[Jan Dereziński] Funkcje analityczne [kmmf]

!" "#

$&%')(+*-,*-.-/103254/

67%98:*-;<,:%>=?*@85A;B=C%D85*-EF%D8HGJI-.@'GJILKNMO/P.@GJ4/

Q'</1R*-,52SG8:*@8UTV%,52.W%WRX254/

YUAZW%F[D\3]3^^9_a`b&c]TV%,25.W%WR%

*d_Ee%/1fg5%'ihj;3*@,5*@.-/P'<254/lkmon&Rphj*@;3nhrq3f

ccsRX,.-*-t'3/u%Fc^^`

vxw&y{z}|~vyWw3y~&JOwXo&~{-~}Oy)

Wzw{SWzJFoz

¡£¢¤a¥¦J§<¨©ª¤

¬®i¯°J±S²d³µ´¯´&¶1·1¸S¹®±ºD¯³

¼W½¾¼

¿À:ÁÂ&Ã1ÄÆÅHÇÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ9ÍÄaÐs½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼W½rÒ

Ó£ÔHÏLÍDÕOÀ

½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼W½r×

ØÇ9Ù1ÊDÃ®ÕÏÚJÙ1É&ÛÊDÔHÏLÍÕÍÄaÐe½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼W½ÝÜ

Þ®ÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&Ã¾À+ØÇWÉÄaÐ9Í<ßÝÀLà{ásÃÅÀLà{áÊ{á{ÂâHÀLÊÕÀLÂÄÆÅHÀ½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼W½rÖ

äÕÃæåWÏLÊDÃ®ÚÍâHç<ÀLÔaâHÍdÅÂ&À

½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼W½rã

éDÏLÀLÔHÀLà{Ãç<á{ÌHêLà{ádÕÀë½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼W½jè

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ7ÕÍDÊÙPÇ{ÚÂ&ÃæÄ:ÏÇ½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼{¼

¼W½rì

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ7Ë¾á{àÇWÔHÍÌHî!Ã3ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaÇç<á{ÌHêLà{ádÕOÇ½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼Ò

¼W½rï

ðÉ&Â&ÊDÌÆÍáâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕOÀÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂDÍÄSÐ

½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼×

¼W½¾¼Lòí&É&Â&ÊÄÆÅÀÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂ&ÀXÇ+ç&É&Â&ÊÌÕÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôSÄ:Ã ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼dè

¼W½¾¼{¼Bí&É&Â&ÊÄÆÅÀÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂ&ÀÑÏ

½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½U½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼ï

¼W½¾¼Òõ{ÀÚÂ&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ&áôaöç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇWÂ&ÃæÇÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ®ÇWÂÇWËæÃ¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ9ÍÄaÐ÷½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

¼ï

¼W½¾¼×ðÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇWÂ&Ã¾ÀXÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÃÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂDÍÄSÐ>ÕÏÚJÙ1É&ÛUÚÔHá{à{Ã}½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

ÒWò

¼W½¾¼:Ü

∗

ðá@ÕÃ¾ÀLÔHÏÄaÐ&Â&Ã¾ÀøÃ¾ÀLîÇWÂ&ÂÇÃ®ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÀXÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂ&ÀÑÕÃ¾ÀLËæá{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ&À½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{Ò

¼W½¾¼Ö

∗

á{îpá{ÌHá{ç&Ã1Ç+ÊDÔHÏLÍÕÍÄSÐú½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{×

¼W½¾¼ã

∗

éDÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWÂ&Ã¾ÀUÊDÔHÏLÍÕÍÄSÐÃ®à{ÔHÉ&çÇÐ&á{îpá{ÌHá{ç&ÃæÃû½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò-Ü

¼W½¾¼dè

∗

ÇWÊÔHÍÄ:ÃæÀÉ&Â&ÃæÕÀLÔaâaÇWË¾Â&Àý½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{Ö

¼W½¾¼ì

∗

ÇWÊÔHÍÄ:ÃæÀÕÍÏLÂÇ{Ä:ÏLá{Â&ÀUç&ÔHÏLÀLÏUçáÚà{ÔHÉ&çêÑà{ÔHÉ&çDÍþÐ&á{îpá{ÌHá{ç&Ã¾Ãÿ½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{Ö

¼W½¾¼ï

∗

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇpç&Ã¾ÀLÔHÕá{ÌHÂÇ

½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{Ö

¼W½rÒWò

∗

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇpË¾á{àÇWÔHÍDÌHî!Ãçá{ÌHêLà{á@ÕOÇ

½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{ã

¼W½rÒ¼

∗

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ

(z − 1)

½<½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{ã

¼W½rÒ{Ò

á{ÌaÇ{ÄÆÅaÇpÚápá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWÂ&ÃæÇpÊDÔHÏLÍÕÍÄSÐ

½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Òè

¬®i¯°J±S²d´s´ý´¶1³@´

Ò½¾¼

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ£ÇWîpî7Ç

ÅaÇWÊ{áÉ&á{à{Ë¾Â&Ã¾ÀLÂ&Ã¾ÀÑâHÃæË¾Â&Ã3ÃÄLÇ9Ù1ÊWÇÉ&Ë¾ÀLÔaÇ)½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ò{ï

Ò½rÒ

OÄLÇ9Ù1ÊWÇÉ&Ë¾ÀLÔaÇpÃ®Ú&ÇWËæâHÏLÀÑÌHá{ÛâaÇWîpáôSÄ:Ã½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×Wò

Ò½r×

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ£ÇWîpî7ÇÃ®ÄLÇ9Ù1ÊÃ®ÕÚÏLÃ¾ÀÚÏLÃ¾Â&ÃæÀÏLÀâaçá{Ë¾á{Â&À

½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×{×

Ò½ÝÜ

ÎË¾áÄ:ÏLÍÂ9ÍsÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&À

½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×-Ü

Ò½rÖ

í&É&Â&ÊÄÆÅÀÌHÔHÍDà{á{Â&á{î7ÀLÌHÔHÍÄ:ÏLÂ&À ÅaÇWÊ{áÃ¾Ë¾áÄ:ÏLÍÂ9Í7Â&ÃæÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&À£½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×{Ö

Ò½rã

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ£ÇWîpî7Ç+Ç+Ã¾ËæáÄ:ÏLÍÂ9ÍÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&Àÿ½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×{ã

Ò½jè

ðÀLÕÂ&ÀÄLÇ9Ù1ÊDÃ®ÏUçÇWÔaÇWîpÀLÌHÔHÀLî

½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×{ì

Ò½rì

ðáÄaÐ&áÚÂÇ7Ëæá{àÇWÔHÍDÌHîpÃ1Ä:ÏLÂÇUÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ£ÇWîpî7Ç½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

×{ï

Ò½rï

éDÏLÀLÔHÀLà{ÃÇ{âHÍîpç&ÌHá{ÌÎÍÄ:ÏLÂ&À

½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Üò

Ò½¾¼LòðÃ¾ÀLÔHÕâHÏLÍsÕÏ{ÔÃ¾Â&ÀLÌaÇ

½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ü¼

Ò½¾¼{¼

Ï{Ô

ðËæÇWÂDÍsÃ®ÚÔHÉ&à{ÃÕÏ{ÔÃ¾Â&ÀLÌaÇû½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ü9Ò

´L¸ ´¯·P´

!"!

×½¾¼

õ{ÀÚÂ&á{ÔHáÚÂ&ÀÚÍâaÌHÔHÍDñ&ÉÄÆÅHÀXÃÃæÄSÐÌHÔaÇWÂâÈPá{ÔHîÇWÌÎÍþí&á{É&ÔHÃ¾ÀLÔaÇ)½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ü{Ü

×½rÒ

ØÇ9Ù1ÊDÃ®ÕÃæÀLË¾ádÕÍîpÃæÇWÔHá@ÕÀ

½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ü9Ö

×½r×

#FÇ{Ä:Ã¾ÀLÔHÏLÀµ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ü9ã

×½ÝÜ

Ã¾ÀLËæádÕÍîpÃæÇWÔHádÕOÀXÄLÇ9Ù1ÊDÃ$£ÇWÉâaâaÇ+Ã®í&ÔHÀâaÂ&ÀLËæÇú½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

ÜDè

×½rÖ

#µÀLÌHáÚ&Ç%®ÇWç&ËæÇ{Ä:À{ß

Ç'&uç&É&Â&ÊDÌHÉµâaÃ¾áÚJÙ1á@ÕÀLà{á)(s½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

ÜDè

×½rã

*âHÍîpç&ÌHá{ÌÆÍDÊWÇÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ£ÇWîpîÇÕ

Â&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôaÄ:Ã®î7ÀLÌHáÚ&åç&É&Â&ÊÌHÉµâHÃ¾áÚJÙ1ádÕOÀLà{á&½U½X½X½

Ü9ì

×½jè

*âHÍîpç&ÌHá{ÌÆÍDÊWÇÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃÀLÌaÇÕÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôSÄ:Ã®îpÀLÌHáÚ&å+ç&É&Â&ÊDÌHÉµâaÃ¾áÚJÙ1á@ÕÀLà{á

½X½Ñ½X½X½

ÖWò

×½rì

Ã¾ÀLËæádÕÍîpÃæÇWÔHádÕÇ+ÕÀLÔaâPÅaÇîpÀLÌHáÚÍ+%ÇWç&ËæÇ{Ä:À{ß

Ç,&uñ<ÀLÏXç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÀLÂ&ÃæÇpÇWÂÇWË¾ÃæÌÎÍÄ:ÏLÂ&ÀLà{á)(½X½X½

Ö¼

×½rï

#µÀLÌHáÚ&Ç+ÈlÇWÏLÍsâHÌaÇ{ÄÆÅHá{ÂÇWÔHÂ&À

½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ö¼

×½¾¼Lòø-dÕÂÇWÂ&ÃæÀUÚÍ9ÈuÉ&Ï

ÅHÃÃéÄaÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇ

½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ö{Ò

×½¾¼{¼BÞ®ÔaÇWÂâÈuá{ÔHî7Ç{ÄÆÅaÇ%ÀLà{ÀLÂÚÔHÀ{ß

½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ö{×

×½¾¼Ò¿ÍâHç<ÀLÔaâHÍdÅÂ&À£Ô/dÕÂÇWÂ&ÃæÀ+éÄaÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇÏÑçÇWÔaÇWî7ÀLÌHÔHÀLî

½Ñ½U½X½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ö-Ü

×½¾¼×0ÔaÇWÂ&ÃæÄLÇpâHÀLî7Ã¾ÊDË1Ç{âHÍÄ:ÏLÂÇÚÍâaçÀLÔaâHÍdÅHÂ&À

ÅÀLÕá{ËæÉÄÆÅÃ ½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ö-Ü

×½¾¼:ÜVø-dÕÂÇWÂ&ÃæÀUÓ£Ë¾ÀLÃ¾ÂÇ213á{ÔaÚá{ÂÇ54dÈlÇWË¾á@ÕÀý½Ñ½U½Ñ½X½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½U½Ñ½X½X½Ñ½X½Ñ½X½U½Ñ½X½Ñ½X½Ñ½X½X½

Ö{Ö

ÕÃ1ÇWÏÚÊ-å6sá{ÏLÂÇ{Ä:ÏLá{Â&À>âSåµç<áÚÔHá{ÏÚÏLÃ1Ç9Ù1Í

áeÂ&ÃæÀÄ:áµñÇWÔaÚÏLÃ¾À

ÅÏÇ{ÇdÕOÇWÂâHá@ÕOÇWÂ&À

Å7ÌHÔHÀôaÄ:Ã87iÊÌ/{ÔHÀþîpá{àå

ñ9ÍöÑç<á{îpÃ¾Â&Ã¾êLÌHÀç&ÔHÏLÍsË¾ÀLÊDÌHÉ&ÔHÏLÀ{½

:<;<=<>

ª?¨A@

@Ba¤¦CÑªED

FGHF

IKJLNMPO8QSRUT0VXWPMZYEQSR2O[T\MPT\]HOH^_ZQ)`M_ZQ5a

ÌHá{ÛâaÇWîpÃæÇWîÍ

áÚÕÏLá{ÔHádÕÇWÂ&Ã¾ÀLî

3 (x, y) 7→ z := x + iy ∈ C

½$

ç&ÔHádÕOÇ{ÚÏÇWîÍpÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:À

á{ç<ÀLÔaÇWÌHá{ÔHÍþÚÏLÃ1Ç9ÙPÇ@ÅHÄ:ÀÑÂÇ

∂

1
2

(∂

− i∂

), ∂

1
2

(∂

+ i∂

ÃÅHÀÚÂ&áWÈPá{ÔHîÍ"c

dz = dx + idy, dz = dx − idy.

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7ÛLÀ

∂

z = 1, ∂

z = 0,

∂

z = 0, ∂

z = 1,

df = ∂

f dz + ∂

f dz.

p·1³iº³D¯·P³B«u«³¯·1±²´Æi¯°±S²·

"±º9¯³²

Ω ⊂ C

!#"%$&'()$*,+.-/"

0"%(1+

Ω 3 z 7→ f(z) ∈ C

2135476

!819;:<$=

',>$

8?9%@&'(

3/476

A>19B(C&

"&'D

H;IKJ9¯·1±9º°

´&¶u¯KLNM

³D¯·P³Fº9³5NOZ¶

<¯<¹

PQRS'

T%"

∈ Ω

U>$

08N

lim

z→z

f (z) − f(z

)

z − z

&H¼W½¾¼2(

*,&'+*X-7"N/"

9Y&Z>?

>=-/",RS"

*,+

213/476

!81

;[\)>$]"

'^"

'-(

∂

f (z

$`",>

8?1+*a$=@D"

)

df (z

)

b?G

dcú´-i¯°·feU´±,<¹hg

³ikjlHs·1³

ý´¯i¯´man

35476

!81'

8N)>1$o8N

(d"%$

!;(C

"&'R

'Y&p>?

>1!

(

*,&hq>1$*r+sA>=-7t

u>?9

',>$

8?9%@f&

"%()*E

∂

u = ∂

∂

v = −∂

u = Ref

v = Imf

w1G

3/476

81'

8N)>$K8?

("$

f(C

"&',R

';&P>N

>X(

*,&hU>$*,+s

'%/"

∂

f = 0.

xrG

ys¯´&¶P·æ¸¹®±º9¯KLNMkQRS'

T%"

∈ Ω

U>$

08N

r > 0

$`'

K(z

, r)

f (z) =

∞

(z − z

)

³%¯·1±S²d´C«Kæ»zn

3/476

>=-kt

0'819%@9{8N

47v

'$=?+|}&A>

*>$

-/"%&h*?D1>

~&'(

354k6

*,&'+*

2135476

!819W/"R"+{"(

Ω

3k)v

@"B$('

8N1+*8?'

"a>*

vk23/476

819<'

'R0$*

Ω

p·P³5riº³D¯·1´«Ku«K

ÚádÕOáÚÂ&Ã

ÅHîÍ

1) ⇒ 2)

½P

ÀÑÕÏLá{ÔHÏLÀ

) = lim

h→0

f (z

+ h) − f(z

)

àÚÏLÃ¾À

h = h

+ ih

7&î7á{ÛLÀLîÍsçáDÙ1á{ÛLÍö

= 0

ÃÏLñ&Ã¾ÀLàÇ{öÑÏ

→ 0

7ÕÌHÀÚÍþÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

) = lim

→0

f (z

+ h

) − f(z)

= ∂

u(z

) + i∂

v(z

)

&H¼W½rÒ(

Ë¾É&ñîpá{ÛLÀLîÍ7ÌHÔHÏLÍî7Ç{ö

= 0

7&ÕÌHÀÚÍ

) = lim

→0

f (z

+ ih

) − f(z)

= −i∂

u(z

) + ∂

v(z

)

&H¼W½r×(

ðÔHÏLÀLÏXç<á{Ô/dÕÂÇWÂ&ÃæÀ

&H¼W½rÒ(ÃP&H¼W½r×(OÚáâaÌaÇ@ÅÀLîÍÕÏLá{ÔHÍ>ØÇWÉÄaÐDÍßÝÀLà{áDø

Ã¾ÀLî7ÇWÂ&ÂÇ½

ødÕÂ&ádÕÇWÛLÂ&áôaö+Ò(Ã×(3ÅÀâaÌáÄ:ÏLÍÕÃæâHÌaÇ½

ÚádÕOáÚÂ&Ã

ÅHîÍÌHÀLÔaÇWÏ

2) ⇒ 1)

½ø{ÛLÂ&ÃæÄ:ÏLÊ{ádÕÇWË¾Â&áôaöÑÕ

âHÀLÂâHÃ¾À£ÔHÏLÀÄ:ÏLÍÕÃæâHÌÎÍî!á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ)7JÛLÀ

f (z

+ h) = f (z

) + f

)h + R(z

, h)

àÚÏLÃ¾À

)

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇpîÇ{Ä:Ã¾ÀLÔHÏÑõÇ{Ä:á{ñ&Ã¾ÀLà{ápç<áÄSÐ&áÚÂ&À

∂

u ∂

∂

ÅHÀâHÌ ÕÀLÊÌHá{ÔHÀLî

lim

h→0

|R(z

, h)|

|h|

= 0.

#Fá{ÛLÂÇÌHáÏÇWç&ÃæâaÇ{öOÅaÇWÊ{á

f (z

+ h) − f(z

) = ∂

f (z

+ ∂

f (z

+ R(z

, h)

= ∂

f (z

)(h

+ ih

) + ∂

f (z

)(h

− ih

) + R(z

, h)

äFÌHÀLà{ápÕÍÂ&Ã¾ÊWÇ+ÃæâHÌHÂ&Ã¾ÀLÂ&Ã¾Àà{ÔaÇWÂ&ÃæÄ:Í

&H¼W½¾¼2(ÃÌHá7&ÛLÀ ÅHÀâHÌÔ/dÕÂÇ

∂

f (z

)

¿ádÕ

ÚµÔ/dÕÂ&á@ÕOÇWÛLÂ&áôaÄ:ÃiÕOÇWÔHÉ&Â&ÊÉµÜ)(}ÏLáâHÌaÇdÕÃæÇWîÍsÂÇ+ç

LÂ&Ã¾À

ÅL½

p·P³5rº³¯·P³?«K

[\)R

>?9u7",R"%+"%(U

Ω

$`"f(dC&

f + g

f g

[k)R

f 6= 0

Ω

$`"

8N)>$

/",RS"+{"(U

Ω

<[\)R

8N)>$

/",RS"+{"(U

Ω

f (Ω)

$`"

◦

8?)>1$

/",RS"+{"(

Ω

[\)R

8N)>$

!819

Ω

f (Ω)

−1

8N)>$

21354k6

!8?9~"

&h("$

$`"

−1

8N)>$/",RS"+{"(U

f (Ω)

'%/"

9<&

"%()*

(f + g) =

f +

(f g) = (

f )g + f

= −

◦

f (z) =

g(w)

f (z),

f (z) = w,

−1

(w) =

f (z)

f (z) = w.

cx¯·

³D°«K

3/476

!8?';&h*r+1(

2135476

!81'X-/",>$`'%?

P (z)
Q(z)

>19B&hR"%+f!'

'%+f

8?>$h7",R"%+"%(U

'X-/"

1('+

Q(z)

5`)_

Ó£ÔHÏLÍÕOåpâHçÇWÔaÇWî7ÀLÌHÔHÍDÏLá@ÕOÇWÂåÂÇWÏLÍDÕÇWîÍþáÚÕÏLá{ÔHádÕOÇWÂ&ÃæÀÄ:ÃæåDàDÙ1À

]0, 1[3 τ 7→ γ(τ) ∈ C.

&H¼W½ÝÜ)(

Ç+á{àDÙiñêÚÏLÃæÀLîÍîpÃ¾ËæÄ:Ïå{Ä:á+ÏÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWË¾ÃH7&ÛLÀ

ÅHÀâHÌÊWÇÕOÇ9Ù1ÊWÇWîpÃ®àDÙPÇ{ÚÊWÇ½

ÏLñ&Ãæá{ÔHÏLÀÊÔHÏLÍDÕÍÄaÐÿÕç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏÇWîÍFÔHÀLËæÇ{ÄÆÅHêc

∼ γ

73àÚÍ>ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀXÊWÇÕÇ9Ù1Ê-ÇWîpÃàDÙPÇ{ÚÊWÇsÔHáâHÂå{ÄLÇ

ñ&Ã

ÅHÀLÊÄÆÅHÇ

]0, 1[3 τ 7→ κ(τ) ∈]0, 1[

ÌaÇWÊWÇ)7OÛLÀ

= γ

◦ κ

½ûõÀâHÌÌHá

ÔHÀLËæÇ{ÄÆÅaÇFÔ/@ÕÂ&ádÕÇWÛLÂ&áôaÄ:Ão½Ó£Ë1Ç{âHê

ÇWñâHÌHÔaÇWÊÄÆÅHÃ®ÕÏLà{Ë¾êÚÀLî

ÌHÀ

ÅÔHÀLËæÇ{ÄÆÅHÃ3ÂÇWÏLÍDÕÇWîÍþÊÔHÏLÍDÕåÏLá{ÔHÃ¾ÀLÂ9ÌHá@ÕOÇWÂå

&uÂ&Ã¾ÀâHçÇWÔaÇWîpÀLÌHÔHÍÏLádÕÇWÂå

(a½

ÏLñ&Ãæá{ÔHÏLÀÊÔHÏLÍDÕÍÄaÐÿÕç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏÇWîÍFÌHÀLÛ+ÔHÀLËæÇ{ÄÆÅHêc

∼ γ

73àÚÍ>ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀXÊWÇÕÇ9Ù1Ê-ÇWîpÃàDÙPÇ{ÚÊWÇsÔHáâX1

Âå{ÄLÇË¾É&ñµî7ÇWËæÀ

ÅHå{ÄLÇ7ñ&Ã

ÅÀLÊÄÆÅaÇ

]0, 1[3 τ 7→ κ(τ) ∈]0, 1[

ÌaÇWÊWÇ)7ÛLÀ

= γ

◦ κ

½õ{ÀâaÌÌHáÔ/dÕÂ&Ã¾ÀLÛ+ÔHÀLËæÇ{ÄÆÅaÇ

Ô/dÕÂ&á@ÕOÇWÛLÂ&áôaÄ:ÃÎ½UÓ£ËæÇ{âHê+ÇWñâHÌHÔaÇWÊÄÆÅHÃÕÏLà{Ë¾êÚÀLî

ÌHÀ

ÅÔHÀLË1Ç{ÄÆÅÃÂÇWÏLÍDÕÇWîÍFÊDÔHÏLÍÕOåsÂ&Ã¾ÀLÏLá{ÔHÃ¾ÀLÂDÌHádÕÇWÂåK&uÂ&Ã¾ÀâX1

çÇWÔaÇWîpÀLÌHÔHÍÏLádÕÇWÂå

(a½

ÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅÃ

&H¼W½ÝÜ)(Xî7á{ÛLÂÇÿÔ/dÕÂ&Ã¾ÀLÛÏÇWîpÃæÀLÂ&Ãæö

]0, 1[

ÂÇ

[0, 1]

]0, 1]

[0, 1[

ñå{Ú

&uá{ÊÔaåDà)(a½

áâHÌaÇWÌHÂ&Ã¾î!ÕÍçÇ{ÚÊÉ>î7ÇWîÍÚá7Ä:ÏLÍÂ&Ã¾ÀLÂ&ÃæÇÏÑÊÔHÏLÍDÕåÏÇWîpÊÂ&Ã¾êLÌaå½

ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7&ÛLÀñ&ÔHÏLÀLàÏLñ&Ãæá{ÔHÉá{ÌÆÕOÇWÔHÌHÀLà{á7âHÊÙPÇ{Ú&ÇâHÃ¾ê

Ï£ÊÔHÏLÍDÕÍÄaÐsÏÇWîpÊÂ&Ã¾êLÌÎÍÄaÐ½

VÌHÀÚÍpÊWÇWÛÚ&ÇÏÌÆÍÄSÐ

ÊÔHÏLÍDÕÍÄaÐeî7ÇpÂÇWÌHÉ&ÔaÇWËæÂå7á{ÔHÃ¾ÀLÂDÌaÇ{ÄÆÅêc

çáâHÉDÕOÇWîÍµâHÃ¾êÕÏÚJÙ1É&Û+Â&Ã¾À

ÅÕ

ÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ã¾î

ÊDÃ¾ÀLÔHÉ&Â&ÊÉ

7{ÅHÀôHË¾ÃÏLñ&Ã

{Ô

î7ÇWîÍ7ÏÑË¾ÀLÕOÀ

ÅâaÌHÔHá{Â9Í{½

+TXY$O'`XW

Y5`)_,_ZQ

Ã¾ÀÄaÐFÊDÔHÏLÍÕOÇ

ñ<êÚÏLÃ¾ÀâHçÇWÔaÇWîpÀLÌHÔHÍÏLádÕOÇWÂÇsç&ÔHÏLÀLÏ

[0, 1] 3 τ 7→ γ(τ) ∈ Ω

½£ä<ÇWÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWîÍ73ÛLÀUçÇWÔaÇWîpÀS1

ÌHÔHÍÏÇ{ÄÆÅHÇÑÅÀâHÌÊWÇÕÇ9Ù1Ê-ÇWî7Ã

ä<Ç9Ù

{ÛLîÍÌHÀLÛ7JÛLÀXÂÇ

γ([0, 1])

á{ÊÔHÀôHË¾á{ÂÇÅHÀâHÌÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

&uÂ&ÃæÀLÊ{á{Â&Ã¾ÀÄ:ÏLÂ&Ã¾À

Ð&á{Ë¾á{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ

(a½ ä<ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅîÍþÄLÇ9Ù1Ê{êXÏ£ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

çáÊÔHÏLÍÕÀ

ÕÏLá{ÔHÀLî

f (z)dz :=

f (γ(τ ))

dγ(τ )

dτ

dτ.

&H¼W½rÖ(

¿À:ÁÂ&ÃæÄÆÅaÇ ÌaÇÂ&Ã¾ÀÏÇWË¾ÀLÛLÍáÚ£çÇWÔaÇWîpÀLÌHÔHÍÏÇ{ÄÆÅHÃÏÇ{ÄaÐ&á@ÕÉ-ÅHå{Ä:À

Åá{ÔHÃ¾ÀLÂDÌaÇ{ÄÆÅê{½ðÔHÏLÍ£ÏLîpÃæÇWÂ&ÃæÀá{ÔHÃ¾ÀLÂDÌaÇ{ÄÆÅÃ9ÏLîpÃ¾ÀLÂ&ÃæÇ

âHÃ¾ê£ÏLÂÇWÊÄLÇ9Ù1ÊÃH7

ç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏÇWîÍ>Ô/dÕÂ&Ã¾ÀLÛUá{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÀLÂ&Ã¾ÀXÂÇ+Â&Ã¾ÀLÏLá{ÔHÃ¾ÀLÂDÌHádÕÇWÂåÄLÇ9Ù1Ê{êXÕÏÚJÙ1É&ÛUÊDÔHÏLÍÕÀ

f (z)|dz| :=

f (γ(τ ))

dγ(τ )

dτ

dτ.

¿À:ÁÂ&ÃæÄÆÅaÇ+ÌaÇ+Â&Ã¾ÀÑÏÇWË¾ÀLÛLÍsáÚþçÇWÔaÇWîpÀLÌHÔHÍÏÇ{ÄÆÅHÃH7&Ô/dÕÂ&Ã¾ÀLÛUÏLîpÃ¾ÀLÂ&ÃæÇ@Åaå{Ä:À

ÅOá{ÔHÃ¾ÀLÂDÌaÇ{ÄÆÅê{½

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7ÛLÀ

f (z)g(z)dz

≤

|f(z)||dz| sup

z∈γ[0,1]

|g(z)|.

-º{¹®°

´k

Ã¾ÀÄaÐ

ñêÚÏLÃæÀá{ÊÔHêLà{Ã¾ÀLî

[0, 2π] 3 φ 7→ e

iφ

a + b ∈ C

dz =

2π

i(ae

iφ

+ b)

iφ

dφ

j=0

2π

n−m

m!(n − m)!

i(m+1)φ

dφ = 0;

|dz| =

2π

(ae

iφ

+ b)

adφ

= b

a2π;

zdz =

2π

(ae

−iφ

+ b)ae

iφ

idφ

= i2π|a|

'OHJ

Z`JM

OHJ

+T\W

aE_

J0O$RUJ

YM2JY

JMNQSRUJ

p·1³iº³D¯·P³B«

p·1³iº³¯·P³ZeU´±r<¹hg

³i"~

W/",RS"+{"(

'^"$&'%()$*,+

"T('

*,+

0"%(

Ω

?!9NTtd'

Ω

<:<$=

∂Ω

f (z)dz = 0.

&H¼W½rã(

á{ÔHÏLÍâaÌaÇWîÍþÏÑÌÎÕÃæÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇéDÌHá{Ê{ÀâaÇ)c

∂Ω

f (z)dz =

Ω

df ∧ dz =

Ω

∂

f dz

∧ dz = 0.

cx¯·

³D°«K

º%I"~eU´±r<¹hg

³5i#(

*{$*;>1'+*

'td"D

!'%

"X-/"%&h*?D08

8NR

∈ Ω

$`"

f (z

) =

2πi

∂Ω

f (z)

z − z

dz.

