Sergey B. Leble
Równania różniczkowe i całkowe
w fizyce i technice
Skrypt do wykładu
5 paz
dziernika 2010
Springer
Berlin Heidelberg NewYork
Hong Kong London
Milan Paris Tokyo
Skrypt przeznaczony dla studentów wydziału fizyki technicznej i matem-
atyki stosowanej bazuje sie na notatkach K. Stefańskiej (doktorantki S. Leble)
z wykładu Prof. Leble 2008 roku.
Spis treści
1 Równanie różniczkowe - wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Pojęcie równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Równania różniczkowe zwyczajne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Równania o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Równanie liniowe rzędu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki
punktowej. Oscylator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.1 Całki eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Oscylator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Rozwiązywanie równań niejednorodnych o współczynnikach
stałych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Określenie równania niejednorodnego i ogólne
twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Równanie dowolnego rzędu. Metoda faktoryzacji . . . . . . 19
2.5 Metoda Frobeniusa - zastosowanie szeregów potęgowych do
rozwiązywania równań różniczkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Rozwiązania przybliżone - metody numeryczne . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6.1 Stabilność. Ruch chaotyczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Równanie różniczkowe zupełne (exact) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Metoda uzmiennienia stałych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.9 Uwagi fizyczne o zagadnieniach brzegowych. Przykłady
fizyczne i techniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych . . . . . . . . . . . 37
3.1 Wyprowadzenie równań różniczkowych cząstkowych w fizyce. . . 37
3.1.1 Równania struny. Propagacja fal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1.2 Równanie dyfuzji. Przewodnictwo cieplne. . . . . . . . . . . . . 39
3.1.3 Równanie Laplace a i Poissona. Zagadnienie
elektrostatyki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
VIII Spis treści
3.2 Równanie różniczkowe dwóch zmiennych. Klasyfikacja. . . . . . . . 40
3.3 Metoda charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Wzór d Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Metoda funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.1 Funkcja delta Diraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5.2 Funkcja Greena dla równania dyfuzji . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5.3 Funkcja Greena dla równania Poissona . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Metoda separacji zmiennych (metoda Fouriera) . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.1 Metoda Fouriera dla równania falowego - struna . . . . . . . 57
4 Równania całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1 Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Klasyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Jednorodne równania całkowe o ciągłym jądrze. Widmo
operatora całkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma . . . . 63
4.5 Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6 Równanie całkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego. . . 67
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1
Równanie różniczkowe - wstęp
1.1 Pojęcie równania różniczkowego
Pochodna funkcji y(x)
dy
y = . (1.1.1)
dx
Rozważmy równanie różniczkowe
y = f(x). (1.1.2)
Całkując to równanie, możemy znalez
ć jego rozwiązanie
x
y(x) = f(�)d� + const. (1.1.3)
0
W powyższym równaniu const oznacza stałą całkowania. Stała całkowania
może być włączona do granic całkowania.
Przykład
y = c (c = const). (1.1.4)
Po scałkowaniu otrzymujemy
y = cx + const (1.1.5)
Dostaliśmy rozwiązanaie ogólne, zawiera ono nieskończenie wiele rozwiązań
równania. W konkretnym przypadku interesuje nas rozwiązanie szczególne,
potrzebna jest dodatkowa informacja - wartość funkcji w jakimś punkcie.
W ogólności trudno jest uzyskać rozwiązanie równania różniczkowego.
Sytuacja komplikuje się już przy równaniach drugiego stopnia
y = f(y, x) (1.1.6)
Równanie (1.1.6) nie ma rozwiązania analitycznego, nie udowodniono jego
istnienia.
2 1 Równanie różniczkowe - wstęp
Równania różniczkowe to jedno z podstawowych narzędzi używanych w
fizyce teoretycznej. W równaniach fizyki teoretycznej symbolom matemacznym
odpowiadają wilekości fizyczne. Przykład:
"x
vx = lim = � (1.1.7)
"t0 "t
Powyższe wyrażenie nie jest równaniem, a definicją prędkości. Abyśmy mogli
mówić o równaniu, musimy znać wielkości, które się w nim pojawią. Wyrażenie
mć = -kx (1.1.8)
można nazwać równaniem, o ile wiemy, co kryje się za każdym użytym sym-
bolem. Powszechnie wiadomo, że wzór (1.1.8) jest jednym z równań Newtona;
m oznacza masę ciała, k jest współczynnikiem sprężystości, x określa położe-
nie, a ć przyspieszenie. Jest to równanie różniczkowe drugiego rzędu. Jak je
rozwiązać? Można próbować odgadnąć rozwiązanie.
Z matematycznego punktu widzenia najistotniejsze są następujące aspekty:
" Czy istnieje rozwiązanie?
" Czy jest jedno rozwiązanie, czy więcej?
" Rozwiązanie ogólne?
" Stabilność rozwiązania
" Całkowalność rozwiązania
Jeżeli istnieje stabilne, jednoznaczne rozwiązanie, możemy mówić, że mamy
do czynienia z fizyką. W fizyce wszystko jest określone jednoznacznie.
Podstawmy do równania (1.1.8)
x(t) = a sin �t. (1.1.9)
Otrzymamy
m�2 = k. (1.1.10)
Aby określić wartość stałej a, potrzebujemy warunku początkowego. Ilość
potrzebnych warunków początkowych zależy od rzędu pochodnej. Funkcja
x(t) = b cos �t (1.1.11)
też jest rozwiązaniem naszego równania. Można więc zapisać
x(t) = a sin �t + b cos �t. (1.1.12)
Niezbędne warunki początkowe - położenie i prędkość początkowa
x(0) = x0
(1.1.13)
x (0) = v0
Potrzebne były dwie wielkości, bo równanie jest drugiego rzędu.
Bardzo istotnym problemem jest stabilność rozwiązania. Równanie (1.1.8)
1.1 Pojęcie równania różniczkowego 3
razem z warunkami początkowymi tworzy ZAGADNIENIE (Cauchiego). Rozwiązaniem
zagadnienia jest funkcja
x(t, x0, v0|m, k). (1.1.14)
W fizyce jest to ważne, ponieważ wszelkie pomiary dokonywane są z pewną
dokładnością. Wlasnie pomiary nam dostarczają informacje o współczyn-
nikach równania i wartośćiach początkowych położenia i prędkości. Mówimy,
że rozwiązanie jest stabilne, jeśli mała zmiana wrunkow początkowych, np.
x0 x0+� = x0 prowadzi do małej zmiany wartości funkcji x(t, x0, v0|m, k)
x + .
Zdefiniujmy i �:
|x - x| < (1.1.15)
where x = x(t, x0 + �, v0|m, k)
|x0 - x0| < �. (1.1.16)
Jeżeli dla każdego (dowolnie małego) z równania (1.1.15) istnieje takie �,
że spełnione jest równanie (1.1.16), to mówimy o stabilności w stosunku
do zmian warunku początkowego. Inne ważne pojęcia to stabilność wzglę-
dem warunków początkowych i względem współczynników równania. Są one
związane z ciągłością.
Uogólnienie równania (1.1.8)
ńł
mć = f1(x, y, z, �, Ź, ż)
�ł
m� = f2(x, y, z, �, Ź, ż) (1.1.17)
ół
m� = f3(x, y, z, �, Ź, ż)
z
lub inaczej
m� = f(r, Y, t). (1.1.18)
r
Niektóre takie układy mają swoje rozwiązania analityczne.
2
Równania różniczkowe zwyczajne
2.1 Równania o zmiennych rozdzielonych
Rozważmy równanie
y = f(x)g(y), (2.1.1)
czyli
dy
= f(x)g(y), (2.1.2)
dx
co można zapisać w postaci
dy
= f(x)dx, (2.1.3)
g(y)
a następnie scałkować.
Jeśli za pomocą pewnych przekształceń równanie można doprowadzić do
postaci (2.1.1) lub (2.1.3), to dostajemy równanie o zmiennych rozdzielonych.
To, czy jest możliwe takie przekształcenie, można sprawdzić za pomocą teorii
symetrii w stosunku do transformacji które twożą grupę Lie go.
2.2 Równanie liniowe rzędu pierwszego
Równanie jest liniowe, jeśli niewiadome i ich pochodne występują w pier-
wszej potędze. Równanie
xn
� = exp(x) = (2.2.1)
n!
n
nie jest liniowe. W fizyce najważniejszym przykładem procesu nieliniowego
jest zależność od amplitudy
x = a�(t), a - amplituda. (2.2.2)
6 2 Równania różniczkowe zwyczajne
W procesach liniowych efekty nie zależą od amplitudy.
Ogólna postać równania różniczkowego pierwszego rzędu:
y = f(x, y). (2.2.3)
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu zawsze ma rozwiązanie - można
udowodnić, że dla równań pierwszego rzędu rozwiązanie zawsze istnieje.
Matematycznie - zamiana y ąy prowadzi do nowego równania, które jest
równoważne do (2.2.3). Takie przekształcenie nazywamy przeskalowaniem.
Przeskalowanie jest ważne w fizyce, skala określa wymiar fizyczny. Jeśli rów-
nanie różniczkowe jest symetryczne względem przeskalowania niewiadomych,
to jest liniowe. Mamy
y
y ąy = y �! y = (2.2.4)
ą
zatem
dy d y 1 dy
y = = = . (2.2.5)
dx dx ą ą dx
Nasze równanie różniczkowe zapiszemy w postaci
1 dy y
= f , x (2.2.6)
ą dx ą
czyli
dy y
= ąf , x = f(y, x). (2.2.7)
dx ą
w ostatniej równości założyliśmy, że funkcja f spełnia odpowiedni warunek
niezmienniczości. Nie każda funkcja f spełnia ten warunek, tylko funkcje lin-
iowe względem y dają równania liniowe. W ogólności
f(y, x) = A(x)y + B(x). (2.2.8)
Zgodnie z (2.2.7) musi zachodzić
Aąy + B = (Ay + B)ą (2.2.9)
stąd wynika, że
B = 0 (2.2.10)
a nasze równanie liniowe ma postać
y = A(x)y. (2.2.11)
Jak widać, równanie (2.2.11) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych:
dy
= A(x)y (2.2.12)
dx
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki punktowej. Oscylator 7
stąd
dy
= A(x)dx. (2.2.13)
y
Całkując powyższe równanie, mamy
x
ln y = A(x)dx + ln C (2.2.14)
0
ostatecznie, można zapisać
x
y(x) = C exp A(x)dx (2.2.15)
0
Wzór (2.2.15) okresła rozwiązanie ogólne równania liniowego (2.2.3). Wielkość
ln C jest stałą całkowania.
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki
punktowej. Oscylator
Ogólne równanie drugiego rzędu
y = f(y , y, x). (2.3.1)
Nie istnieje twierdzenie, mówiące o tym, że rozwiązanie tego równania zawsze
istnieje.
Równanie liniowe drugiego rzędu (występuje symetria względem przekształce-
nia y = ąy):
A(x)y + B(x)y + C(x)y = 0. (2.3.2)
W przypadku równań rzędu drugiego poszukiwanie rozwiązań jest bardziej
skomplikowane niż dla równań rzędu pierwszego. Nawet dla równań liniowych
tudno jest znalez
ć rozwiązania ogólne.
Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu są bardzo często wykorzysty-
wane w fizyce. Zapiszmy równanie (2.3.2) w postaci
d2y dy
+ ą(x) + �(x)y = 0. (2.3.3)
dx2 dx
Niech zmienna x reprezentuje czas. Pochodne po czasie zwykle oznacza się
kropkami
dy
Ź = (2.3.4)
dt
8 2 Równania różniczkowe zwyczajne
d2y
� = . (2.3.5)
dt2
Równanie w postaci
m� + ąŹ + �y = 0, (2.3.6)
gdzie ą i � są stałe, opisuje oscylator liniowy tłumiony. Każdemu symbolowi
odpowiada pewna wielkość fizyczna: m jest masą cząstki punktowej, wykonu-
jącej drgania, y opisuje położenie tej cząstki, składnik ąŹ reprezentuje siły
tłumienia, a �y = ky siłę Hooke a.
W nierelatywistycznej mechanice kwantowej jednym z podstawowych rów-
nań jest
2
d2�(x)
- + U(x)�(x) = E�(x). (2.3.7)
2m dx2
Jest to jedna z postaci równania Schr�dingera. W powyższym wzorze
jest stałą Plancka, m jest masą cząstki, x opisuje jej położenie, �(x) jest
tzw. funkcją falową, U(x) reprezentuje energię potencjalną, a E jest wartością
własną tego równania i odpowiada energii całkowitej cząstki. Interesuje nas
rozwiązanie tego równania wraz z pewnym warunkiem brzegowym. Rówanie
(2.3.7) wraz z narzuconym warunkiem będzie przykładem tzw. zagadnienia
własnego. W wyniku rozwiązania tego zagadnienia własnego otrzymujemy
zbiór wartości własnych {Ei} (jest to tzw. widmo energii czyli zbiór możli-
wych wartości energii) oraz funkcje własne �E(x). Jeśli narzucamy warunek
+"
|�E|2 dx < ", (2.3.8)
-"
uzyskamy widmo dyskretne, energia będzie mogła przyjąć jedną ze zbioru
konkretnych wartości. Warunek (2.3.8) oznacza, że opisywana cząstka jest fizy-
cznie zlokalizowana wokół pewnego miejsca, mówimy, że cząstka jest związana.
W procesach niestacjonarnych (np. w zjawiskach rozpraszania) dodajemy do
równania Schr�dingera inne warunki i wówczas możemy otrzymać tzw. widmo
ciągłe, tzn. energia będzie mogła przyjąć wartość dowolną. W pewnych zagad-
nieniach można również otrzymać widmo mieszane. Charakter widma zależy
także od U(x). Jeśli U(x) = 0, otrzymamy tylko widmo ciągłe. A w przypadku
tzw. nieskończonej studni potencjału
-" dla 0 d" x d" a
U(x) = (2.3.9)
0 dla x > a
dostaniemy tylko widmo dyskretne.
Do równania (2.3.6) dodajemy warunki początkowe
y(0) = y0, Ź(0) = v0 (2.3.10)
łącząc (2.3.6) i (2.3.10), dostajemy zagadnienie własne dla jednowymiarowego
oscylatora tłumionego.
Zagadnienia własne często spotyka sie również w teorii rezonatorów akusty-
cznych i elektromagnetycznych.
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki punktowej. Oscylator 9
Ruch jednowymiarowy cząstki punktowej
Mamy cząstkę punktową o masie m, niech x(t) oznacza położenie tej
cząstki w chwili t. Ruch tej cząstki można opisać równaniem
mć = R(x). (2.3.11)
Rozwiązanie x(t) będzie zależało od położenia początkowego x0 i prędkości
początkowej v0. Na podstawie przesłanek fizycznych ustalamy przedziały t "
[0, +") oraz x " (-", +"). Mnożąc równanie (2.3.11) przez �, dostaniemy
m�ć = R(x)�. (2.3.12)
Na podstawie własności pochodnej funkcji złożonej, wiemy, że
d df(x)
f(x) = �, (2.3.13)
dt dx
zatem można zapisać
d
�2 = 2�ć. (2.3.14)
dt
Korzystając z (2.3.14), uzyskamy
1 d
m �2 = R(x)�. (2.3.15)
2 dt
Skorzystajmy jeszcze raz z równania (2.3.13), zapiszmy je w postaci
d dU(x)
U(x) = �. (2.3.16)
dt dx
Załóżmy, że istnieje taka funkcja U(x), że
dU(x)
= -R(x). (2.3.17)
dx
Aby to było możliwe, funkcja R(x) musi być całkowalna. Równanie (2.3.15)
przyjmie teraz postać
1 d dU
m �2 = - (2.3.18)
2 dt dt
a po scałkowaniu
m�2
+ U = E, (2.3.19)
2
gdzie E jest stałą, którą nazwiemy energią. Wyrażenie (2.3.19) jest całką pier-
wszą równania (2.3.11), można je nazwać prawem zachowania energii. Rów-
nanie (2.3.17) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, więc łatwo znajdu-
jemy
x
U(x) = - R(x )dx . (2.3.20)
-"
10 2 Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie (2.3.19) jest równaniem różniczkowym - zawiera pochodną po cza-
sie. W ogólności, gdy mamy do czynienia z wyrażeniem
F (�, x, t) = 0, (2.3.21)
próbujemy doprowadzić je do postaci
� = f(x, t). (2.3.22)
W naszym przypadku
2
�2 = (E - U), (2.3.23)
m
a w konsekwencji
2
� = (E - U). (2.3.24)
m
Znów mamy do czynienia z równaniem o zmiennych rozdzielonych
dx
dt = , (2.3.25)
2 (E - U(x)) //m
a stąd
m dx
t = + const. (2.3.26)
2
(E - U(x))
W przypadku, gdy wartośc energii będzie równa E3, E1 < E3 < E2 i x "
[x1(E3); x2(E3)] (patrz rysunek). Ruch będzie okresowy, okres będzie wynosił
T :
x2
m dx
T = . (2.3.27)
2
(E
x1 - U(x))
Na podstawie wzoru (2.3.19)
m�2
= E - U, (2.3.28)
2
więc dla E = U, mamy � = 0, cząstka będzie się w tych punktach zatrzymywać
i zawracać. A zatem cząstka nigdy nie wyleci poza obszar [x1; x2], nigdy nie
zajdzie warunek E < U, są to  punkty wzbronione - prędkość nie może być
ujemna.
Wahadło sferyczne
Cząstka zawieszona jest na nieważkiej nici i może poruszać sie nie tylko
w płaszczyz
nie. Opis w trzech wymiarach, początek układu współrzędnych
umieszczamy w punkcie zaczepienia nici. Układ współrzędnych sferycznych
(l, �, �), � - kąt biegunowy, � - kąt azymutalny. Nić jest nierozciągliwa, l
oznacza długość nici, lŁ = 0. Składowe prędkości są do siebie ortogonalne
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki punktowej. Oscylator 11
Ł
v� = l�, (2.3.29)
v� = l sin ��. (2.3.30)
Ł
Energia
mv2 m ml2 Ł
2 2
E = = v� + v� = �2 + sin2 ��2 . (2.3.31)
Ł
2 2 2
Można pokazać, że
dE
= 0, (2.3.32)
dt
tzn. że E jest stałe. Mówimy, że E jest stała ruchu. Jest jeszcze druga stała
ruchu M� (dM� dt=0 ). Równanie zachowania momentu pędu:
m�v� = ml2 sin2 �� = M� = const, (2.3.33)
Ł
gdzie
� = l sin �. (2.3.34)
Równania (2.3.31) i (2.3.33) tworzą układ dwóch równań różniczkowych pier-
wszego rzędu. Z (2.3.33) wyznaczamy �
Ł
2
M�
�2 = (2.3.35)
Ł
m2l4 sin4 �
i podstawiamy do (2.3.31) :
2
M�ml2
ml2 Ł
�2 + = E, (2.3.36)
2
2m2l4 sin2 �
stąd
2
M�
2
Ł
�2 = E - (2.3.37)
ml2
2ml2 sin2 �
pierwiastkujemy i całkujemy
-1//2
2
M�
2
t = E - d� (2.3.38)
ml2
2ml2 sin2 �
Nie ma rozwiązań za pomocą funkcji elementarnych. Rozwiązanie wyraża sie
przez funkcje eliptyczne (przykład tzw. funkcji specjalnych). Mając zależność
�(t) podstawiamy ją do (2.3.35).
Przypomnienie. Załóżmy, że istnieje taka funkcja U(x), że się F (x) można
zapisać
"U
F (x) = - . (2.3.39)
"x
Z równania Newtona
mć = F (x) (2.3.40)
wynika, że
m�2
E(x, �) = + U = const, (2.3.41)
2

