciowa, na zbiorze A wtedy i

tylko wtedy, gdy

∈A

6= x

⇒ f (x

) 6= f (x

)

PrzykÃlad 3.2.1. Funkcja f (x) = x

jest r´o˙znowarto´sciowa w caÃlej swojej dzie-

dzinie naturalnej.

Funkcja f (x) = x

nie jest r´o˙znowarto´sciowa w swojej dziedzinie natural-

nej, bo na przykÃlad f (−2) = 4 i f (2) = 4. Jednak˙ze funkcja f (x) = x

, x ∈

(−∞, 0 > jest r´o˙znowarto´sciowa. Podobnie funkcja f (x) = x

, x ∈ (0, ∞) jest

r´o˙znowarto´sciowa.

Definicja 3.2.2. Niech f : X → Y be,dzie funkcja, r´o˙znowarto´sciowa,. Funkcje,

−1

: Y → X taka,, ˙ze

f (f

−1

(x)) = f

−1

(f (x)) = x

nazywamy funkcja, odwrotna, do funkcji f.

Zauwa˙zmy, ˙ze tylko funkcje r´o˙znowarto´sciowe posiadaja, funkcje odwrotne.

Funkja odwrotna do danej funkcji ma wykres symetryczny wzgle,dem prostej

y = x.

PrzykÃlad 3.2.2. Niech dana be,dzie funkcja f(x) = x

+ 2x − 1. Funkcja ta nie

jest r´o˙znowarto´sciowa w swojej dziedzinie naturalnej, a zatem nie istnieje funkcja
odwrotna do niej.

Je´sli zawe,zimy dziedzine, tej funkcji tak, aby byÃla ona r´o˙znowarto´sciowa, to

be,dziemy mogli znale´z´c funkcje, do niej odwrotna,. Zauwa˙zmy, ˙ze

f (x) = (x + 1)

− 2, a zatem mo˙zemy dziedzine, zawe,zi´c do jednego ze zbior´ow

(−∞, −1 > lub < −1, ∞).

Rozwa˙zmy, wie,c funkcje, f(x) = x

+ 2x − 1, x ∈< −1, ∞). Funkcja ta

jest r´o˙znowarto´sciowa w swojej dziedzinie. Wobec tego istnieje funkcja do niej
odwrotna, kt´ora, mo˙zemy znale´z´c rozwia,zuja,c wzgle,dem x r´ownanie y = x

+2x−1.

Korzystaja,c z postaci kanonicznej tr´ojmianu kwadratowego mamy y = (x+1)

−2,

a zatem x =

√

y + 2 − 1. Szukana, funkcja, jest wie,c funkcja f

−1

(x) =

√

x + 2 − 1,

kt´orej dziedzina, jest przeciwdziedzina funkcji f, tj < −2, ∞).

Zadanie 3.2.1. Zawe,zi´c dziedzine, podanych funkcji tak, aby byÃly one r´o˙znowar-

to´sciowe, a naste,pnie znale´z´c funkcje odwrotne dla tych funkcji.

a) f (x) = x

− 4x + 5,

c) f (x) = 2 −

√

x + 1,

b) f (x) = log (x − 4) + 6,

d) f (x) = 3

2x+3

3.3. Funkcje cyklometryczne i hiperboliczne.

Wiadomo, ˙ze funkcje trygonometryczne nie sa, r´o˙znowarto´sciowe w swoich dzie-
dzinach naturalnych. Jednak˙ze funkcja sinus na przykÃlad na zbiorze

−

jest r´o˙znowarto´sciowa, a zatem na tym zbiorze istnieje funkcja do niej odwrotna.
Podobnie inne funkcje trygonometryczne sa, r´o˙znowarto´sciowe na pewnych prze-

dziaÃlach. Wobec tego istnieja, funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcje te nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub koÃlowymi, a ich definicje
sa, naste,puja,ce.

Definicja 3.3.1.
Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = sin x, x ∈

−

, nazywamy funkcja, arcus

sinus i piszemy f

−1

(x) = arcsin x, f

−1

:< −1, 1 >→

−

Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = cos x, x ∈

0, π

, nazywamy funkcja, arcus

cosinus i piszemy f

−1

(x) = arccos x, f

−1

:< −1, 1 >→

0, π

Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = tgx, x ∈

−

, nazywamy funkcja, arcus

tangens i piszemy f

−1

(x) = arctgx, f

−1

: R →

−

Funkcje, odwrotna, do funkcji f(x) = ctgx, x ∈ (0, π), nazywamy funkcja, arcus

cotangens i piszemy f

−1

(x) = arcctgx, f

−1

: R → (0, π).

Podamy teraz definicje, funkcji hiperbolicznych.

Definicja 3.3.2.
Funkcje, sinus hiperboliczny okre´slamy wzorem

sinh x =

− e

−x

, x ∈ R.

Funkcje, cosinus hiperboliczny okre´slamy wzorem

cosh x =

+ e

−x

, x ∈ R.

Funkcje, tangens hiperboliczny okre´slamy wzorem

tghx =

sinh x

cosh x

− e

−x

+ e

−x

, x ∈ R.

Funkcje, cotangens hiperboliczny okre´slamy wzorem

ctghx =

cosh x

sinh x

+ e

−x

− e

−x

, x ∈ R \ {0}.

3.4. Granica i cia,gÃlo´s´c funkcji jednej zmiennej.

W paragrafie tym podamy r´ownowa˙zne definicje Heinego i Cauch’ego granicy
funkcji wÃla´sciwej i niewÃla´sciwej w punkcie wÃla´sciwym oraz niewÃla´sciwym. Be,-

dziemy m´owi´c, ˙ze granica jest wÃla´sciwa, gdy be,dzie ona liczba, sko´nczona,, a nie-

wÃla´sciwa, gdy be,dzie r´owna niesko´nczono´sci.

Niech funkcja rzeczywista f zmiennej rzeczywistej x be,dzie okre´slona w pew-

nym sa,siedztwie S(x

, δ) punktu x

. ZakÃladamy, ˙ze funkcja f w punkcie x

mo˙ze

by´c lub nie by´c okre´slona.

Przypomnimy definicje, Heinego zwana, inaczej definicja, cia,gowa,, granicy wÃla-

´sciwej funkcji f w punkcie wÃla´sciwym x

Definicja 3.4.1. M´owimy, ˙ze funkcja f ma granice, wÃla´sciwa, g w punkcie wÃla´sci-

wym x

, je´sli dla ka˙zdego cia,gu {x

} o wyrazach nale˙za,cych do sa,siedztwa S(x

, δ)

i zbie˙znego do punktu x

cia,g {f(x

)} jest zbie˙zny do liczby g.

lim

x→x

f (x) = g ⇔

}

h¡

} ⊂ S(x

, δ) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = g

(3.4.1)

R´ownowa˙zna, definicje, granicy funkcji podaÃl inny matematyk Cauchy. Definicje, ta,

czasami nazywa sie, definicja, epsilonowa,.

Definicja 3.4.2. M´owimy, ˙ze funkcja f ma granice, wÃla´sciwa, g w punkcie wÃla´sci-

wym x

, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje takie sa,siedztwo S(x

, δ), ˙ze dla ka˙zdego

x ∈ S(x

, δ) speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→x

f (x) = g ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 <| x − x

|< δ ⇒| f (x) − g |< ε

(3.4.2)

Wyka˙zemy teraz, ˙ze istotnie obie definicje sa, r´ownowa˙zne. ZaÃl´o˙zmy na pocza,tku,

˙ze zachodzi warunek (3.4.2) istnienia granicy funkcji. Niech cia,g {x

} speÃlnia

warunki (3.4.1). Poniewa˙z lim

n→∞

= x

, wie,c dla dowolnej liczby δ > 0 istnieje

taka liczba k, ˙ze

n>k

0 <| x

− x

|< δ.

Zatem z (3.4.2) otrzymujemy

| f (x

) − g |< ε.

Oznacza to, ˙ze granica, funkcji f w punkcie x

jest liczba g. Zatem pokazali´smy,

˙ze z definicji Cauchy’ego wynika definicja Heinego.

Aby wykaza´c implikacje, odwrotna, udowodnimy, ˙ze negacja warunku (3.4.2) z

definicji Cauchy’ego implikuje negacje, warunku (3.4.1) z definicji Heinego. Negacja

warunku (3.4.2) ma posta´c

ε>0

δ>0

x∈D

0 <| x − x

|< δ∧ | f (x) − g |≥ ε

Przyjmuja,c zatem δ =

mo˙zemy okre´sli´c cia,g {x

} argument´ow speÃlniaja,cych

nier´owno´sci

0 <| x

− x

oraz

| f (x

) − g |≥ ε.

Cia,g {x

} jest wie,c cia,giem zbie˙znym do x

, ale cia,g odpowiadaja,cych mu warto´sci

funkcji {f (x

)} nie speÃlnia warunku (3.4.1). Zatem skoro z negacji warunku

(3.4.2) wynika negacja (3.4.1), to znaczy, ˙ze z definicji Heinego wynika definicja
Cauchy’ego.

PrzykÃlad 3.4.1. Udowodnimy, ˙ze je˙zeli x jest miara, Ãlukowa, ka,ta, to lim

x→0

sin x

= 1.

Poniewa˙z x → 0, wie,c wystarczy rozwa˙zy´c funkcje, f(x) =

sin x

w sa,siedztwie o

promieniu

punktu 0. Zauwa˙zmy ponadto, ˙ze funkcja f jest parzysta, gdy˙z

f (−x) =

sin(−x)

−x

− sin x

−x

sin x

= f (x). Ograniczymy zatem nasze rozwa˙zania

do prawostronnego sa,siedztwa punktu 0.

Na rysunku wida´c, ˙ze pole tr´ojka,ta OAP jest mniejsze od pola wycinka koÃlowego

OAP, a to zn´ow jest mniejsze od pola tr´ojka,ta OAT, czyli

1
2

sin x <

1
2

x <

1
2

tgx.

Wobec tego dla 0 < x <

mamy

0 < sin x < x < tgx.

Sta,d po podzieleniu wszystkich stron tych nier´owno´sci przez sin x otrzymujemy

1 <

sin x

cos x

a przechodza,c do odwrotno´sci mamy

cos x <

sin x

< 1.

Mno˙za,c przez −1, a naste,pnie dodaja,c do wszystkich stron 1 dostajemy

0 < 1 −

sin x

< 1 − cos x.

Poniewa˙z

1 − cos x = 2 sin

< 2 sin

< 2

= x,

wie,c ostatecznie mamy

0 < 1 −

sin x

< x.

Aby wykaza´c, ˙ze lim

x→0

sin x

= 1 zastosujemy definicje, Cauchy’ego granicy funkcji.

Niech wie,c ε be,dzie dowolna, liczba, dodatnia,. nale˙zy udowodni´c, ˙ze istnieje taka

liczba δ i˙z

0 <| x |< δ ⇒

sin x

− 1

¯ < ε,

co na mocy wcze´sniejszych rozwa˙za´

n, zachodzi wtedy, gdy x < ε. Zatem liczba, δ,

kt´orej istnienie nale˙zaÃlo wykaza´c, jest δ = ε.

Z wylicze´

n zawartych w tym przykÃladzie otrzymujemy bardzo przydatne nie-

r´owno´sci

0<x<

0 < sin x < x < tgx,

x∈R

| sin x |≤| x | .

Podamy teraz definicje cia,gowe i epsilonowe granic niewÃla´sciwych w punktach

wÃla´sciwych.

Definicja 3.4.3. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym x

granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S(x

, δ) zbie˙znemu do

punktu x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→x

f (x) = +∞ ⇔

}

h¡

} ⊂ S(x

, δ) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = +∞

Definicja 3.4.4. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym x

granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S(x

, δ) zbie˙znemu do

punktu x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→x

f (x) = −∞ ⇔

}

h¡

} ⊂ S(x

, δ) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = −∞

Definicja 3.4.5. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sci-
wym x

granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje takie sa,siedztwo

S(x

, δ), ˙ze dla ka˙zdego x ∈ S(x

, δ) speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) > ε.

lim

x→x

f (x) = +∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 <| x − x

|< δ ⇒ f (x) > ε

Definicja 3.4.6. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sci-
wym x

granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje takie sa,siedztwo

S(x

, δ), ˙ze dla ka˙zdego x ∈ S(x

, δ) speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) < ε.

lim

x→x

f (x) = −∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 <| x − x

|< δ ⇒ f (x) < ε

Naste,pne definicje okre´slaja, poje,cie granicy funkcji w niesko´nczono´sci.

Definicja 3.4.7.

(Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-

wym +∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} rozbie˙znemu do +∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) zbie˙zny do g.

lim

x→+∞

f (x) = g ⇔

}

lim

n→∞

= +∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

) = g

Definicja 3.4.8.

(Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-

wym −∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} rozbie˙znemu do −∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) zbie˙zny do g.

lim

x→−∞

f (x) = g ⇔

}

lim

n→∞

= −∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

) = g

Definicja 3.4.9. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym +∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, ˙ze dla

ka˙zdego argumentu x > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→+∞

f (x) = g ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

x > δ ⇒| f (x) − g |< ε

Definicja 3.4.10. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym −∞ granice, wÃla´sciwa, g, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ, ˙ze dla

ka˙zdego argumentu x < δ speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→−∞

f (x) = g ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

x < δ ⇒| f (x) − g |< ε

PrzykÃlad 3.4.2. Wyka˙zemy, ˙ze lim

x→+∞

1 +

= e. Z uwagi na to, ˙ze x → +∞

mo˙zemy zaÃlo˙zy´c i˙z x > 1. Niech n = Entx, w´owczas n ≤ x < n + 1. Sta,d mamy

n + 1

i w konsekwencji

1 +

n + 1

1 +

)

1 +

n+1

Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

n→∞

= lim

n→∞

1 +

n + 1

= e

lim

n→∞

= lim

n→∞

1 +

n+1

= e.

Wobec tego dla dowolnej lizcby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze

n>δ

| a

− e |< ε∧ | b

− e |< ε.

Zatem dla ka˙zdego x takiego, ˙ze x ≥ Entx = n > δ mamy

1 +

)

− e

¯ < ε.

Tym samym wykazali´smy istnienie liczby δ, kt´ora wyste,puje w definicji Cauchy’ego

granicy w punkcie niewÃla´sciwym.

Zdefinujemy teraz granice niewÃla´sciwe funkcji w niesko´

nczono´sciach.

Definicja 3.4.11. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
+∞ granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} rozbie˙znemu do +∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→+∞

f (x) = +∞ ⇔

}

lim

n→∞

= +∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

) = +∞

Definicja 3.4.12. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
−∞ granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} rozbie˙znemu do −∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→−∞

f (x) = +∞ ⇔

}

lim

n→∞

= −∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

) = +∞

Definicja 3.4.13. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
+∞ granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} rozbie˙znemu do +∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→+∞

f (x) = −∞ ⇔

}

lim

n→∞

= +∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

) = −∞

Definicja 3.4.14. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sciwym
−∞ granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} rozbie˙znemu do −∞

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→−∞

f (x) = −∞ ⇔

}

lim

n→∞

= −∞ ⇒ lim

n→∞

f (x

) = −∞

Definicja 3.4.15. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym +∞ granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ,

˙ze dla ka˙zdego argumentu x > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) > ε.

lim

x→+∞

f (x) = +∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

x > δ ⇒ f (x) > ε

Definicja 3.4.16. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym −∞ granice, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ,

˙ze dla ka˙zdego argumentu x < δ speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) > ε.

lim

x→−∞

f (x) = +∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

x < δ ⇒ f (x) > ε

Definicja 3.4.17. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym +∞ granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ,

˙ze dla ka˙zdego argumentu x > δ speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) < ε.

lim

x→+∞

f (x) = −∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

x > δ ⇒ f (x) < ε

Definicja 3.4.18. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie niewÃla´sci-
wym −∞ granice, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ,

˙ze dla ka˙zdego argumentu x < δ speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) < ε.

lim

x→−∞

f (x) = −∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

x < δ ⇒ f (x) < ε

Niech teraz funkcja f be,dzie okre´slona przynajmniej na lewostronnym sa,siedztwie

punktu x

, tj. na zbiorze S

−

) = (x

− δ, x

). Zdefinujemy granice lewostronne

funkcji f .

Definicja 3.4.19. (Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym x

granice, lewostronna, wÃla´sciwa, g, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S

−

) zbie˙znemu

do x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) zbie˙zny do g.

lim

x→x

−
0

f (x) = g ⇔

}

h¡

} ⊂ S

−

) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = g

Definicja 3.4.20. (Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, lewostronna, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S

−

)

zbie˙znemu do x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→x

−
0

f (x) = +∞ ⇔

}

h¡

} ⊂ S

−

) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = +∞

Definicja 3.4.21. (Heinego) M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, lewostronna, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S

−

)

zbie˙znemu do x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→x

−
0

f (x) = −∞ ⇔

}

h¡

} ⊂ S

−

) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = −∞

Definicja 3.4.22. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, lewostronna, wÃla´sciwa, g, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ,

˙ze dla ka˙zdego argumentu x ∈ S

−

) speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→x

−
0

f (x) = g ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 < x

− x < δ ⇒| f (x) − g |< ε

Definicja 3.4.23. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, lewostronna, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba

δ, ˙ze dla ka˙zdego argumentu x ∈ S

−

) speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) > ε.

lim

x→x

−
0

f (x) = +∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 < x

− x < δ ⇒ f (x) > ε

Definicja 3.4.24. (Cauchy’ego). M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, lewostronna, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba

δ, ˙ze dla ka˙zdego argumentu x ∈ S

−

) speÃlniona jest nier´owno´s´c f (x) < ε.

lim

x→x

−
0

f (x) = −∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 < x

− x < δ ⇒ f (x) < ε

Je´sli funkcja f jest okre´slona przynajmniej na prawostronnym sa,siedztwie punktu

, tj. na zbiorze S

) = (x

, x

+ δ), to granice prawostronne funkcji f defini-

ujemy w naste,puja,cy spos´ob.

Definicja 3.4.25. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym x

granice, prawostronna, wÃla´sciwa, g, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S

) zbie˙znemu

do x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) zbie˙zny do g.

lim

x→x

+
0

f (x) = g ⇔

}

h¡

} ⊂ S

) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = g

Definicja 3.4.26. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, prawostronna, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S

)

zbie˙znemu do x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do +∞.

lim

x→x

+
0

f (x) = +∞ ⇔

}

h¡

} ⊂ S

) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = +∞

Definicja 3.4.27. (Heinego) Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, prawostronna, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli ka˙zdemu cia,gowi {x

} ⊂ S

)

zbie˙znemu do x

odpowiada cia,g warto´sci funkcji f(x

) rozbie˙zny do −∞.

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞ ⇔

}

h¡

} ⊂ S

) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = −∞

Definicja 3.4.28. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sciwym
x

granice, prawostronna, wÃla´sciwa, g, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje taka liczba δ,

˙ze dla ka˙zdego argumentu x ∈ S

) speÃlniona jest nier´owno´s´c | f (x) − g |< ε.

lim

x→x

+
0

f (x) = g ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 < x − x

< δ ⇒| f (x) − g |< ε

Definicja 3.4.29. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sci-
wym x

granice, prawostronna, niewÃla´sciwa, +∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje

taka liczba δ, ˙ze dla ka˙zdego argumentu x ∈ S

) speÃlniona jest nier´owno´s´c

f (x) > ε.

lim

x→x

+
0

f (x) = +∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 < x − x

< δ ⇒ f (x) > ε

Definicja 3.4.30. (Cauchy’ego). Powiemy, ˙ze funkcja f ma w punkcie wÃla´sci-
wym x

granice, prawostronna, niewÃla´sciwa, −∞, je´sli dla ka˙zdego ε > 0 istnieje

taka liczba δ, ˙ze dla ka˙zdego argumentu x ∈ S

) speÃlniona jest nier´owno´s´c

f (x) < ε.

lim

x→x

+
0

f (x) = −∞ ⇔

ε>0

δ>0

x∈D

0 < x − x

< δ ⇒ f (x) < ε

W dalszej cze,´sci tego paragrafu okre´slimy dziaÃlania na granicach funkcji. Najpierw

jednak znajdziemy zwia,zek mie,dzy istnieniem granicy, a ograniczono´scia, funkcji.

Twierdzenie 3.4.1. Je˙zeli funkcja f ma w punkcie x

granice, sko´nczona,, to

istnieje sa,siedztwo punktu x

, w kt´orym funkcja f jest ograniczona.

Dow´

od. Niech lim

x→x

f (x) = g i niech ε > 0 be,dzie obrane dowolnie. Wtedy z

definicji Cauchego granicy funkcji mamy

δ>0

x∈S(x

,δ)

| f (x) − g |< ε.

Sta,d otrzymujemy

g − ε < f (x) < g + ε.

Oznacza to, ˙ze funkcja f jest ograniczona na sa,siedztwie S(x

, δ).

Twierdzenie 3.4.2. Je˙zeli funkcje f i g sa, okre´slone w pewnym sa,siedztwie

punktu x

i maja, w punkcie x

granice wÃla´sciwe, to suma, r´o˙znica i iloczyn tych

funkcji maja, granice wÃla´sciwe oraz

1. lim

x→x

[f (x) + g(x)] = lim

x→x

f (x) + lim

x→x

g(x),

2. lim

x→x

[f (x) − g(x)] = lim

x→x

f (x) − lim

x→x

g(x),

3. lim

x→x

[f (x) · g(x)] = lim

x→x

f (x) · lim

x→x

g(x).

Je´sli ponadto lim

x→x

g(x) 6= 0, to iloraz

jest okre´slony w pewnym sa,siedztwie

punktu x

oraz

4. lim

x→x

f (x)

g(x)

lim

x→x

f (x)

lim

x→x

g(x)

Dow´

od. Niech lim

x→x

f (x) = a i lim

x→x

f (x) = b oraz niech ε > 0 be,dzie dowolne.

Istnieje w´owczas taka liczba δ > 0, ˙ze

x∈S(x

,δ)

| f (x) − a |<

ε
2

oraz

x∈S(x

,δ)

| g(x) − b |<

ε
2

Aby dowie´s´c r´owno´sci 1 korzystamy z nier´owno´sci tr´ojka,ta i otrzymujemy

| [f (x) + g(x)] − [a + b] |≤| f (x) − a | + | g(x) − b |<

ε
2

< ε.

Oznacza to, ˙ze granica, funkcji f + g jest liczba a + b

Podobnie wykorzystuja,c odpowiednia, wÃla´sciwo´s´c warto´sci bezwzgle,dnej ma-

| [f (x) − g(x)] − [a − b] |≤| f (x) − a | + | g(x) − b |<

ε
2

< ε.

Co dowodzi sÃluszno´sci r´owno´sci 2.

Udowodnimy teraz punkt 3. Zauwa˙zmy, ˙ze

| f (x)g(x) − ab |=| f (x)g(x) − ag(x) + ag(x) − ab |

=| g(x)[f (x) − a] + a[g(x) − b] |≤| g(x) || f (x) − a | + | a || g(x) − b | .

Z twierdzenia 3.4.1. mamy

M >0

| g(x) |< M

przy czym staÃla, M mo˙zna dobra´c tak aby | a |< M.

Ponadto

lim

x→x

f (x) = a ⇔

ε>0

x∈S(x

,δ)

| f (x) − a |<

oraz

lim

x→x

g(x) = b ⇔

ε>0

x∈S(x

,δ)

| g(x) − b |<

Zatem otrzymujemy

| f (x)g(x) − ab |< M

+ M

= ε,

co na mocy definicji granicy Cauchy’ego oznacza, ˙ze granica, funkcji f · g jest a · b,

a to nale˙zaÃlo wykaza´c.

Dowodza,c punkt 4, zauwa˙zmy, ˙ze

f (x)

g(x)

−

¯ =

f (x)b − g(x)a

g(x)b

f (x)b − ab + ab − g(x)a

g(x)b

¯ =

b[f (x) − a] + a[b − g(x)]

g(x)b

≤

b[f (x) − a] + a[b − g(x)]

g(x)b

¯.

Poniewa˙z funkcje f i g maja, granice wÃla´sciwe, to zachodza, naste,puja,ce nier´owno´sci

lim

x→x

f (x) = a ⇔

ε>0

x∈S(x

,δ)

| f (x) − a |<

εk

oraz

lim

x→x

g(x) = a ⇔

ε>0

x∈S(x

,δ)

| g(x) − b |<

εk

2 | a |

Ponadto niech inf | g(x) · b |= k > 0. Zatem mamy

f (x)

g(x)

−

¯ <

εk

2 | a |

| a |

= ε.

Dowodzi to r´owno´sci 4.

Powy˙zsze twierdzenie jest r´ownie˙z prawdziwe dla granic jednostronnych w

punkcie x

oraz w przypadku , gdy punkt x

jest niewÃla´sciwy.

Twierdzenie 3.4.2 dotyczy dziaÃla´

n arytmetycznych na granicach wÃla´sciwych

funkcji. W przypadku, gdy mamy do czynienia z granicami niewÃla´sciwymi mo˙zemy
posÃlu˙zy´c sie, naste,puja,ca, tabelka,.

Je˙zeli

lim

x→x

f (x) = 0

lim

x→x

f (x)

= +∞

lim

x→x

f (x) = 0

−

lim

x→x

f (x)

= −∞

lim

x→x

f (x) = ±∞

lim

x→x

f (x)

= 0

lim

x→x

f (x) = ±∞

lim

x→x

(f (x) · g(x)) = ±∞

lim

x→x

g(x) = b > 0

lim

x→x

f (x) = ±∞

lim

x→x

(f (x) · g(x)) = ∓∞

lim

x→x

g(x) = b < 0

lim

x→x

f (x) = ±∞

lim

x→x

(f (x) · g(x)) = [0 · ∞] =?

lim

x→x

g(x) = 0

lim

x→x

f (x) = ±∞

lim

x→x

(f (x) · g(x)) = [0 · ∞] =?

lim

x→x

g(x) = 0

lim

x→x

(f (x) · g(x)) = +∞

lim

x→x

(f (x) + g(x)) = +∞

lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = +∞

lim

x→x

(f (x) − g(x)) = [∞ − ∞] =?

lim

x→x

f (x)

g(x)

∞
∞

lim

x→x

(f (x) · g(x)) = +∞

lim

x→x

(f (x) + g(x)) = −∞

lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = −∞

lim

x→x

(f (x) − g(x)) = [∞ − ∞] =?

lim

x→x

f (x)

g(x)

∞
∞

| f (x) |< M,

lim

x→x

g(x) = 0

lim

x→x

f (x)

g(x)

= +∞

| f (x) |< M,

lim

x→x

g(x) = 0

−

lim

x→x

f (x)

g(x)

= −∞

| f (x) |< M,

lim

x→x

g(x) = ±∞

lim

x→x

f (x)

g(x)

= 0

lim

x→x

f (x) = lim

x→x

g(x) = 0

lim

x→x

f (x)

g(x)

0
0

Analogiczne relacje zachodza, dla granic niewÃla´sciwych w punktach niewÃla´sci-

wych oraz dla granic jednostronnych.

Twierdzenie 3.4.3.

(granica funkcji zÃlo˙zonej) Je˙zeli funkcje f i g speÃlniaja,

warunki
1. lim

x→x

f (x) = y

x∈S(x

,δ)

f (x) 6= y

3. lim

y→y

g(y) = q,

to lim

x→x

g(f (x)) = q.

Dow´

od. W dowodzie tego twierdzenia skorzystamy z definicji Heinego granicy

funkcji. Z zaÃlo˙ze´

n wynika, ˙ze

δ>0

}

h¡

} ⊂ S(x

, δ) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = y

(3.4.3)

δ>0

}

h¡

} ⊂ S(y

, δ) ∧ lim

n→∞

= y

⇒ lim

n→∞

g(y

) = q

(3.4.4)

Nale˙zy wykaza´c, ˙ze

δ>0

}

h¡

} ⊂ S(x

, δ) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

g(f (x

)) = q

Niech wie,c {x

} be,dzie dowolnym cia,giem speÃlniaja,cym warunki

δ>0

} ⊂ S(x

, δ)

lim

n→∞

= x

Wtedy korzystaja,c z (3.4.3) i przyjmuja,c w (3.4.4) y

= f (x

) otrzymamy, ˙ze

lim

n→∞

= y

, przy czym

6= y

. Zatem

lim

n→∞

g(f (x

)) = lim

n→∞

g(y

) = q.

Co ko´

nczy dow´od.

Twierdzenie 3.4.4. Je˙zeli funkcje f i g maja, w punkcie x

granice wÃla´sciwe, to

lim

x→x

f (x)

g(x)

lim

x→x

f (x)

i lim

x→x0

g(x)

Dow´

od. Twierdzenie to wynika z naste,puja,cego faktu

f (x)

g(x)

= e

g(x) ln f (x)

oraz z tego, ˙ze

lim

x→x

= e

Oczywi´scie powy˙zsze twierdzenia zachodza, r´ownie˙z w przypadku, gdy punkt x

jest niewÃla´sciwy oraz dla granic jednostronnych. W przypadku, gdy funkcje f i
g maja, granice niewÃla´sciwe zachodzi´c moga, przypadki om´owione w naste,puja,cej

tabeli.

Je˙zeli

lim

x→x

f (x) = a, 0 < a < 1

lim

x→x

f (x)

g(x)

= 0

lim

x→x

g(x) = +∞

lim

x→x

f (x) = a, a > 1

lim

x→x

f (x)

g(x)

= +∞

lim

x→x

g(x) = +∞

lim

x→x

f (x) = a, 0 < a < 1

lim

x→x

f (x)

g(x)

= +∞

lim

x→x

g(x) = −∞

lim

x→x

f (x) = a, a > 1

lim

x→x

f (x)

g(x)

= 0

lim

x→x

g(x) = −∞

lim

x→x

f (x) = 1

lim

x→x

f (x)

g(x)

= [1

∞

] =?

lim

x→x

g(x) = ±∞

lim

x→x

f (x) = ∞

lim

x→x

f (x)

g(x)

= 0

lim

x→x

g(x) = a, −∞ ≤ a < 0

lim

x→x

f (x) = ∞

lim

x→x

f (x)

g(x)

= ∞

lim

x→x

g(x) = a, 0 < a ≤ +∞

lim

x→x

f (x) = ∞

lim

x→x

f (x)

g(x)

= [∞

] =?

lim

x→x

g(x) = 0

lim

x→x

f (x) = 0

lim

x→x

f (x)

g(x)

= [0

] =?

lim

x→x

g(x) = 0

Kolejne twierdzenia, kt´ore podamy bez dowodu, dotycza, pewnych u˙zytecz-

nych w praktyce wÃlasno´sci granic funkcji.

Twierdzenie 3.4.5. (warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy) Funkcja
f ma w punkcie x

granice, wÃla´sciwa, (niewÃla´sciwa,) g wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieja, w tym punkcie granice jednostronne wÃla´sciwe (niewÃla´sciwe) i sa, sobie

r´owne, tj.

lim

x→x

+
0

f (x) = g ∧ lim

x→x

−
0

f (x) = g

⇔ lim

x→x

f (x) = g.

Oczywi´scie z tego twierdzenia wynika, ˙ze je´sli granice jednostronne w punkcie x

sa, r´o˙zne to w tym punkcie funkcja nie ma granicy.

Twierdzenie 3.4.6. (o trzech funkcjach) Je˙zeli funkcje f , g i h speÃlniaja, naste,-

puja,ce warunki

δ>0

x∈S(x

,δ)

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x),

2. lim

x→x

f (x) = lim

x→x

h(x) = g,

to lim

x→x

g(x) = g.

Twierdzenie 3.4.7. (o dw´och funkcjach) Je˙zeli funkcje f i g speÃlniaja, naste,puja,ce

warunki
1.

δ>0

x∈S(x

,δ)

f (x) ≤ g(x),

2. lim

x→x

f (x) = ∞,

to lim

x→x

g(x) = ∞.

Je˙zeli natomiast funkcje f i g speÃlniaja, warunki

δ>0

x∈S(x

,δ)

f (x) ≤ g(x),

2. lim

x→x

g(x) = −∞,

to lim

x→x

f (x) = −∞.

Twierdzenia 3.4.6 i 3.4.7 zachodza, r´ownie˙z dla granic jednostronnych i w

przypadku, gdy punkt x

jest niewÃla´sciwy.

Zadanie 3.4.1.

Narysowa´c przykÃladowe wykresy funkcji f : R → R, kt´ore

speÃlniaja, jednocze´snie wszystkie podane warunki

a) lim

x→−∞

f (x) = −2, lim

x→1

f (x) = 3, lim

x→+∞

f (x) = 0;

b) lim

x→−∞

f (x) = −∞, lim

x→0

−

f (x) = 0, lim

x→0

f (x) = −∞, lim

x→+∞

f (x) = 4;

c) lim

x→−∞

f (x) = 1,

lim

x→(−2)

f (x) = −∞, lim

x→+∞

f (x) = −1;

d) lim

x→−∞

f (x) = 0, lim

x→2

−

f (x) = +∞, lim

x→2

f (x) = −∞, lim

x→+∞

f (x) = 7.

