Piotr Ciżkowicz
Sebastian Michalski
Anna Staszewska
Rafał Wawrzyńczyk
Bartosz Witkowski
MATERIAA
Y DO ZAJ
Ć
METODY ILOÅšCIOWE
POD REDAKCJ
SEBASTIANA MICHALSKIEGO
WYŻSZA SZKOA
A HANDLU I FINANSÓW MI
DZYNARODOWYCH
WARSZAWA 2004
Spis treści
1 Część matematyczna i ekonometryczna, Sebastian Michalski 3
1.1 Równanie prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Funkcja jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 CiÄ…gi i szeregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Elementy matematyki finansowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Pochodna funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Druga pochodna funkcji jednej zmiennej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Funkcje dwóch zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Znak sigmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Całka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Część statystyczna, red. Sebastian Michalski 23
2.1 Miary tendencji centralnej i miary zmienności, Rafał Wawrzyńczyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Zmienne losowe, rozkład normalny, średnia i różnica dwóch średnich, Piotr Ciżkowicz . . . . . . . . . 26
2.2.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Estymacja parametrów. Przedziały ufności, Anna Staszewska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Weryfikacja hipotez statystycznych  testy istotności dla pojedynczej próby, Bartosz Witkowski . . . . 32
2.4.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
1 Część matematyczna i ekonometryczna, Sebastian Michalski
1.1 Równanie prostej
Postać ogólna
Ax + By + C = 0, A2 + B2 > 0. (1)
Postać kierunkowa
y = ax + b. (2)
Przejście z postaci ogólnej do kierunkowej i odwrotnie.
1
Proste równoległe (a1 = a2) i prostopadłe (a1 = - ).
a2
Interpretacja a:
1. współczynnik kierunkowy,
2. tangens kąta nachylenia prostej do osi 0x (odciętych) (rysunek),
3. wzrost (dla a > 0) bÄ…dz
spadek (dla a < 0) y przy wzroście x o jednostkę (rysunek), np. funkcja konsumpcji
względem dochodu.
Interpretacja b:
1. stała lub wyraz wolny,
2. odległość punktu przecięcia prostej z osią 0y (rzędnych) od początku układu współrzędnych - punktu (0, 0)
(rysunek),
3. y = b dla x = 0
4. autonomiczna część y (niezależna od x), np. funkcja konsumpcji względem dochodu lub poziom y przy x = 0,
np. plony jako funkcja nawożenia.
Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez punkty A(ax, ay) i B(bx, by) z układu równań:

ay = aax + b
(3)
by = abx + b
Równania postaci y = c (gdy ay = by) oraz x = c (gdy ax = bx  układ sprzeczny), gdzie c  stała.
Postać odcinkowa
x y
+ = 1. (4)
Ä… ²
BezpoÅ›rednie odczytanie punktów przeciÄ™cia z osiami z postaci odcinkowej: z osiÄ… 0x jako (Ä…, 0), z osiÄ… 0y jako (0, ²).
Przejście z postaci: ogólnej do odcinkowej (i odwrotnie), kierunkowej do odcinkowej (i odwrotnie).
Postać parametryczna

x = (1 - t)ax + tbx
(5)
y = (1 - t)ay + tby
A, B  jak wyżej, t  dowolna liczba rzeczywista (t " R).
Dla t " [0, 1]  parametryczną postać odcinka (wyznaczenie końców odcinka przez podstawienie t = 0 oraz t = 1 oraz
1
jego środka dla t = ).
2
Przejście z postaci parametrycznej do ogólnej (eliminacja t przy rozwiązywaniu układu równań (5)) oraz odwrotnie 
z ogólnej do parametrycznej (znalezienie dowolnych dwóch punktów (wygodnie dla x = 0 i x = 1) leżących na prostej
i skorzystanie ze wzoru (5)).
Szybkie wyznaczanie współczynnika kierunkowego a z postaci parametrycznej:
współczynnik stojący przy t definiującym y
. (6)
współczynnik stojący przy t definiującym x
Wyznaczenie długości odcinka o końcach w A i B:

(ax - bx)2 + (ay - by)2. (7)
Wyznaczanie punktów przecięcia się prostych postaci:
1. ogólnych  rozwiązując układ równań,
2. kierunkowych  przyrównując do siebie prawe strony równań,
3. odcinkowych  przyrównując do siebie lewe strony równań,
4. parametrycznych  przyrównując odcięte a następnie rzędne obu równań.
3
1.1.1 Zadania
Zadanie 1 Znalez
ć współrzędne punktów przecięcia się prostych:
1. 3x + 2y - 1 = 0 i 2x - y - 3 = 0,
2. y = 3x + 2 i y = 4x + 5,
x y x y
3. + = 1 i + = 1,
2 3 4 2
4. x = 2 + t1, y = 4 + 3t1 i x = 4 - 2t2, y = 6 - 3t2, t1, t2 " R.
Zadanie 2 Znalez
ć współrzędne punktów przecięcia sie prostych podanych w w/w zadaniu z osiami współrzędnych.
Zadanie 3 Podać równanie prostej przechodzącej przez punkty:
1. A(3, 5), B(3, 6),
2. A(2, 1), B(4, 1),
3. A(3, 1), B(4, 2).
Zadanie 4 Dana jest prosta:

x = 3t - 1
y = 5 + 2t
t " R. Znalez
ć:
1. punkty przecięcia się z prostą 3x - 2y + 5 = 0,
2. punkty przecięcia się z prostą y = 3x + 5.
Zadanie 5
1. Podać prostą równoległą do prostej 3x + 2y - 1 = 0 i przechodzącą przez punkt (3, 2).
2. Podać prostą prostopadłą do prostej 2x - y + 3 = 0 i przechodzącą przez punkt (3, 2).
1.2 Funkcja jednej zmiennej
Definicja funkcji Funkcja zmiennej x:
y = f(x), x " X, (8)
to przyporządkowane każdemu argumentowi x (zmienna niezależna) ze zbioru X dokładnie jednej wartości y (zmienna
zależna) ze zbioru Y (X, Y " R). Funkcja przekształcająca zbiór X w zbiór Y :
f : X Y, y = f(x). (9)
Dziedzina funkcji f: Df " R  zbiór X, na którym jest określona funkcja f.
Y  przeciwdziedzina funkcji.
f(X)  obraz dziedziny / zbiór wartości funkcji:
f(X) = y : y = f(x), x " X. (10)
Funkcja przekształca zbiór X na zbiór Y , gdy:
f(X) = Y. (11)
b
Omówienie funkcji na przykładach i wykresach: f(x) = ax + b, f(x) = a + , ax.
x
Miejsce zerowe funkcji
x0 " Df : f(x0) = 0. (12)
Obliczanie miejsc zerowych na przykładach (ax + b, ax2 + bx, ax2 + bx + c, ax3 + bx).
Monotoniczność Funkcję f określoną w zbiorze X nazywamy monotoniczną w swojej dziedzinie, jeżeli jest:
1. rosnÄ…ca Ô! x1 < x2 Ò! f(x1) < f(x2) dla x1, x2 " X,
2. malejÄ…ca Ô! x1 < x2 Ò! f(x1) > f(x2) dla x1, x2 " X,
3. niemalejÄ…ca Ô! x1 < x2 Ò! f(x1) f(x2) dla x1, x2 " X,
4. nierosnÄ…ca Ô! x1 < x2 Ò! f(x1) f(x2) dla x1, x2 " X,
5. staÅ‚a Ô! f(x1) = f(x2) dla x1, x2 " X.
(rysunki).
Przedziały monotoniczności  zbiór X jako suma przedziałów, w których funkcja jest monotoniczna.
Funkcje ściśle monotoniczne (rosnące i malejące).
4
Funkcja różnowartościowa f : X Y jest różnowartościowa, jeżeli dla dowolnych x1 = x2 należących do X

zachodzi: f(x1) = f(x2).

Funkcja odwrotna Funkcję f-1 : Y X nazywamy odwrotną do różnowartościowej f, jeżeli dla każdego x " X i
y " Y zachodzi y = f(x) Ô! x = f-1(y). (przykÅ‚ad, rysunek)
Ciągłość funkcji f jest ciągła w x0, jeżeli ma w tym punkcie granicę równą swojej wartości w tym punkcie. (przykład,
kontrprzykład, rysunek) f jest ciągła w swojej dziedzinie, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny.
Superpozycja Złożeniem (superpozycją) funkcji g : X Y (wewnętrznej) i f : Y Z (zewnętrznej) nazywamy
funkcję h : X Z, taką, że h(x) =f(g(x)), x " X. (przykłady)
Przykłady funkcji
1. linowa f(x) =ax + b, x " ,
2. kwardatowa f(x) =ax2 + bx + c, a =0, x " ,

3. potęgowa f(x) =xa, a " ,
4. wykładniczna f(x) =ax, a =1, x " ,

5. logarytmiczna f(x) =loga x, a > 0, a =1, x > 0.

(przykłady, rysunki)
Koło trygonometryczne (okrąg trygonometryczny) to okrąg o promieniu r = 1 o środku w początku prostokątne-
go, kartezjańskiego układu współrzędnych, służący do określenia wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych
argumentów rzeczywistych.
y x y x
sin Ä… = , cos Ä… = , tg Ä… = , ctg Ä… = . (13)
r r x y
y
tg Ä…
1
sin Ä…
Ä…
0 cos Ä… ctg Ä… 1 x
y
ródło: opracowanie własne.
Rysunek 1: Koło trygonometryczne: dla dowolnej liczby rzeczywistej ą znajduje się półprostą, będącą końcowym położeniem półprostej
pokrywającej się z dodatnią półosią osi Ox po wykonaniu przez nią obrotu o mierze ą (kąt obrotu) wokół początku układu współrzędnych
oraz ustala się współrzędne (x, y) punktu przecięcia się otrzymanej półprostej z okręgiem trygonometrycznym.
1.2.1 Zadania
"
1 3
Zadanie 6 Dana jest funkcja f(x) = x2 +( x +1)2. Znalez
ć: f(1), f(0), f(k), f(a2 - 1), f(x +2).
3
"
1 3
Zadanie 7 Dana jest funkcja f(x) = x2 +( x +1)2. Znalez
ć: f(1), f(0), f(k), f(a2 - 1), f(x +2).
3
Zadanie 8 Wyznaczyć dziedzinę następujących funkcji:
5
"
1. f(x) = 8 - x3,
1
1
2
2. f(x) = x + 1,
2

x-3
3. f(x) = ,
x2-1
x+2
4. f(x) = log ,
x2-1
2x-1
5. f(x) = ,
2x+1
"
1
6. f(x) = + x - 3.
log(2+x)
Zadanie 9 Z jakich funkcji złożona jest funkcja:
x
1. z = log ,
3x2+1
"
2. z = cos3 x3 + 1,