&H¼W½jè5(

íÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

f (z)

z−z

ÅHÀâHÌ Ð&á{Ë¾á{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇÕ

Ω\K(z

, r)

½ä<ÇWÌHÀLî

0 =

∂(Ω\K(z

,r))

f (z)

z−z

∂Ω

f (z)

z−z

dz −

∂K(z

,r)

f (z)

z−z

*Ë¾À£ç&ÔHÏLÀLÏXçáÚ&âHÌaÇdÕÃ¾ÀLÂ&Ã¾À

z = z

+ re

iφ

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ7ÛLÀ

lim

r→0

∂K(z

,r)

f (z)

z − z

dz = 2πif (z

cx¯·

³D°«K'D

23/476

81'a/",RS"+{"(

'#8N)>$(CD

"&'R

u&hRqu('

*{&P>?

-/",RS"

*,+{

'%/"

(n)

) =

2πi

∂Ω

f (z)

(z − z

)

n+1

dz.

&H¼W½rì(

cx¯·

³D°«K

·1³I

7¯KLNM

eU´±r<¹hg

³5i^[kR

8N)>1$

/",RS"+{"(

K(z

, r)

N09NTt

K(z

, r)

$`"

(n)

)

≤

sup

z∈K(z

,r)

|f(z)|

&H¼W½rï(

cx¯·

³D°«K

p·P³5rº9³D¯·1³}·

®·1¶P¶1³Kg

´m

23/476

!8?'

7",R"%+"%(U

"T('

8?)>1$

>$`'t

¿ËæÇÚá@Õá{Ë¾Â&ÀLà{á

∈ C

r > 0

ÏÑÂ&Ã¾ÀLÔ/@ÕÂ&áôaÄ:ÃiØÇWÉÄaÐDÍßÝÀLà{ásÕÍÂ&Ã¾Ê-ÇáâHÏÇ{Ä:á@ÕOÇWÂ&Ã¾À

)| ≤

sup

z∈C

|f(z)|

ä<ÇWÌHÀLî

= 0. 2

cx¯·

³D°«Ku«

p·P³5rº³¯·P³

þ´

d´

*;&h!1R"+!'

(dCD

*B"

>$`'t08f+'

+!08)>1)

("&

ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7JÛLÀÑÕÃæÀLË¾á{îpÃæÇWÂ

P (z)

âHÌHá{ç&Â&ÃæÇ

n ≥ 1

Â&ÃæÀîÇ+ç&Ã¾ÀLÔHÕÃæÇ{âHÌHÊWÇ½

Ã¾ÀÄSÐ

f (z) := (P (z))

−1

VÌHÀÚÍ

ÅHÀâHÌÐ&á{Ë¾á{î7á{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ)ÂÇ

ðá{ÏÇýÌÆÍDî,7ÕÃ¾ÀLîÍ7 ÛLÀµÚËæÇ

z > R

|P (z)| ≥ |z|

½ä<ÇWÌHÀLî,7

lim

|z|→∞

f (z) = 0

½íÉ&Â&ÊÄÆÅHÇÄ:ÃæåDàDÙPÇ+ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂÇ+ÚáÏLÀLÔaÇ+ÕÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôSÄ:ÃÅÀâaÌá{à{ÔaÇWÂ&Ã1Ä:ÏLá{ÂÇ½P*ÕÃ¾êÄÏ

Þ®ÕÃæÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇ%Ã¾á{ÉÃ¾Ë¾ËæÀ{ß

ÇXÕÍÂ&Ã¾Ê-Ç)7&ÛLÀ

ÅHÀâHÌâHÌaÇ9ÙPÇ½

'O\`)Y

-J

_R2M

)ÇWÔHÌHáôaöÑàDÙ

@ÕÂå7ÄLÇ9Ù1ÊÃ®Ï

f (ξ)

ξ−ω

ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍUÅaÇWÊ{á

f (ξ)

ξ − ω

dξ := lim

ω−

−∞

∞

ω+

f (ξ)

ξ − ω

dξ.

p·1³iº³D¯·P³B«u«J«

dcúº%I"

±r±-°·1³5i

1+|ξ|

∈ L

|f(ξ) − f(ω)| ≤ c|ξ − ω|

?09Ttd'B&

-71&

*,+s"$`"

|f(ξ) − f(ω)| ≤ c|ξ − ω|

δ > 0

<:<$=

lim

f (ξ)

ξ − ω ± i

= ∓iπf(ω) + P

f (ξ)

ξ − ω

dξ.

p·1³iº³D¯·P³B«u«».

$ p·&º°·#¹O}³52L¹9²d¯³kYu!

!N09NTt

{Imz ≥ 0}

',R$*

{Imz > 0}

td'

'+*

8?>$

(dCD

"&',R

1+|ω|

∈ L

lim

|ω|→∞

f (ω) = 0

uu!

f = f

+ if

!f("

td'

(

*,&hU>$`9;

(d"8?"

9;:<$=

RS'

ω ∈ R

(ω) =

(ξ)

ξ − ω

dξ,

(ω) = −

(ξ)

ξ − ω

dξ.

f (ω + i) =

2πi

f (ξ)

ξ − i − ω

dξ

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾ÀÑÊ{á{ÔHÏLÍâHÌaÇWîÍsÏÑÌHÀLà{á7ÛLÀ

f (ω + i) → f(ω)

Ã®ÏLÀÑÕÏLá{ÔHÉeéDáÄaÐ&áÄaÊÃ¾ÀLà{ác

lim

f (ξ

ξ − ω − i

dξ = iπf (ω) + P

f (ξ)

ξ − ω

dξ.

íiÃ¾ÏLÍÄ:ÏLÂ&ÀUÏÇ{âHÌHáâaádÕOÇWÂ&Ã1ÇÞÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇµ¼W½¾¼Òâaå7á{çÇWÔHÌHÀUÂÇÂÇ{âHÌHêLç&É-ÅHå{Ä:ÍîâSÄaÐ&ÀLî7Ç{Ä:Ã¾À{½£ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7<ÛLÀ

g(t)

ÅÀâHÌÎñ<áÚ

Ä:ÀLîÇ

h(t)

ÎÔHÀÇWÊÄÆÅHåa½7ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7ÛLÀ

h(t)

ÏÇWË¾ÀLÛLÍFáÚ

g(t)

Ë¾Ã¾Â&Ã¾á@ÕáþÃç&ÔHÏLÍÄ:ÏLÍÂ&ádÕOá&½

ÏLÂÇ{Ä:ÏÇpÌHá7&ÛLÀ

h(t) =

∞

(s)g(t − s)ds.

&H¼W½¾¼Lò

(

ðápç&ÔHÏLÀ

ÅHôSÄ:Ã¾É>ÚápÌHÔaÇWÂâÈuá{ÔHî7ÇWÌí&á{É&ÔHÃ¾ÀLÔaÇ7ÚáâHÌaÇ@ÅÀLîÍ

h(ω) = ˆ

(ω)ˆ

g(ω).

&ÎéDÌHáâHÉ-ÅHÀLîÍµÊ{á{Â9ÕÀLÂÄÆÅHê

ˆ(ω) =

(t)e

itω

(>ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7ÛLÀ

∈ L

VÌHÀÚÍþÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

ç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇâHÃ¾ê

ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂ&ÃæÀÂÇ

{Imz ≥ 0}

Ã®ÏÇWÌHÀLîâHÌHáâHÉ-ÅHÀXâHÃ¾êÑÚáÂ&Ã¾À

Åçá@ÕÍDÛâHÏLÀÑÌÆÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&Ã¾À{½

E`J5JO

ðá{Â&Ã¾ÛâHÏLÀ}ÌÆÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&Ã¾ÀÃ¾îpç&ËæÃ¾ÊDÉ-ÅHÀÔ/@ÕÂ&ádÕÇWÛLÂ&áôaöÕOÇWÔHÉ&Â&ÊÉXÜ)(JÏÌÎÕÃæÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇX¼W½¾¼Ïç<á{ÏLáâHÌaÇ9Ù1ÍDî7Ã{ÕOÇWÔHÉ&Â&Ê1

ÇWîpÃo½

p·1³iº³D¯·P³B«u«

, a

, . . .)

?!9NT1+s

−1

= lim sup

n→∞

1/n

&H¼W½¾¼{¼2(

:<$=

f (z) =

∞

n=0

8N)>$

23/476

!8?9W/",RS"+{"(

9B&

",Rq

K(0, ρ)

'B$*,+

(n)

(0)

b?G

f (z)

!X/"R"+{"(

';&

"RS

K(0, r)

~:<$=

*}8N)R

(n)

(0)

$`"

lim sup

n→∞

1/n

≤ r

−1

K(0, r)

+{'+*

f (z) =

∞

n=0

ÚádÕOáÚÂ&Ã

ÅHîÍC¼2(a½

Ã¾ÀÄSÐ

< ρ

VÌHÀÚÍ)ÚËæÇ

n > N

| < ρ

−n

½Fä<ÇWÌHÀLîëÚËæÇ

N > N

∞

n=N

| ≤

∞

n=N

|z|

= ρ

−N

|z|

(1 −

|z|

)

−1

ØOÏLÍË¾Ã

(z) :=

n=0

âHç<À@Ù1Â&ÃæÇÚËæÇ

≤ N

z ∈ K(0, ρ

)

− f

| ≤ ρ

−N

(1 −

)

−1

ØOÏLÍË¾Ã

ÅHÀâHÌÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ9ÍpÅÀÚÂ&áâaÌaÇ@ÅÂ&Ã¾À+Õ

K(0, ρ

)

7®ÇÕÃ¾êÄÂ&Ã¾ÀLî7ÇWË&ÅHÀÚÂ&áâHÌaÇ@ÅHÂ&Ã¾À+Õ

K(0, ρ)

ÚásÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

f (z)

½FðáÚá{ñ&Â&ÃæÀç<áÄSÐ&áÚÂ&À

f (z)

âSå>à{ÔaÇWÂ&ÃæÄLåFÂ&Ã¾ÀLî7ÇWË3ÅHÀÚÂ&áâHÌaÇ@ÅHÂåµç<áÄaÐ&áÚÂ9ÍÄaÐCÌHÀLà{áeÄ:Ã1å9à{É½µÓÑÇWÛÚÍ

ÏÿÀLË¾ÀLîpÀLÂDÌ/dÕ

ÌHÀLà{áûÄ:ÃæåDà{ÉVâaçÀ@Ù1Â&ÃæÇ?ÕÇWÔHÉ&Â&ÊDÃØÇWÉÄSÐ9Í<ßÝÀLà{áDøÃ¾ÀLî7ÇWÂ&ÂÇ½

ä<ÇWÌHÀLî

Ã£à{ÔaÇWÂ&ÃæÄLÇNâHç<À@Ù1Â&ÃæÇBÌHÀ

ÕOÇWÔHÉ&Â&ÊÃo½

ÚádÕOáÚÂ&Ã

ÅHîÍûÌHÀLÔaÇWÏÿÒ(a½äÂ&Ã¾ÀLÔ/dÕÂ&áôaÄ:ÃUØÇWÉÄSÐ9Í<ßÝÀLà{áNÕÍDÂ&Ã¾ÊWÇ)7ÛLÀ7ÅÀôHËæÃ

≤ r

7ÌHá?ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅÀ

ÌaÇWÊÃ¾À7ÝÛLÀ

| ≤ Cr

−n

ä<ÇWÌHÀLî

âHÏLÀLÔHÀLà

∞

n=0

ÅHÀâHÌ7ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂDÍûÕ

Ê{á{ËæÀ

K(0, r

)

á{ÔHÏLÍâaÌaÇ@ÅHå{ÄeÏÅHÀÚÂ&áâHÌaÇ@ÅHÂ&À

ÅÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ&áôaÄ:Ãç&ÔHÏLÍûÏÇWîpÃæÇWÂ&ÃæÀ>Ê{á{Ë¾À

ÅHÂ&áôaÄ:Ã

ÄLÇ9Ù1Ê{ádÕÇWÂ&ÃæÇpÃâHÉ&îpádÕÇWÂ&ÃæÇÚËæÇ

< r

ÚáâHÌaÇ@ÅÀLîÍ

f (z) =

2πi

∂K(0,r

)

f (ξ)

ξ−z

dξ

2πi

∂K(0,r

)

f (ξ)

1−

z
ξ

dξ

2πi

∞

n=0

∂K(0,r

)

f (ξ)

n+1

dξ

∞

n=0

n f

(n)

(0)

ç&ÔaÇWÊDÌÆÍÄ:ÀUÕÍâHÌaÇWÔaÄ:ÏÇ@Åaåç&ÔHáâHÌaâaÏLÀXÊDÔHÍÌHÀLÔHÃæÇ)c

¼2(

@¹¸³5-·PE

gSy¶P³}³d¸´m

õ{ÀôaË¾Ã

lim

n→∞

n+1

ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅÀ7ÌHáÅHÀâHÌÔ/dÕÂ&À

&H¼W½¾¼{¼2(

Ò(

@¹¸³5-·PE

eU´±,<¹hg

³i

õ{ÀôHË¾Ã

lim

n→∞

1/n

ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅÀ7ÌHáÅHÀâHÌÔ/dÕÂ&À

&H¼W½¾¼{¼2(a½

-º{¹®°

´k¹

º p·P¯·M

¯°J±²·´¯´&¶P·æ¸¹®±º9¯<¹®±,

(1 − z)

−1

∞

n=0

, |z| < 1;

(1 − z)

−m

∞

n=0

m(m + 1) . . . (m + n − 1)

, |z| < 1,

m = 1, 2, . . . ;

(1 + z)

n=0

, z ∈ C, m = 0, 1, . . . .

p·1³iº³D¯·P³B«u«!

H+º p·P¯·9±·P³

º9³5-³i

}´@³¯<¸g

´m

213/476

!8?'

/",RS"+{"(U

-m!1(

1N!

{z : r < |z| < R},

0 ≤ r < R ≤ ∞

<:<$=

'W$*,+-m!1(

1N!

f (z) =

∞

n=−∞

&H¼W½¾¼Ò(

:B>=-7Ctd

4\4

+{"D

';"

"%(

2πi

∂K(0,ρ)

f (ξ)

n+1

dξ.

r < ρ < R

Ã¾ÀÄSÐ

r < r

< |z| < R

< R

VÌHÀÚÍ

f (z) =

2πi

∂K(R

,0)

f (ξ)

ξ−z

dξ −

2πi

∂K(r

,0)

f (ξ)

ξ−z

dξ

∞

n=0

2πi

∂K(R

,0)

f (ξ)

n+1

dξ +

∞

n=0

2πi

∂K(r

,0)

f (ξ)

n+1

dξ

∞

n=−∞

-º{¹®°

´k

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ

3 − 2z

2 − 3z + z

1 − z

2 − z

î7Ç+ÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÀXÔHá{ÏLÕÃ¾Â&ÃæêÄ:ÃæÇ

∞

n=0

(1 + 2

−n−1

, |z| < 1;

¼Lò

−

∞

n=0

−n−1

∞

n=0

−n−1

, 1 < |z| < 2;

−

∞

n=0

(1 + 2

−n−1

, 2 < |z|.

MZYQSRUT

,_$Y/T

O8Q)`T

í&É&Â&ÊÄÆÅHêXÕÍÊ&ÙPÇ{ÚÂ&ÃæÄ:Ïåpîpá{ÛLÂÇ+ÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾ádÕÇ{öXç&ÔHÏLÀLÏUâaÏLÀLÔHÀLà

∞

n=0

, z ∈ C.

í&É&Â&ÊÄÆÅaÇÌaÇî7ÇÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÀUÕÙPÇ{âaÂ&áôaÄ:ÃHc

= e

−z

= e

= 1

ÕÌHÀÚÍÃ®ÌÆÍDËæÊ{áÕÌHÀÚÍàÚÍ

z = i2kπ, k ∈ Z.

äµÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHå

ÏLÕÃ1åWÏÇWÂ&ÀUâaåÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÀÑÌHÔHÍà{á{Â&á{îpÀLÌHÔHÍÄ:ÏLÂ&À

cos z :=

+ e

−iz

, sin z :=

− e

−iz

ÃÐ&Ã¾ç<ÀLÔHñá{ËæÃæÄ:ÏLÂ&À

chz :=

+ e

−z

, shz :=

− e

−z

í&É&Â&ÊÄÆÅHÀ

cos z

sin z

chz

shz

á{ñ3Ä:Ã¾êLÌHÀUÚá

î7Ç@ÅaåÕOÇWÔHÌHáôSÄ:ÃÔHÏLÀÄ:ÏLÍÕÃæâHÌHÀ{½

#µá{ÛLÀLîÍþç&ÔHÏLÍÃæÄaÐ

ç<á{îpáÄ:ÍÕÍDÔaÇWÏLÃ1ö

ÅHÇWÊsÂÇ{âHÌHêLç&É-ÅHÀc

x+iy

= e

(cos y + i sin y).

í&É&Â&ÊÄÆÅHÀ

cos z

sin z

chz

shz

âSå

ÕCç<ÀLÕÂ9ÍîúâaÀLÂâHÃ¾Àç&ÔHÏLÀ@Ù1É&ÛLÀLÂ&ÃæÇWîpÃ&ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂDÍDîpÃ@ÅHÀÚÂ&À

ÅÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃH7

ÂÇç&ÔHÏLÍÊ&ÙPÇ{Ú

chz

sht = −ich(t − i

sin t = ch(it − i

ÌHápÕÙPÇ{âHÂ&áôSÄ:ÃÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

chz

chz = ch(−z),

ch(z + iπ) = −chz,

i∂

chz = ch(z + i

z + ch

(z + i

) = 1.

¼{¼

MZYQSRUT0]

_$^

V3W

MZYQSRUT

í&É&Â&ÊÄÆÅaÇ

ç&ÔHÏLÀLÊâHÏLÌaÇ9ÙPÄLÇUñ&Ã

ÅÀLÊÌÎÍÕÂ&Ã¾ÀçÇ{â

{z : −π < Imz < π}

ÂÇ

C\] − ∞, 0]

½í&É&Â&ÊÄÆÅêáÚÕÔHá{ÌHÂå

Úá

á{ÊÔHÀôHË¾á{Âå+ÂÇ

C\] − ∞, 0]

&H¼W½¾¼×(

ÂÇWÏLÍÕOÇWîÍ)àÇ9Ù1êLÏLÃæåFàDÙ

dÕÂåeË¾á{àÇWÔHÍÌHîÉBÃOá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWîÍ

log

(0)

½&l¿ÏLÃ¾ÀÚÏLÃ¾ÂÇ&H¼W½¾¼×(£ÏLáâHÌaÇ9ÙPÇeÕÍñ&ÔaÇWÂÇ

ÚáôaöÑÇWÔHñ&Ã¾ÌHÔaÇWËæÂ&Ã¾ÀU(a½Z#FÇ+ÕÙPÇ{âaÂ&áôaÄ:ÃHc

log

(0)

z =

1
z

log

(0)

1 = 0.

¿áâHÌaÇ@ÅHÀLîÍsÏÇWÌHÀLî

ÕÏ{Ô

log

(0)

z =

àÚÏLÃ¾À

ÅHÀâHÌÚá@Õá{Ë¾ÂDÍDîÊ{á{Â9ÌHÉ&ÔHÀLî

ÕOÀLÕÂåWÌHÔHÏ+&H¼W½¾¼×(ÏÇ{Ä:ÏLÍDÂÇ@Åaå{Ä:ÍDîâHÃ¾ê£Õ

ÃÊ{á{óÄ:Ïå{Ä:ÍîâHÃ¾ê£Õ

ØOÏÇ{âaÇWî7Ãç&ÔHÏLÍÚ&ÇWÌHÂÇÑÅÀâHÌÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ7ÇWÔHà{É&îpÀLÂ9Ì

&uÊÌ/{ÔaÇÂ&Ã¾ÀOÅHÀâHÌÐ&á{Ë¾á{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ

(

arg

(0)

z := Im log

(0)

ÍÄaÐ&áÚÏå{ÄXÏLÀÑÕÏLá{ÔHÉ

log

(0)

(1 + z) =

1 + z

Ã®ÄLÇ9Ù1ÊÉ-ÅHå{ÄÑÔHá{ÏLÕÃæÂ&Ã¾êÄ:Ã¾ÀÑÚËæÇ

1+z

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

log

(0)

(1 + z) =

∞

n=0

(−1)

n+1

, |z| < 1.

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7®ÛLÀÚËæÇpÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾á@ÕOÇWÂ&À

ÅÑçá@ÕÍDÛLÀ

ÅÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃiË¾á{àÇWÔHÍDÌHî

Â&Ã¾À+ÚËæÇpÕâaÏLÍâHÌHÊÃæÄSÐ

, z

∈ C\] −

∞, 0]

ÏÇ{ÄaÐ&áÚÏLÃÕÏ{Ô

log

(0)

) = log

(0)

+ log

(0)

&H¼W½¾¼:Ü)(

&H¼W½¾¼:Ü)(ÅHÀâHÌâHç<À@Ù1Â&Ã¾á{Â9Í7{ÅÀôHËæÃ

|argz

+ argz

| < π.

í&É&Â&ÊÄÆÅaÇ

log

(0)

á{ñ3Ä:Ã¾êLÌaÇÚá

î7Ç ÕÇWÔHÌHáôaÄ:ÃÕ

½ií&É&Â&ÊÄÆÅHê

log

(0)

îpá{ÛLÀLîÍÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:á

ÕÍÔaÇWÏLÃæö

ç&ÔHÏLÀLÏÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÀÑÔHÏLÀÄ:ÏLÍÕÃæâHÌHÀc

log

(0)

(r(cos φ + i sin φ)) = log r + iφ, r ∈ R

, φ ∈] − π, π[.

õ{ÀôaË¾Ã

µ ∈ C

7&ÌHápÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍsàÇ9ÙPå

XàDÙ

dÕÂåpÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃç<á{ÌHêLà{ádÕÀ

ÅÅaÇWÊ{á

C\] − ∞, 0] 3 z 7→ z

(0)

:= e

µ log

(0)

ä<ÇWÉ9ÕÇWÛLîÍ7iÛLÀàÚÍ

µ ∈ Z

ÌHáþç<ádÕÍÛâHÏÇ>ÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅaÇþâHç&ÔHádÕÇ{ÚÏÇµâHÃæêÚáÏLÕÍÊ&Ù1À

ÅÑç<á{ÌHêLà{Ã-&uÊDÌ/{ÔaÇþÏÚÀ:ÁÂ)1

Ã¾á@ÕOÇWÂÇÅHÀâHÌÂÇpÄLÇ9Ù1Íî

7ñ9ÍöÑîpá{ÛLÀÑÏXÕÍdÅaåWÌHÊDÃ¾ÀLî

{0}

(a½

#eÇWîÍ7ÌHá{ÛâaÇWîpáôSÄ:Ã

µ
(0)

= 1,

(0)

= µz

µ−1

(0)

+µ

(0)

= z

(0)

, |argz

+ argz

| < π.

¼Ò

ä<ÚÀ:ÁÂ9É-ÅHîÍ

µ
n

µ(µ − 1) . . . (µ − n + 1)

VÌHÀÚÍÕÍÄaÐ&áÚÏå{ÄXÏLÀÑÕÏLá{ÔHÉµÞÇÍË¾á{ÔaÇpÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÀXÔHá{ÏLÕÃ¾Â&ÃæêÄ:Ã¾ÀÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ®ç<á{ÌHêLà{ádÕÀ

Åc

(1 + z)

µ
(0)

∞

n=0

µ
n

, |z| < 1.

í&É&Â&ÊÄÆÅaÇ

(0)

ÚË1Ç

z ∈ R

µ ∈ R

î7Ç7ÕOÇWÔHÌHáôaÄ:ÃÕ

½íÉ&Â&ÊÄÆÅê

(0)

îpá{ÛLÀLîÍÂÇ{âHÌHêLç&É-ÅHå{Ä:áþÕÍÔaÇWÏLÃæö

ç&ÔHÏLÀLÏÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÀÑÔHÏLÀÄ:ÏLÍÕÃæâHÌHÀc

(r(cos φ + i sin φ))

α+iβ
(0)

= r

−βφ

iαφ+iβ log

(0)

, r ∈ R

, φ ∈] − π, π[.

Ã¾ÀÄaÐ

θ ∈ R

½XíÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

ÅHÀâHÌñ&Ã

ÅÀLÊÄÆÅaåÔ/dÕÂ&Ã¾ÀLÛÅHÀôHË¾ÃiÚ&ÇWîÍ+ÅHÀ

ÅÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{ÄLåÚÏLÃ¾ÀÚÏLÃ¾Â&êÃiç&ÔHÏLÀÄ:Ã

ÕÚÏLÃ¾ÀÚÏLÃ¾Â&êc

{z : θ − π < Imz < θ + π} 3 z 7→ e

∈ C\e

iθ

] − ∞, 0].

ÚÕÔHá{ÌHÂÇ7ÚáÂ&ÃæÀ

ÅÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ+ÌHÀLÛUñêÚÏLÃ¾À£ÂÇWÏLÍÕOÇWÂÇ7Ë¾á{àÇWÔHÍDÌHî7ÀLî>½

OêÚÏLÃæÀLîÍUÅHå+á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ{ö

Ω

:= C\e

iθ

] − ∞, 0] 3 z 7→ log

(θ)

(z).

ä<ÇWÉ9ÕÇWÛLîÍ7DÏLÀÅÀôHËæÃ

< θ

+2π

7{ÌHá£ÂÇÅÀÚÂ&À

ÅÏLÀâHç

-ÅHÂ9ÍÄaÐ+âHÊ&ÙPÇ{Úá@ÕÍÄSÐ

Ω

(θ

)

∩Ω

(θ

)

log

(z) =

log

(z)

ÂÇpÚÔHÉ&à{Ã¾À

ÅÏÇ{ô7

log

(θ

)

z + i2π = log

(θ

)

ðáÚá{ñ&Â&ÃæÀXîpá{ÛLÂÇ+ÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾á@ÕOÇ{ö

Ω

3 z 7→ z

(θ)

:= e

µ log

(θ)

(z)

õ{ÀôHËæÃ

< θ

+ 2π

7ÌHásÂÇUÅHÀÚÂ&À

ÅÏLÀâHç

-ÅÂDÍÄSÐ)âHÊ&ÙPÇ{Úá@ÕÍÄSÐ

Ω

∩ Ω

î7ÇWîÍ

(θ

)

= z

(θ

)

ÂÇ

ÚÔHÉ&à{Ã¾À

ÅÏÇ{ô7

(θ

)

i2πµ

= z

(θ

)

õ{ÀôaË¾Ã

ÅÀâHÌ ÕÍîpÃ¾ÀLÔHÂ&ÀÑÃÔ/@ÕÂ&ÀUÂ&Ã¾ÀâHÊÔaÇ{ÄLÇWË¾Â&ÀLîÉþÉÙPÇWîpÊ{ádÕÃ

p
q

7&ÌHá

(θ)

= z

(θ+q2π)

÷ç&ÔHÏLÍâHÏ@Ù1áôaÄ:Ã3ñ<êÚÏLÃ¾ÀLîÍpÌHÔaÇWÊDÌHá@ÕOÇ{ö

log

(0)

ÅaÇWÊ{áâHÌaÇWÂÚ&ÇWÔaÚádÕOÀXáÚî7ÃæÇWÂ9Í+ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ<Ë¾á{àÇWÔHÍÌHî

Ã3ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ®ç<á{ÌHêLà{ádÕOÀ

ÅÃ®ñêÚÏLÃæÀLîÍçá{îpÃÝÅHÇ{öÃ¾ÂÚÀLÊâ

(0)

MZY$^_

]HO

VXWPMZYEQSR2O

T\M

]8O

^_ZQ)`ME_

Q5a

ðÉ&Â&ÊÌ

ÂÇWÏLÍDÕÇWîÍsÃ¾ÏLá{Ë¾á@ÕOÇWÂDÍDî!ç&É&Â&ÊÌHÀLî!áâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕÍîÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

ÅHÀôHË¾Ã<ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

r > 0

ÌaÇWÊDÃ87DÛLÀ

ÅÀâHÌ

Ð&á{Ë¾á{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇÂÇ

K(z

, r)\{z

}

ÇWË¾À

Â&Ã¾ÀÂÇWË¾ÀLÛLÍ£Úá

ÚÏLÃ¾ÀÚÏLÃæÂ9ÍÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

½øá{ÏLÔ/{ÛLÂ&Ã1ÇWîÍÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:À

ç&ÔHÏLÍçÇ{ÚÊDÃo½

p·1³iº³D¯·P³B«u«

&H¼2(

3/476

!8?'

+{'W&

áâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕOáôaö£çá{ÏLá{ÔHÂå'&uÉâHÉ9ÕÇWË¾Âå

(

*WU>$

08N

lim

z→z

f (z) 6= ∞.

¼×

&oÒ(

35476

!81'

+{'B&

ñ&Ã¾ÀLà{É&ÂÔHÏLêÚÉ

k = 1, 2, . . .

*WU>$

08N

lim

z→z

f (z)(z − z

)

6= 0, ∞.

&o×(

[\)R\

",RS"&'

3/476

$l"r>1"

R0&h*

K8?>$l'

K"r>?"

R&"

1?!9

-/"

"%(

3/4

$`"]+C%&h+*

21354k6

!8?'

