c

2009-05-25 

Contents 

{    

     

 {   

     !"##$

    %&   '

()(*+   ,    - '

 {    !$'..

/ 0  !'"##"

/ %  1"

2 3 1  "

3 1 4

  1     4

   3   4

  3   

      

0      !"##

5  

!4$#6

  %  %  &!4'##6

 7 8   6

91  ){ -:#

9 :#

50) :#

1)/   :#

 
 
 

{

eview: Mean field approximation. 

½„ O  a arg  mol l  and Orronding N ar O N ighborO 

½„ ola  an av rag  for all h  OinO n ighboring or arg  Oin 

½„ Ôix all OinO o h  av rag  val  

½„ find h   n rgy of h  arg  Oin 

½„ alla  h  ariion fnion for h  arg  Oin 

½„ alla  av rag   n rgy for arg  Oin 

½„ alla  av rag  val  of Oin 

 

a 

ations as developed in Lectre 8 

 

ߪǡ ܰܰ ൌ ʹ݀   

 

arg  mol l  2

ڄdim nOionO N ar O N ighborO 

8.6 

ݏ ൌ

ଵ

ேே

σ

ߪ

௜

ߪ

௝

ேே

 

 

m an val  Oin of (2d) N ar O N ighborO NN 

8.7 

݁ ൌ σ ߪ

௜

ߪ

௝

՜ ߪʹ݀ݏ   

av rag   n rgy of arg  mol l  

8.8 

ܲ෠

ఙ

ൌ ݁

ିఉఙଶௗ௦

   

 

Bolman Probabiliy  

8.9 

ݖ ൌ ʹ …‘•Š ʹߚݏ݀ 

 

Pariion Ônion 

8.11 

ۦ݁ۧ ൌ ʹ݀ݏ –ƒŠሺʹߚ݀ݏሻ 

Ex  d  n rgy a arg  mol l  

8.12 

ۦݏۧ ൌ

ۦ௘ۧ

௘

ൌ –ƒŠሺʹߚ݀ݏሻ 

Ex  d Oin 

 
No O on allaing h  Pariion Ônion. Th  Pariion Ônion iO h  Om of Probabilii O 
whih in or aO  ı ± 1.  
 

ݖ ൌ σ

ܲ෠

ఙ

ାଵ

ିଵ

ൌ ݁

ାଶఉ௦ௗ

൅ ݁

ିଶఉ௦ௗ

ൌ ʹ …‘•Š ʹߚݏ݀ 

 
No O on allaing h  Ex  d En rgy 

 

ۦ݁ۧ ൌ െ

డ ୪୭୥ ௓ሺఉሻ

డఉ

ൌ െ

డ

డఉ

ሺŽ‘‰ ʹ ൅ Ž‘‰ …‘•Š ʹߚݏ݀ሻ 

 

 

ൌ

ୱ୧୬୦ ଶఉௗ௦

ୡ୭ୱ୦ ଶఉௗ௦

ʹ݀ݏ ൌ ʹ݀ݏ –ƒŠሺʹߚ݀ݏሻ 

Consistency {e irement 

c

olionO o h   x  d Oin  aion giv O O h  r ir m nO wh r  h  M an Ôi ld 

aroximaion iO onOiO n 

8.12 

ۦݏۧ ൌ

ۦ௘ۧ

௘

ൌ –ƒŠሺʹߚ݀ݏሻ 

Ex  d Oin 

 

 

Criial T m rar  for TranOiion Poin orO a O0 wh n Olo   alO 45°  

9.1 

డۦ௦ۧ

డ௦

ൌ

డ

డ௦

ሺ–ƒŠሺʹߚ݀ݏሻሻ ൌ ʹߚ݀ •‡…Š

ଶ

ʹߚ݀ݏ  Olo  

 

 

డۦ௦ۧ

డ௦

ሃ

௦ୀ଴

ൌ ͳ ൌ ʹߚ݀ ൌ

ଶௗ

்

 

