Wymiana ciepła  W2 i 3
Przewodzenie ciepła
równanie przewodnictwa cieplnego opisuje pole
temperaturowe :
" T
�# ś#
" T "2T "2T "2T
cp� = "2T + qv
ś# ź#
3D:
cp � = ś# + + + qv
" t
" t
"x2 "y2 "z2 ź#
�# #
�# ś#
" T "2T "2T
ś# ź#
2D: cp � = ś# + + qv
" t
"x2 "y2 ź#
�# #
" T "2T
1D:
cp � =  + qv
" t
"x2
w układzie kartezjańskim
Szczególne przypadki równania
przewodnictwa cieplnego
a) qv = 0 równanie Fouriera (pole nieustalone bez wewnętrznych
z
ródeł)
" T
= a"2T
" t
b) "T/"t =0 równanie Poissona (pole ustalone z wewnętrznymi
z
ródłami)
qv
"2T + = 0

c) qv = 0 i "T/"t =0 równanie Laplace a (pole ustalone bez
wewnętrznych z
ródeł)
"2T = 0
" a - dyfuzyjność cieplna a:= /(cp�) [m2/s] - miara bezwładności
cieplnej układu (współczynnik wyrównywania temperatury,
współczynnik przewodzenia temperatury)
.
Szczególne przypadki równania
przewodnictwa cieplnego
a) qv = 0 równanie Fouriera (pole nieustalone bez
" T
wewnętrznych z
ródeł)
= a"2T
" t
�# ś#
. " T "2T "2T "2T
ś# ź#
= aś# + +
" t
"x2 "y2 "z2 ź#
�# #
�# ś#
" T "2T "2T
ś# ź#
= aś# +
" t
"x2 "y2 ź#
�# #
" T "2T
= a
" t
"x2
Szczególne przypadki równania
przewodnictwa cieplnego
b) "T/"t =0 równanie Poissona (pole ustalone z
wewnętrznymi z
ródłami)
qv
"2T + = 0

"2T "2T "2T qv
+ + + = 0

"x2 "y2 "z2
"2T "2T qv
+ + = 0

"x2 "y2
2
d T qv
+ = 0

dx2
Szczególne przypadki równania
przewodnictwa cieplnego
c) qv = 0 i "T/"t =0 równanie Laplace a (pole
ustalone bez wewnętrznych z
ródeł)
"2T = 0
"2T "2T "2T
.
+ + = 0
"x2 "y2 "z2
"2T "2T
+ = 0
"x2 "y2
2
d T
= 0
dx2
Rozwiązanie równań przewodnictwa
cieplnego
" " określenie warunków jednoznaczności dla
przewodnictwa ciepła (geometria układu i ciała, własności
fizyczne ciała, warunki czasowe - warunek początkowy
T0 = T(x,y,z,t=0), warunki brzegowe)
" " istnieje ograniczona ilość przypadków
rozwiązywalnych analitycznie; metody numeryczne
(możliwość rozwiązania dla określonych liczbowo
warunków jednoznaczności)
A wielkości cieplne?
Zawsze na podstawie prawa FOURIERA!!!!

q = -gradT = -"T
^ ^ ^ ^ ^ ^
�# ś#
"T "T "T "T "T "T
ś# ź# - x
q = -ś# x + y + z = - y - z 
ź#
"x "y "z "x "y "z
�# #

