Wymiana ciepła
wykład 5
e) ścianka cylindryczna
ustalone przewodzenie ciepła dla modelu nieskończonej ścianki
cylindrycznej (opis matematyczny - równanie Laplace a)
"2T = 0
wymiar z jest nieskończony (praktycznie z>>r)
T1 T1
r1
T2 T2
r2
rozchodzenie się ciepła następuje tylko w kierunku r.
Cylinder najlepiej opisać we wspólrzędnych walcowych, "2 ma tu w ogólnym przypadku
następującą formę:
2 2 2
" 1 " 1 " "
"2 = + +2 2 +
2
r "r
"r r "Õ "z2
Współrzędne cylindryczne
"2T = 0
"2T "2T "2T
+ + = 0
"x2 "y2 "z2
"2T = 0
 ("T/"z = 0 '" "T/"Õ = 0), czyli
2 2
" 1 " d 1 d
"2 = + = +
2 2
r "r r dr
"r dr
"2T = 0 Ô! d2T/dr2 + 1/r dT/dr = 0 Ô! d/dr(rdT/dr) =0
czyli T = c1 lnr + c2 - charakter logarytmiczny zależności T = T(r)
po uwzględnieniu warunków brzegowych:
r
ln
r1
T = T1 - (T1 - T2 )
r2
ln
r1
QH = - S dT/dr
gdzie:
S=2Ä„rL
L -wybrana wysokość ścianki cylindrycznej
Wprowadza się nową wielkość; strumień cieplny odniesiony do jednostki długości ścianki
cylindrycznej QH /L:
QH /L = - 2Ä„r  dT/dr
QH /L [W/m]
QH = 2Ä„(T1 - T2 ) 2Ä„(T1 - T2 ) 2Ä„ (T1 - T2 )
= =
L
1
ln r2 r1 ln d2 d1
ln d2 d1

QH /L - w danych warunkach (zadana temp. na ściankach, zadane rozmiary geometryczne)
jest wielkością stałą: QH /L = const
QH = Ä„ (T1 - T2 )
L
1
ln d2 d1
2
Dla układu n-ścianek cylindrycznych można po analogicznym rozumowaniu jak dla n-ścianek
płaskich przedstawić wielkość strumienia cieplnego na jednostkę długości jako:
2Ä„ "T
QH =
gdzie: "T = T1 - Tn+1
n
L
1
ln di+1 di
"
i
i=1
Ä„ "T
QH =
n
L
1
ln di+1 di
"
2i
i=1
f) Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną
(Ô! przewodzenie + obustronne wnikanie)
Niech TA > T1 > T2 > TB
dla samego przewodzenia:
QH = T1 - T2
L
1
ln d2 d1
2Ä„
dla procesu wnikania ciepła od płynu A do ścianki i od ścianki do płynu B zgodnie z prawem
Newtona:
QH = Ä…1 S1 (TA - T1) = Ä…1 2Ä„Lr1 (TA - T1)
QH = Ä…2 S2 (T2 - TB) = Ä…2 2Ä„Lr2 (T2 - TB)
Po odpowiednich przekształceniach (podobnie jak dla ścianki płaskiej):
TA - TB ="T = QH /L " 1/Ä„ " [1/(Ä…1d1) + 1/(2)" ln(d2/d1) + 1/(Ä…2d2)]
lub
QH /L = kL Ä„ (TA - TB)
QH /L = kL Ä„ (TA - TB)
1
gdzie k = [W/(mK)]
L
d2
11 1
+ ln +
Ä… d1 2 d1 Ä… d2
1 2
kL - liniowy współczynnik przenikania ciepła, charakteryzuje intensywność ruchu ciepła od
jednego ośrodka do drugiego przez rozdzielającą te ośrodki ściankę cylindryczną.
Sens fizyczny: liniowy współczynnik przenikania ciepła jest liczbowo równy ilości ciepła
przechodzącego przez ściankę o jednostkowej długości w jednostce czasu i przy jednostkowej
różnicy temperatur.
