12.
Stochastyczne podejście do stopy procentowej.
( Zmienność stopy procentowej)
12.1 Wprowadzenie
Poprzednie rozdziały w tej książce prezentowały teorię stopy procentowej, w dużej
mierze na podłożu deterministycznym. Rozdział 12 wprowadza czytelnika w stochastyczne
(przypadkowe) podejście do stopy procentowej.
W rzeczywistości, pojawiły się dwie dziedziny w poprzednich rozdziałach, w których
wyraz
nie przedstawione zostały prawdopodobieństwa. Pierwszą dziedziną było rozważenie
domniemanych prawdopodobieństw w Sekcji 9.8, drugą zaś była hipoteza odnosząca się do
wycofania ze świadectwa ilustracji depozytowej w Sekcji 11.9. Wzór (11.17) na pochodną
trwania został również oznaczony rozbieżnym zapisem dla łatwości prezentacji. Ostatecznie,
pojawiło się domniemane rozpoznanie ryzyka oraz niepewność w tychże dziedzinach, jako
praktyki obligacji płatnych na żądanie oraz rat stawek kredytów hipotecznych. Jednak,
wcześniejsze podejście przedstawione w książce było w dużej mierze deterministyczne.
W rozdziale 12 najpierw rozważymy stopę procentową jako przypadkową zmienną.
Następnie, uwzględnimy zasadnicze przedstawienie kilku modeli wraz ze stochastycznym
podłożem, co ma ważne zastosowanie w praktyce. Na koniec, zbadamy obszernie używanego
podejścia scenariusza testowania jako środka dotyczącego przyszłej niepewności.
Zakładamy, iż czytelnik posiada podstawową wiedzę w statystykach matematycznych.
Poziom statystyk użytych w tym rozdziale nie jest zaawansowany. Czytelnicy, którzy
chcieliby odświeżyć wiedzę dotyczącą rezultatów statystyk, użytych w tym rozdziale, niech
odniosą się do Załącznika D.
12.2 Niezależna Stopa Oprocentowania
Rozważmy teraz stopę oprocentowania jako przypadkową zmienną. W Sekcji 12.2 i
12.3 rozważymy przypadek w którym stopa procentowa w jednym okresie jest
niezależna od stóp oprocentowania w innym okresie. Zaczynając od Sekcji 12.4
usuniemy niezależna hipotezę i zbadamy niektóre modele, w których kolejne stopy
procentowe korelują pod pewnymi względami.
Wstępna ilustracja
Na początku pokażemy, iż przewidywane skumulowane i obecne wartości nie są
jednakowe w stosunku do skumulowanych i obecnych wartości w oczekiwanej stopie
procentowej. W celu zaprezentowania tej możliwości, rozważmy inwestycję jednostki
na 10 lat w stosunku do stałej efektywnej stopy procentowej, która jest nieznana ale
równa prawdopodobieństwu bycia 7%, 8% lub 9%.
Niech będzie oznaczało efektywną stopę procentową. Z podstawowych statystyk
oczekiwana stopa procentowa jest obliczana w ten sposób:
Przewidywana skumulowana wartość jest obliczana:
Jednakże, skumulowana wartość przewidywanej stopy procentowej obliczana jest:
Dlatego też, na tej ilustracji, przewidywana skumulowana wartość nie jest równa
skumulowanej wartości przewidywanej stopy procentowej. Stopa procentowa j, która
przedstawiłaby przewidywaną skumulowaną wartość może być uwarunkowana poprzez:
Co może być rozwiązane poprzez:
Podobny rezultat może również występować dla obecnych wartości. Zakładając, iż
chcemy zainwestować dziś określoną kwotę, dotyczącą jednej jednostki, na dziesięć lat, na
warunkach opisanych powyżej, dotyczącej nieznanej stałej stopy procentowej.
