2
Sprzężenie magnetyczne obwodów
strumienie własne:
Åšr1 Åšg1 Åšg1 + Åšr1 = Åš1
Podstawy elektrotechniki
Åšg2 + Åšr2 = Åš2
współczynniki sprzężenia:
Åšg1 Åšg2
k1 = k2 =
Åšr2
Åš1 Åš2
I1 U1 Åšg2 I2 U2
współczynnik sprzężenia:
k = k1k2
strumienie skojarzone:
¨1 = z1Åš1 ¨2 = z2Åš2 ¨g1 = z1Åšg1 ¨g2 = z2Åšg2
¨r1 = z1Åšr1 ¨r2 = z2Åšr2 ¨12 = z2Åšg1 ¨21 = z1Åšg2
¨1 L2 = ¨2
indukcyjności własne:
L1 =
I2
I1
w środowisku jednorodnym
¨12 ¨21
indukcyjności wzajemne: M12 = M21 = M12 = M21 = M
I1 I2
3 4
Sprzężenie magnetyczne obwodów Napięcia indukowane w uzwojeniach
Åšg1
strumienie skojarzone całkowite:
z1
Åšr1 Åšg1 Åšr1 Åšg1
¨1 z1Åš1 k1
¨c1 = ¨1 + ¨21
L1 = = =
I1 I1 I1
¨c2 = ¨2 + ¨12
Śg2 napięcia indukowane:
z2
¨2 z2Åš2 k2 d¨c1 d¨1 d¨21
Åšr2 Åšr2
L2 = = = u1 = = +
I2 I2 I2 dt dt dt
I1 U1 Åšg2 I2 U2 i1 u1 Åšg2 i2 u2
d¨c2 d¨2 d¨12
u2 = = +
dt dt dt
¨21 ¨12
¨1 = L1i1 ¨2 = L2i2 ¨21 = Mi2 ¨12 = Mi1
z1Åšg1 z2Åšg2 z1Åšg2 z2Åšg1 1 1
1 1
=
L1L2= = M21M12 = M2 1
d d di1 di2
I1k1 I2k2 I2 I1 k1 k2 u1 = (L1i1)+ (Mi2) = L1 + M
k1 k2 k2
dt dt dt dt
d d di2 di1
M = k L1L2
u2 = (L2i2)+ (Mi1)= L2 + M
dt dt dt dt
5 6
Indukowanie napięć sinusoidalnych Indukowanie napięć sinusoidalnych
zespolone sygnały wykładnicze: zespolone sygnały wykładnicze:
Åšr1 Åšg1 Åšr1 Åšg1
u1 u1
u1(t) = Um1ej(Ét+Õ ) u1(t) = Um1ej(Ét+Õ )
u 2 u 2
u2(t) = Um2ej(Ét+Õ ) u2(t) = Um2ej(Ét+Õ )
i1 i1
i1(t) = Im1ej(Ét+Õ ) i1(t) = Im1ej(Ét+Õ )
Åšr2 Åšr2
i 2 i 2
i1(t) = Im2ej(Ét+Õ ) i1(t) = Im2ej(Ét+Õ )
I1 U1 Åšg2 I2 U2 I1 U1 Åšg2 I2 U2
di1 di2 di2 di1
jÉt jÕ
jÉt jÕ u 2
u1
i1 i 2 u2(t) = Um2e e i 2 i1
u1(t) = Um1e e
= L1 + M = L2 + M
= L1Im1jÉejÉtejÕ + MIm2 jÉejÉtejÕ = L2Im2 jÉejÉtejÕ + MIm1jÉejÉtejÕ
dt dt dt dt
1 1
jÉt jÕ jÉt jÕ
i1 i 2 i 2 i1
u1 u 2
Um1e e = jÉL1Im1ejÉtejÕ + jÉMIm2ejÉtejÕ Um3e e = jÉL2Im2ejÉtejÕ + jÉMIm1ejÉtejÕ
jÉt jÉt
2e 2e
jÕ
i1 i 2 i 2 i1
u1
U1e = jÉL1I1ejÕ + jÉMI2ejÕ U2ejÕ u 2 = jÉL2I2ejÕ + jÉMI1ejÕ
U1 = jÉL1I1 + jÉMI2 U2 = jÉL2 I2 + jÉMI1
ÉL1 = X1 ÉM= XM