Zadanie 3.4.2. Oblicz podane granice

a) lim

x→1

− 1

h) lim

x→+∞

2 · 5

− 2

4 · 3

+ 5

x+1

b) lim

x→−∞

√

+ 1

i) lim

x→5

√

x − 1 − 2

x − 5

c) lim

x→+∞

¡p

+ 1 − x

j) lim

x→+∞

x sin

d) lim

x→+∞

sin x

k) lim

x→π

sin x

e) lim

x→0

2 + cos x

√

l) lim

x→+∞

sin 2x − e

f ) lim

x→1

³ x

− 1

x − 1

+ ln

x − 1

Ãl) lim

x→0

−

cos 2x

sin

g) lim

x→+∞

³ x

+ 5

− 7

m) lim

x→0

−

arctg

Przejdziemy teraz do om´owienia poje,cia cia,gÃlo´sci funkcji rzeczywistej jednej

zmiennej rzeczywistej.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona na otoczeniu punktu x

Definicja 3.4.31. M´owimy, ˙ze funkcja f jest cia,gÃla w punkcie x

, je´sli granica

funkcji w punkcie x

jest r´owna warto´sci funkcji w tym punkcie, tj. je´sli

lim

x→x

f (x) = f (x

W sensie definicji Heinego cia,gÃlo´s´c funkcji w punkcie x

oznacza, ˙ze

}

h¡

} ⊂ S(x

, δ) ∧ lim

n→∞

= x

⇒ lim

n→∞

f (x

) = f (x

)

Natomiast w sensie definicji Cauchy’ego mamy: funkcja f jest cia,gÃla w punkcie x

wtedy i tylko wtedy, gdy

ε>0

δ>0

x∈D

0 <| x − x

|< δ ⇒| f (x) − f (x

) |< ε

W szczeg´olno´sci je´sli granica w powy˙zszej definicji jest jednostronna, to mo˙zemy
m´owi´c o cia,gÃlo´sci jednostronnej.

Definicja 3.4.32. Funkcja f jest cia,gÃla lewostronnie w punkcie x

wtedy i tylko

wtedy, gdy

lim

x→x

−
0

f (x) = f (x

Definicja 3.4.33. Funkcja f jest cia,gÃla prawostronnie w punkcie x

wtedy i tylko

wtedy, gdy

lim

x→x

+
0

f (x) = f (x

Twierdzenie 3.4.8. (warunek konieczny i dostateczny cia,gÃlo´sci funkcji w punk-

cie) Niech funkcja f be,dzie okre´slona przynajmniej na otoczeniu punktu x

. Funk-

cja f jest cia,gÃla w punkcie x

wtedy i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i pra-

wostronnie cia,gÃla w tym punkcie.

Definicja 3.4.34. Powiemy, ˙ze funkcja f jest cia,gÃla na zbiorze A je´sli jest ona

cia,gÃla w ka˙zdym punkcie tego zbioru.

PrzykÃlad 3.4.4. Wszystkie funkcje elementarne sa, cia,gÃle w swoich dziedzinach.

Ponadto funkcja staÃla jest funkcja, cia,gÃla, w caÃlej swojej dziedzinie.

Twierdzenie 3.4.9. Je˙zeli funkcje f i g sa, cia,gÃle w punkcie x

, to cia,gÃle sa, w

tym punkcie r´ownie˙z funkcje f + g, f − g, f · g i

, o ile g(x

) 6= 0.

Twierdzenie 3.4.10. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w punkcie x

i funkcja g jest

cia,gÃla w punkcie y

= f (x

), to funkcja zÃlo˙zona g ◦ f jest cia,gÃla w punkcie x

PrzykÃlad 3.4.5. Sko´

nczone sumy, r´o˙znice, iloczyny, jak r´ownie˙z iloraz funkcji

elementarnych sa, funkcjami cia,gÃlymi.

Twierdzenie 3.4.11. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla i monotoniczna na przedziale

< a, b >, to funkcja odwrotna f

−1

jest cia,gÃla i monotoniczna na przedziale

f (a), f (b)

Oczywiste jest, ˙ze istnieja, funkcje niecia,gÃle w pewnych punktach lub na

pewnych zbiorach.

PrzykÃlad 3.4.6. Funkcja dana wzorem

f (x) =

x, dla x 6= 0,
1,

dla x = 0

(3.4.5)

jest niecia,gÃla w punkcie 0.

PrzykÃlad 3.4.7.

Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja Dirichleta nie jest cia,gÃla w ˙zadnym

punkcie swojej dziedziny. Jest ona jednak cia,gÃla na zbiorze liczb wymiernych.

Funkcja Ent jest tylko prawostronnie cia,gÃla w ka˙zdym punkcie be,da,cym liczba,

caÃlkowita,. Natomiast funkcja sgn jest funkcja, cia,gÃla, w caÃlej swojej dziedzinie z

wyja,tkiem punktu 0.

Powy˙zsze przykÃlady sugeruja,, ˙ze mo˙zna m´owi´c o wielu rodzajach niecia,gÃlo´sci

funkcji.

Definicja 3.4.35. Funkcja f ma niecia,gÃlo´s´c pierwszego rodzaju, je´sli istnieja,

granice jednostronne w punkcie x

r´o˙zne od warto´sci funkcji w tym punkcie, tj.

je´sli

lim

x→x

+
0

f (x) = g

6= f (x

) ∧

lim

x→x

−
0

f (x) = g

6= f (x

W szczeg´olno´sci, gdy lim

x→x

+
0

f (x) 6= lim

x→x

−
0

f (x), to m´owimy, ˙ze funkcja f ma niecia,g-

Ãlo´s´c pierwszego rodzaju typu ”skok”. Je´sli za´s lim

x→x

+
0

f (x) = lim

x→x

−
0

f (x), to powiemy,

˙ze funkcja f ma niecia,gÃlo´s´c pierwszego rodzaju typu ”luka”.

Definicja 3.4.36. Funkcja f ma niecia,gÃlo´s´c drugiego rodzaju, je´sli co najmniej

jedna z granic jednostronnych w punkcie x

nie istnieje lub jest niewÃla´sciwa.

PrzykÃlad 3.4.6. Funkcja sgn w punkcie 0 ma niecia,gÃlo´s´c pierwszgo rodzaju typu

”skok”.

Funkcja dana wzorem (3.4.5) ma w punkcie 0 niecia,gÃlo´s´c pierwszgo rodzaju

typu ”luka”.

Funkcja f (x) =

w punkcie 0 ma niecia,gÃlo´s´c drugiego rodzaju.

Zadanie 3.4.3. Zbadaj cia,gÃlo´s´c podanych funkcji

a)f (x) =







− 1

| x − 1 |

, dla x 6= 1,

−2,

dla x = 1,

b)f (x) =











cos

, dla x > 0,

dla x = 0,

dla x < 0,

c)f (x) =

7x − 2, dla x ≤ 1,
x

dla x > 1,

d)f (x) =







1 + e

, dla x 6= 0,

dla x = 0,

e)f (x) =











sin x

dla x < 0,

dla x = 0,

− 1

, dla x > 0.

Zadanie 3.4.4. Wyznaczy´c parametry a i b tak, aby podane funkcje byÃly cia,gÃle.

a)f (x) =

( sin x

, dla x < 0,

x + b, dla x ≥ 0,

b)f (x) =

dla | x |≤ 1,

+ ax + b, dla | x |> 1.

3.5. WÃlasno´sci funkcji cia,gÃlych w przedziaÃlach domknie,tych.
W paragrafie tym wymienimy kilka u˙zytecznych wÃlasno´sci funkcji cia,gÃlych, na

kt´ore w dalszym cia,gu be,dziemy sie, powoÃlywa´c.

1. Je˙zeli istnieje granica wÃla´sciwa funkcji f w punkcie x

i funkcja g jest cia,gÃla w

punkcie y

= lim

x→x

f (x), to

lim

x→x

g[f (x)] = g[ lim

x→x

f (x)].

WÃlasno´s´c ta ma r´ownie˙z miejsce w przypadku granic jednostronnych oraz granic
w punktach niewÃla´sciwych.

2. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w punkcie x

oraz f (x

) > 0, to istnieje takie

otoczenie punktu x

, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ O(x

, δ) ∩ D

speÃlniona jest nier´owno´s´c

f (x) > 0.

3. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w punkcie x

oraz f (x

) < 0, to istnieje takie

otoczenie punktu x

, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ O(x

, δ) ∩ D

speÃlniona jest nier´owno´s´c

f (x) < 0.

4. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla na przedziale domknie,tym < a, b >, to

a) funkcja f jest ograniczona na przedziale < a, b >,
b)

f (c

) = inf{f (x) : a ≤ x ≤ b} ∧ f (c

) = sup{f (x) : a ≤ x ≤ b}.

Powy˙zsza, wÃlasno´s´c udowodniÃl w XVIII wieku niemiecki matematyk Karl

Weierstrass i dlatego znana jest ona jako twierdzenie Weierstrassa. Maja,c na

my´sli te, wÃlasno´s´c mo˙zemy powiedzie´c, ˙ze funkcja cia,gÃla na przedziale domknie,tym

osia,ga swoje kresy, tj. osia,ga kres dolny i kres g´orny zbioru swoich warto´sci.

5. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla na przedziale < a, b > oraz speÃlnia warunek f(a) <

f (b), to

y∈

f (a),f (b)

c∈(a,b)

f (c) = y.

WÃlasno´s´c ta znana jest jako twierdzenie Darboux.
Je˙zeli dodatkowo zaÃlo˙zymy, ˙ze funkcja f jest rosna,ca, to punkt c jest wyzna-

czony jednoznacznie.

Analogiczna, wÃlasno´s´c mamy w przypadku, gdy f(a) > f(b). W´owczas punkt

c jest wyznaczony jednoznacznie dla maleja,cej funkcji f.

Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla na przedziale < a, b > oraz speÃlnia warunek

f (a)f (b) < 0, to

c∈(a,b)

f (c) = 0.

WÃlasno´s´c ta wynika z twierdzenia Daboux.
Je˙zeli dodatkowo funkcja f jest monotoniczna, to punkt c wyznaczony jest

jednoznacznie.

WÃlasno´s´c ta, mo˙zemy wykorzysta´c do wyznaczenia miejsc zerowych funkcji f.

PrzykÃlad 3.5.1. Rozwa˙zmy funkcje, f(x) = e

−

. Funkcja ta jest funkcja,

cia,gÃla, na przedziale

1
2

, 1

, poniewa˙z jest r´o˙znica, funkcji cia,gÃlych. Zauwa˙zmy, ˙ze

³ 1

= e − 4 < 0,

f (1) = e

− 2 > 0.

Zatem f

1
2

· f (1) < 0. Z wÃlasno´sci 6 wynika wie,c, ˙ze istnieje w przedziale

1
2

, 1

taki punkt c, ˙ze

−

= 0.

Wobec tego r´ownanie e

−

= 0 w przedziale

1
2

, 1

ma co najmniej jeden

pierwiastek.

4. RACHUNEK R ´

O ˙ZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.

W rozdziale tym zdefinujemy pojecie pochodnej funkcji rzeczywistej jednej

zmiennej rzeczywistej. Naste,pnie podamy zwia,zki mie,dzy wÃlasno´sciami pochodnej

funkcji, a zachowaniem sie, samej funkcji, jak r´ownie˙z kilka u˙zytecznych zastosowa´n

rachunku pochodnych.

4.1. Pochodna i r´

o˙zniczka rze,du n ≥ 1.

Niech funkcja f be,dzie okre´slona w pewnym otoczeniu punktu x

. Symbolem ∆x

oznacza´c be,dziemy przyrost argumentu x funkcji f, tzn. ∆x = x−x

, x ∈ O(x

, δ).

Przyrostowi argumentu ∆x odpowiada przyrost warto´sci funkcji, kt´ory oznacza´c
be,dziemy przez ∆f(x), tzn. ∆f(x) = f(x

+ ∆x) − f (x

Definicja 4.1.1. Ilorazem r´o˙znicowym funkcji f w punkcie x

odpowiadaja,cym

przyrostowi argumentu ∆x nazywamy liczbe, dana, wzorem

∆f (x

)

∆x

f (x

+ ∆x) − f (x

)

∆x

Interpretacja geometryczna i fizyczna ilorazu r´

o˙znicowego.

W interpretacji geometrycznej iloraz r´o˙znicowy jest tangensem nachylenia siecznej
przechodza,cej przez punkty

, f (x

)

+ ∆x, f (x

+ ∆x)

wykresu funkcji

f do dodatniej cze,´sci osi OX.

W interpretacji fizycznej iloraz r´o˙znicowy

∆f
∆x

przedstawia pre,dko´s´c ´srednia,

poruszaja,cego sie, punktu po drodze y = f(x), kt´ora jest funkcja, czasu x. Pre,dko´s´c

ta liczona jest od chwili x

do chwili x

+ ∆x.

Iloraz r´o˙znicowy

∆f
∆x

mo˙zna zinterpretowa´c r´ownie˙z jako ´srednie nate,˙zenie pra,-

du mie,dzy chwila, x

i chwila, x

+ ∆x, gdzie f (x) jest funkcja, czasu x opisuja,ca,

Ãladunek jaki przepÃlyna, w dodatnim kierunku przez poprzeczny przekr´oj przewod-

nika.

Definicja 4.1.2. Niech funkcja f be,dzie okre´slona przynajmniej na otoczeniu

punktu x

. Pochodna, funkcji f w punkcie x

nazywamy granice, wÃla´sciwa, iloraz´ow

r´o˙znicowych funkcji f w punckie x

i oznaczamy ja, f

), tj.

lim

x→x

f (x) − f (x

)

x − x

= f

Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zsza granica mo˙ze nie istnie´c lub by´c granica, niewÃla´sciwa,. W

takim przypadku m´owimy, ˙ze funkcja f w punkcie x

nie ma pochodnej.

Ponadto je´sli wprowadzimy oznaczenie h = x − x

, to pochodna, funkcji mo-

˙zemy zdefiniowa´c wzorem

) = lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

o ile granica taka istnieje. W wielu przypadkach wz´or ten okazuje sie, by´c bardziej

u˙zyteczny.

W interpretacji geometrycznej pochodna funkcji f w punkcie x

, o ile ist-

nieje, jest r´owna wsp´oÃlczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji f w
punkcie x

, tzn. f

) = tgα, gdzie α jest ka,tem jaki styczna do wykresu funkcji

w punkcie x

tworzy z osia, OX.

W interpretacji fizycznej pochodna jest pre,dko´scia, punktu poruszja,cego sie,

po drodze y = f (x) w chwili x

Pochodna, mo˙zna r´ownie˙z zinterpretowa´c jako nate,˙zenie pra,du w chwili x

gdzie f (x) jest funkcja, czasu x opisuja,ca, Ãladunek jaki przepÃlywa przez poprzeczny

przekr´oj przewodnika.

O funkcji, kt´ora ma pochodna, w ka˙zdym punkcie swojej dziedziny be,dziemy

m´owi´c, ˙ze jest r´o˙zniczkowalna. Je´sli w punkcie x

funkcja f nie be,dzie miaÃla

pochodnej, to powiemy, ˙ze jest ona w tym punkcie nier´o˙zniczkowalna.

PrzykÃlad 4.1.1. Niech f (x) =| x − 2 | i x

= 2. Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

= lim

h→0

| h |

= 1

oraz

lim

h→0

−

f (x

+ h) − f (x

)

= lim

h→0

−

| h |

= −1.

Wynika sta,d, ˙ze lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

nie istnieje. Zatem funkcja f (x) =| x − 2 |

w punkcie 2 nie ma pochodnej.

PrzykÃlad 4.1.2. Rozwa˙zmy funkcje, f(x) = sin x. Dla funkcji tej mamy

lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

= lim

h→0

sin(x

+ h) − sin x

= lim

h→0

2 sin

+h−x

cos

+h+x

= lim

h→0

sin

cos

= cos x

Mo˙zemy zatem napisa´c

[sin x]

= cos x.

Zadanie 4.1.1. Korzystaja,c z definicji wyznacz pochodne podanych funkcji w

zadanych punktach

a) f (x) = (x − 4)

, x

= 1;

c) f (x) =

= 2;

b) f (x) = cos x,

∈ R;

d) f (x) =

√

x − 1 , x

∈ R.

Zadanie 4.1.2. Zbada´c istnienie pochodnych podanych funkcji we wskazanych
punktach

a) f (x) =| sin x |, x

= 0;

b) f (x) = (x − 4)

, x

= 4;

c) f (x) =

x sin

, x 6= 0,

x = 0,

= 0;

d) f (x) =

− 1, x ≥ 1,

2 − x,

x < 1,

= 1.

Podamy teraz warunek konieczny istnienia pochodnej funkcji, kt´ory jedno-

cze´snie podaje nam zwia,zek mie,dzy r´o˙zniczkowalno´scia, funkcji, a jej cia,gÃlo´scia,.
Twierdzenie 4.1.1. Je˙zeli funkcja f ma pochodna, w punkcie x

, to jest cia,gÃla

w tym punkcie.

Dow´

od. Niech funkcja f ma pochodna, w punkcie x

. Istnieje wtedy granica

lim

x→x

f (x) − f (x

)

x − x

Mamy wykaza´c, ˙ze funkcja f jest cia,gÃla w punkcie x

, tj.

lim

x→x

f (x) = f (x

R´ownowa˙znie wyka˙zemy, ˙ze lim

x→x

f (x) − f (x

)

= 0. Istotnie mamy

lim

x→x

f (x) − f (x

)

= lim

x→x

h f(x) − f(x

)

x − x

· (x − x

)

= lim

x→x

f (x) − f (x

)

x − x

lim

x→x

(x − x

) = f

) · 0 = 0.

Z twierdzenia tego wynika, ˙ze je˙zeli funkcja jest r´o˙zniczkowalna, to jest cia,gÃla.

Oczywi´scie impilkacja odwrotna jest niezawsze prawdziwa o czym ´swiadczy nas-
te,puja,cy przykÃlad.

PrzykÃlad 4.1.3. Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja f (x) =| x | jest funkcja, cia,gÃla, w punkcie

= 0. Istotnie

lim

x→0

f (x) = lim

x→0

| x |= 0 = f (0).

Ale

lim

h→0

f (h) − f (0)

= lim

h→0

| h |

= lim

h→0

h
h

= 1

oraz

lim

h→0

−

f (h) − f (0)

= lim

h→0

| h |

= lim

h→0

h
h

= −1.

Oznacza to, ˙ze funkcja f (x) =| x | nie ma pochodnej w punkcie x

. Zatem w tym

przypadku cia,gÃlo´s´c nie pocia,ga za soba, r´o˙zniczkowalno´sci.

Pochodne wa˙zniejszych funkcji elementarnych

[c]

= 0

]

= nx

n−1

h 1

= −

]

= a

ln a

[log

x ln a

[

√

]

= e

[ln x]

[sin x]

= cos x

[arcsin x]

√

1 − x

[sinh x]

= cosh x

[cos x]

= − sin x

[arccos x]

−1

√

1 − x

[cosh x]

= sinh x

[tgx]

cos

[arctgx]

1 + x

[tghx]

cosh

[ctgx]

−1

sin

[arcctgx]

−1

1 + x

[ctghx]

= −

sinh

Aby wyznaczy´c pochodne funkcji be,da,cych suma,, r´o˙znica,, iloczynem lub ilo-

razem funkcji elemetarnych korzysta´c be,dziemy z naste,puja,cego twierdzenia.

Twierdzenie 4.1.2. Je˙zeli funkcje f i g maja, pochodne w punkcie x

, to

c · f (x

)

= c · f

f (x

) + g(x

)

= f

) + g

f (x

) − g(x

)

= f

) − g

f (x

) · g(x

)

= f

)g(x

) + f (x

h f(x

)

g(x

)

)g(x

) − f (x

)

[g(x

)]

(o ile g

) 6= 0).

Dow´

od. Aby udowodni´c punkt 1 zauwa˙zmy, ˙ze

lim

h→0

cf (x

+ h) − cf (x

)

= lim

h→0

c[f (x

+ h) − f (x

)]

c lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

= c · f

Udowodnimy teraz punkt 2 naszego twierdzenia.

lim

h→0

[f (x

+ h) + g(x

+ h)] − [f (x

) + g(x

)]

= lim

h→0

[f (x

+ h) − f (x

)] + [g(x

+ h) − g(x

)]

= lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

+ lim

h→0

g(x

+ h) − g(x

)

= f

) + g

Punkt 3 dowodzi sie, w analogiczny spos´ob.

Wyka˙zemy teraz prawdziwo´s´c wzoru 4.

lim

h→0

f (x

+ h)g(x

+ h) − f (x

)g(x

)

= lim

h→0

f (x

+ h)g(x

+ h) − f (x

)g(x

+ h) + f (x

)g(x

+ h) − f (x

)g(x

)

= lim

h→0

g(x

+ h)[f (x

+ h) − f (x

)] + f (x

)[g(x

+ h) − g(x

)]

= lim

h→0

g(x

+ h)

f (x

+ h) − f (x

)

+ lim

h→0

f (x

)

g(x

+ h) − g(x

)

= g(x

) + f (x

Aby wykaza´c prawdziwo´s´c punktu 5 zauwa˙zmy, ˙ze

lim

h→0

f (x

+h)

g(x

+h)

−

f (x

)

g(x

)

= lim

h→0

f (x

+ h)g(x

) − f (x

)g(x

+ h)

g(x

+ h)g(x

)

= lim

h→0

f (x

+ h)g(x

) − f (x

)g(x

) + f (x

)g(x

) − f (x

)g(x

+ h)

g(x

+ h)g(x

)

= lim

h→0

g(x

)[f (x

+ h) − f (x

)] − f (x

)[g(x

+ h) − g(x

)]

g(x

+ h)g(x

)

= lim

h→0

g(x

+ h)g(x

)

h g(x

)[f (x

+ h) − f (x

)]

−

f (x

)[g(x

+ h) − g(x

)]

g(x

)g(x

)

g(x

) − f (x

)

co ko´

nczy dow´od.

Twierdzenie 4.1.3. (o pochodnej funkcji zÃlo˙zonej) Je˙zeli funkcja f ma pochodna,

w punkcie x

, a funkcja g ma pochodna, w punkcie f(x

), to

[g(f (x))]

= g

(f (x

))f

Twierdzenie 4.1.4. (o pochodnej funkcji odwrotnej) Niech funkcja f speÃlnia
naste,puja,ce warunki

1. f jest cia,gÃla na pewnym otoczeniu punktu x

2. f jest monotoniczna na otoczeniu punktu x

3. f ma pochodna, w punkcie x

r´o˙zna, od zera.

Wtedy funkcja odwrotna do funkcji f ma pochodna, w punkcie y

= f (x

) oraz

−1

) =

)

PrzykÃlad 4.1.4. Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja f (x) = sin x, x ∈

−

speÃlnia

zaÃlo˙zenia twierdzenia 4.1.4. Zatem korzystaja,c z powy˙zszej r´owno´sci mo˙zemy

wyprowadzi´c wz´or na pochodna, funkcji f(x) = arcsin x.

Niech wie,c x = sin y. Mamy w´owczas y = arcsin x oraz

[arcsin x]

[sin y]

cos y

Funkcje, sinus rozwa˙zamy na przedziale

−

. Na tym przedziale funkcja

cosinus przyjmyje warto´sci dodatnie. Zatem cos y =

1 − sin

y oraz

[arcsin x]

1 − sin

√

1 − x

W analogiczny spos´ob mo˙zemy wyprowadzi´c wzory na pochodne pozostaÃlych fun-
kcji cyklometrycznych.

Korzystaja,c z twierdzenia o pochodnej funkcji zÃlo˙zonej oraz z faktu, ˙ze funkcje

f (x) = e

oraz f (x) = ln x sa, wzajemnie odwrotne wyznaczymy teraz pochodna,

funkcji [f (x)]

g(x)

[f (x)]

g(x)

g(x) ln f (x)

= e

g(x) ln f (x)

= e

g(x) ln f (x)

(x) ln f (x) + g(x)

f (x)

(x)

= [f (x)]

g(x)

(x) ln f (x) +

g(x)f

(x)

f (x)

Zadanie 4.1.3. Wyznaczy´c pochodne naste,puja,cych funkcji

a(x) =

√

arccos x

b(x) = log

x · sinh x

c(x) =

+sin x

cos x−e

d(x) = arcsin

√

f (x) = tg e

−3x

g(x) = ln

p√

x + x

− e

h(x) = x

cosh x

k(x) = 2

arctg

l(x) = log

ctg

Zadanie 4.1.4. Napisa´c r´ownania stycznych do wykres´ow funkcji we wskazanych
punktach

a) f (x) = e

= 0;

c) f (x) = sin x,

= π;

b) f (x) = arctg(−x

), x

= 1;

d) f (x) = ln

√

1 + x,

= 0.

Zadanie 4.1.5. Napisa´c r´ownanie tej stycznej do wykresu funkcji f (x) = 3 − x

kt´ora tworzy ka,t

z dodatnia, cze,´scia, osi OX.

Zadanie 4.1.6. Dla jakich warto´sci parametr´ow a i b wykres funkcji f (x) =
−x

+ ax + b jest styczny do prostej y = x w punkcie (−1, −1)?

Zadanie 4.1.7.

Dla funkcji f (x) = x

+ 3x

− 5 napisa´c r´ownanie stycznej

prostopadÃlej do prostej y =

1
3

x +

1
6

Pochodna, funkcji bardzo cze,sto wykorzystuje sie, do szacowania bÃle,d´ow po-

miaru. Aby om´owi´c pokr´otce ten problem zdefiniujmy poje,cie r´o˙zniczki funkcji.

Definicja 4.1.3. R´o˙zniczka, funkcji f w punkcie x

dla przyrostu ∆x argumentu

x nazywamy iloczyn f

)∆x.

R´o˙zniczke, oznaczamy symbolem df, tzn.

df (x

) = f

)∆x.

Przyrost ∆x argumentu x nazywamy r´o˙zniczka, zmiennej x i cze,sto oznaczamy

symbolem dx.

Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

x→x

df (x) − ∆f (x)

df (x)

= lim

x→x

1 −

∆f (x)

∆x

df (x)

= 1 −

)

= 1 − 1 = 0.

Zatem mo˙zemy napisa´c

df (x

) − ∆f (x

) ≈ 0.

Sta,d wynika, ˙ze

∆f (x

) ≈ df (x

Ponadto ∆f (x

) = f (x

+ ∆x) − f (x

), wie,c

f (x

+ ∆x) ≈ f (x

) + df (x

Zatem

f (x

+ ∆x) ≈ f (x

) + f

)∆x,

o ile istnieje pochodna funkcji f w punkcie x

Powy˙zszy wz´or stosujemy do obliczania przybli˙zonej warto´sci przyrostu fun-

kcji f w punkcie x

. BÃla,d jaki popeÃlniamy zaste,puja,c przyrost funkcji ∆f jej

r´o˙zniczka, df, da,˙zy szybciej do zera ni˙z przyrost argumentu ∆x. Istotnie mamy

lim

x→x

∆f (x) − df (x)

∆x

= lim

x→x

³ ∆f(x)

∆x

−

df (x)

= 0.

Rozwa˙zania powy˙zsze prowadza, do naste,puja,cego zastosowania r´o˙zniczki funkcji

do szacowania bÃle,d´ow pomiaru. Niech wielko´sci fizyczne x i y be,da, zwia,zane

zale˙zno´scia, funkcyjna, y = f(x), przy czym zakÃladamy, ˙ze istnieje pochodna f

Niech ponadto ∆x oznacza bÃla,d bezwzgle,dny pomiaru wielko´sci x. Wtedy bÃla,d

bezwzgle,dny ∆y obliczanej wielko´sci y wyra˙za sie, przybli˙zonym wzorem

∆y ≈| f

) | ∆x.

Zadanie 4.1.8. Korzystaja,c z r´o˙zniczki funkcji obliczy´c przybli˙zone warto´sci

podanych wyra˙ze´

√

15, 96,

b) arctg1.05,

c) cos 0, 03.

Je´sli w dowolnym punkcie x ∈ A istnieje pochodna f

funkcji f , to jest ona

pewna, funkcja, okre´slona, na zbiorze A. Mo˙zemy wie,c wyznaczy´c pochodna, tej

funkcji w ka˙zdym punkcie zbioru A i tym samym otrzyma´c nowa, funkcje,, kt´ora,

mo˙zna zr´o˙zniczkowa´c. Jak wida´c r´o˙zniczkowanie mo˙ze by´c wielokrotnie pow-
tarzane. A zatem mo˙zna zdefiniowa´c poje,cie pochodnej dowolnego rze,du.
Definicja 4.1.4. Pochodna, n-tego rze,du funkcji f w punkcie x

definiujemy in-

dukcyjnie

(n)

) =

(n−1)

)

dla n ≥ 2,

gdzie f

(1)

) = f

). Ponadto przyjmujemy f

(0)

) = f (x

Oczywi´scie mo˙zemy r´ownie˙z m´owi´c o r´o˙zniczce n-tego rze,du.

Definicja 4.1.5. R´o˙zniczke, n-tego rze,du funkcji f w punkcie x

definiujemy w

wzorem

f (x

) = f

(n)

)(∆x)

Twierdzenie 4.1.5. (wz´or Leibniza) Niech funkcje f i g maja, pochodne n-tego

rze,du w punkcie x

. Wtedy

(f · g)

(n)

) =

k=0

(n−k)

) · g

(k)

Zadanie 4.1.9. Obliczy´c pochodna, n-tego rze,du funkcji
a) f (x) = ln x,

b) f (x) = sin x,

c) f (x) = cos x.

Zadanie 4.1.10. Zastosowa´c wz´or Leibniza do wyznaczenia n-tych pochodnych
funkcji

a) f (x) = xe

b) f (x) = e

sin x,

c) f (x) = x ln x.

4.2. Twierdzenia o warto´sci ´sredniej.

W paragrafie tym podamy bez dowod´ow kilka wa˙znych twierdze´

n analizy

matematycznej, z kt´orych mo˙zna otrzyma´c wnioski pozwalaja,ce na badanie pod-

stawowych wÃlasno´sci funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej.

Twierdzenie 4.2.1. (Rolle’a) Je˙zeli funkcja f speÃlnia naste,puja,ce warunki:

1. jest cia,gÃla na przedziale < a, b >,

2. jest r´o˙zniczkowalna na przedziale (a, b),
3. f (a) = f (b),
to

c∈(a,b)

Interpretacja geomertyczna twierdzenia Rolle’a: Na wykresie funkcji cia,gÃlej na

przedziale domknie,tym, r´o˙zniczkowalnej wewna,trz tego przedziaÃlu i przyjmuja,cej

jednakowa, warto´s´c na jego ko´ncach istnieje punkt, w kt´orym styczna jest r´owno-

legÃla do osi OX.

PrzykÃlad 4.2.1. Rozwa˙zmy funkcje, f(x) = x

na przedziale < −2, 2 >. Za-

uwa˙zmy, ˙ze funkcja f (x) = x

jest cia,gÃla na przedziale < −2, 2 > i r´o˙zniczkowalna

wewna,trz tego przedziaÃlu, f

(x) = 4x

. Ponadto f (−2) = 16 i f (2) = 16. Wobec

tego funkcja f (x) = x

speÃlnia zaÃlo˙zenia twierdzenia Rolle’a, a zatem w przedziale

< −2, 2 > istnieje taki punkt c, ˙ze f

Rozwa˙zmy teraz na przedziale < −2, 2 > funkcje, f(x) = x

. Funkcja ta

jest oczywi´scie cia,gÃla na przedziale < −2, 2 > i r´o˙zniczkowalna wewna,trz tego

przedziaÃlu. Zauwa˙zmy jednak, ˙ze f (−2) = −8 i f (2) = 8. A zatem jedno z
zaÃlo˙ze´

n twierdzenia Rolle’a nie jest speÃlnione. Nieoznacza to w tym przypadku,

˙ze w przedziale < −2, 2 > nie mo˙zna znale´z´c takiego punktu, w kt´orym pochodna

znika. Wystarczy rozwia,za´c r´ownanie 3x

= 0, aby stwierdzi´c, ˙ze w punkcie c = 0

pochodna funkcji f (x) = x

jest r´owna zero.

Taka sytuacja jak powy˙zej nie zawsze zachodzi. PrzykÃladem jest funkcja

f (x) =| x |. Rozwa˙zmy ta, funkcje, r´ownie˙z na przedziale < −2, 2 >. Jak wiadomo,

funkcja f (x) =| x | jest cia,gÃla na przedziale < −2, 2 >. Niestety nie jest ona

r´o˙zniczkowalna wewna,trz tego przedzialu, gdy˙z nie ma pochodnej w punkcie x

0. Ale f (−2) = 2 i f (2) = 2. Nie sa, wie,c speÃlnione wszystkie zaÃlo˙zenia twierdzenia

Rolle’a, a zatem w przedziale < −2, 2 > nie znajdziemy takiego punktu c, aby
f

= 0, a tam pochodna nie istnieje.