5
3. z = log(x2 + x3),
3
4. z = ex -2,
5. z = log3(ctg x2),
6. z = (2 + 3x3)6.
Zadanie 10 Znalez
ć funkcję odwrotną do funkcji:
1. f(x) = 10x-1,
3x
2. f(x) = ,
1+3x
"
3. f(x) = 3 + 2x,
1
4. f(x) = .
x-4
1.3 CiÄ…gi i szeregi
Ciag skończony (an) lub a1, a2, . . . , an jest funkcją, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych mniej-
szych lub równych od pewnej liczby, zwanej ilością wyrazów albo długością ciągu skończonego. W szczególności, dwu-
wyrazowe ciągi nazywa się parami, trójwyrazowe  trójkami itd.
Ciag nieskończony jest funkcją, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb naturalnych.
W powyższych założeniach nie mówi się, czym są wartości funkcji będących ciągami. W zależności od
tego, czym one są, mówi się o ciągach liczbowych, ciągach punktów, fukcji, figur, itp. Wartość funkcji będącej
ciÄ…giem, przyporzÄ…dkowanÄ… liczbie naturalnej n nazywamy n-tym wyrazem ciÄ…gu i oznaczamy symbolem
postaci an, zamiast powszechnie używanego na oznaczenie wartości funkcji symbolu postaci f(n). Dzięki
temu, że wyrazy ciągu sa przyporządkowane liczbom naturalnym, jest wśród nich ustalona kolejność, według
której dla każdego naturalnego n wyraz an poprzedza wyraz an+1, a ten drugi następuje po pierwszym,
[11].
Ciąg liczbowy to ciąg, którego wyrazami są liczby określonego rodzaju, np.: całkowite Z, wymierne Q, rzeczywiste
R, zespolone C i in.
Ciąg arytmetyczny (skończony lub nieskończony) to ciąg liczbowy, dla którego róznica pomiędzy wyrazami następ-
nym i poprzednim jest taka sama dla wszystkich par takich wyrazów:
a2 - a1 = a3 - a2 = . . . = an - an-1 = q. (14)
Zatem:
a2 - a1 = q Ò! a2 = a1 + q,
a3 - a2 = q Ò! a3 = a2 + q Ò! a3 = a1 + 2q,
a4 - a3 = q Ò! a4 = a3 + q Ò! a4 = a1 + 3q,
.
.
.
an - an-1 = q Ò! an = an-1 + q Ò! an = a1 + (n - 1)q.
Ostatecznie ciąg (an) przyjmuje postać:
a1 , a1 + q, a1 + 2q, . . . , a1 + (n - 1)q . (15)

a1 a2 a3 an
6
Szereg arytmetyczny
Sn = a1 + a2 + · · · + an = a1 + a1 + q + a1 + 2q + · · · + a1 + (n - 1)q

a1 a2 a3 an
= a1 + a1 + · · · + a1 + q + 2q + · · · + (n - 1)q

n n-1

= na1 + q 1 + 2 + · · · + (n - 1)
1 + (n - 1)
= na1 + q (n - 1)
2
n
= na1 + q (n - 1)
2

q
= n a1 + (n - 1) . (16)
2
Przyjrzyjmy siÄ™ sumie 1 + 2 + · · · + n. Niech ostatni wyraz bÄ™dzie równy 10. Zapiszmy sumÄ™ pod sobÄ… ale od koÅ„ca:
Sn=10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +10 · · · wyraz ostatni
Sn=10 10+ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 · · · wyraz pierwszy
2Sn=10 11+11+11+11+11+11+11+11+11+11 · · · wyraz pierwszy + ostatni
W każdej kolumnie jest suma wyrazu pierwszego i ostatniego, a kolumn jest tyle ile wyrazów. Zatem w dwóch wierszach
11·10
sÄ… dwie takie same sumy, które dajÄ… 11 · 10. Zatem w jednym wierszu jest , co prowadzi do ogólnego wzoru:
2
1 + n
1 + 2 + · · · + n = n. (17)
2
Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, dla którego iloraz wyrazu następnego przez poprzedni jest taki sam dla
wszystkich par wyrazów sąsiednich:
a2 a3 an
= = . . . = = q = 0. (18)

a1 a2 an-1
Zatem:
a2
= q Ò! a2 = a1q,
a1
a3
= q Ò! a3 = a2q Ò! a3 = a1q2,
a2
a4
= q Ò! a4 = a3q Ò! a4 = a1q3,
a3
.
.
.
an
= q Ò! an = an-1q Ò! an = a1qn-1.
an-1
Ostatecznie ciąg (an) przyjmuje postać:
a1 , a1q, a1q2, . . . , a1qn-1 . (19)

a1 a2 a3 an
Szereg geometryczny
Sn = a1 + a2 + · · · + an = a1 + a1q + a1q2 + · · · + a1qn-1

Sn-a1
Snq = a1q + a2q + · · · + anq = a1q + a1q2 + · · · + a1qn-1 +a1qn

Sn-a1
Snq = Sn - a1 + a1qn
Snq - Sn = a1(qn - 1)
Sn(q - 1) = a1(qn - 1)
qn - 1 1 - qn
Sn = a1 = a1 (20)
q - 1 1 - q
7
Dla n ", |q| < 1 oraz a1 = 1 otrzymujemy:
1
Sn" = . (21)
1 - q
Przykład 1 Masz dwie możliwości odebrania nagrody:
1. 10 000 zł teraz,
2. 1000 zł dzisiaj, 900 zł jutro, 810 zł pojutrze, itd. aż do śmierci.
Co wybierasz?
1
W drugim przypadku q = 0, 9. Zatem łączna nagroda to 1000 = 10 000. Ale nikt nie żyje wiecznie, a poza tym po
1-0,9
co czekać by dostać to samo?
1.4 Elementy matematyki finansowej
P V  początkowa wielkość kapitału (present value),
F V  konćowa wielkość kapitału (future value),
r  stopa procentowa (rate),
n  czas użytkowania kapitału, mierzony w okresach stałej długości,
k  podokres n,
I  wielkość uzyskanych odsetek (interest),
NSP  nominalna roczna stopa procentowa.
Procent prosty
I
1. I = nrP V, nr = ,
P V
2. F V = P V + I = P V + nrP V = (1 + nr)P V ,
F V
3. P V = ,
1+nr
F V -P V
4. n = ,
rP V
F V -P V
5. r = .
nP V
Stopy procentowe r1 i r2 są równoważne, gdy uzyskane z kapitału odsetki w odpowiednim okresie będą tej samej
wielkości.
Procent składany
" F V = P V (1 + r)n, I = ((1 + r)n - 1)P V ,
" (1 + r)n  n okresowy czynnik oprocentowujÄ…cy ,
r
" F V = P V (1 + )kn,
k
" F V = P V ert  przy oprocentowaniu ciągłym.
Dyskontowanie:
F V
" P V = ,
1+nr
F V
" P V = ,
(1+nr)n
F V
" P V = .
ert
Renty
" R  wielkość raty wpłaconej w końcu okresu płatności (płatna z dołu),
(1+r)n-1
" F V = R ,
r
r
" R = F V ,
(1+r)n-1
rF V
log(1+ )
R
" n = ,
log(1+r)
1-(1+r)-n
" P V = R ,
r
rP V
" R = .
1-(1+r)-n
8
1.4.1 Zadania
Zadanie 11 Jurek otrzymał od wujka pożyczkę 1000 zł na kupno motoroweru, którą ma zwrócić po upływie 1,5 roku
płacąc jednocześnie wujkowi co kwartał 3% od pożyczonej kwoty. Ile musi Jurek zapłacić wujkowi za udzielenie pożyczki?
Zadanie 12 Bank udzielił pożyczki 9000 zł na okres 3 lat. Pożyczka jest obwarowana oprocentowaniem prostym NSP
r = 0,15 i spłacana jest bankowi w końcu każdego okresu półrocznego; a) ile wyniesie całe oprocentowanie należne
bankowi za trzyletnią pożyczkę? b) jak jest zdyskontowana wartość wypłaconych kwot oprocentowania przy stosowanym
przez bank oprocentowaniu prostym?
Zadanie 13 Spółdzielnia stomatologiczna chce uzyskać z banku półroczny kredyt w wysokości 30 tys. zł na uruchomienie
nowego gabinetu dentystycznego. Bank udzieli spółdzielni takiego kredytu, ale należne oprocentowanie będzie potrącone
w momencie wypłaty. Jaka powinna być wielkość P udzielonego kredytu przy r = 0,12 aby spółdzielnia dysponowała
pełną kwotą 30 tys. zł?
Zadanie 14 Do banku wpłacono 6000 zł na dwumiesięczny wkład terminowy z oprocentowaniem prostym przy NSP
r = 18%. Wpłacający zamierza utrzymać tego rodzaju lokatę przez cały rok przy gwarancji, że w tym czasie wartość
stopy procentowej nie ulegnie zmianie. Należy ustalić: a) jakie będą odsetki za dwumiesięczną lokatę? b) jak wielka będzie
wartość odsetek w ciągu roku? c) po jakim czasie wartość odsetek od tego rodzaju lokaty osiągnie kwotę 2400 zł?
Zadanie 15 Przedsiębiorstwo komunikacyjne chce zakupić nowe autobusy. Pożyczkę 150 000 zł na ich zakup ma uzy-
skać ze sprzedaży specjalnych 5 letnich obligacji z oprocentowaniem prostym i odsetkami wypłacanymi co kwartał przy
kwartalnej SP r = 0,03: a) jaką kwotą przedsiębiorstwo musi obsłużyć każde kwartalne oprocentowanie? b) ile wyniesie
całość pięcioletniego oprocentowania i jaki procent pożyczki stanowi jego (oprocentowania) wartość zdyskontowana na
moment sprzedaży obligacji?
Zadanie 16 Pan Smutny zaciągnął pożyczkę, którą ma spłacić w dwóch ratach: 1500 zł po miesiącu i 1500 zł po trzech
miesiącach. Nieoczekiwanie uzyskał pewną kwotę pieniędzy umożliwiającą natychmiastową spłatę całej pożyczki. Jaką
kwotę stanowi obecna wartość pożyczki, którą udzielono na procent składany przy miesięcznej SP r = 0,03?
Zadanie 17 Są dwie możliwości ulokowania kapitału 8000 zł na okres 2 lat na procent składany. Jedną jest lokata w
banku A, gdzie oprocentowanie będzie dokonywane co pół roku przy stopie procentowej rA = 10%. Druga to lokata w
banku B z oprocentowaniem kwartalnym i stopą procentową rB = 5%. Który z banków zapewnia lepszą lokatę kapitału,
tzn. która z dwuletnich kapitalizacji zapewni lepszy kapitał?
Zadanie 18 Terminowe lokaty w jednym z banków mają oprocentowanie składane z SP proporcjonalną do NSP r, któ-
rej wielkość zależy od rodzaju lokaty. Propozycje NSP dla odpowiednich lokat terminowych są następujące: 1m=18,75%,
3m=19,75%, 4m=19,95%, 6m=20,25%, 12m=21,25%. Ustalić jakim NSP it przy oprocentowaniu prostym są równo-
ważne NSP rt, proponowane przez bank.
Zadanie 19 Depozyt pieniężny można ulokować na procent składany, naliczany co kwartał przy NSP r = 18% lub na