Ą# ń# Ą# ń#
"T "T "T "T "T "T
q = -ó# , , =
Ą# ó#-  ,- ,- Ą#
"x "y "z "x "y "z
Ł# Ś# Ł# Ś#
Przewodnictwo cieplne materiałów
(podstawowe informacje)
" jest określone przez 
" a) metale  duże; (T) �! na ogół, dla stopów rośnie
" b) dielektryki (T)ę! - często zależność liniowa
" kryształy: (T) �!, anizotropia
" definicja materiałów izolacyjnych  < 0.25 W/(mK)
" c) ciecze:  "(0.1 - 0.7) W/(mK)
" (T) �! wyjątek woda
" (p) = const
" d) gazy:  "(0.006 - 0.6) W/(mK)
" (T)ę! np.:
3
2
" wzór Sutherlanda
273+ c T
ś#�# ś#
 = 0�#
ś# ź#ś# ź#
�# #�# #
T + c 273
Gaz H2 He N2 O2 pow. CO
c 94 33 114 144 125 156
 (p) `" const
 brak addytywności
Organiczne gazy i pary
Bezpostaciowe materiały izolacyjne
Oleje
Nieorganiczne gazy i pary
Ciecze organiczne
Ciecze nieorganiczne
Roztw ory w odne s ubs tancji nieorganicznych
Roztw ory w odne s ubs tancji organicznych
Pros zki
Materiały ognioodporne
Kryształy
Metale ciekłe
Stopy przemysłowe
Metale czys te
0.001 0.01 0.1 1 10 100 10
9) Konwekcja i wnikanie
" Gdy konwekcyjna wymiana ciepła spowodowana jest przez siły
zewnętrzne w postaci ciśnienia to mówimy o konwekcji wymuszonej.
Kiedy nie występują siły zewnętrzne i ruch zachodzi w wyniku różnic
w gęstości pakietów płynu o różnych temperaturach to taki ruch
nazywamy konwekcją swobodną (lub naturalną).
" wnikanie = przejmowanie
" w przypadku wnikania ciepła ruch ciepła pomiędzy pomiędzy płynem
a ścianką określa prawo (równanie) Newtona:
" q = ą(Tw - Tf )
" gdzie:
 Tw - temperatura przy ściance
 Tf - temperatura w rdzeniu płynu
 ą - współczynnik wnikania ciepła [W/(m2K)]
 QH = ąS(Tw - Tf ) inny zapis pr. Newtona
 (stąd można określić sens fizyczny wsp. ą)
Konwekcja i wnikanie
ą = ?
- nie jest stałą materiałową !!!!
zależy od rodzaju płynu
rodzaju od rodzaju przepływu płynu
od powierzchni wymiana ciepła (rodzaju powierzchni ścianki)
11) Przenoszenie ciepła przez promieniowanie
" Oprócz przewodzenia i konwekcji możliwy jest ruch ciepła
polegający na emisji i absorpcji energii promieniowania;
nazywamy to zjawisko promieniowaniem cieplnym do
takiego ruchu ciepła nie jest potrzebny ośrodek
" promieniowanie cieplne można traktować zgodnie z teorią
falową lub korpuskularną (dualizm falowo-korpuskularny).
" zgodnie z teorią falową możemy promieniowaniu
cieplnemu przypisać odpowiednią długość fali zakres
fal 10-1 - 102 źm
" promieniowanie cieplne ulega prawu odbiciu, załamania,
pochłaniania, polaryzacji itd.
Promieniowanie
Q
Q
R
Q
A
Q
P
Promieniowanie
" Q = QR + QP + QA
" jeżeli
" zi =Qi/Q
" gdzie i = R, P lub A
" to
" zR +zP +zA = 1
" zi - to zdolność do:
 R - odbicia (rozpraszania)
 P - przepuszczania (transmisji)
 A - pochłaniania (absorpcji)
Promieniowanie
" W związku z tymi wielkościami definiuje się ciało doskonale białe,
doskonale przepuszczalne i doskonale czarne.
" Zależność energii emitowanej przez ciało od jego
temperatury prawo: Stefana -Boltzmanna, które dla
ciała doskonale czarnego można zapisać w postaci:
" E0 = c0(T/100)4 c0 = 5.67 W/(m2K4)
" ruch ciepła na drodze promieniowania, pomiędzy ciałami
rzeczywistymi opisuje:
" QH =c0SĆ12[(T1/100)4 - (T2/100)4]
" Ć - wsp. dla ciała rzeczywistego; Ć < 1
Ciało doskonale czarne
B. ZASTOSOWANIE RÓWNAC
RUCHU
CIEPA
A DO BADANIA UKA
ADÓW
MODELOWYCH I RZECZYWISTYCH
" 1. Typowe układy modelowe
 konstrukcja układów modelowych (typ symetrii pozwalający
na uproszczenie odpowiednich równań transportu ciepła,
możliwość aproksymacji układów rzeczywistych przez model