 

a O0 Olo  1 (

ۦۧ;<

 

 
9.2 

Ó

ൌ ʹ݀ ൈ ܷ    

 

riial  m rar  

wh r  
 

U

C

 

iO an  n rgy onv rOion faor (Oin iO ± 1 Ohold hav  ± niO of  n rgy) 

 
cc
Th  only Oabl  OolionO ar  h  O

ۦ•ۧ ± 1 oinO for (2ȕd • 1) . Th  Oolion a Oۦ•ۧൌͲ‹•ƒ

—•–ƒ„Ž‡•‘Ž—–‹‘ƒ•ƒ”‡–Š‡‡–ƒǦ•–ƒ„Ž‡•’‘–ƒ‡‘—••›‡–”›„”‡ƒ‹‰•‘Ž—–‹‘•
ሺʹȾ†ൌͳሻǤ 

Chemical Potential: Total anergy is fixed (26:00 

Ô

irO d riv  h  OaiOial  aionO for mol l O ha ar  in O ara  iOola d ³ n rgy Oa  

box O 
 

¶

ଵ

ܧ

ଵ

¶

ଶ

ܧ

ଶ

¶

௜

ܧ

௜

 

wh r  
 

ni 

nmb r of box O ha oy h  (i

h

)  n rgy Oa  

 

Ei 

n rgy of h  (i

h

)  n rgy Oa  

 
Maximi  h   nroy Obj  o a onOrain h  oal  n rgy iO fix d 
9.3 

σ ¶

௜

ܧ

௜

௜

ൌ ܧ

்

   

oal  n rgy E

T

 iO fix d 

 
9.4 

σ ¶

௜

௜

ൌ ܰ 

 

N iO oal nmb r of box O 

 
9.5 

௡

೔

ே

ൌ ܲሺ݅ሻ 

 

robabily of h  (i

h

) Oa  

ۦ•ۧൌ• 

2ȕd < 1  Omall ȕ  highT   

Plo Ohowing how diff r n  m rar O (T1/ȕ) aff  h  ranOiion oin Oin ±0 
Th  in rO ion of h  anh rv  wih h  

ۦOۧ  O lin  OhowO wh r  h  onOiO ny 

r ir m nO ar  m  for h  m an val  of Oin. 
Criial  m rar  iO wh n Olo  of anh  Olo  

ۦOۧ  O lin   45°  

2ȕd  1

 

2ȕd > 1  larg  ȕ  lowT   

ĸ N gaiv  Oin. 
  

PoOiiv  Oin. ĺ 
  

 

9.6 

݁ ൌ σ

௡

೔

ா

೔

ே

௜

ൌ σ ܲሺ݅ሻܧ

௜

௜

ൌ

ா

೅

ே

 av rag   n rgy in a giv n box 

 
9.7 

ܵ ൌ െ σ ܲሺ݅ሻ Ž‘‰ ܲሺ݅ሻ

௜

 

c

nroy 

 

½„ Probabiliy iO a fnion of (n

i

)  n rgy iO a fnion of (n

i

)(Ei) 

½„ Dnrod  a Lagrang  mlili r (L r  2) 

½„ Maximi   nroy Obj  o ET b ing onOan 

 
 

ܵ ൅ ߚ σ ¶

௜

ܧ

௜

௜

   

d fin  a Lagrang  mlili r 

 

 

ଵ

௭

݁

ିఉா

   

 

d fin  normali d  n rgy fnion 

 
9.8 

ܵ ൅ ߚܧ ൌ െ σ ܲሺ݅ሻ Ž‘‰ ܲሺ݅ሻ

௜

൅ ߚ σ ܲሺ݅ሻܧ

௜

௜

 

 

9.9 

ܲሺ݅ሻ ൌ

ଵ

௭

݁

ିఉா

೔

 

 

maximi  (c ȕE) for a giv n i   

 
no  ha () (ariion fnion) inOr O h  oal robabiliy  alO on . 