Z twierdzenia Rolle’a wynika istnienie punktu, w kt´orym pochodna znika, co

nie wyklucza faktu, ˙ze takich punkt´ow mo˙ze by´c kilka.

PrzykÃlad 4.2.2. Funkcja f (x) = sin x na przedziale < 0, 4π > speÃlnia zaÃlo˙zenia
twierdzenia Rolle’a, jest cia,gÃla w ka˙zdym punkcie tego przedziaÃlu i jest r´o˙znicz-

kowalna wewna,trz niego oraz f(0) = 0 i f(4π) = 0. Poniewa˙z f

(x) = cos x,

wie,c Ãlatwo wida´c, ˙ze punkt o kt´orym mowa w tezie twierdzenia Rolle’a to c =

c =

3π

, c =

5π

, oraz c =

7π

Twierdzenie 4.2.2. (Lagrange’a) Je˙zeli funkcja f speÃlnia naste,puja,ce warunki:

1. jest cia,gÃla na < a, b >,

2. jest r´o˙zniczkowalna na (a, b),
to

c∈(a,b)

f (b) − f (a)

b − a

Twierdzenie to wynika z twierdzenia Rolle’a. Wystarczy zauwa˙zy´c, ˙ze funkcja

g(x) = f (x) − f (a) −

f (b) − f (a)

b − a

(x − a)

speÃlnia zaÃlo˙zenia twierdzenia Rolle’a.

Ponadto mamy

(x) = f

(x) −

f (b) − f (a)

b − a

Zatem

c∈(a,b)

f (b) − f (a)

b − a

= 0.

Interpretacja geomertyczna twierdzenia Lagrange’a: Na wykresie funkcji cia,gÃlej na

przedziale domknie,tym i r´o˙zniczkowalnej wewna,trz tego przedziaÃlu istnieje punkt,
w kt´orym styczna jest r´ownolegÃla do siecznej Ãla,cza,cej punkty

a, f (a)

b, f (b)

Z twierdzenia Lagrange’a otrzymujemy naste,puja,ce zwia,zki monotoniczno´sci

funkcji z jej pochodna,.

Wniosek 4.2.1. Je˙zeli dla ka˙zdego x ∈ (a, b) f

(x) = 0, to funkcja f jest staÃla

na (a, b).

Wniosek 4.2.2. Je˙zeli dla ka˙zdego x ∈ (a, b) f

(x) > 0 (f

(x) ≥ 0), to funkcja f

jest rosna,ca (niemaleja,ca) na (a, b).

Wniosek 4.2.3. Je˙zeli dla ka˙zdego x ∈ (a, b) f

(x) < 0 (f

(x) ≤ 0), to funkcja f

jest maleja,ca (nierosna,ca) na (a, b).

Twierdzenie 4.2.3.

(Cauchy’ego) Je˙zeli funkcje f i g speÃlniaja, naste,puja,ce

warunki:
1. sa, cia,gÃle na < a, b >,

2. sa, r´o˙zniczkowalne na (a, b),

x∈(a,b)

(x) 6= 0, to

c∈(a,b)

(c)

f (b) − f (a)

g(b) − g(a)

Zadanie 4.2.1. Sprawdzi´c, czy podane funkcje speÃlniaja, twierdzenie Rolle’a w

zadanych przedziaÃlach i je´sli to mo˙zliwe wyznaczy´c c wyste,puja,ce w tezie tego

twierdzenia

a) f (x) =

√

+ 1, < −1, 1 >;

b) f (x) = | x − 1 |

, < 0, 2 >;

c) f (x) = x(x

− 1), < −1, 1 >;

d) f (x) = ln sin x,

5π

Zadanie 4.2.2. Korzystaja,c z twierdzenia Lagrange’a udowodni´c nier´owno´sci
a)

1 + x

< ln(1 + x) < x, dla x > 0;

b) e

≥ 1 + x, dla x ∈ R.

Zadanie 4.2.3. Wyznaczy´c przedziaÃly monotoniczno´sci podanych funkcji

a) f (x) =

+ 1

b) f (x) = sin x + cos x,

c) f (x) = arctgx − ln x,

d) f (x) = (1 + x)e

4.3. ReguÃla de l’Hˆ

ospitala.

Twierdzenie, kt´ore om´owimy w tym paragrafie zostaÃlo odkryte przez matema-

tyka szwajcarskiego Bernoulliego, a ogÃlosiÃl je drukiem poraz pierwszy w podre,czni-

ku analizy matematycznej, jego ucze´

n, matematyk francuski de l’Hˆospital. Dlatego

te˙z twierdzenie to znane jest obecnie jako reguÃla de l’Hˆospitala. Twierdzenie to
jest niezwykle u˙zyteczne przy liczeniu granic funkcji.

Twierdzenie 4.3.1. (de l’Hˆospitala) Je˙zeli

1. dziedziny funkcji

zawieraja, pewne sa,siedztwo punktu x

2. lim

x→x

f (x) = 0 = lim

x→x

g(x)

lim

x→x

f (x) = ∞ = lim

x→x

g(x)

3. istnieje granica wÃla´sciwa lub niewÃla´sciwa lim

x→x

(x)

to istnieje granica lim

x→x

f (x)

g(x)

i ponadto lim

x→x

f (x)

g(x)

= lim

x→x

(x)

Twierdzenie 4.3.1 jest r´ownie˙z prawdzie dla granic jednostronnych i granic

liczonych w punktach niewÃla´sciwych.

Z reguÃly de l’Hˆospitala mo˙zemy skorzysta´c w naste,puja,cych przypadkach.

Przypadek 1. Niech lim

x→x

f (x) = 0 i lim

x→x

g(x) = 0 lub niech lim

x→x

f (x) = ∞

i lim

x→x

g(x) = ∞. Obliczanie granicy lim

x→x

f (x)

g(x)

poprzez formalne podstawienie

warto´sci granicznych daje nam symbol nieoznaczony

0
0

lub odpowiednio

∞
∞

W tym przypadku bezpo´srednie (by´c mo˙ze wielokrotne) zastosowanie reguÃly de
l’Hˆospitala doprowadzi nas do rozwia,zania.
PrzykÃlad 4.3.1. Obliczy´c granice, lim

x→0

− e

−x

Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

x→0

− e

−x

h 0

Zatem je´sli tylko istnieje granica

lim

x→0

− e

−x

]

[x]

to jest ona r´owna poszukiwanej przez nas granicy.

Mamy

lim

x→0

− e

−x

]

[x]

= lim

x→0

+ e

−x

= 2.

A zatem poniewa˙z sa, speÃlnione wszystkie zaÃlo˙zenia twierdzenia 4.3.1, to

lim

x→0

− e

−x

= 2.

Przypadek 2.

Niech lim

x→x

f (x) = 0 i lim

x→x

g(x) = ∞.

Obliczaja,c granice,

lim

x→x

[f (x) · g(x)] poprzez formalne postawienie warto´sci granicznych otrzymamy

symbol nieoznaczony [0 · ∞]. Aby wyznaczy´c te, granice, zauwa˙zmy, ˙ze zasta,pienie

mno˙zenia dzieleniem doprowadzi nas do zamiany symbolu nieoznaczonego [0 · ∞]
na jeden z symboli

∞
∞

lub

0
0

. Daje nam to mo˙zliwo´s´c zastosowania reguÃly de

l’Hˆospitala, o ile zaÃlo˙zenia twierdzenia 4.3.1 sa, speÃlnione. Mamy bowiem

lim

x→x

f (x) · g(x) = lim

x→x

f (x)

g(x)

h 0

lub

lim

x→x

f (x) · g(x) = lim

x→x

g(x)

f (x)

h ∞

∞

PrzykÃlad 4.3.2. Obliczy´c granice, lim

x→∞

−x

W tym przypadku zaÃlo˙zenia twierdzenia 4.3.1 sa, speÃlnione, zatem mamy

lim

x→+∞

−x

0 · ∞

= lim

x→+∞

h ∞

∞

= lim

x→+∞

= 0.

Przypadek 3. Niech lim

x→x

f (x) = ∞ i lim

x→x

g(x) = ∞. Formalne postawienie

warto´sci granicznych podczas liczenia granicy lim

x→x

[f (x) − g(x)] daje nam symbol

nieoznaczony [∞ − ∞]. Zauwa˙zmy, ˙ze w´owczas mamy

lim

x→x

[f (x) − g(x)] = lim

x→x

g(x)

−

f (x)

f (x)g(x)

h 0

A zatem po takim przeksztaÃlceniu mo˙zemy zastosowa´c reguÃle, l’Hˆospitala, o ile

oczywi´scie zaÃlo˙zenia twierdzenia 4.3.1 sa, speÃlnione.

PrzykÃlad 4.3.3. Obliczy´c granice, lim

x→0

³ 1

tgx

−

. W tym przypadku mamy

lim

x→0

³ 1

tgx

−

∞ − ∞

= lim

x→0

x − tgx

xtgx

h 0

= lim

x→0

1 −

cos

tgx +

cos

= lim

x→0

− sin

sin x cos x + x

h 0

= lim

x→0

−2 sin x cos x

cos

x − sin

x + 1

= 0.

Przypadek 4. Niech lim

x→x

f (x) = 0 i lim

x→x

g(x) = 0. W´owczas formalne pod-

stawienie warto´sci granicznych podczas wyznaczania granicy lim

x→x

f (x)

g(x)

daje

symbol nieoznaczony

. Jednak˙ze zapisanie tej granicy w innej postaci

lim

x→x

f (x)

g(x)

= lim

x→x

g(x) ln f (x)

sprowadza problem do wyznaczenia granicy lim

x→x

g(x) ln f (x), kt´ora przy powy˙z-

szych zaÃlo˙zeniach daje symbol nieoznaczony

0 · ∞

. A zatem wystarczy dalej

poste,powa´c jak w przypadku 2.

Podobna, sytuacje, mamy, gdy lim

x→x

f (x) = 1 i lim

x→x

g(x) = ∞. W´owczas

lim

x→x

f (x)

g(x)

∞

= lim

x→x

g(x) ln f (x)

= e

[0·∞]

i dalej poste,pujemy jak w przypadku 2.

W analogiczny spos´ob poste,pujemy w sytuacji, gdy lim

x→x

f (x) = ∞ oraz

lim

x→x

g(x) = 0 i chcemy obliczy´c granice, lim

x→x

f (x)

g(x)

. Wtedy

lim

x→x

f (x)

g(x)

∞

= lim

x→x

g(x) ln f (x)

= e

[0·∞]

PrzykÃlad 4.3.4. Obliczy´c granice, lim

x→0

Zauwa˙zmy, ˙ze

lim

x→0

= lim

x→0

x ln x

Ponadto

lim

x→0

x ln x =

0 · ∞

= lim

x→0

ln x

h ∞

∞

= lim

x→0

−1

= − lim

x→0

x = 0.

Wobec tego lim

x→0

= e

= 1.

4.4. Wz´

or Taylora i Maclaurina. Zastosowanie rachunku r´

o˙zniczkowego

do aproksymacji funkcji.

Wz´or Taylora oraz wynikaja,cy z niego wz´or Maclaurina, o kt´orych be,dzie

mowa w tym paragrafie wykorzystuje sie, do obliczania przybli˙zonych warto´sci

funkcji. Ze wzor´ow tych mo˙zemy otrzyma´c przybli˙zenia z mniejszym bÃle,dem ni˙z

wykorzystuja,c r´o˙zniczke, pierwszego rze,du.

Twierdzenie 4.4.1. (Wz´or Taylora) Je˙zeli

1. funkcja f ma cia,gÃle pochodne rze,du (n−1) wÃla,cznie na przedziale domknie,tym

, x],

2. funkcja f ma pochodna, rze,du n wewna,trz przedziaÃlu (x

, x),

c∈(x

,x)

f (x) = f (x

) +

n−1

k=1

(k)

)

(x − x

)

(n)

(c)

(x − x

)

Zauwa˙zmy, ˙ze dla n = 1 za wzoru Taylora wynika twierdzenie Lagrange’a.

Je˙zeli wprowadzimy oznaczenie h = x − x

, to wz´or Taylora mo˙zemy zapisa´c

w wygodniejszej postaci

f (x

+h) = f (x

)

(3)

)

(n−1)

)

(n − 1)!

n−1

(n)

(c)

Ostatni skÃladnik w powy˙zszym wzorze nazywamy reszta, Lagrange’a n-tego rze,du

i oznaczamy symbolem R

, tzn.

(n)

(c)

Reszte, te, mo˙zna r´ownie˙z zapisa´c w naste,puja,cej postaci

(n)

+ θh)

gdzie θ ∈ (0, 1).

KÃlada,c we wzorze Taylora x

= 0 otrzymujemy

f (x) = f (0) +

n−1

k=1

(k)

(0)

(n)

(c)

Wz´or ten nazywamy wzorem Maclaurina.

Zauwa˙zmy, ˙ze pomijaja,c reszte, we wzorze Maclaurina, otrzymamy wz´or przy-

bli˙zony

f (x) ≈

n−1

k=0

(k)

(0)

(4.4.1)

kt´ory mo˙zemy wykorzysta´c do obliczania warto´sci funkcji f . BÃla,d bezwzgle,dny

∆, jaki popeÃlniamy posÃluguja,c sie, tym wzorem, jest r´owny warto´sci bezwzgle,dnej

reszty R

, tj.

∆ =

(n)

(c)

¯.

R´owno´s´c ta sÃlu˙zy do oceny bÃle,du jaki popeÃlniamy zaste,puja,c ”prawdziwa,” warto´s´c

funkcji warto´scia, przybli˙zona, wyliczona, z u˙zyciem wielomianu znajduja,cego sie, po

prawej stronie wzoru (4.4.1).

PrzykÃlad 4.4.1. Napiszemy wz´or Maclaurina dla funkcji f (x) = e

. Zauwa˙zmy,

˙ze funkcja f ma pochodna, dowolnego rze,du postaci f

(n)

(x) = e

, a zatem f

(n)

(0) =

1. Wobec tego mamy

n−1

k=0

gdzie | c |<| x |.

Je´sli wie,c be,dziemy chcieli wykorzysta´c ten wz´or do obliczenia przybli˙zonej

warto´sci funkcji f (x) = e

w pewnym punkcie jej dziedziny, to bÃla,d bezwzgle,dny

jaki popeÃlnimy speÃlnia warunek

∆ =

≤

| x |

|x|

Wyliczmy wie,c, przy u˙zyciu powy˙zszych rozwa˙za´n przybli˙zona, warto´s´c liczby e i

oce´

nmy popeÃlniony bÃla,d bezwzgle,dny. Mamy

e ≈

n−1

k=0

przy czym

∆ ≤

Droga, pr´ob ustalamy, ˙ze najmniejsza, liczba, naturalna, n speÃlniaja,ca, pow˙zsza, nie-

r´owno´s´c jest n = 8. Zatem otrzymujemy

e ≈

k=0

685
252

z bÃledem mniejszym jak

< 0, 000075.

Zadanie 4.4.1. Napisa´c wz´or Taylora z reszta, Lagrange’a dla podanych funkcji

f , punkt´ow x

oraz dla wskazanego n

a) f (x) =

√

= 1,

n = 3;

b) f (x) =

√

1 + x,

= 0,

n = 2;

c) f (x) = arcsin x,

= 0,

n = 3;

d) f (x) = cosh x,

= 0,

n = 4;

Zadanie 4.4.2. Napisa´c wz´or Maclaurina dla funkcji

a) f (x) = sin x,

b) f (x) = cos x,

c) f (x) = ln(1 + x),

d) f (x) = e

x+2

e) f (x) = sin 2x.

Zadanie 4.4.3.

Wykorzystuja,c wz´or Maclaurina obliczy´c warto´sci podanych

wyra˙ze´

n ze wskazana, dokÃladno´scia,

a) cos 0, 2,

0, 0001;

b) ln 0, 9,

0, 01;

a) sin 1,

0, 0001;

√

1, 2,

0, 001.

4.5. Ekstrema funkcji.

Paragraf ten be,dzie po´swie,cony zastosowaniu rachunku pochodnych do wyz-

naczania ekstremum funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej. Na pocza,t-

ku przypomnimy definicje ekstremum lokalnego wÃla´sciwego funkcji.

Niech x

∈ R oraz niech funkcja f be,dzie okre´slona przynajmniej na otoczeniu

punktu x

Definicja 4.5.1. Funkcja f ma w punkcie x

maksimum lokalne wÃla´sciwe, je˙zeli

δ>0

x∈S(x

,δ)

f (x) < f (x

Definicja 4.5.2. Funkcja f ma w punkcie x

minimum lokalne wÃla´sciwe, je˙zeli

δ>0

x∈S(x

,δ)

f (x) > f (x

Powy˙zsze definicje okre´slaja, poje,cie ekstremum funkcji w odniesieniu do dostate-

cznie maÃlego otoczenia punktu x

. Mo˙zemy r´ownie˙z zdefiniowa´c poje,cie ektremum

absolutnego funkcji, kt´ore odnosi sie, do pewnego zbioru na kt´orym rozwa˙zana

funkcja jest okre´slona lub do jej dziedziny naturalnej i oznacza po prostu warto´s´c
najwie,ksza, i najmniejsza, funkcji.

Podamy teraz warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum lokalnego

funkcji f w punkcie x

Warunek konieczny istnienia ekstremum

Twierdzenie 4.5.1. (Fermata) Je´sli funkcja f
1. ma ekstremum lokalne wÃla´sciwe w punkcie x

2. ma pochodna, w punkcie x

) = 0.

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma w punkcie x

maksimum lokalne wÃla´sciwe i

jest w tym punkcie r´o˙zniczkowalna. W´owczas istnieje taka liczba δ > 0, ˙ze

f (x

+ h) − f (x

)

≥ 0,

dla

− δ < h < 0

oraz

f (x

+ h) − f (x

)

≤ 0,

dla 0 < h < δ.

Zatem

lim

h→0

−

f (x

+ h) − f (x

)

≥ 0

lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

≤ 0.

Poniewa˙z funkcja jest r´o˙zniczkowalna w punkcie x

, to

lim

h→0

−

f (x

+ h) − f (x

)

= lim

h→0

f (x

+ h) − f (x

)

Wobec tego mamy

) ≥ 0 i f

) ≤ 0,

co oznacza, ˙ze f

) = 0.

W przypadku minimum lokalnego dow´od przebiega w analogiczny spos´ob.

W interpretacji geometrycznej twierdzenie Fermata oznacza, ˙ze w punkcie, w
kt´orym funkcja osia,ga ekstermum, styczna do wykresu funkcji jest r´ownolegÃla

do osi OX.

Zauwa˙zmy, ˙ze twierdzenie Fermata podaje tylko warunek konieczny istnienia

ekstremum funkcji. Wobec tego twierdzenie odwrotne nie zawsze zachodzi, o czym

´swiadczy poni˙zszy przykÃlad.

PrzykÃlad 4.5.1. Rozwa˙zmy funkcje, f(x) = x

. Jak wiadomo funkcja ta jest

r´o˙zniczkowalna dla ka˙zdego x ∈ R. Zauwa˙zmy, ˙ze f

(0) = 0 mimo, i˙z w punkcie

= 0 funkcja ta nie ma ekstermum.

Z naszych rozwa˙za´

n wynika, ˙ze funkcja f mo˙ze posiada´c ekstremum lokalne

wÃla´sciwe jedynie w tych punktach, w kt´orych pochodna jest r´owna zero. Zauwa˙zmy
ponadto, ˙ze funkcja mo˙ze r´ownie˙z posiada´c eksteremum w punktach, w kt´orych
pochodna w og´ole nie istnieje.

PrzykÃlad 4.5.2. Rozaw˙zmy funkcje, f(x) =| x + 1 |. Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja ta w

punkcie x

= −1 nie ma pochodnej. Istotnie

lim

h→0

f (−1 + h) − f (−1)

= lim

h→0

| h |

= 1

oraz

lim

h→0

−

f (−1 + h) − f (−1)

= lim

h→0

−

| h |

= −1.

Zauwa˙zmy jednak, ˙ze w punkcie x

= −1 nasza funkcja osia,ga minimum r´owne 0,

gdy˙z

x∈R

| x + 1 |≥ 0

oraz

| x + 1 |= 0 dla x = −1.

Pierwszy warunek dostateczny istnienia ekstremum

Twierdzenie 4.5.2. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla i posiada pochodna, na pewnym

sa,siedztwie punktu x

oraz











−δ<x<x

(x) < 0

<x<x

+δ

(x) > 0

(4.5.1)

to funkcja f w punkcie x

ma minimum lokalne wÃla´sciwe,

je´sli natomiast zamiast powy˙zszego warunku zachodzi warunek











−δ<x<x

(x) > 0

<x<x

+δ

(x) < 0

(4.5.2)

to funkcja f w punkcie x

ma maksimum lokalne wÃla´sciwe.

Dow´

od. Niech x ∈ S(x

, δ). Na przedziale domknie,tym o ko´ncach x i x

funkcja

f jest cia,gÃla i ponadto jest ona r´o˙zniczkowalna wewna,trz tego przedziaÃlu, a zatem

speÃlnione sa, zaÃlo˙zenia twierdzenia Lagrange’a. Mamy wie,c

c∈<x,x

f (x) − f (x

) = f

)(x − x

Zauwa˙zmy, ˙ze iloczyn po prawej stronie powy˙zszej r´owno´sci dla x < x

na mocy

warunku (4.5.1) jest dodatni. Podobnie dla x > x

. Wobec tego mamy

x∈S(x

,δ)

f (x) − f (x

) > 0,

co oznacza, ˙ze

x∈S(x

,δ)

f (x) > f (x

Zatem w punkcie x

funkcja osia,ga minimum lokalne.

W przypadku maksimum lokalnego dow´od przebiega w analogiczny spos´ob.

Wniosek 4.5.1. (warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji)
Je˙zeli f

) = 0 i ponadto











−δ<x<x

(x) < 0

<x<x

+δ

(x) > 0

to funkcja f w punkcie x

ma minimum lokalne wÃla´sciwe,

je´sli natomiast zamiast powy˙zszego warunku zachodzi warunek











−δ<x<x

(x) > 0

<x<x

+δ

(x) < 0

to funkcja f w punkcie x

ma maksimum lokalne wÃla´sciwe.

Drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum

Twierdzenie 4.5.3. Je˙zeli funkcja f na pewnym otoczeniu punktu x

ma druga,

pochodna, r´o˙zna, od zera i cia,gÃla, w punkcie x

oraz je˙zeli f

) = 0, to

1. funkcja f w punkcie x

ma maksimum lokalne wÃla´sciwe, gdy f

) < 0,

1. funkcja f w punkcie x

ma minimum lokalne wÃla´sciwe, gdy f

) > 0.

Zadanie 4.5.1. Wyznaczy´c ekstrema lokalne podanych funkcji

a(x) = e

+ e

−x

b(x) =

1 + x

c(x) = x

√

4 − x,

d(x) = 2 sin x + cos

f (x) =

ln x

g(x) = (x − 5)e

h(x) = x

100

+ 2x

k(x) = sin

x + cos

l(x) = x

Zadanie 4.5.2. Znale´z´c warto´s´c najwie,ksza, i najmniejsza, podanych funkcji na

wskazanych przedziaÃlach

f (x) = 2 sin x + sin 2x,

3
2

;

g(x) = x − 2

√

< 0, 5 >;

h(x) = x

ln x,

< 1, e >;

k(x) = arctgx −

, < 0, 2 >.

4.6. Wkle,sÃlo´s´c i wypukÃlo´s´c.

W paragrafie tym wykorzystamy rachunek r´o˙zniczkowy do okre´slenia poÃlo˙ze-

nia wykresu funkcji wzgle,dem siecznej lub wzgle,dem stycznej.

Niech funkcja f be,dzie okre´slona na pewnym przedziale (a, b).

Definicja 4.6.1. Powiemy, ˙ze funkcja f jest wypukÃla na przedziale (a, b), je´sli

a<x

0<λ<1

f (λx

+ (1 − λ)x

) ≤ λf (x

) + (1 − λ)f (x

W interpretacji geometrycznej oznacza to, ˙ze ka˙zdy odcinek siecznej wykresu le˙zy
wy˙zej lub pokrywa sie, z fragmentem wykresu poÃlo˙zonym mie,dzy punktami, przez

kt´ore przechodzi sieczna.

Je˙zeli w powy˙zszej definicji zachodzi nier´owno´s´c ostra to funkcje, f nazywa´c

be,dziemy ´sci´sle wypukÃla,.

Definicja 4.6.2. Powiemy, ˙ze funkcja f jest wkle,sÃla na przedziale (a, b), je´sli

a<x

0<λ<1

f (λx

+ (1 − λ)x

) ≥ λf (x

) + (1 − λ)f (x

W interpretacji geometrycznej oznacza to, ˙ze ka˙zdy odcinek siecznej wykresu le˙zy
ni˙zej lub pokrywa sie, z fragmentem wykresu poÃlo˙zonym mie,dzy punktami, przez

kt´ore przechodzi sieczna.

Je˙zeli w powy˙zszej definicji zachodzi nier´owno´s´c ostra to funkcje, f nazywa´c

be,dziemy ´sci´sle wkle,sÃla,.

Niech A oznacza punkt krzywej y = f (x) o odcie,tej x, a B - punkt o tej samej

odcie,tej, ale le˙za,cy na stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie x

. W´owczas

rze,dne tych punkt´ow sa, r´owne odpowiednio

= f (x),

= f (x

) + f

)(x − x

Zauwa˙zmy, ˙ze mo˙zemy poda´c r´ownowa˙zne definicje wypukÃlo´sci i wkle,sÃlo´sci funkcji.

Definicja 4.6.3. Powiemy, ˙ze funkcja f jest wypukÃla w punkcie x

je´sli

r>0

x∈S(x

,r)

− y

≥ 0,

to znaczy, gdy

r>0

x∈S(x

,r)

f (x) ≥ f (x

) + f

)(x − x

Geometrycznie w my´sl tej definicji, wypukÃlo´s´c funkcji oznacza, ˙ze pewna cze,´s´c

krzywej y = f (x), odpowiadaja,ca dostatecznie maÃlemu sa,siedztwu punktu x

znajduje sie, nad styczna, do tej krzywej w punkcie x

Definicja 4.6.3. Powiemy, ˙ze funkcja f jest wkle,sÃla w punkcie x

je´sli

r>0

x∈S(x

,r)

− y

≤ 0,

to znaczy, gdy

r>0

x∈S(x

,r)

f (x) ≤ f (x

) + f

)(x − x

Geometrycznie w my´sl tej definicji, wkle,sÃlo´s´c funkcji oznacza, ˙ze pewna cze,´s´c

krzywej y = f (x), odpowiadaja,ca dostatecznie maÃlemu sa,siedztwu punktu x

znajduje sie, pod styczna, do tej krzywej w punkcie x

Oczywi´scie, je´sli w powy˙zszych definicjach nier´owno´sci sa, ostre to funkcje, f

nazywamy odpowiednio ´sci´sle wypukÃla, lub ´sci´sle wkle,sÃla, w punkcie x

Je´sli funkcja jest wypukÃla (wkle,sÃla) w ka˙zdym punkcie przedziaÃlu (a, b), to

be,dziemy m´owi´c, ˙ze jest ona wypukÃla (wkle,sÃla) w przedziale (a, b).

Podamy teraz warunki na to by funkcja f byÃla funkcja, wypukÃla, ba,d´z wkle,sÃla,.

Warunek dostateczny wypukÃlo´sci

Twierdzenie 4.6.1. Niech funkcja f ma pochodna, pierwszego rze,du na przedziale

(a, b) oraz niech istnieje pochodna drugiego rze,du tej funkcji w ka˙zdym punkcie

tego przedziaÃlu taka, ˙ze

x∈(a,b)

) 6= 0. Wtedy

1. je´sli

x∈(a,b)

) > 0, to funkcja jest wypukÃla na przedziale (a, b),

2. je´sli

x∈(a,b)

) < 0, to funkcja jest wkle,sÃla na przedziale (a, b).

Definicja 4.6.5. Powiemy, ˙ze punkt P (x

, f (x

)) jest punktem przegie,cia wykresu

funkcji f , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba δ, ˙ze funkcja f jest ´sci´sle wy-
pukÃla na lewostronnym sa,siedztwie punktu x

i jest ´sci´sle wkle,sÃla na prawostron-

nym sa,siedztwie punktu x

lub odwrotnie.

Z definicji tej wynika, ˙ze punkt jest punktem przegie,cia wykresu funkcji, gdy

funkcja zmienia w nim rodzaj wypukÃlo´sci, czyli gdy wykres funkcji przechodzi z
jednej strony stycznej na druga,.

W kolejnym twierdzeniu podamy warunek konieczny istnienia punktu prze-

gie,cia.
Twierdzenie 4.6.2. Je˙zeli punkt (x

, f (x

)) jest punktem przegie,cia wykresu

funkcji i f

) istnieje, to

) = 0.

Znaczenie powy˙zszego warunku dla wyznaczania punkt´ow przegie,cia jest analog-

iczne do znaczenia twierdzenia Fermata dla wyznaczania ekstrem´ow funkcji. Je˙zeli
funkcja f ma cia,gÃla, pochodna, drugiego rze,du na pewnym przedziale, to punktem

przegie,cia mo˙ze by´c tylko taki punkt x

, kt´ory speÃlnia r´ownanie f

) = 0.

Punkt ten jest punktem przegie,cia, gdy pochodna drugiego rze,du zmienia znak w

sa,siedztwie punktu x

Poni˙zszy przykÃlad pokazuje, ˙ze zerowanie sie, drugiej pochodnej jest tylko

warunkiem koniecznym na to by istniaÃl punkt przegie,cia.

PrzykÃlad 4.6.1. Rozwa˙zmy funkcje, f(x) = x

. Mamy f

(x) = 4x

i f

(x) =

12x

. Zatem f

(x) = 0 wtedy i tyklo wtedy, gdy x = 0. Jednak˙ze punkt x

= 0

nie jest punktem przegie,cia naszej funkcji, bo

x6=0

(x) > 0, co oznacza, ˙ze druga

pochodna w otoczeniu punktu x

= 0 nie zmienia znaku.

Zadanie 4.6.1. Zbadaj wypukÃlo´s´c podanych funkcji i wyznacz punkty przegie,cia

wykresu tych funkcji.

d(x) = e

−x

f (x) = arctgx,

g(x) = ln x,

h(x) = 3

k(x) =

1+x

l(x) = (ln x)

− ln x.

4.7. Asymptoty.

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja f ma dziedzine, zÃlo˙zona, z sumy pewnych przedziaÃl´ow.

ponadto niech funkcja f be,dzie cia,gÃla i monotoniczna na tych przedziaÃlach. Wyz-

naczaja,c granice funkcji f w punktach ko´ncowych dziedziny uzyskujemy dane

pozwalaja,ce naszkicowa´c wykres funkcji.

Niech funkcja f be,dzie okre´slona i cia,gÃla na pewnym sa,siedztwie punktu

wÃla´sciwego c.

Definicja 4.7.1. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w prawostronnym sa,siedztwie punktu

c oraz

lim

x→c

f (x) = +∞

lub

lim

x→c

f (x) = −∞,

to powiemy, ˙ze prosta x = c jest prawostronna, asymptota, pionowa, wykresu funkcji

f .

Definicja 4.7.2. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w lewostronnym sa,siedztwie punktu

c oraz

lim

x→c

−

f (x) = +∞

lub

lim

x→c

−

f (x) = −∞,

to powiemy, ˙ze prosta x = c jest lewostronna, asymptota, pionowa, wykresu funkcji

f .

Je˙zeli prosta x = c jest prawostronna, i lewostronna, asymptota, pionowa, wykresu

funkcji f , to powiemy, ˙ze jest ona obustronna, asymptota, pionowa,.

Z powy˙zszych definicji wynika, ˙ze wykres funkcji mo˙ze posiada´c asymptoty

pionowe jedynie w sko´

nczonych kra´

ncach dziedziny.

Definicja 4.7.3.

Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w pewnym sa,siedztwie punktu

niewÃla´sciwego +∞ i je˙zeli istnieje prosta y = ax + b taka, ˙ze

lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b)] = 0

to gdy a 6= 0, prosta, y = ax + b nazywamy asymptota, uko´sna, prawostronna,

wykresu funkcji f , a gdy a = 0, to wtedy ta, prosta, nazywamy asymptota, pozioma,

prawostronna, wykresu funkcji f.

Definicja 4.7.4.

Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla w pewnym sa,siedztwie punktu

niewÃla´sciwego −∞ i je˙zeli istnieje prosta y = ax + b taka, ˙ze

lim

x→−∞

[f (x) − (ax + b)] = 0

to gdy a 6= 0, prosta, y = ax + b nazywamy asymptota, uko´sna, lewostronna,

wykresu funkcji f , a gdy a = 0, to wtedy ta, prosta, naywamy asymptota, pozioma,

lewostronna, wykresu funkcji f.

Zauwa˙zmy, ˙ze asymptota pozioma jest szczeg´olnym przypadkiem asymptoty uko´s-
nej. Zatem istnienie asymptoty poziomej wyklucza istnienie asymptoty uko´snej i
na odwr´ot.

Ponadto, poniewa˙z istnienie asymptot uko´snych, a tym samym i poziomych

zale˙zy od zachowania sie, funkcji w niesko´nczono´sciach, to mo˙ze zdarzy´c sie, tak, ˙ze

wykres funkcji przetnie taka, asymptote,, by´c mo˙ze nawet wielokrotnie, w punktach

dziedziny dostatecznie odlegÃlych od punkt´ow niewÃla´sciwych.

Niemo˙zliwe jest natomiast by wykres funkcji m´ogÃl przecia,´c asymptote, piono-

wa,, gdy˙z jej istnienie wia,˙ze sie, z istnieniem granicy funkcji w punkcie, kt´ory nie

nale˙zy do dziedziny funkcji.

Naste,puja,ce twierdzenie podaje warunek konieczny i dostateczny istnienia

asymptoty uko´snej funkcji f .

Twierdzenie 4.7.1. Prosta y = ax + b jest asymptota, uko´sna, wykresu funkcji f

wtedy i tylko wtedy, gdy

a = lim

x→±∞

f (x)

b = lim

x→±∞

f (x) − ax

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze prosta y = ax + b jest asymptota, uko´sna, prawo-

stronna, wykresu funkcji f. A zatem z definicji 4.7.3. mamy

lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Korzystaja,c z twierdzenia o dziaÃlaniach arytmerycznych na granicach sko´nczonych

otrzymamy

lim

x→+∞

f (x) − (ax + b)

h 0

+∞

= 0.

Z drugiej strony mamy

lim

x→+∞

f (x) − (ax + b)

= lim

x→+∞

³ f(x)

− a −

= lim

x→+∞

f (x)

− a.

Zatem

lim

x→+∞

f (x)

− a = 0.

Co oznacza, ˙ze

lim

x→+∞

f (x)

= a.

Korzystaja,c ponownie z twierdzenia o dziaÃlaniach arytmerycznych na granicach

sko´

nczonych dostajemy

lim

x→+∞

[f (x) − ax] = lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b) + b] = b.

Tym samym warunek konieczny zostaÃl udowodniony.

Aby udowodni´c warunek dostateczny zaÃl´o˙zmy, ˙ze

a = lim

x→+∞

f (x)

b = lim

x→+∞

f (x) − ax

Zatem z drugiej r´owno´sci dostajemy

lim

x→+∞

[f (x) − ax − b] = 0,

co daje nam

lim

x→+∞

[f (x) − (ax + b)] = 0.

Zatem prosta y = ax + b jest asymptota, uko´sna, prawostronna, wykresu funkcji f.

W przypadku asymptoty lewostronnej dow´od przebiega analogicznie.

Z twierdzenia 4.7.1 wynika, ˙ze je´sli jedna z wymienionych granic nie istnieje

lub jest niewÃla´sciwa, to wykres funkcji nie posiada asymptoty uko´snej. Ponadto
z twierdzenia 4.7.1. otrzymujemy naste,puja,cy warunek konieczny i dostateczny

istnienia asymptoty poziomej.

Wniosek 4.7.1. Prosta y = b jest asymptota, pozioma, lewostronna, wykresu

funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

x→−∞

f (x) = b.

Prosta y = b jest asymptota, pozioma, prawostronna, wykresu funkcji f wtedy i

tylko wtedy, gdy

lim

x→+∞

f (x) = b.

Oczywi´scie je´sli powy˙zsze granice nie istnieja, lub sa, niewÃla´sciwe, to wykres funkcji

f nie ma asymptot poziomych.

Zadanie 4.7.1. Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu podanych funkcji

a(x) =

sin

b(x) = e

c(x) = ln(x − 4),

d(x) =

√

− 1,

f (x) =

sin x

g(x) =

arctgx

h(x) = x ln

e +

k(x) = x − arctgx,

l(x) =

− 1

4.8. Funkcja okre´slona parametrycznie i jej pochodna.

Niech dane be,da, dwa r´ownania

x = ϕ(t),
y = ψ(t),

(4.8.1)

gdzie ϕ i ψ sa, pewnymi funkcjami, a t jest liczba, z pewnego przedziaÃlu < a, b >.

W´owczas ka˙zdej warto´sci t ∈< a, b > odpowiadaja, dwie warto´sci x i y. Je˙zeli x i

y be,dziemy traktowa´c jako wsp´oÃlrze,dne punktu pÃlaszczyzny, to ka˙zdej warto´sci t

odpowiada pewien punkt pÃlaszczyzny OXY . Wobec tego r´ownania (4.8.1) opisuja,

pewna, krzywa, na pÃlaszczy´znie. R´ownania (4.8.1) nazywamy r´ownaniami parame-

trycznymi krzywej, a t nazywamy parametrem.

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli funkcja ϕ jest r´o˙znowarto´sciowa na przedziale < a, b >, to

istnieje do niej funkcja odwrotna, a wie,c z r´ownania x = ϕ(t) mo˙zemy wyznaczy´c

parametr t = ϕ

−1

(x). Wtedy y = ψ(ϕ

−1

(x)). Mo˙zemy wie,c znale´z´c zale˙zno´s´c

funkcyjna, mie,dzy zmiennymi x i y postaci y = f(x). Funkcja f = ψ ◦ ϕ

−1

jest

w´owczas okre´slona parametrycznie r´ownaniami (4.8.1). Podobnie je˙zeli funkcja
ψ jest funkcja, r´o˙znowarto´sciowa, na przedziale < a, b >, to t = ψ

−1

(y) oraz

x = ϕ(ψ

−1

(y)). Wtedy r´ownie˙z istnieje zale˙zno´s´c funkcyjna x = h(y) mie,dzy

zmiennymi x i y. Funkcja h jest funkcja, okre´slona, parametrycznie.

PrzykÃlad 4.8.1. Rozwa˙zmy okra,g o ´srodku w punkcie (0, 0) i promieniu dÃlugo´sci

1. R´ownanie tego okre,gu ma naste,puja,ca, posta´c

+ y

= 1.

Zauwa˙zmy, ˙ze rozwa˙zany okra,g mo˙zemy okre´sli´c naste,puja,cymi r´ownaniami para-

metrycznymi

x = cos t,
y = sin t,

(4.8.2)

gdzie t ∈< 0, 2π).

Ponadto dla y ≥ 0 mamy y =

√

1 − x

, co zachodzi, gdy t ∈< 0, π). A

zatem dla t ∈< 0, π) funkcja f (x) =

√

1 − x

jest okre´slona parametrycznie

przez r´ownania (4.8.2). Oczywi´scie na przedziale < 0, π) funkcja ϕ(t) = cos t
jest r´o˙znowarto´sciowa. R´ownie˙z dla t ∈ (π, 2π) funkcja ϕ jest r´o˙znowarto´sciowa, a
zatem i w tym przedziale mo˙zemy wyznaczy´c funkcje, f okre´slona, parametrycznie

przez r´ownania (4.8.2).

ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja ϕ wyste,puja,ca w r´ownaniach (4.8.1) ma pochodna, staÃlego

znaku na przedziale < a, b >. Oznacza to, ˙ze na tym przedziale funkcja ϕ jest
monotoniczna, a tym samym jest to funkcja r´o˙znowarto´sciowa. Wobec tego istnieje
funkcja f okre´slona parametrycznie r´ownaniami (4.8.1). W´owczas korzystaja,c z

twierdzenia o pochodnej funkcji zÃlo˙zonej i twierdzenia o pochodnej funkcji odwrot-
nej mamy

(x) =

ψ(ϕ

−1

(x))

= ψ

(t)

−1

(x)

(t)

Ponadto otrzymujemy

(x) =

h ψ

(t)

(t)ϕ

(t) − ψ

(t)ϕ

(t)

[ϕ

(t)]

−1

(x)

(t)ϕ

(t) − ψ

(t)ϕ

(t)

[ϕ

(t)]

Podobnie gdy funkcja ψ na przedziale < a, b > ma pochodna, staÃlego znaku, to

funkcja h = ϕ ◦ ψ

−1

okre´slona r´ownaniami (4.8.1) istnieje, a jej pochodne pier-

wszego i drugiego rze,du okre´slaja, wzory

(y) =

(t)

(y) =

(t)ψ

(t) − ϕ

(t)ψ

(t)

[ψ

(t)]

Poni˙zej podamy r´ownania parametryczne najcze,´sciej spotykanych krzywych

PrzykÃlad 4.8.2.

1. okra,g o´srodku w punkcie (a, b) i promieniu dÃlugo´sci r

x = a + r cos t,
y = b + r sin t,

t ∈< 0, 2π),

2. elipsa o osiach a i b

x = a cos t,
y = b sin t,

t ∈< 0, 2π),

3. hiperbola o osiach a i b

x = a cosh t,
y = b sinh t,

t ∈ R,

4. asteroida

x = a cos

y = a sin

t ∈< 0, 2π),

5. li´s´c Kartezjusza











x =

3at

+ 1

y =

3at

+ 1

t ∈ R,

6. cykloida

x = a(t − sin t),
y = a(1 − cos t),

t ∈ R,

7. kardioida

x = a(2 cos t − cos 2t),
y = a(2 sin t − sin 2t),

t ∈< 0, 2π).

4.9. Badanie krzywych danych parametrycznie.

Niech dana be,dzie krzywa okre´slona parametrycznie r´ownaniami (4.8.1).

Chca,c naszkicowa´c ta, krzywa, w ukÃladzie wsp´oÃlrze,dnych prostoka,tnych przedziaÃl

< a, b > dzielimy na podprzedziaÃly na kt´orych jedna z funkcji ϕ lub ψ ma pochodna,

staÃlego znaku. Punkty, w kt´orych obie funkcje maja, zerowe pochodne nazywamy

punktami osobliwymi, gdy˙z w takich punktach nie mo˙zemy wyznaczy´c ani funkcji
f , ani h. Je˙zeli dodatkowo w punkcie osobliwym pochodne drugiego rze,du funkcji

ϕ i ψ sa, r´o˙zne od zera, to taki punkt nazywa´c be,dziemy punktem zwrotu. W

punkcie zwrotu isnieje styczna do krzywej, a jej r´ownanie ma naste,puja,ca, posta´c

)[x − ϕ(t

)] − ϕ

)[y − ψ(t

)] = 0,

gdzie t

jest warto´scia, parametru odpowiadaja,ca, punktowi zwrotu.

Je˙zeli krzywa jest okre´slona r´ownaniami parametrycznymi (4.8.1), to asymp-

toty tej krzywej wyznaczamy w naste,puja,cy spos´ob.

Je˙zeli istnieja, granice

lim

t→t

ϕ(t) = c < ∞

lim

t→t

ψ(t) = ±∞,

to prosta x = c jest asymptota, pionowa, krzywej (4.8.1).

Je˙zeli natomiast istnieja, granice

lim

t→t

ψ(t) = b < ∞

lim

t→t

ϕ(t) = ±∞,

to prosta y = b jest asymptota, pozioma, krzywej (4.8.1).

Asymptota uko´sna y = ax + b krzywej (4.8.1) istnieje wtedy, gdy

lim

t→t

ϕ(t) = ±∞

lim

t→t

ψ(t) = ±∞

i w´owczas

a = lim

t→t

ψ(t)
ϕ(t)

i b = lim

t→t

[ψ(t) − aϕ(t)].

Aby zbada´c krzywa, dana, r´ownaniami (4.8.1) nale˙zy

. Znale´z´c dziedziny funkcji ϕ i ψ, a tym samym wyznaczy´c zakres zmienno´sci

parametru t.

. Wyznaczy´c asymptoty krzywej.

. Wyznaczy´c przedziaÃly staÃlego znaku pochodnych pierwszego rze,du funkcji ϕ

i ψ.

. Znale´z´c punkty zwrotu i styczne w tych punktach.

. Wyznaczy´c pochodne pierwszego i drugiego rze,du funkcji f .

. Zbada´c funkcje, f, korzystaja,c z metod badania funkcji jednej zmiennej.

Zadanie 4.9.1. Zbadaj podane krzywe i naszkicuj je w ukÃladzie wsp´oÃlrze,dnych

prostoka,tnych

x = 2t − t

y = 3t − t

;











x =

2 + t

1 + t

y =

1 + t

;

x = t + e

−t

y = 2t + e

−2t

;











x =

t − 1

y =

− 1

5. RACHUNEK CAÃLKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ.

W pia,tym rodziale zdefiniujemy poje,cie caÃlki oznaczonej i nieoznaczonej, a

naste,pnie podamy zastosowania caÃlki oznaczonej do obliczania p´ol powierzchni,

dÃlugo´sci krzywej i obje,to´sci bryÃl obrotowych.

5.1. CaÃlka jako funkcja pierwotna nieoznaczona.

W wielu zagadnieniach nauki i techniki mamy doczynienia z wyznaczeniem

funkcji o podanej pochodnej.

Definicja 5.1.1. Funkcje, F nazywamy funkcja, pierwotna, funkcji f w danym

przedziale I, je´sli

x∈I

(x) = f (x).

PrzykÃlad 5.1.1. Zauwa˙zmy, ˙ze

[sin x]

= cos x,

[sin x + 2]

= cos x,

[sin x − π]

= cos x.

Zatem funkcja, pierwotna, funkcji f(x) = cos x jest ka˙zda funkcja postaci F(x) =

sin x + c, gdzie c jest pewna, staÃla, rzeczywista,.

Twierdzenie 5.1.1. Niech F be,dzie funkcja, pierwotna, do funkcji f na danym

przedziale I. Wtedy

1. G(x) = F (x) + c, gdzie c ∈ R jest dowolna, staÃla,, jest funkcja, pierwotna, funkcji

f na I.

2. Ka˙zda, funkcje, pierwotna, do funkcji f na przedziale I mo˙zna przedstawi´c w

postaci F (x) + c, gdzie c jest dowolna, staÃla,.

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze funkcja F jest pierwotna do funkcji f na danym przedziale

I. Wtedy funkcja G(x) = F (x) + c jest r´ownie˙z funkcja, pierwotna, do funkcji f,

gdy˙z

(x) = [F (x) + c] = F

(x) = f (x).

Je˙zeli dwie funkcje F i G sa, funkcjami pierwotnym funkcji f, to r´o˙znia, sie, one

tylko staÃla,, co wynika z definicji 5.1.1.

Z powy˙zszego twierdzenia wynika, ˙ze wystarczy znale´z´c tylko jedna, funkcje,

pierwotna, do danej funkcji f, aby zna´c wszystkie inne funkcje pierwotne, albowiem

r´o˙znia, sie, one mie,dzy soba, tylko staÃlym skÃladnikiem.

Podamy teraz warunek dostateczny istnienia funkcji pierwotnej.

Twierdzenie 5.1.2. Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla na przedziale I, to ma na tym

przedziale funkcje, pierwotna,.

Definicja 5.1.2. Niech F be,dzie funkcja, pierwotna, funkcji f na danym przedziale

I. CaÃlka, nieoznaczona, funkcji f nazywamy zbi´or funkcji

{F (x) + c : c ∈ R}

i oznaczamy

f (x)dx.

Iloczyn f (x)dx nazywa sie, wyra˙zeniem podcaÃlkowym, a funkcje, f(x) nazywa sie,

funkcja, podcaÃlkowa,.

WÃlasno´sci caÃlki nieoznaczonej podamy w naste,puja,cych twierdzeniach. Wy-

nikaja, one z definicji funkcji pierwotnej oraz z wÃlasno´sci pochodnej.

Twierdzenie 5.1.3. Niech f ma funkcje, pierwotna, na danym przedziale I. Wte-

x∈I

h R

f (x)dx

= f (x),

x∈I

(x)dx = f (x) + c,

c ∈ R.

Twierdzenie 5.1.4. Niech funkcje f i g maja, funkcje pierwotne i niech a, b ∈ R

be,da, pewnymi staÃlymi. Wtedy

af (x) + bg(x)dx = a

f (x)dx + b

g(x)dx.

Zauwa˙zmy, ˙ze ka˙zdy wz´or rachunku r´o˙zniczkowego orzekaja,cy, ˙ze pochodna, pewnej

funkcji F jest funkcja f , prowadzi do odpowiedniego wzoru rachunku caÃlkowego.
Wobec tego mo˙zemy uÃlo˙zy´c naste,puja,ca, tablice, caÃlek.

CaÃlki wa˙zniejszych funkcji elementarnych

dx =

n+1

n + 1

+ c, n 6= 1

dx = ln | x | +c

1 + x

dx = arctgx + c

√

1 − x

dx = arcsin x + c

dx =

ln a

+ c

dx = e

+ c

sin xdx = − cos x + c

cos xdx = sin x + c

sin

dx = −ctgx + c

cos

dx = tgx + c

sinh xdx = cosh x + c

cosh xdx = sinh x + c

sinh

dx = −ctghx + c

cosh

dx = tghx + c

Ponadto korzystaja,c z reguÃl r´o˙zniczkowania funkcji zÃlo˙zonych mo˙zemy wyprowa-

dzi´c wzory na caÃlkowanie wa˙zniejszych typ´ow funkcji.

(x)

f (x)

dx = ln | f (x) | +c

(x)

dx = −

f (x)

+ c

(x)

f (x)

dx = 2

f (x) + c

5.2. CaÃlkowanie przez cze,´sci i przez podstawienie.

Na pocza,tku podamy jeden z najsilniejszych sposob´ow caÃlkowania, tj. metode,

caÃlkowania przez podstawienie zwana, czasami caÃlkowaniem przez zmiane, zmiennej.
Twierdzenie 5.2.1. Niech funkcja f cia,gÃla na danym przedziale I ma funkcje,

pierwotna, F i niech funkcja ϕ ma cia,gÃla, pochodna,. Wtedy

f (ϕ(x))ϕ

(x)dx = F (ϕ(x)) + c.

Dow´

od. Niech F

(x) = f (x). Zauwa˙zmy, ˙ze z twierdzenia o pochodnej funkcji

zÃlo˙zonej mamy

F (ϕ(x)) + c

= F

(ϕ(x))ϕ

(x) = f (ϕ(x))ϕ

(x).

Zatem mamy teze, twierdzenia.

Druga, bardzo u˙zyteczna, metoda, caÃlkowania jest caÃlkowanie przez cze,´sci.

Twierdzenie 5.2.2. Je˙zeli funkcje f i g maja, cia,gÃle pochodne, to

f (x)g

(x)dx = f (x)g(x) −

(x)g(x)dx.

Dow´

od. Niech funkcje f i g maja, cia,gÃle pochodne. Wtedy mamy

[f (x)g(x)]

= f

(x)g(x) + f (x)g

(x).

CaÃlkuja,c obustronnie otrzymujemy

[f (x)g(x)]

dx =

(x)g(x) + f (x)g

(x)]dx.

Korzystaja,c z twierdzenia 5.1.3 oraz 5.1.4 dostajemy

f (x)g(x) + c =

(x)g(x)dx +

f (x)g

(x)dx,

co daje nam teze, twierdzenia, bo staÃla c wyste,puje w obu caÃlkach.

Zadanie 5.2.1. Oblicz podane caÃlki stosuja,c wz´or na caÃlkowanie przez podsta-

wienie

arctg

1 + x

dx,

(2x + 3) cos(x

+ 3x)dx,

sin xe

cos x

dx,

√

4x − 5

dx,

3x + 7

dx,

f )

tgxdx.

Zadanie 5.2.2. Oblicz podane caÃlki stosuja,c wz´or na caÃlkowanie przez cze,´sci

sin xdx,

cos xdx,

arctgxdx,

ln xdx,

f )

ln xdx.

5.3. CaÃlkowanie funkcji wymiernych.

Opiszemy teraz metody caÃlkowania funkcji wymiernych, tj. funkcji kt´ore sa,

ilorazami dw´och wielomian´ow. W´sr´od funkcji wymiernych wyr´o˙zniamy mie,dzy

innymi funkcje zwane uÃlamkami prostymi pierwszego rodzaju postaci

(x − a)

gdzie A i a sa, pewnymi staÃlymi rzeczywistymi, a r jest staÃla, naturalna,

oraz funkcje wymierne zwane uÃlamkami prostymi drugiego rodzaju postaci

Ax + B

+ px + q)

gdzie A i B sa, pewnymi staÃlymi rzeczywistymi, r jest staÃla, naturalna,, a staÃle p i

q speÃlniaja, warunek p

− 4q < 0.

Najpierw zajmiemy sie, obliczeniem caÃlki z uÃlamk´ow prostych pierwszego ro-

dzaju. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze r = 1. Wtedy korzystaja,c ze wzoru na caÃlkowanie przez

podstawienie kÃlada,c t = x − a otrzymujemy

x − a

= A

dt = A ln | t | +c = A ln | x − a | +c.

Niech teraz r 6= 1. KÃlada,c jak wy˙zej t = x − a dostajemy

(x − a)

= A

−r

dt = A

1−r

1 − r

+ c =

1 − r

(x − a)

r−1

+ c.

Wobec tego mamy

(x − a)







A ln | x − a | +c,

r = 1,

1 − r

(x − a)

r−1

+ c, r ≥ 2.

Do obliczania caÃlek z uÃlamk´ow prostych drugiego rodzaju potrzebna jest umie-

je,tno´s´c caÃlkowania funkcji wymiernej postaci

(1 + x

)

, r ≥ 2. Funkcje, taka,

caÃlkujemy korzystaja,c ze wzoru rekurencyjnego, kt´ory otrzymujemy w naste,puja,cy

spos´ob

(1 + x

)

dx =

1 + x

− x

(1 + x

)

dx =

(1 + x

)

r−1

dx −

(1 + x

)

dx.

Druga, z caÃlek obliczamy korzystaja,c ze wzoru na caÃlkowanie przez cze,´sci kÃlada,c

f (x) = x,

(x) =

(1 + x

)

(x) = 1,

g(x) =

1
2

(1 + x

)

1−r

1 − r

Mamy w´owczas

(1 + x

)

dx =

(1 + x

)

1−r

1 − r

−

1
2

(1 + x

)

1−r

1 − r

Zatem dostajemy

(1 + x

)

dx =

(1 + x

)

1−r

r − 1

1 +

2(1 − r)

´ Z

(1 + x

)

r−1

(1 + x

)

1−r

r − 1

2r − 3
2r − 2

(1 + x

)

r−1

dx.

Wobec tego otrzymali´smy naste,puja,cy wz´or rekurencyjny

(1 + x

)

dx =

2(r − 1)(1 + x

)

r−1

2r − 3
2r − 2

(1 + x

)

r−1

dx.

(5.3.1)

Podamy teraz metody caÃlkowania uÃlamk´ow prostych drugiego rodzaju. Dla r = 1
mamy

Ax + B

+ px + q

dx =

2x + p

+ px + q

dx +

B −

´ Z

+ px + q

dx.

Pierwsza, z caÃlek obliczamy przez podatawienie t = x

+ px + q otrzymuja,c

2x + p

+ px + q

dx = ln | x

+ px + q | +c.

Aby wyznaczy´c druga, caÃlke, zauwa˙zmy, ˙ze

+ px + q =

4q − p

h³ 2x + p

4q − p

+ 1

Zatem kÃlada,c t =

2x+p

√

4q−p

dostajemy

+ px + q

dx =

4q − p

1 + t

4q − p

arctgt + c =

4q − p

arctg

2x + p

4q − p

+ c.

Ostatecznie mamy wie,c
Z

Ax + B

+ px + q

dx =

ln | x

+ px + q | +

B −

´ 2

4q − p

arctg

2x + p

4q − p

+ c.

W przypadku, gdy r ≥ 2 poste,pujemy podobnie rozbijaja,c caÃlke, na sume, dw´och

caÃlek

Ax + B

+ px + q)

dx =

2x + p

+ px + q)

dx +

B −

´ Z

+ px + q)

dx.

Pierwsza, z nich caÃlkujemy jak wy˙zej przez podstawienie t = x

+px+q otrzymuja,c

2x + p

+ px + q)

dx =

1 − r

+ px + q)

1−r

+ c.

Druga, r´ownie˙z caÃlkujemy przez podstawienie kÃlada,c t =

2x+p

√

4q−p

. Wtedy mamy

+ px + q)

dx =

4q − p

2(4q − p

)

(1 + t

)

dt.

Korzystaja,c dalej ze wzoru rekurencyjnego (5.3.1) ostatecznie otrzymamy

Ax + B

+ px + q)

dx =

1 − r

+ px + q)

1−r

B −

4q − p

h 2x + p

4(r − 1)

+ px + q)

r−1

2r − 3
2r − 2

+ px + q)

r−1

Posiadaja,c umieje,tno´s´c caÃlkowania uÃlamk´ow prostych mo˙zemy wyznaczy´c funkcje,

pierwotna, dowolnej funkcji wymiernej, gdy˙z mo˙zna ja, przedstawi´c jako sume, wielo-

mianu i uÃlamk´ow prostych pierwszego i drugiego rodzaju. Niech dana be,dzie
funkcja wymierna f (x) =

(x)

. Je˙zeli stopie´

n licznika jest nie mniejszy ni˙z

stopie´

n mianownika (n ≥ m), to dziela,c wielomian Q

(x) przez wielomian P

(x)

otrzymujemy

f (x)dx =

n−m

(x)dx +

(x)

dx,

gdzie k < m. Zatem wystarczy dokÃladniej om´owi´c przypadek gdy stopie´

n licznika

jest mniejszy ni˙z stopie´

n mianownika (n < m), tj. przypadek funkcji wymiernej

wÃla´sciwej. W takim przypadku, aby scaÃlkowa´c funkcje, wymierna, nale˙zy rozÃlo˙zy´c

ja, na uÃlamki proste

f (x) =

i=1

³ A

x − x

(x − x

)

+ . . . +

(x − x

)

i=1

³ B

x + C

+ p

x + q

x + C

+ p

x + q

)

+ . . . +

x + C

+ p

x + q

)

(5.3.2)

Nieznane staÃle A

, B

, C

wyznaczamy tak zwana, metoda, wsp´oÃlczynnik´ow nieoz-

naczonych. Metoda ta polega na pomno˙zeniu r´ownania (5.3.2) przez mianownik
funkcji wymiernej f (x). Otrzymane w ten spos´ob r´ownanie jest r´owno´scia, dw´och

wielomian´ow. Po uporza,dkowaniu tych wielomian´ow budujemy ukÃlad r´owna´n

por´ownuja,c wsp´oÃlczynniki stoja,ce przy tych samych pote,gach x. Rozwia,zanie

otrzymanego rozkÃladu daje nam wsp´oÃlczynniki poszukiwanego rozkÃldu funkcji
wymiernej wÃla´sciwej na uÃlamki proste.

Podsumowuja,c ten paragraf podamy pewien algorytm caÃlkowania funkcji wy-

miernej.

Algorytm caÃlkowania funkcji wymiernej

. Funkcje, wymierna, zapisujemy w postaci sumy wielomianu (zerowego, gdy

stopie´

n licznika jest mniejszy od stopnia mianownika) i funkcji wymiernej

wÃla´sciwej.

. Mianownik funkcji wymiernej wÃla´sciwej rozkÃladamy na czynniki nierozkÃladal-

ne.

. Zapisujemy rozkÃlad teoretyczny funkcji na uÃlamki proste.

. Znajdujemy nieznane wsp´oÃlczynniki rozkÃladu teoretycznego.

. Obliczamy caÃlki z wyznaczonych uÃlamk´ow prostych.

. Porza,dkujemy otrzymane wyniki.

Zadanie 5.3.1. Oblicz podane caÃlki

+ 6x

+ 10x

+ x

+ 6x + 10

dx,

+ 1

− 1

dx,

+ x

− 8

− 4x

dx,

− 6x + 10

dx,

+ x

+ x + 2

+ 1)(x

+ 1)

dx,

f )

+ 2x

+ 4

+ 1)

dx.

5.4. CaÃlkowanie niewymierno´sci stopnia drugiego - podstawienia Eu-
lera.

Om´owili´smy sposoby caÃlkowania wyra˙ze´

n wymiernych. W dalszym cia,gu

zasadniczym sposobem caÃlkowania be,dzie znalezienie takich podstawie´n, kt´ore

sprowadzaja, wyra˙zenie podcaÃlkowe do postaci wymiernej. Jako przykÃlady takiego

poste,powania rozpatrzymy pewne przypadki caÃlkowania wyra˙ze´n zawieraja,cych

pierwiastki.

. Je˙zeli funkcja podcaÃlkowa jest funkcja, wymierna, pote,g zmiennej x o wykÃladni-

kach uÃlamkowych

, gdzie n, m ∈ R sa, wzgle,dnie pierwsze, to podstawienie

x = t

, gdzie N jest najmniejszym wsp´olnym mianownikiem uÃlamk´ow

sprowadza caÃlke, z funkcji niewymiernej do caÃlki z funkcji wymiernej.

. Je˙zeli funkcja podcaÃlkowa jest funkcja, wymierna, pote,g wyra˙zenia ax + b o

wykÃladnikach uÃlamkowych

, gdzie n, m ∈ R sa, wzgle,dnie pierwsze, to pod-

stawienie ax + b = t

, gdzie N jest najmniejszym wsp´olnym mianownikiem

uÃlamk´ow

, sprowadza caÃlke, z funkcji niewymiernej do caÃlki z funkcji wy-

miernej.

. Je˙zeli funkcja podcaÃlkowa jest funkcja, wymierna, pote,g wyra˙zenia

ax + b
cx + d

wykÃladnikach uÃlamkowych

, gdzie n, m ∈ R sa, wzgle,dnie pierwsze, to pod-

stawienie

ax + b
cx + d

= t

, gdzie N jest najmniejszym wsp´olnym mianownikiem

uÃlamk´ow

, sprowadza caÃlke, z funkcji niewymiernej do caÃlki z funkcji wy-

miernej.

. Je˙zeli funkcja pocaÃlkowa jest funkcja, wyra˙zenia

√

+ bx + c, gdzie b

−

4ac 6= 0, to naste,puja,ce podstawienia zwane podstawieniami Eulera sprowadza,

ta, caÃlke, do caÃlki z funkcji wymiernej.

(i) pierwsze podstawienie Eulera stosujemy w przypadku, gdy a > 0

+ bx + c = t −

√

ax.

Podnosza,c stronami do kwadratu to podstawienie i odpowiednio porza,dkuja,c do-

stajemy

x =

− c

√

at + b

oraz

dx = 2

√

+ bt + c

√

at + b)

dt.

Ponadto mamy

+ bx + c =

√

+ bt +

√

at + b

Podstawienie to jak wida´c sprowadzi nam caÃlke, z funkcji niewymiernej do caÃlki z

funkcji wymiernej. Po scaÃlkowaniu nale˙zy jeszcze powr´oci´c do zmiennej x kÃlada,c

t =

+ bx + c +

√

ax.

Podobnie mo˙zemy dokona´c podstawienia

+ bx + c = t +

√

ax.

(ii) drugie podstawienie Eulera stosujemy, gdy c > 0

+ bx + c = tx −

√

W tym przypadku mamy

x =

√

ct + b

− a

, dx = −2

√

+ bt + a

√

− a)

dt.

+ bx + c =

√

+ bt +

√

− a

Ponadto

t =

(

+ bx + c −

√

c).

Mo˙zemy r´ownie˙z w tym przypadku dokona´c podstawienia

+ bx + c = tx +

√

(iii) trzecie podstawienie Eulera stosujemy, gdy ∆ > 0.
Wtedy ax

+ bx + c = a(x − x

)(x − x

). Zatem podstawiaja,c

+ bx + c = t(x − x

otrzymujemy

x =

− x

a − t

dx =

2a(x

− x

(a − t

)

dt.

+ bx + c =

a(x

− x

a − t

Ponadto mamy

t =

a(x − x

)

x − x

W tym przypadku mo˙zna r´ownie˙z dokona´c podstawienia

+ bx + c = t(x − x

Wa˙znym ze wzgle,du na zastosowania jest przypadek caÃlek stowarzyszonych postaci

√

− x

Z p

− x

√

+ k

Z p

+ kdx,

gdzie k > 0. Zauwa˙zmy, ˙ze stosuja,c podstawienie t =

x
a

w pierwszej z tych caÃlek

otrzymujemy

√

− x

√

1 − t

= arcsin

x
a

+ c.

Druga, caÃlke, obliczamy w naste,puja,cy spos´ob

Z p

− x

dx =

− x

√

− x

= a

√

− x

−

√

− x

dx = a

arcsin

x
a

−

√

− x

dx.