(x, �) = 0. (2.3.42)
Mówimy, że E jest pierwszą całką ruchu. Znajdujemy prędkość
dx
� = Ć(x, E) = , (2.3.43)
dt
a stąd wyznaczamy
dx
t = , (2.3.44)
Ć
jest to druga całka ruchu.
Problem całkowalności układów równań różniczkowych
�i = fi(x1, ..., xn), i = 1, ..., n. (2.3.45)
Liouville sformułował twierdzenie o całkowalności układu (2.3.45). Nie zawsze
istnieje rozwiązanie (2.3.45). Gdy istnieje n całek ruchu Ci, i = 1, ..., n i gdy
nawias Poissona
{Ci, Cj} = 0, (2.3.46)
to istnieje rozwiązanie (2.3.45) w postaci całek (kwadratura), patrz książka
Ince a.
2.3.1 Całki eliptyczne
W książce  Higher Transcendental Functions vol. 3 - o funkcjach elipty-
cznych i automorficznych. Problemem związanym z całkami eliptycznymi jest
odnalezienie x(t), gdyż mamy wyrażenie na t.
Określenie
Całka eliptyczna
I = R(x, y) dx, (2.3.47)
gdzie R jest funkcją wymierną ułamkową
Q(x, y)
R = (2.3.48)
S(x, y)
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki punktowej. Oscylator 13
a y jest pierwiastkiem wielomianu rzędu n
y(x) = Pn(x). (2.3.49)
Dążymy do znalezienia krzywej y(x).
2.3.2 Oscylator
Równanie oscylatora nietłumionego
mć + ą� + �x = 0. (2.3.50)
Wez
my funkcję
f(t) = ełt, (2.3.51)
jej pochodna
fŁ(t) = ł ełt. (2.3.52)
Wez
my
x(t) = C ełt, (2.3.53)
i wstawmy to do równania oscylatora (2.3.50)
ełt mł2 + ął + � = 0. (2.3.54)
Stąd otrzymujemy wielomian charakterystyczny
mł2 + ął + � = 0, (2.3.55)
którego pierwiastkami są
ą ą2 �
łą = - ą - . (2.3.56)
2m 4m2 m
Równanie oscylatora jest liniowe, daje to możliwość przeskalowania zmien-
nych. Z liniowości równania wynika również zasada superpozycji: jeśli istnieją
dwa rozwiązania x1 i x2 równania (2.3.50), to wtedy
x = C1x1 + C2x2 (2.3.57)
również jest rozwiązaniem (2.3.50)
+ -t
x(t) = C1eł t + C2eł . (2.3.58)
Pytanie, czy (2.3.58) określa rozwiązanie ogólne (2.3.50) ? Pojęcie liniowej
niezależności funkcji. Funkcje xi są liniowo niezależne na pewnym odcinku,
jeśli ich kombinacja liniowa zeruje się tylko w przypadku, gdy współczynniki
Ci są równe zeru:
C1x1(x) + C2x2(x) + ... + Cnxn(x) = 0 �! Ci = 0, i = 1, ..., n. (2.3.59)
14 2 Równania różniczkowe zwyczajne
ą
Można pokazać, że funkcje eł t są liniowo niezależne. Mamy warunki początkowe
x(0) = x0, �(0) = v0, (2.3.60)
uwzględniamy je w (2.3.58)
x(0) = C1 + C2 = x0, (2.3.61)
�(0) = C1ł+ + C2ł- = v0. (2.3.62)
Warunek istnienia rozwiązań - niezerowy wyznacznik:
1 1

= 0, (2.3.63)
ł+ ł-
zatem
ą2 �
ł- - ł+ = -2 - = 0. (2.3.64)

4m2 m
Tw.
Jeśli ł- = ł+, to wzór (2.3.58) określa jednoznacznie rozwiązanie równania

(2.3.50).
To znaczy, że można przy jego pomocy rozwiązać dowolne zagadnienie początkowe
(czyli wyznaczyć stałe C1 i C2). Gdy ł- = ł+, to istnieje drugie rozwiązanie
o postaci
x(t) = t ełt. (2.3.65)
Uwaga fizyczna.
Wielkość x opisuje położenie ciała, część urojona x jest równa zeru
Imx = 0, �! x" = x, (2.3.66)
"
gdzie oznacza sprzężenie zespolone. Znamy tożsamości
eix = cos x + i sin x, (2.3.67)
e-ix = cos x - i sin x, (2.3.68)
 i - jest jednostką urojoną. Pamiętamy, że
ą ą2 �
łą = - ą - , (2.3.69)
2m 4m2 m
zatem ł może być zespolone. W takim wypadku zapiszemy
x = C1 cos ł+t + C2 cos ł-t + i (C1 sin ł+t + C2 sin ł-t) . (2.3.70)
Przepiszmy równanie (2.3.50) w postaci
mć = -ą� - �x. (2.3.71)
2.3 Równania liniowe drugiego rzędu, mechanika cząstki punktowej. Oscylator 15
Równanie to może opisywać ruch ciała o masie m, wykonującego drgania na
sprężynie. Człon -ą� opisuje siły oporu, a FH = -�x jest siłą Hooke a (� >
0). Przy słabym tłumieniu siła Hooke a jest dużo większa od siły tłumiącej,
stąd wynika
ą2 �
<< . (2.3.72)
4m2 m
Przy powyższym założeniu, zapiszemy
ą2 � � ą2
- = i - = i�, (2.3.73)
4m2 m m 4m2
wielkość � będzie opisywać częstość drgań. Rozpiszmy
-ąt
+
eł t = exp (cos �t + i sin �t) (2.3.74)
2m
-ąt
-t
eł = exp (cos �t - i sin �t) . (2.3.75)
2m
Podstawimy to do naszego x(t)
-ąt
+ -t
x = C1eł t+C2eł = exp (C1 cos �t + C2 cos �t + iC1 sin �t - iC2 sin �t) .
2m
(2.3.76)
Cząstka będzie oscylować, amplituda oscylacji będzie malała eksponencjalnie.
Okres drgań będzie wynosił
2Ą
T = . (2.3.77)
�
Ogólny sposób postępowania przy rozwiązywaniu równania:
" uzyskanie rozwiązań szczególnych
" uzyskanie rozwiązania ogólnego
" warunki początkowe (brzegowe)
" końcowe rozwiązanie (wybór stałych)
2.4 Rozwiązywanie równań niejednorodnych o
współczynnikach stałych
2.4.1 Określenie równania niejednorodnego i ogólne twierdzenia
W poniższym równaniu x = x(t)
mć + ą� + kx = f(t). (2.4.1)
Jeśli w tym równaniu f(t) = 0, równanie to będzie jednorodne. Natomiast jeśli
funkcja f(t) nie jest tożsamościowo równa zeru, i jest niezależna od rozwiąza-
nia x(t), wówczas równanie (2.4.1) będzie równaniem niejednorodnym. Takie
równanie może służyć np. do opisu wahadła tłumionego, poddanego działaniu
pewnej zewnętrznej siły wymuszającej drgania.
Równanie (2.4.1) można zapisać następująco
d2 d
m + ą + k x = f(t). (2.4.2)
dt2 dt
Ć
Definiując operator L
d2 d
Ć
L = m + ą + k, (2.4.3)
dt2 dt
równanie (2.4.2) przepiszemy w postaci
Ć
Lx = f(t). (2.4.4)
Ć
Funkcja x(t) oraz L(x) powinny należeć do pewnej przestrzeni funkcyjnej U.
Interesuje nas przypadek, kiedy operator jest liniowy, tzn.
Ć Ć Ć
L(ax1 + bx2) = aLx1 + bLx2. (2.4.5)
Działanie operatora liniowego na kombinację liniową dwóch rożwiązań jest
równoważne kombinacji liniowej rozwiązań poddanych działaniu tego opera-
tora.
Wzór (2.4.4) jest najogólniejszą postacią naszego równania niejednorod-
nego. Formalnie można zapisać
Ć
x = L-1f (2.4.6)
Niech x0(t) będzie rozwiązaniem równania jednorodnego
Ć
Lx0 = 0. (2.4.7)
Przez podstawienie można sprawdzić, że poniższa postać x0(t) spełnia rów-
nanie (2.4.7)
x0(t) = e-łt (C1 cos �0t + C2 sin �0t) , (2.4.8)
2.4 Rozwiązywanie równań niejednorodnych o współczynnikach stałych 17
przy czym �0 jest częstością drgań własnych, a ł jest współczynnikiem tłu-
mienia. Funkcja ta opisuje oscylacje zanikające z upływem czasu. Poszuki-
wanie rozwiązania równania niejednorodnego jest bardziej złożone.
Tw.
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania równa-
nia jednorodnego x0(t) i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego
xn(t)
x = x0 + xn (2.4.9)
Rozwiązanie ogólne będzie zawierało w sobie wszystkie możliwe położenia
początkowe i prędkości początkowe. Niech funkcja f(t) w równaniu (2.4.1)
opisuje siłę wymuszającą o częstości �
f(t) = f0 cos �t. (2.4.10)
Rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego będzie w naszym przy-
padku
xn(t) = A cos �t + B sin �t. (2.4.11)
Funkcje sin i cos są liniowo niezależne, a więc xn będzie się mogło na jakimś
odcinku wyzerować tylko wtedy, gdy obie stałe A i B będą równe zeru. Pod-
stawiając równanie (2.4.11) do (2.4.1), otrzymamy
-m�2 (A cos �t + B sin �t) + ą� (-A sin �t + B cos �t) + k (A cos �t + B sin �t) = f0 cos �t.
(2.4.12)
Korzystamy z liniowej niezależności sin i cos (zapisujemy osobno czynniki
stojące przy cos �t i sin �t)
-m�2A + ą�B + kA = f0 (2.4.13)
-m�2B - ą�A + kB = 0. (2.4.14)
Z powyższego układu równań obliczamy wartości stałych A i B i otrzy-
mamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego a w konsekwencji
rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (2.4.1)
x(t) = e-łt (C1 cos �0t + C2 sin �0t) + A cos �t + B sin �t. (2.4.15)
W rozwiązaniu tym możemy uwzględnić dowolne warunki początkowe
x(0) = x00 (położenie początkowe), (2.4.16)
�(0) = v0 (prędkość początkowa). (2.4.17)
18 2 Równania różniczkowe zwyczajne
2.4.2 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
Ogólna postać liniowego równanania pierwszego rzędu
�(t) + �(t)x(t) = �(t). (2.4.18)
Jeśli � a" 0, to równanie jest niejednorodne. Znajdz
my rozwiązanie x0(t) rów-
/
nania jednorodnego
�0(t) + �(t)x0(t) = 0. (2.4.19)
Zapiszmy to w postaci
dx0(t)
= -�(t)x0(t), (2.4.20)
dt
stąd
dx0(t)
= -�(t)dt. (2.4.21)
x0(t)
Po scałkowaniu mamy
t
ln |x0(t)| = - �(�)d�, (2.4.22)
t0
więc
t
x0(t) = C exp - �(�)d� , (2.4.23)
0
gdzie stała C zawiera całkę od t0 do t. Wprowadz
my oznaczenie
t
T (t) = exp - �(�)d� , (2.4.24)
0
x0(t) = CT (t). (2.4.25)
Dla t = 0
T (0) = 1 �! X(0) = C = x00. (2.4.26)
Rozwiązujemy równanie niejednorodne, poprzez założenie, że C jest funkcją t
(uzmiennianie stałej)
xn(t) = C(t)T (t). (2.4.27)
Podstawiając (2.4.27) do (2.4.18), mamy