Przewidywana obecna stopa procentowa obliczana jest:
Podczas gdy obecna wartość przewidywanej stopy procentowej obliczana jest:
Stopa procentowa j , która przedstawiałaby przewidywaną obecną wartość może być
uwarunkowana poprzez:
Co może być rozwiązane poprzez:
Skumulowane wartości
Na powyższych ilustracjach założyliśmy, iż niepewna stopa procentowa była stała od
dziesięciu lat. Obecnie rozważamy sytuację, w której stopa procentowa może być różna w
różnych okresach, według niektórych prawdopodobieństw, które nie zmieniają się z czasem.
Przyjmiemy zapisy użyte w Rozdziale 1 i pozwolimy aby stopa procentowa podczas
okresu rth, i.e. od czasu t  l do t, była oznaczona poprzez i, dla t+1,2,& & ,n. Skumulowana
wartość inwestycji l na koniec okresu n jest obliczana poprzez wzór (1.40) ze zmianą w
zapisie
A teraz załóżmy, iż są niezależnie i identycznie rozprowadzane ze środkiem .
Środek skumulowanej wartości obliczany jest:
Zauważ, iż w tym przypadku przewidywana skumulowana wartość nie jest równa
skumulowanej wartości przewidywanej stopy procentowej.
Następnie rozważymy wariancję skumulowanej wartości, która jest:
Załóżmy, iż mają stałą wariancję . Następnie będziemy mogli obliczyć drugi
moment z
ródła a(n).(moment pochodzenia)
Ten wynik oparty jest na fakcie, iż dla każdej wartości t
Lub
Co daje
Dlatego też, różnica skumulowanej wartości obliczana jest:
Co może być zapisane jako:
Gdzie
Teraz poszerzymy powyższą analizę, dotyczącą pojedynczej płatności do poziomu
rocznej raty. Rozważmy okres  n jako obowiązek spłaty rocznej raty. Podążając poglądem
opracowanym w Sekcji 3.8 dla metody stopy, skumulowana wartość roczna raty to:
Średnia może być uzyskana poprzez wzór:
Następnie postaramy się znalez
ć wariancję . Różnica serii tych form jest złożona i
przedstawiona jest w Załączniku 12 na końcu rozdziału.
Zdefiniujmy oraz jako pierwszy i drugi moment l+i, pod kÄ…tem z
ródła,
odpowiednio:
Oraz:
Gdzie jest określone we wzorze (12.4b). Następnie stosując rezultaty z Załącznika
12, otrzymujemy:
Obecne wartości
Podobne rezultaty do tych powyżej dla skumulowanych wartości mogą być także
opracowane dla obecnych wartości. Jednakże, musimy być ostrożni przy wyborze stopy
procentowej, Ogólnie rzecz biorąc, otrzymujemy:
Dlatego też, prezentując obecne wartości musimy zdefiniować jako:
Musimy zaznaczyć, iż wartość różni się od wartości , użytej powyżej dla
skumulowanych wartości gdzie
Nasz pierwszy wynik to rozwinięcie wzoru dla średniej obecnej wartości, pojedynczej
płatności, analogicznie do wzoru (12.1), otrzymamy:
Uzyskany wzór (12.9) jest podobny do wzoru (12.1) i pozostaje ćwiczeniem.
Dla wariancji obecnej wartości otrzymujemy:
Gdzie:
Niestety, bez wiedzy rozprowadzenia , nie będziemy w stanie dowiedzieć się w jaki
sposób opracować . Pogląd przedstawiony powyżej, w celu znalezienia drugiego momentu
dla skumulowanych wartości, nie będzie miał zastosowania dla obecnych wartości. Wzór
(12.10) wymaga obliczenia drugiego momentu opartego na konkretnej gęstości
prawdopodobieństwa.
Tymczasem, powróćmy do obecnej wartości okresu  n , bezpośredniej rocznej raty z
Sekcji 3.8
Åšrednia jest oczekiwanym wynikiem:
Uzyskany wzór (12.11) jest podobny do wzoru (12.5) i pozostaje ćwiczeniem.