+'B&

áâaá{ñ&Ë¾Ã¾ÕáôSöÃ1âHÌHá{ÌHÂå

ÕÍDÛLÀ

Åá{ç&ÃæâaÇWÂ&À

ÅâHÍÌHÉÇ{ÄÆÅÃÕÃ¾ÀLîÍ7ÛLÀ>ÚË1ÇÿçÀLÕÂ&ÀLà{á

R > 0

îpá{ÛLÀLîÍýÔHá{ÏLÕÃ¾Âå{öþÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHê

ÂÇ

K(z

, R)\{z

}

âHÏLÀLÔHÀLà

%®ÇWÉ&ÔHÀLÂDÌaÇ)c

f (z) =

∞

n=−∞

(z − z

)

#Fá{ÛLÀLîÍsÕÌHÀÚÍþÔHá{ÏLçá{ÏLÂÇ{öÑÌÆÍDçµáâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕOáôaÄ:ÃHc

p·1³iº³D¯·P³B«u«

&H¼2(

3/476

!8?'

+';&

",>1"

R0&"

]-7"

&'R

⇔ a

= 0

RS'

n =

−1, −2, . . .

&oÒ(

35476

!81'

+'f&

3/4

(

k = 1, 2, . . . ⇔ a

−k

6= 0

= 0

RS'

n = −k − 1, −k − 2, . . .

&o×(

35476

!81'

+{'B&

"r>?"

R&"

fq>1$`"$

⇔ inf{n : a

6= 0} = −∞.

-º{¹®°

´k

sin z

î7Ç+Õ

áâHá{ñ&ËæÃ¾ÕáôaöÉâHÉDÕOÇWË¾Âå½

(1 + z

)

−2

î7Ç+Õ

±i

ñ&Ã¾ÀLà{É&ÂDÍÚÔHÉ&à{Ã¾ÀLà{áÔHÏLêÚÉ½

1/z

î7Ç+Õ

áâHá{ñ&ËæÃ¾ÕáôaöÃæâaÌHá{ÌHÂå½

³%¯·1±S²d´C«Ku«p

Ω ⊂ C

!;"$&'%()$*<n

3/476

!8?'

8?)>1$

îpÀLÔHá{î7á{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ

Ω

q>1$

!!819

3/476

, z

, . . . ∈ Ω

$`'

8N)>1$/",RS"+{"(

Ω\{z

, z

, . . .}

35476

, z

, . . .

>19

3/4

21354k6

!81

-º{¹®°

´k

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ

(sin z)

−1

ÅHÀâHÌîpÀLÔHá{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ+ÂÇ

³%¯·1±S²d´C«Ku«

)>1

3/3

21354k6

!81

3/476

8N)>$

!"&'

81'

Resf (z

) :=

2πi

∂K(z

)

f (z)dz,

0 < R

< R

¼:Ü

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7ÛLÀXÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅaÇ+ÌaÇÂ&Ã¾À£ÏÇWË¾ÀLÛLÍsáÚþÕÍDñ<á{ÔHÉ

½Z#FÇWîÍ

n+1

n + 1

= z

, n ∈ Z\{−1}.

¿ËæÇWÌHÀLà{á

∂K(z

)

dz = 0, n ∈ Z\{−1}.

ðá{ÏÇpÌÎÍî

∂K(z

)

−1

dz = 2πi.

éDÌaå{ÚÕÍÂ&Ã¾ÊWÇÕÏ{Ô

Resf (z

) = a

−1

&H¼W½¾¼Ö(

õ{ÀôHËæÃ

î7Ç+ñ&ÃæÀLà{É&ÂÔHÏLêÚÉ>ÂÇ@ÅÕÍÛLÀ

7ÌHáÔHÀâHÃæÚÉ&É&î!îpá{ÛLÂÇpá{ñ&Ë¾ÃæÄ:ÏLÍöÏLÀÑÕÏLá{ÔHÉ

Resf (z

) = lim

z→z

(k − 1)!

k−1

(z − z

)

f (z).

&H¼W½¾¼ã(

õ{ÀôHËæÃ3ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaÇ

ÅÀâHÌ Ð&á{Ë¾á{î7á{ÔÁJÄ:ÏLÂÇÂÇ

Ω\{z

, . . . , z

}

7ÌHáÏÇ{ÄaÐ&áÚÏLÃÕÏ{Ô

∂Ω

f (z) =

j=1

2πiResf (z

&H¼W½¾¼dè5(

-º{¹®°

´k

õ{ÀôHË¾Ã

f (z) =

+ a

ÌHá

Resf (i) = −

ä<ÇWÌHÀLî

∞

−∞

+ a

dx =

∞

−∞

f (z)dz = 2πiResf (ia) =

}³

ý´¸«u«

³B´¸

r´¯´mu!1

a > 0

QuR'

R > 0

'+*

:= [R, R + iR] ∪ [R + iR, −R + iR] ∪ [−R + iR, −R]

:<$=

sup

R>0

iaz

|dz| < ∞.

#eÇWîÍ"c

iaz

|dz| = 2

−ay

dy + e

−aR

−R

= 2a

−1

(1 − e

−aR

) + 2Re

−aR

≤ 2a

−1

+ 2ae

−1

¼Ö

ÕOÇWàÇ)cçáÚá{ñ&Â&ÀáâHÏÇ{Ä:ádÕÇWÂ&Ã¾ÀÅHÀâHÌ®âÙ1ÉâaÏLÂ&À3ÅÀôaË¾ÃWÏÇ{âHÌaå9ç&ÃæîÍ

à{ÔHÂ9Íî

DÙ1á{ÊDÔHêLà{Ã¾ÀLîá

ç&ÔHá{îpÃ¾ÀLÂ&Ã¾É

-º{¹®°

´k

Ã¾ÀÄSÐ

f (z) :=

1 + z

VÌHÀÚÍ

Resf (i) =

−1

ðá{ÏÇpÌÎÍî,7

f (z)dz

≤ sup

R>0

iaz

|dz| sup

z∈γ

1+z

≤ C sup

z∈γ

1+z

Ä:á7Ú&åWÛLÍþÚápÏLÀLÔaÇ+àÚÍ

R → ∞

½Oä<ÇWÌHÀLî

∞

−∞

x sin x
1 + x

dx = Im

lim

R→∞

[−R,R]

f (z)dz

= Im (2πiResf (i)) = πe

−1

-º{¹®°

´k

lim

R→∞

−R

ixξ

x + i

dx =







0 ξ < 0,

−iπ ξ = 0,

−2iπe

−ξ

, ξ > 0.

}³

ý´¸«æ»

23/476

!8?'./",RS"+{"(U

+{'

!`T

354

-m!1(&A>

T%"

(

8+*

(

*,&9

:= {z

+ re

iφ

: φ

< φ < φ

:<$=

lim

r→0

f (z)dz = (φ

− φ

)iResf (z

#eÇWîÍ

f (z) =

−1

+ g(z),

àÚÏLÃ¾À

ÅHÀâHÌÐ&á{Ë¾á{î7á{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ+Õ

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:ÃæÀ7

lim

r→0

g(z)dz = 0.

-º{¹®°

´k

õ{ÀôHË¾Ã

f (z) :=

ÌHá

Resf (0) = 1

¿ËæÇWÌHÀLà{á

lim

R→∞

−R

sin x

dx = lim

R→∞

−R

f (z)dz = Im(πiResf (0)) = π.

¼ã

FGHF

MZYQSRUJ

T\MPT\]HO

Q)`M

NWPMZY$^

OHJ

YNQ)`

UQ)O

ðÔHÏLÀLÏ

ñ<êÚÏLÃ¾ÀLîÍ7á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ{öâÈPÀLÔHêXø

Ã¾ÀLî7ÇWÂ&ÂÇ)7ÌHápÏLÂÇ{Ä:ÏLÍ

C ∪ {∞}

Ã¾ÀÄaÐ

Ω ⊂ C

½Z#'@ÕÃ¾îÍ7&ÛLÀ

ÅHÀâHÌÇWÂÇWË¾ÃæÌÎÍÄ:ÏLÂÇ+Õ

∞

7àÚÍ

f (

1
z

)

ÅHÀâHÌÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂÇ+Õ

ðÉ&Â&ÊÌ

∞

ÂÇWÏLÍÕOÇWîÍþÃ¾ÏLá{Ë¾á@ÕOÇWÂ9Íî

ç&É&Â&ÊÌHÀLî

áâHá{ñ&ËæÃ¾ÕÍDî

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

7&àÚÍþÚË1Ç+çÀLÕÂ&ÀLà{á

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

ÅHÀâHÌÐ&á{Ë¾á{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇeÂÇ

C\K(0, R)

∞

Â&Ã¾ÀÂÇWËæÀLÛLÍýÚá

ÚÏ:ÃæÀÚÏLÃ¾Â9Í

½)ø

á{ÏLÔ/{ÛLÂ&ÃæÇWîÍ

ÂÇ{âHÌHêLç&É-ÅHå{Ä:À

ç&ÔHÏLÍçÇ{ÚÊDÃHc

¼2(

î7Ç+Õ

∞

áâHá{ñ&ËæÃ¾Õáôaöç<á{ÏLá{ÔHÂå)7{ÅHÀôHË¾Ã<ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

lim

z→∞

f (z) 6= ∞.

Ò(

î7Ç+Õ

∞

ñ&Ã¾ÀLà{É&ÂÔHÏLêÚÉ

k = 1, 2, . . .

7&àÚÍÃæâaÌHÂ&Ã¾À

ÅÀ

lim

z→∞

f (z)z

−k

6= 0, ∞.

×(

î7Ç+Õ

∞

áâHá{ñ&ËæÃ¾ÕáôaöÃæâaÌHá{ÌHÂå+Õç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂ9Íî

ÔaÇWÏLÃ¾À{½

ÕÍDÛLÀ

Åá{ç&ÃæâaÇWÂ&À

ÅâHÍÌHÉÇ{ÄÆÅÃÕÃ¾ÀLîÍ7ÛLÀ>ÚË1ÇÿçÀLÕÂ&ÀLà{á

R > 0

îpá{ÛLÀLîÍýÔHá{ÏLÕÃ¾Âå{öþÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHê

ÂÇ

C\K(z

, R)

ÕâHÏLÀLÔHÀLà+%®ÇWÉ&ÔHÀLÂ9ÌaÇ)c

f (z) =

∞

n=−∞

#Fá{ÛLÀLîÍsÕÌHÀÚÍþÔHá{ÏLçá{ÏLÂÇ{öÑÌÆÍDçµáâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕOáôaÄ:ÃHc

¼2(í&É&Â&ÊÄÆÅaÇ

î7Ç+Õ

∞

áâHá{ñ&ËæÃ¾Õáôaö£ç<á{ÏLá{ÔHÂå,&uÉâHÉDÕOÇWË¾Âå

(OàÚÍ

= 0

ÚËæÇ

n = 1, 2, . . .

Ò(í&É&Â&ÊÄÆÅaÇ

î7Ç+Õ

∞

ñ&Ã¾ÀLà{É&ÂµÔHÏLêÚÉ

k = 1, 2, . . .

àÚÍ

6= 0

= 0

ÚËæÇ

n = k + 1, k + 2, . . .

×(í&É&Â&ÊÄÆÅaÇ

î7Ç+Õ

∞

áâHá{ñ&ËæÃ¾Õáôaö£Ã1âHÌHá{ÌHÂå)7-ÅÀôaË¾Ã

sup{n : a

6= 0} = ∞.

-º{¹®°

´k

í&É&Â&ÊÄÆÅHÇ

î7Ç+Õ

∞

ÃæâHÌHá{ÌHÂDÍç&É&Â&ÊÌáâHá{ñ&Ë¾ÃæÕÍ{½

³%¯·1±S²d´C«Kæ»3«

[kR

Ω ⊂ C

8?)>1$

"$&'($*{$`"a+{C&h0+*

2135476

!81'

8N)>$+a1("+{"(

Ω

U>$

08?9

35476

, z

, . . . ∈ Ω

$`'

8?)>1$A/",RS"+{"(

Ω\{z

, z

, . . .}

+'f&

, z

, . . .}

"r>?"

R&"??l-/"

{

354

-º{¹®°

´k

ðÉ&Â&ÊDÌ

∞

Â&Ã¾ÀOÅÀâHÌÃæÏLá{Ë¾ádÕÇWÂ9Íî

ç&É&Â&ÊDÌHÀLî

áâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕÍî

ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

(sin z)

−1

ä<ÇWÌHÀLî,7ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇpÌaÇ+Â&Ã¾ÀÅÀâaÌîpÀLÔHá{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇ+ÂÇ

³%¯·1±S²d´C«Kæ»J»

)>1

3/3

21354k6

!81

∞

8?>$

(C&

Resf (∞) :=

2πi

∂(C\K(0,R

))

f (z)dz = −

2πi

∂K(0,R

)

f (z)dz

> R

¼dè

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7ÛLÀXÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅaÇ+ÌaÇÂ&Ã¾À£ÏÇWË¾ÀLÛLÍsáÚþÕÍDñ<á{ÔHÉ

#FÇWîÍÕÏ{Ô

Resf (∞) = −a

−1

&H¼W½¾¼ì(

ç&ÔaÇWÊDÌÆÍÄ:ÀXî7á{ÛLÀLîÍsÕÍDËæÃæÄ:ÏÇ{öÔHÀâHÃæÚÉ&É&î!ÕÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôSÄ:Ã®ÏLÀXÕÏLá{ÔHÉ

Resf (∞) = Resg(0), g(w) := −f

&H¼W½¾¼ï(

õ{ÀôHËæÃ3ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaÇ

ÅÀâHÌ Ð&á{Ë¾á{î7á{ÔÁJÄ:ÏLÂÇÂÇ

Ω\{z

, . . . , z

}

7àÚÏLÃ¾À

Ω ⊂ C

7&ÌHá7ÏÇ{ÄaÐ&áÚÏLÃÕÏ{Ô

∂Ω

f (z) =

j=1

2πiResf (z

&H¼W½rÒWò

(

-º{¹®°

´k

Ã¾ÀÄSÐ

f (z) :=

1−z

100

ÌHÀÚÍ

Resf (∞) = 1.

¿ËæÇWÌHÀLà{á7

∂K(0,2)

f (z)dz = −2πiResf(∞) = −2πi.

p·1³iº³D¯·P³B«æ»

2135476

!81'

+a1("+{"(

8?>$f&h*r+1(

4\4

*,+}>td"&h*

2135476

!81'<'

',R0$*

8N)>1$

&h*,+!1(

Ã¾ÀÄSÐ

ñ<êÚÏLÃ¾ÀîpÀLÔHá{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇÂÇ

½ðá{Â&Ã¾ÀLÕOÇWÛpâHÈPÀLÔaÇøÃ¾ÀLî7ÇWÂ&ÂÇÑÅÀâaÌ

ÏLÕOÇWÔHÌaÇÇç&É&Â&ÊÌÎÍ

áâHá{ñ&Ë¾ÃæÕÀ

âaåþÃ¾ÏLá{ËæádÕOÇWÂ&À7ÕÃ¾êÄÅHÀâHÌXÃ1ÄaÐýâHÊ{á{óÄ:ÏLÀLÂ&ÃæÀpÕÃ¾ÀLË¾À{½

Ã¾ÀÄSÐ

, . . . , z

, ∞}

ñêÚ&å>ç&É&Â&ÊDÌaÇWîpÃ

áâHá{ñ&Ë¾ÃæÕÍDîpÃÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

Ã¾ÀÄaÐ

n=1

n,i

(z − z

)

−n

ñ<êÚ&å+áâHá{ñ&Ë¾Ã¾ÕÍîpÃÄ:ÏLêâaÄ:ÃæÇWîpÃ3ÔHá{ÏLÕÃ¾Â&Ãæêö£ÕâHÏLÀLÔHÀLà

%®ÇWÉ&ÔHÀLÂDÌLß

ÇpÕá{ÊDÙ

á{ÔaÇWÏ

∞

n=1

n,∞

Â&Ã¾ÀÄSÐ>ñêÚÏLÃæÀ£Ä:ÏLêôSÄ:Ãæå+ÔHá{ÏLÕÃ¾Â&Ã¾êÄ:ÃæÇÕ

âaÏLÀLÔHÀLà%®ÇWÉ&ÔHÀLÂ9ÌLß

ÇÕá{ÊDÙ

∞

ÏXÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ã¾î7Ãçá{ÌHêLàÇWîpÃÎ½EVÌHÀÚÍ

f (z) −

i=1

n=1

n,i

(z − z

)

−n

−

∞

n=1

n,∞

ÅHÀâHÌ ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaåÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå+ÂÇ

½Oä<ÇWÌHÀLî

ÂÇîpáÄ:Í7ÌÆÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇ

%Ã¾á{ÉÃ¾Ë¾ËæÀ{ß

ÇÅHÀâHÌâHÌaÇ9ÙPÇ½

¼ì

FGHF

MZYQSRUJ

T\MPT\]HO

Q)`M

³%¯·1±S²d´C«Kæ»!

Ω ⊂ C

f : Ω → C

C&h0+f*

8?)>1$'

',R0$*

∈ Ω

>=-kt

u>19

'r>$

8?9%@f&'%(

3/476

6= ∞

f (z

) 6= ∞

$`"

8?>$

',R$*

'B&

"$`"N

&h*

*,+

b?G

6= ∞

f (z

) = ∞

$`"

f (z)

8?>$'

',R$*

'W&

"$`"N

&h*

*r+

>1!

w1G

= ∞

f (z

) 6= ∞

$`"

f (

1
z

)

8?>$'

',R$*

'W&

"$`"N

&h*

t=*,+

xrG

= f (z

) = ∞

$`"

f (

1
z

)

8?>$'

',R$*

'W&

"$`"N

&h*

*,+

p·1³iº³D¯·P³B«æ»

a+a1("+{"(

Ω ⊂ C

2135476

Ω

td'

f (z

) := lim

z→z

f (z),

&P>

T%C,R

"??

3/4

213/476

!81

td'

!?+f*

f (z

) := ∞

;:<$=

213/476

!8?'

f : Ω → C,

8N)>$

',R$*

'B&P>?

!!81

bxrG

p·1³iº³D¯·P³B«æ»

f'D

21354k6

!8?'a7",R"%+"%(U

8N)>$>$`'td'%

bNG

f'D

!81'<'

',R0$*

&P>

8?>$

/"+{"T('9%

w?G

f'D

23/476

81'<'

'R0$*

8N)>$&h*,+f1(

&H¼2(ÅÀâHÌç&ÔHÀ:Èuá{ÔHîÉÙ1ádÕOÇWÂ&ÃæÀLî

ÌÎÕÃæÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇ-%Ã¾á{ÉÃ¾Ë¾ËæÀ{ß

Ç½$&o×(ÅÀâHÌç&ÔHÀ:Èuá{ÔHîÉÙ1ádÕOÇWÂ&ÃæÀLî

Þ®ÕÃæÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇ

&H¼W½rÒ{×(a½P*ñ9ÍÚádÕÃæÀôaö

&oÒ(Ê{á{ÔHÏLÍâHÌaÇWîÍsÏ&o×(a½

FGHF

`MPT

Q)`M

5`J

XWT

OHT

VXW

MZYQSRUO[T\MPT\]HO

^_ZQ)`ME_ZQ

p·1³iº³D¯·P³B«æ»

9Y/"R"+{"(

"$&'($*,+

>=-7C8

*r+

Ω ⊂ C

tdCD?+*

U>$

!08N

N09NT

} ⊂ Ω

$`'

lim

n→∞

=: z

∈ Ω

6= z

RS'

n = 1, 2, . . .

f (z

) = g(z

), n = 0, 1, 2, . . . .

:<$=

f = g

'<'t=*,+

Ω

Ã¾ÀÄSÐ

Ω

:= {z ∈ Ω : f

(j)

(z) = g

(j)

(z), j = 0, 1, . . .}.

äñ&Ã

{Ô

Ω

ÅHÀâHÌÚá{îpÊÂ&Ã¾êLÌÎÍsÕ

Ω

ÅaÇWÊ{áç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾êÄ:Ã¾ÀXÚá{îpÊÂ&Ã¾êLÌÎÍÄaÐÕ

Ω

ÏLñ&Ã¾á{Ô/dÕ

{z ∈ Ω : f

(j)

(z) = g

(j)

(z)}.

õ{ÀâaÌá{ÂÔ/dÕÂ&Ã¾ÀLÛUá{ÌÎÕOÇWÔHÌÆÍ7ñ<ápÚËæÇ+ÊWÇWÛÚÀLà{á

∈ Ω

ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

r > 0

ÌaÇWÊÃ¾À7ÛLÀXÂÇ

K(˜

, r)

f (z) =

∞

n=0

(n)

(˜

)

(z − ˜z

)

∞

n=0

(n)

(˜

)

(z − ˜z

)

= g(z).

¼ï

õ{ÀâHÌ

á{ÂÕÔHÀâHÏÄ:Ã¾ÀÑÂ&Ã¾ÀLç&ÉâHÌÆÍ7ñ<á

∈ Ω

ÔHÏLÀÄ:ÏLÍâaÇWîpÀ

Å7Ã1âHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

r > 0

ÌaÇWÊÃ¾À7&ÛLÀÑÂÇ

K(z

, r)

f (z) =

∞

n=0

(z − z

)

g(z) =

∞

n=0

(z − z

)

Ã¾ÀÄaÐ

:= a

− b

Â&Ã¾ÀÄaÐµñêÚÏLÃ¾À£ÂÇ@ÅHîpÂ&Ã¾À

ÅaâHÏLÍî

ÃæÂÚÀLÊâHÀLî!ÌaÇWÊÃ¾î,7ÛLÀ

6= 0

½ZÌHÀÚÍ

0 = lim

n→∞

f (z

) − g(z

)

− z

)

= c

6= 0

Ä:á£ÅHÀâHÌâHç&ÔHÏLÀÄ:ÏLÂ&áôaÄ:Ãæå½

FGHF

5`J

T\M

OHJ

V3W

MZYQSRUO[T\MPT\]HO

Q)`ME_ZQ

Ã¾ÀÄaÐ

Ω ⊂ C

ñêÚÏLÃ¾Àÿá{ÌÆÕOÇWÔHÌÎÍî

âaç"-ÅHÂ9Íî

ÏLñ&Ã¾á{ÔHÀLî

f : Ω → C

ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaåNÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå½

Ã¾ÀÄaÐ

[0, 1] 3 τ 7→ γ(τ) ∈ C

ñ<êÚÏLÃ¾ÀÊÔHÏLÍÕOå+ÌaÇWÊWå)7ÛLÀ

γ(0) ∈ Ω

#'@ÕÃ¾îÍ7ÛLÀÑîpá{ÛLÂÇç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÍö

ÕÏÚJÙ1É&Û

7&àÚÍÚËæÇÊWÇWÛÚÀLà{á

τ ∈ [0, 1]

ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

Åaå

> 0

Ã3ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaÇÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂÇ

: K(γ(τ ), r

) → C

ÌaÇWÊDÃ¾À7&ÛLÀ

&H¼2(

= f

ÂÇ

K(γ(0), r

) ∩ Ω

&oÒ(

¿ËæÇÊ-ÇWÛÚÀLà{á

∈ [0, 1]

ÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

> 0

ÌaÇWÊDÃH73ÛLÀpÚËæÇsÊWÇWÛÚÀLà{á

σ ∈ [0, 1] ∩ [τ

− , τ

+ ]

îÇWîÍ

γ(τ

) ∈ K(γ(σ), r

)

á{ÔaÇWÏ

= f

ÂÇ

K(γ(τ

), r

) ∩ K(γ(σ), r

)

p·1³iº³D¯·P³B«æ»

σ ∈ [0, 1]

= γ(σ)

<:<$=

)

',RqDN*$*rR

"a"

213/476

!81

f : Ω → C

(

*,&

',RqD?*;"

&h*

³%¯·1±S²d´C«Kæ»h!

f (z

)

=γ(σ)

:= f

)

*,&'+*{&'()$`"

1?!9;&

3/476

21354k6

!81

DN"

08X&

(

*,&

Ã¾ÀÄSÐ

, f

, ˜

âaåÑÚÕÃ¾ÀLî7ÇÔHáÚÏLÃ¾ÂÇWîpÃâHç<À@Ù1Â&ÃæÇ@Åaå{Ä:ÍDî7ÃDÕÇWÔHÉ&Â&ÊDÃ<ÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅÃ&ç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÀLÂ&Ã1Ç

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃo½ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7JÛLÀÑÃæâaÌHÂ&Ã¾À

ÅÀ

τ ∈ [0, 1]

ÌaÇWÊÃH7ÛLÀ

6= ˜

ÂÇ

K(γ(τ ), min(r

, ˜

))

Ã¾ÀÄSÐ

= inf{τ ∈ [0, 1] : f

6= ˜

ÂÇ

K(γ(τ ), min(r

, ˜

)}.

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7

> 0

Ã¾ÀÄSÐ

> 0

âHç<À@Ù1Â&ÃæÇÕOÇWÔHÉ&Â&ÀLÊ

&oÒ(ÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅHÃÏÇWÔ/@ÕÂ&áþÚË1ÇÔHáÚÏLÃæÂ9ÍÏXÌÆÍDËæÚ&åÑÅHÇWÊþÃ

ñ<ÀLÏÑÌÎÍËæÚÍ{½

ÃæÀÄaÐ

−

∈ [τ − , τ

[

∈ [τ

, τ + ]

ÌHÀÚÍ

−

= f

ÂÇ

K(γ(τ

−

), r

−

) ∩ K(γ(τ

), r

);

−

= ˜

ÂÇ

K(γ(τ

−

), ˜

−

) ∩ K(γ(τ

), ˜

);

−

= ˜

−

ÂÇ

K(γ(τ

−

), min(r

−

, ˜

−

)).

ÒWò

ØOÏLÍË¾Ã

= ˜

ÂÇ

K(γ(τ

−

), min(r

−

, ˜

−

)) ∩ K(γ(τ

), min(r

, ˜

)).

&H¼W½rÒ¼2(

äñ&Ã

{Ô

&H¼W½rÒ¼2(ÅHÀâHÌ£Â&Ã¾ÀLç&ÉâHÌÆÍ7ñá

γ(τ

)

ÚáÂ&Ã¾ÀLà{áþÂÇWË¾ÀLÛLÍ7&ÅÀâHÌ£á{ÌÆÕOÇWÔHÌÎÍÿÃÕÍç&É&Ê&Ù1ÍpÅHÇWÊ{áç&ÔHÏLÀÄ:ÃæêÄ:Ã¾À+ÊDÙ

á{ÌÎÕÇWÔHÌÎÍÄaÐ½õ{ÀâHÌÕÃ¾êÄ âHç

-ÅÂDÍ{½}ä<ÇWÌHÀLîxÂÇ£î7áÄ:Í ÅHÀÚÂ&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ&áôaÄ:Ãç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇWÂ&Ã1Ç£ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂDÍÄSÐ

= ˜

ÂÇ

K(γ(τ

), min(r

, ˜

))

7JÄ:ápç&ÔHÏLÀÄ:ÏLÍÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅHÃ

-º{¹®°

´k

Ã¾ÀÄaÐeÊDÔHÏLÍÕOÇ

[0, 1] 3 τ 7→ γ ⊂ C \ {0}

ñêÚÏLÃ¾ÀÏÇWîpÊÂ&Ã¾êLÌaÇ&lÄ:ÏLÍË¾Ã

w := γ(0) = γ(1)

á{ÊÔaåWÛÇç&É&Â&ÊÌ

0 n ∈ Z

ÔaÇWÏLÍ{½ä<Ç9Ù

{ÛLîÍµÌHÀLÛ7ÛLÀ

γ(0) ∈ C \ e

iθ

] − ∞, 0]

ÌHÀÚÍ>î7á{ÛLÂÇç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÍö

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÀ

log

(θ)

ÕÏÚJÙ1É&ÛXÊÔHÏLÍÕÀ

Ãî7ÇWîÍ

log

(θ)

(w)

w=γ(1))

= n2πi + log

(θ)

µ
(θ)w=γ(1)

= e

nµ2πi

µ
(θ)

-º{¹®°

´k

ÔaÇWî7Ç{ÄSÐµÇWÂÇWË¾Ã¾ÏLÍÔHÏLÀÄ:ÏLÍDÕÃæâaÌHÀ

ÅÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀXâHÃ¾êÑáâaá{ñ&Â&áÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÀÑáÚÕÔHá{ÌHÂ&ÀÚáÌHÔHÍà{á{Â&á{î

ÀLÌHÔHÍÄ:ÏLÂ9ÍÄaÐµÃÐ&ÃæçÀLÔHñ<á{Ë¾ÃæÄ:ÏLÂDÍÄSÐ

archt = log(

√

− 1 + t)

= − log(

√

− 1 + t),

t ∈ [1, ∞[

arsht = log(

√

+ 1 + t)

= − log(−

√

+ 1 − t),

t ∈ R

arccos t =

log(i

√

− 1 + t)

= −

log(−i

√

− 1 + t),

t ∈ [−1, 1[.