Chemical Potential: Total anergy and Total Nmber of Particles is fixed

c 

ond d riv  h  OaiOial  aionO for mol l O ha ar  no in iOola d ³ n rgy Oa  

box O 
 

¶

ଵ

ܧ

ଵ

՞ ¶

ଶ

ܧ

ଶ

 ՞  ¶

௜

ܧ

௜

 

b Oid O  n rgy aril O an alOo b   xhang d b w n 

box O 
 
Now w  do no know for  rain h  #of aril O in a box (r vioOly box O w r  iOola d #of 

aril O w r  fix d) 

 
9.10 

σ ¶

௜

௜

ൌ ܰ 

Toal #of aril O fix d #of aril O  r box vari O 

 

( aionO no d rivaion) 
 
Probabiliy iO now a fnion of (i

h

) Oa  and #of aril O 

9.11 

ܲሺ݅ǡ ܰሻ ൌ

ଵ

௭

݁

ିఉா

೔

ିఉఓே

 

Probabiliy iO now h  rob. of b ing in h  box of h  i

h

 Oa  and ha box having ³n aril O 

 
9.12 

ݖ ൌ σ

݁

ିఉா

೔

ିఉఓே

௜ǡே

   

ariion fnion (oal robabiliy  alO on ) 

wh r  

ȕȝN  iO h   ff  of h  Lagrang  mlili r of variabl  nmb r of aril O  r box 

C

 , C  Dztning devicesdz to change magnetization and density 

ȕ iO a ³ning d vi  o hang   n rgy in a box 

½„ ȕ  1/T inr aO /d r aO   m rar O addO/ObraO  n rgy 

 

ȝ iO a ³ning d vi  o hang  #aril O in a box 

½„ hanging #aril O in a box hang O h  d nOiy. 

½„ ȕȝN iO all d h  Ch mial o nial  

 

9.13 

ۦ¶

௜

ۧ ൌ െ

డ ୪୭୥ ௭

డሺఉఓሻ

  x  d #aril O in a box 

9.14 

¶

ൌ

ଵ

ே

ܲሺ݅ǡ ܰሻ   

av rag  #aril O in a box 

 
How do yo hooO  ȝ ? 

½„ alla  av rag  #aril O  r box 

½„ h n O  ȝ o wha yo hink h  av rag  iO 

Consistency {e irement: Phase Transition (38:45 

 

 

 
d nOiy in h  lai  flid iO h  (#of  OinO) / (volm ) 

aial N b om O h  (#of  OinO) (down Oi iO  my  Oin r r O nO a mol l ) 

 
Yo modify ³h (v rial axiO) hang  (#of  OinO) 
 

wh n h iO down f w r  OinO 

 
h-axiO iO loO ly r la d o h  h nial o nial 
 

c

olid bl  lin

 haO  ranOiion lin    a jm in magn iaion or d nOiy in a gaO-flid 

V ry low  m rar   rOiOO o Oom  fini   m rar . Th  Oonan oO Oymm ry 
br aking r gion. 
 

R d lin

 oninoO ranOiion lin . A high r  m rar O h  ± ı Oin magn iOm or 

gaO-flid ranOiion orO Omooohly no jmO. 
 

Gr n lin

 m a-Oabl  Oa . Liid in gaO Oa  or gaO in liid Oa . No hang  in h   ± 

ı Oin ori naion. An nOabl  Oa  ha d  rioa O wih im . 