Aby wyznaczy´c powy˙zsza, caÃlke, skorzystamy ze wzoru na caÃlkowanie przez cze,´sci

kÃlada,c

f (x) = x,

(x) =

√

− x

(x) = 1,

g(x) = −

− x

Zatem mamy

Z p

− x

dx = a

arcsin

x
a

−

− x

Z p

− x

= a

arcsin

x
a

+ x

− x

−

Z p

− x

dx.

Wobec tego

Z p

− x

dx =

arcsin

x
a

− x

+ c.

Obliczymy teraz kolejna, caÃlfke, stowarzyszona,, stosuja,c pierwsze podstawienie Eu-

lera

√

+ k = t − x. W´owczas mamy

x =

− k

oraz

dx =

+ k

dt.

Ponadto

+ k =

+ k

Zatem otrzymujemy

√

+ k

dx =

+ k

dt = ln | t | +c.

Z naszego podstawienia wynika, ˙ze t =

√

+ k + x. Zatem

√

+ k

dx = ln |

+ k + x | +c.

Aby wyznaczy´c caÃlke, stowarzyszona, z powy˙zsza, caÃlka, zauwa˙zmy, ˙ze

Z p

+ kdx =

√

+ k

dx + k

√

+ k

Pierwsza, z powy˙zszych caÃlek caÃlkujemy przez cze,´sci przyjmuja,c

f (x) = x,

(x) =

√

+ k

(x) = 1,

g(x) =

+ k.

Wobec tego otrzymujemy

Z p

+ kdx = x

+ k −

Z p

+ kdx + k ln |

+ k + x | .

Zatem mamy

Z p

+ kdx =

+ k +

ln |

+ k + x | +c.

Zadanie 5.4.1. Oblicz podane caÃlki

√

1 − x − x

dx,

Z p

+ 2x + 5dx,

Z p

x − x

dx,

√

+ x + 2

dx,

(x − 1)(x + 1)

dx,

f )

√

x + 1 +

√

x + 1

dx.

5.5. CaÃlkownie funkcji trygonometrycznych.

W paragrafie tym podamy sposoby caÃlkowania funkcji trygonometrycznych.

Rozwa˙zmy caÃlke,

R(sin x, cos x)dx.

(5.5.1)

Do obliczenia caÃlki (5.5.1) mo˙zemy zawsze zastosowa´c tzw. podstawienie standar-
dowe postaci t = tg

. W tym przypadku mamy

x = 2arctgx, zatem dx =

2dt

1 + t

Zauwa˙zmy, ˙ze

cos x = cos

− sin

= cos

1 −

sin

2 x

cos

2 x

cos

2 x

+sin

2 x

cos

2 x

1 −

sin

2 x

cos

2 x

1 − tg

2 x

1 + tg

2 x

oraz

sin x = 2 sin

cos

= 2

sin

cos

2tg

1 + tg

2 x

Zatem

sin x =

1 + t

cos x =

1 − t

1 + t

Podstawienie standardowe sprowadzi nam caÃlke, z funkcji trygonomertycznej do

caÃlki z funkcji wymiernej lub niewymiernej w zale˙zno´sci od postaci funkcji R.

Czasami zdarza sie,, ˙ze funkcja podcaÃlkowa jest funkcja, nieparzysta, w´owczas

mo˙zna taka, caÃlke, obliczy´c w prostszy spos´ob. Zachodzi´c mo˙ze jeden z naste,puja,-

cych przypadk´ow.

. Je˙zeli funkcja podcaÃlkowa jest funkcja, nieparzysta, wzgle,dem funkcji cosinus,

tj.

R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x)

to postawienie t = sin x sprowadzi, rozwa˙zana, caÃlke, do caÃlki z funkcji wy-

miernej, ba,d´z niewymiernej.

. Je˙zeli funkcja podcaÃlkowa jest funkcja, nieparzysta, wzgle,dem funkcji sinus, tj.

R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x)

to postawienie t = cos x sprowadzi, rozwa˙zana, caÃlke, do caÃlki z funkcji wy-

miernej, ba,d´z niewymiernej.

. Niech funkcja podcaÃlkowa be,dzie funkcja, parzysta, wzgle,dem funkcji sinus i

cosinus, tj.

R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x).

Wtedy rozwa˙zana caÃlka musi by´c caÃlka, postaci

R(sin

x, cos

x, sin x cos x)dx.

Postawienie t = tgx sprowadzi, te, caÃlke, do caÃlki z funkcji wymiernej, ba,d´z

niewymiernej. Mamy bowiem

cos

x =

cos

x+sin

cos

1 + tg

oraz

sin

x =

sin

cos

x =

1 + tg

Ponadto

sin x cos x =

sin x

cos x

cos

x =

tgx

1 + tg

Zatem stosuja,c podstawienie t = tgx mamy

sin

x =

1 + t

cos

x =

1 + tgx

sin x cos x =

1 + t

Z podtawienia wynika ponadto, ˙ze

x = arctgx.

Wobec tego

dx =

1 + t

Do wyznaczania caÃlki z funkcji trygonometrycznej postaci

R(sin mx, cos nx)dx.

stosujemy jeden z naste,puja,cych wzor´ow

sin mx sin nx =

1
2

[cos(m − n)x − cos(m + n)x]

cos mx cos nx =

1
2

[cos(m − n)x + cos(m + n)x]

sin mx cos nx =

1
2

[sin(m − n)x + sin(m + n)x]

Na zako´

nczenie om´owimy spos´ob caÃlkowania funkcji f (x) = sin

x i f (x) =

cos

x, gdzie n ∈ R. Zauwa˙zmy, ˙ze

sin

xdx =

sin

n−1

x sin xdx.

Korzystaja,c ze wzoru na caÃlkowanie przez cze,´sci, gdzie

f (x) = sin

n−1

(x) = sin x,

(x) = (n − 1) sin

n−2

x cos x,

g(x) = − cos x.

otrzymujemy

sin

xdx = − sin

n−1

x cos x + (n − 1)

cos

x sin

n−2

xdx

= − sin

n−1

x cos x + (n − 1)

(1 − sin

x) sin

n−2

xdx

= − sin

n−1

x cos x + (n − 1)

sin

n−2

xdx − (n − 1)

sin

xdx.

Sta,d mamy naste,puja,cy wz´or rekurencyjny

sin

xdx = −

sin

n−1

x cos x +

n − 1

sin

n−2

xdx, n ≥ 2.

Podobnie kÃlada,c we wzorze na caÃlkowanie przez cze,´sci

f (x) = cos

n−1

(x) = cos x,

(x) = −(n − 1) cos

n−2

x sin x,

g(x) = sin x.

mamy

cos

xdx = cos

n−1

x sin x + (n − 1)

sin

x cos

n−2

xdx

= cos

n−1

x sin x + (n − 1)

(1 − cos

x) cos

n−2

xdx

= cos

n−1

x sin x + (n − 1)

cos

n−2

xdx − (n − 1)

cos

xdx.

100

Wobec tego otrzymujemy naste,puja,cy wz´or rekurencyjny

cos

xdx =

cos

n−1

x sin x +

n − 1

cos

n−2

xdx, n ≥ 2.

Zadanie 5.5.1. Oblicz podane caÃlki

cos x

dx,

sin(3x − 1)

dx,

sin x + cos x

dx,

f )

sin

xdx,

sin 2x cos 3xdx,

sin

cos x

dx,

sin

dx,

cos

x sin

xdx,

101

5.6. CaÃlka oznaczona Riemanna i jej wÃlasno´sci.

Niech w przedziale < a, b > be,dzie dana funkcja cia,gÃla y = f(x) przyjmuja,ca

tylko dodatnie warto´sci. Rozpatrzmy figure, ABCD, ograniczona, przez krzywa,

y = f (x), dwa odcinki prostych x = a, x = b oraz odcinek osi OX odpowiadaja,cy

przedziaÃlowi < a, b >. Figure, tego typu nazywamy trapezem krzywoliniowym.

Zajmiemy sie, problemem wyznaczenia pola trapezu krzywoliniowego ABCD.

Podzielmy podstawe, AB naszej figury w dowolny spos´ob na mniejsze odcinki i po-

prowad´zmy przez punkty podziaÃlu odcinki pionowe (prostopadÃle do osi OX). W
ten spos´ob trapez krzywoliniowy rozcinamy na pewna, ilo´s´c pask´ow. Ka˙zdy z tak

otrzymanych pask´ow zasta,pimy pewnym prostoka,tem o tej samej podstawie co

dany pasek i o wysoko´sci r´ownej rze,dnej wykresu w pasku, skrajnej z lewej strony.

W ten spos´ob figure, ABCD zasta,pimy pewna, figura, schodkowa,, skÃladaja,ca, sie, z

prostoka,t´ow.

Niech liczby

a = x

< x

< . . . < x

< x

i+1

< . . . < x

= b

oznaczaja, odcie,te punkt´ow podziaÃlu. Podstawa i-tego prostoka,ta

(i = 1, 2, ..., n − 1) ma dÃlugo´s´c r´owna, r´o˙znicy x

i+1

− x

, kt´ora, oznaczymy ∆x

Zauwa˙zmy, ˙ze wysoko´s´c i-tego prostoka,ta jest r´owna y

= f (x

). Zatem pole

rozwa˙zanego prostoka,ta r´owne jest f(x

)∆x

102

Sumuja,c pola wszystkich prostoka,t´ow otrzymamy przybli˙zone pole trapezu

krzywoliniowego

P ≈

n−1

i=0

f (x

)∆x

Je´sli dokonamy ge,stszego podziaÃlu odcinka AB, to pole otrzymanej w powy˙zszy

spos´ob figury schodkowej be,dzie bli˙zsze polu trapezu krzywoliniowego. Zatem

przy nieograniczonym zmniejszaniu sie, wszystkich ∆x

bÃla,d przybli˙zenia zmierza

do zera. Wobec tego dokÃladne pole trapezu otrzymamy jako granice,

P = lim

∆x

→0

n−1

i=0

f (x

)∆x

Poniewa˙z pole, otrzymane z powy˙zszego wzoru jako warto´s´c graniczna, okazuje
sie, jednocze´snie funkcja, pierwotna, funkcji f, to zacze,to stosowa´c jako oznaczenie

wy˙zej wypisanej granicy, symbolu caÃlki.

Oznaczmy teraz przez λ najwie,ksza, spo´sr´od r´o˙znic ∆x

= x

i+1

− x

, i =

1, 2, . . . , n − 1. W ka˙zdym z odcink´ow < x

, x

i+1

> wybie˙zmy dowolny punkt δ

utw´orzmy sume,

σ =

n−1

i=0

f (δ

)∆x

Definicja 5.6.1. Sko´

nczona, granice, sum σ przy λ → 0

lim

λ→0

n−1

i=0

f (δ

)∆x

nazywamy caÃlka, oznaczona, Riemanna funkcji f w przedziale < a, b > i oznaczamy

f (x)dx.

Liczby a i b nosza, odpowiednio nazwy dolnej i g´ornej granicy caÃlki.

Powy˙zsza, definicje, mo˙zemy zapisa´c naste,puja,co

f (x)dx = lim

λ→0

n−1

i=0

f (δ

)∆x

103

Zauwa˙zmy, ˙ze podana definicja dotyczy tylko funkcji ograniczonej. Gdyby funkcja
f byÃla nieograniczona, to w dowolnym podziale przedziaÃlu < a, b > znale´zliby´smy
taki podprzedziaÃl < x

, x

i+1

>, w kt´orym funkcja byÃlaby ograniczona. Wtedy

dobieraja,c odpowiednio δ

mo˙zna by sprawi´c, ˙ze warto´s´c f (δ

) byÃlaby dowolnie

du˙za. Wtedy r´ownie˙z i suma σ byÃla by odpowiednio du˙za. A zatem nie mogÃlaby
istnie´c sko´

nczona granica sum z definicji 5.6.1.

Wynika sta,d, naste,puja,cy warunek konieczny istnienia caÃlki oznaczonej.

Twierdzenie 5.6.1.

Je˙zeli isnieje caÃlka oznaczona funkcji f na przedziale

< a, b >, to funkcja f jest ograniczona.

Na poparcie tego faktu podamy jeszcze przykÃlad.

PrzykÃlad 5.6.1. Rozwa˙zmy funkcje, Dirichleta dana, wzorem

D(x) =

0, dla x 6∈ Q,
1, dla x ∈ Q.

Niech

< x

< . . . < x

< x

i+1

< . . . < x

be,dzie dowolnym podziaÃlem przedziaÃlu < 0, 1 >. Je˙zeli δ

jest liczba, wymierna,, to

D(δ

) = 1 i

n−1

i=0

D(δ

)∆x

n−1

i=0

∆x

= b − a.

Je˙zeli natomiast δ

jest liczba, niewymierna,, to D(δ

) = 0 i

n−1

i=0

D(δ

)∆x

= 0

Zatem

lim

λ→0

n−1

i=0

f (δ

)∆x

nie istnieje. Jednak˙ze wiadomo, ˙ze funkcja Dirichleta jest ograniczona.

W dalszym cia,gu je˙zeli istnieje caÃlka oznaczona z funkcji f na przedziale

< a, b >, to be,dziemy m´owi´c, ˙ze funkcja f jest caÃlkowalna na tym przedziale.

Mo˙zna udowodni´c, ˙ze naste,puja,ce funkcje sa, caÃlkowalne:

1. Ka˙zda funkcja cia,gÃla na przedziale < a, b > jest w tym przedziale caÃlkowalna.

104

2. Ka˙zda funkcja ograniczona w przedziale < a, b > i maja,ca w nim sko´nczona,

liczbe, punkt´ow niecia,gÃlo´sci jest caÃlkowalna na < a, b >.

3. Ka˙zda funkcja monotoniczna i ograniczona na przedziale < a, b > jest caÃlko-

walna w tym przedziale.

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze funkcje f i g sa, caÃlkowalne na przedziale < a, b >.

WÃlasno´sci caÃlki oznaczonej

f (x)dx = 0,

[cf (x) + dg(x)]dx = c

f (x)dx + d

g(x)dx, gdzie c i d sa, pewnymi staÃlymi

rzeczywistymi,

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx,

f (x)dx = −

f (x)dx.

Naste,puja,ce twierdzenie podaje nam spos´ob obliczania caÃlek nieoznaczonych

za pomoca, funkcji pierwotnych.

Twierdzenie 5.6.2. (Newtona-Leibniza, I gÃl´owne twierdzenie rachunku caÃlkowe-
go) Je˙zeli funkcja f jest cia,gÃla na przedziale < a, b >, to

f (x)dx = F (b) − F (a),

gdzie F jest funkcja, pierwotna, funkcji f.

Cze,sto zamiast F(b) − F(a) be,dziemy pisa´c F(x)

Naste,puja,ce twierdzenia be,dziemy wykorzystywa´c przy wyliczaniu caÃlek oz-

naczonych.

Twierdzenie 5.6.3. (caÃlkowanie przez cze,´sci caÃlki oznaczonej) Je˙zeli funkcje f i

g maja, cia,gÃle pochodne na przedziale < a, b >, to

(x)g(x)dx = f (x)g(x)

−

f (x)g

(x)dx.

105

Twierdzenie 5.6.4. (caÃlkowanie przez podstawienie caÃlki oznaczonej ) Je˙zeli

1. funkcja φ :< α, β >→< a, b > ma cia,gÃla, pochodna, na (α, β),

2. φ(α) = a, φ(β) = b,
3. funkcja f jest cia,gÃla na przedziale < a, b >,

f (x)dx =

f (φ(t))φ

(t)dt.

Twierdzenie 5.6.5. (twierdzenie caÃlkowe o warto´sci ´sredniej) Je˙zeli funkcja f
jest cia,gÃla na < a, b >, to

c∈(a,b)

f (x)dx = (b − a)f (c).

Dow´

od. Twierdzenie to wynika z twierdzenia Lagrange’a. Niech F be,dzie funkcja,

pierwotna, funkcji f. Wtedy F speÃlnia zaÃlo˙zenia twierdzenia Lagrange’a, a wie,c

c∈(a,b)

F (b) − F (a)

b − a

Zatem korzystaja,c z twierdzenia Newtona-Leibniza mamy

c∈(a,b)

f (c) =

f (x)dx

b − a

co ko´

nczy dow´od.

Twierdzenie 5.6.6. Je˙zeli funkcja f i g sa, caÃlkowalne na przedziale < a, b >

oraz dla ka˙zdego x ∈< a, b > f (x) ≤ g(x), to

f (x)dx ≤

g(x)dx.

Z twierdzenia tego wynika dla nas wa˙zany wniosek, na kt´ory be,dziemy sie, cze,sto

powoÃlywa´c w naste,pnym paragrafie.

106

Wniosek 5.6.6. Je˙zeli funkcja f jest ograniczona, tzn.

M,m

x∈<a,b>

m ≤ f (x) ≤ M,

m(b − a) ≤

f (x)dx ≤ M (b − a).

Na zako´

nczenie tego paragrafu zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dla funkcji podcaÃlkowej

nieparzystej na przedziale < −a, a >, tj. speÃlniaja,cej warunek

x∈<−a,a>

− x ∈< −a, a >⇒ f (−x) = −f (x),

mamy

−a

f (x)dx =

−a

f (x)dx +

f (x)dx.

Stosuja,c podstawienie t = −x w pierwszej z caÃlek otrzymujemy

−a

f (x)dx = −

f (−t)dt +

f (x)dx

f (x)dx +

f (x)dx =

f (x)dx = 0.

A zatem je´sli funkcja podcaÃlkowa jest nieparzysta i przedziaÃl caÃlkowania jest sy-
metryczny wzgle,dem zera, to

−a

f (x)dx = 0.

Podobnie, gdy funkcja podcaÃlkowa jest parzysta, tj. gdy speÃlnia warunek

x∈<−a,a>

− x ∈< −a, a >⇒ f (−x) = f (x),

stosuja,c podstawienie t = −x otrzymujemy

−a

f (x)dx = −

f (−t)dt +

f (x)dx

107

= −

f (x)dx +

f (x)dx = 2

f (x)dx.

A zatem je´sli funkcja podcaÃlkowa jest parzysta i przedziaÃl caÃlkowania jest syme-
tryczny wzgle,dem zera, to

−a

f (x)dx = 2

f (x)dx.

Zadanie 5.6.1. Oblicz podane caÃlki oznaczone

√

x −

√

dx,

sin x + cos xdx,

tgxdx,

dx,

−1

−x

dx,

f )

1 + x

dx,

5.7. Podstawowe twierdzenia rachunku caÃlkowego.

Jedno z podstawowych twierdze´

n rachunku caÃlkowego poznali´smy w poprzed-

nim paragrafie, mowa o twierdzeniu Newtona-Leibniza. W paragrafie 5.7 udowod-
nimy drugie podstawowe twierdzenie rachunku caÃlkowego. W tym celu zdefiniowa´c
musimy poje,cie funkcji g´ornej granicy caÃlkowania.

Definicja 5.7.1. Niech funkcja f be,dzie funkcja, caÃlkowalna, na przedziale

< a, b >. Funkcje, dana, wzorem

F (x) =

f (t)dt,

x ∈< a, b >

nazywamy funkcja, g´ornej granicy caÃlkowania.

Podamy teraz kilka wÃlasno´sci funkcji F zdefiniowanej powy˙zej.

108

Twierdzenie 5.7.1. Je˙zeli funkcja f jest funkcja, caÃlkowalna, na przedziale

< a, b >, to funkcja g´ornej granicy caÃlkowania jest funkcja, cia,gÃla, na przedziale

< a, b >.

Dow´

od. Niech x i x

be,da, dowolne i niech nale˙za, do przedziaÃlu < a, b >. Wtedy

F (x) − F (x

) =

f (t)dt −

f (t)dt

f (t)dt +

f (t)dt =

f (t)dt.

Poniewa˙z funkcja f jest caÃlkowalna na przedziale < a, b >, to jest na tym przedziale
ograniczona, a zatem

M >0

x∈<a,b>

| f (x) |≤ M.

Na mocy wniosku 5.6.6 mamy

f (t)dt

¯ ≤ M | x − x

| .

Zatem

| F (x) − F (x

) |≤ M | x − x

| .

Sta,d

x∈<a,b>

| x − x

|< δ ⇒| F (x) − f (x

) |< M δ

co oznacza, ˙ze

lim

x→x

F (x) = F (x

x ∈< a, b > .

Wobec tego funkcja g´ornej granicy caÃlkowania jest cia,gÃla na przedziale < a, b >.

Twierdzenie 5.7.2. (II gÃl´owne twierdzenie rachunku caÃlkowego) Je˙zeli funkcja f
jest caÃlkowalna na < a, b > i cia,gÃla w pewnym punkcie x

∈< a, b >, to funkcja

g´ornej granicy caÃlkowania ma pochodna, w punkcie x

oraz F

) = f (x

Dow´

od. Zauwa˙zmy, ˙ze

F (x

+ ∆x) − F (x

)

∆x

+∆x

f (t)dt −

f (t)dt

∆x

+∆x

f (t)dt

∆x

109

Niech ε > 0. Poniewa˙z f jest cia,gÃla na < a, b >, to

x∈<a,b>

| x − x

|< δ ⇒ f (x

) − ε < f (x) < f (x

) + ε.

Zatem

+∆x

(f (x

) − ε)dt <

+∆x

f (t)dt <

+∆x

(f (x

) + ε)dt.

Sta,d mamy

(f (x

) − ε)∆x <

+∆x

f (t)dt < (f (x

) + ε)∆x.

Wobec tego

f (x

) − ε <

F (x

+ ∆x) − F (x

)

∆x

< f (x

) + ε.

Otrzymali´smy zatem

F (x

+ ∆x) − F (x

)

∆x

− f (x

)

¯ < ε,

co oznacza, ˙ze F

) = f (x

5.8. CaÃlka niewÃla´sciwa.

W poprzednich paragrafach zdefiniowali´smy caÃlke, oznaczona, po przedziale

sko´

nczonym. W tym paragrafie zajmiemy sie, problemem caÃlki oznaczonej po

przedziale niesko´

nczonym.

ZaÃl´o˙zmy na pocza,tek, ˙ze funkcja f jest okre´slona w przedziale (a, b > i ˙ze jest

ona caÃlkowalna w ka˙zdym przedziale < h, b >, gdzie a < h < b. Ponadto zaÃl´o˙zmy,

˙ze funkcja f jest nieograniczona w ka˙zdym przedziale (a, h). Powiemy wtedy, ˙ze

funkcja f ma osobliwo´s´c w punkcie a.

Definicja 5.8.1. CaÃlka, niewÃla´sciwa, nazywamy naste,puja,ca, granice,

lim

h→a

f (x)dx.

CaÃlke, niewÃla´sciwa, oznacza´c be,dziemy tak jak caÃlke, oznaczona,. Zatem mo˙zemy

napisa´c

f (x)dx = lim

h→a

f (x)dx,

110

gdy funkcja f ma w punkcie a osobliwo´s´c.

ZaÃl´o˙zmy teraz, ˙ze funkcja f ma osobliwo´a´c w punkcie b, tzn. jest okre´slona

w przedziale < a, b), caÃlkowalna w ka˙zdym przedziale < a, h >, gdzie a < h < b i
jest nieograniczona w ka˙zdym przedziale (h, b).

Definicja 5.8.2. CaÃlka, niewÃla´sciwa, nazywamy naste,puja,ca, granice,

lim

h→b

−

f (x)dx.

Z uwagi na wcze´sniejsze oznaczenia mo˙zemy zatem napisa´c

f (x)dx = lim

h→b

−

f (x)dx,

gdy funkcja f ma w punkcie b osobliwo´s´c.

Naste,puja,ce twierdzenie uÃlatwi nam obliczanie caÃlek niewÃla´sciwych.

Twierdzenie 5.8.1. Je˙zeli funkcja f ma osobliwo´s´c w punkcie a, to

f (x)dx = F (b) − lim

h→a

F (h).

Je˙zeli natomiast funkcja f ma osobliwo´s´c w pyunkcie b, to

f (x)dx = lim

h→b

−

F (h) − F (a).

W przypadku, gdy funkcja f ma osobliwo´s´c wewna,trz przedziaÃlu caÃlkowania,

to mo˙zemy posta,pi´c jak naste,puje

f (x)dx =

f (x)dx +

f (x)dx,

gdzie c nie jest osobliwo´scia, funkcji f.

Podobnie poste,pujemy, gdy oba ko´nce przedziaÃlu caÃlkowania sa, punktami

nieosobliwymi funkcji podcaÃlkowej.

Czasami zdarzy´c sie, mo˙ze, ˙ze przedziaÃl caÃlkowania jest nieograniczony.

111

Definicja 5.8.3. Naste,puja,ce granice nazywamy caÃlkami niewÃla´sciwymi

∞

f (x)dx = lim

h→∞

f (x)dx,

−∞

f (x)dx = lim

h→−∞

f (x)dx.

W przypadku, gdy caÃlkujemy funkcje, po caÃlym zbiorze liczb rzeczywistych mo˙zemy

posta,pi´c w naste,puja,cy spos´ob

∞

−∞

f (x)dx =

−∞

f (x)dx +

∞

f (x)dx.

Zadanie 5.8.1. Oblicz podane caÃlki niewÃla´sciwe

√

x − 1

dx,

− 4x + 3

dx,

x ln xdx,

∞

ln x

dx,

∞

1 + x

f )

∞

x ln(ln x)

112

5.9. Zastosowania caÃlki oznaczonej.

Podamy teraz pewne zastosowania caÃlki oznaczonej.

Zastosowania w geometrii

1. Niech funkcje f i g be,da, caÃlkowalne na przedziale < a, b > oraz niech d(x) ≤

g(x) dla ka˙zdego x ∈< a, b >. Wtedy pole trapezu krzywolinowego ograniczo-
nego wykresami funkcji d i g oraz prostymi x = a, x = b wyra˙za sie, wzorem:

P =

[g(x) − d(x)]dx

2. Niech funkcja f ma cia,gÃla, pochodna, na przedziale < a, b >. Wtedy dÃlugo´s´c

Ãluku krzywej Γ = {(x, f (x)) : x ∈< a, b >} wyra˙za sie, wzorem

l =

1 + [f

(x)]

dx.

113

Je˙zeli krzywa Γ dana jest parametrycznie r´ownaniami

x = ϕ(t),
y = ψ(t),

t ∈< α, β >

(5.9.1)

to dÃlugo´s´c Ãluku tej krzywej dana jest wzorem

l =

[ϕ

(t)]

+ [ψ

(t)]

dt.

3. Niech f be,dzie funkcja, nieujemna, i caÃlkowalna, na przedziale < a, b >. Pon-

adto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f ,
osia, OX oraz prostymi x = a, x = b. Wtedy obje,to´s´c bryÃly powstaÃlej z obrotu

trapezu T wok´oÃl osi OX wyra˙za sie, wzorem

V = π

[f (x)]

dx.

W przypadku, gdy wykres funkcji f jest krzywa, zadana, parametrycznie r´ow-

naniami 5.9.1, to

V = π

[ψ(t)]

| ϕ

(t) | dt.

4. Niech funkcja f ma cia,gÃla, pochodna, na przedziale < a, b >. Wtedy pole

powierzchni powstaÃlej z obrotu wykresu funkcji f wok´oÃl osi OX wyra˙za sie,

wzorem

S = 2π

| f (x) |

1 + [f

(x)]

114

W przypadku, gdy wykres funkcji f dany jest r´ownaniami 5.9.1, mamy

S = 2π

| ψ(t) |

[ϕ

(t)]

+ [ψ

(t)]

dt.

Zastosowania w fizyce

1. Niech punkt materialny porusza sie, po pÃlaszczy´znie lub w przestrzeni ze

zmienna, szybko´scia, v(t). Wtedy droga przebyta przez ten punkt w przedziale

czasowym < t

, t

> dana jest wzorem

l =

v(t)dt.

2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze r´ownolegle do osi OX dziaÃla zmienna siÃla F (x). Praca wykonana

przez te, siÃle, od punktu x = a do punktu x = b wyra˙za sie, wzorem

W =

F (x)dx.

115

6. LICZBY ZESPOLONE

Rozwa˙zmy zbi´or uporza,dkowanych par liczb rzeczywistych (a, b). Przyjmijmy,

˙ze dwie pary liczbowe (a, b), (c, d) sa, r´owne wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.

Okre´slmy w zbiorze par liczbowych dwa dziaÃlania:

? dodawanie (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(6.1)

? mno˙zenie (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + cb).

(6.2)

Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zsze dziaÃlania maja, naste,puja,ce wÃlasno´sci:

Ãla,czno´s´c dodawania, tj.

(a, b) + [(c, d) + (e, f )] = [(a, b) + (c, d)] + (e, f )

element neutralny dodawania, tj.

(x,y)

(a,b)

(a, b) + (x, y) = (a, b), w tym przypadku (x, y) = (0, 0)

element przeciwny dodawania, tj.

(a,b)

(x,y)

(a, b) + (x, y) = (0, 0), w tym przypadku (x, y) = (−a, −b)

przemienno´s´c dodawania, tj.

(a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b)

Ãla,czno´s´c mno˙zenia, tj.

(a, b) · [(c, d) · (e, f )] = [(a, b) · (c, d)] · (e, f )

element neutralny mno˙zenia, tj.

(x,y)

(a,b)

(a, b) · (x, y) = (a, b), w tym przypadku (x, y) = (1, 0)

element odwrotny mno˙zenia, tj.

(a,b)6=(0,0)

(x,y)

(a, b)·(x, y) = (0, 0), w tym przypadku (x, y) =

+ b

−b

+ b

116

przemienno´s´c mno˙zenia, tj.

(a, b) · (c, d) = (c, d) · (a, b)

rozdzielno´s´c mno˙zenia wzgle,dem dodawania, tj.

(a, b) · [(c, d) + (e, f )] = (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f )

Poka˙zemy teraz, ˙ze istotnie dziaÃlania zdefiniowane wzorami (6.1) i (6.2) maja,

wÃlasno´sci 1-9.
Ad. 1.

Zauwa˙zmy, ˙ze

(a, b) + [(c, d) + (e, f )] = (a, b) + (c + e, d + f ) = (a + (c + e), b + (d + f ))

= ((a + c) + e, (b + d) + f ) = (a + c, b + d) + (e, f ) = [(a, b) + (c, d)] + (e, f )

Ad. 2.

Aby wyznaczy´c element neutralny dodawania nale˙zy rozwia,za´c naste,pu-

ja,cy ukÃlad r´owna´n

a + x = a
b + y = b

ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze rozwia,zaniem tego ukÃladu jest x = 0 i y = 0.

Ad. 3.

W tym przypadku, aby wyznaczy´c element przeciwny musimy znale´z´c

rozwia,zanie ukÃladu

a + x = 0
b + y = 0

Rozwia,zaniem powy˙zszego ukÃladu jest x = −a i y = −b.

Ad. 4.

WÃlasno´s´c ta wynika z przemienno´sci dodawania liczb rzeczywistych, mamy

bowiem

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b)

Ad. 5.

Korzystajc, ze wzoru (6.2) otrzymujemy

(a, b) · [(c, d) · (e, f )] = (a, b) · (ce − df, cf + de)

= (a(ce − df ) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df ))

= (ace − adf − bcf − bde, acf + ade + bce − bdf )

= ((ac − bd)e − (ad + bc)f, (ac − bd)f + (ad + bc)e)

= (ac − bd, ad + bc) · (e, f ) = [(a, b) · (c, d)] · (e, f )

117

Ad. 6.

Chca,c znale´z´c element neutralny mno˙zenia rozwia,zujemy ukÃlad r´owna´n

ax − by = a
bx + ay = b

Otrzymujemy x = 1 i y = 0
Ad. 7.

Zauwa˙zmy, ˙ze element odwrotny mno˙zenia jest rozwia,zaniem ukÃladu

r´owna´

ax − by = 1
bx + ay = 0

Zatem mamy (x, y) =

+ b

−b

+ b

Ad. 8.

Przemienno´s´c mno˙zenia wynika z przemienno´sci mno˙zenia liczb rzeczy-

wistych, gdy˙z

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) = (c, d) · (a, b)

Ad. 9.

W tym przypadku korzystaja,c z rozdzielno´sci mno˙zenia wzgle,dem do-

dawania liczb rzeczywistych mamy

(a, b) · [(c, d) + (e, f )] = (a, b) · (c + e, d + f )

= (a(c + e) − b(d + f ), a(d + f ) + b(c + e)) = (ac + ae − bd − bf, ad + af + bc + be)

= ((ac−bd)+(ae−bf ), (ad+bc)+(af +be)) = (ac−bd, ad+bc)+(ae−bf, af +be)

= (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f )

Definicja 6.1. Zbi´or par liczbowych z dziaÃlaniami dodawania i mno˙zenia zdefi-
niowanymi odpowiednio wzorami (6.1) i (6.2) nazywamy ciaÃlem liczb zespolonych
i oznaczamy (C, +, ·). Elementy zbioru C nazywamy liczbami zespolonymi. Pier-
wszy element pary (a, b) nazywamy cze,´scia, rzeczywista,, a drugi cze,´scia, urojona,.