ÉL1 = X2 ÉM= XM
7 8
Przeciwne zwroty strumieni Zaciski jednoimienne uzwojeń
Åš1
Åš1
strumienie skojarzone całkowite:
Åšr1 Åšg1
¨c1 = ¨1 - ¨21
¨c2 = ¨2 - ¨12
Åš2 Åš2
napięcia indukowane:
I1 I2 I1 I2
" " " "
d¨c1 d¨1 d¨21
Åšr2
u1 = = -
sprzężenie ujemne (M<0)
sprzężenie dodatnie (M>0)
dt dt dt
i1 u1 Åšg2 u2 i2 " - zaciski jednoimienne ( poczÄ…tki ) cewek
d¨c2 d¨2 d¨12
u2 = = -
L1 k L2 L1 k L2
dt dt dt
" " " "
d d di1 di2
u1 = (L1i1)- (Mi2) = L1 - M Doświadczalne określanie  początków cewek
dt dt dt dt
k Reguła Lenza
+ " " +
d d di2 di1
Uz L1 L2
V
u2 = (L2i2)- (Mi1) = L2 - M
dt dt dt dt
-
-
9 10
Połączenie szeregowe Połączenie równoległe
L1 R1
I1 L1 R1
I
" "
I
k k
U
" "
U
L2 " "
" " I2 L2 R2
R2
M = k L1L2
ÉM= XM ÉL1 = X1 ÉL2 = X2
I jX1 +I2 jXM+ I1 R1= U
1
I jX1+I jXM + I R1+ I R2 + I jX2+ I jXM = U
I2 jX + I1 jX + I2R = U
2 M 2
I[(R1 + R2)+ j(X1 + X2 + 2XM )]= U
11 12
Połączenie w gwiazdę Moc bierna indukcyjności sprzężonych
I1 I2
I1 I2
jÕ1 jÕ
2
I1 = I1e I2 = I2e
M
R1
R2
*
U1 L1 L2 U2
S = U1 I1 + U I*
2 2
"
U
" "
L1 k L2 U1 = I1jX1 +I2 jXM U2 = I2 jX2 +I1jXM
"
*
S = (I1 jX + I2 jX )I1 + (I2 jX + I1 jX )I*
1 M 2 M 2
* *
= I1 I1 jX + I2 I* jX +(I1 I* + I2 I1)jX
1 2 2 2 M
I1 R1 + I jX1+I2 jXM = U
1
2 j(Õ1 - Õ )
2
= I1 jX + I2 jX +(I1I2e + I1I2e- j(Õ1 - Õ2 ))jX
1 2 2 M
I2 jX + I1 jX + I2R = 0
2 M 2
2
= I1 jX + I2 jX + 2I1I2 cos (Õ1 - Õ2 )jX
1 2 2 M
2
Q = I1 X1 + I2X + 2I1I2X cos (Õ1 - Õ2 )
2 2 M
13 14
Transformator powietrzny Transformator idealny
I1 I2
R1 = R2 = 0 Åšr1 = Åšr2 = 0 k = 1
n1 n2
R1
R2
Åš1
" " U2 Z0
U1
~
u1 n1 n2 u2
" " ~
L1 k L2
I1
I2 Z0
Åš2
~
U2
U1
d¨c1 dÅšc
~ u1 = = n1
równania transformatora: dt dt
u2
u1
d¨c2 dÅšc
U1- I1 R1- I jX1 +I2 jXM = 0
1
u2 = - = n2
Åšg1 = Åš1 Åšg2 = Åš2
dt dt
+ I2R
U2 2+ I2 jX - I1 jX = 0
2 M
¨c1 = n1Åš1 - n1Åšg2 - Åš2) = n1Åšc
= n1(Åš1
u1 n1
U2 = Z0 I2
=
¨c2 = n2Åš2 - n2Åšg1 - Åš1) -n2Åšc
= n2(Åš2 =
u2 n2
przekładnia zwojowa
przekładnia napięciowa
15 16