Õ

ƒ––‹…‡‘†‡Žǣ‡’‡”ƒ–—”‡Ȃ•’‹’Ž‘–

ۦıۧƒ˜‡”ƒ‰‡‘”‡š’‡…–ƒ–‹‘˜ƒŽ—‡‘ˆ•’‹
T  

m rar  axiO 

h 

O

in axiO on of ± Oa O  

 

h 

T 

ۦıۧ> 0 
Liid 

ĥ
ۦıۧ< 0 

c

ystem Behavior approaching Critical Point (46:00 

c

ide Note: Correlation Fnction 

 

ܵ݌݅¶

ሺ݉ǡ ܦሻ ൌ ۦߪሺܽሻߪሺܾሻۧ  

orr laion fnion 

wh r  
 

m 

faor d  nding on h   m rar  

 

D 

diOan  in lai  oinO O araing (a) (b) 

½„ av rag  val  of h  rod of h  m aOr m n a wo diff r n oinO (ı(a) and ı(b) 

½„ m aOr O h  d gr

 of orr laion b w n Oin a (b) and Oin a (a) 

 

ÿ

igh   critical T: Correlation Fnction is an axponential crve 

 

 

 
D

niially a a v ry high  m rar  

½„ h  Oin orr laion iO ~0 wh n (a)(b) ar  n ighborO a a v ry high  m rar  

½„ if (a) iO  alla  robabiliy (b) iO  

½„ orif (a) iO  alla  av rag  of (b) 

 
c 

ond Oar o low r h   m rar  

½„ orr laion b om O   0 

½„ mor  lik ly > 0 aO if (a) /down h n (b) mor  lik ly o b  /down 

½„ ha iO (b) mor  lik ly o b  in Oam  Oa  aO (a) b aO  of l OO  n rgy r . 

 
Wih gaO-liid m anO wh h r a mol l   xiOO a lai  oin 

½„ a high T Probabiliy iO 50-50 wh h r mol l   xiOO 

 
Th  orr laion b w n O ond n ighborO iO aroxima ly h  Oar  of orr laion b w n 
firO n ighborO. 

½„ Do O no d  nd on how lai  iO drawn. 

 
AO h  diOan  Or adO yo loO  h  Oam  fraion of orr laion making h  orr laion fnion 

xon nial in diOan  

 

N ሺ

ܦሻ ൌ ͳ ൅

ଵ

௫

ܥ

ଵ

ܦ

ଵ

൅

ଵ

௫

మ

ܥ

ଶ

ܦ

ଶ

൅

ଵ

௫

య

ܥ

ଷ

ܦ

ଷ

൅ ڮ 

 
9.16 

ۦߪሺܽሻߪሺܾሻۧ ൌ ݁

ି௠ሺ௧ሻ஽

 

 

orr laion fnion a high (o low)  m rar O 

T 

Ô

irO mov  from high  m rar  owardO T 

h 

h mial o nial 

T 

m rar  

 
Th  Oolid lin  aally a rO from T§0 o T

C

 (riial 

m rar ) 

h 

T

C

 

wh r  
D 

iO lai  oinO diOan  b w n (a) and (b) (aial D 

m 

d  ndO on h   m rar . 
r r O nO h  diOan  yo hav  o mov  for h  orr laion o dro by a faor of ( )  

 

Low   critical T: Correlation Fnction is an Constant crve

A  m rar  v ry loO  o  ro 

½„ Th  biaO of on  Oin h  Omall O  rrbaionO aO O a hang   

½„ will biaO all h  OinO o b  in on  dir ion or h  oh r (av rag  Oin) 

 
D

f yo fr   (a) h n (b) will on av rag  hav  Oam  dir ion aO (a). onin O o all (b) (o 

infiniy) 
 
9.17 

ۦߪሺܽሻߪሺܾሻۧ ՜ N¶ݏݐܽ¶ݐ 

will aroah Oom  onOan aO yo (D) inr aO . 

onOan alOo d  ndO on  m rar . a v ry low T Orr  b om O v ry rigid 

 

Plot of the Correlation Fnction at different Temperatres 

 

 

Correlation Crves at high T  Critical Temperatre 

½„ lo of 

-m() D

  Th  rv  iO  xon nial. 