T + Cj + �CT = � (2.4.28)
ale na ponieważ T jest rozwiązaniem równania jednorodnego, zachodzi
C j + �T = 0. (2.4.29)
W równaniu (2.4.28) pozostanie
2.4 Rozwiązywanie równań niejednorodnych o współczynnikach stałych 19

T = �, (2.4.30)
więc

= �//T, (2.4.31)
stąd, po uwzględnieniu (2.4.24)
t �
C(t) = �(�) exp �(�)d� d�. (2.4.32)
0 0
Ostatecznie, rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego przyjmie postać
t t �
xn(t) = exp - �(�)d� � �(�) exp �(�)d� d�. (2.4.33)
0 0 0
Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego będzie sumą rozwiązania ogól-
nego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejed-
norodnego
x(t) = x0(t) + xn(t). (2.4.34)
2.4.3 Równanie dowolnego rzędu. Metoda faktoryzacji
W przypadku wielomianów czasami wygodne jest zapisanie wielomianu w
postaci iloczynowej
P2(x) = x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). (2.4.35)
Szukamy czegoś analogicznego dla równań różniczkowych, aby móc je rozwiązy-
wać algorytmicznie. Mając równanie różniczkowe
Ć
Lx = f (2.4.36)
możemy jego rozwiązanie zapisać następująco
Ć
x = L-1f. (2.4.37)
Ć
Jeśli operator L (zawierający różniczkowanie) można przedstawić jako iloczyn
dwóch operatorów
Ć Ć Ć
L = L1L2, (2.4.38)
to
Ć2 Ć1
x = L-1L-1f. (2.4.39)
Mamy równanie rzędu n (rząd jest liczbą całkowitą), niech funkcja y(x)
będzie różniczkowalna do rzędu n włącznie
an(x)y(n)(x)+an-1(x)y(n-1)(x)+...+a1(x)y (x)+a0(x)y(x) = f(x). (2.4.40)
20 2 Równania różniczkowe zwyczajne
Jest to równanie różniczkowe zwyczajne rzędu n, liniowe, niejednorodne.
Przyjmijmy, że ak(x) = const, dla k = 0...n, mamy wówczas rówanie o stałych
współczynnikach. Przyjęte oznaczenia:
dy(x)
y (x) = , (2.4.41)
dx
dny(x)
y(n)(x) = . (2.4.42)
dxn
Wez
my n = 2, a2 = 0

d2y(x) dy(x)
a2 + a1 + a0y(x) = f(x). (2.4.43)
dx2 dx
Otrzymaliśmy znów równanie opisujące oscylator. Założyliśmy, że ai(x) =
const, zatem
dai
= 0. (2.4.44)
dx
Równanie (2.4.43) dzielimy przez a2, ale dla wygody pozostajemy przy tych
samych oznaczeniach
d2y dy
+ a1 + a0y = f (2.4.45)
dx2 dx
czyli
d2 d
+ a1 + a0 y = f. (2.4.46)
dx2 dx
Operator występujący po lewej stronie równania (2.4.46) przypomina trójmian
z równania (2.4.35). Zapiszmy
d d
- b1 - b2 y = f. (2.4.47)
dx dx
Wprowadz
my funkcję z
d dy
z = - b2 y = - b2y. (2.4.48)
dx dx
Dostajemy równanie pierwszego rzędu.
dz
- b1z = f. (2.4.49)
dx
Zapiszmy równanie równoważne do (2.4.18)
d
- � y = �. (2.4.50)
dx
W powyższym równaniu spróbujemy zapisać lewą stronę w nieco inny sposób.
Na podstawie rachunku pochodnych można pokazać, że
2.4 Rozwiązywanie równań niejednorodnych o współczynnikach stałych 21
d d
g-1 (gy) = g-1(g y + gy ) = g-1g y + y = + g-1g y, (2.4.51)
dx dx
przy czym
1
g-1g = g = 1. (2.4.52)
g
Porównując lewą stronę (2.4.50) i prawą (2.4.51), zapiszmy
1 dg
g-1g = = -�. (2.4.53)
g dx
Po scałkowaniu uzyskamy
x
g = exp - � d� . (2.4.54)
0
Przykładowo, gdy � = c1 = const, to
g = exp (-c1x) . (2.4.55)
Na podstawie (2.4.50), (2.4.51) i (2.4.53) mamy
d
g-1 (gy) = �. (2.4.56)
dx
Mnożymy powyższe równanie przez g:
d
(gy) = g� (2.4.57)
dx
całkujemy:
x
g(x)y(x) = (g(�)�(�)) d� (2.4.58)
0
i otrzymujemy
x
1
y(x) = (g(�)�(�)) d�. (2.4.59)
g(x)
0
Powyższe rozumowanie możemy zastosować do równania (2.4.49). Dojdziemy
do postaci:
d
exp (b1x) [exp (-b1x) z(x)] = f(x) (2.4.60)
dx
i do rozwiązania
x
z(x) = exp (b1x) exp (-b1x) f(�) d�. (2.4.61)
0
Przepiszmy równanie (2.4.48)
d
- b2 y(x) = z(x) (2.4.62)
dx
22 2 Równania różniczkowe zwyczajne
i działamy według tego samego schematu, jak powyżej. Dostajemy
d
exp (b2x) [exp (-b2x) y(x)] = z(x) (2.4.63)
dx
i rozwiązanie
x
y(x) = exp (b2x) exp (-b2x) z(�) d�. (2.4.64)
0
Podstawiając (2.4.61), otrzymujemy rozwiązanie równania niejednorodnego
drugiego rzędu o stałych współczynnikach, dla dowolnej funkcji f(x). Fizy-
cznie - rozwiązanie zagadnienia liniowego wahadła z dowolnym napędem.
Metoda pozwala rozwiązywać równania dowolnego rzędu.
Operator różniczkowania - odwzorowuje funkcję na jej pochodną
d df(x)
f(x) = = f (x). (2.4.65)
dx dx
Operator mnożenia przez funkcję
ą(x) f(x) = ąf (2.4.66)
odwzorowuje funkcję f na iloczyn ąf. Suma operatorów
d d
+ ą(x) f(x) = f (x) + ą(x)f(x) = exp (�(x)) exp (-�(x)) f(x)
dx dx
d
= e� -� e-�f + e-�f = -� + f(x).(2.4.67)
dx
Aby to było słuszne, musi zachodzić
ą(x) = -� (x) (2.4.68)
czyli
�(x) = - ą(x)dx, (2.4.69)
a jeśli ą = const, to
�(x) = -ąx. (2.4.70)
Rozważmy równanie
y + ay + by = f. (2.4.71)
Zapiszmy też
d d
+ ą + � y = f (2.4.72)
dx dx
czyli
2.4 Rozwiązywanie równań niejednorodnych o współczynnikach stałych 23
d2 d d
+ ą + � + ą� y = f (2.4.73)
dx2 dx dx
a jeśli � jest stałe,
d2 d
+ (ą + �) + ą� y = f. (2.4.74)
dx2 dx
Na podstawie (2.4.71) i (2.4.74) mamy
ą + � = a, ą � � = b. (2.4.75)
W przypadku równania kwadratowego związki pomiędzy pierwiastkami rów-
nania a współczynnikami określały wzory Viete a.
Porównując (2.4.72) z rozumowaniem (2.4.67) (2.4.70), zapiszemy
d d
e-ąx eąxe-�x e�xy = f. (2.4.76)
dx dx
Stąd
d d
e(ą-�)x e�xy = eąxf. (2.4.77)
dx dx
Po scałkowaniu:
d
e(ą-�)x e�xy = eąxf dx + C1 (2.4.78)
dx
a dalej
x
d
e�xy = e(�-ą)x eąx f(x ) dx + e(�-ą)xC1, (2.4.79)
dx
0
stąd
x x
C1
y = e-�x e(�-ą)x eąx f(x ) dx dx + e(�-ą)xe-�x + C2e-�x
� - ą
0 0
(2.4.80)
przy czym ą = �. Ostatecznie

x x
y(x) = e-�x e(�-ą)x eąx f(x ) dx dx + C1 e-ąx + C2e-�x.
0 0
(2.4.81)
Jest to rozwiązanie ogólne. Rozważmy przykład ą = �, wtedy równanie
(2.4.72) będzie równoważne
d2
e-ąx eąxy = f. (2.4.82)
dx2
Rozwiązaniem będzie
24 2 Równania różniczkowe zwyczajne
x x
y(x) = e-ąx eąx f(x ) dx dx + (C1x + C2) e-ąx. (2.4.83)
0 0
Tw.
2
a
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego (2.4.72) w przypadku - b =

2
2
a
0 jest określone wzorem (2.4.81), a w przypadku = b wzorem (2.4.83).
2
Dla równania jednorodnego rozwiązaniem jest
y(x) = C1e-ąx + C2e-�x. (2.4.84)
W przypadku, gdy równanie (2.4.72) jest jednorodne, równanie
ą2 + aą + b = 0 (2.4.85)
nazywa się równaniem charakterystycznym równania różniczkowego (2.4.72).
Można z niego wyznaczyć wartość ą
Wszystkie powyższe rozważania są słuszne dla równań różniczkowych
zwyczajnych o stałych współczynnikach. Metodę faktoryzacji można też stosować
dla równań o zmiennych współczynnikach, ale jest to trudne. Duże trudności
są również w przypadku równań o pochodnych cząstkowych.
My przeprowadziliśmy algorytm metody faktoryzacji dla równania różniczkowego
zwyczajnego drugiego rzędu o stałych współczynnikach.
Ogólnie
n n-1
d d
an + an-1 + ... + a0 y = f. (2.4.86)
dx dx
Równanie charakterystyczne będzie rzędu n
anąn + an-1ąn-1 + ... + a0 = 0. (2.4.87)
Zgodnie z twierdzeniem Abela równanie to może być rozwiązane analitycznie
dla n = 4 - rozwiązanie przez pierwiastki. Dla n = 3 lub n = 4 można