Pare, (a, 0) nazywa´c be,dziemy liczba, czysto rzeczywista,, a pare, (0, b)-czysto

urojona,.

Pare, (0, 1) nazywamy jednostka, urojona, i oznaczamy j.

Zauwa˙zmy, ˙ze

= (0, 1)(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1

Najcze,´sciej liczbe, zespolona, oznacza´c be,dziemy litera, z. Zatem przy powy˙zszych

oznaczeniach mo˙zemy napisa´c

z = (a, b) = a + jb, a ∈ R, b ∈ R

118

Taka, posta´c be,dziemy nazywa´c postacia, algebraiczna, liczby zespolonej.

Cze,´s´c rzeczywista, liczby z oznaczamy Rez, za´s cze,´s´c urojona, przez Imz.

Wobec tego be,dziemy r´ownie˙z pisa´c

z = Rez + jImz

Zauwa˙zmy, ˙ze liczbe, zespolona, z mo˙zemy zinterpretowa´c geometrycznie jako wek-

tor o pocza,tku w punkcie (0, 0) i ko´ncu w punkcie (Rez, Imz).

6.1. DziaÃlania arytmetyczne w zakresie liczb zespolonych.

Wzory (6.1) i (6.2) definiuja, nam dwa dziaÃlania arytmetyczne w zakresie

liczb zespolonych, tj. dodawanie i mno˙zenie. Poznamy jeszcze dwa dziaÃlania,
kt´ore zdefiniujemy w oparciu o dziaÃlanie dodawania i mno˙zenia tj. odejmowanie
i dzielenie. Odja,´c liczbe, zespolona, z

od liczby zespolonej z

to znaczy doda´c do

liczby z

element przeciwny wzgle,dem dodawania do liczby z

− z

= (a, b) − (c, d) = (a, b) + (−c, −d) = (a − b, c − d)

Podzieli´c liczbe, zespolona, z

przez liczbe, zespolona, z

to znaczy pomno˙zy´c liczbe,

przez element odwrotny wzgle,dem mno˙zenia do liczby z

(a, b)
(c, d)

= (a, b) ·

+ d

−d

+ d

³ ac + bd

+ d

bc − ad

+ d

Definicja 6.1.1. Liczba, sprze,˙zona, do liczby zespolonej z = a + jb nazywamy

liczbe, z o przeciwnej cze,´sci urojonej, tj. liczbe, okre´slona, wzorem

z = a − jb

Zauwa˙zmy, ˙ze na to aby podzieli´c przez siebie dwie liczby zespolone w postaci
algebraicznej wystarczy licznik i mianownik pomno˙zy´c przez liczbe, sprze,˙zona, do

mianownika.

WÃlasno´sci sprze,˙zenia liczb zespolonych:

1. z

+ z

= z

+ z

2. z

− z

= z

− z

3. z

· z

= z

· z

119

³ z

5. z + z = 2Rez,

6. z − z = 2jImz,

7. (z) = z.

6.2. Posta´

c trygonometryczna i wykÃladnicza liczby zespolonej

W poprzednim paragrafie poznali´smy posta´c algebraiczna, liczby zespolonej.

Natomiast w tym paragrafie poznamy inne jej postaci.

Definicja 6.2.1. ModuÃlem liczby zespolonej z = x + jy nazywamy liczbe, rzeczy-

wista, | z | oke´slona, wzorem

| z |=

+ y

Zauwa˙zmy, ˙ze

| (x, 0) |=

√

=| x | .

Mo˙zemy zatem powiedzie´c, ˙ze moduÃl liczby zaspolonej jest uog´olnieniem poje,cia

warto´sci bezwzgle,dnej liczby rzeczywistej.

ModuÃl liczby zespolonej mo˙zemy zinterpretowa´c geometrycznie jako dÃlugo´s´c

wektora odpowiadaja,cego danej liczbie zespolonej.
Definicja 6.2.2. Argumentem liczby zespolonej z = x+jy nazywamy ka˙zda, liczbe,

rzeczywista, ϕ speÃlniaja,ca, ukÃlad r´owna´n











cos ϕ =

| z |

sin ϕ =

| z |

(6.2.1)

Zauwa˙zmy, ˙ze argument liczby zero jest nieokre´slony, poniewa˙z jej moduÃl jest
r´owny zero. Ponadto z wÃlasno´sci funkcji trygonometrycznych wynika, ˙ze ka˙zda
liczba zespolona r´o˙zna od zera ma przeliczalnie wiele argument´ow, kt´ore r´o˙znia,

sie, od siebie o caÃlkowita, wielokrotno´s´c 2π. Spo´sr´od wszystkich argument´ow liczby

zespolonej wyr´o˙zniamy ten, kt´ory nale˙zy do przedziaÃlu < 0, 2π) i nazywamy go
argumentem gÃl´ownym liczby zespolonej przyjmuja,c oznaczenie Argz.

Geomertycznie argument liczby zespolonej jest miara, ka,ta jaki tworzy wektor

odpowiadaja,cy tej liczbie z dodatnia, cze,´scia, osi rzeczywitej.

Zauwa˙zmy, ˙ze ze wzor´ow (6.2.1) wynika, ˙ze

Rez =| z | cos(Argz)

Imz =| z | sin(Argz)

120

Wobec tego ka˙zda, liczbe, zespolona, zapisa´c mo˙zna w naste,puja,cej postaci

z =| z | (cos Argz + j sin Argz).

Powy˙zsza, posta´c nazywamy postacia, trygonometryczna, liczby zespolonej.

Niech teraz dane be,da, dwie dowolne liczby zespolone

= r

(cos ϕ

+ j sin ϕ

= r

(cos ϕ

+ j sin ϕ

gdzie r

=| z

|, ϕ

= Argz

dla i = 1, 2. Zauwa˙zmy, ˙ze

· z

= r

cos ϕ

− sin ϕ

sin ϕ

+ j(cos ϕ

sin ϕ

+ sin ϕ

cos ϕ

)

= r

cos(ϕ

+ ϕ

) + j sin(ϕ

+ ϕ

)

Ponadto mamy

(cos ϕ

+ j sin ϕ

(cos ϕ

− j sin ϕ

)

(cos ϕ

+ j sin ϕ

(cos ϕ

− j sin ϕ

)

[cos ϕ

cos ϕ

+ sin ϕ

sin ϕ

+ j(sin ϕ

cos ϕ

− sin ϕ

cos ϕ

)]

(cos

+ sin

)

cos(ϕ

− ϕ

) + j sin(ϕ

− ϕ

)

Zatem otrzymujemy naste,puja,ce wÃlasno´sci moduÃlu i argumentu liczby zespolonej

1. moduÃl iloczynu liczb zespolonych jest r´owny iloczynowi moduÃl´ow

| z

· z

|=| z

| · | z

2. argument iloczynu liczb zespolonych jest r´owny sumie argument´ow

Arg(z

· z

) = Argz

+ Argz

3. moduÃl ilorazu liczb zespolonych jest r´owny ilorazowi moduÃl´ow

¯ =

| z

121

4. argument ilorazu liczb zespolonych jest r´owny r´o˙znicy argument´ow

Arg

³ z

= Argz

− Argz

Ponadto mo˙zna udowodni´c naste,puja,ce wÃlasno´sci moduÃlu i argumentu liczby ze-

spolonej

5. | z |=| z |=| −z |,

6. zz =| z |

7. | z

+ z

|≤| z

| + | z

¯ | z

| − | z

¯ ≤| z

− z

9. Arg(z) = −Argz,

10. Arg(−z) = π + Argz,

11. Arg

1
z

= −Argz.

Definicja 6.2.3. Dla ϕ ∈ R liczbe, zepolona, cos ϕ + j sin ϕ oznaczamy przez e

jϕ

Symbol e

jϕ

ma naste,puja,ce wÃlasno´sci

1. e

j(ϕ

+ϕ

)

= e

jϕ

· e

jϕ

2. e

j(ϕ

−ϕ

)

jϕ1

jϕ2

jϕ

= e

jnϕ

4. | e

jϕ

|= 1,

5. Arg

jϕ

= ϕ.

Symbol podany w definicji 6.2.3 nosi nazwe, symbolu Eulera. Pozwala on

mie,dzy innymi na zapisanie dowolnej liczby zespolonej w tak zwanej postaci wy-

kÃladniczej

z =| z | e

jϕ

ϕ = Argz.

122

Zauwa˙zmy, ˙ze dla x ∈ R mamy

+ e

−jx

= cos x + j sin x + cos(−x) + j sin(−x)

= cos x + j sin x + cos x − j sin x = 2 cos x.

Ponadto

− e

−jx

= cos x + j sin x − [cos(−x) + j sin(−x)

= cos x + j sin x − cos x + j sin x = 2j sin x.

Otrzymujemy sta,d naste,puja,ce wzory zwane wzorami Eulera

cos x =

+ e

−jx

sin x =

− e

−jx

Zadanie 6.2.1. Wykonaj podane dziaÃlania

a) (1 − 3j) + (4 − 5j) · (1 + 2j) + (7 − 3j), b)

2 + 3j

2 + j

1 + 3j
3 − 4j

¯,

d) | (2 − j)(2 + j) |.

Zadanie 6.2.2. Naszkicuj zbiory liczb zespolonych speÃlniaja,ce podane warunki

a) | z − 2j |≤ 3 ∨ | z + 2 |≤ 4,

z + j

+ 1

¯ ≥ 1,

c) Re(z + 1) < 0 ∧ | j − z |< 3,

d) | z + 2 |<| z − j |.

6.3.

Pote,gowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych. Wz´or de

Moivre’a.

Definicja 6.3.1. Pote,ga, stopnia naturalnego z liczby zepolonej z nazywamy n-

krotny iloczyn liczby z przez siebie

= z · z · . . . · z.

123

Twierdzenie 6.3.1. (wz´or de Moivre’a) Niech z = r(cos ϕ + j sin ϕ), gdzie r > 0
i ϕ ∈ R oraz niech n ∈ N. Wtedy

= r

(cos nϕ + j sin nϕ).

Dow´od tego twierdzenia przeprowadza sie, metoda, indukcji matematycznej.

Definicja 6.3.2. Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy
ka˙zda, liczbe, zespolona, w speÃlniaja,ca, naste,puja,ca, r´owno´s´c

= z.

ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze liczba zepolona posiada dokÃladnie n piewrwiastk´ow n-tego

stopnia. Posta´c tych pierwiastk´ow podaje naste,puja,ce twierdzenie.

Twierdzenie 6.3.2. Niech z = r(cos ϕ + j sin ϕ), gdzie r > 0 i ϕ ∈ R oraz niech
n ∈ N. Wtedy zbi´or pierwiastk´ow n-tego stopnia z liczby z ma posta´c

√

cos

ϕ + 2kπ

+ j sin

ϕ + 2kπ

, k = 0, 1, . . . , n − 1.

(6.3.1)

Dow´

od. Aby wyznaczy´c pierwiastki n-tego stopnia z liczby z nale˙zy rozwia,za´c

r´ownanie

= z.

Niech w = q(cos % + j sin %). Wtedy stosuja,c wz´or de Moivre’a otrzymamy

(cos n% + j sin n%) = r(cos ϕ + j sin ϕ)

Sta,d mamy

= r

n% = ϕ + 2kπ,

gdzie k ∈ Z.

Zatem

q =

√

% =

ϕ + 2kπ

Z uwagi na okresowo´s´c funkcji trygonometrycznych pierwiastki z

i z

k+n

pokry-

waja, sie,. Wobec tego istnieje tylko n r´o˙znych pierwiastk´ow n-tego stopnia z liczby

zespolonej z.

Pierwiastek, kt´ory otrzymamy ze wzoru (6.3.1) dla k = 0 nazywa´c be,dziemy

gÃl´ownym pierwiastkiem stopnia n z liczby z.

Zauwa˙zmy, ˙ze gÃl´owny pierwiastek z dodatniej liczby rzezcywistej jest r´owny

jej pierwiastkowi arytmetycznemu.

Zbi´or pierwiastk´ow stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z w interpretacji ge-

omertycznej pokrywa sie, ze zbiorem wierzchoÃlk´ow n-ka,ta foremnego wpisanego

124

w okra,g o promieniu

| z | i ´sroku w punkcie (0, 0). Pierwszy wierzchoÃlek tego

wieloka,ta znajduje sie, w punkcie z

, a ka,ty mie,dzy wektorami odpowiadaja,cymi

pozostaÃlym pierwiastkom sa, r´owne

2π

Zadanie 6.3.1. Oblicz warto´sci podanych wyra˙ze´

a) (1 − j)

b) (1 +

√

3j)

c) (

√

3 − j)

³ 1 − j

−1 +

√

³ √3 − j

1 + j

f )

³ √3 − j

−1 −

√

1 + j,

√

−27j,

√

5 − 12j,

(5 − 4j)

(2 − j)

(−2 + 3j)

Zadanie 6.3.2. Stosuja,c wzory Eulera wyrazi´c podane funkcje w postaci sum

sinus´ow i cosinus´ow wielokrotno´sci ka,ta x

a) sin

b) cos

c) sin

d) cos

x + sin

6.4. Wielomiany. Zasadnicze twierdzenie algebry.

Poje,cie wielomianu o wsp´oÃlczynnikach rzeczywistych znamy ze szkoÃly ´sredniej.

Teraz rozszerzymy je na wielomiany o wsp´oÃlczynnikach zespolonych.

Definicja 6.4.1. Wielomianem zespolonym stopnia n ∈ N nazywamy funkcje,

f : C → C okre´slona, wzorem

W (z) = c

+ c

n−1

+ . . . + c

z + c

gdzie c

∈ C dla 0 ≤ k ≤ n oraz c

6= 0.

Wielomiany o wsp´oÃlczynnikach zespolonych podobnie jak wielomiany o wsp´oÃl-

czynnikach rzeczywistych, sa, wtedy r´owne gdy sa, tego samego stopnia i maja,

odpowiednie wsp´oÃlczynniki r´owne. Na wielomianach o wsp´oÃlczynnikach zespo-
lonych mo˙zemy wykonywa´c dziaÃlania w taki sam spos´ob jak na wielomianach o
wsp´oÃlczynnikach rzeczywistych.

Przypomnimy teraz poje,cie pierwiastka wielomianu

Definicja 6.4.2. Liczbe, zepolona, z

nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (z),

je˙zeli W (z

) = 0.

125

Dla wielomian´ow zespolonych prawdziwe jest r´ownie˙z twierdzenie Bezuta.

Twierdzenie 6.4.1. Liczba z

jest pierwiastkiem wielomianu W (z) wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje taki wielomian P (z), ˙ze

W (z) = P (z)(z − z

Podamy teraz kilka wÃlasno´sci wielomian´ow zespolonych.

Twierdzenie 6.4.2. (zasadnicze twierdzenie algebry) Ka˙zdy wielomian zespolony
stopnia naturalnego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Twierdzenie to zostaÃlo sformuÃlowane przez francuskiego matematyka

d’Alemberta. Obecnie znanych jest wiele dowod´ow tego twierdzenia, ale ˙zadnego z
nich nie przytoczymy, poniewa˙z wymagaja, one wprowadzenia wielu dodatkowych

poje,´c matematycznych.

Bezpo´srednia, konsekwencja, tego twierdzenia jest twierdzenie o rozkÃladzie

wielomianu zespolonego.

Twierdzenie 6.4.3. Ka˙zdy wielomian zespolony stopnia naturalnego jest rozkÃla-
dalny na czynniki stopnia pierwszego

W (z) = c

(z − x

)(z − x

n−1

) . . . (z − x

gdzie c

jest wsp´oÃlczynnikiem przy z

, a x

, x

, . . . , x

sa, wszystkimi (niekonie-

cznie r´o˙znymi) pierwiastkami zespolonymi tego wielomianu.

Zadanie 6.4.1. Podane wielomiany rozÃlo˙zy´c na czynniki

W (z) = z

+ j,

V (z) = z

+ 1,

Q(z) = z

− j,

R(z) = z

+ jz

+ 6,

P (z) = z

− (1 + j)

126

7. MACIERZE I WYZNACZNIKI

W rozdziale 7 zdefiniujemy poje,cie macierzy i wyznacznika. Poznamy r´ownie˙z

pewne wÃlasno´sci macierzy i wyznacznik´ow. WÃlasno´sci te wykorzystywa´c be,dziemy

do rozwia,zywania ukÃlad´ow r´owna´n liniowych, w kt´orych liczba niewiadomych nie

zawsze jest r´owna liczbie r´owna´

7.1. Algebra macierzy.

Paragraf ten po´swie,cony be,dzie og´olnej teorii macierzy.

Definicja 7.1.1. Prostoka,tna, macierza, rzeczywista, (zespolona,) wymiaru m × n

nazywamy prostoka,tna, tablice, zÃlo˙zona, z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

ustawionych w m wierszach i n kolumnach w naste,puja,cy spos´ob







. . .

1,n−1

1,n

. . .

2,n−1

2,n

. ..

. . .

i,n−1

i,n

. ..

m−1,1

m−1,2

. . . a

m−1,j

. . . a

m−1,n−1

m−1,n

. . .

m,n−1

m,n







← i-ty wiersz

↑

j-ta kolumna

Macierze oznacza´c be,dziemy du˙zymi literami alfabetu, np. A, B, C. Element

stoja,cy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie oznacza´c be,dziemy przez a

. Powy˙zsza,

macierz mo˙zemy r´ownie˙z zapisa´c w postaci:

A = [a

]

m×n

Powiemy, ˙ze dwie macierze A = [a

] i B = [b

] sa, r´owne je˙zeli sa, tego samego

wymiaru (maja, ta, sama, liczbe, wierszy i kolumn) oraz

1≤i≤m, 1≤j≤n

= b

Zdefiniujemy teraz kilka wa˙znych rodzaj´ow macierzy.

127

Rodzaje macierzy:

1. Macierz wymiaru m × n, kt´orej wszystkie elementy sa, r´owne 0 nazywamy

macierza, zerowa,.

2. Macierz, w kt´orej liczba wierszy jest r´owna liczbie kolumn nazywamy macierza,

kwadratowa,. Liczbe, wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy.

Elementy macierzy kwadratowej maja,ce ten sam numer wiersza i kolumny

tworza, gÃl´owna, przeka,tna, macierzy.

3. Macierz kwadratowa, stopnia n ≥ 2, w kt´orej wszystkie elementy stoja,ce pod

gÃl´owna, przeka,tna, sa, r´owne 0, nazywamy macierza, tr´ojka,tna, g´orna,. Nato-

miast macierz, w kt´orej wszystkie elementy stoja,ce nad gÃl´owna, przeka,tna, sa,

r´owne 0, be,dziemy nazywa´c macierza, tr´ojka,tna, dolna,.

4. Macierz kwadratowa, stopnia n, w kt´orej wszystkie elementy z wyja,tkiem ele-

ment´ow gÃl´ownej przeka,tnej, sa, r´owne 0 nazywamy, macierza, diagonalna,.

5. Macierz diagonalna, stopnia n, w kt´orej elementy z gÃl´ownej przeka,tnej sa,

r´owne 1 nazywa´c be,dziemy macierza, jednostkowa, stopnia n i oznacza´c I

6. Macierza, transponowana, do macierzy A = [a

]

m×n

nazywamy macierz B =

] wymiaru n × m, kt´orej elementy sa,, okre´slone wzorem

1≤i≤n, 1≤j≤m

= a

Mo˙zna powiedzie´c, ˙ze macierz transponowana powstaje przez zamiane, wierszy

na kolumny, a kolumn na wiersze. Macierz transponowana, oznacza´c be,dziemy

w naste,puja,cy spos´ob A

Zauwa˙zmy, ˙ze (A

)

= A.

7. Macierz A nazywamy macierza, symetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy

= A

8. Macierz A nazywamy macierza, antysymetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy

= −A,

gdzie −A = [−a

9. Macierza, sprze,˙zona, z macierza, zespolona, A = [a

]

m×n

, nazywamy macierz

A, kt´ora ma elementy sprze,˙zone do element´ow macierzy A

A = [a

], a

∈ C; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

128

Na macierzach mo˙zemy wykonywa´c pewne dziaÃlania. Podamy teraz definicje

tych dziaÃla´

n. Niech dane be,da, dwie macierz prostoka,tne A = [a

]

m×n

i B =

]

m×n

Definicja 7.1.2. Suma, macierzy A i B nazywamy macierz C = [c

]

m×n

, kt´orej

elementy okre´slone sa, wzorem

1≤i≤m, 1≤j≤n

= a

+ b

Sume, macierzy oznaczamy w naste,puja,cy spos´ob C = A + B. R´o˙znica, macierzy

A i B nazywamy macierz C = [c

]

m×n

, kt´orej elementy okre´slone sa, wzorem

1≤i≤m, 1≤j≤n

= a

− b

W takim przypadku pisa´c be,dziemy C = A−B. Zauwa˙zmy, ˙ze dziaÃlania dodawania

i odejmowania macierzy okre´slone sa, tylko na macierzach tego samego wymiaru.

Macierz wynikowa ma taki sam wymiar jak macierze A i B.

Definicja 7.1.3. Iloczynem macierzy A przez liczbe, γ nazywamy macierz C =

]

m×n

, kt´orej elementy okre´slone sa, wzorem

1≤i≤m, 1≤j≤k

= γa

W´owczas be,dziemy pisa´c C = γA.

Wy˙zej zdefiniowane dziaÃlania maja, naste,puja,ce wÃlasno´sci:

1. A + B = B + A,

2. A + (B + C) = (A + B) + C,

3. γ(A + B) = γA + γB,

4. (γ + δ)A = γA + δA,

5. (γδ)A = γ(δA),

6. (A + B)

= A

+ B

7. (γA)

= γA

129

Definicja 7.1.4. Niech macierz A = [a

] ma wymiar m × n, a macierz B = [b

]

ma wymiar n×k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c

] wymiaru

m × k, kt´orej elementy dane sa, wzorem

1≤i≤m, 1≤j≤n

l=1

Iloczyn macierzy oznaczamy w spos´ob naste,puja,cy C = A · B.

Zauwa˙zmy, ˙ze mno˙zenie macierzy nie zawsze jest wykonalne.

Zgodnie z

definicja, macierze A i B mo˙zemy tylko wtedy przez siebie pomno˙zy´c, gdy liczba kol-

umn macierzy A jest r´owna liczbie wierszy macierzy B. Wynika sta,d, ˙ze mno˙zenie

macierzy prostoka,tnych nie zawsze jest przemienne.

Element c

macierzy C = A · B otrzymujemy sumuja,c iloczyny odpowiada-

ja,cych sobie element´ow i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B.

WÃlasno´sci mno˙zenia macierzy

1. Je˙zeli macierz A jest wymiaru m × n i macierze B i C sa, wymiaru n × k, to

A(B + C) = AB + AC.

2. Je˙zeli macierze A i B sa, wymiaru m × n i macierz C jest wymiaru n × k, to

(A + B)C = AC + BC.

3. Je˙zeli macierz A jest wymiaru m × n i macierz B jest wymiaru n × k oraz γ
jest pewna, liczba, rzeczywista, lub zespolona,, to

A(γB) = (γA)B = γ(AB).

4. Je˙zeli macierz A jest wymiaru m × n, macierz B jest wymiaru n × k, a macierz
C ma wymiar k × l, to

(AB)C = A(BC).

5. Je˙zeli macierz A jest wymiaru m × n, a macierz B jest wymiaru n × k, to

(AB)

= B

Zamiast A · A · A . . . A be,dziemy pisa´c A

. Je˙zeli macierz A jest macierza, kwadra-

towa, to wtedy mamy

)

= (A

)

130

7.2. Wyznaczniki.

Niech A

oznacza macierz jaka, otrzymamy z macierzy A poprzez skre´slenie

i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Definicja 7.2.1. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a

] nazywamy

liczbe, rzeczywista, lub zespolona, detA okre´slona, w naste,puja,cym wzorem rekuren-

cyjnym

1. je˙zeli stopie´

n macierzy A jest r´owny 1, to

detA = a

2. Je˙zeli stopie´

n n macierzy A jest wie,kszy ni˙z 1, to

detA =

i=1

(−1)

k+i

detA

gdzie 1 ≤ k ≤ n jest numerem dowolnie wybranego wiersza z macierzy A.

Definicje, ta, podaÃl matematyk francuski Laplace, dlatego te˙z licza,c wyznacznik

macierzy be,dziemy m´owi´c, ˙ze stosujemy metode, rozwinie,cia Laplace’a wzgle,dem

k-tego wiersza. Oczywi´scie, w my´sl tej definicji warto´s´c wyznacznika nie zale˙zy od
wyboru wiersza wzgle,dem, kt´orego be,dziemy go rozwija´c.

Zauwa˙zmy, ˙ze wyznacznik zdefiniowany jest tylko dla macierzy kwadratowych.

Nie mo˙zna wie,c posÃluguja,c sie, powy˙zsza, definicja,, policzy´c wyznacznika z dowolnej

macierzy prostoka,tnej.

Wyznacznik macierzy mo˙zemy r´ownie˙z obliczy´c dokonuja,c rozwinie,cia wzgle,-

dem dowolnej kolumny danej macierzy. W´owczas je˙zeli stopie´

n macierzy A jest

wie,kszy od 1, to

detA =

j=1

(−1)

k+j

detA

gdzie 1 ≤ k ≤ n jest numerem dowolnie wybranej kolumny z macierzy A.

WÃlasno´sci wyznacznik´

ow.

1. Wyznacznik macierzy kwadratowej maja,cej wiersz lub kolumne, zÃlo˙zona, z

samych zer jest r´owny zero.

2. Je˙zeli w macierzy kwadratowej zamienimy miejscami dwa wiersze albo dwie

kolumny, to jej wyznacznik zmieni znak na przeciwny.

131

3. Wyznacznik macierzy kwadratowej , w kt´orej dwa wiersze lub dwie kolumny

maja, proporcjonalne elementy jest r´owny zero.

4. Je˙zeli jedna, z kolumn lub jeden z wierszy pomno˙zymy przez dowolna, liczbe,

c, to wyznacznik macierzy zostanie r´ownie˙z pomno˙zony przez c.

5. Wyznacznik macierzy tr´ojka,tej dolnej i tr´ojka,tnej g´ornej jest r´owny iloczynowi

element´ow stoja,cych na gÃl´ownej przeka,tnej.

6. Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni sie, je˙zeli dowolny wiersz po-

mno˙zymy przez liczbe, r´o˙zna, od zera i dodamy go do innego wiersza. Taka

sama wÃlasno´s´c zachodzi r´ownie˙z dla kolumn.

7. Wyznacznik macierzy transponowanej do macierzy kwadratowej A jest r´owny

wyznacznikowi tej macierzy.

8. Wyznacznik macierzy jednostkowej, niezale˙znie od jej stopnia, jest r´owny je-

den.

Powy˙zsze wÃlasno´sci mo˙zemy wykorzysta´c do obliczania wyznacznik´ow. W

szczeg´olno´sci korzystaja,c z wÃlasno´sci 5 i 6 wyznacznik macierzy kwadratowej

mo˙zemy obliczy´c poprzez sprowadzenie jej do macierzy tr´ojka,tnej g´ornej ba,d´z dol-

nej. Dokonujemy tego wykorzystuja,c przede wszystkim wÃlasno´s´c 6. Oczywi´scie

otrzymana macierz tr´ojka,tna nie be,dzie r´owna macierzy wyj´sciowej, ale be,dzie

miaÃla taki sam wyznacznik.

Algorytm obliczania wyznacznika w oparciu o wÃlasno´s´c 5 i 6 nazywamy algo-

rytmem Gaussa i przebiega on wedÃlug naste,puja,cego schematu:

Wiersz 1 mno˙zymy przez −

i dodajemy do wiersza drugiego. Mo˙zemy ta,

operacje, zapisa´c symbolicznie w naste,puja,cy spos´ob w

−

. W wyniku

takiego poste,powania w miejscu elementu a

otrzymamy 0. Podobnie poste,-

pujemy, aby wyzerowa´c pozostaÃle elementy kolumny pierwszej. PosÃlugujemy sie,

tylko wierszem pierwszym. Dokonujemy w tym celu naste,puja,cych operacji

−

.
w

−

Naste,pnie posÃluguja,c sie, wierszem drugim z nowo powstaÃlej macierzy zerujemy

elementy stoja,ce pod gÃl´owna, przeka,tna, z kolumny drugiej dokonuja,c operacji

−

132

−

.
w

−

gdzie a

= a

− a

Dalej zerujemy elementy le˙za,ce pod gÃl´owna, przeka,tna, w kolumnie trzeciej

wykorzystuja,c wiersz trzeci. DziaÃlania kontynuujemy, a˙z do uzyskania macierzy

tr´ojka,tnej g´ornej. Tak otrzymana macierz ma wyznacznik r´owny iloczynowi ele-

ment´ow z gÃl´ownej przeka,tnej, a ponadto jej wyznacznik jest taki sam jak macierzy

wyj´sciowej.

Podamy jeszcze jedna, wa˙zna, wÃlasno´s´c wyznacznik´ow.

Twierdzenie 7.2.1. (Cauchy’ego) Niech A i B be,da, macierzami kwadratowymi

tego samego stopnia. Wtedy

det(A · B) = detA · detB.

7.3. Macierz odwrotna.

Niech A be,dzie macierza, kwadratowa, stopnia n.

Definicja 7.3.1. Macierza, nieosobliwa, nazywamy macierz kwadratowa,, kt´orej

wyznacznik jest r´o˙zny od zera. Macierz, kt´ora ma wyznacznik r´owny zero nazy-
wamy macierza, osobliwa,.

Definicja 7.3.2. Macierza, odwrotna, do macierzy A nazywamy macierz oznaczona,

przez A

−1

, kt´ora speÃlnia naste,puja,cy warunek

A · A

−1

= A

−1

· A = I,

gdzie I jest macierza, jednostkowa,.

Macierz do kt´orej istnieje macierz odwrotna nazywa´c be,dziemy macierza, od-

wracalna,.

Naste,puja,ce twierdzenie podaja, kilka wÃla´sciwo´sci macierzy odwrotnej.

Twierdzenie 7.3.1. Macierz odwracalna jest nieosobliwa.

Dow´

od. Twierdzenie to wynika z twierdzenia Cauchy’ego, mamy bowiem

det(A · A

−1

) = detA · detA

−1

133

Z drugiej strony korzystaja,c z wÃlasno´sci 8 wyznacznika otrzymujemy

det(A · A

−1

) = detI = 1.

Zatem

detA · detA

−1

= 1

oznacza to, ˙ze detA 6= 0.

Twierdzenie 7.3.2. Macierz odwrotna do macierzy nieosobliwej jest nieosobliwa.

Dow´

od.

Fakt ten wynika bezpo´srednio z dowodu twierdzenia poprzedniego.

Skoro

detA · detA

−1

= 1,

to detA

−1

6= 0.

Z dowodu twierdzenia 7.3.1 otrzymujemy r´ownie˙z naste,puja,cy fakt

Twierdzenie 7.3.3. Wyznacznik macierzy odwrotnej do macierzy A r´owny jest
odwrotno´sci wyznacznika macierzy A

detA

−1

detA

W kolejnym twierdzeniu wyka˙zemy, ˙ze ka˙zda macierz nieosobliwa jest od-

wracalna, tzn. udowodnimy twierdzenie odwrotne do twierdzenia 7.3.1. Metoda
dowodu be,dzie konstruktywna. Jednak˙ze wcze´sniej zdefiniujemy kilka pomoc-

niczych poje,´c.
Definicja 7.3.3. Minorem M

odpowiadaja,cym elementowi a

nazywamy wy-

znacznik jaki otrzymamy z wyznacznika macierzy A przez skre´slenie i-tego wiersza
i j-tej kolumny.

Definicja 7.3.4.

DopeÃlnieniem algebraicznym D

elementu a

wyznacznika

macierzy A = [a

] nazywamy iloczyn minora odpowiadaja,cego elementowi a

oraz czynnika (−1)

i+j

= (−1)

i+j

Twierdzenie 7.3.4. Je˙zeli macierz kwadratowa A stopnia n jest nieosobliwa, to

−1

detA







. . . D

1,n

. . . D

2,n

. . . D

n,n







134

gdzie D

oznaczaja, dopeÃlnienia algebraiczne element´ow a

macierzy A.

Dow´

od. Niech C = [c

], gdzie

detA

oraz niech

1, i = j,
0, i 6= j.

Oczywi´scie I = [δ

]. Wyka˙zemy, ˙ze A · C = I.

Element stoja,cy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy A · C oznaczmy

przez [AC]

. Mamy zatem

[AC]

k=1

detA

k=1

detA

k=1

(−1)

j+k

detA

= δ

gdy˙z dla i = j

k=1

detA

= detA,

a dla i 6= j powy˙zsza suma jest rozwinie,ciem Laplace’a wyznacznika o dw´och

jednakowych wiersza lub kolumnach.

