2ro 2ro
2L
Wymiana ciepła
wykład
Steaks
25�C
Water
Plates 97�C
25�C
Egg
Ti =
Refrigerated air
-11�C
8�C
Furnace,
700�C Air
T" = -15�C
10 cm
steel rod 10�C
Hot gases
Orange
700�C
Ti = 15�C
Air
Chicken
T" = 25�C
WARUNKI
Ti = 20�C
Refrigerator
NIEUSTALONE
T" = -5�C
Apple
Ti = 5�C
Oven
T" = 170�C
Water
94�C
Air
T" = 150�C
Potato
Hot dog
T0 = 20�C
Rib,
Steel shaft
4.5�C
Ti = 400�C
Oven
163�C
Przewodzenie ciepła w warunkach nieustalonych
Jako procesy nieustalone można wymienić np.: ogrzewanie i chłodzenie różnych materiałów,
czy obróbkę cieplną metali.
Pole temperaturowe:
w ogólnym przypadku:
" T  qv
= "2T +
" t cp� cp�
w przypadku braku wewnętrznych z
ródeł ciepła: qv = 0 - równanie Fouriera
" T
= a"2T
" t
Ogrzewanie lub chłodzenie nieskończonej ścianki płaskiej (dwustronne), nieskończonego
walca i ścianki sferycznej
założenia:
" cały czas stała i niezmienna temperatura otaczającego ośrodka Tf = const
�! T = T0 = const
" w chwili początkowej rozkład temperatury w ściance jest stały: t =0
x r
" jednowymiarowe pole temperaturowe ruch ciepła jednowymiarowy w kierunku lub
�!
" z powierzchni zewnętrznej ciepło jest usuwane (lub dostarczane w przypadku ogrzewania)
na drodze wnikania ze stałą wartością współczynnika wnikania ciepła ą = const
" znane są stałe materiałowe ścianki: cp, , czyli w konsekwencji dyfuzyjność cieplna a:
� 

a =
cp �
Równania Fouriera mają więc postać:
2
" T " T
dla ścianki płaskiej: = a
" t "x2
2
�# ś#
" T " T 1 "T
dla ścianki cylindrycznej: = a +
ś# ź#
" t x "x
�# "x2 #
2
�# ś#
" T " T 2 "T
dla ścianki sferycznej: = a +
ś# ź#
" t x "x
�# "x2 #
2ro 2ro
(x oznacza tu współrzędną przestrzenną lub promień)
2L
Warunki brzegowe i warunek początkowy (identyczne dla wszystkich trzech przypadków):
WB2R1:
w środku układu warunek brzegowy drugiego rodzaju
=
( T/ x)0 0
" "
WB3R2:
na powierzchni warunek brzegowy trzeciego rodzaju
"T ą
�# ś#
=- T(x0 ) - Tf
ś# ź# ()
�# #
"x 
x= x0
gdzie:
- x0 oznacza odległość od środka do brzegu (pół grubości płyty, promień walca lub kuli)
[1] bo w środku układu na pewno występuje ekstremum temperatury  dla x=0
[2] bo ciepło  przewodzone przez ściankę =  ciepłu dostarczanemu (odbieranemu) na drodze wnikania
przez płyn  w punkcie styku dla x=x0
Warunek początkowy- w chwili początkowej rozkład temperatury w ściance jest stały:
T(x,t = 0) =T0 = const
Matematycznie problem do rozwiązania:
Równanie Fouriera
Warunek początkowy
Całość
zagadnienia do
rozwiązania
WB2R
WB3R
Czyli:
2
ścianka płaska
" T " T
= a
" t "x2
2
lub
ścianka cylindryczna:
�# ś#
" T " T 1 "T
= a +
ś# ź#
" t x "x
�# "x2 #
2
lub
ścianka sferyczna:
�# ś# To należy
" T " T 2 "T
= a +
ś# ź#
" t x "x
�# "x2 #
rozwiązać
T(x,t = 0) =T0 = const
=
( T/ x)0 0
" "
"T ą
�# ś#
=- T(x0 ) - Tf
ś# ź# ()
�# #
"x 
x= x0
Przykład obliczeniowy - ogrzewanie (lub chłodzenie) nieskończonej ścianki
płaskiej (dwustronne)
T
T0
ą ą
2�
Tf
� �
x
rysunek poglądowy  przyjęto, że grubość płyty wynosi 2 , roboczo przyjęto, że T0 > Tf 
�
czyli proces chłodzenia (gdyby: T0 < Tf  ogrzewanie)
i ponownie matematyczny opis tego problemu:
2
" T " T
= a
" t "x2
T(x,t = 0) =T0 = const
=
("T/"x)0 0
"T ą
�# ś#
= - ()
T (� ) - Tf
ś# ź#
"x 
�# #x=�
Metodyka rozwiązania
Zagadnienie można rozwiązać analitycznie np. metodą rozdzielenia zmiennych, który to
sposób zostanie tu krótko zaprezentowany.