oprocentowanie ciągłe z NSP = 16%. Przy którym z tych dwóch sposobów kapitalizacja 6000 zł szybciej osiągnie kwotę
10 000 zł?
Zadanie 20 Przy jakiej NSP r po trzech latach oprocentowania ciągłego depozyt 5 000 zł podwoi swą wartość?
Zadanie 21 Rolnik wydzierżawił część swych gruntów uprawnych na 4 lata z dzierżawą 2 500 zł, płatną w końcu
listopada każdego z kolejnych lat dzierżawy. Pieniądze otrzymane z dzierżawy będą lokowane w banku na procent składany
z NSP r = 0,15. Jakim funduszem będzie on dysponował po upływie czterech lat?
Zadanie 22 Oblicz wielkość kapitału uzyskanego z 30 000 zł po upływie 2 lat w zależności od zastosowania jednego z
dwóch sposobów oprocentowania: a)procentu składanego, naliczanego co pół roku z NSP rs = 11%, b) oprocentowania
ciągłego z NSP rc = 10, 5%.
Zadanie 23 Ustalić po jakim czasie kwota 8 000 zł w wyniku oprocentowania powiększy się o trzy czwarte swej wartości
przy NSP r = 18%, gdy zastosujemy: a) oprocentowanie składane, naliczane co miesiąc, b)oprocentowanie ciągłe.
Zadanie 24 Kapitalizację kwoty 2 000 zł można uzyskać na dwa sposoby:
1. Lokata w banku na trzymiesięczny wkład terminowy z możliwością jego przedłużenia na następne trzymiesięczne
okresy przy oprocentowaniu prostym z NSP r1 = 18%. Uzyskane w tej kapitalizacji odsetki są następnie lokowane na
konto avista, gdzie oprocentowanie jest ciągłe ze stopą ra = 10%.
2. Zakup obligacji z ciągłym oprocentowaniem i NSP r2 = 12%.
Dla obu sposobów obliczyć wysokość zgromadzonego kapitału, możliwą do uzyskania w ciągu 2 lat.
Zadanie 25 Wojtek postanowił przez 1,5 roku wpłacać do banku raty kwartalne w wysokości 200 zł, które będą podlegać
co kwartał oprocentowaniu składanemu z SP r = 0,03. Jaką kwotę zgromadzi w tym czasie Wojtek?
9
Zadanie 26 Pewne stowarzyszenie chce zgromadzić kwotę 100 000 zł potrzebną na podjęcie inwestycji za trzy lata. W
tym celu będą wpłacane do banku raty przez trzy lata w końcu każdego kwartału. Raty będą kapitalizowane kwartalnie
oprocentowaniem składanym przy NSP r = 0,2; a) jakiej wielkości raty mają być wpłacane kwartalnie? b) jaką część
zgromadzonego po trzech latach kapitału będą stanowiły odsetki uzyskane z wpłaconych rat?
Zadanie 27 Pracownik wpłacał do banku ratę 100 zł co miesiąc przez okres 3 lat. Przez ile miesięcy pracownik będzie
mógł pobierać rentę w wysokości 150 zł z przekazanej do banku kwoty, jeżeli w całym tym okresie będzie obowiązywać w
banku NSP r = 0,15 z miesięczną kapitalizacją odsetek.
Zadanie 28 Przedsiębiorstwo uzyskało pożyczkę 10 000 USD na 5 lat, którą musi w tym okresie spłacać kwartalnie
w jednakowych ratach. Pożyczka podlega oprocentowaniu składanemu od nie zwróconych kwot przy NSP r = 0,18,
naliczanemu kwartalnie po każdej zwróconej racie: a) jakie mają być raty kwartalne? b) ile wyniesie oprocentowanie
udzielonej pożyczki?
Zadanie 29 Firma wydawnicza  Dobra Książka chce kupić za dwa lata poligraficzny skład komputerowy, który masz
kosztować 400 000 zł. Jakie miesięczne raty powinna firma wpłacać do banku na oprocentowanie składane, naliczane co
miesiąc, aby po dwóch latach zgromadzić wymaganą kwotę, gdy bank gwarantuje otrzymanie dla tego rodzaju oszczędności
NSP r = 15%.
Zadanie 30 Wyprowadzić wzory na: F Vn, R do danego F Vn oraz na P Vn przy ustalonym R, gdy mamy do czynienia
z rentami płatnymi z góry i przy okresowej SP równej r.
1.5 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Przyrost argumentu x "x = x1 - x0
Przyrost wartości funkcji y "y = f(x1) - f(x0) = f(x0 + "x) - f(x0) (rysunek)
Iloraz różnicowy to zmiana wartości y przypadająca na jednostkę zmiany wartości x:
"y f(x0 + "x) - f(x0)
= (22)
"x "x
Jest miarą przeciętnej stopy zmiany lub procentowym przyrostem względnym funkcji. (przykład)
Granica ilorazu różnicowego jako pochodna funkcji w punkcie:
"y f(x0 + "x) - f(x0)
lim = lim = f (x0). (23)
"x0 "x0 "x
"x
(przykład)
Reguły różniczkowania
" (c) = 0, (xn) = nxn-1, (ax) = ax ln a,
1 1
" (ex) = ex, (ln x) = , (loga x) = ,
x x ln x
1 1
" (sin x) = cos x, (cos x) = - sin x, (tg) = , (ctg) = - .
cos2 x sin2 x
" [cf(x)] = cf(x) ,
" [f(x) Ä… g(x)] = f (x)g Ä… (x),
" [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x),
f(x) f (x)g(x)-f(x)g (x)
" [ ] = ,
g(x) g2(x)
" [f(g(x))] = f (g(x))g (x).
(przykłady).
Równanie prostej przechodzącej przez punkty (x0, f(x0)), (x0 + "x, f(x0 + "x)):
f(x0 + "x) - f(x0)
y - f(x0) = (x - x0) = f (x0)(x - x0). (24)
"x
10
Równanie stycznej do f(x) w (x0, f(x0)):
y - f(x0) = f (x0)(x - x0). (25)
(przykłady)
Przybliżona wartość funkcji
f(x0 + "x) H" f(x0) + f (x0)"x, (26)
gdzie f (x0)"x  różniczka funkcji. (przykład)
Maksymalizacja zysku przy jednoczesnej minimalizacji kosztu
Koszt całkowity C(x), x  poziom produkcji,
Utarg całkowity U(x) = px, p  cena dobra,
Zysk Z(x) = U(x) - C(x).
Koszt krańcowy (marginal cost) C (x)  wzrost kosztów całkowitych wywołany wzrostem produkcji o jednostkę.
Utarg (przychód) krańcowy (marginal revenue)  wzrost utargu całkowitego wywołany wzrostem produkcji o jednostkę.
Elastyczność przeciętna funkcji jako stosunek przyrostu względnego wartości funkcji do przyrostu względnego
wartości argumentu:
f(x+"x)-f(x)
"y
f(x + "x) - f(x) x
y f(x)
= = . (27)
"x "x
"x f(x)
x x
Elastyczność funkcji Dla "x 0 otrzymujemy:
x
Exf(x) = f (x) , (28)
f(x)
przybliżona miara procentowego przyrostu wartości funkcji odpowiadająca przyrostowi wartości argumentu o 1%.
(przykład)
Zastosowanie pierwszej pochodnej do badania własności funkcji jednej zmiennej
Monotoniczność Na pewnym przedziale funkcja f jest:
rosnąca, jeżeli na tym przedziale f (x) > 0
malejąca, jeżeli na tym przedziale f (x) < 0. (przykład)
Ekstrema lokalne f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, leżeli w dostatecznie bliskim otoczeniu punktu x0, dla
wszystkich wartości x = x0 wartości funkcji są mniejsze równe od wartości tej funkcji w punkcie x0: f(x0) f(x).

f ma w punkcie x0 minimum lokalne, leżeli w dostatecznie bliskim otoczeniu punktu x0, dla wszystkich wartości x = x0

wartości funkcji są większe równe od wartości tej funkcji w punkcie x0: f(x0 f(x). (przykład, rysunek)
Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x0 i ma w tym punkcie ekstre-
mum lokalne, to pochodna funkcji f w tym punkcie jest równa zero f (x0) = 0, x0  punkt stacjonarny.
Warunki wystarczające Jeżeli f (x) w otoczeniu x0 zmienia się z wartości ujemnej na dodatnią, to w x0 f ma
minimum lokalne.
Jeżeli f (x) w otoczeniu x0 zmienia się z wartości dodatniej na ujemną, to w x0 f ma minimum lokalne.
Jeżeli f (x) w otoczeniu x0 nie zmienia znaku, to w x0 f nie ma ekstremum lokalnego. (przykład, rysunek)
Ekstrema globalne f(x0) jest najmniejszą wartością funkcji f na Df , jeżeli dla każdego punktu należącego do
dziedziny funkcji wartości funkcji są większe równe o wartości funkcji w punkcie x0: f(x0) f(x), x " Df .
f(x0) jest największą wartością funkcji f na Df , jeżeli dla każdego punktu należącego do dziedziny funkcji wartości
funkcji są mniejsze równe o wartości funkcji w punkcie x0: f(x0) f(x), x " Df .
Funkcja f ciągła w przedziale domkniętym [a, b] osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą i największą.
Zredukowanie dziedziny do przedziału [a, b]: min[a,b] f  minimum globalne, max[a,b] f  maksimum globalne.
Etapy wyznaczania ekstremów globalnych:
1. Sprawdzić, czy f jest ciągła na [a, b].
2. Wyznaczyć punkty stacjonarne.
3. Wyznaczyć wartości funkcji w punktach stacjonarnych i na końcach przedziału [a, b].
4. Wybrać wartość najmniejszą i największą z wartości z poprzedniego kroku.
11
1.5.1 Zadania
Zadanie 31 Wyznaczyć procentowy przyrost względny funkcji f, jeżeli:
"
4
1. f(x) = x, x0 = 2, "x = 0, 01,
"
2. f(x) = x2 + 3, x0 = -1, "x = 0, 02,
3. f(x) = ln x, x0 = 1, "x = 0, 001,
4. f(x) = log x, x0 = 100, "x = 90.
Zadanie 32 Czy funkcja f ma pochodną w punkcie x0, jeżeli:
1. f(x) = -3x2 - 1, x0 = -1,
-2
2. f(x) = , x0 = 1,
x
3. f(x) = x2, x0 " R,
"
4. f(x) = x + 1, x0 = 5,
1
5. f(x) = , x0 = 8.
x2-1
Zadanie 33 Wykorzystując wykres funkcji sprawdzić, czy podane funkcje mają pochodne w punkcie x0:
1. f(x) = |x|, x0 = 0,
2. f(x) = |x + 3|, x0 = -3,
3. f(x) = |4 - 3x|, x0 = 1,
4. f(x) = |2 - x|, x0 = 2.
Zadanie 34 Wyznaczyć pochodną funkcji:
1 1 1
1 1 1
4 3 2
1. f(x) = x - x + x - 2,
4 3 2
2. f(x) = (2x2 + 3)x3,
1
x
3. f(x) = ,
x3+1
x4
4. f(x) = ,
ln x
5. f(x) = esin x+1,

6. f(x) = 2x + (1 + x3)5,
"
7. f(x) = 3x-3 - 2x2,
"
8. f(x) = (x2 + 1)e-4x - x,
9. f(x) = sin3 x,
ln x-1
10. f(x) = .
ln x+1
Zadanie 35 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji o odciętej w punkcie x0:
1. f(x) = x2 - 3, x0 = 1,
2
2. f(x) = e-x -2x, x0 = 1,
"
3. f(x) = x2 + x + 2, x0 = 2.
Zadanie 36 Obliczyć różniczkę funkcji w punkcie x0:

1
1. f(x) = x2 + x + 2, x0 = 1,
2
2
2. f(x) = e-x -2x-1, x0 = 1.
Zadanie 37 Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia:
"
3
e0,01, ln 0, 98, 7, 97, sin(-0, 02).
Zadanie 38 Wyznaczyć elastyczność kosztów całkowitych przedsiębiorstwa i podać interpretację, gdzie:
1 1
1. C(x) = x3 - x2 - 3x + 1, x0 = 10,
3 2
1
2. C(x) = ln(x + 20) + 2ex-50 + , x0 = 50, ln 70 = 4, 25.
x
Zadanie 39 Funkcja popytu (c) na pewno dobro zależy od ceny c tego dobra. Wyznaczyć i zinterpretować cenową
elastyczność popytu, jeżeli:
1
1. p(c) = , c0 = 10,
c
12
c-1
2. p(c) = , c0 = 100.
c+2
Zadanie 40 Funkcja utargu pewnego dobra x dana jest wzorem U(x) = 3x(20 - x). Obliczyć rzeczywisty utarg ze
sprzedaży dodatkowej jednostki towaru od poziomu x0 = 9. Wyznaczyć utarg krańcowy dla x0 = 5 oraz elastyczność
utargu dla x0 = 6. Podać interpretację otrzymanych wyników.
Zadanie 41 W pewnym przedsiębiorstwie funkcja kosztów całkowitych produkcji x jednostek produktu jest postaci:
x2
C(x) = 150000 + 30x. Ponadto produkcja x jednostek przynosi utarg opisany funkcjÄ…: U(x) = 300x - .
30
1. Wyznaczyć koszt krańcowy.
2. Wyznaczyć utarg krańcowy.
3. Wyznaczyć i zinterpretować U (3000) oraz U (6000).
4. Narysowac w układzie współrzędnych dla 0 x 5000 funkcję kosztów całkowitych, funkcję utargu, wyznaczyć
punkty równowagi, obszary zysku i strat.
5. Wyznaczyć funkcję zysku krańcowego. Podać interpretację Z (1500) oraz Z (4500).
Zadanie 42 Zbadać monotoniczność funkcji:
2
1. f(x) = ex -3,
2. f(x) = x ln x,
3. f(x) = 3x5 - 5x3,
x 3
4. f(x) = - ,
3 x
ln x
5. f(x) = ,
x
-x
2
6. f(x) = xe .
Zadanie 43 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
1
1. f(x) = ,
1+x
2
2. f(x) = ex -3,
3. f(x) = 3x5 - 5x3,
4. f(x) = x ln x,
"
5. f(x) = x 4 - x2,
x 3
6. f(x) = - .
3 x
1.6 Druga pochodna funkcji jednej zmiennej
Jeżeli istnieje f (x) w pewnym przedziale i jest funkcją różniczkowalną to jej pochodną nazywamy drugą pochodną
funkcji f i oznaczmy f (x).
Wypukłość i wklęsłość
Jeżeli dla każdego x " (a, b) f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w przedziale (a, b). Styczne do wykresu funkcji leżą
poniżej wykresu funkcji (w x " (a, b)).
Jeżeli dla każdego x " (a, b) f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w przedziale (a, b). Styczne do wykresu funkcji leżą
powyżej wykresu funkcji (w x " (a, b)).
Punkt przegięcia Jeżeli f (x0) = 0 i f (x) ma różne znaki po obu stronach punktu x0, to punkt (x0, f(x0)) jest
punktem przegięcia.
(f może mieć punkt przegięcia, jeżeli w tym punkcie nie istnieje pochodna funkcji.)
Druga pochodna i ekstrema lokalne Jeżeli f jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a, b) i x0 " (a, b) to f
ma w punkcie x0:
Maksimum lokalne, jeżeli f (x0) = 0 i f (x0) < 0,
Minimum lokalne, jeżeli f (x0) = 0 i f (x0) > 0. (rysunek)
13
wklęsła
f < 0
f =0
rośnie maleje
f > 0 f < 0
coraz wolniej
coraz szybciej
f < 0 f > 0
maleje
rośnie
f =0
f > 0
wypukła
y
ródło: opracowanie własne.
1.6.1 Zadania
Zadanie 44 Wyznaczyć drugą pochodną funkcji:
1 1 1
1 1 1
4 3 2
1. f(x) = x - x + x - 2,
4 3 2
2. f(x) =(2x2 +3)x3,
1
x
3. f(x) = ,
x3+1
x4
4. f(x) = ,
ln x
5. f(x) =e2sinx+1,
ln x-1
6. f(x) = .
ln x+1
Zadanie 45 Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji:
1. f(x) =3x5 - 5x3,
1
2. f(x) = ,
1+x
3. f(x) =x ln x,
2 x
4. f(x) = - ,
x 2
5. f(x) =x2e1-x.
Zadanie 46 Wykorzystując drugą pochodną funkcji wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z zadania 43.
Zadanie 47 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w danym przedziale:
1
1. f(x) = x3 +2x2 +3x +2, w przedziale [-2, 2],
3
"
2. f(x) =x 4 - x2, w przedziale [-2, 2],
1
3. f(x) =x ln x, w przedziale [ , e],
e2
2
4. f(x) =xe1-x , w przedziale [0, 1].
1.7 Funkcje dwóch zmiennych
Postać funkcji dwóch zmiennych Równanie postaci:
z = f(x, y) (29)
jest zapisem funkcji dwóch zmiennych, jeżeli każdej uporządkowanej parze (x, y) (zbiorowi {{x}, {x, y}}, o poprzedniku
x i następniku y) została przyporządkowana dokładnie jedna wartość rzeczywista z (x, y, z " ).
14
Dziedziną funkcji dwóch zmiennych (Df ) nazywamy zbiór punktów (x, y) należących do płaszczyzny R2, dla których
f ma sens liczbowy.
Warstwice funkcji to zbiór pukntów dziedziny funkcji, dla których wartość funkcji jest równa c:
Wf (c) = {(x, y) " Df : f(x, y) = c, c " R} (30)
(przykłady, rysunki) Dla funkcji Cobb-Douglasa warstwice jako izokwanty  krzywe jednakowego produktu. (rysunek)
Pochodne cząstkowe pierwszego drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych
"z f(x + "x, y) - f(x, y)