W końcu rozważmy wariancję . Zdefiniujmy oraz jako pierwszy i
drugi moment pod względem z
ródła pochodzenia:
Powtórnie otrzymując wyniki z Załącznika 12, otrzymujemy:
Wynik numerycznych rozwiązań
Zatem, jeśli znamy pierwszy i drugi moment oraz , możemy znalez
ć
średnią i różnicę skumulowanej wartości lub obecnej wartości, zarówno pojedynczej płatności
jak i poziomu raty rocznej. Możemy przyjąć prawdopodobieństwo ścisłości funkcji dla .
Niestety, powyższe wzory nie dają wyniku dla gęstości prawdopodobieństwa, nawet jeśli
średnia i różnica są nam znane.
Standardowym rozwiązaniem dla tej sytuacji w praktyce, jest użycie symulacji.
Procedurę przedstawiamy poniżej:
1. Założyć prawdopodobieństwo ścisłości funkcji dla i jej parametrów
2. Przygotować przypadkową serię liczb oraz przeprowadzić tak dużo prób jak tylko jest
to możliwe. Jeśli próby m będą zamierzone, wtedy przypadkowe liczby mn będą
niezbędne.
3. Używając standardowych technik symulacji, używać tylko przypadkowych liczb, w
celu obliczenia mnogości m dla wartości
4. Dla każdej mnogości m , obliczyć wymaganą funkcję finansową, np.
, lub inne funkcje.
5. Wyniki m mogą być użyte w celu rozwinięcia przybliżonej prawdopodobności
ścisłości funkcji, dla tej właśnie funkcji finansowej. Oszacowane prawdopodobności
dla możliwych wyników mogą być obliczone z wyników m.
Nie będziemy omawiać bliżej techniki symulacji ponieważ zakładamy, iż czytelnik jest
zaznajomiony w tym temacie. Czytelnicy, którzy nie są zaznajomieni z tą techniką
proszeni są o odniesienie się bezpośrednio do całej książki.
Przykład 12.1 Załóżmy, że i jest obowiązującą stopą procentową, oddzieloną przedziałem
czasowym dla t = 1,2 i 3. Dla skumulowanej wartości inwestycji 1 w
przeciÄ…gu ostatnich 3 lat, znajdz
:
(1) ÅšredniÄ…
(2) Odchylenie standardowe
1. Dla jednolitego podziału otrzymujemy:
Bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.1) daje nam:
2. Dla jednolitego podziału otrzymujemy:
Bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.4a) daje nam:
Dlatego też, odchylenie standardowe to . Ta odpowiedz
wydaje siÄ™
racjonalna w stosunku do związku z maksymalnym zakresem możliwych wyników, tzn.:
do
Przykład 12.2. Przeróbmy Przykład 12.2 dla skumulowanej wartości inwestycji 1, na
początku każdego roku w przeciągu trzech lat.
1. Bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.5) daje:
2. StosujÄ…c wzory (12.6) oraz (12.7) otrzymujemy:
i
Stosując wzór (12.8) otrzymujemy:
Tak, że standardowe odchylenie wynosi . Ten wynik wydaje
być się racjonalnym w stosunku do związku z maksymalnym zakresem możliwych
wyników, tzn.: do
12.3 Model Logarytmicznie - Normalny
Występuje jeden ważny przypadek modelu ukazanego w Sekcji 12.2 dla
którego przydatny wynik może być uzyskany analitycznie. Załóżmy, iż przypadkowa
zmienna poprzedza zwykłe rozdzielenie ze średnią i wariancją .