W pięciu krokach
Krok 1
W celu uproszenia opisu wprowadza się zamiast temperatury nową zmienną definiowaną
Ń1
jako różnicę pomiędzy aktualną temperaturą a temperaturą otoczenia:
Ń(x,t) = T (x,t) - Tf
Zmienna ta nazywana jest nadwyżką (nadmiarem) temperatury.
1
- greckie theta
Ń
matematyczny opis tego problemu dla tej nowej zmiennej będzie postaci:
2
"Ń " Ń
= a
" t "x2
(x,t = 0) = = T0 - Tf =const
Ń Ń0
=
( / x)0 0
"Ń "
"Ń ą
�# ś#
= - Ń(� )
ś# ź#
"x 
�# #x=�
Będzie tak ponieważ temperatura i nadwyżka temperatury różnią się o stałą, a zatem ich
pochodne będą sobie równe:
"Ń " T
=
"u "u
gdzie u  dowolna zmienna (np.: t lub x)
Krok 2
Równanie Fouriera jest równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego i nie istnieją
proste metody jego rozwiązania. Postawmy hipotezę: funkcja Ń(x,t) da się przedstawić jako
iloczyn dwóch funkcji prostych, jednej zależnej tylko od współrzędnej i drugie zależnej tylko
od czasu:
Ń(x,t) = f(x)�(t)
(x,t) = f(x) (t)
Ń �
jeżeli tak, to równanie Fouriera można zapisać w formie:
2
"�(t) " f (x)
f (x) = a�(t)
" t "x2
a nawet prościej za pomocą pochodnych zwyczajnych:
2
d�(t) d f (x)
f (x) = a�(t)
dt dx2
a po obustronnym podzieleniu przez af jako:
�
2
1 d�(t) 1 d f (x)
=
a�(t) dt f (x) dx2
2
1 d�(t) 1 d f (x)
=
a�(t) dt f (x) dx2
Rzut oka na to równanie pozwala zauważyć, iż lewa strona (jako całe wyrażenie) jest tylko
funkcją czasu a prawa zależy wyłącznie od współrzędnej przestrzennej, czyli
L(t) = P(x)
Ponieważ ma to być słuszne dla dowolnego punktu x w płycie w każdym momencie czasu t to
będzie to możliwej tylko w jednej sytuacji, gdy:
L(t) = P(x) = const
Czyli inaczej mówiąc:
2
1 d�(t) 1 d f (x)
2
= = -� = const
a�(t) dt f (x) dx2
gdzie -�2
jest jakąś (na razie) nie znaną stałą1
1
trochę  egzotyczne oznaczenie -�2
tej stałej znajdzie póz
niej uzasadnienie
2
1 d�(t) 1 d f (x)
2
= = -� = const
a�(t) dt f (x) dx2
Równanie Fouriera daje się zatem zapisać w postaci dwóch równań różniczkowych
zwyczajnych:
1 d�(t)
2
= -�
2
a�(t) dt
"Ń " Ń
= a
�!