Transformator idealny Transformator z rdzeniem
uzwojenie DN
i1 i2
uzwojenie GN
p1
u1 n1 n2 u2 p2
p1 = p2
transformator kolumnowy transformator płaszczowy
u1i1 = u2i2
i1 u2 u1 n1
= =
i2 u1 u2 n2
i1 n2
=
i2 n1
transformator kolumnowo-płaszczowy
17 18
Magnesowanie rdzenia Równania transformatora
Åš1 u1(t) = Um cos Ét Åšc
Ś1 >> Śr1 stan obciążenia
dÅš1
i0 Åšr1 i1 Åšr1 Åšr2 i2
u1(t) = n1
dt
R1 R2 R1 R2
u2
u1 u1
1
~ ~
n1 n2 n1 n2
Åš1(t) = dt
+"u
n1 1
stan biegu
Um
Åš1(t) = sin Ét
jałowego
n1É
u1 Åš1
dÅšc dÅšr1 n2 dÅšc - n2 dÅšr2 - R2i2 - u2 = 0
Åš1
u1 - R1i1 - n1 - n1 = 0
dt dt
dt dt
i0
i0
dÅšr1 d¨r1 di1 dÅšr2 d¨r2 di2
t [ms]
n1 = = Lr1 n2 = = Lr2
dt dt dt dt dt dt
0 5 10 15 20
krzywa pierwotna
dÅšc dÅšc
pętla histerezy
n1 = uµ1 n2 = uµ2
dt dt
19 20
Równania transformatora Schemat zastępczy transformatora
di2 n2
uµ2 = u2 + R2i2 + Lr2 uµ2 = uµ1
di1 di2
u1 = R1i1 + Lr1 + uµ1 uµ2 = u2 + R2i2 + Lr2
dt n1
dt dt
n2 di2
uµ1 n1
uµ1 = u2 + R2i2 + Lr2
=
n1 dt
uµ2 n2
i' n2
2
i1 = i0 + i' n1 n1 n1 di2 n1
=
2
uµ1 = u2 + R2i2 + Lr2 i2 = i'
i2 n1 2
n2 n2 n2 dt n2
Lr2 R2
R1 Lr1 ëÅ‚ öÅ‚
n1
i1 i2
i' ìÅ‚ ÷Å‚
dìÅ‚i'
2
2
n2
n1 n1 n1 n1 ÷Å‚
i0
= u2 + R2i' + Lr2 íÅ‚ Å‚Å‚
n2 2 n2 n2 n2 dt
u2
u1 RFe Lµ uµ1 n1 n2 uµ2
~
di'
= u' + R' i' + L' 2
2 2 2 r2
dt
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n1 n1
schemat zastępczy transformatora
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
R' = R2ìÅ‚ ÷Å‚ L' = L2ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
n2 n2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
21 22
Schemat zastępczy transformatora Uproszczony schemat zastępczy
i1 R1 Lr1 L'r2 R' i'
2
2
di1
RFe >> Xµ
u1 = R1i1 + Lr1 + uµ1 1)
i0
dt
R1 H" R'
2 u1 Lµ uµ1
u'
2
di'
uµ1 = u' + R' i' + L' 2
X1 H" X'
2 2 2 r2
2
dt
i'
R1 Lr1 L'r2 2 i1 Rz Lz 2
R' i' Xµ >> R1,X1
2)
i1
2
i0
Rz = R1 + R' i1 = i' u1
2 2
u'
2
u'
u1 RFe Lµ uµ1 2
Xz = X1 + X'
~ 2
i'
i1 Lz 2
Rz << Xz
3)
schemat zastępczy sprowadzony do strony pierwotnej
u1 u'
2