= fx = fx(x, y) = lim . (31)
"x "x0 "x
"z f(x, y + "y) - f(x, y)

= fy = fy(x, y) = lim . (32)
"y "y0 "y

C(x, y)  koszt całkowity produkcji to Cx i Cy  koszty krańcowe czynnika x i y f - poziomem produkcji to pochodne
są produkcyjnościami krańcowymi
Elastyczności cząstkowe
y0
x0
Exf(x0, y0) = fx(x0, y0) Eyf(x0, y0) = fy(x0, y0) (interpretacja)
f(x0,y0) f(x0,y0)
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu
"("z)
"2z
= = fxx(x, y) = fxx,
"x2 "x("(x)
"("z)
"2z
= = fyy(x, y) = fyy,
"y2 "y("(y)
"2z " "z
= ( ) = fyx(x, y) = fyx,
"x"y "x "y
"2z " "z
= ("x) = fxy(x, y) = fxy.
"y"x "y
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Funkcja f(x, y) osiąga w punkcie (x0, y0) maksimum lokalne, je-
żeli istnieje takie otoczenie punktu (x0, y0), że dla wszystkich punktów tego otoczenia jest spełniona nierówność:
f(x, y) f(x0, y0).
Funkcja f(x, y) osiąga w punkcie (x0, y0) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu (x0, y0), że dla wszyst-
kich punktów tego otoczenia jest spełniona nierówność: f(x, y) f(x0, y0).
Jeżeli funkcja f(x, y) ma w punkcie (x0, y0) ekstremum lokalne i istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu
pierwszego tej funkcji, to:

fx(x0, y0) = 0 i fy(x0, y0) = 0. (33)
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

Punkt (x0, y0), dla którego fx(x0, y0) = 0 i fy(x0, y0) = 0 nazywamy stacjonarnym lub krytycznym.
Algorytm wyznaczania ekstremów lokalnych
1. Znajdujemy punkty stacjonarne.

2. Jeżeli pochodne cząstkowe drugiego rzędu istnieją i są ciągłe (w otoczeniu (x0, y0)) oraz A = fxx, B = fxy,

C = fyy, to:
(a) jeżeli AC - B2 > 0 i A > 0, to funkcja na w (x0, y0) maksimum lokalne,
(b) jeżeli AC - B2 > 0 i A < 0, to funkcja na w (x0, y0) minimum lokalne,
(c) jeżeli AC - B2 < 0, to (x0, y0) jest punktem siodłowym,
(d) jeżeli AC - B2 = 0, to algorytm nie rozstrzyga o ekstremum lokalnym.
1.7.1 Zadania
Zadanie 48 Wyznacz:
1 x y
1. f( , 3), f(1, -1), jeżeli f(x, y) = - ,
2 y x
x
2. f(-2, 2), f(x, y), f(x + 2, y - 1), jeżeli f(x, y) = .
x2+y2
Zadanie 49 Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji i przedstaw jÄ… graficznie:
"
1. f(x, y) = xy,
15
1
"
2. f(x, y) = ,
x-y
1 1
3. f(x, y) = + .
x-1 y+2
Zadanie 50 Wyznacz ogólne równanie warstwic funkcji i narysuj je dla podanych wartości:
1. f(x, y) = x + y, c = -2, 0, 1, 2,
2. f(x, y) = x2y c = -2, -1, 0, 1, 2,
y
3. f(x, y) = c = -2, 1, 2.
x2
Zadanie 51 Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji:
1. f(x, y) = x3 + 3x2y + xy2 + 1,

2. f(x, y) = 2x - y2,
3. f(x, y) = (x2 + y2)2,
4. f(x, y) = ln x + ln y,
2
5. f(x, y) = ex +y2,
6. f(x, y) = x2ex+y,
x2-y2
7. f(x, y) = ,
x2+y2
x2+y2
8. f(x, y) = .
2xy
Zadanie 52 Wyznaczyć elastyczności cząstkowe funkcji w punkcie (x0, y0) i podać interpretację:
1. f(x, y) = 6x2, (x0, y0) = (1, 2),
2. f(x, y) = ln(x + y), (x0, y0) = (0, e),
3. f(x, y) = -2x2 + xy - 2y2 + x - y + 1, (x0, y0) = (1, 1),
x2 y2
4. f(x, y) = - , (x0, y0) = (1, 2).
y x
Zadanie 53 Wyznaczyć pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji z zadania 51.
Zadanie 54 Pokazać, że dla funkcji:

1. f(x, y) = ln(ex + ey) zachodzi równość fxxfyy = (fxy)2,

2. f(x, y) = ln(x2 + xy = y2) zachodzi równość xfx + yfy = 2,

3. f(x, y) = x3 - 3xy2 zachodzi równość fxx + fyy = 0.
Zadanie 55 Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
1. f(x, y) = 2x2 + y2 + 4y + 2,
2. f(x, y) = -x2 + 5x - 3y2 + 2,
3. f(x, y) = 3x2 + 2x + 2y2 - 4y + 2,
4. f(x, y) = x2 - y2 + 2x + 6y - 4,
5. f(x, y) = ex+y,
1 1
6. f(x, y) = x3 + y3 - xy.
3 3
Zadanie 56 Firma produkuje dwa typy budzików elektronicznych  x tysięcy sztuk budzików typu A i y tysięcy sztuk
budzików typu B rocznie. Jeżeli funkcja utargu i kosztów w danym roku jest postaci (w mln zł):
U(x, y) = 2x + 3y
C(x, y) = x2 - 2xy + 2y2 + 6x - 9y + 5,
wyznacz, ile budzików każdego typu należy produkować rocznie, aby uzyskać maksymalny zysk. Ile wynosi maksymalny
zysk?
Zadanie 57 Oszacowano następującą funkcję popytu na odbiorniki radiowe turystyczne:
336562,77
Ć
ORTt = 1007, 61 + + 1, 31LMt,
P Rt
gdzie ORT i P R oznaczają odpowiednio poziom sprzedaży i produkcji odbiorników (w tys.) natomiast LM jest licznbą
Ć
zawieranych małżeństw (w tys.). Obliczyć i skomentować kierunek zmian elastyczności popytu (zmiennej ORT ) wzglę-
dem poziomu produkcji oraz liczby małżeństw, wiedzą, że dla t = 1 i t = 2 wartości zmiennych były następujące:
ORT1 = 1420, P R1 = 1350, LM1 = 141;
ORT1 = 1445, P R1 = 1330, LM1 = 156.
16
Ć
Zadanie 58 Oszacowano model trendu, w którym Y oznacza wartość nakładów inwestycyjnych w mld zł rocznie: Yt =
e0,045t.
1. Który z następujących wniosków jest prawidłowy i dlaczego?
(a) nakłady inwestycyjne wzrastały rocznie średnio o 4,5%.
(b) nakłady inwestycyjne wzrastały rocznie średnio o 0,045 mld zł.
(c) Oba zdania są błędne. Powinno być: . . .
2. Podać postać modeli trendu, dla których są słuszne wnioski z punktów a) i b).
Ć
Zadanie 59 Dany jest model: Yt = 51, 5e0,06t, gdzie t oznacza zmienną czasową (numer roku). Uzupełnić brakujące
informacje:
1. Wzrost t o jednostkę (1 rok) wiąże się ze wzrostem Y o . . . %.
2. jeżeli zatem w pewnym roku Y = 1000, to po roku będzie Y = . . ..
3. jeżeli w pewnym roku Y = 5000, to po dwóch latach, w przybliżeniu, będzie Y = . . ..
Zadanie 60 Oszacowano następujący model stopy bezrobocia na podstawie danych kwartalnych z lat 1990  1995:
Ć
Bt = a + bt + cZt,
gdzie B  stopa bezrobocia w kwartale t w procentach, t zmienna czasowa (t=1 dla I kwartału 1990 r.), Zt  zmienna
zerojedynkowa, taka, że Z - t = 1 dla I kwartału każdego roku oraz Zt = 0 dla pozostałych kwartałów. Dokonaj wyboru
właściwej interpretacji oraz skrytykuj pozostałe:
Współczynnik c oznacza:
1. sześcioletni trend stopy bezrobocia w I kwartale, tzn. współczynnik nachylenia tego trendu, mierzony w punktach
procentowych w odniesieniu do każdego roku,
2. liczbę miesięcy, w ciągu których w każdym roku trwa wysokie bezrobocie, z uwagi na mroz
nÄ… zimÄ™,
3. średni wzrost bezrobocia (w punktach procentowych) w I kwartale w porównaniu z pierwszą częścią roku, po wyod-
rębnieniu trendu liniowego,
4. wzrost stopy bezrobocia, który następuje zawsze po I kwartale roku,
5. spadek stopy bezrobocia, który następuje zawsze po I kwartale roku.
Zadanie 61 Oszacowano funkcję logistyczną obrazującą trend liczby abonentów telefonicznych w Polsce (na 1000 miesz-
kańców) w latach 1965  1974 (Yt, t = 1, 2, . . . , 12):
43,39
Ć
Yt = .
1 + 2,83e-0,37t
1. Naszkicuj krzywą i opisz jej własności (EXCEL).
2. Zinterpretuj poziom nasycenia funkcji.
3. Przedstaw na rysunku także wartości empiryczne zmiennej Y , które są następujące: 16,25; 21,50; 24,33; 26,35;
27,84; 31,47; 34;83; 36,23; 37,80; 41,89; 45,59; 46,84. Czy twoim zdaniem, oszacowana funkcja dobrze reprezen-
tuje te punkty?
Zadanie 62 Dane sÄ… dwa oszacowane modele funkcji produkcji:
Ć
1. P ROD = aZAT + bMAJ,
c
Ć
2. P ROD = ZAT MAJd, c + d = 1,
gdzie P ROD, ZAT , MAJ oznaczają, odpowiednio, wartości produkcji, funduszu płac i majątku trwałego.
1. Oblicz krańcową produkcyjność ZAT dla obu modeli i wyraz
jÄ… jako funkcjÄ™ technicznego uzbrojenia pracy (T UP =
MAJ
). Sformułuj wynikające stąd wnioski.
ZAT
2. Oblicz elastyczność P ROD względem ZAT dla obu modeli i przedstaw ją jako funkcję T UP . Czy elastyczności są
funkcjami monotonicznymi względem T UP ? Co to oznacza?
3. Pokaż, że oba modele opisują procesy produkcji w przychodami proporcjonalnymi do nakładów.
Zadanie 63 Na podstawie danych kwartalnych oszacowany został model opisujący wartość produkcji przemysłowej
(P ROD w mln jednostek pieniężnych) w zależności od wielkości zatrudnienia produkcyjnego (ZAT w tys. osób) i
wartości produkcyjnego majątku trwałego (MAJ w mld jp):
0,7
Ć
P RODt = 2, 5MAJt ZATt0,9.
1. Oceń zasadność wyników estymacji wykorzystując pojęcia:
17
(a) krańcowej produkcyjności czynników,
(b) elastyczności produkcji względem każdego z czynników,
(c) efektów skali.
2. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę substytucji dla MAJ = 15 oraz ZAT = 6.
b c
Ć
Zadanie 64 Produkcja P jest określona modelem Pt = aZt Mt , gdzie Z oznacza zatrudnienie, a M majątek trwały.
Wybierz prawidłową odpowiedz
.
c
1. jeżeli wartość majątku trwałego wzrasta o 1%, a zatrudnienie nie zmienia się, to produkcja wzrasta o około: Mt %,
b
c%, (1 - b)%, 100%.
c
2. jeżeli zatrudnienie zwiększa się o jednostkę, to produkcja nie ulegnie zmianie, gdy majątek:
bMt
(a) zmaleje o około jednostek,
cZt
bMt
(b) wzrośnie o koło jednostek,
cZt
cZt
(c) zmaleje o około jednostek,
bMt
cZt
(d) wzrośnie o około jednostek.
bMt
1.8 Znak sigmy
n