í&É&Â&ÊÄÆÅHÀÌHÀsîpá{àåeñ9ÍöÌHÔaÇWÊÌHádÕÇWÂ&ÀÅHÇWÊ{áÿç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÀLÂ&ÃæÇ

ÇWÂÇWËæÃ¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ&ÀXÅHÀÚÂ&À

ÅÏsÂ&ÃæÄSÐ

7}ÂÇeç&ÔHÏLÍDÊÙPÇ{Ú

archt

½P#eÇWîÍñá@ÕÃ¾ÀLî

arch(±is) = ±i

+ arshs,

s ∈ R,

archt = ±i arccos t,

t ∈] − 1, 1[,

arch(−t) = ±iπ + archt,

t ∈ [1, ∞[,

àÚÏLÃ¾À

Ë¾É&ñ

−

ÏÇWËæÀLÛLÍáÚþÌHÀLà{á7JÄ:ÏLÍsç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇWîÍà{ÔaåpÄ:ÏLÍþÚáDÙ1ÀLî>½

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍXÌHÀLÛ7@ÛLÀá{ÊDÔaåWÛLÀLÂ&Ã¾ÀOç&É&Â&ÊDÌHÉ

±1

ç&ÔHádÕÇ{ÚÏLÃÚá

çá{îpÂ&á{ÛLÀLÂ&Ã1Ç

archt

ç&ÔHÏLÀLÏ

−1

7-ÏÇ{ô®á{ÊÔaåWÛLÀLÂ&Ã¾À

[−1, 1]

ç&ÔHádÕÇ{ÚÏLÃÚá7ÚáÚ&ÇWÂ&ÃæÇ

2πi

Úá

archt

-º{¹®°

´k

arctgt =

(log(1 + it) − log(1 − it)) .

-º{¹®°

´k

øá{ÏLÕOÇWÛLîÍÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHê

f (z) = z

(z − 1)

#Fá{ÛLÀLîÍÅaåpÔHá{ÏLÉ&îpÃæÀöÅHÇWÊ{ásÃ¾Ë¾áÄ:ÏLÍÂàÇ9Ù1êLÏLÃàDÙ

@ÕÂ9ÍÄaÐ

(z − 1)

7ÊÌ/{ÔHÍÅÀâaÌ

Úá{ñ&ÔHÏLÀá{ÊÔHÀôHË¾á{ÂDÍÂÇ

C\] − ∞, 1]

Ò¼

ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7ÛLÀ>ÊÔHÏLÍDÕÇ

ÏÇ{Ä:ÏLÍDÂÇBâHê>Õ

Úá@Õá{Ë¾ÂDÍDî

ç&É&Â&ÊÄ:Ã¾À

C\] − ∞, 1]

á{ñ&Ã¾ÀLàÇ

áÚ&Ä:Ã¾Â&ÀLÊ

[0, 1]

ÕÊÃ¾ÀLÔHÉ&Â&ÊÉ)ç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂDÍDî

ÚáµÔHÉÄaÐDÉCÕâHÊ-ÇWÏ@ÕÀLÊ

ÃOÕÔaÇ{ÄLÇµÚáµç&É&Â&ÊÌHÉýÕÍdÅaôaÄ:ÃæÇ)7Â&ç½

∂K(0, R)

7àÚÏLÃ¾À

R > 1

½$ÌHÀÚÍÕÇWÔHÌHáôaöÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

f (z)

çáUç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÀLÂ&Ã¾ÉsÇWÂÇWËæÃ¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ9ÍîÕÏÚJÙ1É&Û

ÕÇWÔHÌHáôaöÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

f (z)

îpÂ&á{ÛLÍþâHÃ¾ê£ç&ÔHÏLÀLÏUÄ:ÏLÍÂ&Â&Ã¾Ê

i2π(α+β)

âHÏÄ:ÏLÀLà{ËæÂ&áôaÄ:ÃH7-ÅHÀôHË¾Ã

α + β ∈ Z,

&H¼W½rÒ{Ò(

ÌHáÕÔaÇ{ÄLÇWîÍÚáÌHÀ

ÅiâSÇWîpÀ

Å®ÕOÇWÔHÌHáôaÄ:ÃÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

VÌHÀÚÍXîpá{ÛLÀLîÍÑÂÇ{âHÏå

ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHê ÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾ádÕÇ{öOÂÇ

C\[0, 1]

ÅaÇWÊ{áÅÀÚÂ&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂåpÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHêUÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå½

-º{¹®°

´k

ðá{Ë¾Ã1Ä:ÏLîÍsÄLÇ9Ù1Ê{ê

I =

x(1 − x)(1 + x)

øá{ÏLÕÇWÛLîÍ

f (z) =

z(z − 1)(1 + z)

ÔHá{ÏLÉ&îpÃæÇWÂåÑÅHÇWÊ{áÈuÉ&Â&ÊÄÆÅêÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂåÂÇ

C\[0, 1]

âHç<áâ/{ñµá{ç&ÃæâSÇWÂ9Í>ç<ádÕÍÛLÀ

Å:½

∞

ÔHÀâaÃæÚÉ&É&îÅHÀâHÌ

Ô/dÕÂ&À

½Oä<ÇWÌHÀLî

[1,0

−

]

f (z)dz = −e

−i

1
2

I + e

−i

3
2

I = −2πiResf(−1),

Resf (−1) = lim

z→−1

f (z)(z + 1) =

z(z − 1)

z=−1

= −

√

ä<ÇWÌHÀLî

I =

√

FGHF

∗

'OHJ5`Q

MPOHJ

OHJ

MPT0O

VXW

MZYQSRUJ

T\MPT\]HO

Q)`M

'OHJ]

`MPT

Q)`MPJ

Ã¾ÀÄaÐ

ñêÚÏLÃæÀsç&ÔHÏLÀâaÌHÔHÏLÀLÂ&ÃæåÿÌHá{çá{Ëæá{à{ÃæÄ:ÏLÂå

ÇWÉâaÚá{ÔÇÿÃ

áÚÕÏLá{ÔHá@ÕOÇWÂ&Ã¾ÀLî#Ï

#'@ÕÃ¾îÍ7

ÛLÀ

(Ξ, φ)

ÅHÀâHÌÑç<ádÕÃ¾ÀLÔHÏÄSÐ&Â&ÃæåøÃæÀLî7ÇWÂ&ÂÇ7ÂÇ{Ú

7àÚÍeÚË1ÇÊWÇWÛÚÀLà{á

v ∈ Ξ

Ã1âHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

r > 0

á{ÔaÇWÏ7Ä:ÃæåDàDÙ1À

áÚÕÏLá{ÔHádÕOÇWÂ&ÃæÀ

v,r

: K(φ(v), r) → Ξ

ÌaÇWÊÃ¾À7&ÛLÀ

φ ◦ ψ

v,r

(z) = z, z ∈ K(φ(v), r)

v,r

(K(φ(v), r))

ÅÀâaÌá{ÌÎÕOÇWÔHÌÆÍ>Õ

Ã¾ÀÄaÐ

(Ξ, φ)

ñ<êÚÏLÃ¾ÀÑçá@ÕÃ¾ÀLÔHÏÄaÐ&Â&Ã1åpøÃ¾ÀLîÇWÂ&ÂÇÂÇ{Ú

#eÇîpÃ¾À

ÅaâaÄ:ÀÑÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÍþÈlÇWÊDÌc¿Ë1ÇÊ-ÇWÛÚÀLà{á

v ∈ Ξ

7Ã1âHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

∈]0, ∞]

ÌaÇWÊÃ¾À7ÛLÀUáÚÕÏLá{ÔHádÕÇWÂ&Ã¾À

v,r

áUÕÙPÇ{âaÂ&áôaÄ:ÃæÇ{ÄaÐsá{ç&ÃæâaÇWÂDÍÄSÐ7ç<ádÕÍÛLÀ

ÅÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ7ÏÇ{ôÚËæÇ

r > r

ÌaÇWÊDÃæÀ

r,v

Â&Ã¾ÀÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ{½¿áâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

ÕÌHÀLÂµâHç<áâ/{ñþÈuÉ&Â&ÊÄÆÅê

Ξ 3 v 7→ r

∈]0, ∞]

½PêÚÏLÃ¾ÀLîÍç&ÃæâSÇ{ö

:= ψ

v,r

Ã¾ÀÄaÐ

f : Ξ → C

#dÕÃæîÍ7<ÛLÀ

(Ξ, φ, f )

ÅHÀâHÌÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaåÇWÂÇWË¾ÃæÌÎÍÄ:ÏLÂå7ÂÇ

7JàÚÍFÚËæÇpÊWÇWÛÚÀLà{á

ÌHá

f ◦ ψ

: K(φ(v), r

) → C

ÅHÀâHÌ ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaåÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå+Õ

ÏLÕÍDÊÙ1ÍDî

âaÀLÂâHÃ¾À{½

Ã¾ÀÄaÐ

(Ξ, φ, f )

ñêÚÏLÃæÀ>ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHåBÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂåBÂÇ

¿ËæÇ)ÊWÇWÛÚÀLà{á

v ∈ Ξ

7Â&Ã¾ÀÄSÐ

v,f

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ

ç&ÔHá{îpÃ¾ÀLóÏLñ&ÃæÀLÛLÂ&áôaÄ:Ã3ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

f ◦ ψ

v,r

ÚËæÇ+ç<ÀLÕÂ&ÀLà{á

r > 0

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:ÃæÀ7

0 < r

< r

v,f

Ò{Ò

#dÕÃ¾îÍ7ÛLÀ

(Ξ, φ, f )

ÅHÀâHÌîÇWÊâHÍî7ÇWË¾ÂÇÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaåÇWÂÇWË¾ÃæÌÎÍÄ:ÏLÂå)7àÚÍpÚË1ÇUÊWÇWÛÚÀLà{á

v ∈ Ξ

= r

v,f

#dÕÃ¾îÍ7ÛLÀ

(Ξ, φ, f )

ÅHÀâHÌ7ÏLÔHÀÚÉ&Ê{á@ÕOÇWÂÇ)7àÚÍ?ÏFÌHÀLà{á7ÛLÀ

, v

∈ Ξ

φ(v

) = φ(v

) = z

0 < r < min(r

, r

)

ÕÍÂ&Ã¾ÊWÇ)7&ÛLÀ£ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÀ

K(z

, r) 3 z 7→ f(ψ

(z)),

K(z

, r) 3 z 7→ f(ψ

(z)),

âaåBÔ/{ÛLÂ9ÍîpÃÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaÇWîpÃo½úõ{ÀôHË¾Ã

(Ξ, φ, f )

Â&Ã¾À7ÅÀâHÌ7ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaåBÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕOÇWÂå)7ÑÏÇdÕâHÏLÀÿîpá{ÛLÂÇ>ÅHåBÕÅHÀÚ

Â&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ9ÍNâHç<áâ/{ñ?ÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇ{öW½

ç&ÔHádÕOÇ{ÚÏÇWîÍCÕ

ÔHÀLË1Ç{ÄÆÅêc

∼ v

àÚÍ

φ(v

) = φ(v

)

ÃÚËæÇ

r := min(r

, r

)

f ◦ ψ

= f ◦ ψ

VÌHÀÚÍ

∼

ÅHÀâHÌÔHÀLËæÇ{ÄÆÅaå+Ô/dÕÂ&á@ÕOÇWÛLÂ&áôaÄ:Ão½ ¿À:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍ

red

:= Ξ/ ∼,

Ã¾ÀÄaÐ

red

: Ξ → Ξ

red

ñêÚÏLÃ¾ÀÑÊWÇWÂ&á{Â&ÃæÄ:ÏLÂåâHÉ&ÔPÅHÀLÊÄÆÅaå½¿À:ÁÂ&Ã¾É-ÅÀLîÍ7Ô/@ÕÂ&Ã¾ÀLÛ

red

([v]) := φ(v),

red

([v]) := f (v).

VÌHÀÚÍ

(Ξ

red

, φ

red

)

ÅHÀâHÌçá@ÕÃ¾ÀLÔHÏÄaÐ&Â&Ã1åXøÃ¾ÀLîÇWÂ&ÂÇÂÇ{Ú

(Ξ

red

, φ

red

, f

red

)

ÅHÀâHÌÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇWÂåXÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaå

ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå+Ã®âaçÀ@Ù1Â&Ã¾á{Â&ÀXâSå+ÕOÇWÔHÉ&Â&ÊÃ

φ = φ

red

◦ φ

red

f = f

red

◦ φ

red

Ã¾ÀÄaÐ

(Ξ

, φ

, f

)

(Ξ, φ, f )

ñêÚ&å?ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇWî7ÃXÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ9ÍîpÃo½

#dÕÃ¾îÍ7£ÛLÀ

(Ξ

, φ

, f

)

ÅHÀâHÌ

ç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÀLÂ&Ã¾ÀLî

(Ξ

, φ

, f

)

7&àÚÍ

⊂ Ξ

, f

á{ñ3Ä:Ã¾êLÌHÀXÚá

ç<á{ÊDÔHÍÕOÇ@ÅaåâHÃ¾ê£Ï

, f

ÓÑÇWÛÚ&å£ÏLÔHÀÚÉ&Ê{á@ÕOÇWÂåÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHê ÇWÂÇWËæÃ¾ÌÎÍÄ:ÏLÂåîpá{ÛLÂÇÕûâHçáâ{ñÅHÀÚÂ&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ9Í+ç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÍöÚáÑî7ÇWÊâaÍ51

î7ÇWË¾Â&À

Å ÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇWÂ&À

ÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ®ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂ&À

ÅL½

FGHF

∗

NOHT

Y5`)_,_ZQ

Ã¾ÀÄaÐ

Ω

ñ<êÚÏLÃ¾Àá{ÌÆÕOÇWÔHÌÎÍîúçáÚÏLñ&Ã¾á{ÔHÀLî

, z

∈ Ω

ÏLÂÇ{Ä:ÏLîÍÑç&ÔHÏLÀLÏ

K(z

, z

, Ω)

ÏLñ&Ã

{Ô®ÊÔHÏLÍDÕÍÄaÐ

ÏÇ{Ä:ÏLÍÂÇ@ÅHå{Ä:ÍÄaÐeâHÃ¾ê£Õ

ÃÊ{á{óÄ:Ïå{Ä:ÍÄaÐeâHÃ¾ê£Õ

7&ÌHÏLÂ

γ(0) = z

γ(1) = z

Ã¾ÀÄaÐ

, γ

∈ K(z

, z

, Ω)

#dÕÃ¾îÍ7

ÛLÀ

ÅÀâaÌÐ&á{îpá{ÌHá{ç&ÃÝÅÂ&Ã¾ÀeÔ/dÕÂ&á@ÕOÇWÛLÂÇ

Ã£ç&ÃæâHÏLÀLîÍ

∼ γ

ÕÌHÀÚÍ>ÃiÌÎÍË¾Ê{ásÕÌHÀÚÍ>àÚÍÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇsÄ:ÃæåDàDÙPÇ

[0, 1] × [0, 1] 3 (t, s) 7→ H(t, s)

ÌaÇWÊWÇ)7ÛLÀ

H(t, 0) = γ

(t)

H(t, 1) = γ

(t)

p·1³iº³D¯·P³B«

f : Ω → C

',R0$*

, γ

∈ K(z

, z

, Ω)

'%&'t

Ttd'

!A/"+{"$`"1-

u(C&

"%&'D

N~:<$=

f (z)dz =

f (z)dz.

p·1³iº³D¯·P³B«

«u"+{"$`"-m

'a(C&

"%&'D

8?>$

(RS'%!8?9<(dC%&

"&'D

"1N0

Ò{×

ÓUÙPÇ{Ú&å{Ä

H(t, s) = γ

(t)

ÚáâHÌaÇ@ÅÀLîÍ

∼ γ

ÓUÙPÇ{Ú&å{Ä

(t, s) := H

(t, 1 − s)

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

∼ γ

⇒ γ

∼ γ

ÓUÙPÇ{Ú&å{Ä

)2(t,s

(t, 2s),

0 ≤ s ≤

1
2

;

(t, 2s − 1), 0 ≤

1
2

≤ s ≤ 1,

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

∼ γ

, γ

∼ γ

⇒ γ

∼ γ

äñ&Ã

{ÔÊËæÇ{âiÐ&á{îpá{ÌHá{ç&Ã¾ÃÊDÔHÏLÍÕÍÄaÐÏÇ{Ä:ÏLÍÂÇ@ÅHå{Ä:ÍÄaÐpâHÃæêOÕ

ÃÊ{á{óÄ:Ïå{Ä:ÍÄaÐpÕ

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWÂ9ÍÅHÀâHÌç&ÔHÏLÀLÏ

Π(z

, z

, Ω) := K(z

, z

, Ω)/ ∼ .

p·1³iº³D¯·P³B«

»z

Ω ⊂ C

u"$&'%()$*>

-/C8

X'r>$

8?9%@u&'(

35476

>?9(dC&

"&'D

&H¼2(

Π(z

, z

, Ω)

8N)>$K8?

"Rq1+a

$`"&h*

RS'

`T%"

∈ Ω

&oÒ(

@>1$

!!8?

∈ Ω

$`'

Π(z

, z

, Ω)

8?>$8?

"Rq1+a

$`"&h*

õ{ÀôaË¾Ã®âHç<À@Ù1Â&Ã¾á{Â&ÀXâaå+ÕOÇWÔHÉ&Â&ÊÃ®ç<ádÕÍÛâHÏLÀLà{ápÌÆÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇ)7î@ÕÃ¾îÍ7&ÛLÀÑÏLñ&Ã

{Ô

Ω

ÅÀâaÌiÅÀÚÂ&áâHç

-ÅHÂ9Í{½

FGHF

∗

OHJ

Y5`)_,_ZQ

OHO

Ã¾ÀÄaÐ

, z

∈ Ω

γ ∈ K(z

, z

, Ω)

½O¿À:ÁÂ&ÃæÉ-ÅÀLîÍ

−1

∈ K(z

, z

, Ω)

−1

(t) := γ(1 − t).

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7@ÅHÀôHË¾Ã

∼ γ

7&ÌHá

(γ

)

−1

∼ γ

−1

Ã¾ÀÄaÐ

, z

∈ Ω

∈ K(z

, z

, Ω)

∈ K(z

, z

, Ω)

½O¿À:ÁÂ&ÃæÉ-ÅÀLîÍ

◦ γ

∈ K(z

, z

, Ω)

◦ γ

(t) :=

(2t),

0 ≤ t ≤

1
2

;

(2t − 1),

1
2

≤ t ≤ 1.

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7@ÅHÀôHË¾Ã

∼ γ

7&ÌHá

◦ γ

∼ γ

◦ γ

õ{ÀôHËæÃ

∈ K(z

, z

, Ω)

(γ

◦ γ

) ◦ γ

∼ γ

◦ (γ

◦ γ

õ{ÀôaË¾Ãç&ÔHÏLÀLÏ

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWîÍsÊÔHÏLÍÕOåpâHÌaÇ9ÙPåpÔ/dÕÂå

z ∈ Ω

7&ÌHápÚËæÇ

, z

∈ Ω

γ ∈ K(z

, z

, Ω)

◦ γ ∼ γ ◦ z

∼ γ.

âHÏÄ:ÏLÀLà{ËæÂ&áôaÄ:ÃH7ÚËæÇÊWÇWÛÚÀLà{á

∈ Ω

Π(z

, z

, Ω)

ÅÀâHÌà{ÔHÉ&çå½µõ{ÀôHËæÃ}ÏLñ&Ã

{Ô

Ω

ÅÀâaÌâHç

-ÅÂDÍ7ÌHá

à{ÔHÉ&çÇ

Π(z

, z

, Ω)

ÅHÀâHÌÃæÏLá{îpá{ÔÁJÄ:ÏLÂÇÚË1Ç7Ô/{ÛLÂDÍÄSÐ

∈ Ω

ÇWÏLÍÕOÇWîÍÅaåà{ÔHÉ&çåÐ&á{î7á{ÌHá{ç&Ã¾ÃÏLñ&Ãæá{ÔHÉ

Ω

ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWîÍUÅaå+ç&ÔHÏLÀLÏ

Π(Ω)

-º{¹®°

´k¹

&H¼2(

Π(C)

ÅÀâHÌà{ÔHÉ&çå£ÅÀÚÂ&áÀLË¾ÀLîpÀLÂDÌHádÕOå½

&oÒ(

Π(C\{0}) = Z

&uË¾ÃæÄ:ÏLñÇá{ÊÔaåWÛLÀLó>Õá{ÊDÙÏLÀLÔaÇ

(a½

Ò-Ü

&o×(

Π(C\{0, 1}) = F

sà{ÔHÉ&çÇpÕá{ËæÂÇá7ÚÕPÄaÐFà{ÀLÂ&ÀLÔaÇWÌHá{ÔaÇ{ÄaÐ½õÇWÊ{áà{ÀLÂ&ÀLÔaÇWÌHá{ÔHÍîpá{ÛLÂÇÕÍñ&ÔaÇ{ö

7á{ÊÔaåWÛLÀLÂ&Ã¾À

á{ÊÔaåWÛLÀLÂ&Ã¾À

½NÔHÉ&çÇ

âHÊ&ÙPÇ{Ú&ÇâaÃ¾ê£ÏXÀLË¾ÀLîpÀLÂDÌ/dÕÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÍÄaÐ>ÌÆÍDç

dÕ

· · · τ

p+1

· · · τ

p+1

· · · τ

&H¼W½rÒ{×(

àÚÏLÃ¾À

, m

∈ Z\{0}

FGHF

∗

_ZQ)OHJ

WPM

]8MPJ

Ã¾ÀÄaÐ

Ω ⊂ C

ñ<êÚÏLÃ¾ÀUá{ÌÆÕOÇWÔHÌHÀ+Ãâaç"-ÅHÂ&À{½

âaÌaÇWË¾îÍ

∈ Ω

ÇWÊDÔHÍÄ:Ã¾ÀLîÉ&Â&Ã¾ÕÀLÔaâaÇWËæÂ9Íî

Ω

Ïç&É&Â&ÊDÌHÀLî

ñÇWÏLádÕÍî

]

ÂÇWÏLÍDÕÇWîÍ

(Cov(Ω), φ, [z

])

7àÚÏLÃæÀ

Cov(Ω) :=

[

z∈Ω

Π(z

, z, Ω),

γ : Cov(Ω) → Ω

ÅHÀâHÌÏÇ{Ú&ÇWÂ&Àç&ÔHÏLÀLÏ

φ([γ]) := γ(1)

Cov(Ω)

ÅÀâaÌÕÍçáâaÇWÛLá{Â&ÀOÕBÂÇWÌHÉ&ÔaÇWËæÂåÌHá{ç<á{Ë¾á{à{Ã¾ê{½

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7

(Cov(Ω), φ)

ÅHÀâHÌâHç

-ÅÂåÃÅHÀÚÂ&áâHç

-ÅÂå+ç<ádÕÃ¾ÀLÔHÏÄSÐ&Â&ÃæåpøÃæÀLî7ÇWÂ&ÂÇÂÇ{Ú

FGHF

∗

_ZQ)OHJ

`MPT

Q)`

5`J`

OHO

Ã¾ÀÄaÐ

ñ<êÚÏLÃ¾ÀFçáÚà{ÔHÉ&çå

Π(z

, z

, Ω)

Π(z

, z, Ω)

Õç&ÔHádÕÇ{ÚÏÇWîÍVÔHÀLËæÇ{ÄÆÅHêc)¿Ë1Ç

[γ

], [γ

] ∈

Π(z

, z, Ω)

ç&ÃæâHÏLÀLîÍ

[γ

] ∼

[γ

]

7àÚÍ

[γ

◦ γ

−1

] ∈ G

½ûõ{ÀâaÌÌHá

ÔHÀLËæÇ{ÄÆÅHÇÿÔ/@ÕÂ&ádÕÇWÛLÂ&áôaÄ:Ão½

êÚÏLÃ¾ÀLîÍ

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWË¾Ã®ç&ÔHÏLÀLÏ

[γ]

ÊËæÇ{âHêÑÇWñâHÌHÔaÇWÊÄÆÅHÃ

ÕÏLà{Ë¾êÚÀLî

ÌHÀ

ÅÔHÀLËæÇ{ÄÆÅHÃo½¿À:ÁÂ&Ã¾É-ÅÀLîÍ

, z, Ω) := Π(z

, z, Ω)/ ∼

ÇWÊDÔHÍÄ:Ã¾ÀLî

Ω

ÏLÕÃæåWÏÇWÂ9Íî

ÏXà{ÔHÉ&çå

ÂÇWÏLÍDÕÇWîÍ

(Cov

(Ω), φ

, [z

]

)

7àÚÏLÃ¾À

Cov

(Ω) :=

[

z∈Ω

, z, Ω),

([γ]

) = γ(1).

#eÇWîÍsáÄ:ÏLÍÕÃæôaÄ:ÃæÀÂÇWÌHÉ&ÔaÇWË¾Â&ÀUáÚÕÏLá{ÔHá@ÕOÇWÂ&Ã¾À

: Cov(Ω) → Cov

(Ω),

([γ]) = [γ]

âHç<À@Ù1Â&ÃæÇ@Åaå{Ä:ÀÏLÕÃ1åWÏLÀLÊ

◦ φ

= φ

Ä:ÏLÍDÕÃæôSÄ:Ã¾À7

(Cov

(Ω), φ)

ÅÀâaÌâHç

-ÅHÂå

&uËæÀLÏÂ&ÃæÀLÊ{á{Â&Ã¾ÀÄ:ÏLÂ&Ã¾À

ÅÀÚ

Â&áâHç

-ÅÂå

(}ç<ádÕÃæÀLÔHÏÄaÐ&Â&Ãæåpø

Ã¾ÀLî7ÇWÂ&ÂÇÂÇ{Ú

FGHF

∗

WPMPYQSRUT

NOHJ

^MPT

p·1³iº³D¯·P³B«

Ω ⊂ C

!8N

",>=-/C8

*,+

'(1+

Ω 3 z 7→ f(z)

2135476

!819

/",RS"

+{"(

>$`'R+*

∈ Ω

81+*

F (z) :=

f (w)dw,

Ò{Ö

8N)>1$

"&",R

(

*,&9fRSD9%9{&

Ω

td9%

;:<$=

F (z)

',RqD?*"

&h*

3{6

(

*r&

(z) = f (z).

õ{ÀôaË¾Ã

Ω

ÅÀâHÌâHç"-ÅHÂ9ÍÃá{ÌÎÕÇWÔHÌÎÍ7ÇWË¾ÀÂ&Ã¾ÀLÊ{á{Â&Ã¾ÀÄ:ÏLÂ&Ã¾ÀÅÀÚÂ&áâHç

-ÅHÂ9Í73ÌHá7ç<ádÕÍÛâHÏåÊ{á{ÂâHÌHÔHÉ&ÊÄÆÅêÂÇWË¾ÀLÛLÍ

ÏLîpáÚÍ9ÁÊ{á@ÕOÇ{öW½õ{ÀôHË¾Ã

[γ] ∈ Π(z

, z, Ω) ⊂ Cov(Ω)

7ÌHápÊÙPÇ{ÚÏLÃ¾ÀLîÍ

F ([γ]) :=

f (w)dw.

¿áâHÌaÇ@ÅHÀLîÍÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHêXÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå

F : Cov(Ω) → C

7&ÊÌ/{ÔaÇâHçÀ@Ù1Â&Ã1Ç

([γ]) = f (φ([γ])),

F ([z

]) = 0.

∗

WPMPYQSRUT

]

_$^

í&É&Â&ÊÄÆÅHê7Ë¾á{àÇWÔHÍÌHî

î7á{ÛLÂÇÏÚÀ:ÁÂ&ádÕÇ{öXÅaÇWÊ{á>ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHêpç&Ã¾ÀLÔHÕá{ÌHÂåeÚá>ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

1
z

Ïç&É&Â&ÊDÌHÀLî ñÇWÏLádÕÍî

= 1

½O¿áâaÌaÇ@ÅÀLîÍ7ÕÌHÀÚÍsÈuÉ&Â&ÊÄÆÅêÑÂÇÂÇWÊÔHÍÄ:Ã¾ÉÉ&Â&Ã¾ÕÀLÔaâSÇWË¾Â9Íî

Cov(C\{0}) 3 v 7→ log v :=

v = [γ].

õ{ÀâHÌ

á{ÂÇ+ÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕOÇWÂÇsÃî7ÇWÊâHÍî7ÇWË¾ÂÇ½

Ã¾ÀÄaÐ

µ ∈ C

½}íÉ&Â&ÊÄÆÅê

ÚÀ:ÁÂ&ÃæÉ-ÅÀLîÍÂÇ@ÅHç&Ã¾ÀLÔHÕÂÇÂÇWÊÔHÍÄ:Ã¾ÉþÉ&Â&Ã¾ÕÀLÔaâaÇWËæÂ9Íî

C\{0}

ÅHÇWÊ{á

Cov(C\{0}) 3 v 7→ e

µ log v

&H¼W½rÒ-Ü)(

õ{ÀôHËæÃ

µ 6= 0, 1, 2, . . .

