Rozkład Fermiego - Diraca i jego konsekwencje

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie jednoelektrodowym

o energii

ε

i

w układzie N elektronów dane jest rozkładem Fermiego-Diraca

.

(2.36)

Jednocześnie

jest średnią liczbą elektronów w jednoelektronowym stanie

o energii

ε

i

.

Powyższa postać rozkładu jest równoważna postaci danej równaniem (2.2).

Różnica polegająca na pojawieniu się stałego czynnika w równaniu (2.2) wynika z

faktu, że rozpatrujemy różne przestrzenie możliwych stanów.

Potencjał chemiczny

μ można wyznaczyć korzystając z faktu, że suma średnich liczb

elektronów na wszystkich poziomach jest równa całkowitej liczbie elektronów N

.

(2.37)

Wartość

μ wyznaczona w ten sposób zależy od temperatury, jednakże można

pokazać, że dla T

0, czyli w stanie podstawowym pokrywa się ona z energią

Fermiego

ε

F

.

Energia Fermiego oddziela stany jednoelektronowe obsadzone od nieobsadzonych

(w stanie podstawowym). Oznacza to, że średnia ilość elektronów w dowolnym

stanie poniżej

ε

F

wynosi 1, a powyżej

ε

F

- 0.

Z drugiej strony, biorąc granice

w obu tych przypadkach, otrzymamy

czyli ten sam wynik, a więc w T=0 nie ma różnicy między

μ a

ε

F

Rys. 2.4. Przebieg funkcji rozkładu F - D w T=0

(zbiór argumentów

ε

i

jest kwaziciągły)

Poziomy energetyczne

ε

i

gazu elektronowego stanowią zbiór prawie ciągły,

ponieważ stany jednoelektronowe leżą bardzo gęsto w przestrzeni k. Dlatego też w

wielu obliczeniach możemy zastąpić sumowanie po k całkowaniem po ciągłej

zmiennej

ε

.

Dla przykładu obliczmy gęstość elektronów n=N/V

.

(2.39)

Przechodząc do współrzędnych sferycznych i wykonując całkowanie po kątach

otrzymamy

(2.40)

a dokonując zamiany zmiennych

(2.41)

gdzie

.

(2.42)

Funkcja g(

ε

) nazywana jest gęstością stanów, ponieważ g(

ε

)d

ε

podaje nam ilość

możliwych stanów w przestrzeni k realizujących energie w przedziale [

ε

,

ε

+d

ε

], na

jednostkę objętości w przestrzeni rzeczywistej.

Iloczyn liczby możliwych stanów g(

ε

) przez prawdopodobieństwo obsadzenia stanu o

energii

ε

czyli f(

ε

) daje faktyczną ilość cząstek mających energię w przedziale

[

ε

,

ε

+d

ε

].

Rys. 2.5. Przebieg gęstości stanów elektronowych w modelu swobodnych

elektronów.

Rys. 2.6. Ilość elektronów na jednostkowy przedział energii w stanie podstawowym

i w temperaturze T>0.

W T=0 rozkład elektronów na poziomach energetycznych rośnie jak

i jest ostro

obcięty na energii Fermiego wskutek prostokątnego kształtu funkcji F-D dla stanu

podstawowego.

Ważną wielkością charakteryzującą ten rozkład jest gęstość stanów na poziomie

Fermiego

(2.43)

W niezerowych temperaturach rozkład ten ulega rozmyciu wskutek pobudzenia

termicznego. Typowa energia drgań jonu jest rzędu k

B

T. Tyle też może jednorazowo

zaabsorbować elektron. Tylko elektrony znajdujące się na poziomach w odległości

k

B

T od poziomu Fermiego mogą naprawdę przyjąć te energię i przejść do

wyższych, niezapełnionych stanów. Elektrony leżące wyraźnie niżej nie mogą

zaabsorbować tej energii, ponieważ nie ma wolnych stanów, do których mogłyby

przejść. Możemy na tej podstawie oszacować ciepło właściwe gazu elektronowego.

Energia gazu w T>0 będzie równa energii stanu podstawowego powiększonej o

energię wzbudzenia

(2.44)

Ciepło właściwe molowe przy stałej objętości

(2.45)

lub po wstawieniu (2.43)

.

(2.46)

W porównaniu z klasyczną formułą

mamy tu liniową zależność od

temperatury. Co więcej, w temperaturach pokojowych obliczone z (2.46) C

V

jest

o 2 rzędy wielkości mniejsze niż klasyczne, ponieważ energia termiczna stanowi ok.