Podobnie mo˙zemy wykaza´c, ˙ze C · A = I.

Zadanie 7.3.1. Wykonaj podane dziaÃlania

a) A · B − C

b) 3C − A · B,

b) A · B + 2C,

a) C · A · B,

b) A

· C + C · B

b) A

· B

− B · A,

gdzie

A =





1 −2
4 −1



 , B =

3 −1

1 −2

, C =





−2 −2

−3



 .

Zadanie 7.3.2. Korzystaja,c z wÃlasno´sci wyznacznik´ow wykaza´c, ˙ze

a + b c − a b + c
a + c b − c

a + b

b + c

a − b a + c

= 0,

q + r p + r p + q

−r

= 0,

135

Zadanie 7.3.3. Znale´z´c macierze odwrotne do podanych macierzy

A =





−3

−1

−4

−1



 , C =







−2

−1

−2

−1





 .

7.4. Rza,d macierzy.

Na pocza,tku tego paragrafu rozszerzymy poje,cie minora.

Definicja 7.4.1. Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik stopnia
k jaki otrzymamy z macierzy A przez skre´slenie pewnej liczby kolumn i wierszy.

PrzykÃlad 7.4.1. Niech dana be,dzie macierz

A =

−1

1 −2

Macierz ta posiada naste,puja,ce minory drugiego stopnia

= det

−1

−2

= 10, M

= det

2 −1
1

= 9, M

= det

1 −2

= −7,

przy czym minor M

powstaÃl przez skre´slenie pierwszej kolumny, M

- przez

skre´slenie drugiej kolumny, a M

- trzeciej kolumny. Jednym z mior´ow pierwszego

stopnia jest minor jaki otrzymamy przez skre´slenie pierwszej i drugiej kolumny
oraz drugiego wiersza M = det[−1] = −1.

Definicja 7.4.2. Rze,dem macierzy A = [a

]

m×n

nazywamy

1) liczbe, zero, gdy macierz jest zerowa, tj.

1≤i≤m, 1≤j≤n

= 0,

2) liczbe, r´owna, najwie,kszemu ze stopni jej r´o˙znych od zera minor´ow, gdy macierz

A jest niezerowa.

Rza,d macierzy oznacza´c be,dziemy symbolem rzA.

PrzykÃlad 7.4.2. Rozwa˙zmy macierz

A =





1 2 3
4 5 6
7 8 9



 .

136

Z macierzy tej mo˙zna utworzy´c tylko jeden minor trzeciego stopnia. Jest on r´owny
wyznacznikowi macierzy A. Zauwa˙zmy, ˙ze detA = 0 oraz, ˙ze

det

1 2
4 5

= −3 6= 0.

Zatem rzA = 2 poniewa˙z z macierzy tej mo˙zemy utworzy´c nieosobliwa, macierz

stopnia 2 (poprzez skre´slenie jednego wiersza i kolumny), a wszystkie jej minory
trzeciego stopnia sa, r´owne zero.

WÃlasno´sci rze,du macierzy.

1. Rza,d macierzy nieosobliwej stopnia n jest r´owny n; rza,d niezerowej macierzy

kwadratowej osobliwej jest mniejszy od jej stopnia.

2. Rza,d macierzy nie ulegnie zmianie je´sli do dowolnego wiersza (kolumny) do-

damy inny wiersz (kolumne,) pomno˙zony przez liczbe, r´o˙zna, od zera.

3. Przestawienie wierszy (kolumn) macierzy nie zmienia jej rze,du.

4. Rza,d macierzy nie zmieni sie, je˙zeli wykre´slimy z niej kolumne, lub wiersz zÃlo˙zony

z samych zer.

Zadanie 7.4.1. Wyznacz rze,dy podanych macierzy





2 1 3 6
1 0 1 2
3 1 4 8



 , B =







−1

−1 −2

−5 −4





 .

7.5. Wzory Cramera.

Definicja 7.5.1. UkÃlad r´owna´

n postaci











+ · · ·

= b

+ · · ·

= b

· · ·

+ · · · +a

= b

(7.5.1)

nazywamy ukÃladem m r´owna´

n liniowych z n niewiadomymi x

, x

, . . . , x

. Macierz

A =







· · ·

· · · a







137

nazywamy macierza, gÃl´owna, ukÃladu, macierze

B =







· · ·
b





 ,

X =







· · ·







nazywamy odpowiednio kolumna, (macierza,) wyraz´ow wolnych i kolumna, (macie-

rza,) niewiadomych.

Powy˙zszy ukÃlad mo˙zemy zapisa´c w naste,puja,cej postaci macierzowej

AX = B.

Definicja 7.5.2. Rozwia,zaniem ukÃladu r´owna´n liniowych (7.5.1) nazywamy ka˙zdy

cia,g (x

, x

, . . . , x

) liczb rzeczywistych speÃlniaja,cych ten ukÃlad.

Je˙zeli istnieje dokÃladnie jeden cia,g (x

, x

, . . . , x

), kt´ory speÃlnia ukÃlad (7.5.1),

to m´owimy, ˙ze ukÃlad r´owna´

n liniowych jest oznaczony. W przypadku, gdy takich

cia,g´ow jest niesko´nczenie wiele ukÃlad be,dziemy nazywa´c nieoznaczonym. Nato-

miast ukÃlad r´owna´

n, kt´ory nie ma rozwia,za´n nazywamy sprzecznym.

Definicja 7.5.3. UkÃlad r´owna´

n liniowych (7.5.1), w kt´orym kolumna wyraz´ow

wolnych jest macierza, zerowa, nazywamy ukÃladem jednorodnym.

Definicja 7.5.4. UkÃladem Cramera nazywamy ukÃlad, w kt´orym macierz gÃl´owna
jest macierza, kwadratowa, nieosobliwa,.

Twierdzenie 7.5.1. (Cramera) UkÃlad Cramera ma dokÃladnie jedno rozwia,zanie

naste,puja,cej postaci

X =

detA







detA





 ,

gdzie A

dla 1 ≤ j ≤ n oznacza macierz A, w kt´orej j-ta, kolumne, zasta,piono

kolumna, wyraz´ow wolnych.

Poniewa˙z macierz A jest macierza, nieosobliwa,, to ukÃlad Cramera mo˙zna

r´ownie˙z rozwia,za´c wykorzystuja,c macierz odwrotna,. Mianowicie

X = A

−1

· B.

Z twierdzenia Cramera wynika, ˙ze ukÃlad r´owna´

n liniowych, w kt´orym liczba r´ow-

na´

n jest taka sama jak liczba niewiadomych jest

138

1. oznaczony, je´sli detA 6= 0,

2. nieoznaczony, je´sli detA = 0 i

1≤j≤n

detA

= 0,

3. sprzeczny, je´sli detA = 0 i

1≤j≤n

detA

6= 0.

Zauwa˙zmy, ˙ze jedynym rozwia,zaniem jednorodnego ukÃladu Cramera jest roz-

wia,zanie zerowe

= 0, x

= 0, . . . , x

= 0.

Zadanie 7.5.1. Rozwia,˙z podane ukÃlady r´owna´n







+6x

−x

= 8

−x

−4x

+5x

= 0

+13x

+5x

= 10











+2x

+3x

−x

= 3

+6x

+3x

= 1

+4x

+7x

−4x

= 14

−x

+2x

− x

+ x

= −3







−x

= 1

+3x

= 0

+2x

−2x

= −2







+2x

= 4

+6x

+3x

= 1

= −2

= 0

+3x

= 0







−2x

= 0

−x

+5x

+3x

= 0

Zadanie 7.5.2.

Przedyskutowa´c rozwia,zalno´s´c podanych ukÃlad´ow r´owna´n w

zale˙zno´sci od warto´sci parametru p.







+px

−x

= 1

−10x

−6x

= 3

−x

+px

= 0







= 1

+ax

= a

+ax

= a

139

7.6. UkÃlady r´

owna´

n liniowych. Twierdzenia Kroneckera-Capelliego.

Niech dany be,dzie ukÃlad r´owna´n











+ · · ·

= b

+ · · ·

= b

· · ·

+ · · · +a

= b

(7.6.1)

Macierz

A =







· · ·

· · · a







(7.6.2)

nazywamy macierza, gÃl´owna, ukÃladu, natomiast macierze

B =







· · ·
b





 ,

X =







· · ·







nazywamy odpowiednio kolumna, (macierza,) wyraz´ow wolnych i kolumna, (macie-

rza,) niewiadomych. Ponadto macierz

U =







· · ·

· · · a







(7.6.3)

powstaÃla, z macierzy A przez doÃlaa,czenie kolumny wyraz´ow wolnych nazywamy

macierza, uzupeÃlniona,.

Twierdzenie 7.6.1. (Kroneckera-Capelliego) UkÃlad r´owna´

n liniowych (7.6.1) ma

rozwia,zanie wtedy i tylko wtedy, gdy rzA = rzU, przy czym gdy rzA = rzU = n,

to ukÃlad ma dokÃladnie jedno rozwia,zanie, gdy rzA = rzU < n, to ukÃlad ma

niesko´

nczenie wiele rozwia,za´n zale˙znych od n − r parametr´ow.

Zauwa˙zmy, ˙ze je˙zeli ukÃlad (7.6.1) jest ukÃladem jednorodnym, to macierz

uzupeÃlniona U powstaje przez dopisanie do macierzy gÃl´ownej A kolumny zÃlo˙zonej z
samych zer. Zatem rze,dy tych macierzy sa, takie same, co oznacza, ˙ze ka˙zdy ukÃlad

jednorodny ma zawsze rozwia,zanie. Na mocy twierdzenia Kroneckera-Capelliego

ma on rozwia,zanie niezerowe tylko wtedy, gdy rza,d macierzy gÃl´ownej jest mniejszy

od liczby niewiadomych.

140

Do rozwia,zywania ukÃlad´ow r´owna´n liniowych mo˙zemy zastosowa´c metode, elimi-

nacji Gaussa. Ka˙zedmu ukÃladowi r´owna´

n odpowiada pewna macierz uzupeÃlniona

i na odwr´ot maja,c dana, macierz mo˙zemy ja, potraktowa´c jako macierz uzupeÃlniona,

pewnego ukÃladu r´owna´

n liniowych. Stosuja,c metode, eliminacji Gaussa do rozwia,-

zania ukÃladu r´owna´

n sprowadzamy jego macierz uzupeÃlniona, do macierzy naste,-

puja,cej postaci







. . .

| p

1,r+1

1,r+2

. . .

| z

. . .

| p

2,r+1

2,r+2

. . .

| z

. ..

. . .

| p

r,r+1

r,r+2

. . .

| z

−− −− −− −−

−−

−− −−

−−

. . .

| z

r+1







gdzie rzA = r. W´owczas,

1) je˙zeli z

r+1

6= 0, ukÃlad jest sprzeczny,

2) je˙zeli ostani wiersz nie pojawi sie, i n = r, to ukÃlad jest oznaczony i ma

rozwia,zanie postaci

= z

, . . . , x

= z

3) je˙zeli ostani wiersz nie pojawi sie, i n > r, to ukÃlad jest nieoznaczony, a jego

rozwia,zania zale˙za, od parametr´ow (x

r+1

, x

r+2

, . . . , x

) w naste,puja,cy spos´ob











 =











 −







1,r+1

1,r+2

. . . p

2,r+1

2,r+2

. . . p

. .. ...

r,r+1

r,r+2

. . . p













r+1

r+2







Zadanie 7.6.1. Rozwia,˙z podane ukÃlady r´owna´n











+6x

−x

= 0

−x

−4x

+5x

= 6

+17x

= 0

+13x

+5x

= 8







+2x

+3x

−x

= 0

+6x

+3x

= 5

+4x

+7x

−4x

= −6

Zadanie 7.6.2.

Przedyskutowa´c rozwia,zalno´s´c podanych ukÃlad´ow r´owna´n w

zale˙zno´sci od warto´sci parametru p.







+px

−x

= 1

−10x

−6x

= 3

−x

+px

= 0











+3x

−x

= 0

+(p + 1)x

= −1

+5x

= 1

+3x

= −1

141

7.7. Warto´sci wÃlasne wektory wÃlasne i wielomian charakterystyczny
macierzy kwadratowej.

Niech dana be,dzie macierz kwadratowa A = [a

]

n×n

, n ≥ 2 o elementach

rzeczywistych lub zespolonych. Zdefinujemy pewne charakterystyki tej macierzy.

Definicja 7.7.1. Niech V = [v

]

n×1

be,dzie macierza, kolumnowa, o n wierszach.

Ka˙zda, liczbe, λ speÃlniaja,ca, r´ownanie

A · V = λV

nazywamy warto´scia, wÃlasna, macierzy A, a macierz V nazywamy wektorem wÃla-

snym macierzy A odpowiadaja,cym warto´sci wÃlasnej λ.

Warunek z definicji 7.7.1 mo˙zemy zapisa´c w naste,puja,cej postaci

(A − λI) · V = 0,

(7.7.1)

gdzie I jest macierza, jednostkowa, tego samego stopnia co macierz A.

R´ownaniu macierzowemu (7.7.1) odpowiada naste,puja,cy ukÃlad r´owna´n











− λ)v

+ . . .

1,n

= 0

+(a

− λ)v

+ . . .

2,n

= 0

· · ·

n,1

n,2

+ . . . +(a

n,n

− λ)v

= 0

UkÃlad ten jest ukÃladem jednorodnym, zatem ma rozwia,zania niezerowe wtedy, gdy

wyznacznik macierzy gÃl´ownej jest r´owny zero, tj.

det(A − λI) = 0.

(7.7.2)

Macierz A − λI nazywa´c be,dziemy macierza, charakterystyczna, , za´s wyz-

nacznik tej macierzy rozpatrywany be,dzie jako funkcja zmiennej λ, kt´ora, nazwiemy

wielomianem charakterystycznym macierzy A. R´ownanie (7.7.2) nazywa´c be,dzie-

my r´ownaniem charakterystycznym. Rozwia,zania tego r´ownania sa, oczywi´scie

pierwiastkami wielomianu charakterystycznego. Jak Ãlatwo zauwa˙zy´c sa, to warto´sci

wÃlasne macierzy A.

Wielomian chakterystyczny ma ciekawa, wÃlasno´s´c, kt´ora, podamy w twierdze-

niu udowodnionym przez Cayleya i Hamiltona.

Twierdzenie 7.7.1. Ka˙zda macierz kwadratowa speÃlnia swoje r´ownanie charak-
terystyczne.

142

Innymi sÃlowy ka˙zda macierz kwadratowa jest pierwiastkiem swojego wielomi-

anu charakterystycznego.

GÃl´ownym zastosowaniem twierdzenia Cayleya-Hamiltona jest wyznaczanie

macierzy odwrotnej do danej macierzy nieosobliwej. Aby wyznaczy´c macierz
odwrotna, do macierzy nieosobliwej A nale˙zy wstawi´c ja, do jej r´ownania charak-

terystycznego, a naste,pnie pomno˙zy´c go stronami przez A

−1

PrzykÃlad 7.7.1. Rozwia,˙zmy r´ownanie 7.7.2 kÃlada,c

A =





−1 −2 1



 .

Otrzymamy w´owczas naste,puja,ce r´ownanie charakterystyczne

−λ

+ 3λ

− 3λ + 1 = 0.

Jedynym rozwia,zaniem tego r´ownania jest λ = 1. Zatem macierz A ma tylko jedna,

warto´s´c wÃlasna,. Aby wyznaczy´c wektor wÃlasny odpowiadaja,cy tej warto´sci nale˙zy

rozwia,za´c r´ownanie





2 0

0 0

−1 2 0



 ·





y
z



 =





0
0
0





lub r´ownowa˙znie ukÃlad r´owna´

= 0

−x +2y = 0

ÃLatwo zauwa˙zy´c, ˙ze ten jednorodny ukÃlad r´owna´

n ma niesko´

nczenie wiele rozwia,z´n

postaci x = 0, y = 0, z = p, gdzie p ∈ R. Zatem wektorem odpowiadaja,-

cym warto´sci wÃlasnej ka˙zdy wektor postaci





0
0
p



. W szczeg´olno´sci za wektor

odpowiadaja,cy warto´sci wÃlasnej λ = 1 mo˙zna przyja,´c wektor





0
0
1



.

Wyznaczmy teraz macierz odwrotna, do macierzy A. Zgodnie z twierdzeniem

Cayleya-Hamiltona macierz A speÃlnia swoje r´ownanie charakterystyczne −λ

3λ

− 3λ + 1 = 0. Mamy wobec tego

− 3A

+ 3A = 1.

143

Mno˙za,c powy˙zsze r´ownanie przez A

−1

i korzystaja,c z tego, ˙ze A

−1

· A = I otrzy-

mujemy

−1

= A

− 3A + 3I.

Wobec tego

−1





−2 −6 1



 +





−3 −6

−3



 +





3 0 0
0 3 0
0 0 3



 =





1 −2 0
0



 .

Zadanie 7.7.1. Znale´z´c warto´sci wÃlasne i wektory wÃlasne naste,puja,cych macierzy

A =





3 −2 −1
0 −1



 , B =







1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4





 , C =





1 −1

−1



 .

Zadanie 7.7.2. Korzystaja,c z twierdzenia Cayleya-Hamiltona znale´z´c macierze

odwrotne (o ile istnieja,) do macierzy z zadania poprzedniego.

7.8. Diagonalizacja macierzy.

W paragrafie tym zostanie podana pewna metoda pote,gowania macierzy kwa-

dratowej.

Niech A i B be,da, macierzami kwadratowymi tego samego stopnia n. Powiemy,

˙ze macierze A i B sa, macierzami podobnymi, je˙zeli istnieje nieosobliwa macierz P

stopnia n taka, ˙ze

B = P · A · P

−1

Macierze podobne charakteryzuja, sie, tym, ˙ze maja, te same warto´sci wÃlasne. Za-

chodzi naste,puja,ce twierdzenie

Twierdzenie 7.8.1. Je˙zeli macierz kwadratowa A stopnia n ma n liniowo nie-
zale˙znych wektor´ow wÃlasnych, to istnieja, macierze A

i T takie, ˙ze macierz T jest

nieosobliwa, macierz A

jest diagonalna oraz

A = T

−1

· A

· T.

(7.8.1)

R´ownanie (7.8.1) nazywa´c be,dziemy postacia, diagonalna, macierzy A. Mo˙zna

udowodni´c, ˙ze macierz A

jest macierza, diagonalna,, kt´orej elementami sa, warto´sci

144

wÃlasne macierzy A, natomiast kolumny macierzy T

−1

tworza, wektory wÃlasne

macierzy A.

Ponadto zauwa˙zmy, ˙ze dla m ∈ N

= [T

−1

· A

· T ]

= T

−1

· A

· T · T

−1

· A

· T . . . · T

−1

· A

· T.

Poniewa˙z T

−1

· T = I i A · I = A, wie,c mamy

= T

−1

· (A

)

· T,

gdzie kolumny macierzy T

−1

tworza, wektory wÃlasne macierzy A, a macierz A

jest

macierza, diagonalna,, kt´orej elementy na gÃl´ownej przeka,tnej sa, r´owne warto´sciom

wÃlasnym odpowiadaja,cym poszczeg´olnym wektorom wÃlasnym.

ÃLatwo wykaza´c, ˙ze m-ta, pote,ga, macierzy diagonalnej A

jest macierz diago-

nalna, kt´orej elememtami sa, m-te pote,gi macierzy element´ow A

PrzykÃlad 7.8.1. Niech dana be,dzie macierz

A =





−2 −2 −1



 .

Rozwia,zuja,c r´ownanie

det





1 − λ

2 − λ

−2

−1 − λ



 = 0

wyznaczymy warto´sci wÃlasne macierzy A, kt´orymi sa,

= 1,

= 2,

= −1.

Wyznaczymy teraz wektor wÃlasny odpowiadaja,cy warto´sci λ

. W tym celu roz-

wia,zujemy r´ownanie

(A − λ

I) · V = 0,

gdzie V jest macierza, kolumnowa,, o trzech wierszach. Rozwia,zanie tego r´ownania

otrzymamy poprzez rozwia,zanie jednorodnego ukÃladu r´owna´n postaci







= 0

−2x −2y −2z = 0

145

Rozwia,zanie powy˙zszego ukÃladu mo˙zemy zapisa´c w postaci





−x



. Zatem jako

wektor wÃlasny mo˙zemy przyja,´c wektor





1
0

−1



. Podobnie wyznaczamy pozostaÃle

wektory wÃlasne. I tak wektorem wÃlasnym odpowiadaja,cym warto´sci λ

jest wektor





2
1

−2



, a warto´sci λ

odpowiada wektor





0
0
1



. ÃLatwo wykaza´c, ˙ze wektory te sa

liniowo niezale˙zne. Wobec tego mo˙zna wyznaczy´c posta´c diagonalna, macierzy A.

Jako macierz T

−1

mo˙zemy przyja,´c macierz

−1





−1 −2 1



 .

Macierz A

tworza, warto´sci wÃlasne macierzy A. W pierwszym wierszu tej macierzy

umieszczamy warto´s´c wÃlasna,, kt´ora odpowiada wektorowi wÃlasnemu z pierwszej

kolumny macierzy T

−1

, w drugim wierszu umieszczamy warto´s´c wÃlasna, odpowia-

daja,ca, wektorowi wÃlasnemu z drugiej kolumny macierzy T

−1

i.t.d. Zatem





1 0

0 2

0 0 −1



 .

Teraz nale˙zy znale´z´c macierz odwrotna, do macierzy T

−1

. Macierz ta, wyznaczyli-

´smy w przykÃladzie 7.7.1. Wobec tego otrzymujemy naste,puja,ca, posta´c diagonalna

macierzy A

A =





−1 −2 1



 ·





1 0

0 2

0 0 −1



 ·





1 −2 0
0



 .

Uwaga. Kolejno´s´c wpisywania wektor´ow wÃlasnych do macierzy T

−1

jest dowolna

nale˙zy jedynie w tej samej kolejno´sci wpisywa´c odpowiednie warto´sci wÃlasne do
macierzy A

. Oczywi´scie posta´c diagonalna macierzy A nie jest jednoznaczna i

zale˙zy od kolejno´sci umieszczenia wektor´ow wÃlasnych w macierzy T

−1

146

Zadanie 7.8.1. Oblicz





−2 −2 −1









4 3 −3
2 3 −2
4 4 −3





Zadanie 7.8.2. Dla jakich warto´sci m macierz

2 −1
3 −2

jest macierza, jedno-

stkowa, stopnia 2.

147

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA.

W rozdziale 9 rozwa˙za´c be,dziemy przede wszystkim geometrie, przestrzeni, w

kt´orej zostaÃl wprowadzony ukÃlad wsp´oÃlrze,dnych karezja´nskich, tj. ukÃlad trzech

wzajemnie prostopadÃlych osi liczbowych. RozdziaÃl rozpoczniemy od om´owienia
pewnych wÃlasno´sci najcze,´sciej spotykanych krzywych stopnia drugiego.

9.1. Krzywe stopnia drugiego na pÃlaszczy´

znie.

W paragrafie 4.8 podane byÃly r´ownania parametryczne pewnych krzywych,

kt´ore traktowane byÃly jako wykresy funkcji danych parametrycznie. Mie,dzy in-

nymi podano r´ownania parametryczne okre,gu, elipsy i hiperboli. W tym para-

grafie podamy inne r´ownania opisuja,ce te krzywe, kt´ore wraz z parabola, sa, cze,sto

nazywane krzywymi stopnia drugiego lub krzywymi sto˙zkowymi.

Nasze rozwa˙zania prowadzi´c be,dziemy na pÃlaszczy´znie z prostoka,tnym ukÃla-

dem wsp´oÃlrze,dnych. Na pocza,tek przypomnijmy, ˙ze przeksztaÃlcenie pÃlaszczyzny,

kt´ore nie zmienia odlegÃlo´sci nazywamy przeksztaÃlceniem izometrycznym. Jako
przykÃlad przeksztaÃlcenia izometrycznego mo˙zemy wymieni´c symetrie, punktowa,,

symetrie, osiowa,, translacje, (przesunie,cie) oraz obr´ot.

Om´owimy teraz podstawowe wÃlasno´sci pewnych krzywych stopnia drugiego.

Definicja 9.1.1. Elipsa, nazywamy krzywa, be,da,ca, zbiorem punkt´ow pÃlaszczyny,

kt´orych wsp´oÃlrze,dne speÃlniaja, r´ownanie

= 1

(9.1.1)

oraz ka˙zda, krzywa,, kt´ora z niej powstanie poprzez przeksztaÃlcenie izometryczne

pÃlaszczyzny.

148

Licze, 2a nazywamy osia, wielka, elipsy, a liczbe, 2b-osia, maÃla. Punkty (a, 0), (−a, 0),

(0, b), (0, −b) nazywamy wierzchoÃlkami elipsy. Oznaczmy c =

| a

− b

|. Punkty

(c, 0), (−c, 0) nazywamy ogniskami elipsy, za´s proste o r´ownaniach x =

x = −

nazywamy kierownicami elipsy.

Elipsa dana r´ownaniem (9.1.1) ma naste,puja,ce wÃlasno´sci:

. Suma odlegÃlo´sci dowolnego punktu elipsy od jej ognisk jest r´owna dÃlugo´sci osi

wielkiej.

. Stosunek odlegÃlo´sci dowolnego punktu elipsy od ogniska do jego odlegÃlo´sci od

kierownicy jest mniejszy od 1.

. ´

Srodkiem symetrii elipsy jest punkt (0, 0).

. Proste x = 0 i y = 0 sa, osiami symetrii elipsy.

Elpise, mo˙zemy otrzyma´c poprzez przekr´oj powierzchni sto˙zka pÃlaszczyzna,, kt´ora

przecina jego tworza,ca, pod ka,tem ostrym.

Definicja 9.1.2. Hiperbola, nazywamy krzywa, be,da,ca, zbiorem punkt´ow pÃlaszczy-

ny, kt´orych wsp´oÃlrze,dne speÃlniaja, r´ownanie

−

= 1

(9.1.2)

oraz ka˙zda, krzywa,, kt´ora z niej powstanie poprzez przeksztaÃlcenie izometryczne

pÃlaszczyzny.

149

Licze, 2a nazywamy osia, rzeczywista, hiperboli , a liczbe, 2b-osia, urojona,. Punkty

(a, 0) i (−a, 0) nazywamy wierzchoÃlkami hiperboli. Niech c =

√

+ b

. Punkty

(c, 0), (−c, 0) nazywamy ogniskami hiperboli, za´s proste x =

i x = −

-jej

kierownicami.

Hiperbola dana r´ownaniem (9.1.2) ma naste,puja,ce wÃlasno´sci:

. Warto´s´c bezwzgle,dna r´o˙znicy odlegÃlo´sci dowolnego punktu hiperboli od jej

ognisk jest r´owna dÃlugo´sci osi rzeczywistej.

. Stosunek odlegÃlo´sci dowolnego punktu hiperboli od ogniska do jego odlegÃlo´sci

od kierownicy jest wie,kszy od 1.

. ´

Srodkiem symetrii hiperboli jest punkt (0, 0).

. Proste x = 0 i y = 0 sa, osiami symetrii hiperboli.

. Proste y =

x i y = −

x sa, asymtotami hiperboli.

Hiperbole, mo˙zemy otrzyma´c poprzez przekr´oj powierzchni sto˙zka pÃlaszczyzna,,

kt´ora przecina jego tworza,ca, pod ka,tem rozwartym.

Definicja 9.1.3. Parabola, nazywamy krzywa, be,da,ca, zbiorem punkt´ow pÃlaszczy-

ny, kt´orych wsp´oÃlrze,dne speÃlniaja, r´ownanie

= 2px, p > 0

(9.1.3)

oraz ka˙zda, krzywa,, kt´ora z niej powstanie poprzez przeksztaÃlcenie izometryczne

pÃlaszczyzny.

150

Punkt (0, 0) nazywamy wierzchoÃlkiem paraboli. Ogniskiem paraboli nazywamy
punkt (

p
2

, 0), a prosta, o r´ownaniu x = −

p
2

-kierownica, paraboli .

Parabola dana r´ownaniem (9.1.3) ma naste,puja,ce wÃlasno´sci:

. Dowolny punkt paraboli jest jednakowo odlegÃly od jej ogniska i kierownicy.

. Parabola nie ma ´srodka symetrii.

. Osia, symetrii paraboli jest prosta y = 0.

Parabole, mo˙zemy otrzyma´c poprzez przekr´oj powierzchni sto˙zka pÃlaszczyzna, r´ow-

nolegÃla, do jego tworza,cej.

9.2. Iloczyn skalarny, wektorowy i mieszany.

Niech V be,dzie zbiorem wektor´ow przestrzeni, tzn. odcink´ow, kt´orym nadano

kierunek i zwrot, a K zbiorem liczb rzeczywistych. Suma, wektor´ow

→

a i

→

b nazy-

wamy wektor, kt´ory jest przeka,tna, r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wektorach

→

b . Iloczynem wektora

→

v przez liczbe, rzeczywista, α ∈ K w nazywamy wektor

α ·

→

v , kt´ory ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor

→

v , a jego dÃlugo´s´c jest α-razy

wie,ksza od dÃlugo´sci wektora

→

v , je˙zeli α ≥ 1; je˙zeli 0 < α < 1, to wektor α ·

→

v ma

taki sam kierunek i zwrot jak wektor

→

v , a jego dÃlugo´s´c jest α-razy mniejsza od

dÃlugo´sci wektora

→

v ; je˙zeli α < 0, to wektor α ·

→

v ma przeciwny zwrot do wektora

→

v , a jego dÃlugo´s´c jest α-razy wie,ksza, gdy | α |≥ 1 i α-razy mniejsza, gdy | α |< 1;

je˙zeli α = 0, to α ·

→

v =

→

0 , gdzie

→

0 jest wektorem zerowym.

Na elementach zbioru V zdefiniujemy jeszcze inne dziaÃlania. R´o˙znica, wek-

tor´ow

→

a i

→

b nazywamy wektor be,da,cy suma, wektora

→

a i wektora −

→

b , gdzie

wektor −

→

b jest wektorem powstaÃlym poprzez pomno˙zenie wektora

→

b przez liczbe,

−1.

Wa˙znymi ze wzgle,du na zastosowania, dziaÃlaniami na wektorach sa, iloczyn

skalarny, wektorowy i mieszany.

Definicja 9.2.1. Iloczynem skalarnym wektor´ow

→

v i

→

w nazywamy licze, dana,

wzorem

→

v ◦

→

w =|

→

v ||

→

w | cos(

→

v ,

→

w),

gdzie |

→

v | oznacza dÃlugo´s´c wektora

→

v , a (

→

v ,

→

w) miare, ka,ta mie,dzy wektorami

→

Iloczyn skalarny ma naste,puja,ce wÃlasno´sci

151

→

v ◦

→

w =

→

w ◦

→

v ,

2. (

→

v ◦

→

w) ◦

→

u =

→

v ◦ (

→

w ◦

→

u ),

→

v ◦ (

→

w +

→

u ) =

→

v ◦

→

w +

→

v ◦

→

u ,

4. (α ·

→

v ) ◦

→

w = α · (

→

v ◦

→

w),

→

v ◦

→

v =|

→

v |

Wektor, kt´orgo dÃlugo´s´c jest r´o˙zna od zera nazywa´c be,dziemy wektorem nieze-

rowym. Wektor zerowy oznacza´c be,dziemy przez

→

0 , wektor ten ma dÃlugo´s´c r´owna,

zero i zakÃladamy, ˙ze nie ma on ani kierunku, ani zwrotu.

Powiemy, ˙ze wektory sa, prostopadÃle, gdy miara ka,ta mie,dzy nimi jest r´owna

. Je˙zeli miara ka,ta mie,dzy wektorami jest r´owna 0 lub π, to wektory nazywa´c

be,dziemy r´ownolegÃlymi.

Twierdzenie 9.2.1. Niezerowe wektory

→

v i

→

w sa, prostopadÃle wtedy i tylko wtedy,

gdy

→

v ◦

→

w = 0.

Dow´

od. ZaÃl´o˙zmy najpierw, ˙ze wektory

→

v i

→

w sa, prostopadÃle. Wtedy cos(

→

v ,

→

w) =

0. Z definicji 9.2.1 wynika wie,c, ˙ze

→

v ◦

→

w = 0. Je˙zeli zaÃlo˙zymy, ˙ze

→

v ◦

→

w = 0 oraz

˙ze wektory

→

v i

→

w sa, niezerowe, to wtedy z definicji 9.2.1 wynika, ˙ze cos(

→

v ,

→

w) = 0.

Zatem (

→

v ,

→

w) =

, co oznacza, ˙ze wektory

→

v i

→

w sa, prostopadÃle.

