równania całkowe

Równania całkowe
Równaniem całkowym nazywamy równanie, w którym niewiadoma funkcja
�ąśąx źą
występuje pod znakiem całki. Klasyfikacja różnych typów równań opiera
się na trzech cechach równania :
�ąśąx źą
1. Jeżeli występuje wyłącznie pod znakiem całki to równanie
całkowe jest równaniem pierwszego rodzaju, natomiast przy funkcji
�ąśąx źą
pojawiającej się zarówno pod znakiem całki jak i �na zewnątrz�
mamy do czynienia z równaniem całkowym drugirgo rodzaju.
2. Jeżeli obie granice całkowania są stałymi to równanie nazywamy
równaniem klasy Fredholma lub krótko równaniem Fredholma. Jeżeli
jedna z granic jest stałą , a druga zmienną, to równanie jest równaniem
(klasy) Volterry.
�ąśąx źą
3. Jeżeli w równaniu poza całką oraz niewiadomą funkcją pojawia
f śąx źą
się dodatkowy składnik , funkcja , to równanie jest równaniem
f śąx źą=0
całkowym niejednorodnym; dla mamy równanie całkowe
jednorodne.
Tak więc niejednorodne równania całkowe mogą mieć postać:
1. Fredholma pierwszego rodzaju:
b
f śąx źą= K śąx ,t źą�ąśąt źądt
+"
a
2. Fredholma drugiego rodzaju:
b
�ąśąx źą=f śąx źą�ą K śąx ,t źą�ąśąt źądt
+"
a
3. Volterry pierwszego rodzaju:
x
f śąx źą= K śąx ,t źą�ąśąt źądt
+"
a
4. Volterry drugiego rodzaju:
x
�ąśąx źą=f śąx źą�ą X śąx ,t źą�ąśąt źądt
+"
a
Poniżej zajmiemy się jedną z metod rozwiązywania równań całkowych. Metoda ta
pozwala na rozwiązywanie niejednorodnych równań Fredholma drugiego rodzaju
i nazywamy ją iteracyjną metodą rozwiązywania równań całkowych. Niech będzie
dane równanie:
b
�ąśąx źą=f śąx źą�ą�ą K śąx ,t źą�ąśąt źądt
+"
a
�ą
Pojawiający się w tym równaniu parametr jest pewną stałą, a jego rola stanie
się jasna w dalszych rachunkach. W celu uproszczenia zapisu wprowadzmy
definicję
b
K �ą= K śąx ,t źą�ąśąt źądt ,
+"
a
gdzie K będziemy nazywać operatorem całkowym Fredholma albo krótko
n
operatorem Fredholma, z jądrem K. Zdefiniujmy także K jako
n n -1
K �ą=K śąK �ąźą
Metoda iteracyjna rozwiązywania równania to metoda kolejnych przybliżeń.
Korzystając z definicji operatora Fredholma, otrzymujemy:
�ąśąx źą=f śąx źą�ą�ąK �ą
�ąśąx źą
Pierwszym przybliżeniem dla szukanej funkcji niech będzie
�ąśąx źąH"�ą0śąx źą=f śąx źą
�ąK �ą
Zakładamy więc, że iloczyn jest mały w porownaniu z f(x). Nie zawsze tak
będzie, ale nawet wtedy metoda nie musi nas zawiść, choć jej skuteczność
�ą0śąx źąH"f śąx źą
(zbieżność iteracji) będzie kiepska. Podkreślmy, że wybór nie jest
�ą0śąx źą
obowiązkowy. Jeżeli ktoś potrafi zaproponować (odgadnąć) stanowiące
�ąśąx źą
lepsze (niż f ) przybliżenie to może, a nawet powinien to zrobić. Kolejny
krok metody to ą jak w metodach iteracyjnych ą potraktowanie wzoru
�ąnśąx źą=f śąx źą�ą�ąK �ąn-1
jako �przepisu� określającego kolejne przybliżenie w oparciu o przybliżenie własnie
�ąśąx źą
uzyskane. Otrzymujemy ciąg przybliżeń szukanej funkcji
�ą1śąx źą=f śąx źą�ą�ąK �ą0=f śąx źą�ą�ąK f
2
�ą2śąx źą=f śąx źą�ą�ąK �ą1=f śąx źą�ą�ąK f �ą�ą2K f
�"
2 n
�ąnśąx źą=f śąx źą�ą�ąK �ąn-1=f śąx źą�ą�ąK f �ą�ą2K f �ą�ą�ą�ąn K f
Ostatnie równanie przepiszemy w postaci szeregu zwanego szeregiem Neumanna:
n
m
�ąnśąx źą= �ąm K f
"
m=0
Oczekujemy oczywiście, że nasze rozwiązanie to
"
m
�ąśąx źą=lim �ąn śąx źą= �ąm K f ,
"
n Śą"
m=0
pod warunkiem, że wystepująca we wzorze granica istnieje, tzn. Że szereg
Neumanna jest zbieżny. O zbieżności decyduje twierdzenie:
Jeżeli
1. jądro równania całkowego K(x,t) jest całkowalne z kwadretem, tzn:
b b
#"K śąx ,t źą#"2dtdx =B2"ą"
+"+"
a a
�ą
2. wystepujący w równaniu parametr spełnia
1
#"�ą#""ą
B
to szereg Neumanna dla tego równania jest zbieżny i stanowi jednoznaczne
rozwiązanie równania.
Przykłady
1
2
�ąśąx źą=1�ą xt �ąśąt źądt
1. Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia rozwiązania równania
+"
0
�ą0śąx źą=1
1 1
1
2 2
�ą1śąx źą=1�ą xt dt =1�ąx t dt =1�ą x
+" +"
3
0 0
1
1 5
2
�ą2śąx źą=1�ą xt śą1�ą t źądt =1�ą x
+"
3 12
0
1
5 7
2
�ą3śąx źą=1�ą xt śą1�ą t źądt =1�ą x
+"
12 16
0
4
�ąśąx źą=1�ą x
Rozwiązaniem tego równania jest
9
2. Obliczyć trzy pierwsze przybliżenia rozwiązania równania
1
x 1
�ąśąx źą=5 �ą xt �ąśąt źądt
+"
6 2
0
5
�ą0śąx źą= x
6
1
1 5
�ą1śąx źą=5 x �ą xt t dt =35 x
+"
6 2 6 36
0
1
5 1 35 215
�ą2śąx źą= x �ą xt t dt = x
+"
6 2 36 216
0
1
1 215
�ą3śąx źą=5 x �ą xt t dt =1295 x
+"
6 2 216 1296
0
Literatura
1. Andrzej Lenda �Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki�
2. M. L. Krasow, A. I. KIsielew, G. I. Makarenko �Zadania z równań całkowych�
3. S. G. Michlin, C.L. Smolicki �Metody przybliżone rozwiazywania równań
różniczkowych i całkowych�

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Równania całkowe w fizyce i technice
Równania różniczkowe i całkowe B Leble
całkowanie num metoda trapezów
uklady rownan (1)
Zestaw 1 Funkcja kwadratowa Funkcja homograficzna Równanie liniowe
Całkowanie
modele rownan
Rownanie ruchu pojazdu samochodowego
1 Metody całkowania numerycznego 1 1
Postępowanie fizjoterapeutyczne po operacji całkowitego zerwania ścięgna Achillesa A Czamara
Równania kwadratowe matematyka
bilans wodny metoda najmniejszych kwadratow rownanie bubendeya

więcej podobnych podstron