1-2% energii Fermiego. Oszacowane tak ciepło właściwe potwierdza doświadczenie.

Ciepło właściwe

Energia układu dana jest przez wyrażenie

.

(2.47)

Całka ta jest dość skomplikowana, jednakże można ją policzyć wystarczająco

dokładnie stosując przybliżenie Sommerfelda. Wykorzystuje się w nim fakt, że

funkcja F-D odchyla się od swojego kształtu w T=0 tylko w okolicy

ε=μ w przedziale o

szerokości k

B

T.

W związku z tym odchylenie całki typu

od jej wartości w T=0 jest

spowodowane w głównej mierze przebiegiem funkcji H(

ε

) w tym przedziale.

Zatrzymując tylko pierwszy wyraz rozwinięcia Sommerfelda otrzymujemy

.

(2.48)

Obliczmy najpierw zależność potencjału chemicznego od temperatury korzystając z

równania (2.48). Gęstość elektronów n=N/V dana jest całką

.

(2.49)

Kolejne przybliżenie również wynika z faktu, że

μ i ε

F

różnią się nieznacznie:

,

(2.50)

a stąd

. (2.51)

Całka po prawej stronie znaku równości jest po prostu wartością n w stanie

podstawowym. Ponieważ rozpatrujemy problem w stałej objętości, n=const, a więc

reszta wyrażenia musi znikać w każdej temperaturze

,

(2.52)

a stąd

.

(2.53)

Obliczona poprawka jest rzędu (k

B

T)

2

. To, że jest ona bardzo mała w porównaniu z

ε

F

, będzie jeszcze bardziej widoczne, jeżeli wyrazimy ją w liczbach niemianowanych,

korzystając z faktu, że g(

ε) dla elektronów swobodnych jest proporcjonalna do

(równanie 2.42), z czego wynika

(2.54)

oraz

.

(2.55)

Jak widać, poprawka jest rzędu 10

-4

w temperaturze pokojowej.

Wróćmy teraz do obliczenia energii gazu elektronowego. Gęstość energii jest równa

(2.56)

Całka po prawej stronie równania jest gęstością energii w stanie podstawowym u

0

, a

dwa następne człony znikają na podstawie (2.52), czyli

.

(2.57)

Stąd ciepło właściwe molowe w stałej objętości

(2.58)

gdzie V jest objętością molową. Porównując to z równaniem (2.45) widzimy, że nasze

poprzednie oszacowanie było całkiem dobre, bo różni się od wyniku (2.58) o niewielki

czynnik rzędu 1.

Dla elektronów swobodnych możemy skorzystać z gęstości stanów danej równaniem

(2.43) i dzięki temu otrzymamy

.

( 2.59)

Eksperymentalna weryfikacja tej zależności wymaga wyizolowania wkładu

elektronowego. Wkład do C

V

pochodzący od drgań jonów jest na ogół znacznie

większy, jednakże w niskich temperaturach staje się porównywalny i może być

przybliżony przez wyrażenie AT

3

.

Łączne ciepło właściwe ma postać

C

v

=

γ T+AT

3

(2.60)

Dzieląc to równanie przez T i wprowadzając nowe zmienne x=T

2

, y=C

V

/T

otrzymujemy zależność liniową, z której możemy wyznaczyć interesujące nas

parametry

γ i A przez dopasowanie do wyników eksperymentalnych.

Rys. 2.7. Ciepło molowe C

V

srebra w niskich temperaturach

Wartości

γ wynikające z takiego dopasowania zgadzają się bardzo dobrze z

oszacowaniem teoretycznym dla Ag i Au (

γ

exp

=6,70310

-4

J mol

-1

K

-2

,

γ

teor

=6,30310

-4

J mol

-1

K

-2

), dosyć dobrze dla Cu i metali alkalicznych (z wyjątkiem Li),

a co do rzędu wielkości w wielu innych metalach.

W niektórych metalach są niestety duże niezgodności, np. w Mn

γ

exp

>>

γ

teor

, a

w Bi odwrotnie. Oznacza to, że przybliżenie swobodnych elektronów nie zawsze jest

wystarczające, mimo uwzględnienia kwantowej statystyki.

Przewodność elektryczna metali według teorii Sommerfelda

Sommerfeld założył, że elektrony przewodnictwa podlegają klasycznej

dynamice i kwantowej statystyce.