korzystać ze wzorów Cardano. Twierdzenie Abela udowodnił E. Galois. Dla
ąi różnych rozwiązanie ogólne równania różniczkowego (2.4.86) ma postać:
n
i
y(x) = Cie-ą x. (2.4.88)
i-1
Dla ą1 = ą2 = ... = ąm = ą:
m+1 n
y(x) = Pm(x)e-ąx + Cm+1e-ą x + ... + Cne-ą x, (2.4.89)
gdzie Pm(x) jest wielomianem.
2.5 Metoda Frobeniusa - zastosowanie szeregów potęgowych do rozwiązywania równań różniczkowych 25
2.5 Metoda Frobeniusa - zastosowanie szeregów
potęgowych do rozwiązywania równań różniczkowych
Ogólny kształt równania liniowego drugiego rzędu jednorodnego o współczyn-
nikach zmiennych ma postać:
y + f(x)y + g(x)y = 0 (2.5.1)
Tego typu klasa równań obejmuje wiele zjawisk fizyki i techniki. Wśród nich
znajduje się równanie postaci:
-y + u(x)y = y = hy (2.5.2)
określane jako stacjonarne równanie Schr�dingera (używane w mechanice
kwantowej). Tutaj u(x) ma sens energii potencjalnej (potencjał jednej cząstki
punktowej). Np. jeżeli u(x) = x2, wówczas otrzymujemy reprezentację przy-
padku oscylatora harmonicznego (kx2/2). Analizę tego równania przeprowadz-
imy poprzez poszukiwanie takiej funkcji y(x), gdzie  oznacza parametr, od
którego zależy rozwiązanie. Stosujemy zaawansowane metody, które pozwalają
uzyskać nowe wyrażenia.
Jeżeli funkcja jest analityczna, to rozwijamy ją w szereg potęgowy postaci:
"
y(x) = Cnxn (2.5.3)
n=0
Poszukiwanie rozwiązania w takiej postaci jest podejściem ogólnym. Dlat-
ego potrzebne są warunki początkowe i brzegowe, by takie równanie rozwiązać.
Należy dokładnie przy tym podać, jakie są granice, odcinek rozwiązywania.
Niech x (-", +") . Zakładamy, że y(x) 0(x ą") i pod takim właśnie
warunkiem szukamy rozwiązania. Taki warunek ma swoje fizyczne uzasadnie-
nie. |y(x)|2 ma sens prawdopodobieństwa odnalezienia cząstki w punkcie x.
Stąd nakłada się pewne ograniczenie funkcji dane poprzez unormowanie danej
funkcji:
+"
|y(x)|2dx = 1 (2.5.4)
-"
Podstawmy wobec tego (2.5.3) do (2.5.1):
-y + x2y = y (2.5.5)
Uwzględniamy (2.5.2), co daje:
"
-y(x) = Cnnxn-1 (2.5.6)
n=1
a różniczkowanie powyższego daje:
26 2 Równania różniczkowe zwyczajne
"
-y(x) = Cnn(n - 1)xn-2 (2.5.7)
n=2
Z powyższych otrzymujemy:
" " "
- Cnn(n - 1)xn-2 + x2 Cnxn -  Cnxn = 0 (2.5.8)
n=2 n=0 n=0
Podstawą zastosowanej metody rozwiązywania jest stwierdzenie, że funkcje
"
xn są liniowo niezależne ( anxn = 0 �! an = 0). Otrzymujemy zatem:
n=0
(-C22�(2-1)-C0)x0+(-C33�(2)x1-C1)x1+(-C44�3+C0-C2)x2+� � � = 0
(2.5.9)
W wyrażeniu (2.5.6) każdy nawias zeruje się. W przypadku funkcji liniowo
niezależnych można napisać, że:
2C2 + C0 = 0
6C3 + C1 = 0 (2.5.10)
12C4 - C0 + C2 = 0
Np. przy dowolnym n następujący szereg (n+2)(n+1)Cn+2 -Cn-2 +Cn = 0
jest dowolnie określony. Z powyższych rozważań widać, że rozwiązaniem y jest
wielkość . Wprowadzamy nową funkcję:
2
y(x, C0, C1) = e-x /2�(x, C1, C2) (2.5.11)
1
Można udowodnić, że �(x, C1, C2) jest wielomianem dla  = n <" n + .
2
Szereg dla � można wyprowadzić, powtarzając procedurę, przy czym szereg
urywa się dla pewnych wartości . Wynika z tego, że y 0, gdy x ą".
Taki warunek przy " jest spełniony tylko dla szczególnych wartości . Są to
wartości własne tego równania lub operatora H.
hy = y (2.5.12)
Takie podejście jest istotne, gdzie do analizy funkcji specjalnych stosuje się
metodę rozwinięcia w szereg. Wprowadzane są tu funkcje Hermite a y.
Ogólnie Metoda szeregów potęgowych (tzw. metoda Frobeniusa (1873,
patrz Ince, 365, 396))
Mając ogólne równanie różniczkowe zwyczajne jednorodne rzędu n:
y(n)(-x) + fn-1(x)y(n-1)(x) + � � � + f0(x)y = 0 (2.5.13)
chcemy znalez
ć punkty, w których funkcja y dąży do ". Za pomocą prze-
sunięcia można taki punkt sprowadzić do x = 0.
Niech x = 0 jest punktem, w którym y(x) 0 <" x�, gdzie � < 0. Oznacza
to, że w tym punkcie nie istnieje rozwinięcie w szereg Taylora, a w rów-
naniu y = x�z(x) funkcja z(x) jest już funkcją regularną.
2.6 Rozwiązania przybliżone - metody numeryczne 27
Twierdzenie
Równanie (2.5.13) posiada rozwiązanie w postaci szeregu
"
y� = Cnxn+� (2.5.14)
n=0
jeżeli funkcje fk(x) mają osobliwości izolowane w zerze (x = 0), bieguny
rzędu n-k. Istnieje pewna wartość � > 0 taka, że szereg (2.5.14) jest zbieżny
w |x| < �. Frobenius 1873
2.6 Rozwiązania przybliżone - metody numeryczne
Wcześniej poznaliśmy sposób rozwiązania przybliżonego poprzez szeregi
potęgowe. Pewne uogólnienie daje metoda Frobeniusa. Istnieje jednak jeszcze
tzw. metoda kodów numerycznych. Oznacza to, że jego podstawą jest możli-
df
wość zastępstwa pochodnej przez różnicę f(n + 1) - f(n):
dx
df 1
<" (f(n + 1) - f(n)), nh [0, 1] (2.6.1)
dx h
Istnieje możliwość korzystania z przybliżonego opisu pochodnej, ze wzoru Tay-
lora. Mając funkcję f(x), istnieje rozwinięcie w szereg Taylora obok punktu
x = n + h.
h2
f(x = n + h) = f(n) + f (n)h + f + . . . (2.6.2)
2
x (n - , n + ), > 0 (2.6.3)
Rozważmy następujące równanie różniczkowe pierwszego rzędu:
y = F (y, x) (2.6.4)
Równanie to można zastąpić przez
y(n + h) - y(n)
= F (y(n), x) (2.6.5)
h
lub w postaci indeksów jako
yn+1 - yn
= F (2.6.6)
h
yn+1 - yn = hF (2.6.7)
Rozważając sytuację fizycznie, to gdy h 0, punkty leżą gęsto na odcinku i to
może stanowić już rozwiązanie. Pozostaje problem zbieżności. Aby udowodnić,
że równanie (2.6.6) jest rozwiązaniem (2.6.5) trzeba udowodnić, że yn y(x)
przy h 0. Musi dlatego istnieć przejście graniczne w tym sensie, że |y(nh) -
28 2 Równania różniczkowe zwyczajne
yn|h0 0.
Wystąpić może pewien problem z określeniem punktów osobliwości. I stąd
powstaje pytanie, czy ta metoda daje rozwiązanie tego równania. Podejście
do problemu wymaga spełnienia trzech warunków:
1. zbieżności,
2. prędkości zbiegania,
3. stabilności- każde rozwiązanie jest funkcją równania, a małe zmiany
powodują małe zmiany rozwiązań.
Na postać zagadnienia fizycznego składa się równanie (2.6.5) (albo inne) oraz
warunki brzegowe (początkowe).
Rozważmy poniższe zagadnienie brzegowe:
y = F (y, x)
(2.6.8)
y(0) = a
Dla równania pierwszego rzędu to jest układ warunków zawierających w so-
bie pełną informację. W takim przypadku można udowodnić twierdzenie o
istnieniu i stabilności przy pewnych ograniczeniach na funkcji f. Rozwiązanie
można zaznaczyć jako y(x, a). Twierdzenie daje się udowodnić przez reprezen-
tację równania (2.6.5) przez równanie algebraiczne (2.6.6). Korzystając z niego
napiszemy:
yn+1 = yn + hF (yn, nh)
(2.6.9)
y0 = 0
To najprostszy algorytm do obliczenia. Poza tym łatwo spostrzec, że układ
(2.6.8) daje się zastąpić przez (2.6.9). Np.
y1 = y0 + hF (y0, 0) �! y1 = a + hF (a, 0) (2.6.10)
Czasami można wprost scałkować równanie numeryczne. Tak samo da się
policzyć z powyższego y2
y2 = y1 + hF (y1, h) �! y2 = a + hF (a, 0) + hF (a + hF (a, 0), h) (2.6.11)
Poza tym występuje możliwość oceny błędu, dokonanego podczas wykonywa-
nia obliczeń. Na każdym kroku liczenia pojawia się błąd z nim związany
N
h2
y (n) d" Nmax (2.6.12)
2
n=1
Algorytm jest taki, ze błąd wzrasta z każdym krokiem liczenia.
N
h2 h2
y (n) d" Nmaxy (n) (2.6.13)
2 2
n=1
Rozwiązanie ogólne zależy od jednego parametru a. Jeżeli druga pochodna
istnieje i jest ograniczona, to gdy h 0, to błąd również dąży do zera. Ważne
2.6 Rozwiązania przybliżone - metody numeryczne 29
bowiem jest, by nie tylko stworzyć wyniki, ale również i podać ocenę dokład-
ności, z której można policzyć rozwiązanie na danym odcinku przy zadanych
warunkach brzegowych.
Uwaga
1. W podobny sposób można rozważyć równanie drugiego rzędu, przy czym
nie oznacza to jednoczesnej możliwości udowodnienia.
2. Istnieje inne podejście (klasyczne) do twierdzenia o istnieniu i o rozwiąza-
niu przybliżonym przez równanie całkowe.
2.6.1 Stabilność. Ruch chaotyczny.
Stabilność oznacza ciągłą zależność od warunków początkowych. W teorii
równań różniczkowych zwyczajnych stabilność jest stabilnością fizyczną
Ciągłość i różniczkowalność rozwiązywania równań różniczkowych
zwyczajnych względem parametrów zagadnienia fizycznego ( równanie
+ warunki brzegowo- początkowe)
Rozważmy y = F (y, x). Jest to równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego
rzędu (y(0) = a). Rozwiązanie jest funkcją współrzędnej x i parametru a.
Jeżeli funkcja y(x, a) jest funkcją ciągłą o zmiennej a, wtedy mówimy, że
rozwiązanie jest ciągłym względem warunków brzegowych. Stwierdzenie to
ważne jest od strony fizycznej zagadnienia, bowiem pomiary zawsze wykony-
wane są z pewną dokładnością. Oznacza to, że wartość jest ustalona z pewnym
błędem pomiarowym.
Z kolei brak ciągłości oznacza brak możliwości przewidzenia przyszłości w za-
gadnieniu, co należy do przypadków szczególnych. Hadamard wprowadził tzw.
zagadnienie z
le uwarunkowane (ill-posed problem). Występują trzy sytuacje
"problemowe":
1. rozwiązanie nie istnieje w pewnych obszarach
2. nie ma jednego rozwiązania
3. rozwiązanie nie ciągle zależy od warunków początkowych albo brzegowych
Podobnie można mówić o zależności parametrów równania:
y = F (y, x, b) �! y(y, a, b) (2.6.14)
W tych przypadkach zagadnienie fizyczne jest z
le uwarunkowane, lecz istnieje
możliwość poprawy tego zagadnienia. Mówimy wówczas o tzw. zagadnieniach
odwrotnych.
Układ równań różniczkowych
�i = f(x1, . . . , xn) (2.6.15)
n
gdzie x1, . . . , xn
xi(0) = �i (2.6.16)
30 2 Równania różniczkowe zwyczajne
xi = �i(t, �) (2.6.17)
Stabilność (statyczność)
Przykład: zegar wahadłowy
Określenie stabilności wg Lapunowa (1898)
Rozważmy układ równań różniczkowych (2.6.15). Załóżmy, że f nie zależy
jawnie od czasu (jest to układ autonomiczny). Załóżmy, że istnieje zbiór
drugich pochodnych określony jako:
"2f
,
"xi"xj
n n
gdzie xi �" " �" , xi = �i(t, �), � = {�1, . . . , �n} Punkt a nazywamy
punktem stabilności wg Lapunowa jeśli:
1. "� > 0 |� - a| < � "y(t, �) "t
2. " > 0 "� < � |� - a| < � �! |�(t, �) - a| < "t
3. mówimy, że a jest punktem stabilności asymptotycznej, jeżeli "� <
� |� - a| < � oraz limt+" |�(t, �) - a| = 0
Warunek stabilności układów liniowych (warunek wystarczający)
� = Ax (2.6.18)
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�1 a11 a12 . . . x1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
a21 a22 . . .
. .
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
. .
=
�ł �ł �ł �ł �ł �ł (2.6.19)
.
.
. .
�ł łł �ł łł �ł łł
.
.
�n ann xn
Pytanie: Jaki punkt jest stabilny dla układu liniowego?
x = T x (2.6.20)
-1
A = T AT = diag{1, . . . n} (2.6.21)
i to wartości własne macierzy A, det(A - I) = 0
i
x i <" eit  <0 0
-1
x = T x 0 i jest to punkt asymptotycznie stabilny.
Jeśli wartości własne macierzy A są mniejsze od zera wówczas możemy
powiedzieć, że
"ą, r > 0 |�(t, �)| d" r|�|e-ąt t > 0 (2.6.22)
wtedy x = 0 jest punktem stabilnym (wg Lapunowa) i asymptotycznie stabil-
nym.
Rozważmy dowolny układ (również nieliniowy) (2.6.15) przy warunkach (2.6.19).
xi = ai + "xi (2.6.23)
2.7 Równanie różniczkowe zupełne (exact) 31
ai stanowi punkt stabilny (równowagi), a "xi to odchylenie od punktu
równowagi.
Podstawiając następnie (2.6.23) do równania (2.6.15) otrzymujemy:
n
"fi(a)
"�i = fi(a) + "xj + Ri, (2.6.24)
"xj
j=1
"fi(a)
gdzie aij
"xj
Uzyskaliśmy rozwinięcie wyrażenia w szereg Taylora.
Jeżeli a jest punktem równowagi, wtedy fi(a) = 0. Otrzymujemy:
"�i = aij"xj + Ri (2.6.25)
"2f
Ri <" (2.6.26)
"xi"xj
Twierdzenie Lapunowa Jeśli wszystkie wartości własne i macierzy A =
{aij} mają Imi < 0, wtedy punkt a jest asymptotycznie stabilny.
Oznacza to, że
"� > 0 |� - a| < � |� - a| d" r|� - a|e-ąt,
gdzie r > 0, ą > 0 nie zależy od �.
2.7 Równanie różniczkowe zupełne (exact)
Do tej pory przy równaniach pierwszego rzędu mieliśmy
F (y , y, x) = 0, (2.7.1)
co zapisywaliśmy w postaci
y = f(y, x) (2.7.2)
lub
dy = f(y, x)dx. (2.7.3)
Postać ogólniejsza:
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. (2.7.4)
Oczywiście (2.7.3) jest szczególnym przypadkiem równania (2.7.4). Równanie
(2.7.4) jest bardzo ważne w fizyce. Np. pierwszą zasadę termodynamiki za-
pisujemy
�Q = dU + pdV, (2.7.5)
a w procesach adiabatycznych
dU + pdV = 0. (2.7.6)
32 2 Równania różniczkowe zwyczajne
�Q oznacza wielkość przekazanego ciepła, dU - zmianę energii wewnętrznej,
a pdV - pracę elementarną. Wyrażenie P(x,y) dx + Q(x, y)dy nazywa się
formą Pfaffa I rzędu. Rozważmy funkcję dwóch zmiennych u(x, y), niech ta
"u "u
funkcja posiada pochodne cząstkowe i . Różniczką tej funkcji nazywamy
"x "y
wielkość
"u "u
du = dx + dy. (2.7.7)
"x "y
Jeśli du = 0, to u = const. Porównując (2.7.4) i (2.7.7), otrzymujemy warunek
zupełności
"P "Q
= , (2.7.8)
"y "x
jest on skutkiem warunku Schwartza
"2u "2u
= . (2.7.9)
"x"y "y"x
Wyrażenie (2.7.8) jest warunkiem koniecznym całkowalności równania (2.7.4).
Sformułujemy i udowodnimy warunek dostateczny. Rozważmy funkcję
x
u = P (x, y)dx + �(y). (2.7.10)
xo
Pokażemy, że jest ona rozwiązaniem równania (2.7.4). Obliczamy
x
"u "P (x, y)
= dx + � (y), (2.7.11)
"y "y
xo
a po skorzystaniu z (2.7.8)
x
"u "Q(x, y)
= dx + � (y) = Q(x, y) - Q(x0, y) + � (y). (2.7.12)
"y "x
xo
Wiemy, że
"u
Q(x, y) = (2.7.13)
"y
Uwzględniamy to w (2.7.12) a następnie całkujemy po y:
y
�(y) = Q(x0, y)dy (2.7.14)
y0
i mamy
x y
u(x, y) = P (x, y)dx + Q(x0, y)dy = c. (2.7.15)
xo y0
Jest to całka rówania (2.7.4), du = 0 �! u = c. Wzór (2.7.15) jest warunk-
iem dostatecznym całkowalności równania (2.7.4). Zawiera trzy stałe x0, y0 i
c. Wybór x0 i y0 prowadzi do zmiany, przeskalowania c.
2.9 Uwagi fizyczne o zagadnieniach brzegowych. Przykłady fizyczne i techniczne 33
Wiedząc, że pV = nRT można zauważyć, że czynnik całkujący dla równania
1
(2.7.6) wynosi .
T
ćw.
Rozwiązać
2x - y 2y + x
dx + dy = 0. (2.7.16)
x2 + y2 x2 + y2
Rozwiązanie:
x
ln(x2 + y2) - arctg = c. (2.7.17)
y
Sposób dojścia do rozwiązania: wycałkować zgodnie z (2.7.15).
2.8 Metoda uzmiennienia stałych
Przy rozwiązywaniu równań niejednorodnych dowolnego rzędu stałe za-
stępujemy funkcjami Ci(x).
2.9 Uwagi fizyczne o zagadnieniach brzegowych.
Przykłady fizyczne i techniczne
Warunki brzegowe decydują o konkretnych wartościach stałcyh, występu-
jących w rozwiązaniach. Równanie Newtona
ć = f(x, �, t). (2.9.1)
Potrzebne są dwa warunki
x(0) = x0, �(0) = v0. (2.9.2)
Równanie jest drugiego rzędu, w rozwiązaniu pojawią się dwie stałe
x = �(t, C1, C2). (2.9.3)
Załóżmy, że czas t " [0, "). Wartości stałych C1 i C2 uzyskamy z układu
równań
x(0) = �(0, C1, C2). (2.9.4)
"�
�(0) = . (2.9.5)
"t
t=0
Przykład
Przewodnictwo cieplne w zagadnieniach jednowymiarowych. Mamy pręt, którego
początek umieszczamy w punkcie x = 0 i temperaturze T1 a koniec w x = L
34 2 Równania różniczkowe zwyczajne
i T2. Wzdłuż pręta będzie przepływać ciepło, zajdzie propagacja. Po pewnym
czasie proces stanie się stacjonarny - ustabilizuje się i rozkład temperatury T
nie będzie zależał od czasu
"T
= 0. (2.9.6)
"t
Strumień ciepła, czyli ilość ciepła przepływającą przez jednostkową powierzch-
nię, oznaczamy jako q. Zgodnie z prawem Fouriera
dT
q = -�(x) , (2.9.7)
dx
� - współczynnik przewodnictwa cieplnego. W stanie stacjonarnym w dowol-
nym miejscu wartość strumienia ze strony lewej i prawej będą jednakowe,
temperatura nie będzie zależała od czasu, a tylko od położenia x
d dT
�(x) = 0. (2.9.8)
dx dx
W ogólności pręt może być niejednorodny, dlatego założyliśmy, że � jest
funkcją x. Przekształcamy powyższe równanie
d2T d� dT
� + = 0. (2.9.9)
dx2 dx dx
Oznaczmy
dT
y = . (2.9.10)
dx
Mamy
dy �
= - (2.9.11)
dx �
a stąd
�
dy = - dx (2.9.12)
�
czyli
�
y = - dx + C1 (2.9.13)
�
i
y = - ln � + C1 (2.9.14)
a ze wzoru (2.9.10) widzimy, że
T = y dx + C2. (2.9.15)
Uwzględniamy warunki brzegowe
T (0) = T1, T (L) = T2, (2.9.16)
2.9 Uwagi fizyczne o zagadnieniach brzegowych. Przykłady fizyczne i techniczne 35
załóżmy, że � = const, a więc � = 0, dostajemy
T (x) = C1x + C2, (2.9.17)
przy czym
C2 = T1, (2.9.18)
a ponieważ
T (L) = C1L + T1 = T2, (2.9.19)
stąd
T2 - T1
C1 = . (2.9.20)
L
3
Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
3.1 Wyprowadzenie równań różniczkowych cząstkowych
w fizyce.
3.1.1 Równania struny. Propagacja fal.
Innym przykładem wyprowadzenia równań w stosunku do zjawisk fizy-
cznych jest będące połączeniem zasad fizyki i równań różniczkowych jest
drugie prawo Newtona:
m� = R (3.1.1)
r
gdzie R to równoważąca siła działająca na cząstkę punktową.
Wyrażenie to zastosujemy do wyprowadzenia równania ruchu nieskończonego
struny. Obieramy czas t jako dowolny, ale jedyny. Niech U(x) to odchylenie od
położenia równowagi. Zakładamy też, że U(x, t) U0. Głównym celem jest
połączenie pochodnych przez równanie oraz z geometrią (tj. kąta nachylenia,
itp.). Rozważeniom w pewnych warunkach poddajemy małe drgania, wychyle-
nia z położenia równowagi, które powinny zostać określone.
Charakterystyką odchylenia U(x) jest pochodna cząstkowa
"U "U
H" (3.1.2)
"x "x
"U
Wynika z tego. Że = tan ą, gdzie ą to kąt nachylenia stycznej, przy czym
"x
zakładamy, że
(3.1.3)
czyli jest funkcją bezwymiarową.
Drugą funkcją jest �(x) tylko jednej współrzędnej:
"m
�(x) H" (3.1.4)
"x
Podobnie ważnym elementem tego wyprowadzenia jest siła naprężenia struny
T (x). Przy najprostszym założeniu siła T jest skierowana wzdłuż stycznej
38 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
(struna łatwo się wygina). Jeśli struna jest nieskończona, wówczas rozciągnię-
cie zależy od warunków dla przypadku nieskończoności.
Interesuje nas ruch struny wzdłuż osi y, co oznacza, że:
"2U(x, t)
"m H" -T (x) sin ą(x) + T (x + "x) sin ą(x + "x) (3.1.5)
"t2
Po prawej stronie wyrażenia mamy sumę sił działających na cząstkę punktową,
przy czym znak "H"óznacza, że rozważamy odcinek, a nie cząstkę punktową,
a przyspieszenie jest dla jednej współrzędnych.
Uwaga
"U
sin ą H" tan ą = (3.1.6)
"x
Dla (3.1.1) uzyskujemy:
"2U(x, t) "U(x, t)
A(x) = �(x)"x H" -T (x) + T (x + "x) (3.1.7)
"t2 "x
A
Przyjmujemy, że rozważany odcinek dąży do cząstki punktowej.
F (x + "x) "F
lim = (3.1.8)
"x0 "x "x
Równanie (3.1.9) odtwarza niejako równanie (3.1.1). Jest to tzw. drugie rów-
nanie Newtona, które również nosi nazwę równania struny. Jest to równanie
dwóch zmiennych: x i t. Istnieje przypadek, gdy:
"T (x) "�
�(x) = const, = 0, (3.1.9)
"x "x
Wtedy mówimy, że struna jest jednorodna. Po dokonaniu pewnych uproszczeń
otrzymujemy:
"2U T "2U "2U
= = C2 (3.1.10)
"t2 � "x2 "x2
T
gdzie: C2 = Równanie struny jest równaniem falowym, jednowymiarowym.
�
Przykład ten pozwala zrozumieć duży ciąg zjawisk. U(x, t) posiada więc sens
fizyczny fali. Za tym stoi cały szereg przybliżeń. Jeżeli kąt nachylenia sty-
cznej jest niewielki, a odchylenie od położenia równowagi także jest małe,
wówczas równanie jest liniowe. W przypadku odrzucenia warunku (3.1.3)
otrzymujemy równanie nieliniowe. Równanie struny jest najprostszym rów-
naniem falowym. Warunek (3.1.5) da się uzupełnić, dodając z lewej strony
wyrażenia siłę zewnętrzną.
Uwaga 1
(3.1.5) +f(x, t)"x �! (3.1.7) +f(x, t) Z prawej strony (3.1.7) należy jeszcze
dodać siłę f(x, t) zmienną w czasie (np. w polu grawitacyjnym lub o pochodze-
niu zupełnie innym- np. magnetyczne i wtedy na każdy odcinek działa siła
3.1 Wyprowadzenie równań różniczkowych cząstkowych w fizyce. 39
Lorentza zależna od prędkości). Struna stanowi bardzo dobry przykład jed-
nowymiarowy.
Uwaga 2
Równanie w trzech wymiarach ma postać ogólną:
"2U(r, t)
�(x) = "T (r)"U(r, t) + f(r, t) (3.1.11)
"t2
3.1.2 Równanie dyfuzji. Przewodnictwo cieplne.
Poniższe równanie
"T
Cv = "(�"T ), (3.1.1)
"t
gdzie q = -�"T wynika z prawa Fouriera, nosi nazwę równania prze-
Ż
wodnictwa cieplnego w układzie trójwymiarowym. Podobne równanie można
wyprowadzić dla zjawiska dyfuzji.
Dyfuzję można określić jako zmianę koncentracji cząstek w czasie t w obszarze
o powierzchni S i objętości V .
"mcz
C(r, t) H" (3.1.2)
"V
Niech całkowita masa cząstek znajdujących się w obszarze o objętości V
wynosi:
M = C(r, t)dV (3.1.3)
V
"M
Prędkość zmiany masy jest sumą strumienia Q cząstek po powierzchni S
"t
"M
= QdS (3.1.4)
"t
S
gdzie dS = ndS, n to wektor jednostkowy normalny do powierzchni S. Rów-
nanie (3.1.4) wyraża prawo zachowania masy. Strumień cząstek przepływający
przez powierzchnię S wyraża równanie:
Q = -D"C(r, t) (3.1.5)
Jeśli (3.1.5) i (3.1.3) wstawimy do (3.1.2) to uzyskamy równanie formy
zamkniętej
"C(r, t) "C(r, t)
dV = D dS (3.1.6)
"t "n
V S
Stosując prawo Gaussa - Ostrogradskiego do całki powierzchniowej S otrzy-
mujemy:
40 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
"C(r, t) "C
= (n, "C) = (n, ")C = div[D(r)gradC]dV �! = ("D")C
"n "t
V
(3.1.7)
Równanie (3.1.7) to równanie dyfuzji masy.
Uwaga
W przypadku obecności z
ródła masy o q(r, t) dodajemy odpowiedni człon do
prawej strony wyrażenia, co daje się zapisać jako:
q(r, t) �! (3.1.4) + qdV
Przykładem są reakcje chemiczne. Wtedy wynika z tego, że
(3.1.7) +q(r, t)
Najprostszy wyrażenie powstaje w sytuacji jednowymiarowej i przy założeniu,
"D
że . Wówczas równanie (3.1.7) przyjmuje poniższą postać:
"x
"C "2C
= D (3.1.8)
"t "x2
3.1.3 Równanie Laplace a i Poissona. Zagadnienie elektrostatyki.
divB = 0 (3.1.1)
divE = f(r) (3.1.2)
Jeżeli E = -gradV to -divgradV = -"2V = f(r).
Powyższe równanie nosi nazwę równania Poissona. Jeżeli f = 0, wówczas
dostajemy znane równanie Laplace a. Natomiast kiedy r {x, y}, to otrzymu-
jemy
"2� "2�
+ = f(x, y) (3.1.3)
"x2 "y2
Dostajemy równanie o dwóch zmiennych. Jest to równanie Poissona na
płaszczyz
nie.
3.2 Równanie różniczkowe dwóch zmiennych.
Klasyfikacja.
Dotychczas rozważaliśmy klasę równań różniczkowych różniczkowych jed-
nej zmiennej. Były to równania różniczkowe zwyczajne. W przypadku wys-
tępowania dwóch zmiennych sprawa przedstawia się inaczej. Rozważmy funkcję
dwóch zmiennych U(x, y) i równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu, które
ogólnie da się przedstawić w postaci:
"2U "2U "2U
a11(x, y) + 2a12(x, y) + a22(x, y) = F (Ux, Uy, x, y) (3.2.1)
"x2 "x"y "y2
3.2 Równanie różniczkowe dwóch zmiennych. Klasyfikacja. 41
"U "U
gdzie: Ux = , Ux = .
"x "x
Równanie (3.2.1) to ogólna postać równania różniczkowego liniowego drugiego
rządu (najwyższa wartość pochodnej) z dwoma zmiennymi o pochodnych
cząstkowych.
Równania różniczkowe tego typu da się w pewien sposób uprościć. Dokonamy
tego poprzez wprowadzenie nowych zmiennych niezależnych. Otóż każdą ze
zmiennych x, y można przedstawić w postaci kombinacji nowych zmiennych:
� = �(x, y) oraz � = �(x, y)
Stąd druga postać przybiera inną postać, czyli U(x, y) U(�, �).
Dlatego możemy również napisać:
"U
= Ux = U��x + U��x (3.2.2)
"x
"U
= Uy = U��y + U��y (3.2.3)
"y
Oznaczamy, że
2
Uxx = U���2 + 2U���x�x + U���x (3.2.4)
x
Uxy = U���y�x + U���x�y + U���x�y + U���x�y + U��xy + U��xy (3.2.5)
2
Uyy = U���2 + 2U���y�y + U���y (3.2.6)
y
Następnie równania (3.2.4),(3.2.5),(3.2.6) wstawiamy do (3.2.1), wobec czego
uzyskujemy następujące wyrażenie:
a11�2 + 2a12�x�y + a22�2 U�� + 2(a11�x�x + 2a12 (�x�y + �y�x)(3.2.7)
+
x y
2 2
+a22�y�y)U�� + a11�x + 2a12�x�y + a22�y U�� = Ś(U�, U�, �, �)
Równanie (3.2.7) poddamy teraz analizie. Dokonujemy przekształcenia ze zmi-
ennymi � = �(x, y) oraz � = �(x, y).
Niech
ą11U�� + 2ą12U�� + ą22U�� = Ś(U�, U�, �, �) (3.2.8)
ą11 = a11�2 + 2a12�x�y + a22�2 (3.2.9)
x y
ą12 = a11�x�x + 2a12 (�x�y + �y�x) + a22�y�y (3.2.10)
2 2
ą22 = a11�x + 2a12�x�y + a22�y (3.2.11)
Rozpoczęliśmy od równania postaci: a11Uxx + 2a12Uxy + a22Uyy. Jest to rów-
nanie różniczkowe drugiego rzędu. Wprowadzamy nowe zmienne i dokonu-
jemy przekształcenia, aby zmniejszyć liczbę drugich pochodnych. Dlatego też
z (3.2.8) ą11 musi równać się zero. Natomiast rozważmy (3.2.9), (3.2.10),
(3.2.11) jako równania dla funkcji �. Stąd:
ą11 = 0 (3.2.12)
oraz
42 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
�x 2 �x
a11 + 2a12 + a22 = 0 (ale �y = 0) (3.2.13)