Dla ścianki wielokrotnej:
1
kL =
n
11 di+1 1
+ ln +
"
Ä… dA i=1 2i di Ä… dB
A B
Operuje się często odwrotnością kL czyli liniowym oporem cieplnym przenikania ciepła:
RL = 1/ kL ; RL [mK/W]
RL = RLÄ…1 + RL + RLÄ…2
1/kL = 1/(Ä…1d1) +1/(2)ln(d2/d1) +1/(Ä…2d2)
zachowany jest charakter połączenia szeregowego
Inna ilustracja zagadnienia
QH
Zwykłe współczynniki przenikania ciepła
Chcąc odnieść wyprowadzone relacje do gęstości strumienia cieplnego q (q:= QH/ S)
´ ´
należy wybrać względem której powierzchni ścianki cylindrycznej liczone będzie q.
q1 = QH/(Ä„d1L) = kL/d1 (TA - TB)
q2 = QH/(Ä„d2L) = kL/d2 (TA - TB)
q1 `" q2
równania te można zapisać inaczej
q1 = k1 (TA - TB) '" q2 = k2 (TA - TB)
gdzie: k1 = kL /d1 '" k2 = kL /d2 [W/(m2K)]
Współczynniki k1, k2 charakteryzują przenikanie ciepła przy odniesieniu strumienia cieplnego
do jednostki powierzchni (analogicznie jak dla ścianki płaskiej).
kL = k1d1 = k2d2
gdzie: k1, k2
1 1
k1 = lub k1 =
n
1 d1 d2 d1
1 dA di+1 dA
+ ln +
+ ln +
"
Ä…1 2 d1 Ä… d2
Ä… 2i di Ä… dB
2
i=1
A B
1 1
k2 = lub k2 =
n
d2 d2 d2 1
dB dB di+1 1
+ ln +
+ ln +
"
Ä…1d1 2 d1 Ä…
Ä… dA i=1 2i di Ä…
2
A B
1 1
k1 = lub k1 =
n
1 d1 d2 d1
1 dA di+1 dA
+ ln +
+ ln +
"
Ä…1 2 d1 Ä… d2
Ä… 2i di Ä… dB
2
i=1
A B
1 1
k2 = lub k2 =
n
d2 d2 d2 1
dB dB di+1 1
+ ln +
+ ln +
"
Ä…1d1 2 d1 Ä…
Ä… dA i=1 2i di Ä…
2
A B
= (d2 - d1)/2), czyli d2/d1 1 to po
jeżeli teraz grubość Å›cianki cylindra ´ jest maÅ‚a (gdzie ´ H"
rozwinięciu funkcji ln d2/d1 szereg potęgowy i odrzuceniu wyrazów wyższych rzędów
otrzymamy:
ln d2/d1 H" d2/d1 - 1 = 2´/d1
Podstawiając tak obliczoną wartość do równań na k1, k2 (+ dodatkowo d2/d1 1):
H"
1
k1 = k2 = = k
1 ´ 1
+ +
Ä…  Ä…
12
identyczna zależność jak dla ścianki płaskiej.
strumień cieplny QH:
QH = kĄdiL (TA - TB)
przybliżone równanie stosowane często w obliczeniach praktycznych gdy d2/d1 < 2 Względny
błąd procentowy w wyznaczniu QH nie powinien być większy niż 4%.
Błąd ten minimalizuje się wybierając właściwą powierzchnię jako obliczeniową:
Ä…1 >> Ä…2 Ò! di = d2
Ä…1 << Ä…2 Ò! di = d1
Ä…1 H" Ä…2 Ò! di =( d1 + d2)/2
Jako obliczeniową należy wybierać tę powierzchnię, od strony której wartość współczynnika
wnikania ciepła jest mniejsza.
UWAGA:bezpieczna wartość <1.2