7&ÅHÀâHÌÑÌHá>î7ÇWÊâHÍî7ÇWË¾ÂÇÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaÇ>ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂÇ½põ{ÀôaË¾Ã

µ 6∈ Q

7®ÌHáÅÀâHÌÑá{ÂÇ>Ô/dÕÂ&Ã¾ÀLÛ

ÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇWÂÇ½

õ{ÀôaË¾Ã

µ ∈ Q

7iÌHá

&H¼W½rÒ-Ü)(ÅÀâaÌÂ&Ã¾ÀLÏLÔHÀÚÉ&Ê{á@ÕOÇWÂÇ

Ã¾ÀÄSÐ

µ =

p
q

ÚËæÇ>Â&Ã¾ÀâaÊDÔaÇ{ÄLÇWË¾Â&ÀLà{áeÉÙPÇWîpÊWÇ)7àÚÏLÃ¾À

q ∈ {1, 2, . . .}

7ÌHÀÚÍ

= 1

7&ÅHÀôHË¾Ã

v ∈ Z

⊂ Π(1, 1, C\{0}) ⊂ Cov(C\{0})

½ðáFÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇWÂ&Ã¾É

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍÈuÉ&Â&ÊÄÆÅê

Cov

(C\{0}) 3 v 7→ e

µ log v

&H¼W½rÒ{Ö(

∗

WPMPYQSRUT

(z − 1)

í&É&Â&ÊÄÆÅHê

(z − 1)

îpá{ÛLÂÇÂÇ@ÅHç&Ã¾ÀLÔHÕÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾á@ÕOÇ{öUÂÇpÂÇWÊÔHÍÄ:Ã¾ÉÉ&Â&ÃæÕÀLÔaâaÇWË¾ÂDÍDî

Cov(C\{0, 1})

½õ{ÀâHÌ

á{ÂÇÕÌHÀÚÍsÂ&Ã¾ÀLÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇWÂÇ½

ç&ÃæâaÏLîÍÌHÀLÔaÇWÏÅÀ

ÅÏLÔHÀÚÉ&Ê{á@ÕOÇWÂ&ÀXÕOÀLÔaâPÅHÀÕÂ&Ã¾ÀLÊDÌ/{ÔHÍÄaÐþâHÍÌHÉÇ{ÄÆÅHÇ{ÄSÐ½Oä<Ç9Ù

{ÛLîÍÂÇ@Åç&ÃæÀLÔHÕ

7DÛLÀî7ÇWîÍ

Úá£Ä:ÏLÍDÂ&Ã¾ÀLÂ&Ã1ÇÏà{ÀLÂ&ÀLÔHÍÄ:ÏLÂåÑâHÍÌHÉÇ{ÄÆÅaå)7-ÊÃ¾ÀÚÍ

âaå

Â&ÃæÀLÕÍDîpÃæÀLÔHÂ&ÀÃÂ&Ã¾ÀLÕâHç

DÙ1îpÃ¾ÀLÔHÂ&À7-ÌHÏLÂ½

αn+βm ∈

Ã¾îpç&ËæÃ¾ÊDÉ-ÅHÀ

n = m = 0

½ZVÌHÀÚÍsÕà{ÔHÉ&ç&Ã¾À

Õç&ÔHádÕOÇ{ÚÏÇWîÍ>ç<áÚà{ÔHÉ&ç<ê

ÏÇ{Ú&ÇWÂåç&ÔHÏLÀLÏ

= 0,

àÚÏLÃ¾À

, m

âSå£Ë¾ÃæÄ:ÏLñÇWîpÃÕÍâHÌHêLç&É-ÅHå{Ä:ÍîpÃ&Õ

&H¼W½rÒ{×(a½

VÌHÀÚÍ

(z − 1)

îpá{ÛLÂÇ£ç&ÔHÏLÀLÂ&Ã¾ÀôaöÂÇXÂÇWÊDÔHÍÄ:Ã¾À

Cov

(C\{0, 1})

7ÃÚáâaÌaÇ@ÅÀLîÍ7ÕÌHÀÚÍþÏLÔHÀÚÉ&Ê{ádÕÇWÂå7îÇWÊâHÍî7ÇWË¾ÂåUÈuÉ&Â&ÊÄÆÅêUÇWÂÇWËæÃ¾ÌÎÍÄ:ÏLÂå½

Ò{ã

ÆÂ&ÂåUâHÍÌHÉÇ{ÄÆÅHê

î7ÇWîÍ79àÚÍ

α + β ∈ Z

α 6∈ Q

½E

ç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏÇWîÍ7ÕÌHÀÚÍç<áÚà{ÔHÉ&ç<ê

ÏÇ{Ú&ÇWÂåç&ÔHÏLÀLÏ

∞

j=0

∞

j=0

Ã}ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHê

(z − 1)

ç&ÔHÏLÀLÂ&áâaÃ¾îÍ

ÂÇµÂÇWÊDÔHÍÄ:Ã¾À

Cov

(C\{0, 1})

½ÿ¿áâHÌaÇ@ÅHÀLîÍeÕÌHÀÚÍ

ÏLÔHÀÚÉ&Ê{á@ÕOÇWÂå

î7ÇWÊâHÍî7ÇWË¾ÂåUÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHêXÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂå½

QSR2T

`MPT

Q)`T\MPO8T

Y5`)_,_ZQ

Þ®ÀLÔaÇWÏá{ç&ÃæâHÏLÀLîÍ7Â&á{ÌaÇ{ÄÆÅHê7ÊÌ/{Ôaå+ñêÚÏLÃ¾ÀLîÍþâHÌHáâHádÕÇ{öXÚápá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWÂ&ÃæÇpÊDÔHÏLÍÕÍÄSÐ½

ØOÏÇ{âaÇWî7Ãîpá{ÛLÂÇâHÌHáâHá@ÕOÇ{öÙPÇWîÇWÂ&ÀXçáâaÌaÇ{Ä:Ã

, u, w

] := [w

, u] ∪ [u, w

âHá{ñ&ËæÃ¾ÕáôaöpÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃÕ

îpá{ÛLÀç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏLÃæöþÚáeÊ&Ù1á{ç<á{Ì/dÕ

çáâHÌaÇ{Ä:ÃOÔHá{ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ&áôaÄ:Ã ÄLÇ9Ù1ÊDÃÎ½#Fá{ÛLÂÇ

Ô/dÕÂ&ÃæÀLÛXá{îpÃ

ÅaÇ{öç&É&Â&ÊDÌ

î7Ç9Ù1ÍDîÙ1É&ÊÃ¾ÀLî!áç&ÔHá{îpÃæÀLÂ&Ã¾É

ÃÔHá{ÏLÕÇWÛÇ{öÙPÇWî7ÇWÂåpçáâHÌaÇ{Ä:Ã8c

, u + re

iφ

] ∪ {u + re

iφ

: φ ∈ [φ

, φ

]} ∪ [u + re

iφ

, w

&H¼W½rÒ{ã(

àÚÏLÃ¾À

:= u + Re

iφ

:= u + R

iφ

> r

< φ

|φ

− φ

| < 2π

Ä:ÏLÍDÕÃæôSÄ:Ã¾À7

ÄLÇ9Ù1ÊWÇþçáþÌaÇWÊÃ¾î

Ê{á{Â9ÌHÉ&ÔHÏLÀ7Â&ÃæÀÏÇWËæÀLÛLÍµáÚ

7®ÚËæÇþÚáâHÌaÇWÌHÀÄ:ÏLÂ&Ã¾ÀîÇ9Ù1ÀLà{á

½pä<ÇWÉ9ÕÇWÛLîÍ7iÛLÀç&É&Â&ÊÌÑÔHá{ÏS1

àÇ9Ù1êLÏLÃ¾ÀLÂ&ÃæÇ

ÅHÀâHÌOá{î7Ã

ÅHÇWÂDÍsÙ1É&ÊÃ¾ÀLîÕ

ÊÃ¾ÀLÔHÉ&Â&ÊÉç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂDÍDî!Úá+ÔHÉÄaÐÕâaÊ-ÇWÏ@ÕÀLÊ<½Ó£ÔHÏLÍDÕå+çá@ÕÍDÛâaÏå

ñ<êÚÏLÃ¾ÀLîÍá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWË¾Ã

, u

, w

ðáÚá{ñ&Â&ÃæÀ7ÕOÇWÔHÌHáîpÃ¾Àöá{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÀLÂ&Ã¾ÀXÂÇ7ÙPÇWî7ÇWÂå

, u + re

iφ

] ∪ {u + re

iφ

: φ ∈ [φ

, φ

]} ∪ [u + re

iφ

, w

&H¼W½rÒè5(

àÚÏLÃ¾À

> r

< φ

|φ

− φ

| < 2π

½ø-{ÛLÂ&ÃÑâHÃ¾êFá{ÂÇ?áÚ

&H¼W½rÒ{ã(ÌÎÍî,7ÛLÀÿç&É&Â&ÊDÌ

ÔHá{ÏLàÇ9Ù1êLÏLÃ¾ÀLÂ&ÃæÇ

á{ñ&Ã¾ÀLàÇWîÍÏLà{áÚÂ&ÃæÀÏÔHÉÄaÐ&ÀLî!ÕâHÊWÇWÏdÕOÀLÊ½OÓ£ÔHÏLÍDÕå

&H¼W½rÒè5(ñ<êÚÏLÃ¾ÀLîÍá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ{ö£ç&ÔHÏLÀLÏ

, u

−

, w

Òè

]

ñêÚÏLÃ¾ÀÑá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ9Ù1ásÊ{á{Â9ÌHÉ&Ôá{ñ&Ã¾ÀLàÇ@Åaå{Ä:Íç&É&Â&ÊÌ

ç<ápî7Ç9Ù1Íî!á{ÊDÔHêLà{ÉFÕÊDÃæÀLÔHÉ&Â&ÊDÉ>ç&ÔHÏLÀÄ:ÃæÕÂ9Íî

Úá)ÔHÉÄSÐ9ÉVÕâHÊ-ÇWÏ@ÕÀLÊ<½

−

]

ñêÚÏLÃæÀá{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ9Ù1áBÊ{á{ÂDÌHÉ&Ôá{ñ&Ã¾ÀLàÇ@Åaå{Ä:Í?ç&É&Â&ÊDÌ

ç<á)î7Ç9Ù1Íî#á{ÊDÔHêLà{ÉÕ

ÊÃ¾ÀLÔHÉ&Â&ÊDÉÏLà{áÚÂ9Íî

ÚáÔHÉÄSÐ9ÉµÕâaÊ-ÇWÏ@ÕÀLÊ<½

]

−

]

ðÃ1âHÏå{Ä

γ = [u, w

, . . . , w

, u

]

ñêÚÏLÃæÀLîÍBîpÃ¾ÀLË¾ÃOÂÇÿîÍôHË¾ÃH7ÛLÀ

ÅÀâHÌ+Ê{á{ÂDÌHÉ&ÔHÀLî#ÏÇWîpÊÂ&Ã¾êLÌÎÍîëÃ

ç<áDÙPå{Ä:ÏLá{Â9Íîî7Ç9Ù1ÍîÙ1É&ÊÃ¾ÀLîá{ñ&Ã¾ÀLàÇ@Åaå{Ä:ÍDî

ÕûÊÃ¾ÀLÔHÉ&Â&ÊÉpç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂ9ÍîÚáUÔHÉÄaÐ9ÉsÕâHÊWÇWÏdÕOÀLÊ½}ðáÚá{ñ)1

Â&Ã¾À7®ÅÀôHËæÃ

γ = [u, w

, . . . , w

, u

−

]

7OÌHá

ÅÀâaÌÊ{á{Â9ÌHÉ&ÔHÀLî

ÏÇWî7ÊDÂ&Ã¾êLÌÆÍDîëç<áDÙPå{Ä:ÏLá{Â9Íî

î7Ç9Ù1Íî

Ù1É&ÊÃ¾ÀLî

á{ñ&Ã¾ÀLàÇ@Åaå{Ä:ÍDî

ÕÊDÃ¾ÀLÔHÉ&Â&ÊÉÏLà{áÚÂ9Íî

ÏÑÔHÉÄaÐ&ÀLîÕâHÊ-ÇWÏ@ÕÀLÊ<½

[u, w

, w

, u

]

[u, w

, w

, u

−

]

[u, e

iα

∞[

ñêÚÏLÃ¾À+á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ{ö7ç"DÙ1ç&ÔHáâHÌaå

{u + e

iα

t : t > 0}

ÏÇ{Ä:ÏLÍÂÇ@ÅHå{ÄLå>âaÃ¾ê+Õ

Ãñ&Ã¾ÀLà{Âå{ÄLåÚá

Â&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôSÄ:Ã®çáÚþÊWåWÌHÀLî

[u, e

iα

∞[.

[(u + e

iφ

· 0)

, w]

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇ{öUñêÚÏLÃæÀXÙPÇWîÇWÂå

[u, u + re

iφ

] ∪ {u + re

iφ

: φ ∈ [φ

, φ

]} ∪ [u + re

iφ

, w],

àÚÏLÃ¾À

w = u + Re

iφ

r < R

< φ

|φ

− φ

| < 2π

&ÎÙPÇWî7ÇWÂÇpÕÍÄaÐ&áÚÏLÃÏUç&É&Â&ÊDÌHÉ

ç<áÚ>Ê-åWÌHÀLî

7&á{ñ&Ã¾ÀLàÇ+ç&É&Â&ÊÌ

î7Ç9Ù1ÍîÙ1É&ÊDÃæÀLî!ç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂ&Ã¾ÀXÚápÔHÉÄSÐ9ÉµÕâaÊ-ÇWÏ@ÕÀLÊþÃñ&Ã¾ÀLà{Â&Ã¾ÀXÚá

(a½

[(u + e

iα

, w].

Ò{ì

:<;<=<>

ª?@

;

Ba¨§\@

$GHF

MZYQSRUT

RUT"Y

]8MPOHJM

OHJ

2OH]HM

Q)T3Y\T

WP]8J

ðÔHÏLÍþç<á{îpáÄ:ÍÌHÏLÕÑ½

±´

°·

£¶P³5-´

ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍÈuÉ&Â&ÊÄÆÅê<£ÇWî7î7Ç)c

Γ(z) :=

∞

−t

z−1

= 2

∞

−ξ

2z−1

dξ, Rez > 0,

&oÒ½rÒ{ì(

ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7iÛLÀpÕxç<ádÕÍÛâHÏLÍDî

ÕÏLá{ÔHÏLÀ7ñ&Ã¾ÀLÔHÏLÀLîÍFàÇ9ÙPå

7àDÙ

dÕÂåµÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

z−1

½þä<ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅîÍeÌHÀLÛpÌHÏLÕ

âHÍîñ<á{ËðáÄaÐ&ÐÇWî7îpÀLÔaÇ

(a)

:= a(a + 1) . . . (a + n − 1),

n = 0, 1, 2, . . .

(a)

(a−n)...(a−1)

n = . . . , −2, −1.

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7

(1)

= n!

p·1³iº³D¯·P³

»u«

'%1/"

'r>$

8?9%@$`"D>1'%+"

1?!E

Γ(z + 1) = zΓ(z),

&oÒ½rÒ{ï(

Γ(n + 1) = n!, n = 0, 1, 2, . . . ,

&oÒ½r×Wò

(

Γ(z + n) = (z)

Γ(z),

n ∈ Z.

&oÒ½rÒ{ï(ÕÍDÂ&ÃæÊ-ÇÏXÄLÇ9Ù1Ê{ádÕÇWÂ&ÃæÇç&ÔHÏLÀLÏUÄ:ÏLêôaÄ:Ão½

&oÒ½r×Wò

(OÕÍÂ&Ã¾ÊWÇÏ&oÒ½rÒ{ï(Ã

Γ(1) = 1

ä<ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHîÍÏLñ&Ã

{Ô

Ω

:= {z : Rez > −n}\{0, −1, . . . , −n + 1}

Ã3ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅê

Ω

3 z 7→ Γ

(z) :=

Γ(z + n)

z(z + 1) . . . (z + n − 1)

VÌHÀÚÍXÅHÀôHË¾Ã

n > m

7&ÌHá

(z) = Γ

(z), z ∈ Ω

ÍÂ&Ã¾Ê-ÇÌHápÏÑÌHá{ÛâSÇWîpáôaÄ:Ã

Γ(z + n) = Γ(z + m)(z + m) . . . (z + n − 1),

ñ<êÚ&å{Ä:À

Å Ê{á{ÂâHÀLÊÕÀLÂÄÆÅaåpÕÏLá{ÔHÉ

&oÒ½rÒ{ï(a½

âHÌaÇWÌHÀÄ:ÏLÂ&Ã¾À7ÂÇ

∞

[

n=1

Ω

= C\{0, −1, −2, . . .}

ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍ

Γ(z) := Γ

(z), z ∈ Ω

ÞÇWÊÏÚÀ:ÁÂ&ÃæádÕOÇWÂÇÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

ÅHÀâHÌ>ÌHáî7ÇWÊâHÍDîÇWË¾Â9Íî

ç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÀLÂ&Ã¾ÀLî

ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ9Íî÷ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

Γ(z)

ÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾á@ÕOÇWÂ&À

ç&ÔHÏLÍsçá{îpáÄ:ÍÄLÇ9Ù1ÊÃP&oÒ½rÒ{ì(a½

ÌHápÃæÂ&Â&ÀÑÕÏLá{ÔHÍ7ÊDÌ/{ÔHÀUçá{ÏLÕÇWËæÇ@ÅHå+îÇWÊâHÍî7ÇWË¾Â&ÃæÀ

ç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛLÍöÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅê<£ÇWî7î7Ç)c

Ò{ï

p·1³iº³D¯·P³

»æ».H

Jº°

´k

d¹

B´m

Γ(z) =

∞

n=0

(−1)

n!(n + z)

∞

−t

z−1

dt,

z ∈ C\{0, −1, −2, . . .}.

p·1³iº³D¯·P³

dcúº%I

eU´±,<¹

´&´&¶

±,¸º´m

Γ(z) =

∞

z−1

−t

−

k=0

(−t)

dt,

−1 − n < Rez < −n.

&oÒ½r×¼2(

Ã¾ÀÄSÐ

(z)

ñ<êÚÏLÃ¾ÀÑç&ÔaÇdÕOå7âaÌHÔHá{Âå,&oÒ½r×¼2(a½

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À

−1

(z) = Γ(z),

0 < Rez.

ØÇ9Ù1ÊÉ-ÅHå{ÄÑç&ÔHÏLÀLÏÄ:ÏLêôaÄ:ÃÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

(z) =

−t

−

k=0

(−t)

∞

1
z

∞

−t

−

n−1

k=0

(−t)

1
z

n−1

(z + 1).

Q)T3Y\T

WP]8J

ZT\]

2`J^

UQ)O

p·1³iº³D¯·P³

±´

°´K¶P³5-´m

Γ(u)Γ(v)

Γ(u+v)

u−1

(1 − t)

v−1

= 2

cos

2u−1

φ sin

2v−1

φdφ, Reu > 0, Rev > 0.

&oÒ½r×{Ò(

Γ(u)Γ(v)

Γ(u+v)

sin πu

sin π(u+v)

Γ(1−u−v)Γ(v)

Γ(1−u)

∞

(t + 1)

u−1

v−1

= 2

∞

2u−1

θsh

2v−1

θ, Rev > 0, Re(1 − u − v) > 0.

&oÒ½r×{×(

éDÌHáâaÉ-ÅHå{Äç<áÚ&âHÌaÇÕÃ¾ÀLÂ&ÃæÀ

t =

1
s

+ 1

&oÒ½r×{Ò(ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

&oÒ½r×{×(7 Ï>ÕÍdÅHåWÌHÊÃ¾ÀLîëç&Ã¾ÀLÔHÕâHÏLÀ

Ô/dÕÂ&áôSÄ:ÃH79ÕÍÂ&Ã¾ÊWÇ@ÅHå{Ä:À

ÅÏÌHá{ÛâaÇWîpáôSÄ:Ã

&oÒ½r×{ã(7DÊÌ/{ÔaåXÚá@ÕÃ¾ÀÚÏLÃ¾ÀLîÍç

LÂ&Ã¾À

ÅL½

ÚádÕOáÚÂ&Ã

ÅHîÍÕÃæêÄ

&oÒ½r×{Ò(

#eÇWîÍ

Γ(u)Γ(v) = 4

∞

−ξ

−η

2u−1

2v−1

dξdη.

&oÒ½r×-Ü)(

ðÔHÏLÀÄSÐ&áÚÏLÃ¾îÍÚáÕâHç

DÙ1ÔHÏLêÚÂ9ÍÄaÐeñ&Ã¾ÀLà{É&Â&ádÕÍÄaÐFçáÚ&âHÌaÇÕÃ1Ç@ÅHå{Ä

ξ = r cos φ, η = r sin φ

×Wò

Ãá{ÌHÔHÏLÍîÉ-ÅHÀLîÍ7JÛLÀ&oÒ½r×-Ü)(Ô/dÕÂÇâHÃ¾ê

∞

−r

2u+2v−1

π/2

cos

2u−1

φ sin

2v−1

φdφ.

= Γ(u + v)

u−1

(1 − t)

v−1

dt,

&oÒ½r×{Ö(

áâHÌaÇWÌHÂ&Ã¾î!ÊÔHá{ÊDÉç<áÚ&âaÌaÇÕÃ¾Ë¾Ã1ôHîÍ

t = cos

(a½

Ï{Ô

&oÒ½r×{Ò(®ÅÀâHÌÉ&ÏÇ{âSÇ{ÚÂ&Ã¾ÀLÂ&Ã¾ÀLî!ÌHÀLà{á7ÛLÀUÄ:ÏLêâaÌHáÕç&ÔHádÕOÇ{ÚÏÇsâHÃ¾êÑÌaÇWÊsÏLÕOÇWÂåÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHê

ÀLÌaÇ)c

B(u, v) :=

Γ(u)Γ(v)

Γ(u + v)

p·1³iº³D¯·P³

'%1/"

'r>$

8?9%@$`"D>1'%+"

1?!E

Γ(z)Γ(1 − z) =

sin πz

&oÒ½r×{ã(

Γ(1/2) =

√

&oÒ½r×è5(

øá{ÏLÕOÇWÛLîÍeÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHêpÐ&á{Ë¾á{î7á{ÔÁJÄ:ÏLÂå

C\[0, 1] 3 t 7→ f(t) = t

z−1

(t − 1)

−z

&lí&É&Â&ÊÄÆÅHÀ

z−1

(t − 1)

−z

ÔHá{ÏLÉ&îpÃ¾ÀLîÍ>ÕâHÀLÂâHÃ¾ÀÃæÄSÐeàÇ9Ù1êLÏLÃàDÙ

@ÕÂ9ÍÄaÐBÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾ádÕÇWÂ9ÍÄaÐýáÚç<ádÕÃ¾ÀÚÂ&Ã¾áþÂÇ

C\[−∞, 0[

C\[−∞, 1[

ä<ÇWÌHÀLî

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaÇ

f (t)

ÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾ádÕÇWÂÇeÅHÀâHÌÇ?ç&ÔHÃ¾á{ÔHÃÂÇ

C\[−∞, 1[

7£ÇWË¾Àeç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇNâHÃ¾ê

ÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÆÍÄ:ÏLÂ&ÃæÀ£ÚápÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃÂÇ

C\[0, 1]

Ã¾ÀÄaÐ

γ = [0, 1

−

, 0

−

]

ñêÚÏLÃæÀ

Ê{á{Â9ÌHÉ&ÔHÀLî÷ÏLÕÇWÂ9Íî

Ê{áôaÄ:Ãæå½

VÌHÀÚÍñ&Ãæá{Ôaå{ÄÿçáÚVÉ9ÕOÇWà{ê7UÛLÀ

Â&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&áôSÄ:Ã®ÔHÀâHÃæÚÉ&É&î

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

ÅHÀâHÌÔ/dÕÂ&À

−1

7JÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

2iπ = −2πiResf(∞) =

f (t)dt

= (e

iπz

− e

−iπz

)

z−1

(1 − t)

−z

dt = (2i sin πz)B(z, 1 − z) = (2i sin πz)Γ(z)Γ(1 − z).

éDÌaå{ÚÕÍÂ&Ã¾ÊWÇ

&oÒ½r×{ã(a½

ðáÚ&âaÌaÇÕÃæÇ@Åaå{ÄÑÕ

&oÒ½r×{ã(

z = 1/2

ÚáâHÌaÇ@ÅÀLîÍ

(1/2) = π.

VÃ¾ÀLîÍ7ÛLÀ

Γ(z) > 0, z > 0.

éDÌaå{ÚÕÍÂ&Ã¾ÊWÇ

&oÒ½r×è5(a½

cx¯·

³D°»l.)eU´

°´

þ´

´m

[k)R

Rea > 0

$`"

∞

−∞

−at

dt =

&oÒ½r×{ì(

×¼

ÍÄaÐ&áÚÏå{ÄXÏ&oÒ½r×è5(Oç&ÔHÏLÀLÏXÏÇWîpÃæÇWÂ&êÑÏLîpÃæÀLÂ&Â9ÍÄaÐ>ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

√

π = Γ(1/2) =

]−∞,∞[

−t

]−

√

a∞,

√

a∞[

−t

√

]−∞,∞[

−as

ds.

cx¯·

³D°»l

)eU´&°´ý¬@³d¯³D¶1´m

'+*

lim

R→∞

−R

±ix

dx = e

±i

√

π.

ØÇ9Ù1ÊÉ-ÅHÀLîÍþç<áñá{ÊWÇ{ÄaÐ>ÌHÔ/-ÅHÊWåWÌaÇ

0, R, R + iR

½}ðá7ç&Ã¾á{Â&á@ÕÍDî!ñ<á{ÊÉî7ÇWîÍ

−R

dy =

−R

(1−t

)

Rdt → 0,

ç<áÏÇ{âHÌHáâHádÕÇWÂ&Ã¾ÉµÞÕÑ½

%ÀLñ<ÀâHà{É&À{ß

Ç½

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7ÛLÀ£ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

Γ(z)

î7Ç+Õ

z = 0, −1, . . .

ñ&Ã¾ÀLà{É&ÂDÍe¼

1oà{á7ÔHÏLêÚÉ>ÏÑÔHÀâHÃæÚÉÇWîpÃ

ResΓ(−n) = lim

z→−n

Γ(z)(z + n)

(z+n)π

Γ(1−z) sin πz

(−1)

p·1³iº³D¯·P³

oT5

(

"-7"

&'8?'

2z−1

Γ(z)Γ (z + 1/2) =

√

πΓ(2z),

Γ(z)

Γ(2z)

z−1

(1 − t)

z−1

dt = 2

1/2

z−1

(1 − t)

z−1

dt.

ðáÚ&âHÌaÇdÕÃæÇWîÍ

s = 4t(1 − t)

Ãá{ÌHÔHÏLÍDîÉ-ÅHÀLîÍ

1−2z

z−1

(1 − s)

−1/2

ds = 2

1−2z

Γ(z)Γ(

1
2

)

Γ(z +

1
2

)

ðÔaÇdÕÚÏLÃ¾ÕÀFÅHÀâHÌµÌHÀLÛ?ÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÀBÉ&á{à{ËæÂ&Ã¾ÀLÂ&Ã¾À)ç<ádÕÍÛâHÏLÀLà{áVÕÏLá{ÔHÉ

7UÏLÕOÇWÂ&ÀCÕÏLá{ÔHÀLî

£ÇWÉâaâaÇá

îpÂ&á{ÛLÀLÂ&Ã¾É

7&ÊÌ/{ÔHÀÑÉÚádÕOáÚÂ&ÃæîÍþç

LÂ&Ã¾À

ÅSc

Γ(nz) = (2π)

1−n

nz−

1
2

n−1

k=0

Γ(z +

k
n

)

&oÒ½r×{ï(

×{Ò

MZYQSRUT

T0O

Q)TXY

Z`O8J

Z`OHM

OHJ

]

p·1³iº³D¯·P³

dcúº%I´¯°J³D¶1´m

Γ(z + 1)

2πi

[−∞,0

,−∞[

−z−1

ds.

&oÒ½ÝÜò

(

[−∞,0

,−∞[

−z−1

ds = e

−iπ(−z−1)

]−∞,0]

(−s)

−z−1

ds + e

iπ(−z−1)

[0,−∞[

(−s)

−z−1

−iπ(−z−1)

− e

iπ(−z−1)

∞

−t

−z−1

= i2 sin(−πz)Γ(−z) =

2πi

Γ(z+1)

p·1³iº³D¯·P³

»u«

Γ(u+v+1)

Γ(u+1)Γ(v+1)

2πi

]−∞,0

,−∞[

−u−1

(1 − t)

−v−1

2πi

]∞,1

−

,∞[

−u−1

(1 − t)

−v−1

dt,

u + v + 1 > 0.