�y �y
Wykonane zostały działania algebraiczne, w wyniku których dostajemy al-
gebraiczne równanie kwadratowe, przy czym �x, �y to pochodne cząstkowe.
Uzyskano równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Można je otrzymać wzglę-
dem tego, że:
�x -a12 ą a2 - a11a22
12
= = ką (kiedy a11 = 0) (3.2.14)

�y a11
co również można zapisać jako:
�x - ką�y = 0 (3.2.15)
Rozważając z kolei równanie (3.2.11) uzyskuje się podobne równanie:
�x - ką�y = 0 (gdzie dobrano tak współczynniki, by ą11 = 0).
Stwierdzamy, że jeżeli istnieje rozwiązanie �, �, wtedy istnieje rozwiązanie
ą11 = ą22 = 0. Przy czym jedno równanie z ką daje �, a drugie z ką daje �.
3.3 Metoda charakterystyk
Zmierzamy do rozwiązania równania (3.2.15). Można zastosować w tym
miejscu metodę, której ideę stanowi wybór współrzędnych wygodnych do
scałkowania równania różniczkowego.
Rozważmy wobec tego różniczkę d� w funkcji �
d� d� dy
d� = dx + dy = dx �x + �y (3.3.1)
dx dy dx
dy
Niech = k ( tan �) � - kąt nachylenia krzywej.
dx
Jeżeli
�x + k�y = 0, (3.3.2)
to z tego wynika, że
d� = 0. (3.3.3)
Otrzymujemy wówczas krzywą postaci:
dy
= k(x, y) (3.3.4)
dx
dla której spełniona jest zależność (3.3.3). Widać z powyższego, że udało się
sprowadzić równanie różniczkowe o pochodnych cząstkowych (3.3.2) sprowadzić
do równania zwyczajnego postaci (3.3.4).
Rozwiązując natomiast to ostatnie równanie dostajemy w wyniku, że
�(x, y) = �(const) (3.3.5)
3.3 Metoda charakterystyk 43
Powyższe wyrażenie nazywa się całką równania charakterystycznego (3.3.4).
Przykład
�x - �y = 0 (3.3.6)
Rozwiązanie tego równania wygenerujemy krok po kroku.
dy
= -1 (3.3.7)
dx
Po scałkowaniu tego równania dostajemy w wyniku
y = -x + C (3.3.8)
Odpowiednikiem (3.3.5) jest tutaj
y + x = � (3.3.9)
Należy wspomnieć, że (3.3.9) jest szczególnym przykładem równania
�(x, y) = y + x (3.3.10)
Powstaje pytanie, w jaki można stworzyć rozwiązanie ogólne. W tym celu
rozpatrzmy płaszczyznę (x, y). Równanie (3.3.8) określa rodzinę krzywych dla
różnych wartości C. Pozwala to wprowadzić połowę układu odniesienia; jest
to zbiór prostych równoległych.
Rozwiązanie ogólne równania (3.3.6) jest możliwe do otrzymania. Rozwiązanie
to da się zdobyć licząc od punktu x = 0 (tzw. zagadnienie Cauchy ego).
Wynika z tego, że:
�(0, y) = A(y) (3.3.11)
Zauważyć należy, że dopiero (3.3.11) + (3.3.6) tworzy zagadnienie Cauchy ego,
a samo (3.3.11) jest zagadnieniem początkowym równania (3.3.6). Rozwiązanie
jest funkcją zmiennej �.
�(x, y) = A(�) = A(x + y). (3.3.12)
Twierdzenie
Dowolna funkcja A(x + y) jest rozwiązaniem (3.3.6).
"A "� "A
�x = = = A� (3.3.13)
"� "x "�
�y = A��y = A�, (3.3.14)
skąd
�x - �y = A� - A� = 0 (3.3.15)
Uwaga
Jeżeli (3.3.11) zawiera funkcje , wtedy jest rozwiązaniem (3.3.6) + (3.3.11)
albo zagadnienia Cauchy ego.
Ogólnie A(�) jest rozwiązaniem równania (3.2.15), jeśli tylko � = �(x, y) jest
całką równania charakterystyk.
44 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
Do równania struny
Powyżej udało się rozwiązać równanie powstałe na drodze transforma-
cji równania różniczkowego pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. Mając
rozwiązanie równania (3.2.15) można wprowadzić dwie zmienne, różniące się o
czynnik ką. Z kolei eliminując ą11 i ą22, mamy ą12 ( tu poszczególne czynniki
nie wyzerują się).
Wróćmy do postaci ogólnej równania różniczkowego danej przez:
ą12U�� = Ś(U�, U�, U, �, �) (3.3.16)
Funkcja ta przybiera taką formę ze względu na to, iż udaje się rozwiązać
(3.2.15) i w dodatku pod warunkiem k+ = k- W tym przypadku istnieje