Ponieważ prąd elektryczny związany jest transportem pędu, rozważmy

zachowanie się gazu elektronowego w przestrzeni k pod wpływem przyłożonego pola

elektrycznego E. Bez pola stany elektronowe są reprezentowane przez regularną

sieć punktów w przestrzeni k. Dozwolone stany leżą wewnątrz sfery Fermiego o

promieniu k

F

i środku w punkcie 0. Po przyłożeniu pola każdy punkt k zmienia swoje

położenie zgodnie z równaniem

(2.61)

Oznacza to, że cała kula Fermiego przesuwa się równolegle

Zmiana położenia kuli Fermiego pod wpływem zewnętrznego pola E.

Nie ma tu sprzeczności z zakazem Pauliego, gdyż najpierw przemieszczane są

elektrony ze stanów leżących na powierzchni Fermiego (lub tuż pod nią ) do wolnych

stanów o wyższej energii, a na zwolnione miejsca wchodzą elektrony ze stanów

położonych niżej. Przewodnictwo elektryczne zależy w istotny sposób od gęstości

stanów na poziomie Fermiego.

Gęstość prądu jest zdefiniowana przez

(2.62)

Jeżeli f(v) jest równowagową funkcją rozkładu F-D, f

0

(v), to całka znika

tożsamościowo z warunków symetrii

.

(2.63)

Po przyłożeniu pola E, funkcja F-D f(v) jest zmodyfikowana o człon odpowiedzialny

za energię oddziaływania z polem:

(2.64)

Podstawiając (2.64) do (2.62) widzimy, że gęstość prądu zależy tylko od tej poprawki

.

(2.65)

Obliczmy tę poprawkę pamiętając, że funkcja F-D zależy w istocie od energii

(2.66)

gdzie

α wynika z rozkładu Fermiego - Diraca (2.2):

.

Obliczoną poprawkę wstawiamy do (2.65)

.

(2.67)

Zakładamy, że

ν nie zależy od v, a ponadto wybieramy kierunek osi Ox jako

równoległy do pola i prądu. Wtedy powyższe równanie redukuje się do postaci

.

(2.68)

Korzystamy teraz z faktu, że

(2.69)

i dla gęstości prądu otrzymujemy

. (2.70)

Korzystając z wprowadzonej poprzednio gęstości stanów g(

ε) przechodzimy do

całkowania po energii

(2.71)

i ostatecznie otrzymujemy

(2.72)

Widzimy, że przewodność elektryczna jest wprost proporcjonalna do gęstości stanów

elektronowych na poziomie Fermiego (wynik ten nie zależy od konkretnego kształtu

zależności

ε(k)). Jest to intuicyjnie jasne, gdyż w procesach transportu biorą udział

elektrony, których wektory falowe są na powierzchni Fermiego lub w jej najbliższym

otoczeniu. Jednakże, jeżeli konsekwentnie zastosujemy w tym miejscu model

elektronów swobodnych, otrzymamy wyrażenie:

(2.73)

ponieważ

Fenomenologiczny parametr

τ

, który wprowadziliśmy tu jako średni czas między

zderzeniami dla pojedynczego elektronu, jest - w języku mechaniki falowej - średnim

czasem trwania stanu kwantowego określonego wektorem k. Przy tej interpretacji

opisuje on również zachowanie się kuli Fermiego jako całości. Przy włączonym polu

E ogranicza on przyrost energii i pędu układu elektronów.

Dzięki temu kula Fermiego zatrzymuje się w nowym ustalonym położeniu,

przesuniętym o

względem stanu równowagi, co obserwowane jest jako

stała wartość prądu. Po wyłączeniu pola rozpraszanie trwa nadal: elektrony w

stanach k leżących powyżej równowagowej powierzchni Fermiego przechodzą do

niezapełnionych stanów

poniżej tej powierzchni. Wielkość 1/

τ

jest miarą szybkości

tego rozpraszania - możemy ją interpretować jako prawdopodobieństwo rozproszenia

na jednostkę czasu. Jeżeli przez N(t) oznaczymy aktualną ilość elektronów w

stanach powyżej powierzchni Fermiego, to ubytek tej liczby na jednostkę czasu

wynosi

.

(2.74)

Rozwiązaniem tego równania jest

(2.75)

gdzie N

0

jest liczbą elektronów powyżej sfery Fermiego w t=0, a

τ

- czasem

relaksacji, tj. stałą czasową charakteryzującą zanik N(t).