2
" t "x2
1 d f (x)
2
= -�
f (x) dx2
A po prostych przekształceniach w postaci:
d�(t)
2
= -a� �(t)
dt
2
d f (x)
2
= -� f (x)
dx2
d�(t)
2
= -a� �(t)
dt
2
d f (x)
2
= -� f (x)
dx2
Równanie pierwsze można prosto rozwiązać poprzez rozdzielenie zmiennych i scałkowanie
d�
2
2
= -a�
�(t) = Ae-a� t
+" +"dt
�
A równanie drugie jest znanym tzw. równaniem oscylatora harmonicznego
'' 2
f + � f = 0
o znanym rozwiązaniu postaci:
f(x) = B sin(�x) = C cos(�x)
gdzie: A, B, C  stałe całkowania
Reasumując w drugim kroku uzyskano rozwiązanie równania Fouriera postaci:
2
Ń(x,t) = [Bsin(�x) + C cos(�x)]Aexp(-a� t)
gdzie: A, B, C i � na razie nie znane stałe.
Krok 3
W celu wyliczenia nieznanych wartości A, B, C i � można wykorzystać istniejące warunki
brzegowe i warunek początkowy.
WB2R =
jest postaci ("Ń/"x)0 0
Czyli
"Ń "
�# ś#
2
= [Bsin(�x) + C cos(�x)]Aexp(-a� t) = 0
ś# ź#
x=0
"x
�# #x=0 "x
i dalej
"
2
Aexp(-a� t) [Bsin(�x) + C cos(�x)] = 0
x=0
"x
a zatem
"
[Bsin(�x) + C cos(�x)] = 0
x=0
"x
"
[Bsin(�x) + C cos(�x)] = 0
x=0
"x
i ostatecznie
B� cos(0) - C� sin(0) = 0
czyli ponieważ
B� cos(0) = 0, B� = 0
stąd ostatecznie
B=0
Czyli wyrażenie na nadmiar temperatury uległo znacznemu uproszczeniu.
2
Ń(x,t) = AC cos(�x)exp(-a� t)
2
Ń(x,t) = AC cos(�x) exp(-a� t)
iloczyn stałych AC można potraktować jako jakąś jedną stałą np. D i stąd:
2
Ń(x,t) = D cos(�x)exp(-a� t)
do wyliczenia pozostały stałe D i
�
Krok 4
WB3R.
Stałą można wyliczyć z Ponieważ
�
"Ń ą
�# ś#
= - Ń(� )
ś# ź#
"x 
�# #x=�
A zatem:
" ą
2 2
[D cos(�x)exp(-a� t)] = - D cos(�� )exp(-a� t)
x=�
"x 
lub prościej eliminując czynnik zależny tylko od czasu i stałą D
" ą
[cos(�x)] = - cos(�� )
x=�
"x 
czyli
ą
- � sin(�� ) = - cos(�� )

lub inaczej
� � � ��
ctg(�� ) = = =
ą�
ą ą �

� � � ��
ctg(�� ) = = =
ą�
ą ą �

definiuje się pewną wielkość bezwymiarową tzw. liczbę Biota Bi
ą� � 1
Bi = lub inaczej Bi =
  ą
natomiast zamiast stałą operuje się jest iloczynem przez połowę grubości płyty jakąś
� �
nową stałą
ź
=
ź ��
czyli otrzymujemy prostsze równanie
ź
ctg(ź) =
Bi
zawierające zdefiniowaną liczbę Biota (stosunek oporu przewodzenia do oporu wnikania) i
alternatywną stałą do wyliczenia, oczywiście istnieje związek pomiędzy stałymi postaci:
ź
� =
�
Rozwiązanie równania
ź
ctg(ź) =
Bi
pozwoli wyznaczyć stałą ź, lub alternatywnie �.. Równanie to nie daje się analitycznie
rozwiązać i ma nieskończenie wiele rozwiązać. Ilustruje to prosty rysunek
20
y= ctg(ź)
y= ź/Bi
10
ź6
ź5
ź4
ź3
ź2
ź1
0
Ą+Ą/2 2Ą+Ą/2
3Ą+Ą/2
0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.42 10.99 12.56 14.13 15.7 17.27 18.84
Ą/2
-10
-20
A zatem można powiedzieć, że równanie to generuje ciąg rozwiązań . I każde z tych
źi
rozwiązań należy uwzględnić w konstrukcji rozwiązania równania Fouriera. Można to zrobić
biorąc kombinację liniową wszystkich dotychczas uzyskanych rozwiązań na nadmiar
temperatury , czyli otrzymamy jako rozwiązanie:
Ń
" "
źi źi
Ń(x,t) =
"Ń (x,t) = "D cos( � x) exp(-a( � )2 t)
i i
i=1 i=1
źi
ctg(źi ) =
Bi
Do wyliczenia pozostała stała D (a właściwie ciąg stałych Di).