dwie funkcje:
" � = �(x, y), która jest pierwszą całką �x - k+�y = 0;
" � = �(x, y), która jest pierwszą całką �x - k-�y = 0;
Uzyskujemy w tej sytuacji dwie następujące możliwości:
1. " = a2 - a11a22 > 0 w obszarze D �" R2
12
Ogólnie a12 i a22 są funkcjami, a to oznacza, że k+ i k- są rzeczywiste.
Wtedy część urojona Imką = 0, co prowadzi do tego, że � i � są rzeczy-
wiste. Równanie (3.3.5) przyjmuje postać (3.3.16) w nowych zmiennych.
Wtedy (3.2.1) nosi nazwę równania hiperbolicznego hiperbolicznego ob-
szarze. W tych współrzędnych równania są rzeczywiste.
Uwaga
Końcowa forma (3.3.16) przedstawia się następująco:
U�� = Ś(U�, Ueta, U, �, �) (3.3.17)
Równanie (3.3.17) to postać kanoniczna równania (3.3.16).
2. " < 0
W takim przypadku zmienne są zmiennymi zespolonymi
ką = k1,ą - k2,ą (3.3.18)
Z tego wynika, że
� = � + i� (3.3.19)
� = � - i� (3.3.20)
Równania te są sprzężone.
Jeżeli k- = k+, wtedy � i � są zmiennymi sprzężonymi. A
atwo wówczas
przejść do zmiennych
� + � = 2� (3.3.21)
� - � = 2i� (3.3.22)
3.3 Metoda charakterystyk 45
przy czym � i � są zmiennymi rzeczywistymi. Oznacza to dalej, że
"2U "2U "2U
U�� = <" + = U�� + U�� = "(�, �) (3.3.23)
"�"� "�2 "�2
W takim przypadku równanie (3.2.1) nazywamy równaniem eliptycznym.
Zaś
U�� + U�� = Ś(U�, U� , U, �, �) (3.3.24)
nosi nazwę postaci kanonicznej równania (3.3.23).
3. " = 0 wtedy k+ = k-
Otrzymujemy jedno równanie. Istnieje więc wówczas tylko
� = �(x, y) (3.3.25)
Można dla tego przypadku udowodnić, ze wówczas ą12 = 0. Oznacza to,
że jedna zmienna może zostać wybrana jako (3.3.20), a druga - dowolnie,
np. � = x. Tzn. aby spełniony był jakobian, który powinien być określony
jednoznacznie.
�x �x

= 0 (3.3.26)
�y �y
Formuła kanoniczna przedstawia się następująco:
U� + U�,� = Ś(U�, U�, U, �, �) (3.3.27)
Odnosząc powyższe zagadnienia do fizyki można zauważyć, że w przypadku 3.
mamy do czynienia z równaniem dyfuzji. I wtedy � <" t oraz � <" x. Przypadek
2. obrazuje równanie Poissona i "U = f. Zaś 1. przedstawia równanie falowe,
a w układzie jednowymiarowym jest to już równanie struny. Widzimy więc, ze
każde z przedstawionych równań posiada swoją formę kanoniczną. Natomiast
mając kształt takiego równania, można już wnioskować o jego typie.
Twierdzenie
Znak a2 - a11a22 = " jest niezmiennikiem transformacji typu x, y �, �.
12
2
Jako współczynnik traktujemy jakobian postaci ą12 - ą11ą22 = J2".
Przedstawione równania, tj. równanie dyfuzji, Poissona, falowe stanowią
niejako podstawę fizyki teoretycznej. W oparciu o nie otrzymujemy modele
różnych procesów. Można też stwierdzić, że równanie różniczkowe daje pod-
stawy, by zrozumieć fizykę jako całość oraz przewidzieć modele procesów.
Równanie hiperboliczne. Rozwiązanie równania struny. Propagacja fal.
Rozważmy propagację fali płaskiej w próżni.
Utt - C2Uxx = 0 (3.3.28)
T
gdzie C2 = , przy czym: Tx = const �!, struna jednorodna.
�
Postępujemy jak podobnie jak dotychczas. Wybieramy metodę charakterystyk.
46 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
Przechodzimy do zmiennych (x, t). Przyjmujemy, że x (-", +"). Sprowadzamy
do funkcji kanonicznej
�x -a12 ą a2 - a11a22
12
= k+ = (3.3.29)
� a11
"
ą C2
Tutaj: a12 = 0, a11 = 1, a22 = -C2. Natomiast ką = = ąC.
1
Równanie charakterystyk przedstawia się następująco:
dx
= ąC (3.3.30)
dt
czyli dostajemy dwa różne równania hiperboliczne. Stąd
x - ct = � (3.3.31)
x + ct = � (3.3.32)
Uzyskujemy równanie kanoniczne:
U�� = 0 (3.3.33)
Dostajemy układ współrzędnych � i �. Na podstawie powyższego równania
możemy zapisać jego ogólne rozwiązanie jako:
U = Ś(�) + F (�) (3.3.34)
Natomiast
U = Ś(x - ct) + F (x + ct) (3.3.35)
stanowi rozwiązanie ogólne (3.3.28).
3.4 Wzór d Alemberta
Rozpatrzmy zagadnienie Cauchy ego dla jednorodnego równania falowego:
"2u(x, t) "2u(x, t)
- c2 = 0, (3.4.1)
"t2 "x2
u(x, 0) = �(x), (3.4.2)
"u(x, 0)
= �(x), (3.4.3)
"t
przy czym x " (-", +"), natomiast c jest prędkością. Korzystając z wyniku
otrzymanego za pomocą metody charakterystyk, wprowadzimy nowe zmienne
niezależne w postaci
� = x - ct, (3.4.4)
� = x + ct. (3.4.5)
Mamy wówczas
"2u(x, t) " "u(�, �) "� "u(�, �) "� " "u(�, �) "u(�, �)
= + = -c - .
"t2 "t "� "t "� "t "t "� "�
(3.4.6)
Ponieważ
" "u(�, �) "2u(�, �) "� "2u(�, �) "�
= + (3.4.7)
"t "� "�2 "t "�"� "t
oraz
" "u(�, �) "2u(�, �) "� "2u(�, �) "�
= + , (3.4.8)
"t "� "�2 "t "�"� "t
więc możemy napisać ostatecznie
"2u(x, t) "2u(�, �) "2u(�, �) "2u(�, �)
= c2 - 2c2 + c2 . (3.4.9)
"t2 "�2 "�"� "�2
Analogiczne rozważania prowadzą do kolejnego wzoru
"2u(x, t) "2u(�, �) "2u(�, �) "2u(�, �)
= + 2 + . (3.4.10)
"x2 "�2 "�"� "�2
Podstawiając wyrażenia (3.4.9) i (3.4.10) do równania falowego (3.4.1) otrzy-
mamy
"2u(�, �)
4c2 = 0, (3.4.11)
"�"�
co ostatecznie zapiszemy jako
"2u(�, �)
= 0. (3.4.12)
"�"�
48 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
Rozwiązanie ogólne powyższego równania przyjmujemy w postaci
u(�, �) = F (�) + G(�) (3.4.13)
i mamy wówczas
u(x, t) = F (x - ct) + G(x + ct), (3.4.14)
u(x, 0) = F (x) + G(x) = �(x), (3.4.15)
"u(x, 0)
= -cF (x) + cG (x) = �(x), (3.4.16)
"t
przy czym prim oznacza różniczkowanie ze względu na argument. Całkując
równanie (3.4.16) otrzymamy
x
1
G(x) - F (x) = �(z) dz. (3.4.17)
c
0
Jeśli teraz dodamy stronami równania (3.4.15) i (3.4.17) to otrzymamy
x
1
2G(x) = �(x) + �(z) dz, (3.4.18)
c
0
a jeśli odejmiemy stronami (3.4.15) i (3.4.17), to wówczas
x
1
2F (x) = �(x) - �(z) dz. (3.4.19)
c
0
Zapisując rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla jednorodnego równania
falowego, w oparciu o (3.4.14), (3.4.18) i (3.4.19), otrzymujemy wzór d Alemberta
x+ct
�(x + ct) + �(x - ct) 1
u(x, t) = + �(z) dz. (3.4.20)
2 2c
x-ct
Podamy teraz bez dowodu twierdzenie o stabilności rozwiązania zagad-
nienia Cauchy ego dla równania falowego, w postaci wzoru d Alemberta. Otóż
Twierdzenie
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania falowego w postaci wzoru
d Alemberta jest rozwiązaniem stabilnym.
3.5 Metoda funkcji Greena
3.5.1 Funkcja delta Diraca
W roku 1928 fizyk angielski Paul Adrien Maurice Dirac wprowadził
do mechaniki kwantowej nowy element formalizmu matematycznego, który
nazwał funkcją delta i oznaczył symbolem �(t). Czasami w literaturze piszą,
że funkcja delta jest określona na całej osi liczbowej i spełnia następujące
warunki:
3.5 Metoda funkcji Greena 49
0 gdy t = 0

�(t) = (3.5.1)
+" gdy t = 0
oraz
+"
�(t) dt = 1. (3.5.2)
-"
W teorii funkcji zmiennej rzeczywistej warunki (3.5.1) i (3.5.2) są wzajemnie
sprzeczne, gdyż nie istnieje funkcja, która jest wszędzie równa 0, z wyjątkiem
jednego punktu t = 0, i której całka Riemanna (granica sumy Riemanna),
w przedziale od -" do +", byłaby różna zdefiniowana (można zauważyć że
taka granica własnie nie istneje). Warunki (3.5.1) i (3.5.2) są jednak przejawem
pewnej intuicji fizycznej: �(t) może reprezentować ńieskończenie"wielki impuls
pojawiający się w chwili t = 0 i trwający ńieskończenie"krótko. Podobnie
można wprowadzić model ładunku punktowego: w punkcie x = 0 przyjmuje on
ńieskończenie"dużą wartość, natomiast wszędzie poza tym punktem wartość
równą 0.
Poprawną teorią matematyczną, na gruncie której można wprowadzić
funkcję delta Diraca, jest teoria dystrybucji (funkcji uogólnionych). Pojęcie
dystrybucji związane jest z pojęciem funkcjonału. Okazuje się, że dystry-
bucję określa ciągły i liniowy funkcjonał. Funkcję �(x - x0) można
x
Rysunek 3.1. Dystrybucja delty Diraca � n.
również określić jako granicę takiego ciągu �n(x - x0), że
0 dla x = x0,