Tak wprowadzony czas

τ

opisuje jeden wyróżniony (np. myślowo) mechanizm

rozpraszania. Tymczasem przyczyn rozpraszania może być więcej. Podkreślmy tu od

razu, że w modelu Sommerfelda idealna sieć krystaliczna nie powoduje

rozpraszania. Rozproszenia powodowane są raczej odchyleniami sieci od

regularności. Istotne odchylenia powstają wskutek drgań termicznych jonów - stąd

pochodzi obserwowana we wszystkich metalach zależność oporu elektrycznego od

temperatury.

Rys. 2.9. Zależność oporu właściwego metali od temperatury

- oporność

resztkowa

W wysokich temperaturach zależność ta jest w przybliżeniu liniowa. W niskich

temperaturach oporność zachowuje się jak T

5

z tym, że przy T

0 nie zmierza do

zera, lecz do pewnej wartości stałej,

, zależnej od próbki, zwanej opornością

resztkową (zależnej od rodzaju i koncentracji defektów stałych, tj.: domieszki obcych

atomów, wakanse, dyslokacje, błędy ułożenia i granice ziaren). Defekty te powodują

lokalne zmiany gęstości ładunku, a w ślad za tym odchylenia potencjału od

periodyczności, co jest przyczyną dodatkowego rozpraszania. Jeżeli koncentracja

defektów nie jest duża, to rozpraszają one niezależnie od siebie i niezależnie od

drgań jonów. Możemy więc napisać dwa niezależne równania opisujące rozpraszanie

ze stanów powyżej równowagowej powierzchni Fermiego:

(2.76)

dla rozpraszania termicznego oraz

(2.77)

dla rozpraszania na defektach stałych.

Całkowity efekt rozpraszania jest dany przez sumę

.

(2.78)

Oznacza to, że możemy formalnie wprowadzić całkowity czas relaksacji dany

wzorem

.

(2.79)

Po wstawieniu tego czasu do równania na oporność

(2.80)

otrzymujemy tzw. regułę Matthiessena (1867 r.)

,

(2.81)

którą możemy wyrazić słownie: oporności elektryczne pochodzące od niezależnych

procesów rozpraszania są addytywne. Dla dwóch omówionych tu typów rozpraszania

możemy zapisać zależność oporności od temperatury w postaci

.

(2.82)

gdzie

jest opornością resztkową, a

- tzw. opór idealny, tzn. opór

właściwy idealnej sieci krystalicznej, spowodowany tylko jej drganiami termicznymi.

Rys. 2.10.

dla wolframu dla różnych

(Schulze str. 290)

Rys. 2.11. Zmiany

dla Cu i jej stopów (Wilkes str. 96)

W praktyce oporność resztkową

ρ

0

mierzy się nie w T=0, lecz w temperaturze

ciekłego helu (4.2 K). Dla bardzo czystej miedzi

ρ(300K)=1.55*10

-8

Ωm, natomiast

ρ (4.2 K) jest około 10000 razy mniejsze. Oznacza to, że w temperaturze pokojowej

praktycznie

ρ (T)= ρ

i

(T).

Teoretyczną zależność

można wyprowadzić analizując oddziaływanie

elektronów przewodnictwa z fononami, tj. kwantami drgań sieci.

Zależność tę opisuje formuła Blocha - Grüneisena:

(2.83)

gdzie

jest temperaturą Debye'a, parametrem charakteryzującym właściwości

termiczne materiału. Dla niskich temperatur (T

→

0) górną granicę całki możemy

przybliżyć przez nieskończoność. Całka wtedy staje się liczbą, rzędu jedności, a stąd

. Z kolei dla wysokich temperatur górna granica całki przyjmuje bardzo małe

wartości, a wtedy możemy przybliżyć funkcje wykładnicze pod znakiem całki

korzystając z przybliżonej równości:

. Całka wtedy staje się elementarna

i otrzymujemy

.

Przedyskutujemy przypadek graniczny wysokich temperatur, aby zrozumieć fizyczne

powody liniowej zależności.

Załóżmy wysokie temperatury, tzn. T>> . Można wtedy traktować drgania sieci

klasycznie. Z zasady ekwipartycji energii średnia energia kinetyczna drgającego

atomu wynosi

.

(2.84)

W stanie równowagi termicznej średnia energia potencjalna jest równa średniej

energii kinetycznej:

(2.85)

a stąd

.

(2.86)

Prawdopodobieństwo rozproszenia powinno być proporcjonalne do lokalnej zmiany

energii potencjalnej, więc

.