Z definicji iloczynu skalarnego oraz z powy˙zszego twierdzenia wynikaja, naste,-

puja,ce wa˙zne zastosowania iloczynu skalarnego

Iloczyn skalarny mo˙zemy wykorzysta´c do
1. obliczenia dÃlugo´sci wektora korzystaja,c ze wzoru

→

v |=

→

v ◦

→

v ,

2. wyznaczenia cosinusa ka,ta mie,dzy wektorami ze wzoru

cos(

→

v ,

→

w) =

→

v ◦

→

v ||

→

w |

3. sprawdzenia, czy wektory sa, prostopadÃle w oparciu o warunek

→

v ◦

→

w = 0.

Definicja 9.2.2. Iloczynem wektorowym wektor´ow

→

v i

→

w nazywamy wektor

→

u =

→

v ×

→

w speÃlniaja,cy warunki

152

1. kierunek wektora

→

u jest taki, ˙ze wektor ten jest prostopadÃly do wektora

→

v oraz

do wektora

→

2. zwrot wektora

→

u wyznaczony jest przez reguÃle, ´sruby prawoskre,tnej,

3. dÃlugo´s´c wektora

→

u dana jest wzorem

→

u |=|

→

v ||

→

w | sin(

→

v ,

→

w).

Iloczyn wektorowy ma naste,puja,ce wÃlasno´sci
1.

→

v ×

→

w = −

→

w ×

→

v ,

→

v × (

→

w +

→

u ) =

→

v ×

→

w +

→

v ×

→

u ,

3. α · (

→

v ×

→

w) = (α ·

→

v ) ×

→

Twierdzenie 9.2.2. Niezerowe wektory

→

v i

→

w sa, r´ownolegÃle wtedy i tylko wtedy,

gdy

→

v ×

→

w =

→

0 .

Dow´

od. Je˙zeli zaÃlo˙zymy, ˙ze wektory

→

v i

→

w sa, r´ownolegÃle, to z definicji 9.2.2

mamy

→

v ×

→

w |=|

→

v ||

→

w | sin 0 = 0.

Je˙zeli natomiast zaÃlo˙zymy, ˙ze

→

v ×

→

w =

→

0 , to z definicji 9.2.2 mamy sin(

→

v ,

→

w) = 0.

Zatem (

→

v ,

→

w) = 0 lub (

→

v ,

→

w) = π, co ko´

nczy dow´od.

Zauwa˙zmy, ˙ze dÃlugo´s´c iloczynu wektorowego

→

v ×

→

w dana jest wzorem znanym

jako pole r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wektorach

→

v i

→

Z powy˙zszych rozwa˙za´

n mo˙zemy wywnioskowa´c naste,puja,ce zastosowania

iloczynu wektorowego.

Iloczyn wektorowy mo˙zemy wykorzysta´c do
1. obliczenia pola r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wektorach

→

v i

→

w wzorem

P =|

→

v ×

→

w |,

2. obliczenia pola tr´ojka,ta rozpie,tego na wektorach

→

v i

→

w wzorem

P =

1
2

→

v ×

→

w |,

3. sprawdzenia czy wektory sa, r´ownolegÃle w oparciu o warunek

→

v ×

→

w =

→

0 .

153

Definicja 9.2.3. Iloczynem mieszanym wektor´ow

→

v ,

→

w i

→

u nazywamy liczbe,

r´owna, iloczynowi skalarnemu wektora

→

v i wektora be,da,cego iloczynem wektoro-

wym wektora

→

w przez wektor u, tzn.

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ).

Z powy˙zszej definicji wynika, ˙ze zamiana miejscami dw´och wektor´ow w ilo-

czynie mieszanym zmienia jego znak na przeciwny.

Zauwa˙zmy, ˙ze

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) =|

→

v ||

→

w ×

→

u | cos(

→

v ,

→

w ×

→

u ),

gdzie |

→

w ×

→

u | r´owna sie, polu r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wektorach

→

w i

→

u ,

a |

→

v | cos(

→

v ,

→

w ×

→

u ) r´owna sie, dÃlugo´sci wektora r´ownolegÃlego do wektora

→

w ×

→

u .

Sta,d oraz z poni˙zszego rysunku wynika, ˙ze iloczyn mieszany mo˙zna geometrycznie
zinterpretowa´c jako obje,to´s´c r´ownolegÃlo´scianu rozpie,tego na wektorach

→

v ,

→

w i

→

u .

Twierdzenie 9.2.4. Niezerowe wektory

→

v ,

→

w i

→

u le˙za, na jednej pÃlaszczy´znie

wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest r´owny zero.

Dow´

od. Je˙zeli wektory

→

v ,

→

w i

→

u le˙za, na tej samej pÃlaszczy´znie, to albo

→

w ×

→

u = 0

albo wektor

→

w ×

→

u jest prostopadÃly do wektora

→

v . Zatem

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) = 0.

154

Je˙zeli

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) = 0, to znaczy, ˙ze wektory

→

v i

→

w ×

→

u sa, prostopadÃle lub

→

w ×

→

u =

→

0 . Wobec tego istnieje pÃlaszczyzna, na kt´orej le˙za, te wektory.

Z powy˙zszych rozwa˙za´

n wynika, ˙ze iloczyn mieszany mo˙zemy wykorzysta´c do

1. obliczenia obje,to´sci r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wektorach

→

v ,

→

w i

→

u korzy-

staja,c ze wzoru

V =|

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) |,

gdzie | · | w powy˙zszym wzorze oznacza warto´s´c bezwzgle,dna,.

2. obliczenia obje,to´sci czworo´scianu rozpie,tego na wektorach

→

v ,

→

w i

→

u ze wzoru

V =

1
6

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) |,

3. sprawdzenia, czy wektory le˙za, na jednej pÃlaszczy´znie w oparciu o warunek

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) = 0.

Je˙zeli w dowolnym punkcie przestrzeni wprowadzimy ukÃlad wsp´oÃlrze,dnych prosto-

ka,tnych, tj. tr´ojke, osi liczbowych wzajemnie prostopadÃlych, to ka˙zdemu punk-

towi przestrzeni mo˙zemy przyporza,dkowa´c dokÃladnie jedna, uporza,dkowana, tr´ojke,

liczbowa, zwana, wsp´oÃlrze,dnymi punktu, i na odwr´ot, ka˙zdej uporza,dkowanej tr´ojce

liczb rzeczywistych odpowiada dokÃladnie jeden punkt przestrzeni. Ponadto ka˙zde-
mu wektorowi

→

AB mo˙zemy przyporza,dkowa´c tr´ojke, liczb rzeczywistych zwanych

wsp´oÃlrze,dnymi wektora, w naste,puja,cy spos´ob: je˙zeli A(a

, a

) i B(b

, b

→

AB = [b

− a

, b

− a

, b

− a

]. W ten spos´ob elementy zbioru V mo˙zemy

traktowa´c jako uporza,dkowane tr´ojki liczb rzeczywistych. Niech

→

v = [v

, v

] i

niech

→

w = [w

, w

]. Wtedy dodawanie wektor´ow zdefiniowane be,dzie wzorem

→

v +

→

w = [v

+ w

, v

+ w

, v

+ w

natomiast mno˙zenie wektora przez liczbe, definiuje wz´or

α ·

→

v = [αv

, αv

Wektory

→

i = [1, 0, 0],

→

j = [0, 1, 0],

→

k = [0, 0, 1],

nazywa sie, wersorami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych. Wektor

→

i jest wersorem osi OX,

wektor

→

j -osi OY , a

→

k jest wersorem osi OZ.

155

DziaÃlania okre´slone w definicjach 9.2.1, 9.2.2 i 9.2.4 wyra˙zaja, sie, naste,puja,-

cymi wzorami
iloczyn skalarny:

→

v ◦

→

w = v

+ v

iloczyn wektorowy:

→

v ×

→

w = [v

− v

, v

− v

, v

− v

co mo˙zna zapisa´c w naste,puja,cy spos´ob

→

v ×

→

w =

→

iloczyn mieszany:

→

v ◦ (

→

w ×

→

u ) =

Zadanie 9.2.1. Obliczy´c dÃlugo´s´c wektora

→

v = 4

→

a + 2

→

b , je˙zeli wiadomo, ˙ze

→

a |= 2, |

→

b |= 3 i (

→

a ,

→

b ) =

Zadanie 9.2.2. Obliczy´c ka,t mie,dzy wektorami

→

v i

→

w, je˙zeli wiadomo, ˙ze

→

v =

→

a +

→

b ,

→

w =

→

b − 2

→

a oraz |

→

a |= 1, |

→

b |= 2 i (

→

a ,

→

b ) =

Zadanie 9.2.2. Obliczy´c ka,t mie,dzy wektorami

→

v = 3

→

a + 2

→

b i

→

w =

→

a + 5

→

b ,

je˙zeli wektory

→

a i

→

b sa, wzajemnie prostopadÃlymi wektorami jednostkowymi.

Zadanie 9.2.3.

Wykaza´c, ˙ze je˙zeli dwa niezerowe wektory

→

v i

→

w speÃlniaja,

warunek |

→

v +

→

w |=|

→

v −

→

w |, to sa, one prostopadÃle.

Zadanie 9.2.4. Wyznaczy´c miare, ka,ta jaki tworza, niezerowe wektory

→

v i

→

je˙zeli wektor

→

v jest dwa razy dÃlu˙zszy ni˙z wektor

→

w oraz |

→

v −

→

w |=

√

3 |

→

w |.

Zadanie 9.2.5. Okre´sli´c wzajemne poÃlo˙zenie wektor´ow

→

u =

→

a + 2

→

b ,

→

v = 2

→

a −

→

w = 2

→

b − 4

→

a , je˙zeli wektory

→

a i

→

b sa, wzajemnie prostopadÃle i jednostkowe.

Zadanie 9.2.6. Dane sa, wektory

→

a = [2, 3, 4],

→

b = [1, 0, 1] i

→

c = [1, 2, −1].

Znale´z´c dÃlugo´s´c wektora

→

v = 2(

→

a ◦

→

b ) ·

→

c +

(

→

b ◦

→

b ) ·

→

a + (

→

a ◦

→

c ) ·

→

b .

156

Zadanie 9.2.7. Dane sa, wektory

→

a = [3, −1, −2],

→

b = [1, 2, −1]. Znale´z´c dÃlugo´s´c

wektora

→

w = (2

→

a +

→

b ) ×

→

b .

Zadanie 9.2.8. Obliczy´c tangens ka,ta zawartego mie,dzy wektorami

→

a = [0, 1, 2]

→

b = [2, −1, 0].

Zadanie 9.2.9. Obliczy´c pole r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wektorach

→

a =

[1, 1, 1] i

→

b = [0, 2, 3].

Zadanie 9.2.10. Obliczy´c obje,to´s´c czworo´scianu rozpie,tego na wektorach

→

a =

[0, 1, 1],

→

b = [2, 0, −2] i

→

c = [1, −1, 3].

9.3. R´

ownania pÃlaszczyzny i prostej w przestrzeni.

PÃlaszczyzne, w przestrzeni euklidesowej mo˙zemy wyznaczy´c w jeden z naste,-

puja,cych sposob´ow.

I. Niech dany be,dzie punkt P

, y

, z

) le˙za,cy na pÃlaszczy´znie π oraz niezerowy

wektor

→

n = [A, B, C] prostopadÃly do tej pÃlaszczyzny. Wtedy dowolny punkt

P (x, y, z) pÃlaszczyzny π speÃlnia r´ownanie

→

n ◦

→

P = 0.

Sta,d otrzymujemy r´ownanie pÃlaszczyzny przechodza,cej przez dany punkt i prosto-

padÃlej do danego wektora

A(x − x

) + B(y − y

) + C(z − z

) = 0.

(9.3.1)

Opuszczaja,c nawiasy i kÃlada,c D = −Ax

−By

−Cz

otrzymamy r´ownanie og´olne

pÃlaszczyzny postaci

Ax + By + Cz + D = 0.

Je˙zeli D 6= 0, to dziela,c stronami przez −D powy˙zsze r´ownanie mo˙zemy pÃlaszczyzne,

przedstawi´c w tzw. postaci odcinkowej

x
a

= 1,

gdzie a = −

, b = −

, c = −

. PÃlaszczyzna ta odcina na osi OX odcinek

dÃlugo´sci | a |, na osi OY odcinek dÃlugo´sci | b |, a na osi OZ-| c | (mierza,c od

pocza,tku ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych).

157

Wektor

→

n prostopadÃly do pÃlaszczyzny nazywamy wektorem normalnym pÃla-

szczyzny.

II. Niech opr´ocz punktu P

dane be,da, dwa nier´ownolegÃle wektory

→

v = [v

, v

] i

→

w = [w

, w

] do kt´orych pÃlaszczyzna π jest r´ownolegÃla. Wtedy dowolny punkt

P pÃlaszczyzny tworzy z punktem P

wektor be,da,cy kombinacja, liniowa, wektor´ow

→

v i

→

w, tj.

→

P = t

→

v + s

→

w, t, s ∈ R.

Mamy zatem







x − x

= tv

+ sw

y − y

= tv

+ sw

z − z

= tv

+ sw

Sta,d otrzymujemy naste,puja,ce r´ownania parametryczne pÃlaszczyzny







x = x

+ tv

+ sw

y = y

+ tv

+ sw

z = z

+ tv

+ sw

t, s ∈ R.

W tym przypadku wektor normalny pÃlaszczyzny jest iloczynem wektorowym wek-
tor´ow

→

v i

→

III. Niech teraz dane be,da, trzy punkty P

, y

, z

), P

, y

, z

), P

, y

, z

Trzy punkty w przestrzeni wyznaczaja, dokÃladnie jedna, pÃlaszczyzne,, zatem dowo-

lny punkt P tej pÃlaszczyzny z punktem P

utworzy wektor, kt´ory jest kombinacja,

liniowa, wektor´ow

→

. Wektory

→

P ,

→

le˙za, wie,c na jednej

pÃlaszczy´znie, a zatem speÃlniona jest r´owno´s´c

x − x

− x

y − y

− y

z − z

− z

= 0.

Powy˙zsze r´ownanie nazywa sie, r´ownaniem pÃlaszczyzny przechodza,cej przez trzy

punkty.

Niech dane be,da, dwie pÃlaszczyzny, jedna z wektorem normalnym

→

w, a druga z

wektorem normalnym

→

v . PÃlaszczyzny te moga, by´c

1. r´ownolegÃle, je´sli ich wektory normalne sa, r´ownolegÃle, tj. gdy

→

v ×

→

w =

→

0 ,

2. prostopadÃle, je´sli ich wektory normalne sa, prostopadÃle, tj. gdy

→

v ◦

→

w = 0,

3. przecina´c sie, pod dowolnym ka,tem, wtedy

→

v ×

→

w 6=

→

0 ∧

→

v ◦

→

w 6= 0.

158

Podane teraz be,da, sposoby wyznaczania prostej w przestrzeni euklidesowej.

I. Niech prosta l przechodzi przez punkt P

, y

, z

) i niech be,dzie r´ownolegÃla

do niezerowego wektora

→

v = [v

, v

]. W´owczas ka˙zdy punkt P (x, y, z) le˙za,cy

na tej prostej speÃlnia warunek

→

P = t

→

v , t ∈ R.

Sta,d mamy







x − x

= tv

y − y

= tv

z − z

= tv

A zatem otrzymujemy naste,puja,ce r´ownania parametryczne prostej







x = x

+ tv

y = y

+ tv

z = z

+ tv

t, s ∈ R.

Zauwa˙zmy, ˙ze wyznaczaja,c z ka˙zdego z tych r´owna´n parametr t mo˙zemy napisa´c

naste,puja,cy cia,g r´owno´sci

x − x

y − y

z − z

kt´ore sa, nazywane r´ownaniami kierunkowymi prostej.

Wektor

→

v r´ownolegÃly do prostej nazywa´c be,dziemy wektorem kierunkowym

prostej.

II. Prosta, mo˙zemy r´ownie˙z zada´c jako cze,´s´c wsp´olna, dw´och nier´ownolegÃlych

pÃlaszczyzn, tj.

x + B

y + C

z + D

= 0

x + B

y + C

z + D

= 0

M´owimy wtedy, ˙ze prosta dana jest r´ownaniami krawe,dziowymi.

Oczywi´scie powy˙zsze r´ownania opisuja, prosta, tylko wtedy, gdy macierz gÃl´ow-

na i uzupeÃlniona tego ukÃladu sa, tego samego rze,du.

W tym przypadku wektor kierunkowy prostej jest iloczynem wektorowym

wektor´ow normalnych powy˙zszych pÃlaszczyzn, tj.

→

v = [A

, B

, C

] × [A

, B

, C

Niech dane be,da, dwie proste w przestrzeni

l :

x − x

y − y

z − z

k :

x − x

y − y

z − z

159

Jak Ãlatwo zauwa˙zy´c wektorem kierunkowym prostej l jest wektor

→

a = [a

, a

a wektorem kierunkowym prostej k jest wektor

→

b = [b

, b

]. Niech

W =

− x

− y

− z

Okre´slimy teraz wzajemne poÃlo˙zenie prostych.
1.

proste sa, sko´sne, tzn. nie maja, punkt´ow wsp´olnych i nie le˙za, w jednej

pÃlaszczy´znie, je˙zeli

W 6= 0.

proste sa, r´ownolegÃle, tzn. nie maja, punkt´ow wsp´olnych i le˙za, w jednej

pÃlaszczy´znie, je˙zeli

W = 0 i

→

a ×

→

b = 0.

3. proste sa, prostopadÃle, je´sli

W = 0 i

→

a ◦

→

b = 0

4. proste przecinaja, sie,, je´sli

W = 0 i

→

a ×

→

b 6= 0.

Powr´o´cmy jeszcze do sposob´ow wyznaczania pÃlaszczyzny. Z wcze´sniejszych roz-
wa˙za´

n wynika, ˙ze aby okre´sli´c r´ownanie pÃlaszczyzny nale˙zy przede wszystkim

zna´c wsp´oÃlrze,dne jej wektora normalnego oraz dowolnego punktu le˙za,cego na tej

pÃlaszczy´znie.

Podamy teraz jeszcze dwa sposoby wyznaczania pÃlaszczyzny.

IV. Je˙zeli pÃlaszczyzna jest r´ownolegÃla do dw´och prostych wzajemnie r´ownolegÃlych,
to jej wektor normalny jest iloczynem wektorowym wektora kierunkowego prostych
oraz wektora, kt´orego pocza,tek le˙zy na jednej prostej, a koniec na drugiej. Maja,c

wektor normalny i wybieraja,c dowolny punkt z jednej prostej mo˙zemy napisa´c

r´ownanie og´olne pÃlaszczyzny.

V. Je˙zeli pÃlaszczyzna jest r´ownolegÃla do dw´och przecinaja,cych sie, prostych to

jej wektor normalny jest iloczynem wektorowym wektor´ow kierunkowych tych
prostych. Maja,c wektor normalny i wybieraja,c dowolny punkt z jednej prostej

mo˙zemy napisa´c r´ownanie og´olne pÃlaszczyzny.

W dalszej cze,´sci tego paragrafu om´owione be,da, sposoby obliczania odlegÃlo´sci

mie,dzy punktami, prostymi i pÃlaszczyznami w przestrzeni euklidesowej.

160

odleg losc mie

dzy dwoma punktami

OdlegÃlo´s´c punktu A(a

, a

) od punktu B(b

, b

) wyznacza sie, jako dÃlu-

go´s´c wektora wektora

→

AB. Mamy zatem

AB =

− a

)

+ (b

− a

)

+ (b

− a

)

odleg losc punktu od prostej

Niech dana be,dzie prosta l :

x − x

y − y

z − z

. OdlegÃlo´s´c punktu A

od prostej l mo˙zemy obliczy´c jako wysoko´s´c r´ownolegÃloboku rozpie,tego na wek-
torach

→

v = [v

, v

] i

→

M A, gdzie M (x

, y

, z

). W tym celu wykorzystamy dwa

r´ownowa˙zne wzory na pole P tego r´ownolegÃloboku.

161

Mamy zatem

P =|

→

v ×

→

M A |

P =|

→

v | ·h,

gdzie h jest szukana, wysoko´scia,. Sta,d otrzymujemy naste,puja,cy wz´or na odlegÃlo´s´c

punktu A od prostej l

d(A, l) =

→

v ×

→

M A |

→

v |

odleg losc punktu od p laszczyzny

Rozwa˙zmy pÃlaszczyzne, π dana, r´ownaniem Ax + By + Cz + D = 0. OdlegÃlo´s´c

punktu P (x

, y

, z

) od tej pÃlaszczyzny jest r´owna dÃlugo´sci rzutu wektora

→

M P ,

gdzie M (x

, y

, z

) jest dowolnym punktem pÃlaszczyzny, na kierunek wektora

→

n =

[A, B, C], kt´ory jest wektorem normalnym pÃlaszczyzny π.

162

Mamy wie,c

cos α =

→

M P |

Sta,d oraz ze wzoru na cosinus ka,ta mie,dzy wektorami otrzymujemy

d =|

→

M P |

→

P M ◦

→

M P | · |

→

v |

A(x

− x

) + B(y

− y

) + C(z

− z

)

√

+ B

+ C

Poniewa˙z punkt M le˙zy na pÃlaszczy´znie π, to jego wsp´oÃlrze,dne speÃlniaja, r´ownanie

tej pÃlaszczyzny, zatem mamy

−Ax

− By

− Cx

= D.

Sta,d otrzymujemy naste,puja,cy wz´or na odlegÃlo´s´c punktu P od pÃlaszczyzny π

d(P, π) =

| Ax

+ By

+ Cz

+ D |

√

+ B

+ C

Warto´s´c bezwzgle,dna w liczniku znalazÃla sie, z tego powodu, ˙ze odlegÃlo´s´c nie mo˙ze

by´c liczba, ujemna,.

odleg losc mie

dzy prostymi rownoleg lymi

Niech dane be,da, dwie proste r´ownolegÃle k i l o wektorze kierunkowym

→

v .

Prosta k niech przechodzi przez punkt A, a prosta l-przez punkt B. OdlegÃlo´s´c
mie,dzy tymi prostymi mo˙zemy obliczy´c jako odlegÃlo´s´c punktu A od prostej l

korzystaja,c ze wzoru podanego w punkcie (B). Mamy wie,c

d(l, k) =

→

v ×

→

AB |

→

v |

163

odleg losc mie

dzy prostymi skosnymi

Rozwa˙zmy dwie proste sko´sne

l :

x − x

y − y

z − z

k :

x − x

y − y

z − z

Jak Ãlatwo zauwa˙zy´c odlegÃlo´s´c mie,dzy tymi prostymi r´owna jest wysoko´sci

r´ownolegÃlo´scianu rozpie,tego na wektorach

→

a ,

→

b i

→

KL, gdzie

→

KL = [x

− x

, y

−

, z

− z

]. Korzystaja,c z dw´och r´ownowa˙znych wzor´ow na obje,to´s´c V tego

r´ownolegÃlo´scianu otrzymujemy

V =|

→

KL ◦ (

→

a ×

→

b ) |

V =|

→

a ×

→

b | ·h,

gdzie h jest szukana, wysoko´scia, r´ownolegÃlo´scianu. Sta,d otrzymujemy naste,puja,cy

wz´or na odlegÃlo´s´c mie,dzy prostymi sko´snymi

d(l, k) =

→

KL ◦ (

→

a ×

→

b ) |

→

a ×

→

b |

164

odleg losc mie

dzy p laszczyznami rownoleg lymi

Niech dane be,da, dwie pÃlaszczyzny α i β o wektorze normalnym

→

n. Niech

pÃlaszczyzna α przechodzi przez punkt A, a pÃlaszczyzna β-przez B. OdlegÃlo´s´c
mie,dzy tymi pÃlaszczyznami obliczymy jako odlegÃlo´s´c punktu A od pÃlaszczyzny β.

Korzystaja,c ze wzoru danego w punkcie (C) otrzymujemy

d(α, β) =

| Ax

+ By

+ Cz

+ d |

√

+ B

+ C

gdzie (x

, y

, z

) sa, wsp´oÃlrze,dnymi punktu A.

Zadanie 9.3.1. Dany jest czworo´scian o wierzchoÃlkach A(1, 0, −2), B(2, 1, −1),
C(2, −2, 0) oraz D. Wyznaczy´c dÃlugo´s´c wysoko´sci poprowadzonej z wierzchoÃlka

A wiedza,c, ˙ze punkt D le˙zy na prostej l :

x + 2

y + 4

z − 2

−3

, za´s obje,to´s´c

czworo´scianu wynosi

1
6

Zadanie 9.3.2. Napisa´c r´ownanie prostej przechodza,cej przez punkt A(1, 2, 0),
przecinaja,cej prosta, k :

x − 2

y + 1

−1

z + 3

oraz r´ownolegÃlej do pÃlaszczyzny

π : 2x − 3y − z + 5 = 0.

Zadanie 9.3.3. Znale´z´c r´ownanie pÃlaszczyzny π przechodza,cej przez prosta, l i

pocza,tek ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych, je˙zeli prosta l przechodzi przez punkt P(1, −1, 0)
i przecina prostopadle prosta, k :

x − z − 3 = 0

y + 2z + 3 = 0

165

Zadanie 9.3.4. Wyznaczy´c rzut prostej

2x − y + z − 1 = 0

x + y − z + 1 = 0

na pÃlaszczyzne,

π : x + 2y − z = 0.

Zadanie 9.3.5. Przez punkt A(0, 1, 1) poprowadzi´c prosta, przecinaja,ca, prosta,
l :

x − 1 = 0

z + 1 = 0

i prostopadÃla, do prostej l :

y + 1 = 0

x + 2y − 7z = 0.

Zadanie 9.3.6. Napisa´c r´ownanie pÃlaszczyzny przechodza,cej przez punkt B i

prosta, l, je˙zeli punkt B jest punktem przebicia pÃlaszczyzny α : x+2y +2z +3 = 0
prosta, k :

x + 2

−1

y + 1

−1

, za´s prosta l jest cze,´scia, wsp´olna, pÃlaszczyzn

β : 2x − 2y − z = 0

i γ : −x + 2y + 3z − 1 = 0.

Zadanie 9.3.7. Znale´z´c r´ownanie pÃlaszczyzny przecinaja,cej prostopadle proste

l :







x = 1 + t

y = −1 − 2t

z = 3 − t

t ∈ R

k :







x = 2 + 4t

y = −t

z = −1 + 2t

t ∈ R

9.4. Powierzchnie stopnia drugiego.

W przestrzeni euklidesowej r´ownanie pierwszego stopnia (ze wzgle,du na zmi-

enne x, y i z) opisuje pÃlaszczyzne,. R´ownania, w kt´orych wsp´oÃlrze,dne dowol-

nego punktu przestrzeni P (x, y, z) wyste,puja, w drugiej pote,dze opisuja, pewne

powierzchnie zwane powierzchniami stopnia drugiego. Podamy tak zwane r´owna-
nia kanoniczne najcze,´sciej spotykanych powierzchni stopnia drugiego oraz r´ownania

krzywych jakie otrzymamy w przecie,ciu tych powierzchni z pÃlaszczyznami ukÃladu

wsp´oÃlrze,dnych.

Zauwa˙zmy, ˙ze wektorem normalny do pÃlaszczyzny XY jest wersor osi OZ.

Ponadto pÃlaszczyzna XY przechodzi przez punkt O(0, 0, 0). Korzystaja,c z r´ow-

nania (9.2.1) otrzymujemy r´ownanie pÃlaszczyzny XY , tj. z = 0. Podobnie otrzy-
mamy, ˙ze r´ownanie x = 0 jest r´ownaniem pÃlaszczyzny Y Z, a r´ownanie y = 0
opisuje pÃlaszczyzne, XZ.

166

Do powierzchni stopnia drugiego zaliczamy mie,dzy innymi naste,puja,ce powierzch-

nie

elipsoida

Elipsoida, nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

= 1.

W przecie,ciu elipsoidy pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzymujemy naste,-

puja,ce krzywe:

• z pÃlaszczyzna, XY -elipse,

(

z = 0

= 1

• z pÃlaszczyzna, Y Z-elipse,

(

x = 0

= 1

• z pÃlaszczyzna, XZ-elipse,







y = 0

= 1

Zauw˙zmy, ˙ze dla a = b = c = r > 0 otrzymamy powierzchnie, zwana, sfera, o ´srodku

w punkcie (0, 0, 0) i promieniu r. Og´olne r´ownanie sfery o ´srodku (x

, y

, z

) i

promieniu r ma posta´c (x − x

)

+ (y − y

)

+ (z − z

)

= r

167

hiperboloida jednopow lokowa

Hiperboloida, jednopowÃlokowa, nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

−

= 1.

W przecie,ciu hiperboloidy jednopowÃlokowej pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych

otrzymujemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -elipse,

(

z = 0

= 1

• z pÃlaszczyzna, Y Z-hiperbole,

(

x = 0

−

= 1

• z pÃlaszczyzna, XZ-hiperbole,







y = 0

−

= 1

168

hiperboloida dwupow lokowa

Hiperboloida, dwupowÃlokowa, nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

−

= −1.

W przecie,ciu hiperboloidy dwupowÃlokowej pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych

otrzymujemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -zbi´or pusty

• z pÃlaszczyzna, Y Z-hiperbole,

(

x = 0

−

= 1

• z pÃlaszczyzna, XZ-hiperbole,







y = 0

−

= 1

169

sto˙zek

Sto˙zkiem nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

−

= 0.

W przecie,ciu sto˙zka pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzymujemy naste,pu-

ja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -punkt (0, 0, 0)

• z pÃlaszczyzna, Y Z-pare, prostych

(

x = 0
z =

c
b

∨

(

x = 0
z = −

c
b

• z pÃlaszczyzna, XZ-pare, prostych

(

x = 0
z =

∨

(

x = 0
z = −

170

paraboloida eliptyczna

Parabolioda, eliptyczna, nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

z =

W przecie,ciu paraboloidy eliptycznej pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzy-

mujemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -punkt (0, 0, 0)

• z pÃlaszczyzna, Y Z-prabole,

(

x = 0

z =

• z pÃlaszczyzna, XZ-parabole,

(

y = 0

z =

171

paraboloida hiperboliczna

Parabolioda, hiperboliczna, nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

z =

−

W przecie,ciu paraboloidy hiperbolicznej pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzy-

mujemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -pare, prostych

(

z = 0

y =

∨

(

x = 0

y = −

• z pÃlaszczyzna, Y Z-prabole,

(

x = 0

z = −

• z pÃlaszczyzna, XZ-parabole,

(

y = 0

z =

172

walec eliptyczny

Walcem eliptycznym nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

= 1.

W przecie,ciu walca eliptycznego pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzymu-

jemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -elipse,

(

z = 0

= 1

• z pÃlaszczyzna, Y Z-pare, prostych

x = 0
y = b

∨

x = 0
y = −b

• z pÃlaszczyzna, XZ-prae, prostych

y = 0
x = a

∨

y = 0
x = −a

173

walec hiperboliczny

Walcem hiperbolicznym nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem

−

= 1.

W przecie,ciu walca hiperbolicznego pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzy-

mujemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -hiperbole,

(

z = 0

−

= 1

• z pÃlaszczyzna, Y Z-zbi´or pusty

• z pÃlaszczyzna, XZ-pare, prostych

y = 0
x = a

∨

y = 0
x = −a

174

walec paraboliczny

Walcem parabolicznym nazywamy powierzchnie, dana, r´ownaniem y

= 2px.

W przecie,ciu walca parabolicznego pÃlaszczyznami ukÃladu wsp´oÃlrze,dnych otrzymu-

jemy naste,puja,ce krzywe

• z pÃlaszczyzna, XY -parabole,

z = 0
y

= 2px

• z pÃlaszczyzna, Y Z-o´s OZ











y = 0
x = 0
z = t,

t ∈ R

• z pÃlaszczyzna, XZ-o´s OZ











y = 0
x = 0
z = t,

t ∈ R

Zadanie 9.4.1. Znale´z´c ´srodek i promie´

n sfery o r´ownaniu x

+ y

+ z

+ 2x −

4y + 6z − 2 = 0.

Zadanie 9.4.2. Jakie powierzchnie okre´slaja, r´ownania

a) −

+ z

= 0,

b) x

− y

− z

= 1,

d) x

+ y

− z = 0,

Zadanie 9.4.3. Zbada´c jaka, powierzchnie, opisuje r´ownanie z =

−

, a

naste,pnie wyznaczy´c krzywe jakie otrzymamy przecinaja,c ta, powierzchnie, pÃla-

szczyznami: z = 1, x = 3 i y = −2.

175

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
podrecznik całki itd QVSIL63WWVVVLGNRNUXM7QOBUO2Y2NAU53R5U3A
CALKI ITD
całki pochodne itd
podrecznik 2 18 03 05
Amadeus Basic Podręcznik szkoleniowy
Excel Nieoficjalny podrecznik excnop
5 Czujniki Podrecznik PL
Podrecznik uzytkownika
Odpowiedzi calki biegunowe id Nieznany
Podręczny zestaw znaków umownych instrukcjiK 1
LISTA 14 Całki krzywoliniowe

więcej podobnych podstron