lim �n(x - x0) = (3.5.3)
n"
+" dla x = x0,
ńł
/
�ł 0 dla x0 " [a, b],
�ł
�ł
b �ł
1
lim �n(x - x0) dx = dla x0 = a lub x0 = b, (3.5.4)
2
n" �ł
a �ł
�ł
ół
1 dla x0 " (a, b).
50 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
A oto przykłady ciągów zmierzających do funkcji �(x - x0) w sensie równań
(3.5.3) i (3.5.4):
n 2
"
�n(x - x0) = e-n (x-x0)2, (3.5.5)
Ą
1 n
�n(x - x0) = , (3.5.6)
Ą 1 + n2(x - x0)2
sin n(x - x0)
�n(x - x0) = , (3.5.7)
Ą(x - x0)
1 - cos n(x - x0)
�n(x - x0) = . (3.5.8)
Ąn(x - x0)2
Poniżej zbieżemy kilka ważniejszych własności funkcji delta Diraca:
�(-x) = �(x), (3.5.9)
1
�(ax) = �(x), (3.5.10)
|a|
d�(x - x0)
�(x - x0) = , (3.5.11)
dx
gdzie �(x - x0) jest funkcją Heaviside a (zwaną czasem funkcją schodkową),
zdefiniowaną następująco
ńł
�ł 0 dla x < x0,
�ł
�ł
�ł
1
�(x - x0) = dla x = x0, (3.5.12)
2
�ł
�ł
�ł
ół
1 dla x > x0.
Własność filtrująca funkcji delta Diraca:
1
0,5
0
x0
x
Rysunek 3.2. Funkcja Heavyside a �(x).
+"
�(x - x0)f(x) dx = f(x0). (3.5.13)
-"
Ważna jest także następująca własność:
3.5 Metoda funkcji Greena 51
+"
� (x - x0)f(x) dx = -f (x0). (3.5.14)
-"
Przykład
x
Rysunek 3.3. Pochodna delty Diraca � (x).
� (x) - dipol, gdy �(x) reprezentuje gęstość ładunku przestrzennego.
3.5.2 Funkcja Greena dla równania dyfuzji
Rozważmy zagadnienie Cauchy ego dla równania dyfuzji na całej osi
rzeczywistej, tzn. dla x " (-", +"):
"u(x, t) "2u(x, t)
= �2 (3.5.15)
"t "x2
u(x, 0) = �(x), (3.5.16)
przy czym � oznacza współczynnik dyfuzji. Rozwiązania powyższego zagad-
nienia (3.5.15) i (3.5.16) poszukiwać będziemy w postaci
+"
u(x, t) = G(x, �, t) �(�) d�, (3.5.17)
-"
przy czym G(x, �, t) jest funkcją Greena dla powyższego problemu, zdefin-
iowaną jako rozwiązanie następującego zagadnienia
"G(x, �, t) "2G(x, �, t)
= �2 , (3.5.18)
"t "x2
G(x, �, 0) = �(x - �). (3.5.19)
Pomocniczo rozwiążemy równanie
"w(x, 0, t) "2w(x, 0, t)
= �2 , (3.5.20)
"t "x2
z warunkiem
w(x, 0, 0) = �(x), (3.5.21)
przy czym związek funkcji Greena G(x, �, 0) z nowo wprowadzoną funkcją
w(x, �, t) ma postać
52 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
"w(x, �, 0)
G(x, �, 0) = . (3.5.22)
"x
Wprowadzimy teraz kolejne oznaczenie
w(x, 0, t) = Z(�), (3.5.23)
przy czym
x
� = , (3.5.24)
tą
natomiast ą " R. Spróbujmy sprowadzić równanie cząstkowe (3.5.20), dla
funkcji w(x, 0, t), do równania różniczkowego zwyczajnego dla funkcji Z(�).
W tym celu policzymy:
"w(x, 0, t) "�
= Z (�) = -ąxt-ą-1Z (�), (3.5.25)
"t "t
"w(x, 0, t) "�
= Z (�) = t-ąZ (�), (3.5.26)
"x "x
"2w(x, 0, t)
= t-2ąZ (�). (3.5.27)
"x2
Podstawiając powyższe wyrażenia do równania (3.5.20) otrzymamy
-ąxt-ą-1Z (�) = �2t-2ąZ (�), (3.5.28)
co przepiszemy w postaci
-ąxtą-1Z (�) = �2Z (�). (3.5.29)
Aby otrzymać równanie różniczkowe zwyczajne musi zachodzić
xtą-1 = � = xt-ą, (3.5.30)
skąd mamy, iż
1
ą = . (3.5.31)
2
Oznacza to, że otrzymujemy szukane równanie różniczkowe zwyczajne
1
- �Z (�) = �2Z (�). (3.5.32)
2
Powyższe równanie można rozwiązać wprowadzająć nową funkcję Y (�), w
następujący sposób
Z (�) = Y (�), Z (�) = Y (�). (3.5.33)
Podstawienie (3.5.33) w równaniu (3.5.32) prowadzi do
Y (�) �
= - . (3.5.34)
Y (�) 2�2
3.5 Metoda funkcji Greena 53
Z kolei powyższe równanie całkujemy, otrzymując
�2
ln Y (�) = - + ln C, (3.5.35)
4�2
gdzie ln C oznacza stałą całkowania. Dalej możemy napisać
�2
Y (�) = C exp - . (3.5.36)
4�2
W celu wyznaczenia funkcji Z(�), korzystając z (3.5.33), całkujemy powyższe
równanie, przy czym teraz stałą całkowania C1 wprowadzimy do dolnej
granicy całkowania:
�
ś2
Z(�) = C exp - dś. (3.5.37)
4�2
C1
W przypadku gdy t 0, na funkcję Z(�) narzucamy pewne warunki:
� +" gdy x > 0, przyjmujemy Z(�) = 1,
dla t 0 (3.5.38)
� -" gdy x < 0, przyjmujemy Z(�) = 0.
Z przyjętego założenia, że Z(�) = 0 dla � -" wynika, iż C1 = 0, a więc
korzystając z pierwszego z warunków (3.5.38), mamy
+"
ś2
C exp - dś = 1. (3.5.39)
4�2
-"
W celu wyznaczenia stałej C, wprowadz
my nową zmienną niezależną w
powyższej całce
ś
ś = , (3.5.40)
2�
skąd mamy
dś = 2�dś. (3.5.41)
Taka zamiana prowadzi do następującego równania
+"
2�C exp -ś2 dś = 1. (3.5.42)
-"
Ponieważ
+"
"
exp -x2 dx = Ą, (3.5.43)
-"
więc ostatecznie
1
"
C = , (3.5.44)
2� Ą
czyli
54 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
"
x/ t
1 ś2
w(x, 0, t) = " exp - dś. (3.5.45)
2� Ą 4�2
-"
Dokonując w powyższej całce zamiany zmiennej za pomocą transformacji
(3.5.40)-(3.5.41), możemy napisać
"
x/2� t
1
w(x, 0, t) = " exp -ś2 dś. (3.5.46)
Ą
-"
Zapisując powyższe wyrażenie następująco
"
0 x/2� t
1 1
w(x, 0, t) = " exp -ś2 dś + " exp -ś2 dś, (3.5.47)
Ą Ą
-" 0
"
Ą
=
2
otrzymujemy
"
x/2� t
1 1
w(x, 0, t) = + " exp -ś2 dś. (3.5.48)
2 Ą
0
Jeśli skorzystamy teraz z defincji funkcji błędu
x
2 2
erf(x) = " e-z dz, (3.5.49)
Ą
0
to funkcję (3.5.48) można zapisać następująco
1 x
w(x, 0, t) = 1 + erf " . (3.5.50)
2
2� t
Aby rozwiązać zagadnienie (3.5.18)-(3.5.19) skorzystamy z rozwiązania za-
gadnienia (3.5.20)-(3.5.21), przyjmując
w(x, �, 0) = �(x - �) (3.5.51)
oraz
"
G(x, �, t) = w(x, �, t). (3.5.52)
"x
W oparciu o (3.5.46) i powyższe wyrażenia mamy
"
x/2� t
" 1 1 (x - �)2
"
G(x, �, t) = " exp -ś2 dś = exp - ,
"x Ą 4�2t
2� Ąt
0
(3.5.53)
co prowadzi ostatecznie do poszukiwanego rozwiązania
+" +"
1 (x - �)2
u(x, t) = G(x, �, t) �(�) d� = " exp - �(�) d�.
4�2t
2� Ąt
-" -"
(3.5.54)
3.5 Metoda funkcji Greena 55
3.5.3 Funkcja Greena dla równania Poissona
Rozważmy równanie Poissona
"u(r, t) = f(r, t), (3.5.55)
przy czym r = [x, y, z] " R3, natomiast
"2 "2 "2
" = + + (3.5.56)
"x2 "y2 "z2
jest laplasjanem (operatorem Laplace a). Funkcja u(r, t), która jest funkcją
niewiadomą w równaniu Poissona, ma następujący sens fizyczny: jest mi-
anowicie potencjałem pochodzącym od ładunku opisanego funkcją f(r, t).
Ponieważ w elektrostatyce zakładamy, że ładunki są stałe w czasie, tak więc
przyjmujemy, że funkcja opisująca ładunek nie zależy od czasu
f(r, t) = f(r). (3.5.57)
Równanie, które definiuje funkcję Greena dla równania (3.5.55), ma postać
"G(r, r ) = �(r). (3.5.58)
O funkcji Greena możemy założyć, że jest ona funkcją zależną tylko od r, ze
względu na symetrię sferyczną rozważanego zagadnienia
G(r, r ) = �(r), (3.5.59)
przy czym r oznacza współrzędną radialną w sferycznym układzie współrzęd-
nych (r, �, �)
ńł
�ł x = r sin � cos �,
�ł
�ł
�ł
y = r sin � sin �, (3.5.60)
�ł
�ł
�ł
ół
z = r cos �,
przy czym r " [0, +"), � " [0, Ą], � " [0, 2Ą], związaną ze współrzędnymi
kartezjańskimi następującą relacją
r = x2 + y2 + z2. (3.5.61)
Wyrazimy teraz laplasjan (3.5.56) we współrzędnych sferycznych
1 " "
" = r2 + "��, (3.5.62)
r2 "r "r
przy czym "�� oznacza kątową część laplasjanu, daną wzorem
1 " " 1 "2
"�� = sin � + . (3.5.63)
r2 sin � "� "� "�2
r2 sin2 �
56 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
Ponieważ funkcja Greena zależy tylko od r, tak więc równanie (3.5.58), w
oparciu o (3.5.62), przyjmie postać
1 " "�(r)
r2 = �(r). (3.5.64)
r2 "r "r
Korzystając z następującej własności funkcji delta Diraca
�(r) dr = 1, (3.5.65)
R3
na podstawie (3.5.64), mamy
R
1
r2 r2� (r) dr d2n = 1, (3.5.66)
r2
0 4Ą
=4Ą
przy czym, n = [�, �]. Otrzymujemy następujące równanie różniczkowe
d�(R)
4ĄR2 = 1, (3.5.67)
dR
którego rozwiązanie ma postać
1
�(R) = - . (3.5.68)
4ĄR
Oznacza to, że funkcja Greena wyraża się wzorem
1
G(r, r ) = , (3.5.69)
4Ą|r - r |
a w kosekwencji, rozwiązanie równania Poissona zapisujemy jako
u(r) = G(r, r )f(r ) dr . (3.5.70)
R3
3.6 Metoda separacji zmiennych (metoda Fouriera)
Metoda separacji (rozdzielenia) zmiennych, zwana również metodą Fouri-
era, polega na poszukiwaniu rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego
w postaci iloczynu funkcji zależnych tylko od jednej zmiennej niezależnej.
Metoda ta jest przydatna w przypadku zagadnień na odcinku, tzn. gdy np.
x " [0, a]. Uzyskane tą metodą rozwiązania zagadnień brzegowych mają
zwykle postać nieskończonych szeregów, np.
"
u(x, y) = AnXn(x)Yn(y). (3.6.1)
n=0
3.6 Metoda separacji zmiennych (metoda Fouriera) 57
3.6.1 Metoda Fouriera dla równania falowego - struna
Rozważmy równanie falowe opisujące drgającą strunę, zamocowaną na
końcach x = 0 oraz x = l
"2u(x, t) "2u(x, t)
- c2 = 0. (3.6.2)
"t2 "x2
Poszukujemy rozwiązania powyższego równania w zbiorze
D = {(x, t) : 0 d" x d" l, t e" 0}, (3.6.3)
spełniającego warunki początkowe
u(x, 0) = f(x), (3.6.4)
"u(x, 0)
= �(x) (3.6.5)
"t
na odcinku x " [0, l], oraz warunki brzegowe (wynikające z obustronnego
zamocowania struny)
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (3.6.6)
dla każdej chwili czasu t > 0.
Jak już wspomniano we wstępie, poszukiwać będziemy rozwiązania rów-
nania (3.6.2) najpierw w postaci iloczynu
u(x, t) = X(x)T (t), (3.6.7)
spełniającego warunki brzegowe (3.6.6). Okazuje się, że rozwiązań takich jest
nieskończenie wiele. Z tych rozwiązań tworzymy następnie rozwiązanie w
postaci szeregu, którego współczynniki dobieramy tak, aby spełnione były
warunki początkowe (3.6.4) i (3.6.5).
Wstawiając (3.6.7) do (3.6.2), otrzymamy
X(x)T (t) = c2X (x)T (t), (3.6.8)
skąd
T (t) X (x)
= . (3.6.9)
c2T (t) X(x)
Po lewej stronie powyższej równości stoi funkcja zależna tylko od zmiennej t,
a po prawej stronie funkcja zależna tylko od zmiennej x. Równość taka może
być spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy obie wspomniane funkcje są równe
tożsamościowo tej samej stałej. Oznaczymy ją, dla póżniejszej wygody, przez
-2. Mamy więc
T (t) X (x)
= = -2, (3.6.10)
c2T (t) X(x)
58 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
skąd otrzymujemy dwa równania różniczkowe zwyczajne
X (x) + 2X(x) = 0, (3.6.11)
T (t) + 2c2T (t) = 0. (3.6.12)
Rozwiązania ogólne powyższych równań mają postać
X(x) = C sin x + D cos x, (3.6.13)
T (t) = A sin ct + B cos ct, (3.6.14)
gdzie A, B, C i D są dowolnymi stałymi.
Możemy teraz napisać
u(x, t) = (C sin x + D cos x)(A sin ct + B cos ct). (3.6.15)
Dobierzemy stałe A, B, C i D tak, aby spełnione były warunki brzegowe (3.6.6)
C � 0 + D � 1 = 0, (3.6.16)
C sin l + D cos l = 0, (3.6.17)
skąd wynika, że
D = 0 oraz C sin l = 0. (3.6.18)
Ponieważ odrzucamy rozwiązania tożsamościowo równe zeru, tak więc za-
kładamy, iż C = 0 - oznacza to, że ostatnie z równań (3.6.18) będzie spełnione,

gdy l = nĄ, przy czym n jest dowolną liczbą całkowitą. Mamy
nĄ
 = , (3.6.19)
l
przy czym, ze względu na dowolność stałych A i C możemy przyjąć, iż n =
1, 2, . . .. Wstawiając do wzoru (3.6.15) wyrażenie (3.6.19) oraz oznaczając AC
i BC odpowiednio przez An i Bn, otrzymamy nieskończony ciąg rozwiązań
równania (3.6.2), spełniających warunki brzegowe (3.6.6):
nĄx nĄct nĄct
un(x, t) = sin An sin + Bn cos . (3.6.20)
l l l
Przypuśćmy, że szereg
"
nĄx nĄct nĄct
sin An sin + Bn cos (3.6.21)
l l l
n=1
jest zbieżny oraz dwukrotnie różniczkowalny wyraz po wyrazie w sposób
ciągły, względem obu zmiennych, w zbiorze D. Wówczas jego suma
"
nĄx nĄct nĄct
u(x, t) = sin An sin + Bn cos (3.6.22)
l l l
n=1
3.6 Metoda separacji zmiennych (metoda Fouriera) 59
jest rozwiązaniem równania (3.6.2), spełniającym warunki brzegowe (3.6.6).
Aby dodatkowo uwzględnić warunki początkowe (3.6.4) i (3.6.5), zróżniczku-
jemy szereg (3.6.22) względem t wyraz po wyrazie
"
"u(x, t) nĄx nĄc nĄct nĄc nĄct
= sin An cos - Bn sin . (3.6.23)
"t l l l l l
n=1
Uwzględnienie warunków początkowych (3.6.4) i (3.6.5) we wzorach (3.6.22)
i (3.6.23), prowadzi do następujących wyrażeń
"
nĄx
Bn sin = f(x), (3.6.24)
l
n=1
"
nĄc nĄx
An sin = �(x). (3.6.25)
l l
n=1
Powyższe wzory przedstawiają rozwinięcie odpowiednio funkcji f(x) i �(x) w
szereg trygonometryczny Fouriera samych sinusów w przedziale [0, l]. Można
pokazać, że współczynniki występujące w powyższych szeregach wyrażają się
wzorami
l
2 nĄx
An = �(x) sin dx, (3.6.26)
nĄc l
0
l
2 nĄx
Bn = f(x) sin dx. (3.6.27)
l l
0
Podstawiając powyższe współczynniki do wzoru (3.6.22), otrzymujemy rozwiązanie
równania falowego (3.6.2) spełniające warunki początkowe (3.6.4) i (3.6.5)
oraz warunki brzegowe (3.6.6).
Warunki brzegowe dla struny:
" I rzędu
u(0, t) = u(l, t) = 0
" II rzędu
"u
T |x=l = 0
"x
" III rzędu
"u
T |x=l = ku(l, t)
"x
60 3 Równania różniczkowe pochodnych cząstkowych
Warunki brzegowe dla przewodnictwa cieplnego:
" I rzędu
u(0, t) = u(l, t) = 0
" II rzędu
"u
-� |x=0 = 0
"x
" III rzędu
"u
-� |x=0 = k(u - u0)
"x
4
Równania całkowe
4.1 Wstęp
Równanie całkowe to takie równananie o funkcji niewiadomej �(x), że
pojawia się całka, w której funkcja podcałkowa zależy od �(x). W równaniu
takim mogą też występować inne składniki - niekoniecznie w postaci całki - za-
leżne bezpośrednio od �(x). Jeżeli w równaniu całkowym funkcja niewiadoma
występuje liniowo, to takie równanie nazywamy równaniem całkowym lin-
iowym.
4.2 Klasyfikacja
Rozpatrywać będziemy tylko równania całkowe jednej zmiennej. O funkc-
jach �(x), f(x) zakładać będziemy, że są one określone i ciągłe na odcinku
[a, b], x " [a, b], natomiast o funkcji K(x, s) zakładamy, że jest ona określona
i ciągła w kwadracie [a, b] � [a, b], x " [a, b], s " [a, b]. Funkcje f(x) oraz
K(x, s) są funkcjami danymi i nazywane są odpowiednio funkcją zakłócającą
oraz jądrem równania całkowego.
Równania całkowe, w których obie granice całkowania są stałe, nazywa
się równaniami całkowymi Fredholma, jeżeli natomiast tylko jedna z granic
całkowania jest stałą, mówimy o równaniu całkowym Volterry. Równania
całkowe można dodatkowo sklasyfikować według następującego kryterium:
jeżeli funkcja niewiadoma występuje jedynie pod znakiem całki to mówimy o
równaniu całkowym pierwszego rodzaju, jeżeli natomiast funkcja niewiadoma
występuje nie tylko pod znakiem całki, ale jeszcze w jakiś inny sposób, to rów-
nanie takie nazywamy równaniem całkowym drugiego rodzaju. Poniżej przed-
stawiona jest taka właśnie klasyfikacja:
" równanie całkowe Fredholma pierwszego rodzaju
b
 K(x, s)�(s) ds + f(x) = 0, (4.2.1)
a
62 4 Równania całkowe
" równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju
b
 K(x, s)�(s) ds + f(x) = �(x), (4.2.2)
a
" równanie całkowe Volterry pierwszego rodzaju
x
 K(x, s)�(s) ds + f(x) = 0, (4.2.3)
a
" równanie całkowe Volterry drugiego rodzaju
x
 K(x, s)�(s) ds + f(x) = �(x), (4.2.4)
a
przy czym  jest pewnym parametrem, w ogólności zespolonym. W przypadku
gdy f(x) = 0 mówimy o równaniu całkowym niejednorodnym, natomiast gdy

f(x) = 0, o równaniu jednorodnym.
Korzystając z klasyfikacji wprowadzonej przez Hadamarda okazuje się, że
równania pierwszego rodzaju Fredholma oraz Volterry, (4.2.1) i (4.2.3), są
zagadnieniami z
le uwarunkowanymi (ill posed), natomiast równania drugiego
rodzaju Fredholma i Volterry, (4.2.2) i (4.2.4), są już zagadnieniami dobrze
uwarunkowanymi.
Równania całkowe można również zapisać, korzystając z operatora całkowego,
którego jądrem jest funkcja K(x, s). Dla przykładu, równanie, które definiuje
taki operator dla równań typu Fredholma, ma postać
b
Ć
K�(x) = K(x, s)�(s) ds. (4.2.5)
a
W konsekwencji równanie Fredholma pierwszego rodzaju przyjmie postać
1
Ć
K�(x) = - f(x), (4.2.6)

natomiast równanie Fredholma drugiego rodzaju zapiszemy jako
Ć
1 - K �(x) = f(x). (4.2.7)
4.3 Jednorodne równania całkowe o ciągłym jądrze.
Widmo operatora całkowego
Rozpatrzmy jednorodne równanie Fredholma drugiego rodzaju
b
 K(x, s)�(s) ds = �(x), (4.3.1)
a
4.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma 63
przy czym, o funkcji K(x, s) zakładamy, że jest ona ciągła w kwadracie &!
&! = (x, s) " R2 : a d" x d" b, a d" s d" b . (4.3.2)
Powyższe równanie w postaci operatorowej przyjmuje postać
1
Ć
K�(x) = �(x). (4.3.3)