Krok 5 (ostatni)
Stałe te można wyliczyć z warunku początkowego, Wiadomo, że dla t = 0, czyli na początku
procesu w ciele panowała stała temperatura (stała wartość nadmiaru temperatury):
(x,t = 0) = = T0 - Tf =const
Ń Ń0
czyli musi istnieć zależność
"
źi
Ń(x,t = 0) = Ń0 =
"D cos( � x) exp(0)
i
i=1
"
źi
Ń0 =
"D cos( � x)
i
i=1
Ponadto ponieważ, jak łatwo wykazać, funkcja cosinus ma taką własność że:
� �
ź ź
źi źi
j j
+"cos( � x)cos( � x)dx = 0 gdy i `" j i +"cos( � x)cos( � x)dx `" 0 gdy i = j
-� -�
czyli tylko
�
źi
2
+"cos ( � x)dx `" 0
-�
�
źi
2
+"cos ( � x)dx `" 0
-�
to wymnożenie wyrażenia na Ń0 przez człon kosinusowy jakiegoś dowolnego rozwiązania
równania charakterystycznego i scałkowanie całości w granicach od -� �
źj do + daje po kolei:
"
ź ź
j j
Ń0 cos( x) = cos( x)
"D cos(źi x)
i
� � �
i=1
"
ź ź
j j
Ń0 cos( x) =
"D cos( � x)cos(źi x)
i
� �
i=1
� �
"
ź ź
j j
Ń0
"D cos( � x)cos(źi x)dx
i
+"cos( � x)dx = +"
�
i=1
-� -�
� �
"
ź ź
źi
j j
Ń0
"D
i
+"cos( � x)dx = +"cos( � x)cos( � x)dx
i=1
-� -�
� �
ź ź
j j
2 1
Ń0
+"cos( � x)dx = Dj +"cos ( � x)dx
-� -�
� �
ź ź
j j
2 1
Ń0
+"cos( � x)dx = Dj +"cos ( � x)dx
-� -�
co w prosty sposób pozwoli wyznaczyć dowolną ze stałych .