Następnie przypadkowa zmienna poprzedza logarytmicznie-normalne
rozdzielenie z parametrami i Średnia i różnica logarytmicznie-normalnego
rozdzielenia z parametrami i dajÄ…:
Åšrednia
I
Wariancja
ZaczynajÄ…c od wzoru (1.40), jak w Sekcji 12.2, otrzymujemy:
Prawa strona równania jest sumą n  niezależnych przypadkowych zmiennych ze
średnią i wariancją
Ponieważ średnie i wariancje są zależne od siebie, kiedy występuje niezależne
rozdzielenie, otrzymujemy:
I
Bezpośrednio a(n) idzie w parze z logarytmicznie-normalnym rozdzieleniem, którego
średnie i wariancje są od siebie zależne, w takim przypadku otrzymujemy:
I
Omówmy obecne wartości dla których musimy zanalizować rozdzielenie :
co rozłożone jest na średnią i wariancję
Dlatego też, otrzymujemy następujące rozszerzone wzory (12.18) oraz (12.19) dla
W podobnym przypadku, otrzymujemy także rozszerzone wzory (12.20) oraz (12.1)
tylko dla :
Powyższe wariancje wzorów dla a(n) oraz , tzn. wzory (12.21) oraz
(12.25) sÄ… skomplikowane i trudne do opracowania. W praktyce, logarytmy a(n) oraz
są zwykle stosowane, co pozwala nam zastosować normalne rozdzielenie i
pracować z o wiele prostszymi wzorami (12.19) oraz (12.23), w momencie gdy
potrzebujemy różnic.
 Wraz z powyższymi wzorami, jesteśmy w stanie znalez
ć momenty i oszacować
prawdopodobne zestawienia, o możliwych wynikach oraz
bez odnoszenia siÄ™ do symulacji.
Przypomnijmy wzór (1.33) dla natężenia stopy procentowej:
Zatem, widzimy, iż wzór po prawej stronie (12.17) może być zinterpretowany jako
suma Tak jak w Sekcji 1.10 definiujemy:
Nawias odróżnia , które jest poziomem odpowiedniego natężenia do przedziału
t  1 do t, z , które jest odpowiednim natężeniem tylko dla chwilowego momentu t.
To wydaje się być racjonalne w niektórych przypadkach aby przypuszczać, że
wahania w natężeniu stopy procentowej wiążą się ze zwykłą dystrybucją. Kiedy ta
hipoteza potwierdza się, wtedy połączone nagromadzenie oraz pominięte czynniki ,
tzn: oraz , będą szły wraz z logarytmicznie-normalnym rozkładem.
Nawet jeśli oraz nie idą w parze z logarytmicznie-normalnym
rozkładem, jest wciąż możliwe aby użyć logarytmów przy zastosowaniu normalnego
rozkładu, w celu poszerzenia n. Jest to zastosowaniem Centralnego Twierdzenia
Limitu w statystykach. To twierdzenie udowadnia zastosowanie wzorów: (12.18) i
(12.19) oraz wzorów (12.22) i (12.23) jako dopuszczalnych przybliżeń dla poszerzenia
n, niezależnie jak l + i oraz są rozdzielone. Centralne Twierdzenie Limitu
może być wtedy użyte jako prawdopodobne przewidywania oraz aby rozwinąć pewne
już przedziały dla różnych wyników. Będzie to przedstawione w Przykładzie 12.4.
Jednym z końcowych spostrzeżeń jest zauważenie średnich i wariancji dla
normalnego rozkładu proporcjonalnie do n. Jednakże, odchylenie standardowe
proporcjonalne jest do Na przykład, w analizie ln a(n), jeśli podwoimy n,
podwoi się średnia. Jednak, odchylenie standardowe tylko podwyższy czynnik
Przykład 12.3 Załóżmy, iż 1 + idzie w parze z logarytmicznie  normalnym
rozkładem z oraz . Znajdz
średnią i odchylenie standardowe dla:
(1) a(5).
(2)
(3)
(4)
1. Åšrednia
Ze wzoru (12.15) otrzymujemy:
Stosując wzór (12.1) otrzymujemy średnią:
Wynik może być także uzyskany poprzez bezpośrednie zastosowanie wzoru (12.20)
Odchylenie standardowe
W tym przypadku a(5) ma logarytmicznie-normalny rozkład z parametrami oraz
, tak więc ze wzoru otrzymujemy:
Zatem, odchylenie standardowe to . Ćwiczeniem będzie tutaj
potwierdzenie tej odpowiedzi poprzez alternatywne podejście do wzoru (12.4a).
