Wymiana ciepła
wykład 10
W poprzednich wykładach główna uwaga była skierowana na zagadnienie
przewodzenia ciepła w ciałach stałych.
Wnikanie ciepła było głównie rozpatrywane jako pewien rodzaj warunków
brzegowych w zastosowaniu do powierzchni ciała przewodzącego ciepło.
Współczynnik wnikania ciepła był definiowany prawem Newtona i
przyjmowany jako wielkość znana.
Od tego momentu będziemy rozpatrywać proces wnikania ciepła w płynach
oraz podamy metody przewidywania wartości współczynników wnikania
ciepła dla wybranych warunków prowadzenia procesu.
Konwekcja i wnikanie
Konwekcja jest to przenoszenie energii na drodze ciepła przez
przemieszczające się masy płynu.
Ruch konwekcyjny spowodowany jest różnicą gęstości
poszczególnych partii, czy fragmentów płynu.
W tym przypadku różnica gęstości związana jest najczęściej z
różnicą temperatur.
W bezpośrednim sąsiedztwie ścianki zanurzonej w płynie
transport ciepła odbywa się na drodze przewodzenia.
Ruch ciepła obejmujący przewodzenie ciepła w warstwie
przyściennej i konwekcję w głównej masie płynu nazywamy
wnikaniem ciepła.
konwekcja wymuszona i konwekcja
swobodna
(przypomnienie)
Gdy konwekcyjna wymiana ciepła
spowodowana jest przez siły
zewnętrzne w postaci ciśnienia to
mówimy o konwekcji wymuszonej.
Kiedy nie występują siły
zewnętrzne i ruch zachodzi w
wyniku różnic w gęstości pakietów
płynu o różnych temperaturach to
taki ruch nazywamy konwekcjÄ…
swobodnÄ… (lub naturalnÄ…).
Równanie Newtona, współczynniki
wnikania ciepła (przypomnienie)
q = Ä…(Tw - Tf )
gdzie:
Tw - temperatura przy ściance
Tf - temperatura w rdzeniu płynu
ą - współczynnik wnikania ciepła [W/(m2K)]
QH = Ä…S(Tw - Tf ) inny zapis pr. Newtona
S - powierzchnia wymiany ciepła [m2]
Wnikanie ciepła obejmuje przewodzenie ciepła w warstewce płynu przylegającej do
powierzchni wymiany oraz konwekcję w głównej masie płynu.
Jak wiadomo, pod wyrażeniem konwekcja rozumiemy transport energii w płynie głównie
w wyniku ruchu samego płynu.
Proces przewodzenia energii przez wymianę cząsteczkową (przewodzenie) występuje tu
nadal, ale główny ruch energii zachodzi na skutek kontaktu elementów płynu o większej
energii (gorÄ…cych) z obszarem o mniejszej energii (zimnym), przy czym kontakt ten
następuje w wyniku przemieszczania się pakietów płynu, a więc jego ruchu.
W przypadku kiedy ruch płynu jest spowodowany przez siły zewnętrzne w postaci różnicy
ciśnień, mechanizm taki nazywamy konwekcją wymuszoną.
Jako przykład można tu przytoczyć przepompowywanie płynu wzdłuż powierzchni ciała
stałego o temperaturze odmiennej niż temperatura płynu.
Kiedy nie występują siły zewnętrzne w płynie, jego ruch zachodzi wówczas w
wyniku różnic gęstości. Może to nastąpić na przykład przez zanurzenie w płynie
ciała stałego, którego temperatura jest różna od temperatury płynu.
Występujący w takich warunkach ruch ciepła nazywany konwekcją swobodną i
występuje ona np. w zbiorniku cieczy ogrzewanej czy też w powietrzu otaczającym
grzejnik.
Wyznaczanie współczynników wnikania
ciepła
Ä… = ?
Równanie różniczkowe transportu ciepła w płynach.
" zwane w literaturze w różny sposób np.: rów. energii lub rów. Kirchhoffa - Fouriera
" służy do opisu pola temperaturowego w płynach
założenia:
a) płyn nieściśliwy i jednorodny
b) nie występują wewnętrzne z
ródła ciepła
c) zaniedbuje się ciepło związane z tarciem
d) w wyniku przepływu płynu może się zmieniać tylko entalpia układu
wyprowadzenie:
" ponownie równanie ciągłości (obrazujące bilans energetyczny układu)
" T r
cpÁ = -div q
" t
" przyjmuje się, że składowe wektora gęstości strumienia cieplnego są postaci:
qi = qi(konwekcji) + qi(przewodzenia), gdzie i = x,y,z
qi(przewodzenia) = -"T/"i
qi(konwekcji) = ÁcpuiT