x1 + x2 + · · · + xn = xi, (34)
i=1
gdzie: xi  i. składnik sumy,
i  wskaz
nik sumacyjny.

Własności wynikające z własności dodawania
n n n
1. (xi Ä… yi) = xi Ä… yi,
i=1 i=1 i=1
n k n
2. xi = xi + xi, 1 < k < n,
i=1 i=1 i=k+1
n n
3. cxi = c xi,
i=1 i=1
n
4. c = nc.
i=1
Przykład 2

10 10 10 10

1 + 10
(2t - 1) = 2t - 1 = 2 t - 10 = 2 10 - 10 = 100. (35)
2
t=1 t=1 t=1 t=1
1.8.1 Zadania
Zadania pochodzÄ… z [8].
Zadanie 65
5 Obliczyć poniższe sumy, jeżeli 5=
5 5wiadomo, że x1 = 2, x2 -2, x3 = 1, x4 = 0, x5 = 3:
5
xt
xt, x2, (5xt - 4), (xt - 1)(xt + 1), .
t=1 t=1 t t=1 t=1 t=1 t

Zadanie 66 Zapisać za pomocą znaku :
c2 c3 c4 c5 c6
1. c + + + + + ,
2 4 8 16 32
2. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21,
3. 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + 3 · 4 + · · · + 3 · 10,
4. (x1 - 5)2 + (x2 - 5)2 + (x3 - 5)2 + · · · + (x8 - 5)2,
n-1
5. xk + xn + xn+1 + xn+2.
k=1
n n n
Zadanie 67 Pokazać, że: (xi - x) = 0, (xi - x)2 = x2 - n(x)2, gdzie x  średnia arytmetyczna.
i=1 i=1 i=1 i
1.9 Całka
Funkcją pierwotną funkcji f nazywamy funkcję F , wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona różniczkowalna (w swojej

dziedzinie) oraz F (x) = f(x).
18
Całką nieoznaczoną nazywamy wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f, a C dowolną stałą,
co zapisujemy jako:

f(x) dx = F (x) + C, (36)
gdzie: f  funkcja podcałkowa,
f(x) dx  wyrażenie podcałkowe,
x  zmienna całkowania,
C  stała całkowania.
Każdy wzór na pochodną pewnej funkcji f wyznacza wzrór podający całkę z pochodnej tej funkcji:



F (x) dx = F (x) + C oraz f(x) dx = f(x). (37)
Przykład 3

2 2
ex /2 = xex /2,

2 2
xex /2 = ex /2 + C.
Reguły całkowania

xn+1
" xn dx = + C, n = -1,

n+1

1
" dx = ln |x| + C, x = 0,

x

" a dx = ax + C,

ax
" ax dx = + C, a = 1, a > 0,

ln a

" ex dx = ex + C,

" sin x dx = - cos x + C,

" cos x dx = sin x + C,

" tg x dx = - ln | cos x| + C, cos x = 0,


" ctg x dx = ln | sin x| + C, sin x = 0,


1
" dx = tg x + C, cos x = 0,

cos2 x

1
" dx = - ctg x + C, sin x = 0,

sin2 x
oraz

1 1 x
" dx = arc tg + C, a > 0,
a2+x2 a a

1 1 a+x
" dx = ln + C, |x| < a, a > 0,
a2-x2 2a a-x

1 1 x-a
" dx = ln + C, |x| > a > 0,
x2-a2 2a x+a

1 x
" "
dx = arc sin + C, |x| < a, a > 0,
a
a2-x2
"
1
" "
dx = ln x + a2 + x2 + C, a > 0,
a2+x2
"
1
x
" "
dx = ln + x2 - a2 + C, |x| > a > 0,
x2-a2

af(x) dx = a f(x) dx, (38)


f(x) Ä… g(x) dx = f(x) dx Ä… g(x) dx. (39)
Całkowanie przez części

f(x)g(x) dx = F (x)g(x) - F (x)g (x) dx. (40)
Dowód:
(F (x)g(x)) = f(x)g(x) + F (x)g (x),

(F (x)g(x)) dx = f(x)g(x) dx + F (x)g (x) dx,

F (x)g(x) = f(x)g(x) dx + F (x)g (x) dx,

f(x)g(x) dx = F (x)g(x) - F (x)g (x) dx.
19
Przykład 4

1 1
e2x (3x2 - 5) dx = e2x (3x2 - 5) - e2x 6x dx
2 2

g1
f1 F1 g1 F1
g1

1
= e2x(3x2 - 5) - 3 e2x x dx
2

f2 g2


1 1 1
= e2x(3x2 - 5) - 3 e2x x - e2x 1 dx
2 2 2

F2 g2 F2
g2

1 1 1
= e2x(3x2 - 5) - 3 e2xx - e2x dx
2 2 2

1 1 1
= e2x(3x2 - 5) - 3 e2xx - e2x + C
2 2 4

3 3 7
= e2x x2 + x - - 3C
2 2 2

3 3 7
= e2x x2 + x - + C .
2 2 2
Przykład 5

1
ln x dx = 1 ln x dx = x ln x - x dx
x

f g F g F g
= x ln x - x + C
= x(ln x - 1) + C.
Przykład 6

1
(ln x)2 dx = ln x ln x dx = (x ln x - x) ln x - (x ln x - x) dx
x

g
f F g F g

= (x ln x - x) ln x - (ln x - 1) dx

= (x ln x - x) ln x - ln x dx + dx
= (x ln x - x) ln x - (x ln x - x) + x + C
= x(ln x)2 - 2x ln x + 2x + C

= x (ln x - 1)2 + 1 + C.
Całkowanie przez podstawianie Jeżeli g : Xg Xf jest różniczkowalna w sposób ciągły na Xg, g(Xg) = Xf oraz
f : Xf R to:

f(g(x))g (x) dx = f(t) dt. (41)
Dowód:

t = g(x)
f(t) = f(g(x)) Ò!
dt
= g (x) Ò! dt = g (x) dx
dx

f(t) dt = f(g(x)) g (x) dx .

f(t) dt
20
Przykład 7

ln x = t Ò! x = et
ln x dx = = t et dt = ett dt
dx
= et Ò! dx = et dt
dt


ln x dx
przez części

= ett - et dt
= ett - et + C
= et(t - 1) + C
= x(ln x - 1) + C.
Przykład 8

ln x = t Ò! x = et
(ln x)2 dx = = t2 et dt = ett2 dt
dx
= et Ò! dx = et dt
dt


(ln x)2 dx
przez części

= ett2 - 2 ett dt

Przykład 7
= ett2 - 2ett + 2et + C
= et(t2 - 2t + 2) + C

= x (ln x)2 - 2 ln x + 2 + C.
Przykład 9

t = sin x
sin x cos x dx = = t dt
dt = cos x dx

sin x cos x dx
1 1
= t2 + C = sin2 x + C.
2 2
Całka oznaczona Wzór Newtona-Leibniza. Jeżeli f jest ciągła na przedziale [a,b], to:

b
f(x) dx = F (b) - F (a). (42)
a
b
b
F (b) - F (a) oznaczamy jako F (x) lub F (x) .

a
a
Przykład 10
3
3 3 3 1
x 1 1 x2 1
dx = x dx = = x2 = (32 - 12) = 2. (43)
2 2 2 2 4 1 4
1 1
1

b
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Całka oznaczona f(x) dx, f(x) 0 jest równa polu powierzchni
a
obszaru ograniczonego prostymi x = a, x = b, osią OX oraz wykresem funkcji f. Gdy funkcja przyjmuje wartości
niedodatnie w przedziale [a, b], należy obliczyć całkę oznaczoną:

b
|f(x)| dx. (44)
a
Pole powierzchni obszaru ograniczonego wykresami ciągłych funkcji f i g i prostymi x = a, x = b obliczamy jako:

b
(f(x) - g(x)) dx. (45)
a
Wartością średnią ciągłej funkcji f : [a, b] R nazywamy taki punkt c " [a, b], że:

b
1
f(c) = f(x) dx. (46)
b - a
a
Przykład 11 f(x) = sin x + cos x przyjmuje wartość średnią na przedziale [-Ą, Ą] w punkcie c:

Ä„ Ä„
1 1
f(c) = (sin x + cos x) dx = - cos x + sin x = 0. (47)
2Ä„ 2Ä„ -Ä„
-Ä„
3
Po rozwiązaniu równania sin c + cos c = 0 otrzymujemy: c = Ą lub c = -Ą .
4 4
21
1.9.1 Zadania
Zadania pochadzÄ… z [2].
Zadanie 68 Obliczyć całki nieoznaczone:

x2+x3
"
1. dx,
2 x
"
2. x x - 1 dx,

dx
"
3. ,
1+ x
"
4. x 1 + x2 dx,
"
5. x - 2 dx,

1
"
6. dx,
a2+x2

x
"
7. dx, a = 0,

x2+a2

dx
"
8. .
5-x2-4x
Zadanie 69 Obliczyć całki nieoznaczone z funkcji wykładniczych:

1. x2e-x dx,

2. xex dx,

2x+1+4x-1
3. dx,
8x

4. (2x2 - x + 3)3x dx,

5. 2x4x dx,

6. x2ex dx.
Zadanie 70 Obliczyć całki nieoznaczone:

1. ln x dx,

2. x2 ln x dx,

ln x
3. dx,
x

4. x ln x dx.
Zadanie 71 Obliczyć całki nieoznaczone:

1. cos(3x) dx,

2. sin(3x) dx,

3. tg x dx,

4. ctg x dx,

5. x sin2 x dx,

6. sin2 x dx,

7. cos2 x dx,

8. ctg2 x dx,

sin x dx
9. ,
1+cos2 x

dx
10. dx,
2+cos x

2+sin x
11. dx,
sin x(1+cos x)

12. cos(3x) cos(2x) dx.
Zadanie 72 Obliczyć całki oznaczone:

3
1. (x2 - 5) dx,
-1
e
2. x ln x dx,
1
Ä„
3. sin x dx,
0
"

e2 ln( x)
"
4. dx,
1 x

e
sin(ln x)
5. dx,
1 x
Ä„
6. ex sin x dx,
0
22

Ä„
cos x
7. dx,
0 1+sin2 x
"
1
8. x2 + 1 dx,
0

1
1
9. dx,
0 x2+x+1
Ä„
2
10. sin2 x cos x dx,
0

0
1
"
11. dx,
-1
1-3x

Ä„
1
12. dx.
0 1+2 sin2 x
Zadanie 73 Wyznaczyć wartośc średnią funkcji f zdefiniowanej na przedziale [a, b], gdzie:
Ä„
1. f : [0, ] R, f(x) = cos x,
2
2. f : [-1, 1] R, f(x) = arc sin x.
Zadanie 74 Obliczyć pole obszaru A, jeżeli:
1. A = {( x, y) " R2 : 1 x 3 '" 0 y x3},
"
2. A = {( x, y) " R2 : x 0 '" x2 y x},
3. A = {( x, y) " R2 : x2 + y2 4 '" x 0 '" y x},
1
4. A = {( x, y) " R2 : x > 0 '" y 4 - x},
x
5. A = {( x, y) " R2 : 0 x Ä„ '" 0 y min{sin x, cos x}},
y2
x2
6. A = {( x, y) " R2 : + 1}, a > 0, b > 0.
a2 b2
2 Część statystyczna, red. Sebastian Michalski
2.1 Miary tendencji centralnej i miary zmienności, Rafał Wawrzyńczyk
Rozkład empiryczny cechy
n  liczebność populacji.
ni  liczba jednostek populacji, dla których cecha przyjmuje wartość xi,
ni
wi =  częstość, wskaz
nik struktury.
n
Dystrybuanta empiryczna to funkcja określona na podstawie danych (xi, wi), i = 1, 2, . . . , k, w następujący
sposób:
Å„Å‚
0 dla x < x1,
òÅ‚
i
F (x) = ws dla xi x < xi+1, i = 1, 2, . . . , k - 1,
s=1
ół
1 dla x xk.
F (x) jest funkcją niemalejacą, przyjmującą wartości z przedziału [0,1].
Formy prezentacji graficznej rozkładu empirycznego:
" histogram
" wielobok liczebności / skumulowanych liczebności
" krzywa liczebności
Miary tendencji centralnej
Średnia arytmetyczna w rozkładzie empirycznym:
n

1
x = xj, (48)
n
j=1
gdzie xj  indywidualne obserwacje w zbiorze danych.
W przypadku szeregu rozdzielczego:
k k

1
x = xini = xiwi. (49)
n
i=1 i=1
23
Mediana rozkładu empirycznego to taka wartość cechy, że co najmniej połowa jednostek zbiorowości ma wartość
cechy nie większą od niej i równocześnie co najmniej połowa jednostek ma wartość nie mniejszą od tej wartości. W
przypadku cechy ciągłej wzór przybiera postać:

n hm
Me = x0m + - n(x0m) , (50)
2 nm
gdzie: x0m  dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość mediany,
n(x0m)  liczebność skumulowana dla dolnej granicy przedziału mediany,
hm, nm  odpowiednio: rozpiętość i liczebność przedziału mediany.
Kwantyl rzędu p (0 < p < 1) to taka wartość cechy, dla której dystrybuanta empiryczna spełnia warunek F (x) p.
hp
Qp = x0p + [p - F (x0p)] , (51)
wp
gdzie: x0p  dolna granica przedziału, w którym znajduje się wartość kwantyla rzędu p,
F (x0p)  skumulowana częstość względna dla dolnej granicy przedziału kwantyla rzędu p,
hp, np  odpowiednio: rozpiętość i częstość przedziału kwantyla rzędu p.
Dominanta to wartość cechy występująca najczęściej w rozkładzie empirycznym, tzn. wartość, której odpowiada
najwyższa liczebność (częstość).
nd - nd-1
D0 = x0d + hd, (52)
(nd - nd-1) + (nd - nd+1)
gdzie: x0d  dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta,
hd  rozpiętość tego przedziału,
nd, nd-1, nd+1  odpowiednio liczebność przedziału, w którym występuje dominanta, przedziału poprzedniego
i następnego.
Miary zróżnicowania cechy
Wariancja zbioru danych x1, . . . , xn określona jest jako:
ëÅ‚ öÅ‚
n n

1 1
íÅ‚ Å‚Å‚
S2 = (xj - x)2 = x2 - n(x)2 . (53)
j
n - 1 n - 1
j=1 j=1
W przypadku szeregu rozdzielczego:
îÅ‚
2Å‚Å‚
k k k

1 1 1
ðÅ‚
S2 = (xi - x)2ni = x2ni - xini ûÅ‚ . (54)
i
n - 1 n - 1 n
i=1 i=1 i=1
Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji interpretowany jako średnie odchylenie od średniej:
"
S = S2. (55)
Współczynnik zmienności to udział (stosunek) odchylenia standardowego w średniej (reguła 50%):
S
V = . (56)
x
Rozstęp to różnica pomiędzy największą i najmniejszą wartością cechy w zbiorze
Rozstęp (przedział) ćwiartkowy to różnica pomiędzy kwartylem trzecim i pierwszym.
Miary asymetrii
24
Trzeci moment centralny
n

1
M3 = (xj - x)3. (57)
n - 1
j=1
Dla danych pogrupowanych (szereg rozdzielczy):
k

1
M3 = (xi - x)3ni. (58)
n - 1
i=1
Współczynnik asymetrii
M3
A = . (59)
S3
Współczynnik skośności
x - D0
A1 = . (60)
S
2.1.1 Zadania
Zadania pochodzÄ… z [10].
Zadanie 75 Dzienne zużycie energii elektrycznej w kWh przez lokatorów pewnego budynku było następujące: 15, 12,
10, 18, 6, 13, 41, 25. Oblicz na podstawie tego zbioru danych średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, rozstęp,
wariancjÄ™ i odchylenie standardowe.
Zadanie 76 Notowania trzech akcji (A, B, C) w ciągu jednego tygodnia były następujące:
A: 6,30; 6,55; 5,00; 5,60; 5,65,
B: 52,5; 56,0; 55,0; 54,5; 55,5,
C: 102; 106; 110; 108; 104.
Jeżeli ryzyko gracza giełdowego będziemy mierzyć zróżnicowaniem kursów, to jak należy uszeregować akcje pod tym
względem na podstawie: a) rozstępu kursów, b) odchylenia standardowego, c) współczynników zmienności. Które kryte-
rium należy uznać za najlepsze?
Zadanie 77 Dwudziestu palaczy zapytano o liczbę paczek papierosów wypalanych tygodniowo. Uzyskano następujące
odpowiedzi: 2, 7, 3, 6, 5, 3, 4, 5, 5, 6, 4, 4, 5, 6, 4, 4, 5, 5, 6, 7; a) przedstaw te dane w postaci szeregu rozdzielczego,
b) oblicz kwartyl drugi i trzeci, c) ile wynosi wartość dystrybuanty empirycznej dla x = 3?
Zadanie 78 W firmie Z&K pracuje 10 pracowników administracyjno-biurowych, 17 pracowników nadzoru technicznego
i 23 pracowników bezpośrednio produkcyjnych. Średnie miesięczne wynagrodzenie pracownika administracyjno-biurowego
wynosi 1600 zł, średnie wynagrodzenie pracownika nadzoru technicznego wynosi 1500 zł, natomiast pracownika bezpo-
średnio produkcyjnego 1050 zł. Oblicz średnią płacę ogółu pracowników.
Zadanie 79 Dzienny przebieg taksówek w pewnym mieście charakteryzuje szereg rozdzielczy:
Przebieg (km) 0-40 40-80 80-120 120-160 160-200
Liczba taksówek 26 82 56 28 8
Oblicz miary tendencji centralnej (średnią arytmetyczną, medianę i dominantę) oraz wariancję i odchylenie standardowe
przebiegu taksówek.
Zadanie 80 Na podstawie poniższych danych o wydatkach grupy emerytów na książki i czasopisma w zł oblicz medianę
i średnią arytmetyczną tych wydatków:
Wydatki (zł) 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
Liczba osób 4 10 8 6 1
Wyznacz kwartale pierwszy i trzeci i rozstęp ćwiartkowy. Obliczenie kwartyli zilustruj na podstawie wykresu dystrybu-
anty.
Zadanie 81 Zarejestrowano liczbę widzów na 10 poniedziałkowych seansach filmu  Nie lubię poniedziałku , otrzymując
wyniki: 10, 16, 4, 15, 6, 12, 22, 31, 8, 20. Oblicz na podstawie tego zbioru danych (bez uprzedniego grupowania) klasyczne
miary zróżnicowania i asymetrii.
25
Zadanie 82 Rozkład opłat za naprawy samochodów wykonane w ciągu miesiąca w pewnym warsztacie ustalony na
podstawie 120 obserwacji był następujący:
Opłaty (zł) 0-100 100-200 200-300 300-400 400-500
Liczba napraw 20 42 22 20 16
SporzÄ…dz
wielobok liczebności rozkładu opłat i oceń jego asymetrię za pomocą: a) współczynnika skośności; b) współ-
czynnika asymetrii.
Zadanie 83 W pewnej miejscowości zbadano zużycie wody przez rodziny, uzyskując wyniki:
Zużycie wody (l) 30-50 50-70 70-100 100-150 150-250
Odsetek rodzin 10 30 25 20 15
SporzÄ…dz
wykres dystrybuanty empirycznej lub wieloboku liczebności skumulowanych, zaznaczając na nim kółkiem: a)
wartość mediany; b) wartość dystrybuanty empirycznej lub skumulowanej liczebności rodzin dla zużycia wynoszącego
100 litrów.
Zadanie 84 W badaniu gospodarstw domowych otrzymano następujące charakterystyki rozkładu dochodów i oszczęd-
ności (obie cechy w tys. zł):
Kategoria Åšrednia arytmetyczna dominanta Wariancja
Dochód 12 10 9
Oszczędności 8 9 16
Porównaj zróżnicowanie i asymetrię obu kategorii. Naszkicuj na jednym układzie współrzędnych krzywe rozkładów obu
kategorii, zaznaczając wartości odpowiednich miar.
Zadanie 85 Analizie opisowej poddano dane o wieku grupy 25 osób, otrzymując następujące wartości odpowiednich
miar:
średnia 35
mediana 32
minimalna wartość 21
kwartyl pierwszy 26
wariancja 121
dominanta 28
maksymalna wartość 63
kwartyl trzeci 43
a) oceń zróżnicowanie i asymetrię rozkładu wieku,
b) naszkicuj przybliżony kształt krzywej częstości, zaznaczając na osi odciętych miary tendencji centralnej i położenia,
c) narysuj, z maksymalna możliwą dokładnością, dystrybuantę empiryczną rozkładu wieku pracowników.
2.2 Zmienne losowe, rozkład normalny, średnia i różnica dwóch średnich, Piotr Ciż-
kowicz
Zmienna losowa Oznaczmy &! zbiór zdarzeÅ„ elementarnych doÅ›wiadczenia. ZmiennÄ… losowÄ… nazywamy funkcjÄ™ X(É),
która każdemu zdarzeniu elementarnemu É " &! przyporzÄ…dkowuje dokÅ‚adnie jedna liczbÄ™ X(É) = x.
Zmienna losowa jest zmiennÄ… typu
1. skokowego, jeśli może przyjmować przeliczalną liczbę wartości (skończona lub nieskończoną),
2. ciągłego, jeśli jej wartości należą do przedziału z liczb rzeczywistych.
Rozkład zmiennej losowej typu skokowego
1. Funkcją prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej X typu skokowego o wartościach xi, i = 1, 2, . . . nazywamy
funkcjÄ™ postaci:
P(X = xi) = pi (61)
n "
gdzie: pi spełnia równanie pi = 1 lub pi = 1.
i=1 i=1
26
2. DystrybuantÄ… zmiennej losowej X nazywamy funkcjÄ™
F (x) = P(X x) (62)
określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach:
(a) 0 F (x) 1,
(b) limx-" F (x) = 0,
(c) limx+" F (x) = 1,
(d) F (x) jest funkcją niemalejącą i przedziałami stałą,
(e) F (x) jest prawostronnie ciągła.
Dystrybuanta zmiennej losowej typu skokowego przyjmuje postać:

F (x) = pi, x " (-", +"). (63)
xi x
Dla skończonego zbioru wartości zmiennej losowej typu skokowego X dystrybuantę można zapisać alternatywnie
jako:
Å„Å‚
0 dla x < x1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
p1 dla x1 x < x2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
p1 + p2 dla x2 x < x3
F (x) = (64)
.
.
ôÅ‚
ôÅ‚ .
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ p1 + p2 + · · · + pn-1 dla xn-1 x < xn
ôÅ‚
ół
1 dla x xn
Rozkład zmiennej losowej typu ciągłego
1. Funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f(x) o własno-
ściach:
(a) f(x) 0,

b
(b) f(x) dx = P(a < X b).
a
2. Dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję

x
F (x) = f(t) dt, (65)
-"
gdzie: f(t)  funkcja gęstości zmiennej X.
Parametry rozkładu zmiennej losowej (1) zmienna skokowa, (2) zmienna ciągła
1. Wartość oczekiwana zmiennej losowej