lub złożenie kilku
 - nieskończona ścianka płaska, nieskończona ścianka
cylindryczna, ścianka kulista, ciałopółnieskończone
2. Rozwiązania równania Laplace'a dla
układów modelowych
czyli
ustalone przewodzenie ciepła bez z
ródeł
wewnętrznych
a) Ścianka jednowarstwowa (nieskończona
ścianka płaska)
T
Ścianka ma dowolnie dużą długość i
szerokość natomiast określona jest jej
grubość i wynosi �. Z jednej strony
ścianka ma temperaturę T1, a z drugiej
T1
strony T2. Niech T1 >T2. (w układzie nie
istnieją wewnętrzne z
ródła ciepła, czyli
brak jest jakiś efektów energetycznych,
które mogłyby wpłynąć na rozkład
temperatury)
T2
�
x
a) Ścianka jednowarstwowa (nieskończona
ścianka płaska)
Ścianka jednowarstwowa (nieskończona
ścianka płaska)
Interesuje nas tylko to co dzieje się pomiędzy punktami (x = 0,
T = T1) a (x = �, T = T2) rozkład temperatury w układzie (w
ściance) opisuje równanie Laplace'a: "2 T= 0
 "T/"y = 0 i "T/"z = 0 (pole jednowymiarowe)
 równanie redukuje się do równania postaci
 "2T/"x2 =0
 a nawet, ponieważ T jest tu funkcją jednej zmiennej: x (T =
T(x))
 to d2T/dx2 = 0 czyli d/dx(dT/dx)
 Jest to (najprostsze z możliwych): równanie różniczkowe
zwyczajne rzędu drugiego
 Przez proste całowanie otrzymujemy:
T= T1 + (T2 - T1)x/� T= T2 + (T1 - T2)(1 - x/�)
lub
T = T1 -(T1 - T2)x/� T= T2 - (T2 - T1)(1 - x/�)
Ścianka jednowarstwowa (nieskończona
ścianka płaska)
T(x)= T1 + (T2 - T1)x/� T(x)= T2 + (T1 - T2)(1 - x/�)
lub
 T(x) = T1 -(T1 - T2)x/� T(x)= T2 - (T2 - T1)(1 - x/�)
 Czyli pomiędzy T a x istnieje zależność liniowa (temperatura
jest liniową funkcją współrzędnej, lub inaczej mówiąc pole
temperaturowe ma charakter liniowy)
Ścianka jednowarstwowa (nieskończona
ścianka płaska)
wyznaczanie wielkości cieplnych:
 Jeżeli znamy wartość współczynnika przewodnictwa
cieplnego , to z prawa Fouriera (q= - grad T, tu q = -
 dT/dx - pole jednowymiarowe)
 otrzymamy q = - (T2 - T1)/� lub inaczej:
q =  (T1 - T2)/�
 Czyli w warunkach ustalonych dla nieskończonej ścianki
płaskiej taki jest związek pomiędzy gęstością strumienia
cieplnego q, a grubością ścianki � i temperaturami po obu
stronach ścianki.
 Jeżeli znana jest powierzchnia wymiany ciepła S to można
znalez
ć QH - całkowity strumień ciepła przechodzącego
przez powierzchnię S rozpatrywanej ścianki
 QH = S(T1 - T2)/�
 Natomiast określając przedział czasowy t, w którym
zachodzi wymiana ciepła, otrzymujemy całkowitą ilość
wymienionego ciepła Q
 Q =  St(T1 - T2)/�
współczynnik przewodzenia ciepła zależy od temperatury
????
Przypadek, gdy współczynnik przewodzenia
ciepła zależy od temperatury
 Co należy przyjąć w równaniu za  gdy  = (T)????
 Wychodzi się z prawa Fouriera:
 q = - grad T = -  dT/dx (tu)
 q = const,  = (T)
 qdx = - (T)dT całkując od (0, T1) do (�, T2)
T2
 otrzymuje się:
1
 = (T)dT
+"
T2 - T1 T1
 jest to wartość średnia funkcji (T) w przedziale (T1, T2)
 czyli
 q = śr (T1 - T2)/�
 i to jest ostateczna forma tej równości.
 Okazuje się, że zależność ta ma bardzo wiele zastosowań w
różnych układach, a założenie o takiej interpretacji  jest
słuszne dla każdej geometrii układu.
b) ścianka wielowarstwowa
1 2 3 ............................. n-1 n
�1 �2 �3 �n-1 �n
T1 T2 T3 T4 ...................... Tn-1 Tn Tn+1
 Dla każdej pojedynczej ścianki (punkt a):
 q = i/�i " (Ti - Ti+1)
 lub
 Ti - Ti+1 = q�i /i n - równań
 sumując je wszystkie otrzymujemy ostatecznie
n
�
i
T1 - Tn+1 = q
"
i
T1 - Tn+1 i=1
 czyli
q =
n
�
i
"