" T r s
2
Á cp =  " T - Á cpu o grad T - Á cpTdiv u
" t
s
1
" dla cieczy nieściśliwych mamy: div u = 0
a ponadto ponieważ:
dT " T " x " T " y " T " z " T r " T
=+++ = u o grad T +
dt " x " t " y " t " z " t " t " t
" T " T " T " T
bo dT = dx + dy + dz + dt
" x " y " z " t
d T
2
otrzymujemy: = a" T
d t
" równanie to opisuje konwekcję + przewodzenie w płynie
" dla ui = 0 przechodzi w równanie Fouriera
" jest skomplikowane choć założenia były dość grube
" do pełnego opisu zachowania płynu należy jeszcze dodać odpowiednie równania
odpowiedzialne za jego ruch (czyli równania Naviera - Stokesa)
I majÄ…c T(x,y,z) wyznaczamy
Termiczna warstwa graniczna
Podobnie jak dla przepływu płynu wprowadza się pojęcie hydrodynamicznej warstwy
granicznej, dla opisu przepływu z jednoczesną wymianą ciepła definiuje się tzw. termiczną
warstwę graniczną. W warstwie tej temperatura płynu ulega zmianie od wartości równej
temp. ścianki do wartości temperatury płynu w pewnej odległości od ścianki (w rdzeniu
płynu). Granicę termicznej warstwy granicznej określa się jako odległość, w której wartość
temperatury bezwymiarowej wynośi 1%; (T - T")/(Tw - T") = 0.01. W obrębie termicznej
warstwy granicznej "T/"y `" 0.
Grubość warstwy granicznej zależy od rodzaju płynu, kształtu powierzchni i od charakteru
ruchu płynu.
Podejście empiryczne:
Podejście empiryczne, prowadzące do wyznaczenia współczynników wnikania ciepła w
każdym przypadku, obejmuje poszukiwanie rozkładu temperatury w płynie otaczającym
ciało.
Zazwyczaj ruch płynu w bezpośrednim sąsiedztwie powierzchni jest laminarny i wówczas
strumień cieplny od powierzchni musi być oszacowany na podstawie gradientu temperatury
płynu na powierzchni.
Wtedy definicja współczynnika wnikania może być sformułowana jako stosunek gęstości
strumienia cieplnego do różnicy między temperaturą powierzchni i temperaturą płynu.
Wyznaczanie współczynnika analitycznie metodą opisaną jest tak złożone, że zostało ono
przeprowadzone jedynie w nielicznych przypadkach o znaczeniu praktycznym.
Parametry podobieństwa w ruchu
ciepła
W odniesieniu do ruchu ciepła parametry podobieństwa
mogą być utworzone na podstawie dyskusji równań
różniczkowych ciągłości, ruchu i energii.
Rozważymy przypadek ustalonego ruchu ciepła podczas zewnętrznego
przepływu płynu o temperaturze T nad ciałem o temperaturze powierzchni T W.
f
W takim przypadku występują siły masowe będące wynikiem unoszenia.
Obierając oś x w kierunku wektora siły ciążenia,
otrzymamy w równaniu Naviera-Stokesa siły masowe w kierunku y równe zeru,
a w kierunku x równe wyrażeniu g² (T - Tt),
gdzie ² jest to współczynnik rozszerzalnoÅ›ci objÄ™toÅ›ciowej,
a T - temperatura płynu.
W tych warunkach wymienione powyżej równania ciągłości, ruchu i
energii możemy zapisać w postaci
Równania powyższe mogą być przekształcone w równania
bezwymiarowe przez wybór pewnych wielkości
charakterystycznych, takich jak długość l,
prędkość u
różnica temperatur DT = Tw-Tf
oraz zdefiniowanie następujących
zmiennych bezwymiarowych:
Rozwiązanie tych czterech równań względem temperatury
bezwymiarowej może być przedstawione za pomocą zależności
funkcyjnej
Zależność powyższa wskazuje na to, iż rozwiązanie oprócz
simpleksów bezwymiarowych X i Y uzależnione jest od czterech
grup bezwymiarowych.
Te cztery grupy bezwymiarowe mogą być wykorzystane jako
parametry podobieństwa.
Zazwyczaj nadaje się im następującą postać:
A żeby miały czytelny sens fizyczny postać:
Współczynniki wnikania ciepła wyznacza się na podstwie teorii podobieństwa.
Definiuje się odpowiednie liczby kryterialne (bezwymiarowe moduły):
3
gl ²"T
Gr =
Liczba Grashofa: 2
½
2
u"
Ec =
Liczba Eckerta:
cp"T
źcp
Pr =
Liczba Prandtla:

ul
Re =
Liczba Reynoldsa:
½
Ä…l
Nu =
Liczba Nusselta:

Do otrzymania wartości współczynnika wnikania ciepła
wykorzystuje się zależność
Liczba Nusselta:
Nu
Ä…l
Ä… =
Nu =
l

Liczby:
Określające  Re, Pr, Gr, Ec
Nieokreślające - Nu
Liczba Pecleta:
Pe=RePr
Liczba Stantona:
St=Nu/Pe
Równania kryterialne
Ogólne równanie:
Nu =f(X, Y, Re, Gr, Ec, Pr)
Konwekcja wymuszona:
Nu =f(Re, Ec, Pr)
lub
Nu =f(Re, Pr)
Konwekcja swobodna:
Nu =f(Gr, Ec, Pr)
lub
Nu =f(Gr, Pr)
Liczba Nusselta
Liczba Prandtla
Liczba Reynoldsa
Liczba Grashofa
Liczba Eckerta
Dyssypacja lepka  straty energii na pokonanie sił lepkości
Czyli sił tarcia w cieczy (w płynie)
Odpowiednie dla danego przypadku równanie wyprowadza się teoretycznie lub
(najczęściej) koreluje dane empiryczne
Równania empiryczne:
Konwekcja wymuszona:
Nu =C Rex Pry
gdzie: x, y - stałe empiryczne
Konwekcja swobodna:
Nu =C(Gr Pr)n
gdzie: C, n - stałe empiryczne
Wpływ prędkości płynu na wartość współczynnika
wnikania ciepła w warunkach konwekcji wymuszonej
Ä…l
y
Nu = = C Rex Pr

C, x, y to liczby rzeczywiste większe od zera
y
u Ä™!Ò! Re Ä™!Ò! Rex Ä™!Ò! C Rex Pr Ä™!Ò! Nu Ä™!Ò! Ä… Ä™!
A teraz kilka praktycznych wyrażeń
(równań)
cd
Konwekcja swobodna w przestrzeni otwartej
Ä…l
Nu = = C(Gr Pr)n

Typowe wartości współczynnika wnikania
ciepła ą [W/(m2K]
RODZAJ PA
YNU KONWEKCJA KONWEKCJA
SWOBODNA WYMUSZONA
Gaz 5 - 30 30 -500
Woda 30 - 300 300 - 2*104
Olej 5 - 100 30 - 3*103
Ciekłe metale 50 - 500 500 - 2*104
WrzÄ…ca woda 2*103 -2*104 3*103 - 105
Kondensacja pary wodnej 3*103 - 3*104 3*103 - 2*105