Zauważmy, że na powyższe równanie można patrzeć jak na zagadnienie spek-
Ć
tralne, tzn. zagadnienie na wartości własne, dla operatora całkowego K. W
tym miejscu nasuwa się pytanie: co można powiedzieć o wartościach własnych
Ć
operatora całkowego K w równaniu (4.3.3)? Odpowiedz
na to pytanie daje
następujące twierdzenie:
Ć
Twierdzenie Widmo operatora całkowego K, o ciągłym jądrze K(x, s),
określonym w kwadracie &!, jest dyskretne.
4.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa
Fredholma
Rozważmy niejednorodne równanie Fredholma drugiego rodzaju
b
 K(x, s)�(s) ds + f(x) = �(x). (4.4.1)
a
O funkcjach K(x, s) oraz f(x) ponownie zakładamy, że są one określone i
ciągłe odpowiednio, w kwadracie &! oraz na odcinku [a, b].
Równanie (4.4.1) rozwiążemy metodą iteracyjną (jest to metoda przy-
bliżonego znajdywania rozwiązań podobna do metody kolejnych przybliżeń
Picarda dla równań różniczkowych zwyczajnych). Jako zerowe przybliżenie
szukanego rozwiązania �(x) przyjmiemy
�0(x) a" 0. (4.4.2)
Podstawiając to przybliżenie do lewej strony równania całkowego (4.4.1),
otrzymujemy pierwsze przybliżenie
�1(x) = f(x). (4.4.3)
Drugie przybliżenie otrzymamy, podstawiając (4.4.3) do (4.4.1)
b
�2(x) = f(x) +  K(x, s)f(s) ds, (4.4.4)
a
z kolei trzecie przybliżenie otrzymuje się podstawiając (4.4.4) do (4.4.1)
b b
�3(x) = f(x) +  K(x, s) f(s) +  K(s, �)f(�) d� ds, (4.4.5)
a a
64 4 Równania całkowe
co można przepisać w postaci
b b b
�3(x) = f(x) +  K(x, s)f(s) ds + 2 K(x, s)K(s, �)f(�) d� ds.
a a a
(4.4.6)
Proces taki można kontynuować, otrzymując kolejne przybliżenia dla szukanej
funkcji �(x). Zapis operatorowy umożliwia podanie w czytelny sposób wyraże-
nia na n-te przybliżenie, czyli n-tego kroku iteracyjnego:
Ć Ć Ć Ć
�n(x) = I + K + 2K2 + . . . + nKn f(x), (4.4.7)
Ć
przy czym I jest operatorem tożsamościowym, tzn.
Ć
If(x) = f(x). (4.4.8)
Przechodząc do granicy przy n " otrzymujemy tzw. szereg Neumanna:
"
Ć
�(x) = lim �n(x) = nKnf(x). (4.4.9)
n"
n=0
Okazuje się, że szereg (4.4.9) jest zbieżny. Podamy szkic dowodu zbieżności
tego szeregu. Jak wiadomo, szereg jest zbieżny gdy ciąg jego sum częściowych
jest zbieżny do granicy właściwej. Oznacza to, że należy pokazać, iż
n"
-
�(x) - �n(x) - - 0, (4.4.10)
przy czym norma zdefiniowana jest następująco
�(x) = max �(x) . (4.4.11)
x"[a,b]
Zbieżność szeregu pokazuje się również za pomocą odpowiednich kryteriów.
Skorzystamy z kryterium porównawczego, które mówi, że jeżeli dwa szeregi,
(a) i (b), o wyrazach dodatnich, począwszy od pewnego n, spełniają warunek
an d" bn, (4.4.12)
to ze zbieżności szeregu (b) wynika, że szereg (a) jest zbieżny.
Wiadomo, że funkcja ciągła na odcinku jest funkcją ograniczoną. Oznacza
to, iż
K(x, s) d" M, dla (x, s) " &! (4.4.13)
oraz
f(x) d" F, dla x " [a, b], (4.4.14)
przy czym liczby M i F są kresami górnymi, odpowiednio jądra K(x, s)
oraz funkcji f(x). W oparciu o wyrażenia (4.4.13) i (4.4.14), możemy napisać
następujący ciąg nierówności:
4.4 Równania całkowe niejednorodne. Alternatywa Fredholma 65
b
 K(x, s)f(s) ds d" ||MF (b - a),
(4.4.15)
a
b b
2 K(x, s)K(s, �)f(�) d� ds d" ||2M2F (b - a)2, (4.4.16)
a a
dla n-tego wyrazu, w notacji operatorowej, mamy
Ć
nKnf(x) d" ||nMn(b - a)nF.
(4.4.17)
W ostatniej nierówności, po prawej stronie występuje wyraz szeregu geom-
etrycznego, który jest zbieżny, gdy jego iloraz q spełnia warunek: |q| < 1.
Oznacza to, że musi zachodzić
||M(b - a) < 1. (4.4.18)
Na mocy kryterium porównawczego, szereg Neumanna (4.4.9) jest zbieżny,
przy założeniu, że
1
|| < . (4.4.19)
M(b - a)
Analogiczne rozważania przeprowadzone dla równania Volterry prowadzą
do następujących oszacowań:
x
 K(x, s)f(s) ds d" ||MF (x - a), (4.4.20)
a
x x
(x - a)2
2 K(x, s)K(s, �)f(�) d� ds d" ||2M2F (4.4.21)
2
a a
i dla n-tego wyrazu w notacji operatorowej
(x - a)n
Ć
nKnf(x) d" ||nMn
F. (4.4.22)
n!
Szereg otrzymany po prawej stronie nierówności (4.4.22) jest zbieżny dla
każdego x.
W przypadku równań całkowych Fredholma prawdziwe jest następujące
twierdzenie:
Twierdzenie (Alternatywa Fredholma)
Szereg (4.4.9) jest rozwiązaniem niejednorodnego równania Fredholma (4.4.1),
dla wszystkich wartości  " C, wszędzie oprócz punktów  = n, dla których
to punktów (wartości własnych operatora całkowego) rozwiązanie niezerowe
posiada równanie jednorodne.
Równoważnie, powyższe twierdzenie można sformułować następująco:
Twierdzenie (Alternatywa Fredholma)
Niejednorodne równanie liniowe Fredholma
66 4 Równania całkowe
b
 K(x, s)�(s) ds + f(x) = �(x),
a
ma dokładnie jedno rozwiązanie przy dowolnej funkcji f(x) (z pewnej dostate-
cznie szerokiej klasy), albo też odpowiednie równanie jednorodne
b
 K(x, s)�(s) ds = �(x)
a
ma co najmniej jedno rozwiązanie nietrywialne (nie równe tożsamościowo
zeru).
Alternatywa Fredholma jest szczególnie ważna w praktyce. Często bowiem
łatwiej jest pokazać, że równanie jednorodne ma tylko rozwiązanie trywialne,
niż dowodzić, że dane równanie niejednorodne ma rozwiązanie.
4.5 Równania całkowe z jądrem zdegenerowanym
Rozpatrzmy równanie całkowe Fredholma drugiego rodzaju (4.4.1). Jądro
K(x, s) takiego równania nazywa się zdegenerowanym, jeśli jest ono sumą
skończonej ilości iloczynów funkcji zależnych tylko od x przez funkcje zależne
tylko od s, a więc jest funkcją postaci
m
K(x, s) = hi(x)gi(s). (4.5.1)
i=1
Rozważmy teraz najprostszy przypadek jądra zdegenerowanego
K(x, s) = h(x)g(s). (4.5.2)
Równanie Fredholma przyjmuje wówczas postać
b
�(x) =  h(x)g(s)�(s) ds + f(x) = h(x)c + f(x), (4.5.3)
a
przy czym
b
c = g(s)�(s) ds. (4.5.4)
a
W celu wyznaczenia stałej c podstawimy wyrażenie (4.5.3) do wyjściowego
równania (4.4.1), otrzymując
b
h(x)c + f(x) = h(x) g(s) h(s)c + f(s) ds + f(x), (4.5.5)
a
co po przekształceniach prowadzi do wyrażenia
4.6 Równanie całkowe dla równania różniczkowego zwyczajnego 67
b b
c 1 -  g(s)h(s) ds = g(s)f(s) ds, (4.5.6)
a a
z którego otrzymujemy wyrażenie na stała c
b
g(s)f(s) ds
a
c = . (4.5.7)
b
1 -  g(s)h(s) ds
a
Analogiczne rozważania dla jądra w postaci (4.5.1) doprowadzą do układu m
równań algebraicznych na stałe c1, c2, . . . , cm. Gdyby udało się przedstawić
jądro w postaci następującego szeregu
"
K(x, s) = hi(x)gi(s), (4.5.8)
i=1
to wówczas otrzymuje się metodę rozwiązywania równań całkowych poprzez
faktoryzację jądra.
4.6 Równanie całkowe dla równania różniczkowego
zwyczajnego
Okazuje się, że równanie różniczkowe liniowe zwyczajne
dny(x) dn-1y(x)
+ a1(x) + . . . + an(x)y(x) = f(x), (4.6.1)
dxn dxn-1
o ciągłych współczynnikach ai(x), (i = 1, 2, . . . , n), przy warunkach początkowych
y(0) = C0, y (0) = C1, . . . , y(n-1)(0) = Cn-1, (4.6.2)
można sprowadzić do zagadnienia rozwiązania równania całkowego Volterry
drugiego rodzaju. Aby to pokazać rozważmy przykład równania różniczkowego
drugiego rzędu
d2y(x) dy(x)
+ a1(x) + a2(x)y(x) = f(x), (4.6.3)
dx2 dx
z warunkami początkowymi
y(0) = C0, y (0) = C1. (4.6.4)
Przyjmijmy
d2y(x)
= �(x). (4.6.5)
dx2
68 4 Równania całkowe
Całkując kolejno powyższe wyrażenie i uwzględniając warunki początkowe
(4.6.4), otrzymujemy
x
dy(x)
= �(s) ds + C1, (4.6.6)
dx
0
p x
y(x) = �(s) ds dp + C1x + C0. (4.6.7)
0 0
Korzystając następnie ze wzoru
x p x
dp �(s) ds = (x - t)�(t) dt, (4.6.8)
a a a
możemy napisać
x
y(x) = (x - t)�(t) dt + C1x + C0. (4.6.9)
0
Podstawiając teraz (4.6.5), (4.6.6) oraz (4.6.9) do równania (4.6.3), otrzymu-
jemy
x x
�(x)+a1(x) �(t) dt+a2(x) (x-t)�(t) dt+a1(x)C1+a2(x)(C1x+C0) = f(x),
0 0
(4.6.10)
co po wprowadzeniu oznaczeń
K(x, t) = - a1(x) + a2(x)(x - t) , (4.6.11)
F (x) = f(x) - a1(x)C1 - a2(x)(C1x + C0), (4.6.12)
przyjmuje postać równania całkowego Volterry drugiego rodzaju:
x
�(x) = K(x, t)�(t) dt + F (x). (4.6.13)
0
Literatura
1. Por Poradnik Inzyniera matematyka. Warszawa 1986.
2. Edward Kacki. Rownania rozniczkowe czastkowe w zagadneniach fizyki i tech-
niki. Warszawa 1989.
3. Ince E.L. Ordinary Differential Equations. Dover publ. New York.
4. A.Piskorek. Rownania calkowe. Warszawa, WNT,1997.
5. Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC
Press, Boca Raton, 1998.
6. M. Krasnoselski et al., Równania Całkowe. Warszawa, PWN, 1972.
7. Ablowitz, M.J. and Clarkson, P.A. (1991) Solitons, Nonlinear Evolution Equa-
tions and Inverse Scattering, University Press, Cambridge.
8. Ablowitz, M.J. and Fokas, A.S. (1997) Complex Variables and Applications,
Cambridge University Press, Cambridge.
9. Arnold, V.I. (1989) Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-
Verlag, Berlin.
10. Belokolos, E.D., Enolski, V.Z., Bobenko, A.I., and Matveev, V.B. (1994)
Algebro-Geometric Approach to Integrable Differential Equations, Springer-
Verlag, Berlin.
11. Blaszak, M. (1998) Multi-Hamiltonian Theory of Dynamical Systems, Springer-
Verlag, Berlin.
12. Calogero, F. and Degasperis, A. (1982) Solitons and the Spectral Transform I,
North Holland, Amsterdam.
13. Chadan, K. and Sabatier, P.C. (1989) Inverse Problems in Quantum Scattering
Theory, Springer, New York, 2nd ed.
14. G. Heilbronn Integration des quations diffrentielles ordinaires par la mthode de
Drach. Paris, Gauthier-Villars, 1956. .
15. Darboux, G. (1912) Le�ons sur la th�orie g�n�ral des surfaces, 2-nd ed,
Gauthier Villars, Paris.
16. Eisenhart, L. (1962) Transformations of Surfaces, Chelsee, New York.
17. Faddeev, L.D. and Takhtajan, L.A. (1987) Hamiltonian Methods in the Theory
of Solitons, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York.
18. Infeld, L. and Hull, T. (1951) The factorization method, Rev. Mod. Phys. 23,
21-68.
19. Le Roux, J. (1906) Sur l int�gration des �quations diff�rentielles, Comptes Rend.
Acad. Sci. Paris 143, 820-822.
70 Literatura
20. Matveev, V.B. and Salle, M.A. (1991) Darboux Transformations and Solitons,
Springer-Verlag, Berlin.
21. Scott, A.C. (1999) Nonlinear Science. Emergemce and Dynamics of Coherent
Structures, Oxford University Press, Oxford.