(1) E(X) = pixi (66)
i
"
(2) E(X) = xf(x) dx (67)
-"
gdzie: pi  funkcja prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o wartościach xi, i =1,2,. . .
f(x)  funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej.
2. Wariancja zmiennej losowej
2 2
(1) D2(X) = E X - E(X) = xi - E(X) pi (68)
i
2 +" 2
(2) D2(X) = E X - E(X) = x - E(X) f(x) dx (69)
-"
27
Próba losowa i statystyki z próby
" Próba losowa prosta to ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, ..., Xn) o jednakowych rozkładach
odpowiadających rozkładowi w populacji generalnej.
" Statystyka z próby to zmienna losowa Zn będąca funkcją zmiennych stanowiących próbę losową.
" Rozkładem z próby nazywamy rozkład statystyki Zn = z(X1, X2, . . . , Xn).
RozkÅ‚ad normalny Zmienna losowa X ma rozkÅ‚ad normalny z parametrami m i Ã, co zapisujemy X <" N (m, Ã) w
przypadku, gdy jej funkcja gęstości ma postać:
(x-m)2
1
" , (70)
f(x) = e- 2Ã2
à 2Ą
gdzie: -" < x < " oraz à > 0. Parametry rozkÅ‚adu oznaczajÄ… odpowiednio wartość Å›redniÄ… i odchylenie standardowe
zmiennej X:

"
(x-m)2
1
E(X) = " xe- 2Ã2
dx = m, (71)
à 2Ą
-"
"
(x-m)2
1
D2(X) = " (x - m)2e- 2Ã2
dx = Ã2. (72)
à 2Ą -"
Dystrybuanta rozkładu normalnego

x
(t-m)2
1
F (x) = " e- 2Ã2
dt. (73)
à 2Ą -"
Standardowy rozkład normalny to rozkład normalny o wartości średniej równej 0 i odchyleniu standardowym
równym 1, co zapisujemy jako N(0, 1).
Standaryzacja rozkÅ‚adu JeÅ›li zmienna X ma rozkÅ‚ad N(m, Ã), to zmienna U postaci
X - m
U = (74)
Ã
ma standardowy rozkład normalny N(0, 1).
Rozkład średniej arytmetycznej z próby dla populacji normalnej
1. Przy znanym odchyleniu stnadardowym
ZakÅ‚adamy, że cecha X ma w populacji generalnej rozkÅ‚ad N(m, Ã). Z populacji tej losujemy n-elementowÄ… próbÄ™
losową prostą (X1, X2, . . . , Xn). Dla takich założeń średnia arytmetyczna z próby, czyli zmienna losowa
n

1
X = Xi (75)
n
i=1
ma rozkład normalny ze średnią i odchyleniem standardowym danymi wzorami:
Ã
"
E(X) = m, D(X) = . (76)
n


Ã
"
X<"N m,
n
2. Przy nieznanym odchyleniu standardowym
W przypadku, gdy odchylenie standardowe nie jest znane do wnioskowania o średniej m korzystamy ze statystyki
o rozkładzie t - Studenta postaci
"
X - m
t = n, (77)
s

2
n
1
gdzie: s = Xi - X .
n-1 i=1
28
Rozkład różnicy średnich arytmetycznych z prób dla dwóch populacji normalnych
1. Przy znanych odchyleniach standardowych
Dla dwóch danych populacji normalnych o rozkÅ‚adach N(m1, Ã1) oraz N(m2, Ã2) pobieramy dwie próby liczÄ…ce
odpowiednio n1 i n2. Statystyka postaci X1 - X2 ma rozkład
ëÅ‚ öÅ‚

2 2
Ã1 Ã2
íÅ‚m1 Å‚Å‚
X1 - X2 <" N - m2, - . (78)
n1 n2
2. Przy nieznanych odchyleniach standardowych
Dla dwóch danych populacji normalnych o rozkÅ‚adach N(m1, Ã) oraz N(m2, Ã) (gdzie odchylenia standardowe sÄ…
równe, ale nieznane) pobieramy dwie próby liczące odpowiednio n1 i n2. Statystyka postaci X1 - X2 ma rozkład
t - Studenta postaci:
(X1 - X2) - (m1 - m2)
t = , (79)

1
s2 1 -
p
n1 n2
(n1-1)s2+(n2-1)s2
1 2
gdzie: s2 = ,
p
n1+n2-2
s2 i s2  wariancje z pierwszej i drugiej próby.
1 2
2.2.1 Zadania
Zadanie 86 Określ prawdopodobieństwo następujących zdarzeń elementarnych:
1. w rzucie kostką szóstka wypada w 4 rzucie,
2. w rzucie kostką szóstka wypada w n-tym rzucie,
3. w trzech rzutach monetą wyrzucono 2 orły,
4. w dwóch rzutach monetą wyrzucono jedną reszkę,
5. rzut monetą do czasu wypadnięcia 2 orłów.
Zadanie 87 Określ zbiór zdarzeń elementarnych, zmienną losową X oraz jej funkcję prawdopodobieństwa w następu-
jących doświadczeniach:
1. rzut monetÄ…,
2. 2 rzuty monetÄ…,
3. rzut monetą do czasu wyrzucenia orła,
4. rzut kostkÄ…,
5. 2 rzuty kostkÄ…,
6. rzut monetą do czasu wyrzucenia trójki.
Zadanie 88 Do tarczy oddaje się trzy niezależne strzały. Prawdopodobieństwo trafienia w tarczę wynosi 0,5. Zmienna
X została zdefiniowana jako liczba trafień w tarczę w trzech strzałach.
1. Przedstaw zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia.
2. Określ, jakie wartości może przyjąć zmienna losowa.
3. Przedstaw funkcję prawdopodobieństwa dla tej zmiennej.
4. Przedstaw dystrybuantÄ™ dla tej zmiennej.
Zadanie 89 Rzucamy dwa razy czterościenną kostką do gry. Zmienna X została zdefiniowana jak łączna liczba wyrzu-
conych oczek.
1. Przedstaw zbiór zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia.
2. Określ, jakie wartości może przyjąć zmienna losowa.
3. Przedstaw funkcję prawdopodobieństwa dla tej zmiennej.
4. Przedstaw dystrybuantÄ™ dla tej zmiennej.
Zadanie 90 Autobus kursuje regularnie co 5 minut. Pasażer przychodzi na przystanek w danym momencie nie kie-
rując się rozkładem jazdy. Dla zmiennej losowej X zdefiniowanej jako czas oczekiwania na autobus (w min.) określ i
narysuj funkcję gęstości oraz dystrybuantę oraz prawdopodobieństwo tego, że czas oczekiwania na autobus będzie liczbą
z przedziału (1; 3]
29
Zadanie 91 Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję dla zmiennych losowych określonych w zadaniu 3,4 i 5.
Zadanie 92 Dla zmiennej losowej o rozkładzie prawdopodobieństwa
x 10 20 30 40
pi 0,1 0,3 0,4 ?
oblicz wartość oczekiwaną i wariancję.
Zadanie 93 W przedsiębiorstwie zaplanowano średnią podwyżkę wynagrodzeń o 10 % z odchyleniem standardowym 5
%. Ilu spośród 200 pracowników zatrudnionych w tym przedsiębiorstwie otrzyma więcej niż 15 % podwyżki?
Zadanie 94 Cecha ma w populacji generalnej rozkład dwupunktowy: P(X = 1) = 0, 25, P(X = 0) = 0, 75. Z po-
pulacji wylosowano 3-elementową próbę losową. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję dla statystyki będącej średnią
arytmetyczną z próby.
Zadanie 95 Waga skupowanych jaj (w gramach) ma rozkład N(50, 3). Pakowane są one losowo po 10 sztuk. Określić
rozkład średniej arytmetycznej wagi jaj w pojedynczych opakowaniach. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że średnia
waga jaj w opakowaniu będzie większa od 52 gramów? Zinterpretuj otrzymany wynik.
Zadanie 96 Wzrost wśród 15-letnich chłopców ma rozkład N(170, 5), zaś dziewcząt N(166, 4). Wybrano dwie próby
liczące 8 chłopców i 10 dziewcząt. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obliczana na podstawie prób średnia arytmetyczna
wzrostu dziewcząt będzie większa od średniej wzrostu chłopców?. Zinterpretuj otrzymany wynik.
2.3 Estymacja parametrów. Przedziały ufności, Anna Staszewska
Estymacja (szacowanie wartości parametru rozkładu cechy w populacji generalnej na podstawie rozkładu empirycz-
nego, uzyskanego z próby):
" punktowa,
" przedziałowa.
W estymacji punktowej za ocenę parametru przyjmuje się jedną konkretną wartość uzyskaną na podstawie wyników
próby. Statystyki, na podstawie których wyznaczamy te wartości nazywamy estymatorami. W estymacji przedziałowej
wyznacza się pewien liczbowy przedział, który z określonym prawdopodobieństwem pokrywa prawdziwą wartość sza-
cowanego parametru. Przedział ten nazywamy przedziałem ufności a ustalone prawdopodobieństwo poziomem ufności.
Poziom ufności zapisuje się zwykle jako 1 - ą.
WÅ‚asnoÅ›ci estymatorów Zwykle wymaga siÄ™, by estymator Tn parametru ¸ posiadaÅ‚ wÅ‚asnoÅ›ci:
1. nieobciążonoÅ›ci: E(Tn) = ¸,

2. zgodnoÅ›ci: limn" P |Tn - ¸| < = 1, dla > 0,
3. największej efektywności (najmniejszej wariancji spośród wszystkich nieobciążonych estymatorów).
Istnieje kilka metod uzyskiwania estymatorów o pożądanych własnościach.
Estymatory punktowe dla próby (X1, X2, . . . , Xn):
" estymator wartości oczekiwanej w populacji generalnej o dowolnym rozkładzie:
n

1
X = Xi, (80)
n
i=1
" estymator wariancji w populacji generalnej o dowolnym rozkładzie:
n

1
s2 = (Xi - X)2, (81)
n - 1
i=1
" estymator prawdopodobieństwa  sukcesu w populacji generalnej o rozkładzie zero-jedynkowym:
X
É = , (82)
n
gdzie: X  liczba  sukcesów (jedynek), jakie wystąpiły w próbie.
30
PrzykÅ‚ad Niech (X1, X2, . . . , Xn) ciÄ…g niezależnych zmiennych losowych o rozkÅ‚adzie N(m, Ã). Pokaż, że X jest
nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej m.
Estymacja przedziałowa
1. Estymacja przedziałowa średniej m
(a) Cecha ma w populacji generalnej rozkÅ‚ad normalny ze znanym odchyleniem standardowym Ã
à Ã
X - uÄ… " < m < X + uÄ… " , (83)
n n
Ä…
gdzie: uą  wartość z tablic rozkładu normalnego, dla której Ś(uą) = 1 - ,
2
Åš(·)  dystrybuanta standardowego rozkÅ‚adu normalnego.
(b) Cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny z nieznanym odchyleniem standardowym
X - tÄ…,n-1s < m < X + tÄ…,n-1s, (84)
gdzie: tą,n-1  wartość krytyczna rozkładu t dla poziomu istotności ą i n - 1 stopni swobody.
(c) Cecha ma w populacji generalnej dowolny rozkład (ten przedział ufności stosować można tylko dla odpo-
wiednio dużej próby  odpowiednio dużego n)
s s
X - uÄ… " < m < X + uÄ… " (85)
n n
2. Estymacja przedziałowa prawdopodobieństwa  sukcesu p w rozkładzie dwumianowym:
Dla dużej próby n 100:

É(1 - É) É(1 - É)
É - uÄ… < p < É + uÄ… . (86)
n n
2.3.1 Zadania
Zadanie 97 Zakładając, że rozkład zmiennej X oznaczającej wzrost kobiet w wieku 25-29 lat jest normalny i wiedząc,
że dla n=25 otrzymano x = 165cm wyznacz 99% przedziały ufności dla średniej przyjmując, że:
1. odchylenie standardowe zmiennej X jest znane i wynosi 5 cm,
2. odchylenie standardowe zmiennej X nie jest znane i jego ocena wynosi 5 cm.
Zadanie 98 [9] Na podstawie próby losowej, obejmującej 100 kwitów kasowych na stoisku kosmetycznym w domu
towarowym  Centrum , otrzymano średnią arytmetyczną kwoty zakupu, wynoszącą 15,4 zł oraz odchylenie standardowe
kwoty zakupu wynoszące 4 zł.
1. Wyznaczyć 95% przedział ufności dla przeciętnej kwoty zakupu na tym stoisku.
2. Ile kwitów powinno się wylosować do próby, aby na poziomie ufności (1 - ą) = 0, 95 zbudować przedział ufności
dla wartości przeciętnej o rozpiętości co najwyżej 2 zł?
Zadanie 99 [9] ZakÅ‚adajÄ…c, że kwartalne wydatki na reklamÄ™ można uznać za cechÄ™ o rozkÅ‚adzie N(m, Ã), wylosowano
do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:
Kwartalne wydatki (w tys. zł) 0-5 5-10 10-15 15-20
Liczba zakładów 10 20 40 30
1. Wyznaczyć na poziomie ufności 1-ą = 0, 96 przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na reklamę.
2. Jaka będzie dokładność oszacowania, gdy poziom ufności będzie równy 0,9?
Zadanie 100 W celu oszacowania wyniku referendum przeprowadzono ankietę wśród 552 losowo wybranych osób
uprawnionych do głosowania. Odpowiedz
na pytanie:  Czy zagłosuje Pani/Pan za. . . ? zaklasyfikowana została do
kategorii  tak bÄ…dz
kategorii  inna ( inna obejmuje  nie ,  nie wiem itp.). Wiedząc, że 239 osób odpowiedziało
 tak wyznaczyć 95% przedział ufności dla frakcji populacji, która zagłosuje za.
Zadanie 101 [9] W zakładzie Z dla 16 wybranych losowo pracowników otrzymano następujące informacje o zatrud-
nionych:
Wiek pracowników 20-24 24-28 28-32 32-36
Liczba pracowników 4 6 4 2
31
1. Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego wieku pracowników tego
zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,98.
2. Traktując powyższe dane jako wyniki wstępnej próby, obliczyć, jaka powinna być właściwa liczebność próby, aby
oszacować przeciętny wiek pracownika, z dopuszczalnym błędem oceny 2 lata  na poziomie ufności 0,98. Jaka
powinna być liczebność próby, jeżeli założymy dopuszczalny błąd oceny 1 rok?
3. Jaki przedział otrzymamy zakładając, że wiek ma rozkład normalny N(m, 3) i poziom ufności wynosi 0,98?
Zadanie 102 [9] Rozkład wagi uczniów pierwszych klas szkół podstawowych jest N(m, 3kg). Ilu uczniów powinno się
wylosować do próby, aby oszacować przeciętną wagę ucznia I klasy z maksymalnym błędem szacunku 0,5 kg na poziomie
ufności 1 - ą = 0, 98?
Zadanie 103 W większości narodowych wyborów w Australii około 50% głosów oddaje się na liberałów i 50% na partię
pracy. Jak dużej próby potrzeba, by oszacować wynik wyborów z dokładnością do ą 3% na poziomie ufności 0.95?
2.4 Weryfikacja hipotez statystycznych  testy istotności dla pojedynczej próby, Bar-
tosz Witkowski
Procedura przeprowadzania testów
1. sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej,
2. dobór odpowiedniej postaci statystyki testowej,
3. obliczenie wartości statystyki dla posiadanej próby,
4. wyznaczenie przedziału krytycznego na przyjętym poziomie istotności,
5. wnioskowanie o odrzuceniu hipotezy zerowej gdy wartość obliczonej statystyki należy do przedziału krytycznego
bÄ…dz
o braku podstaw do jej odrzucenia w przeciwnym wypadku.
Dobór odpowiedniej postaci statystyki testowej i wyznaczanie przedziałów krytycznych w poszczegól-
nych sytuacjach
Testy dla średniej w populacji generalnej
Schemat 1 Cecha ma w populacji generalnej rozkÅ‚ad normalny ze znanym odchyleniem standardowym Ã, n < 30
H0 : m = m0, H1 : m = m0, obszar krytyczny: K = (-"; -uÄ…] *" [uÄ…; "),

H0 : m = m0 (m m0), H1 : m > m0, obszar krytyczny: K = [u2Ä…; "),
H0 : m = m0 (m m0), H1 : m < m0, obszar krytyczny: K = (-"; -u2Ä…].
"
x - m0
U = n. (87)
Ã
Jeżeli U " K odrzucamy H0 na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie  brak podstaw do jej odrzucenia.
Schemat 2 Cecha ma w populacji generalnej rozkład normalny z nieznanym odchyleniem standardowym, n < 30
H0 : m = m0, H1 : m = m0, obszar krytyczny: K = (-"; -tÄ…,n-1] *" [tÄ…,n-1; "),

H0 : m = m0 (m m0), H1 : m > m0, obszar krytyczny: K = [t2Ä…,n-1; "),
H0 : m = m0 (m m0), H1 : m < m0, obszar krytyczny: K = (-"; -t2Ä…,n-1],
"
x - m0
t = n. (88)
Ć
S
Jeżeli t " K odrzucamy H0 na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie  brak podstaw do jej odrzucenia.
Schemat 3 Cecha ma w populacji generalnej dowolny rozkład, n > 30
H0 : m = m0, H1 : m = m0, obszar krytyczny: K = (-"; -uÄ…] *" [uÄ…; "),

H0 : m = m0 (m m0), H1 : m > m0, obszar krytyczny: K = [u2Ä…; "),
H0 : m = m0 (m m0), H1 : m < m0, obszar krytyczny: K = (-"; -u2Ä…],
"
x - m0
U = n. (89)
S
Jeżeli U " K odrzucamy H0 na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie  brak podstaw do jej odrzucenia.
32
Testy dla frakcji w populacji generalnej
H0 : p = p0, H1 : p = p0, obszar krytyczny: K = (-"; -uÄ…] *" [uÄ…; "),

H0 : p = p0 (p p0), H1 : p > p0, obszar krytyczny: K = [u2Ä…; "),
H0 : p = p0 (p p0), H1 : p < p0, obszar krytyczny: K = (-"; -u2Ä…],
wi - p0
U = . (90)
p0(1-p0)
n
Jeżeli U " K odrzucamy H0 na danym poziomie istotności, w przeciwnym razie  brak podstaw do jej odrzucenia.
2.4.1 Zadania
Zadanie 104 Na paczce paluszków napisane jest, że jej masa wynosi 100g, podczas gdy wśród zakupionych 4 paczek
znalazły się paczki ważące kolejno 102, 98, 105 i 103 gramy. Wiadomo, że rozkład masy paczki jest normalny.
1. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnia masa paczki paluszków jest równa 100g, jeżeli wiadomo,
że odchylenie standardowe w rozkładzie masy paczki wynosi 3 gramy.
2. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikuj hipotezę, że średnia masa paczki paluszków jest równa 100g, jeżeli odchylenie
w rozkładzie masy nie jest znane.
Zadanie 105 Zenon zakupił 100 butelek piwa Dragon i osobiście przetestował zawartość alkoholu w każdej z nich
stwierdzając, na podstawie wprawionego zmysłu smaku, że średnia zawartość alkoholu w butelce wyniosła 5,2 procenta
z odchyleniem standardowym 0,5 punktu procentowego. Na etykietce doczytał się jednak, że producent deklaruje jedynie
5% alkoholu w butelce. Czy na poziomie istotności 0,02 można stwierdzić, że napis na butelce wprowadza w błąd?
Zadanie 106 Stefan zakupił 50 ryb akwariowych, z których niestety 4 zdechły już na drugi dzień. Sprzedawca zarzekał
się, że w ciągu pierwszych dwóch dni zdycha średnio 10% ryb. Czy, na poziomie istotności 0,1 można uznać, że nie
kłamał?
Zadanie 107 Grzegorz nabył 4 tubki pasty do zębów i zmierzył zawartość pasty w tubce. W kolejnych tubkach było
odpowiednio 98, 96, 100 i 98 ml, podczas gdy producent twierdził, że w każdej jest 100 ml. Wiedząc, że rozkład zawartości
pasty w tubce jest normalny z odchyleniem standardowym 1 ml zweryfikuj na poziomie istotności 0,05 prawdziwość
twierdzeń:
1. średnia zawartość pasty w tubce nie jest równa 100 ml,
2. średnia zawartość pasty w tubce jest mniejsza niż 100 ml.
Zadanie 108 Jak zmieni się postępowanie z poprzedniego punktu, jeżeli nie będzie znane odchylenie standardowe w
rozkładzie zawartości pasty w tubce?
Zadanie 109 Kleofas jada na śniadanie wyłącznie dżem i twierdzi, że średnio zjada 50g dżemu. Tymczasem jego matka
sprawdziła, że w ciągu ostatnich 81 dni Kleofas zjadał średnio 55 gramów dżemu z wariancją równą 25g2. Na poziomie
istotności 0,03 zweryfikuj stwierdzenia:
1. Kleofas średnio zjada na śniadanie 50g dżemu,
2. Kleofas średnio zjada na śniadanie więcej niż 50g dżemu,
3. Kleofas średnio zjada na śniadanie nie mniej niż 50g dżemu.
Zadanie 110 Debiutujący aktor, Bogusław Limba, obliczył, że w ciągu ostatnich 49 dni jego średnie dzienne zarobki
wynosiły 20 złotych z odchyleniem standardowym 5 złotych.
1. Czy na poziomie istotności 0,04 należy uznać stwierdzenie, że Bogusław L. zarabia dziennie średnio 19 złotych za
fałszywe?
2. Czy na poziomie istotności 0,02 należy uznać stwierdzenie, że Bogusław L. Zarabia dziennie średnio więcej niż 21
złotych za fałszywe?
Zadanie 111 Marian, najprzystojniejszy chłopak w mieście, często chodzi na wagary. W ciągu ostatniego miesiąca
nauczycielka sprawdziła, że na 30 kolejnych lekcji Marian był nieobecny na sześciu, podczas gdy sam Marian twierdzi,
że średnio nie ma go nie częściej niż na co ósmej lekcji. Zweryfikuj prawdziwość stwierdzenia Mariana przy ą = 0, 1.
Zadanie 112 Z badań wynika, że po zastosowaniu pewnej niezwykłej pasty do zębów, wśród 100 dzieci 80 miało zęby
zdrowe na siódemkę. Czy na poziomie istotności 0,05 twierdzenie producenta, że w ponad 90% przypadków pasta ma
zbawienne działanie na zęby należy uznać za fałszywe?
33
Literatura
[1] J. Borowski, R. Golański, K. Kasprzyk, L. Melon, M. Podgórska, Matematyka finansowa (przykłady, zadania, testy,
rozwiązania), Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, wyd. IV, 2003.
[2] S. Dorosiewicz (red.), J. Kłopotowski, D. Kołatkowski, Matematyka I, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Han-
dlowej, 2002.
[3] M. Gruszczyński, S. Kluza, D. Winek, Ekonometria, Wyższa Szkoła Handlu i Finansów Międzynarodowych, 2003.
[4] M. Gruszczyński, M. Podgórska (red.), Ekonometria, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, wyd. VI,
2003.
[5] Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Skrzypek, A. Walkosz, Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo
Naukowe PWN, wyd. V, 2004.
[6] J. Józ
wiak, J. Podgórski, Statystyka od podstaw, PWE, wyd. V, 2001.
[7] M Kolupa, J. Plebaniak, Metody ilościowe dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Handlu i Prawa, Warszawa.
[8] J. KÅ‚opotowski, W. Marcinkowska-Lewandowska, M. Nykowska, I. Nykowski, Matematyka dla ekonomicznych
studiów zaocznych i wieczorowych, Oficyna Wydawnicza Szkoły Głównej Handlowej, wyd. VI, 2004.
[9] S. Ostasiewicz, Z. Rusnak, U. Siedlecka, Statystyka. Elementy teorii i zadania, Wydawnictwo Akademii Ekono-
micznej im. Oskara Lanego we Wrocławiu, Wrocław 1997.
[10] J. Podgórski, Statystyka dla studiów licencjackich, PWE, Warszawa 2001.
[11] E. Siwek, Szkolny SÅ‚ownik Matematyczny, Videograf II, Katowice 2002.
34