Dj
�
ź
j
Ń0
+"cos( � x)dx
2sin ź
j
-�
Dj = = Ń0
�
ź
ź + sin ź cos ź
j
2 j j j
+"cos ( � x)dx
-�
ź
źi
j
*1 Wynika to z omówionej własności całki oznaczonej iloczynu funkcji cosinus: cos( x)cos( x)
� �
**1 jeżeli ktoś nie pamięta jak się liczy całki (nieoznaczone) polecam: http://integrals.wolfram.com/
�
ź
j
Ń0
+"cos( � x)dx
2sin ź
j
1
-�
Dj = = Ń0
�
ź
ź + sin ź cos ź
j
2 j j j
+"cos ( � x)dx
-�
Ostatecznie uzyskuje się rozwiązanie omawianego problemu w postaci:
"
2sin źi
x at
Ń(x,t) = Ń0 cos�# źi ś#exp�#- źi2 ś#
ś# ź# ś# ź#
"
2
źi + sin źi cos źi �# � �
# �# #
i=1
źi
ctg(źi ) =
Bi
W celu uproszczenia zapisu (i rozwiązania) wygodnie jest operować pewnymi wielkościami
bezwymiarowymi. W tym celu definiuje się (dodatkowo poza wcześniej zdefiniowaną liczbą
Biota):
temperaturę bezwymiarową Y
T - Tf
Y =
T0 - Tf
współrzędną bezwymiarową:
X = x/
�
liczbę Fouriera - Fo:
at
Fo =
2
�
(liczba ta charakteryzuje podobieństwo czasowe dla procesów nieustalonego przewodzenia
ciepła)
Zapisane za pomocą tych wielkości rozwiązania mają postać:
"
2 sin ź
i 2
Y = cos ź X exp -ź Fo
( )
()
" ii
ź + sin ź cosź
i=1
ii i
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
ź
i
ctgź =
i
Bi
"
nieskończona ścianka płaska:
2 sin ź
i 2
Y = cos ź X exp -ź Fo
( )
()
" ii
ź + sin ź cosź
i=1
ii i
ź
i
ctgź =
i
Bi
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
Plates
25�C
Furnace,
700�C
nieskończona ścianka cylindryczna:
"
2Bi
2
Y = J0 ź X exp -ź Fo
" ii
22
ź + Bi J0 ź
i=1 ( )
()( )()
ii
J (źi ) źi
0
=
J1(źi ) Bi
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
funkcje Ji (x) to tak zwane funkcje walcowe Bessela pierwszego rodzaju (rzędu  i )
Water
100�C
2 cm Hot dog Ti = 5�C
Funkcje walcowe Bessela - porównanie z trygonometrycznymi
1
0.8
0.6
0.4
0.2
J0
0
cosinus
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
J (źi ) źi
0
=
J1(źi ) Bi
10
8
y=J0(ź)/J1(ź)
y= ź/Bi
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-2
-4
-6
-8
-10
ścianka sferyczna:
"
2 sin ź - ź cosź sin ź X
( ) ( )
i i i i
2
Y = exp -ź Fo
()
" i
ź - sin ź cosź ź X
i=1
ii i i
1
tgź = ź
ii
Bi - 1
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
Lake
15�C
Water
melon
Ti = 35�C
nieskończona ścianka płaska:
"
2 sin ź
i 2
Y = cos ź X exp -ź Fo
( )
()
" ii
ź + sin ź cosź
i=1
ii i
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
ź
i
ctgź =
i
Bi
Ogólna postać rozwiązania:
Y = Y(X, Bi, Fo)
nieskończona ścianka cylindryczna:
Można wykazać, że jest to
"
2Bi
2
Y = J0 ź X exp -ź Fo
" ii
22
ź + Bi J0 ź
i=1 ( )
()( )()postać ogólna rozwiązania
ii
dla dowolnej geometrii
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
układu, przy dowolnych
J (źi ) źi
0
warunkach brzegowych i
=
J1(źi ) Bi
początkowych, tzn. że
funkcje Ji (x) to tak zwane funkcje walcowe Bessela pierwszego rodzaju (rzędu  i )
temperatura bezwymiarowa
jest zawsze funkcją
ścianka sferyczna:
bezwymiarowej
"
2 sin ź - ź cosź sin ź X
() ( )
i i i i
2 współrzędnej, liczby Biota i
Y = exp -ź Fo
()
" i
ź - sin ź cosź ź X
Fouriera (tak jest zawsze).
i=1
ii i i
gdzie źi, ciąg rozwiązań równania charakterystycznego postaci:
1
tgź = ź
ii
Bi - 1
Ogólna postać rozwiązania:
Y = Y(X, Bi, Fo)
Wyznaczanie wielkości cieplnych
-
Qt = Q" (1- Y)
gdzie
Qt - ilość ciepła wymienionego po czasie t
Q" - maksymalna ilość ciepła jaką dane ciało może wymienić
-
Y - średnia wartość temperatury bezwymiarowej