i=1
i
 wprowadza się pojęcie oporu cieplnego przewodzenia:
 Ri = �i /i " 1/S
n
�
1
i
T1 - Tn+1 = "T = (qS) �" = QH R
"
S 
i=1
i
 "T = QHR - analog prawa Ohma
 R [K/W]
 Analogicznie jak dla przypadku a) możemy znalez
ć wartość Q.
ścianka wielowarstwowa
c) Przenikanie ciepła przez ściankę
nieskończoną (jedno- lub wielowarstwową).
 Przenikanie �! przewodzenie + obustronne wnikanie
jedna lub wiele ścianek
TA
medium B
T1
T2
medium A
TB
c) Przenikanie ciepła przez ściankę
nieskończoną (jedno- lub wielowarstwową)
 Niech:
 TA>T1>T2>TB
 Ponadto zakłada się, że w układzie ciepło nie jest
przenoszone na drodze promieniowania.
 - od medium A do jednej strony ścianki (1) - wnikanie ciepła,
czyli prawo Newtona:
 q = ąA(TA - T1)
 - przez ściankę (przewodzenie przez ściankę):
T1 - T2
"T T1 - T2
q == q =
�
� �
i i
""

 
i i
 - od ścianki (2) do medium B wnikanie ciepła (prawo
Newtona):
 q = ąB(T2 - TB)
 całkowity spadek temperatury TA - TB = "T:
Przenikanie ciepła przez ściankę nieskończoną
(jedno- lub wielowarstwową)
 TA - TB = q(1/ąA + Ł�i/i + 1/ąB)
TA - TB
q =
11
�
i
++
"
ą i ą
A B
 lub
 TA - TB = q(1/ąA + �/ + 1/ąB)
TA - TB
q =
1 � 1
+ +
ą  ą
AB
Przenikanie ciepła przez ściankę nieskończoną
(jedno- lub wielowarstwową)
 zapisywane najczęściej w postaci:
 q = k (TA - TB)
1
k =
�
11
i
++
"
ą ą
A iB
 lub
1
k =
11
�
+ +
ą  ą
AB
"
 k - współczynnik przenikania ciepła z płynu A przez ściankę 1-2 do
płynu B (zapisane odpowiednio dla ścianki wielowarstwowej i dla
ścianki pojedynczej)
" k - charakteryzuje intensywność przepływu ciepła z ośrodka A do ośrodka B przez
rozdzielającą je ściankę; wymiarem k jest [W/(m2K)].
Przenikanie ciepła przez ściankę nieskończoną
(jedno- lub wielowarstwową)
Typowe wartości wsp. przenikania ciepła k
Przenikanie ciepła przez ściankę
nieskończoną (jedno- lub wielowarstwową)
rozkład temperatury
Przenikanie ciepła przez ściankę nieskończoną
(jedno- lub wielowarstwową) - opory
 Podobnie jak zdefiniowany jest opór przewodzenia (Ri = �i /i " 1/S )
można zdefiniować opór wnikania ciepła:
 Rą = 1/(ąS)
 ponieważ (1/ąA + Ł�i/i + 1/ąB) = 1/k
 S(1/ąA *1/S + Ł�i/i *1/s + 1/ąB *1/s) = 1/k
 S(RąA + R + RąB) = 1/k
 RąA + R + RąB = 1/(kS) := Rprzenikania
 charakter połączenia szeregowego

 QH Rprzenikania = TA - TB