Z drugiej strony

Tak więc

a stąd

(2.87)

dla odpowiednio wysokich temperatur.

Ten sam wynik otrzymamy w obrazie fononowym. Rozproszenie elektronu na fononie

polega na pochłonięciu lub absorpcji fononu przez elektron, przy czym muszą być

spełnione prawa zachowania:

(2.88)

gdzie q jest wektorem falowym fononu, a

ω

(q) jego relacją dyspersji. Pierwsze z

tych praw wymaga pewnej korekty związanej z periodycznością sieci, ale istotne jest

to, że prawdopodobieństwo przejścia elektronu ze stanu k do k' jest proporcjonalne

do ilości fononów w stanie q, a więc o energii

. Zgodnie ze statystyką Bosego -

Einsteina ilość fononów o energii

dana jest wyrażeniem

(2.89)

które dla wysokich temperatur prowadzi do wyniku

.

(2.90)

Ilość możliwych rozproszeń elektronów na jednostkę czasu jest proporcjonalna do tej

liczby, co daje identyczny rezultat jak (2.87).

Oporność resztkowa pochodzi od rozpraszania na defektach stałych. W ramach

modelu elektronów swobodnych można wyjaśnić wpływ atomów obcych na

. Atom

domieszki powoduje lokalną zmianę potencjału. Jeżeli różnica między wartością

domieszki, a wartością matrycy wynosi

, to odpowiadająca temu zmiana

potencjału wynosi

.

(2.91)

Prawdopodobieństwo rozproszenia, zgodnie z mechaniką kwantową, jest

proporcjonalne do kwadratu modułu potencjału rozpraszającego i to samo dotyczy

czasu relaksacji

.

(2.92)

Znajduje to potwierdzenie doświadczalne (Rys. 2.12)

Rys. 2.12. Zmiany oporności spowodowane 1% domieszką obcych atomów.

Paramagnetyzm Pauliego

Gaz elektronów swobodnych jest paramagnetykiem, ponieważ jest zbiorem cząstek

posiadających trwały magnetyczny moment dipolowy. Moment magnetyczny

elektronu pochodzący od spinu jest dany przez magneton Bohra

Am

2

.

(2.93)

Gaz elektronowy nie jest jednak klasycznym paramagnetykiem, ponieważ spin

elektronu może mieć tylko dwa możliwe rzuty na wybrany kierunek w przestrzeni:

.

W związku z tym rzut momentu magnetycznego spinowego może przyjmować tylko

dwie wartości

i podobnie energia elektronu w zewnętrznym polu

magnetycznym B:

(2.94)

Obliczmy reakcję gazu elektronowego na zewnętrzne pole magnetyczne B, tj.

podatność

(2.95)

gdzie M jest efektywnym namagnesowaniem, czyli momentem magnetycznym na

jednostkę objętości.

Sytuację bez pola zewnętrznego przedstawia Rys. 2.13a.

Rys. 2.13.

a) Gęstość stanów elektronowych bez pola zewnętrznego. Jest ona jednakowa dla

obu orientacji spinu. Dla celów dalszych obliczeń rozróżniamy jednak elektrony o

spinie w "górę" i w "dół".

b) Gęstość stanów elektronowych w zewnętrznym polu B.

Gęstości stanów dla obu orientacji spinów są jednakowe, jak również obsadzenia

stanów różniących się orientacją spinu. Po przyłożeniu pola B sytuacja przestaje być

symetryczna. Elektrony o rzucie momentu magnetycznego zgodnym z polem

obniżają swoją energię o

, natomiast elektrony o momencie przeciwnym -

podwyższają swoją energię o

. Kształt gęstości stanów pozostaje przy tym

niezmieniony. Sytuacja taka nie może jednak być stabilna: elektrony o momencie "w

dół" o energii wyższej niż

będą przechodzić do niezapełnionych stanów o

momentach "w górę" poniżej energii Fermiego, aż do wyrównania się poziomów

Fermiego dla obu orientacji. Możemy teraz obliczyć w przybliżeniu nadwyżkę

momentów o orientacji "w górę" nad orientacją przeciwną: będzie ona równa

podwójnej ilości elektronów, które przekroczyły (chwilowo) poziom Fermiego (Rys.

2.13b)

.

(2.96)

Odpowiadająca temu zmiana namagnesowania

(2.97)

a stąd podatność

.