½„ A v ry high  m rar O (T§ ’) h  orr laionO dro raidly. Th  bondO b w

n  llO 

o w ak o ov rom  h  high  m rar  ( n rgy) 

½„ AO h   m rar  fallO Th  orr laion d lin  b om O mor  gradal aO diOan O 

inr aO  

½„ a Oom  oin fallO aO h  ow r law r ah O a fini  limi for larg  D  

½„ Th  blak arrow ( ՞ ) Ohow (m) inv rO  orr laion l ngh.DiOan  b w

n rv  and 

axiO. 

½„ AO inv rO  orr laion l ngh inr aO O m b om O v ry Omall and ( 

-m() D

 ) v ry 

gradally go O o  ro 

 

D 

Corr laion fnion  vO D (lai  diOan ) 

Th  

bl  rv O

 ar  T’ ĺT

C

  m rar O 

Th  

r d rv O

 ar  T§0 ĺT

C

  m rar O 

Th  riial  m rar  (T

C

) iO wh r  h  wo O O of 

rv O aroah  ah oh r. 

A D0 all orr laionO ar  on  

ۦɐሺƒሻɐሺƒሻۧൌͳ 

C 

Crv  hikn OO O d o r r O n varioO  m rar O 
(hik bl  T§ ’ ) 

 (m dim bl  high T) 

(hin bl  T§ T

C

     ) 

(hik r d  T§ 0 ) 

 (m dim r d low T)   

(hin r d T§ T

C

 -   ) 

Correlation Crves at low T  Critical Temperatre 

½„ iniially (T § 0 ) r d lin  iO Oraigh 

½„ aO T inr aO O r d lin  OhfO Olighly   b Oill a Oraigh lin  

½„ fallO gradally o infiniy   no fini  limi a h   nd (larg  D) 

Correlations near the Critical Temperatre 

wha divid O h  wo aroah O iO h  riial b havior (wh n h  rv O m ) 
 

n ih r onOan o infiniy 

 

nor  xon nially falling 

b w n h  wo rv O 
 

fallO off aO a ow r law (roof n d d) 

 

orr laionO ar  long rang  ¾ 1/D (o Oom  ow r) 

Microscopic Behavior near the Critical Temperatre (62:00 

AO yo aroah T look miroOoially a h  magn O h  orr laion law  llO yo h  
magn  iO fill d  wih ³blobO of Oin mor  or l OO in h  Oam  dir ion. 

 

 
AO yo aroah h  riial oin h  blobO g  bigg r blobO wihin blobO and h y  nd o fad . 
 

½„ r Oal  h  lai  oinO Oo ha h  blobO ar  roghly h  Oam  Oi  (Oom wha lik  

d r aOing miroOo  Oal ) 

½„ r m mb r ha h  Oal  of h  lai  do O no aff  h  orr laionO 

½„ h  onraO b w

n h  () (down) blobO will g  w ak r and w ak r 

 
A h  riial oin Th  bigg O blobO grow o infiniyar  infini ly fad d 
 
A h  riial oin h  blobO b om  a O lf-Oimilar fraal Orr . 

½„ a  v ry Oal  yo O

 h  Oam  hing 

½„ Th  blobO  nd o look mor  and mor  alik   

½„ b on Omall r fraal Oal O h  d nOiy onraO b om O Orong r and Orong r 

 
Yo an ³n  h  Oal  and  m rar  o adjO h  Oi  of h  blobO. 
D

f yo alOo adjO h  d nOiy (ȕȝ) o rn down h  onraO h n h  fraal Orr  will look 

h  Oam  on  v ry Oal . 

 
D

f yo ar  abl  o g  idown o h  fin O lai  Oal  (anm Oi ) 

D 

 ³BlobO of Oin n ar T

C

 

dark for moOly  Oin gr y for moOly down Oin 
 
Corr laion d  ndO on inv rO  orr laion l ngh (

՞ arrow) 

DiOOaa O aO lai  diOan  (D) inr aO O. A r Ol of h  

orr laion fnion ĺ 0 aO h  diOan  inr aO O (ow r law) 

C 

½„ h   OinO ar  abOol ly blak 

½„ h  down OinO ar  abOol ly whi  

 
 !"#$
D

f  (a)(b) ar  no adja n h  orr laion 

ۦı(a)  ı(b)ۧ d  ndO on h  blob Oi  b w n (a)(b)  

 

D

sotropic strctres near T

C

 (72:30 

 
Aroahing h  T

C

 h  aal lai  Orr  iO no v ry Oymm ri. Th  Oymm ry iO no 

irlar b r anglar. 