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7ÛLÀ

] − ∞, 0

, −∞[

]∞, 1

−

, ∞[

Ú&Ç@ÅHå+ÌHêUâSÇWî7å+ÄLÇ9Ù1Ê{ê{½

]∞,0

−

,∞[

−u−1

(1 − t)

−v−1

dt = (−e

−iπ(v+1)

+ e

iπ(v+1)

)

∞

−u−1

(t − 1)

−v−1

= −2i sin πv

Γ(−v)Γ(1+u+v)

Γ(1+u)

= 2iπ

Γ(1+u+v)

Γ(1+u)Γ(1+v)

õ{ÀôaË¾Ã

u+v =∈ Z

7{ÌHá£ç<êLÌHËæÇá{ÊDÔaåWÛÇ@Åaå{ÄLÇ

ç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂ&Ã¾À Úá£ÔHÉÄaÐDÉpÕâHÊWÇWÏdÕÀLÊË¾ÀLÛLÍXÂÇç<ádÕÃ¾ÀLÔHÏÄSÐ&Â&Ã

øÃæÀLî7ÇWÂ&ÂÇÈPÉ&Â&ÊÄÆÅHÃ

u−1

(t − 1)

v−1

Ã®ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍsÕÏ{Ôc

p·1³iº³D¯·P³

»u«J«p

n ∈ Z

B:<$=

Γ(u)

Γ(n + 1)Γ(u − n)

(u − 1) . . . (u − n)

2πi

[0,1

]

u−1

(t − 1)

n−u

dt,

&oÒ½ÝÜ¼2(

ÑÚÍÏÇ{âHÌHáâaÉ-ÅÀLîÍÐ&á{î7á{à{ÔaÇ-Áê

t = −s

−1

ÌHápÚáâHÌaÇWÂ&ÃæÀLîÍ

2πi

[0,1

]

u−1

(t − 1)

n−u

dt =

2πi

]

n+1

(1 − s)

n−u

(1 − s)

n−u

s=0

(u−1)...(u−n)

&oÒ½ÝÜ9Ò(

á{ÌHá7ÄLÇ9Ù1ÊWÇÉ&ÛLÍDÕÇ@ÅHå{ÄLÇ5çáÚÕP-ÅHÂ&À

Å-âHÀLîpÊÃ2c

×{×

p·1³iº³D¯·P³

»u«»

iπ(u+v)

Γ(u + v)Γ(1 − u)Γ(1 − v)

(2π)

[1,0

−

]

u−1

(1 − t)

v−1

dt,

&oÒ½ÝÜ9×(

-/"

SD>

*,+

(

+{'+*

T%'t

!'+

TtdC&

*,+h&

",R0?*

[1,0

−

]

u−1

(1 − t)

v−1

= −1 + e

−iπ(u−1)

− e

−i2π(u−1)−i2π(v−1)

+ e

−i2π(v−1)

u−1

(1 − t)

v−1

= −e

iπ(u+v)

iπu

− e

−iπu

)(e

iπv

− e

−iπv

)B(u, v)

= −e

iπ(u+v)

(2i sin πv)(2i sin πu)

Γ(u)Γ(v)

Γ(u+v)

= e

iπ(u+v)

(2π)

Γ(u+v)Γ(1−u)Γ(1−v)

]

$Q)`)_

ME_

OHJ

YNQ)`

MPJ

ðÔHÏLÍçá{î7Â&Ã

ÅîÍpÂÇ@ÅHç&Ã¾ÀLÔHÕç<áÚ&âaÌaÇÕá@ÕÀUÈuÇWÊÌÎÍþÚá{ÌÎÍÄ:Ïå{Ä:ÀâHÏLÀLÔHÀLà@ÕÑ½

õ{ÀôaË¾ÃÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{ÂÇ)à{ÔaÇWÂ&Ã1ÄLÇ

I := lim

n→∞

n
j=1

7ÌHá)îdÕÃæîÍ7ÛLÀµâHÏLÀLÔHÀLà

∞

j=1

ÅHÀâHÌ

ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂDÍÕÇWÔHÉ&Â&Ê{ádÕáþÃç&ÃæâaÏLÀLîÍ

I =

∞

j=1

õ{ÀôaË¾Ã

∞

j=1

| < ∞

7ÌHá£î@ÕÃ¾îÍ7-ÛLÀâHÏLÀLÔHà

∞

j=1

ÅHÀâHÌÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ9ÍñÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂ&ÃæÀ{½E#Fá{ÛLÂÇçá{ÊWÇWÏÇ{öU7

ÛLÀµÏLñ&ÃæÀLÛLÂ&áôaöñ<ÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂÇýâHÏLÀLÔHÀLà{ÉçáÄ:ÃæåDàÇÿÏÇ)âHá{ñå

ÏLñ&ÃæÀLÛLÂ&áôaö>ÕÇWÔHÉ&Â&Ê{ádÕOå)7Ô/dÕÂ&Ã¾ÀLÛFçáýÏLîpÃæÇWÂ&Ã¾À

Ê{á{Ë¾À

ÅHÂ&áôaÄ:ÃÕÍÔaÇWÏdÕÕ

âaÏLÀLÔHÀLà{É>ÃÅÀLà{áÕÇWÔHÌHáôaöXÂ&ÃæÀÏÇWËæÀLÛLÍáÚþÌHÀ

Å Ê{á{ËæÀ

ÅÂ&áôaÄ:ÃÎ½

õ{ÀôaË¾Ã®ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅÀÑâHÊ{á{óÄ:ÏLá{ÂÇ7à{ÔaÇWÂ&ÃæÄLÇ

I := lim

n→∞

n
j=1

(1 + a

)

7JÌHá7î@ÕÃ¾îÍ7JÛLÀXÃ¾Ë¾áÄ:ÏLÍDÂþÂ&Ã¾ÀâaÊ{á{óÄ

ÏLá{Â9Í

∞

j=1

(1 + a

)

ÅÀâaÌÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ9ÍþÕOÇWÔHÉ&Â&Ê{á@ÕásÃç&ÃæâHÏLÀLîÍ

I =

∞

j=1

(1 + a

)

#dÕÃ¾îÍ7{ÛLÀÃ¾Ë¾áÄ:ÏLÍDÂÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â9Í

∞

j=1

(1+a

)

ÅÀâHÌiÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂDÍUñ<ÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂ&Ã¾ÀÕÌHÀÚÍUÃÌÎÍË¾Ê{áÕÌHÀÚÍ7

àÚÍUÅÀÚÍÂ&Ã¾ÀXâHÊ{á{óÄ:ÏLá{ÂÇËæÃæÄ:ÏLñÇÕÍDÔaÇWÏ@Õ

ÅHÀâHÌ Ô/dÕÂÇ

−1

∞

n=1

| log(1 + a

)| < ∞,

&oÒ½ÝÜ{Ü)(

&uç&ÔHÏLÍÄ:ÏLÍDî!ÕâaÏLÀLÔHÀLà{É&oÒ½ÝÜ{Ü)(OÉâHÉ&Â&êLËæÃæôHîÍpÕÍDÔaÇWÏLÍ

= −1

ç<ádÕÍÛâHÏLÍDî

ÕÏLá{ÔHÏLÀ>ç&ÔHÏLÀLÏ

| log(1 + a)|

ÔHá{ÏLÉ&îpÃ¾ÀLîÍýÕÇWÔHÌHáôaö>ñ<ÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂå

àÇ9Ù1êLÏLÃ

àDÙ

@ÕÂ&À

Ë¾á{àÇWÔHÍÌHîÉÿÔHá{ÏâHÏLÀLÔHÏLá{Âåþç&ÔHÏLÀLÏpÄ:Ã1å9àDÙ1áôaö+ÚáþÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃÂÇ

C\{−1}

7ÊÌ/{ÔaÇUÅÀâHÌOÅHÀÚÂ&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂÇ)7îpÃæîpá7ÛLÀ

âaÇWî

log(1 + a)

ÅHÀÚÂ&á{ÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ9ÍÂ&Ã¾ÀÅHÀâHÌS(a½

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7Ëæá{àÇWÔHÍDÌHîÉ-ÅHå{Ä+ÕÍÔaÇWÏç<áÕÍDÔaÇWÏLÃ¾ÀÃæË¾áÄ:ÏLÍÂeñÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂ&ÃæÀÏLñ&ÃæÀLÛLÂ9ÍÿÚáâHÌaÇ@ÅÀLîÍÿâHÏLÀLÔHÀLà

ñ<ÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂ&Ã¾ÀUÏLñ&ÃæÀLÛLÂ9Í{½

¿ËæÇWÌHÀLà{áÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ&áôaöXñ<ÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂÇÃ¾Ë¾áÄ:ÏLÍDÂDÉ>Â&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&ÀLà{ásç<áÄ:ÃæåDàÇÏÇâHá{ñå

ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ&áôaöÕOÇWÔHÉ&Â&Ê{á@ÕOå)79Ô/@ÕÂ&Ã¾ÀLÛçáÏLî7ÃæÇWÂ&Ã¾ÀÊ{á{Ë¾À

ÅHÂ&áôaÄ:Ã9ÕÍÔaÇWÏdÕ?ÕýÃæË¾áÄ:ÏLÍÂ&Ã¾ÀÃÅÀLà{áÕOÇWÔHÌHáôaöOÂ&Ã¾À}ÏÇWË¾ÀLÛLÍ

áÚþÌHÀ

Å Ê{á{Ë¾À

ÅHÂ&áôaÄ:Ão½

×-Ü

}³

ý´¸»u«

)RS"N

4B4

∞

j=1

(1+a

)

8?>$

T,R

]&h$=

*m$*rR

"f&h$=

∞

n=1

| < ∞,

&oÒ½ÝÜ9Ö(

Ã¾ÀÄaÐâHç<À@Ù1Â&Ã¾á{Â&Àÿñ<êÚÏLÃ¾À&oÒ½ÝÜ9Ö(a½

VÌHÀÚÍ

lim

j→∞

= 0

ÃXÚËæÇWÌHÀLà{áNâHÊ{á{óÄ:ÏLá{ÂÇûË¾ÃæÄ:ÏLñÇ

ÕÍÔaÇWÏdÕ

ÅHÀâHÌÔ/dÕÂÇ

−1

Ã®ÚËæÇ+ç<á{ÏLáâHÌaÇ9Ù1ÍÄSÐ>ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅHå

0 < A

, A

ÌaÇWÊDÃ¾À7&ÛLÀ

≤ |a

+ 1| ≤ A

&oÒ½ÝÜ9ã(

C\{−1} 3 t 7→

log(1+t)

ÅHÀâHÌ ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHåÄ:Ã1å9àDÙPå+Ã®ÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ãæå½ä<ÇWÌHÀLî

ÚË1Ç

≤ |t + 1| ≤ A

ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅHå

0 < C

≤ C

7&ÌaÇWÊÃ¾À7&ÛLÀ

≤

log(1 + t)

≤ C

ä<ÇWÌHÀLî

| log(1 + a

)| ≤ C

*ñ9ÍÿÚádÕÃ¾ÀôSö+Ã¾îpç&Ë¾Ã¾ÊWÇ{ÄÆÅHêUç&ÔHÏLÀÄ:Ã¾ÕÂå)7ÕÍâHÌaÇWÔaÄ:ÏLÍeÏÇ9Ù1á{ÛLÍöU7ÛLÀÕâHÏLÍâHÌHÊÃ¾À

âSåþÂ&Ã¾ÀLÏLÀLÔHádÕOÀ{½,&oÒ½ÝÜ{Ü)(

ç<áÄ:ÃæåDàÇÏÇsâHá{ñå

lim

n→∞

log(a

+ 1) = 0

7<ÇÕÃ¾êÄ+&oÒ½ÝÜ9ã(ÅHÀâHÌâaçÀ@Ù1Â&Ã¾á{Â&ÀÚËæÇç<ÀLÕÂ9ÍÄaÐ

0 < A

¿ËæÇWÌHÀLà{áÌHÀLÛ

| ≤ C

−1

| log(1 + a

)|.

MZYQSRUJ^

_ZQ)`M

J+RUT

OH]

Q)`)_

ME_

MPO8J

Q)`

MPJ

p·1³iº³D¯·P³

»u«!

'+*

'r>1$

819%)f&

"(*E

∞

j=−∞

(z−j)

sin

πz

&oÒ½ÝÜDè5(

1
z

+ 2

∞

j=1

−j

= lim

n→∞

n
j=−n

z+j

π cos πz

sin πz

&oÒ½ÝÜ9ì(

∞

j=1

(1 −

) =

sin πz

&oÒ½ÝÜ9ï(

´ki´

ÆË¾áÄ:ÏLÍÂþÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{ÂDÍsÕÍâHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÍÕOÀXÕÏLá{ÔHÏLÀ

&oÒ½ÝÜ9ï(ÅÀâHÌ ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂDÍþñÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂ&ÃæÀ{½

∞

j=−∞

(z − j)

−

sin

πz

ÅHÀâHÌÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHåpÄLÇ9Ù1Ê{á@ÕÃ¾Ìaå½õ{ÀâHÌá{ÂÇ7á{ÊDÔHÀâaádÕOÇ7ÏUá{ÊÔHÀâHÀLî

ÃÚ&åWÛLÍ>Úá7ÏLÀLÔaÇ7ÚËæÇ

|Imz| → ∞

½Oõ{ÀâaÌ

ÕÃ¾êÄ

á{à{ÔaÇWÂ&ÃæÄ:ÏLá{ÂÇ½

Ç+îpáÄ:Í7ÌÆÕÑ½

%Ã¾á{ÉÃ¾Ë¾ËæÀ{ß

Ç ÅHÀâHÌÕÃ¾êÄ£Ô/dÕÂÇ7ÏLÀLÔHá&½Þ®áÚádÕáÚÏLÃ

&oÒ½ÝÜDè5(a½

Ç+îpáÄ:Í&oÒ½ÝÜDè5(ç<áÄSÐ&áÚÂÇ

1
z

+ 2

∞

j=1

− j

−

π cos πz

sin πz

&oÒ½rÖWò

(

×{Ö

ÅHÀâHÌ Ô/dÕÂÇÏLÀLÔHá&½&oÒ½rÖWò

(3ÅHÀâHÌÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHå+Â&Ã¾ÀLçÇWÔHÏLÍâHÌaåÃ®âHÌaÇ9ÙPå)7&ÕÃ¾êÄÅHÀâHÌ Ô/dÕÂ&ÀXÏLÀLÔHá&½OÞ®ápÚádÕOáÚÏLÃ

&oÒ½ÝÜ9ì(a½

Ç+îpáÄ:Í&oÒ½ÝÜ9ì(î7ÇWîÍ

log

∞

j=1

(1 −

)

log

sin πz

ä<ÇWÌHÀLî

∞

j=1

(1 −

) = C

sin πz

&oÒ½rÖ¼2(

ðá{Ô/dÕÂ9É-Åaå{ÄçáÄaÐ&áÚÂ&ÀXá{ñ&ÉµâHÌHÔHá{ÂÕ

&oÒ½rÖ¼2(ÕÏLÀLÔHÏLÀUÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

C = 1

½Þá7ÚádÕOáÚÏLÃN&oÒ½ÝÜ9ï(a½

MZYQSRUT

T0T

OH]

$Q)`)_

ME_

OHJ

YNQ)`

MPJ

ä<ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHîÍþâHÌaÇ9ÙPå

É&ËæÀLÔaÇ218#FÇ{âaÄSÐ&ÀLÔHá{Â&Ã¾ÀLà{á

γ = lim

n→∞

n
k=1

1
k

− log n

= 1 +

∞

j=2

(

1
j

+ log(1 −

1
j

)) ∼ 0, 577 . . . .

p·1³iº³D¯·P³

»u«

.dcúº%I",þ´

d´m

Γ(z) = lim

n→∞

n!n

z(z + 1) · · · (z + n)

dcúº%IBc

³D·1³

¸@´d´m

Γ(z)

= ze

γz ∞

n=1

(1 +

) exp(−

´ki´

ÆË¾áÄ:ÏLÍÂþÂ&Ã¾ÀâHÊ{á{óÄ:ÏLá{ÂDÍsÕÍâHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÍÕOÀXÕÏLá{ÔHÏLÀ

ÀLÃ¾ÀLÔaâaÌHÔaÇ{âaâaÇÅHÀâHÌÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ9Ísñ<ÀLÏLÕÏLà{Ë¾êÚÂ&Ã¾À{½

}³

ý´¸»u«

QuRS'

0 ≤ t ≤ n

+{'+*

0 ≤ (1 −

)

≤ e

−t

0 ≤ lim

n→∞

(1 −

)

= e

−t

¿ËæÇ

(t) := e

(1 −

)

î7ÇWîÍ

(n) = 0

(0) = 1

(t) = −e

(1 −

)

n−1 t

≤ 0.

ä<ÇWÌHÀLî

0 ≤ f

(t) ≤ 1

p·P³5riº³D¯·1´C»lu«

#FÇWîÍ

(1 − β)

z−1

dβ =

Γ(n + 1)Γ(z)

Γ(z + n + 1)

z(z + 1) · · · (z + n)

ä<ÇWÌHÀLî

(1 −

)

z−1

dt =

n!n

z(z+1)···(z+n)

×{ã

*Ë¾ÀÑÚËæÇ

0 ≤ t ≤ n

lim

n→∞

θ(t − n)(1 −

)

z−1

= e

−t

z−1

Çî7áÄ:Í

%®ÀLî7ÇWÌHÉ>Ò½¾¼ãîpá{ÛLÀLîÍ7ÏÇ{âHÌHáâHádÕÇ{öXÞ®ÕÃæÀLÔaÚÏLÀLÂ&Ã¾À

%ÀLñ<ÀâHà{É&À{ß

Ç+á+ÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂ&áôaÄ:Ã3î7Ç@ÅHá{ÔHÍDÏLá@ÕOÇWË¾Â&À

&uÏÑî7Ç@ÅHá{ÔaÇWÂ9ÌaåÔ/@ÕÂå

−t

z−1

(a½Oä<ÇWÌHÀLî

lim

n→∞

(1 −

)

z−1

dt =

∞

−t

z−1

dt.

Þ®áÚádÕáÚÏLÃÕÏLá{ÔHÉ

£ÇWÉâaâaÇÚËæÇ

Rez > 0

*ñ9Ísçá{ÊWÇWÏÇ{öÑÕÏ{Ô-

ÀLÃæÀLÔaâHÌHÔaÇ{âaâaÇ+ÏÇWÉDÕOÇWÛLîÍ7JÛLÀ

γz ∞

n=1

(1 +

) exp(−

= z lim

n→∞

exp z(

n
k=1

1
k

− log n)

k=1

(1 +

z
k

) exp(−

z
k

)

= lim

n→∞

−z

k=1

(1 +

z
k

) = lim

n→∞

−

z(z+1)···(z+n)

ÏLá{ÔHÍ

£ÇWÉâaâSÇ Ë¾É&ñ[

ÀLÃ¾ÀLÔaâHÌHÔaÇ{âaâaÇ î7á{àå ñ9ÍöÕÍDÊ{á{ÔHÏLÍâHÌaÇWÂ&ÀÚáÉÚá@ÕáÚÂ&Ã¾ÀLÂ&ÃæÇÔHÀLÏLÉ&ËæÌaÇWÌ/dÕýÏç<á{ç&ÔHÏLÀÚ

Â&ÃæÄSÐÔHá{ÏÚÏLÃæÇ9Ù

dÕÑ½

Ç+ç&ÔHÏLÍÊ&ÙPÇ{Ú\7âHÌHáâHÉ-Åaå{Ä£ÕÏ{Ô

£ÇWÉâaâaÇÚáâaÌaÇ@ÅÀLîÍ

Γ(z+1) = lim

n→∞

n!n

z+1

(z + 1) · · · (z + n + 1)

= z lim

n→∞

n + 1

z+1

lim

n→∞

(n + 1)!(n + 1)

z(z + 1) · · · (z + n + 1)

= zΓ(z).

éDÌHáâHÉ-Åaå{ÄÑÏÇ{ôÕÏ{Ô-

ÀLÃæÀLÔaâHÌHÔaÇ{âaâaÇÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍþÙPÇWÌÎÕOá

Γ(z)Γ(1−z)

−1

zΓ(z)Γ(−z)

= z

∞

n=1

(1 −

) =

sin πz

pº

þ´

´K)º p·P³9¶

J°

2¸d¯·1´¯·u

a»l

ÃæÀÄaÐ

G(z) =

m−1

k=0

Γ(z +

VÌHÀÚÍÊ{á{ÔHÏLÍâHÌaÇ@Åaå{ÄÑÏLÀÑÕÏLá{ÔHÉ

£ÇWÉâSâaÇÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

G(z)

= lim

n→∞

nm+m−1

n=0

(mz+k)

(n!)

mz+ 1

2 (m

−

m(n+1)

Γ(mz) = lim

n→∞

(mn)!(mn)

k=0

(mz+k)

ä<ÇWÌHÀLî

Γ(mz)

G(z)

= lim

n→∞

(mn)!m

mz−m(n+1)

− 1

2 (m

−

(n!)

mn+m−1

k=mn+1

(mz + k)

= lim

n→∞

(mn)!m

mz−mn−1)

2 (m

−

(n!)

= (2π)

1
2

(m−1)

mz−

1
2

àÚÏLÃ¾ÀÑÉ&ÛLÍË¾ÃæôHîÍpÂÇ@ÅHç&Ã¾ÀLÔHÕ

lim

n→∞

nm+m−1

k=nm+1

mz + k

= m

m−1

Ç+ç<á{ÌHÀLî

âHÊ{á{ÔHÏLÍâHÌaÇWË¾ÃæôHîÍpÏLÀÑÕÏLá{ÔHÍµéDÌHÃ¾ÔHË¾ÃæÂ&àÇ½

×è

JQ)TXY$O[`

p·P³5rº³¯·P³)»lu«p

f (t)

!W/"R"+{"(

RS'

0 ≤ argt ≤ α

?!9NTtd'

$=T%"

!"(

'tdCD?+*

RS'u-71&

> 0

|f(z)| ≤ C|z|

−

|f(z) − f(0)| ≤ C|z|

:<$=

RS'

0 ≤ argz ≤ α

∞

(f (t) − f(zt))

= f (0) log z.

(f (t) − f(zt))

[r,R]

[zR,zr]

f (t)

[r,zr]

[zR,R]

f (t)

→

[r,zr]

f (0)

= f (0) log(z),

àÚÏLÃ¾ÀÑÂÇÊ{á{óÄ:É

r → 0

R → ∞

Ç+î7ÇWÔHà{Ã¾Â&ÀâHÃæÀÕâaçá{îpÂ&ÃÝÅîÍ7DÛLÀUÃæâHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

ÎÕÇWÔHÃæÇWÂ9ÌÔHÏLÀÄ:ÏLÍDÕÃ1âHÌÎÍ

ç<ádÕÍÛâHÏLÀLà{á7âHÌÆÕÃ¾ÀLÔaÚÏLÀLÂ&ÃæÇ)c

p·P³5rº³¯·P³)»lu«

f (t)

213/476

!8?9;+f1(

',R

[0, ∞[

$`'

∞

|f(t)|

< ∞,

|f(t) − f(0)|

< ∞.

:<$=

RS'

z ∈ [0, ∞[

∞

(f (t) − f(zt))

= f (0) log z.

cx¯·

³D°»lu«)

'%7"

log z =

∞

−t

− e

−zt

)

p·P³5rº³¯·P³)»læ»

'+*

',>$

8?9%9<(

$`'%!8

"&9W>1$`'t08

RS1('

'r>1171("

T%"%E

γ =

∞

−1

−

dt.

#eÇWîÍ

∞

1−e

−

1−e

−

−t

dt =

n
j=1

∞

−jt

dt =

n
j=1

1
j

∞

−t

− e

−(n+1)t

)

= log(n + 1),

lim

n→∞

∞

(

1−e

−

−t(n+1)

dt = 0.

éDÌaå{Ú

γ = lim

n→∞

1 +

1
2

+ · · · +

− log(n + 1)

= lim

n→∞

∞

(

1−e

−

1−e

−

−t

− (1 − e

−nt

−1

−t

)dt

∞

−1

−

dt.

×{ì

p·P³5rº³¯·P³)»læ»3«

º%I"

@·u¯

i³9·

ý´m

1
2

log

1
2

∞

1−e

−

1
2

− 1

2 t

∞

−1

−

1
2

− 1

2 t

ä<ÇWÉDÕOÇWÛLîÍÂÇ@Åç&ÃæÀLÔHÕ

7ÛLÀ

1 − e

−t

−

1
2

∼

¿ËæÇWÌHÀLà{áç<ádÕÍÛâHÏÇpÄLÇ9Ù1ÊWÇÅÀâaÌÏLñ&Ã¾ÀLÛLÂÇ½

∞

1−e

−

1
2

− 1

2 t

∞

− 1

2 t

2(1−e

− 1

2 t

)

−

1−e

−

− 1

2 t

∞

− 1

2 t

2(1−e

− 1

2 t

)

−

− 1

2 t

∞

−

1−e

−

− 1

2 t

∞

−

2(1−e

−

)

−

∞

−

1−e

−

− 1

2 t

∞

− 1

2 t

−e

−

1
2

−t

= −

∞

− 1

2 t

−e

−

dt −

1
2

∞

− 1

2 t

−e

−

1
2

log

1
2

PMPT

]

_$^

O8Q)`M

VXW

MZYQSRUO

äÀXÕÏLá{ÔHÉ,

ÀLÃæÀLÔaâHÌHÔaÇ{âaâaÇ+ÕÍÂ&Ã¾ÊWÇÂÇWÌÆÍÄSÐ&îpÃæÇ{âHÌ7&ÛLÀ

log Γ(z) = −γz − log z +

∞

n=1

(

− log(1 +

)),

∂

log Γ(z) = −γ +

∞

n=0

(

n+1

−

n+z

∂

log Γ(z) =

∞

n=0

(n+z)

&oÒ½rÖ{Ò(

#eÇWîÍsÌHÀLÛ

log Γ(1) = 0,

log Γ(

1
2

) =

1
2

log π,

∂

log Γ(1) = −γ.

p·P³5rº³¯·P³)»læ»J»

Γ(n + 1 + ) = n!

1 + (−γ +

n
j=1

1
j

)

+ O(

n = 1, 2, . . . ,

Γ(−n + ) =

(−1)

−1

− γ +

n
j=1

1
j

+ O(),

n = 1, 2, . . . .

&oÒ½rÖ{×(

×{ï

Ç@ÅHç&Ã¾ÀLÔHÕÏÇWÉ9ÕÇWÛÇWîÍ7<ÛLÀ

∂

log Γ(n + 1) = −γ +

j=1

1
j

n = 1, 2, . . .

*Ë¾À

(z) = Γ(z)∂

log Γ(z)

Γ(n + 1) = n!

½}Þápçá{ÊWÇWÏLÉ-ÅHÀXç&Ã¾ÀLÔHÕâHÏLÍÕÏ{ÔL½

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾À

∂

(log Γ(z) +

z + n

)

z=−n

= −γ +

j=1

1
j

*Ë¾À

∂

Γ(z)(z + n) = (z + n)Γ

(z) + Γ(z) = (z + n)Γ(z)∂

log Γ(z) + (z + n)

−1

E`J5JO[T

Q)`M

Ã¾ÀÄaÐþÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

ñ<êÚÏLÃ¾ÀÑá{ÊÔHÀôHË¾á{ÂÇÂÇÏLñ&Ã¾á{ÔHÏLÀ

K(z

, r) ∩ {α

< arg(z − z

) < α

}

½ðÃæâHÏLÀLîÍ

f (z) ∼

∞

j=0

(z − z

)

àÚÍþÚËæÇ+Ê-ÇWÛÚÀLà{á

Ã1âHÌHÂ&Ã¾À

ÅHÀ

ÌaÇWÊDÃæÀ7&ÛLÀ

f(z) −

j=0

(z − z

)

≤ C

|z − z

n+1

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7@ÅHÀôHË¾Ã

f (z) =

∞

j=0

ÚËæÇ

z ∈ K(z

, r)

7&ÌHá

f (z) ∼

∞

j=0

(z − z

)

-º{¹®°

´k

ÚËæÇ

−

+ < argz <

−

1
z

∼

∞

j=0

-º{¹®°

´k

ÚËæÇ

−

+ < argz <

−

+ < arg − z <

−

∼

∞

j=0

âHÏÄ:ÏLÀLà{Ë¾Â&áôaÄ:ÃH7&ÕâaÏLÍâHÌHÊÃ¾ÀçáÄaÐ&áÚÂ&ÀÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

R 3 x → e

−

ÕÏLÀLÔHÏLÀâaå+Ô/dÕÂ&ÀXÏLÀLÔHá&½

-º{¹®°

´k

jû¬®i¯°±S²´

Erf(z) :=

−t

dt.

Ä:ÏLÍÕÃæôaÄ:Ã¾À7

lim

z→∞

Erf(z) =

1
2

√

½û¿Ë1Ç

−

+ < argz <

−

ÙPÇWÌÎÕOáýç<á{Ê-ÇWÏLÉ-ÅHÀLîÍ?îpÀLÌHáÚ&å

ÄLÇ9Ù1Ê{ádÕÇWÂ&ÃæÇpç&ÔHÏLÀLÏÄ:ÏLêôaÄ:ÃH7&ÛLÀ

1
2

√

π − Erf(z) =

∞

−t

dt ∼

−z

1 +

∞

k=1

(−1)

1 · 3 · · · (2k − 1)

(2z

)

Üò

$GHF

+OHJ

2`)_

O8MPJ^T

p·1³iº³D¯·P³

»æ»

·1³ º¹

pº%I+·P¯³¸´m

log Γ(z) = (z −

1
2

) log z − z +

1
2

log 2π +

∞

1
2

−1

−

−zt dt

;

&oÒ½rÖ-Ü)(

∂

log Γ(z) = log z +

∞

1−e

−

−zt

dt;

&oÒ½rÖ{Ö(

∂

log Γ(z) =

∞

−

1−e

−

dt.

&oÒ½rÖ{ã(

´ki´

äÕÔ/ö:îÍ)É9ÕÇWà{êsÂÇFÌHá7ÛLÀsçá@ÕÍDÛâHÏLÀþÄLÇ9Ù1ÊÃâaåFâHÊ{á{óÄ:ÏLá{Â&À{½

âHÏÄ:ÀLà{Ë¾Â&áôaÄ:ÃOÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÀsçáÚ

ÄLÇ9Ù1Ê{ádÕOÀâSåÄ:Ãæå9àDÙ1ÀÑÕÏLÀLÔHÏLÀc

lim

t→0

1
2

−1

−

lim

t→0

1−e

−

1
2

lim

t→0

1−e

−

= 1.