(2.98)

Powyższy rachunek dotyczy temperatury T=0. Przechodząc do temperatur wyższych

należałoby uwzględnić rozmycie termiczne powierzchni Fermiego oraz zastąpić

przez

. Rozmycie termiczne nie wnosi jednak żadnej zmiany, ponieważ w T>0

obszary zakreskowane na Rys. 2.13., ograniczone poziomymi odcinkami prostej,

będą ograniczone lekko zakrzywionymi liniami jak na Rys. 2.6. Wpływ temperatury

przejawia się tylko poprzez zależność

(2.99)

i jest bardzo słaby, zgodnie z doświadczeniem. Tego typu reakcję na zewnętrzne

pole magnetyczne nazywamy paramagnetyzmem Pauliego. Przypomnijmy tu, że

paramagnetyzm zbioru jonów mających trwałe momenty magnetyczne jest odwrotnie

proporcjonalny do temperatury (prawo Curie)

(2.100)

W porównaniu z tym, paramagnetyzm Pauliego jest praktycznie niezależny od

temperatury.

Stosowalność modelu elektronów swobodnych

Teoria Sommerfelda była niewątpliwym postępem w stosunku do teorii

Drudego. Wprawdzie oparta była na przybliżeniu elektronów swobodnych

i niezależnych, ale wprowadziła pojęcie nieciągłego zbioru stanów kwantowych,

numerowanych wektorem k, oraz statystykę kwantową. Pozwoliła wyjaśnić charakter

wkładu elektronowego do ciepła właściwego metali i obliczyć podatność

paramagnetyczną metali, których jony pozbawione są samoistnych momentów

magnetycznych. Jeżeli chodzi o przewodnictwo elektryczne metali, to teoria

Sommerfelda prawidłowo akcentuje rolę powierzchni Fermiego w procesie transportu

i znaczenie gęstości stanów na poziomie Fermiego dla wartości przewodności

elektrycznej (chociaż dla sferycznej powierzchni Fermiego wyrażenie na

przewodność redukuje się do wzoru znanego z teorii Drudego).

Niestety nadal napotykamy fakty doświadczalne, których teoria ta nie może

wytłumaczyć:

1. Stała Halla obliczona z modelu elektronów swobodnych

zgadza się

z doświadczeniem tylko dla metali alkalicznych. Dla innych metali zależy od

temperatury, od pola magnetycznego, a czasem ma znak dodatni.

2. Magnetooporność powinna być niezależna od pola B, tymczasem na ogół

zależy od B.

3. Siła termoelektryczna obliczona z teorii Sommerfelda ma właściwy rząd

wielkości, ale czasem znak przeciwny do obserwowanego.

4. Prawo Wiedemanna - Franza, które można ściśle wyprowadzić z teorii

Sommerfelda, nie jest dokładnie spełnione w temperaturach pośrednich.

5. Zależność przewodności elektrycznej w stałym polu E od temperatury wymaga

założenia jakiegoś mechanizmu oddziaływań z jonami. Ponadto dla niektórych

metali zależy od kierunku E względem próbki.

6. Reakcja metali na zmienne pole elektryczne w modelu elektronów

swobodnych daje się zrozumieć tylko jakościowo. Np. barwy miedzi czy złota

nie da się wyjaśnić w tym modelu. Własności optyczne metali wymagają

bardziej skomplikowanej teorii dla ich poprawnego opisu.

7. Współczynnik w cieple właściwym gazu elektronowego obliczony z teorii

Sommerfelda dla niektórych metali bardzo odbiega od wartości

eksperymentalnej.

8. W świetle teorii Drudego i Sommerfelda wszystkie pierwiastki w stanie stałym

(może z wyjątkiem gazów szlachetnych) powinny być metalami, a tymczasem

tak nie jest.

Wszystkie te wyżej wymienione fakty skłaniają do wniosku, że niezbędne jest

sformułowanie bardziej adekwatnej teorii metali. Teoria taka nie może ignorować

istnienia dodatnich jonów, ułożonych periodycznie, w polu których znajdują się

elektrony. Oczywiście, wiadomo, że jony wykonują drgania, które nie zanikają nawet

w T=0 (tzw. drgania zerowe). Tym niemniej, pierwszym krokiem wiodącym ku lepszej

teorii będzie tzw. przybliżenie statyczne, polegające na tym, że zakładamy stabilne

pozycje jonów w ich położeniach równowagi. Obliczamy stany elektronowe w takim

statycznym i periodycznym polu elektrycznym, a ruch jonów uwzględniamy później.