½„ Th  ro ri O of h  magn  ar  no iOoroi 

½„ Th  orr laion fnion will diff r if m aOr d from h  horional or 45° angl . 

 
AO yo g  loO r o h  riial oin T

C

 h  OyO m loO O m mory of h  baOi nd rlying lai  

h ory and b om O irlar iOoroi 

 
A h  riial oin 

½„ oml   roaional Oymm ry 

½„ irlar iOoroi 

½„ anno diOngiOh any lai  dir ion 

Coplings other than Nearest Neighbor (74:00 

Rah r han h  Oiml  n ar O v rial or horional n ighbor w  old hav  d Oign d or 
Corr laion fnion o inld  diagonal n ighborO or n ighborO wi  r mov d. 
 
A high r  m rar O h  bondO b om  w ak r and h   xra orr laionO do no aff  h  
fnion. A low  m rar O h  OyO m loO O rak of h  lai  Orr  O d. Th  only aff  

old b  an inr aO  of h  riial oin. 

 

Critical Light Wave Opalescence 

d finiionO for oal O n  h  viOal ro ry of Oom hing having a milky brighn OO and a 

lay of olorO from h  Orfa  

 

ak  a ranOar n liid and n  h   m rar  and d nOiy owardO h  riial oin. 

½„ blobO of  v ry l ngh Oal  form (aO abov ) 

½„ h   ff  iO ligh wav O of  v ry wav  l ngh will b  Oa r d 

 
away from h  riial oin h  blobO will hav  a O ifi Oi  and wav l nghO gr a r han ha 
O

i  will no b  Oa r d. AO yo aroah h  riial oin blob Oi  will inr aO  and long r 

wav l nghO will b  Oa r d 
 
Vari O aO h  riial oinO of varioO liidO Liid arond 306° Ô H llim mh low r 
 
 

‰

antm Field Theory, {enormalization 

ThiO b havior iO h  fondaion of QÔT. 
 
AO QÔT OyO mO hav  Oymm ry (roaional iOoroi «) i wold b  onv ni n o d Orib  a 
lai  Orr  foor h  varioO ro ri O. Dn hiO mann r all h  individal d gr O of fr dom 
wold b  r r O n d aO O ara  lai  Oi O. 
 
Th  robl m (d Orib d abov )  iO ha h  lai  Orr  will in rf r  wih h  roaional 
invarian  h r  will b  orn rO o aff  iOoroy. 
 
To r Oor  h  Omooh roaional and ranOlaional invarian  yo n  h  OyO m o h  riial 

oin   or wh r  h  orr laion oin iO mh long r han h  lai  l ngh. A ha oin h  

³lai  arifaO diOa ar. 
 
Th  ³ning o riial oin haO o do wih r normaliaion groO. 

‰

estions. 

D

sotropy of CMB, Cosmology 

Th  iOoroy of h  CMB iO Oimilar o blob Orr  n ar h  riial oin. 
Th  main aO  in oOmology ha ali O o riial d nOiy iO h  d nOiy flaionO ha 

xiO d loO  o h  Orfa  of laO Oa ring. 

 

First, cecond order Phase Transitions 

firO ord r haO  ranOiion 

½„ h  aroah iO from T§0 ĺ T

C

 

½„ a firO ord r abrb raOiion in magn iaion will or 

½„ orO aO Oonan oO Oymm ry br aking. 

 
O 

ond ord r haO  ranOiion 

½„ h  aroah iO from T§high ĺ T

C

 

½„ h  magn iaion hang  will b  Omooh aO h   m rar  aoroahO T

C