Ç@ÅHç&Ã¾ÀLÔHÕÚádÕOáÚÏLÃ¾îÍK&oÒ½rÖ{ã(a½Óá{ÔHÏLÍâHÌaÇ@Åaå{ÄÑÏ&oÒ½rÖ{Ò(ÚáâaÌaÇ@ÅÀLîÍ

∂

log Γ(z) =

∞

n=0

(n+z)

∞

n=0

∞

−t(z+n)

tdt

∞

−

1−e

−

dt.

&oÒ½rÖè5(

Þ®áÚádÕáÚÏLÃ

&oÒ½rÖ{ã(a½

Ç{âHÌHêLç&Â&ÃæÀÑç&ÔHÏLÀLÊâHÏLÌaÇ9ÙPÄLÇWîÍK&oÒ½rÖè5(OÚáâHÌaÇ@Åaå{Ä

∞

1−e

−

−tz

dt +

∞

−tz

∞

1−e

−

−tz

dt +

1
z

ä<ÇWÌHÀLî

∂

log Γ(z) = ∂

log Γ(1) +

∂

log Γ(y)dy

= −γ +

1
y

dy +

∞

1−e

−

−ty

dtdy

= −γ + log z −

∞

1−e

−

−ty

y=z

y=1

= log z −

∞

1−e

−

−tz

dt,

&oÒ½rÖ{ì(

àÚÏLÃ¾ÀÕûáâaÌaÇWÌHÂ&Ã¾îÊÔHá{ÊDÉÕÍÊ{á{ÔHÏLÍâaÌaÇWË¾ÃæôHîÍXÕÏ{ÔOÄLÇ9Ù1Ê{á@ÕÍÂÇÑâHÌaÇ9ÙPå

½ÞáÚádÕOáÚÏLÃE&oÒ½rÖ{Ö(a½

Ç{âaÌHêLç&Â&Ã¾À

ç&ÔHÏLÀLÊâHÏLÌaÇ9ÙPÄLÇWîÍK&oÒ½rÖ{ì(OÚáâaÌaÇ@ÅHå{Ä

log z −

1
2

∞

−tz

dt −

∞

1−e

−

1
2

−tz

= log z −

1
2

1
z

−

∞

1−e

−

1
2

−tz

dt.

Ü¼

éDÌaå{Ú

log Γ(z) = log Γ(

1
2

) +

1
2

∂

log Γ(y)dy

1
2

log π +

1
2

log ydy −

1
2

1
y

dy −

1
2

∞

1−e

−

1
2

−ty

dtdy

1
2

log π + z − log z −

1
2

log

1
2

−

1
2

log z +

1
2

log

1
2

∞

1−e

−

1
2

−ty dt

y=z

1
2

= (z −

1
2

) log z − z +

1
2

log 2π +

∞

1−e

−

1
2

−tz dt

àÚÏLÃ¾ÀÑÕáâHÌaÇWÌHÂ&Ãæî

ÊDÔHá{ÊÉÕÍÊ{á{ÔHÏLÍâHÌaÇWËæÃæôHîÍpÕÏ{Ô

ðÔHÃ¾Â&àâaÐ&ÀLÃ¾î7Ç½Þ®ápÊ{á{óÄ:ÏLÍÚá@ÕPÚ

&oÒ½rÖ-Ü)(a½

cx¯·

³D°»læ»!z

> 0

|argz| <

−

F1G

'/"

cúº%I

¸·

-¶1·u¯oi´

lim

z→∞

log Γ(z) − ((z −

1
2

) log z − z +

1
2

log 2π)

= 0,

lim

z→∞

Γ(z)

z− 1

−

√

2π

= 1.

bNG

f (t) =

1 − e

−t

−

1
2

:<$=

8N)>$

"T('

'B&h('

X&A>

*>$

+-/"N7"

*,+

RS'

t ∈ [0, ∞[

f (t) =

∞

n=1

|t| < 2π.

'+*

'r>$

8?9%@f("

2135476

'++'W&.>

1(T~'r>1*,+-m$`"$*

log Γ(z) − ((z −

1
2

) log z − z +

1
2

log 2π −

n
j=1

(j − 1)!z

−j

)

≤ C|z|

−n−1

$GHF

+]HT\ME_

O'`

O8MPJ^T

p·1³iº³D¯·P³

»æ»

.dcúº%I"

¶P´¯<¹

m ≤ n

9u't

"%&h$=

φ(z)

23/476

!8?'

',R0$*,

|φ(z)| ≤

(1−)|Imz|

RS'

> 0

m ≤ Rez ≤ n

;:<$=

1
2

φ(m) + φ(m + 1) + . . . + φ(n − 1) +

1
2

φ(n)

φ(z)dz − i

∞

φ(n+iy)−φ(n−iy)

2πy

−1

dy + i

∞

φ(m+iy)−φ(m−iy)

2πy

−1

ç&ÔHá@ÕOÇ{Ú

LîÍ>Ê{á{Â9ÌHÉ&ÔHÍ

= [m

−

, (m + 1)

−

, . . . , (n − 1)

−

, n

−

, n + iR, m + iR, m],

−

= [m

, (m + 1)

, . . . , (n − 1)

, n

, n − iR, m − iR, m].

Ü9Ò

Óá{ÔHÏLÍâHÌaÇ@Åaå{ÄÑÏÑÌHÀLà{á7ÛLÀ

Res

φ(z)

±2πiz

− 1

z=k

= ∓

2πi

φ(k), k ∈ Z,

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

φ(z)

−2πiz

− 1

→

R→∞

−i

∞

φ(m + iy)

2πy

− 1

dy + i

∞

φ(n + iy)

2πy

− 1

φ(x)

−2πix

− 1

dx +

1
4

φ(m) +

1
2

n−1

j=m+1

φ(j) +

1
4

φ(n);

&oÒ½rÖ{ï(

−

φ(z)

2πiz

− 1

→

R→∞

∞

φ(m − iy)

2πy

− 1

dy − i

∞

φ(n − iy)

2πy

− 1

φ(x)

2πix

− 1

dx +

1
4

φ(m) +

1
2

n−1

j=m+1

φ(j) +

1
4

φ(n).

&oÒ½rãWò

(

&oÒ½rã¼2(

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾ÀXÚáÚ&Ç@ÅÀLîÍ

&oÒ½rÖ{ï(OÃZ&oÒ½rãWò

(7Ê{á{ÔHÏLÍâaÌaÇ@ÅHå{ÄÑÏÑÌHá{ÛâSÇWîpáôaÄ:Ã

2πix

− 1)

−1

+ (e

−2πix

− 1)

−1

= −1.

p·1³iº³D¯·P³

»æ»

iJ·Z pºI·u¯³¸´m

log Γ(z) = (z −

1
2

) log z − z +

1
2

log 2π + 2

∞

arctg

2πt

−1

dt, ,

&oÒ½rã{Ò(

∂

log Γ(z) = log z −

− 2

∞

tdt

)(e

2πt

−1)

&oÒ½rã{×(

∂

log Γ(z) =

1
z

+ 4

∞

ztdt

)

2πt

−1)

&oÒ½rã-Ü)(

ñDÍsç<á{ÊWÇWÏÇ{ö&oÒ½rã-Ü)(OâHÌHáâHÉ-ÅHÀLîÍ+

Ï{ÔðËæÇWÂ9ÍþÚá

φ(z) = (z + t)

−2

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾ÀÄLÇ9Ù1ÊDÉ-ÅHÀLîÍ

ÚÕÉ&ÊÔHá{ÌHÂ&Ã¾ÀXÃ®ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

log Γ(z) = A + Bz + (z −

1
2

) log z + 2

∞

arctg

2πt

− 1

dt.

ðá{Ô/dÕÂ9É-Åaå{ÄÏXç&Ã¾ÀLÔHÕâHÏLÍî!ÕÏLá{ÔHÀLî

Ã¾Â&ÀLÌaÇÚËæÇ

z ∼ 0

ÚáâaÌaÇ@ÅÀLîÍ

A =

1
2

log 2π

B = −1

Ü9×

¥&¦¥

¤@

$GHF

QSRUJ

5T\M

5OHJ5T

¿ËæÇ

λ ∈ C

î7á{ÛLÀLîÍsÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾ádÕÇ{öUÚÍâHÌHÔHÍñ&ÉÄÆÅÀÑÌHÀLîpç<ÀLÔHádÕÇWÂ&À

(±ix + 0)

:= lim

→0

(±ix + )

ÏLá{ÔHÍ

:= x

θ(x),

−

:= (−x)

θ(−x)

ÏÇ{Ú&Ç@ÅaåNÚÍâHÌHÔHÍñ&ÉÄÆÅHÀeÌÆÍDËæÊ{á?ÚËæÇ

Reλ > −1

#µá{ÛLÀLîÍ

ÅHÀeÔHá{ÏâHÏLÀLÔHÏLÍöÿÂÇ?ÕâHÏLÍâHÌHÊÃ¾À

λ ∈ C

ç&Ô/Ä:Ï

z = −1, −2, . . .

ÊÙPÇ{Ú&å{Ä

2i sin

− e

−i

(ix + 0)

+ e

(−ix + 0)

−

2i sin

− e

−i

(−ix + 0)

+ e

(ix + 0)

Íà{áÚÂ&ÃæÀÅÀâHÌÔHá{ÏLÕÇWÛÇ{ö

Γ(λ+1)

½Z#eÇWîÍsÕÌHÀÚÍ

−n

Γ(n + 1)

= (±1)

(n−1)

n = 1, 2, . . . .

éDç<À@Ù1Â&ÃæÇ@ÅHå+á{Â&ÀUÏLÕÃæåWÏLÊDÃÔHÀLÊÉ&ÔHÀLÂÄ:ÍdÅÂ&Àc

∂

Γ(λ + 1)

= ±

λ−1

Γ(λ)

á{ÌHápÌHÔaÇWÂâÈuá{ÔHî7ÇWÌÎÍþí&á{É&ÔHÃ¾ÀLÔaÇ)c

−iξx

Γ(λ + 1)

dx = (±iξ + 0)

−λ−1

−iξx

(∓iξ + 0)

dξ = 2π

−λ−1

Γ(−λ)

éDÏÄ:ÏLÀLà{Ë¾Â&ÃæÀXâHÍDî7ÀLÌHÔHÍÄ:ÏLÂ&ÀÑÕÏLá{ÔHÍþÂÇ+ÌHÔaÇWÂâÈuá{ÔHî7ÇWÌÎÍí&á{É&ÔHÃæÀLÔaÇÚáâHÌaÇWÂ&Ã¾ÀLîÍÕç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏÇ@Åaå{Ä

(x) := Γ(

1
2

−

|x|

= (2π)

−1

Γ(−

1
2

−

(ix + 0)

+ (−ix + 0)

(x) := Γ(

+ 1)2

−

1
2

|x|

sgnx = i(2π)

−1

Γ(−

−

1
2

(ix + 0)

− (−ix + 0)

#eÇWîÍsÂÇ{âHÌHêLç&É-Åaå{Ä:ÀXÏLÕÃæåWÏLÊÃHc

∂

= λν

λ−1

∂

= η

λ−1

√

2πη

−λ−1

√

2πν

−λ−1

Ü{Ü

+TXY$O'O8J]

OHT

ÌÎÍî

ÔHá{ÏÚÏLÃæÇWË¾À£ÔHá{ÏLÕOÇWÛÇWîÍ

1oÕÍîpÃæÇWÔHá@ÕOåç&ÔHÏLÀâHÌHÔHÏLÀLóµÀLÉ&ÊDË¾Ã1ÚÀâHádÕå½

p·1³iº³D¯·P³

u«

"RSu>

1(*#8N

"r>1$

d − 1

&h*,+!'(d"%&

08u&h*

"r>

d−1

2π

d
2

Γ(

d
2

)

#µÀLÌHáÚ&Ç

ñ&Ë¾ÃæÄ:ÏÇWîÍÒÑâHç<áâHá{ñÇWîpÃÄLÇ9Ù1Ê{ê

àÇWÉâSâHádÕâHÊWå)cÕÀÕâaç"DÙ1ÔHÏLêÚÂDÍÄSÐsÊWÇWÔHÌHÀLÏ

ÅaÇWóâHÊDÃ1ÄaÐ

−x

−···−x

· · · dx

= π

d
2

ÃÕÀUÕâHç"DÙ1ÔHÏLêÚÂDÍÄSÐeâHÈPÀLÔHÍÄ:ÏLÂ9ÍÄaÐ

d−1

∞

−r

d−1

dr =

1
2

Γ(

d
2

#FÀLÌHáÚ&Ç

S½)

ÀÑÕâHç

DÙ1ÔHÏLêÚÂ9ÍÄaÐÿâÈuÀLÔHÍÄ:ÏLÂDÍÄSÐ>ç<á{Ë¾ÀÑâÈPÀLÔHÍUÅHÀâHÌ Ô/dÕÂ&À

d−1

sin

d−2

d−1

dφ

d−1

· · ·

sin φ

dφ

2π

dφ

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾ÀXâHÌHáâHÉ-ÅHÀLîÍ

sin

k−1

dφ

√

πΓ(

k−1

)

Γ(

k
2

)

, k = 2, . . . , d − 1;

2π

dφ

= 2π.

p·1³iº³D¯·P³

æ»eU´

°·

¹L¸

O²

&±³K |i·1´ki"@´B´&±,

¬³9¹¯B´¯¯´

>$(

&h*,+0'("&

08+'%+f*

+ m

)

−α

x = π

d
2

d−2α

Γ(α −

d
2

)

Γ(α)

&o×½rã{Ö(

+ 2xy + m

)

−α

x = π

d
2

− y

)

d
2

−α

Γ(α −

d
2

)

Γ(α)

&o×½rã{ã(

+ 2xy + m

)

−α

x = −π

d
2

− y

)

d
2

−α

Γ(α −

d
2

)

Γ(α)

&o×½rãè5(

+ 2xy + m

)

−α

x = π

d
2

− y

)

d
2

−α Γ(α−

d
2

)

Γ(α)

−π

d
2

µν

− y

)

d−1

−α Γ(α−

d
2

−1)

Γ(α)

&o×½rã{ì(

éDÌHáâaÉ-ÅÀLîÍÕÏ{Ô

ÂÇçá@ÕÃ¾ÀLÔHÏÄaÐ&Â&ÃæêUâÈuÀLÔHÍ7Ã

∞

+ m

)

−α

d−1

dr = 2

−1

d−2α

Γ(

d
2

)Γ(α −

d
2

)

Γ(α)

Ü9Ö

p·1³iº³D¯·P³

81+*

(x) :=

Γ(

λ+d

)

−

|x|

:<$=

= (2π)

d
2

−λ−d

éDÌHáâaÉ-ÅÀLîÍÕâaç"DÙ1ÔHÏLêÚÂ&ÀâÈPÀLÔHÍÄ:ÏLÂ&À{½

|x|

−ixξ

dx =

∞

dφ

d−1

λ+d−1

−ir|ξ| cos φ

d−1

λ+d−1

sin

d−2

d−1

d−2

= Γ(λ + d)

(i|ξ| cos φ

d−1

+ 0)

−λ−d

+ (−i|ξ| cos φ

d−1

+ 0)

−λ−d

sin

d−2

d−1

dφ

d−1

d−2

= Γ(λ + d)2 cos(

λ+d

π)|ξ|

−λ−d

cos

−λ−d

d−1

sin

d−2

d−1

dφ

d−1

d−2

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾ÀXâHÌHáâHÉ-ÅHÀLîÍ

d−2

2π

d−1

Γ(

d−1

)

cos

−λ−d

d−1

sin

d−2

d−1

dφ

d−1

1
2

Γ(

−

λ−d+1

)Γ(

d−1

)

Γ(−

)

Γ(λ + d) = π

−

1
2

λ+d−1

Γ(

λ+d

)Γ(

λ+d+1

)

Γ(

λ+d+1

)Γ(

−λ−d+1

) cos

λ+d

π = π,

Ã®ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

|x|

−ixξ

x = |ξ|

−λ−d

λ+d

Γ(

λ+d

)

Γ(−

)

Q)OHJ

Ã¾ÀÄaÐ

c = [c

]

ñêÚÏLÃæÀOî7Ç{Ä:ÃæÀLÔHÏå½

ÍÏLÂÇ{Ä:ÏÇ£á{ÂÇÈPá{ÔHî7êOÊÕOÇ{ÚÔaÇWÌHá@ÕOåXÏÚÀ:ÁÂ&ÃæádÕOÇWÂåUÚËæÇ

x = [x

] ∈ R

ÅaÇWÊ{á

xcx =

i,j=1

ÓÑÇWÛÚ&åsî7Ç{Ä:Ã¾ÀLÔHÏç&ÔHÏLÀLÏÏÇWî7ÃæÇWÂ&êUÕâHç

DÙ1ÔHÏLêÚÂ9ÍÄaÐ

d
i=1

îpá{ÛLÂÇ7âaç&ÔHádÕOÇ{ÚÏLÃ1öÚásç<áâHÌaÇ{Ä:Ã

ÚÃæÇWà{á{ÂÇWË¾Â&À

Åc

xcx =

i=1

)

%ÃæÄ:ÏLñÇÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ã1ÄaÐÃÉ-ÅÀLîpÂDÍÄSÐ

Â&Ã¾À)ÏÇWË¾ÀLÛLÍ

áÚÕÍDñ<á{ÔHÉç&ÔHÏLÀLÊâHÏLÌaÇ9ÙPÄ:ÀLÂ&ÃæÇÃÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀýâHÍà{ÂÇWÌHÉ&ÔHê

î7Ç{Ä:Ã¾ÀLÔHÏLÍ

, d

−

)

Ä:ÏLÍDÕÃæôSÄ:Ã¾À7

d ≥ d

−

½EÆÂÚÀLÊâîÇ{Ä:Ã¾ÀLÔHÏLÍ

ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍÅHÇWÊ{á

indc := d

−d

−

Ü9ã

#dÕÃ¾îÍ7ÛLÀ£î7Ç{Ä:Ã¾ÀLÔHÏ

ÅÀâaÌOÂ&Ã¾ÀLÏÚÀLà{ÀLÂ&ÀLÔHá@ÕOÇWÂÇ)7àÚÍ7ÚËæÇÊ-ÇWÛÚÀLà{á

x ∈ R

x 6= 0

7ÃæâHÌHÂ&ÃæÀ

ÅÀ

y ∈ R

ÌaÇWÊÃH7ÛLÀ

ycx =

i,j=1

6= 0.

ø-@ÕÂ&ádÕÇWÛLÂ9Í>ÕÇWÔHÉ&Â&ÀLÊ"c

+ d

−

= d

ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7WÛLÀ}Õ

Õç&ÔHádÕÇ{ÚÏLá{Â9ÍÅÀâHÌÊWÇWÂ&á{Â&ÃæÄ:ÏLÂDÍÃæË¾áÄ:ÏLÍÂÑâHÊWÇWËæÇWÔHÂ9Í

x·y :=

d
j=1

½#eÇ{Ä:Ã¾ÀLÔHÏ

îpá{ÛLÂÇâHç&ÔHádÕÇ{ÚÏLÃæöCÚáç<áâHÌaÇ{Ä:ÃÚÃæÇWà{á{ÂÇWËæÂ&À

ÅµáÚÕÏLá{ÔHá@ÕOÇWÂ&Ã¾ÀLî

á{ÔHÌHá{à{á{ÂÇWË¾ÂDÍDî>½

ØOÃæåDà

, . . . , λ

Úá{ÊÙPÇ{ÚÂ&áôaÄ:Ãæå

Úá

ç<ÀLÔHîÉ&ÌaÇ{ÄÆÅHÃ Â&Ã¾ÀþÏÇWË¾ÀLÛLÍýáÚ?ÕÍDñ<á{ÔHÉûÚÃæÇWà{á{ÂÇWË¾Ã¾ÏLÉ-Åaå{Ä:ÀLà{áÿáÚÕÏLá{ÔHá@ÕOÇWÂ&ÃæÇ)á{ÔHÌHá{à{á{ÂÇWË

Â&ÀLà{á&½

ÍÏLÂÇ{Ä:ÏLÂ&Ã¾ÊîÇ{Ä:Ã¾ÀLÔHÏLÍUÂ&Ã¾ÀÏLî7Ã¾ÀLÂ&ÃæÇ£âHÃ¾êç<áÑÏÇ{âHÌHáâHá@ÕOÇWÂ&Ã¾ÉÌHÔaÇWÂâÈPá{ÔHîÇ{ÄÆÅÃ&á{ÔHÌHá{à{á{ÂÇWË¾Â&À

ÅL½¿ËæÇWÌHÀLà{á

det[c

] =

i=1

#dÕÃ¾îÍ7&ÛLÀXî7Ç{Ä:ÃæÀLÔHÏ

ÅHÀâHÌÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ãæápá{ÊDÔHÀôaË¾á{ÂÇ)7-ÅÀôaË¾Ã<ÚË1Ç

x ∈ R

x 6= 0

xcx > 0.

ø-@ÕÂ&ádÕÇWÛLÂ9Í>ÕÇWÔHÉ&Â&ÀLÊ"c

= d

OHJ]

0OHT

Q)TXY$O

KT\W

J]HT

Ã¾ÀÄaÐî7Ç{Ä:ÃæÀLÔHÏ

ñ<êÚÏLÃ¾ÀXÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ã¾áá{ÊDÔHÀôaË¾á{ÂÇ½

ÌHÀÚÍ

dx exp(−xcx) = π

d
2

(det c)

−

1
2

&o×½rã{ï(

ä<ÇWîpÃ¾ÀLÂ&Ã1ÇWîÍñ<ádÕÃæÀLîÕâHç

DÙ1ÔHÏLêÚÂ&À}áÚÕÏLá{ÔHá@ÕOÇWÂ&Ã¾ÀLî

á{ÔHÌHá{à{á{ÂÇWË¾Â9Íî

ÚÃ1ÇWà{á{ÂÇWË¾Ã¾ÏLÉ-Åaå{ÄîÇ{Ä:Ã¾ÀLÔHÏ

½$#FÇWîÍ

ÕÌHÀÚÍ

dx = dx

· · · dx

= dy

· · · dy

= dy

ÃZ&o×½rã{ï(ÅHÀâHÌÔ/dÕÂ&À

dy exp

−

)

i=1

−λ

)

i=1

õ{ÀôaË¾Ã

ÅHÀâHÌî7Ç{Ä:ÃæÀLÔHÏå+Â&Ã¾ÀLÏÚÀLà{ÀLÂ&ÀLÔHádÕÇWÂå)7ÌHá

|x|<R

· · · dx

exp(ixcx) = π

d/2

indc

| det c|

−

1
2

&o×½jè-ò

(

AJ^

ZT-T

]8T\Q)J

NWPMPYE^W

¿ËæÇ+ÚÉ&ÛLÍÄSÐ

ÔHá{ÏLÕOÇWÛÇWîÍ>ÄLÇ9Ù1Ê{êXÌÎÍç&É

I(λ) =

f (x)e

λφ(x)

dx.

ÜDè

ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7WÛLÀ

ÔHá{ÏâHÏLÀLÔHÏÇ@Åaå

âHÃæêÚáÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃDÇWÂÇWË¾Ã¾ÌÎÍÄ:ÏLÂ9ÍÄaÐÂÇá{ÌHáÄ:ÏLÀLÂ&Ã¾É

[a, b]

ÃÛLÀÏLÂÇ@ÅaÚÏLÃ¾ÀLîÍ

ÚÔHá{à{ê

7ÊÌ/{ÔaÇÙPå{Ä:ÏLÍ

Ã<ç&ÔHÏLÀÄSÐ&áÚÏLÃç&ÔHÏLÀLÏÑç&É&Â&ÊÌ

7Õ

ÊDÌ/{ÔHÍî

(˜

z) = 0

½Oä<ÇWÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7ÌHÀLÛ7&ÛLÀ£Õ

ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

Reφ

á{ñ3Ä:Ã¾êLÌaÇÚá

î7Ç+î7ÇWÊâHÃ¾îÉ&î>½

á{ÌHáÄ:ÏLÀLÂ&ÃæÉ

î7ÇWîÍ

φ(z) ≈ φ(˜z) +

1
2

(˜

z)(z − ˜z)

&o×½jè¼2(

ç&ÔHádÕÇ{Ú

LîÍÕâaç"DÙ1ÔHÏLêÚÂ&À

(t, s) ∈ R

ÌaÇWÊ

7&ñ9Í

z = ˜

z + (t + is)e

iψ

àÚÏLÃ¾À

(˜

z)e

2iψ

< 0

½7¿ËæÇþÉ&ç&ÔHáâHÏÄ:ÏLÀLÂ&Ã1ÇÏÇWÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7ÛLÀ

|ψ| <

ÌHÀÚÍ

&o×½jè¼2(

îpá{ÛLÂÇþç&ÔHÏLÀLç&Ã1âaÇ{ö

ÅaÇWÊ{á

φ(z) ≈ φ(˜z) +

1
2

(˜

z)e

2iψ

− s

+ 2its

ä<ÇWÌHÀLî

ç<á{ÏLÃ¾á{îpÃæÄ:À

Reφ

Õá{ÊDÙ

ç&ÔHÏLÍDç<á{îpÃ¾ÂÇ@Åaå+ç<á{ÏLÃ¾á{îpÃæÄ:ÀÕá{ÊDÙç&ÔHÏLÀ@Ù1êÄ:ÏLÍ

&uç&É&Â&ÊÌHÉµâHÃæáÚJÙ1á@ÕÀLà{á)(a½

Ç@ÅÕÃæêLÊâHÏLÍ?ÕÊÙPÇ{ÚûÚáBÄLÇ9Ù1ÊWÇ

ç<á)ÊDÔHÏLÍÕÀ

çáÄaÐ&áÚÏLÃÏ>á{ÌHáÄ:ÏLÀLÂ&ÃæÇýç&É&Â&ÊDÌHÉ

7OàÚÏLÃ¾À

îpá{ÛLÂÇ

ÏÇ{âHÌaåDç&ÃæöÑÄ:ÏLêôaÄ:Ãæåç&ÔHáâHÌHÀ

R 3 t 7→ ˜z + e

iψ

½}¿áâHÌaÇ@ÅÀLîÍ

I(λ) =

f (z)e

λφ(z)

≈

∞

−∞

f (˜

z)e

λφ(˜

z)+

(˜

z)e

i2ψ

iψ

= f (˜

z)e

λφ(˜

2π

−λφ

(˜

z)e

2iψ

iψ

= f (˜

z)e

λφ(˜

2π

−λφ

(˜

^_$Y

TVXWPMPYQSRUO

MPO8J

Q)`

UQ)O

0J^

MZY$^W

p·1³iº³D¯·P³

!u!1

> 0

QRS'

|argz| <

−

+{'+*

lim

z→∞

Γ(z + 1)

√

2π

z+1/2

= 1.

&o×½jèWÒ(

#eÇWîÍ

Γ(z + 1) =

∞

φ(t)

dt,

àÚÏLÃ¾À

φ(t) = −t + z log t.

ñ&Ë¾ÃæÄ:ÏÇWîÍ

∂

φ(t) = −1 +

∂

φ(t) = −

Ü9ì

ä<ÇWÌHÀLî

φ(t)

îÇÅÀÚÂ&áÃ®ÌÆÍDÊ{áÅHÀÚÀLÂ>ç&É&Â&ÊÌ

âHÌaÇ{ÄÆÅHá{ÂÇWÔHÂ9Í

cÚËæÇ

= z

½P#eÇWîÍ

φ(t

) = −z + z log z, ∂

φ(t

) = −

1
z

#Fá{ÛLÂÇÏLîpÃ¾ÀLÂ&ÃæöÊ{á{Â9ÌHÉ&ÔiÄLÇ9Ù1Ê{ádÕÇWÂ&ÃæÇÌaÇWÊ

7@ñDÍç&ÔHÏLÀÄSÐ&áÚÏLÃuÙç&ÔHÏLÀLÏ

7@ÂÇç&ÔHÏLÍDÊÙPÇ{ÚXÄLÇ9Ù1Ê{á@ÕOÇ{öOçáç

DÙ1ç&ÔHáâHÌHÀ

[0, z∞[:

Γ(z + 1) =

]0,z∞[

φ(t)

dt.

í&É&Â&ÊÄÆÅHê

φ(t)

ç&ÔHÏLÍñ&Ë¾Ã¾ÛÇWîÍ7ç&ÔHÏLÀLÏ ÅHÀ

ÅÔHá{ÏLÕÃæÂ&Ã¾êÄ:Ã¾À£Õá{Ê{á{Ë¾ÃæÄ:Í

φ(t) ∼ φ(t

) +

1
2

)(t − t

)

Þ®á7ç&ÔHádÕOÇ{ÚÏLÃÚáç&ÔHÏLÍñ&Ë¾Ã¾ÛLÀLÂ&ÃæÇ+ÚËæÇÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃÑÇWîpî7Ç)c

Γ(z + 1) ∼

]0,z∞[

φ(t

1
2

)(t−t

)

dt,

Óá{ÂDÌHÉ&Ô7çáXÊÌ/{ÔHÍîÄLÇ9Ù1ÊDÉ-ÅHÀLîÍç&ÔHÏLÀÚJÙ1É&ÛÇWîÍ7ÚáUÄLÇ9Ù1À

Åç&ÔHáâaÌHÀ

z] − ∞, ∞[

½¿ËæÇÑÚÉ&ÛLÍÄaÐ

ÕâHÀLÊÌHá{ÔHÏLÀ

|argz| <

−

ÌHÀîpáÚÍ9ÁÊWÇ{ÄÆÅÀÂ&Ã¾À+ÕçÙ1ÍÂåþÏLñ9ÍÌHÂ&Ã¾áþÂÇþÕOÇWÔHÌHáôaöpÄLÇ9Ù1ÊÃo½

Ä:ÏLÀLÊDÉ-ÅHÀLîÍFÕÃ¾êÄU7ÛLÀ

Γ(z)

ÏÇ{ÄaÐ&á@ÕÉ-ÅÀâHÃ¾êÑÇ{âHÍîpç&ÌHá{ÌÎÍÄ:ÏLÂ&Ã¾ÀÅaÇWÊ

φ(t

)

∞

−∞

1
2

∂

φ(t

)(t−t

)

dt =

√

2πz.

ðá{Ê-ÇWÛLîÍþÌHÀLÔaÇWÏXÌHápÕôaÄ:Ã1âÙ1ÍâHç<áâ/{ñ½

Ã¾ÀÄaÐ

Rez > 0

ÌHÀÚÍ

Γ(z + 1) =

[0,∞[

−t

dt =

[0,z∞[

−t

= e

−z+z log z

[0,z∞[

−z

(

−1−log

)dt

= e

−z

z+1

∞

−1

−z(s−log(1+s))

ds,

àÚÏLÃ¾ÀXÚá{Ê{á{ÂÇWË¾Ã1ôHîÍÏÇWîpÃæÇWÂDÍ7ÏLîpÃ¾ÀLÂ&ÂDÍÄSÐ

s =

− 1.

ä<ÇWÉ9ÕÇWÛLîÍ7<ÛLÀ£ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHÇ

] − 1, ∞[3 s 7→ s − log(1 + s)

î7ÇWË¾À

ÅHÀ£ÂÇ

] − 1, 0]

áÚ

∞

Úá

7Õ

ÏÇ{ÄaÐ&á@ÕÉ-ÅÀâHÃ¾êOÅHÇWÊ

ÃÂÇ

[0, ∞[

ÔHáôaÂ&Ã¾ÀXÚá

∞

½Oä<ÇWÌHÀLî!ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaÇ

R 3 s 7→ u(s) =

2(s − log(1 + s))

&uÕxÊÌ/{ÔHÀ

Åñ&Ã¾ÀLÔHÏLÀLîÍµÉ-ÅHÀLîpÂ9Íµç&Ã¾ÀLÔHÕÃæÇ{âHÌHÀLÊeÚËæÇ

s < 0

Ã}ÚáÚ&ÇWÌHÂ&Ãç&Ã¾ÀLÔHÕÃæÇ{âaÌHÀLÊµÚËæÇ

s > 0

(ÅHÀâHÌ£àDÙPÇ{ÚÊ-Ç½

#eÇWîÍ

lim

s→0

u(s)

= 1,

du(s)

u(s)(1 + s)

Ü9ï

á{ÔaÇWÏ

f (u) :=

(u) =

(1 + s(u))u

s(u)

f (0) = 1.

#eÇWîÍsÏÇWÌHÀLî

I =

∞

−1

−z(s−log(1+s))

∞

−∞

−

z
2

f (u)du.

Ã¾ÀÄaÐ

∞

−∞

−

z
2

du =

2π

VÌHÀÚÍ

− 1

∞

−∞

− z

2 u

|f(u)−1|du

2π

≤ C

√

∞

−∞

−

z
2

|u|du = C

√

Þ®á7Ê{á{óÄ:ÏLÍþÚá@ÕPÚ&o×½jèWÒ(

^_$Y

V3W

MZYQSRUO

J^T

OHJ

YNQ)`

UQ)O

0J^

NWPMPYE^W2O

*âHÍDî7ç&ÌHá{ÌÎÍÊ{ê>ÚËæÇ

B(u, v)

îpá{ÛLÂÇ

ÚáâHÌaÇ{ö>Ï>Ç{âHÍDî7ç&ÌHá{ÌÎÍÊDÃ ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅÃ

Γ(z)

#FÍµÅÀÚÂÇWÊ?çá{ÊWÇWÛLÀLîÍ>Åaå

ñ<ÀLÏLçáôHÔHÀÚÂ&ÃæáÏÑîpÀLÌHáÚÍsç&É&Â&ÊÌHÉ>âHÃ¾áÚJÙ1ádÕÀLà{á&½

p·1³iº³D¯·P³

u!1

> 0

QRS'

|argu| <

−

|argv| <

−

+'%+f*

lim

u,v→∞

B(u + 1, v + 1)

√

2π

u+1/2

v+1/2

(u+v)

u+v+3/2

= 1.

&o×½jèW×(

#eÇWîÍ

B(u + 1, v + 1) =

ψ(t)

dt,

àÚÏLÃ¾À

ψ(t) := u log t + v log(1 − t).

ñ&Ë¾ÃæÄ:ÏÇWîÍ

∂

ψ(t) =

−

1 − t

∂

ψ(t) = −

−

(1 − t)

ä<ÇWÌHÀLî

ψ(t)

î7ÇÅHÀÚÍDÂDÍç&É&Â&ÊÌ

âHÌaÇ{ÄÆÅHá{ÂÇWÔHÂ9Í

cÚËæÇ

u+v

ψ(t

) = u log

u + v

+ v log

u + v

, ∂

ψ(t

) = −

(u + v)

õ{ÀôaË¾Ã

Reu > 0

Rev > 0

7ÌHá

Reψ(t) → −∞

7àÚÍ

ÏLñ&Ë¾ÃæÛÇýâHÃ¾êFÚá

ñå{ÚÏ

½xÙPÇWÌÎÕáNÕÃæêÄ

É&ÏÇ{âaÇ{ÚÂ&ÃæöU7ÛLÀpÚÀ:ÈPá{ÔHîÉ-ÅHå{Ä+Ê{á{ÂDÌHÉ&Ô

[0, 1]

îpá{ÛLÀLîÍFÚáâHÌaÇ{ö+ÊÔHÏLÍDÕå

ÏÇ{Ä:ÏLÍÂÇ@ÅHå{ÄLåµâHÃ¾ê+Õ

7®Ê{á{óÄ:Ïå{ÄLå

âHÃ¾ê

Ãç&ÔHÏLÀÄaÐ&áÚÏå{ÄLåç&ÔHÏLÀLÏ

ÌaÇWÊ

7DÛLÀ

Reψ(t)

áâaÃæå9àÇXÕÏÚJÙ1É&ÛÌHÀ

ÅÊÔHÏLÍÕÀ

Åî7ÇWÊâHÃ¾îÉ&îxÕ

#eÇWîÍ

B(u + 1, v + 1) =

ψ(t)

dt.

ÖWò

#Fá{ÛLÂÇáÄ:ÏLÀLÊÃ¾ÕÇ{öU7&ÛLÀXç&ÔHÏLÍÄ:ÏLÍÂ&ÀLÊsÕá{ÊDÙ

ÕÌHÀ

ÅÄLÇ9ÙPÄ:ÀXñêÚÏLÃæÀXÚá{îpÃ¾Â&ádÕÇ{öW½ä<ÇWÌHÀLî

B(u + 1, v + 1) ∼

ψ(t

1
2

)(t−t

)

dt.

Ç{âHÌHêLç&Â&Ã¾ÀÑÏÇ{âHÌHêLç&É-ÅHÀLîÍsÊÔHÏLÍDÕå

ç&ÔHÏLÀLÏXç&ÔHáâHÌaåpÂÇ{ÄaÐ9ÍË¾á{Âåç<áÚþáÚç<ádÕÃ¾ÀÚÂ&Ãæî!Ê-åWÌHÀLî

7Ä:ÏLÍË¾ÃHc

B(u + 1, v + 1) ∼ e

ψ(t

)

]−∞,∞[

1
2

∂

ψ(t

u+v

2πuv

(u+v)

1/2

√

2π

u+1/2

v+1/2

(u+v)

u+v+3/2

OHJ]

0OHT

3RUT

0J^Z_

-T

]HT

Q)J

-J`

5`J

OHT

T\MPT\]HO

Q)`MPJ

¿ËæÇ+ÚÉ&ÛLÍÄSÐ

ÔHá{ÏLÕOÇWÛÇWîÍ>ÄLÇ9Ù1Ê{êXÌÎÍç&É

I(λ) =

f (x)e

λφ(x)

dx,

àÚÏLÃ¾À

ÅÀâHÌÑç<áÚÏLñ&Ã¾á{ÔHÀLî

½ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7ÛLÀ

ç<áâHÃæÇ{Ú&Çþà{Ëæá{ñÇWË¾Â&Àpî7ÇWÊâHÃ¾îÉ&î

Õç&É&Â&ÊÄ:ÃæÀ

ÂÇWË¾ÀLÛå{Ä:ÍDîëÚáeÕÂ&êLÌHÔHÏÇ

ÃOÛLÀUÅÀâaÌUÔ/{ÛLÂ&ÃæÄ:ÏLÊ{á@ÕOÇWË¾Â&ÀÚÕOÇFÔaÇWÏLÍ)Õ

½#eÇWîÍ

ÕÌHÀÚÍ

∇φ(˜x) = 0

ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍÌHÀLÛ7

ÛLÀ

ÀâaâuÅHÇWÂ

&lÚÔHÉ&àÇ?çáÄaÐ&áÚÂÇ

(

á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWÂ9Íç&ÔHÏLÀLÏ

∇

φ(˜

7ÅHÀâHÌsÉ-ÅÀLîpÂ&ÃæÀ

á{ÊÔHÀôHË¾á{Â9Í{½

VÌHÀÚÍ

I(λ) ≈

f (˜

x) exp



λφ(˜x) +

i,j=1

∇

φ(˜

x)(x

− ˜x

)(x

− ˜x

)



 dx

= f (˜

x)e

λφ(˜

2π

d
2

det(−∇

φ(˜

x))

−

1
2

AJ^

VXT

`)_

^UT

QSR

MPJR

ä<ÇWÊÙPÇ{Ú&ÇWîÍþÌHÀLÔaÇWÏ7ÛLÀ

âaåÚáâHÌaÇWÌHÀÄ:ÏLÂ&Ã¾ÀUàDÙPÇ{ÚÊDÃ¾À{½O¿Ë1ÇÚÉ&ÛLÍÄaÐ

7ÔHá{ÏLÕÇWÛÇWîÍÄLÇ9Ù1Ê{êXÌÆÍDç&É

I(λ) =

f (x)e

iλφ(x)

dx,

àÚÏLÃ¾À

ÅÀâHÌ

çáÚÏLñ&Ã¾á{ÔHÀLî

½ä<ÇWÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7ÛLÀ

çáâHÃ1Ç{Ú&Ç+à{Ë¾á{ñÇWË¾Â&ÀXî7ÇWÊâHÃ¾îÉ&î

Õç&É&Â&ÊÄ:Ã¾À

ÂÇWË¾ÀLÛå{Ä:ÍîÚáÑÕÂ&êLÌHÔHÏÇ

½$#FÇWîÍUÕÌHÀÚÍ

∇φ(˜x) = 0

½ä<ÇWÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWîÍ+ÌHÀLÛ7ÛLÀ

ÀâSâPÅHÇWÂ

7á{ÏLÂÇ{Ä:ÏÇWÂDÍ

ç&ÔHÏLÀLÏ

∇

φ(˜

7-ÅHÀâHÌÂ&Ã¾ÀLÏÚÀLà{ÀLÂ&ÀLÔHádÕÇWÂ9Í{½

VÌHÀÚÍ

I(λ) ≈

f (˜

x) exp



iλφ(˜x) +

iλ

i,j=1

∇

φ(˜

x)(x

− ˜x

)(x

− ˜x

)



 dx

= f (˜

x)e

ind∇

φ(˜

iλφ(˜

2π

d
2

det ∇

φ(˜

x))

−

1
2

Ö¼

$GHF

'MPT\MPO8J

V3W

`RUO

POHM

éDÕá{ñ<áÚÂ&ÀXÔ/dÕÂÇWÂ&Ã¾ÀéÄaÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇ)c

(x) = −

∆ψ

(x).

ø-@ÕÂÇWÂ&Ã¾ÀUÚÍDÈPÉ&Ï

ÅHÃ

&lÄ:Ã¾ÀLçÙPÇ

(x) = κ∆f

(x).

ç&ÔHádÕÇ{Ú

LîÍá{ç<ÀLÔaÇWÌHá{Ôç<êÚÉ

= −i∇

VÌHÀÚÍ

−∆ = p

½#Fá{ÛLÂÇÉ&á{à{Ë¾Â&ÃæöiÔ/@ÕÂÇWÂ&Ã¾ÀéÄaÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇÚáÚÍâHç<ÀLÔaâHÍdÅÂ&ÀLà{áÔ/@ÕÂÇWÂ&ÃæÇéÄSÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇ)7

à{ÏLÃ¾À

ÅHÀâHÌÚádÕOá{Ë¾Âå+ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHåç<êÚÉ

(x) = ω(p)ψ

(x).

í&á{ÔHî7ÇWËæÂ&ÀÑÔHá{ÏLÕÃæåWÏÇWÂ&Ã¾Àc

= e

itω(p)

ÞÔaÇWÂâÈPá{ÔHîÇ{ÄÆÅHÇpíá{É&ÔHÃ¾ÀLÔaÇÕÊ{á{Â9ÕOÀLÂÄÆÅÃ

ÎÉ&Â&Ã¾ÌaÇWÔHÂ&À

ψ(ξ) = (2π)

−

d
2

ψ(x)e

−ixξ

dx,

ψ(x) = (2π)

−

d
2

ψ(ξ)e

ixξ

dξ.

Þ®ÔaÇWÂâHÈPá{ÔHî7Ç{ÄÆÅaÇpí&á{É&ÔHÃæÀLÔaÇÚÃæÇWà{á{ÂÇWË¾Ã¾ÏLÉ-ÅHÀ£çêÚ\c

pψ(ξ) = ξ ˆ

ψ(ξ).

à{Ë¾Â&Ã¾À

ω(p)ψ(ξ) = ω(ξ) ˆ

ψ(ξ).

¿ËæÇWÌHÀLà{á

(ξ) = ω(ξ) ˆ

(ξ),

(ξ) = e

−itω(ξ)

(ξ).

ÔHÀLç&ÔHÀLÏLÀLÂ9ÌaÇ{ÄÆÅHÃç<áDÙ1á{ÛLÀLÂ&Ã¾á@ÕÀ

(x) =

(x − y)ψ

(y)dy,

àÚÏLÃ¾À

Îç&ÔHá{çÇWàÇWÌHá{Ô

ÅHÀâHÌÔ/dÕÂDÍ

(x) = (2π)

−d

−itω(ξ)+ixξ

dξ.

ç&ÔHÏLÍDçÇ{ÚÊÉµÚÍDÈPÉ&Ï

ÅHÃ®ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

(x) =

(4πκt)

−

(x−y)2

4κt

(y)dy.

ä<ÇWÉ9ÕÇWÛLîÍ7<ÛLÀ

Ö{Ò

&H¼2(

(x)dx =

(x)dx

&oÒ(

≥ 0

Ã¾îpç&ËæÃ¾ÊDÉ-ÅHÀ

≥ 0

&o×(

(x)dx =

(x)dx

¿ËæÇâHÕOá{ñáÚÂ&ÀLà{ápÔ/@ÕÂÇWÂ&ÃæÇéÄaÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇÏ

m = 1

îÇWîÍ

(x) =

(2πti)

−

d
2

i(x−y)2

(y)dy.

#eÇWîÍ

|ψ

(x)dx =

|ψ

(x)dx

$GHF

5T\M

QSRUTJJM

Ã¾ÀÄaÐ

Ω

ñ<êÚÏLÃ¾ÀÑÕÍç&É&Ê&Ù1Íî!ÏLñ&Ã¾á{ÔHÀLî

Ω 3 ξ 7→ ω(ξ) ∈ R

&o×½jè@Ü)(

Â&Ã¾ÀÄSÐñ<êÚÏLÃ¾À}ÈuÉ&Â&ÊÄÆÅaå

ÕÍç&É&Ê&ÙPåÊËæÇ{âHÍ

½}éÄ:ÃæôHË¾À

ÅÔHÏLÀÄ:Ï ñ&Ã¾á{Ôaå{ÄU7WÏÇWÊ&ÙPÇ{Ú&ÇWîÍ7ÛLÀ ÚËæÇÔ/{ÛLÂDÍÄSÐ

, ξ

∈ Ω,

6= ξ

0 < τ < 1

τ ω(ξ

) + (1 − τ)ω(ξ

) > ω (τ ξ

+ (1 − τ)ξ

) .

VÌHÀÚÍ

Ω 3 ξ 7→ v(ξ) := ∇ω(ξ) ∈ R

&o×½jèWÖ(

ÅHÀâHÌÈPÉ&Â&ÊÄÆÅaåsÔ/{ÛLÂ&ádÕOÇWÔHÌHáôSÄ:Ã¾ádÕå½

ÃæÀÄaÐ

Ω

ñêÚÏLÃ¾À+á{ñ&ÔaÇWÏLÀLî

&o×½jèWÖ(a½õ{ÀâHÌ£ÌHáÏLñ&Ã

{Ô£ÕÍç&É&Ê&Ù1Í{½

#Fá{ÛLÂÇ

ÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾á@ÕOÇ{öÑÈuÉ&Â&ÊÄÆÅHê

Ω 3 v 7→ ξ(v) ∈ Ω

áÚÕÔHá{ÌHÂåpÚá'&o×½jè@Ü)(a½ÞÔaÇWÂâÈPá{ÔHîÇ{ÄÆÅê

%®ÀLà{ÀLÂÚÔHÀ{ß

Ç7ÚÀ:ÁÂ&Ã¾É-ÅHÀLîÍUÅaÇWÊ{á

ω(v) := vξ(v) − ω(ξ(v)).

p·1³iº³D¯·P³

&H¼2(

∇˜ω(v) = ξ(v)

&oÒ(

∇

ω(v) = ∇

ξ(v) =

∇

ω(ξ(v))

−1

'$=1+

8N)>$&h*@-

3%6

td'%

&o×(

˜˜ω(ξ) = ω(ξ)

&H¼2(

∇

ω(v) = ξ(v) + v∇

ξ(v) − ∇

ω(ξ(v))∇

ξ(v) = ξ(v).

&oÒ(

∇

ω(v) = ∇

ξ(v) = ∇

v(ξ(v))

−1

= ∇

ω(ξ(v))

−1

&o×(

˜˜ω(ξ) = ξv(ξ) − v(ξ)ξ(v(ξ)) + ω(ξ(v(ξ))) = ω(v).

-º{¹®°

´k¹\

&H¼2(

Ω = R

ω(ξ) =

Ω = R

ω(v) =

&oÒ(

Ω = R

ω(ξ) =

+ m

Ω = {v ∈ R

: |v| < 1}

ω(ξ) = −m

√

1 − v

&o×(

Ω = R

ω(ξ) = e

Ω =]0, ∞[

ω(v) = v log v − v

Ö{×

$GHF

-J

_RUMPJ

OHJ

$Q5a

ZO8M

ç&ÔHádÕÇ{Ú

LîÍîÇ9Ù1ÍçÇWÔaÇWîpÀLÌHÔ

½OäîpÃæÀLó&îÍsÚÀ:ÁÂ&ÃæÄÆÅêÑç<êÚÉ>ÃÀLÂ&ÀLÔHà{Ã¾Ã8c

= −i~∇

E = i~∂

¿ÍâaçÀLÔaâHÍdÅHÂ&ÀÔ/@ÕÂÇWÂ&Ã¾ÀéÄSÐ&Ô/.ÚÃ¾Â&à{ÀLÔaÇ7ÕçáâaÌaÇ{Ä:ÃÏÇÕÃ¾ÀLÔaÇ@Åaå{Ä:À

(x) = ω(p)ψ

(x).

&o×½jèWã(

#eÇ+á{Â&ápÔHá{ÏLÕÃæåWÏÇWÂ&Ã¾Àc

= e

itω(p)

*ñ9ÍUÅÀÑÔHá{ÏLÕÃæåWÏÇ{öXÕÍDà{áÚÂ&Ã¾ÀÅHÀâHÌÏÇ{âHÌHáâHá@ÕOÇ{öUâaÀLîpÃ¾ÊËæÇ{âHÍÄ:ÏLÂåXÕÀLÔaâuÅêXÌHÔaÇWÂâHÈPá{ÔHî7Ç{ÄÆÅHÃ®í&á{É&ÔHÃ¾ÀLÔaÇ)c

ψ(ξ) = (2π~)

−

d
2

ψ(x)e

−

ixξ

dx,

ψ(x) = (2π~)

−

d
2

ψ(ξ)e

ixξ

dξ.

#eÇ+á{ÂÇÕÙPÇ{âHÂ&áôaÄ:Ã

|ψ(x)|

dx =

|ψ(ξ)|

dξ,

ω(p)ψ(ξ) = ω(ξ) ˆ

ψ(ξ).

ðÔHá{çÇWàÇWÌHá{ÔÕÍDÂ&áâHÃ

(x) = (2π~)

−d

−

itω(ξ)+i(x−y)ξ

dξ.

$GHF

5T\MPO8Q)T

]HT

_ZQ)`M

-J

_RUMPJR

]8W

QSRUO

ä<Ç9Ù

{ÛLîÍ7ÛLÀ

(x)

ÀLÕOá{Ë¾É&É-ÅÀFÏLà{áÚÂ&ÃæÀ>Ï>Ô/dÕÂÇWÂ&ÃæÀLî

&o×½jèWã(a½

ØOÐÄ:ÀLîÍCÕÍDÏLÂÇ{Ä:ÏLÍö>ç&ÔHá{çÇWàÇ{ÄÆÅHêeÚË1Ç

î7Ç9Ù1ÍÄaÐ>ÕÇWÔHÌHáôaÄ:Ã

ÕÏÇWË¾ÀLÛLÂ&áôaÄ:ÃáÚ

Ã¾ÀÄaÐ

v(ξ)

ω(x)

ñ<êÚ&åÏÚÀ:ÁÂ&Ã¾á@ÕOÇWÂ&ÀÅHÇWÊsÕçáÚÔHá{ÏÚÏLÃæÇWË¾ÀX×½¾¼{¼W½ZVÌHÀÚÍ

(x) ≈ exp

ind∇

v(ξ(x/t)

×t

−

d
2

| det |∇

v(ξ(x/t)|

−

1
2

exp

ω(x/t)

((ξ(x/t)) .

&o×½jè{è5(

ØOÏLÍË¾Ã9çÇ{Ä:ÏLÊWÇÈuÇWË¾á@ÕOÇáçêÚÏLÃ¾À

ç<áÚÔ/{ÛLÉ-ÅHÀOÏ ç&ÔHêÚÊ{áôaÄ:Ã1å

v(ξ) = ∇ω(ξ)

ÏLÕÇWÂåÎç&ÔHêÚÊ{áôaÄ:Ãæåà{ÔHÉ&çá@ÕOåa½

ä<ÇWÉ9ÕÇWÛLîÍç&ÔHÏLÍsÌÎÍî,7&ÛLÀXÂ&á{ÔHîÇ

ç&ÔaÇÕOÀ

ÅâHÌHÔHá{Â9ÍK&o×½jè{è5(Â&Ã¾ÀÑÏÇWËæÀLÛLÍ7áÚ>Ä:ÏÇ{âHÉ½

*ñ9Ísá{ÌHÔHÏLÍDîÇ{ö&o×½jè{è5(ÏÇWç&ÃæâHÉ-ÅHÀLîÍ

(x)

Õç<áâHÌaÇ{Ä:Ã

(x) = (2π~)

−

d
2

exp

iφ

(x, ξ)

(ξ)dξ,

Ö-Ü

àÚÏLÃ¾À

(x, ξ) = −tω(ξ) + xξ.

éDÌHáâHÉ-ÅHÀLîÍsîpÀLÌHáÚê£ÈuÇWÏLÍþâHÌaÇ{ÄÆÅHá{ÂÇWÔHÂ&À

∇

φ(x, ξ) = −t∇

ω(x) + x.

ä<ÇWÌHÀLî

x/t = ∇

ω(ξ) = v(ξ),

φ (x, ξ(x/t)) = xξ(x/t) − tω (ξ(x/t)) = t˜ω(x/t).

ðá{ÏÇpÌÎÍî

∇

φ(x, ξ) = −t∇

ω(ξ) = −t∇

v(ξ).

#FÀLÌHáÚ&ÇÈuÇWÏLÍsâHÌaÇ{ÄÆÅá{ÂÇWÔHÂ&À

Åç&ÔHá@ÕOÇ{ÚÏLÃÚá

(x) ≈ (2π~)

−

(2π~)

d
2

exp

ind∇

v(ξ(x/t)

×t

−

d
2

| det |∇

v(ξ(x/t)|

−

1
2

exp

ω(x/t)

((ξ(x/t))) ,

ÏÑÊÌ/{ÔHÀLà{ápÕÍDÂ&ÃæÊ-Ç+ÕÏ{Ô

&o×½jè{è5(a½

$GHF

'MPT\MPO8J

]HJO8MPT

MPT

VXT\]

ðá{Â&Ã¾ÛâHÏLÀpÔ/@ÕÂÇWÂ&Ã¾ÀÚËæÇ

m 6= 0

ÂÇWÏLÍÕOÇFâHÃ¾êÔ/@ÕÂÇWÂ&Ã¾ÀLî Ó£Ë¾ÀLÃæÂÇ213á{ÔaÚá{ÂÇ>Ç>ÚËæÇ

m = 0

Ô/@ÕÂÇWÂ&Ã¾ÀLî

ÈlÇWË¾ádÕÍî,c

∂

ψ(t, x) = (∆ − m

)ψ(t, x).

&o×½jèWì(

p·1³iº³D¯·P³

'819%

ψ(t, ·)

∂

ψ(t, ·)

t = 0

+{"D?+f*

"$(

*,+{'

<("

&h!9

<(dC%&

"&",R

08f5&hR

ψ(t) = −∂

G(t)ψ(0) + G(t)∂

ψ(0),

21354k6

!8?'

(

G(t)

8?)>1$

'u-(

G(t) = −

(−∆ + m

)

−

1
2

√

−∆+m

(−∆ + m

)

−

1
2

−it

√

−∆+m

&o×½jèWì(îpá{ÛLÂÇ+ç&ÔHÏLÀLç&ÃæâaÇ{ö£Õ

Èuá{ÔHîpÃ¾À

i∂

−

−∆ + m

i∂

−∆ + m

ψ = 0.

¿ÏLÃ¾ÀLË¾Ã¾îÍ

ÂÇ7Ä:ÏLêôaö£ápÚáÚ&ÇWÌHÂ&ÃæÀ

Å ÃÉ-ÅHÀLîpÂ&À

ÅÄ:ÏLêâHÌHá{ÌHË¾Ã¾ÕOáôaÄ:ÃHc

ψ = ψ

+ ψ

−

7àÚÏLÃæÀ

i∂

−∆ + m

= 0.

Ö{Ö

#eÇWîÍ

ψ =

1
2

1 − i(−∆ + m

)

−

1
2

∂

1
2

1 + i(−∆ + m

)

−

1
2

∂

ψ.

¿ËæÇWÌHÀLà{á

1
2

1 ∓ i(−∆ + m

)

−

1
2

∂

ψ.

éDÌHáâHÉ-Åaå{Ä

(t) = e

±i

√

−∆+m

(0),

ÚáâHÌaÇ@ÅHÀLîÍ

ψ(t) = e

√

−∆+m

(0) + e

−i

√

−∆+m

−

(0)

1
2

√

−∆+m

+ e

−it

√

−∆+m

)ψ(0)

−(∆ + m

)

−

1
2

√

−∆+m

+ (−∆ + m

)

−

1
2

−it

√

−∆+m

∂

ψ(0).

Ö{ã

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Funkcje Analityczne Notatki do Nieznany
Część III Własności ogólne funkcji analitycznych
Część IV Pewne klasy funkcji analitycznych
Funkcje Analityczne Zadania
H Toruńczyk Wykład z funkcji analitycznych
Błocki Z Funkcje Analityczne Dla Sekcji Nieteoretycznych
funkcje analityczne, MATERIALY, Bazy danych
Funkcje analityczne
Stanisław Saks i Antoni Zygmund Funkcje analityczne
Część III Własności ogólne funkcji analitycznych
Zadania funkcje analityczne (liczby zespolone)
Część IV Pewne klasy funkcji analitycznych
,algebra liniowa z geometrią analityczną, PRZYKŁADY FUNKCJONAŁÓW DWULINIOWYCH zadania
Środowiskowe konteksty funkcjonowania szkoły w sytuacji zmiany społecznej – Jan Malinowski
BANK CENTRALNY I JEGO FUNKCJE

więcej podobnych podstron