2. Åšrednia
Ze wzoru (12.8) otrzymujemy:
Odchylenie standardowe
Ze wzoru (12.8) otrzymujemy:
Zatem, odchylenie standardowe to
3. Åšrednia
Ze wzoru (12.15) otrzymujemy:
Stosując wzór (12.9) otrzymujemy:
Ten wynik może być także uzyskany poprzez bezpośrednie zastosowanie wzoru
(12.24). Zauważ, iż , tak więc , co różni się w częściach 1 i
2 powyżej.
Odchylenie standardowe
Teraz posiada logarytmiczno-normalnÄ… dystrybucjÄ™ z parametrami oraz
, tak więc ze wzoru (12.25) otrzymujemy:
Zatem, odchylenie standardowe to
4. Åšrednia
W części 3 powyżej dowiadujemy się, że . Zatem ze wzoru (12.11)
otrzymujemy:
Odchylenie standardowe
Otrzymaliśmy , gdzie
Stosując wzór (12.14) otrzymujemy:
 Zatem, odchylenie standardowe to
Przykład 12.4 35- latek odziedziczył $100,000 i chciałby zainwestować wszystko w
emeryturÄ™ w wieku 65 lat. Fundusz inwestycyjny zarobi na tym 4%, 7% lub 10% o
następujących prawdopodobieństwach:
Zwrot w każdym roku będzie zależał od zwrotów w latach poprzednich. Zastosuj Centralne
Twierdzenie Limitu w celu określenia sumy, jaką inwestor zgromadzi w wieku 65 lat z 95%
prawdopodobieństwem.
Tabela 12.1 zawiera kalkulacje potrzebne do sprawdzenia wymaganych wzorów w tej sekcji.
Pamiętaj, że po użyciu logarytmów będziemy zajmować się wartościami, które są normalnie
rozprowadzane.
Tabela 12.1 Kalkulacje dla Przykładu 12.4
Probability  Prawdopodobieństwo
Expected value  oczekiwana wartość
Åšrednia to
Wariancja to
Otrzymujemy n= 30. Wzór (12.18) daje nam:
A wzór (12.19) daje nam:
Wartość, która może być osiągnięta występuje w pozostałych 5%. W standardowej
normalnej rozkładzie otrzymujemy:
Niech A będzie skumulowaną wartością na jednego zainwestowanego dolara i w ten sposób
otrzymamy:
Rozwiązując to równanie otrzymujemy:
Lub
Na każdego jednego zainwestowanego dolara. Zatem, odpowiedz
to:
Co może być skumulowane z 95% prawdopodobieństwem w wieku 65 lat.
Jest to pouczające aby porównać tą odpowiedz
ze środkiem skumulowanej wartości co daje
nam:
12.4 Czasowe modele szeregowe
W Sekcji 12.2 i 12.3 założyliśmy, iż stopy procentowe , w każdym kolejnym
okresie są niezależne. W Sekcjach 12.4 i 12.6 rozważamy modele w których to założenie nie
sprawdza siÄ™.
Zależne stopy maja zdecydowanie intuicyjne odwołanie. Na przykład, jeśli stopa
procentowa w jednym okresie jest znacznie wyższa niż długoterminowa przeciętna stopa,
wtedy uzasadnione jest założenie, iż następująca stopa w danym okresie będzie
najprawdopodobniej wyższa niż przeciętna. To samo założenie wydaje się być uzasadnione
dla stóp niższych od przeciętnych.
Innymi słowy, historyczne doświadczenia sugerują, że bardziej prawdopodobne dla
stóp jest aby zostały wyższe lub niższe dla kilku kolejnych okresów niż dla stóp wyższych
przypadkowych lub niższych przeciętnych. To wydaje się bardziej wiarygodne, gdy
rozważamy fakt, iż poziom stóp jest związany z warunkami ekonomicznymi oraz z polityką
rzÄ…dowÄ….
Jest wiele różnych modeli, które mogą być utworzone w celu rozważenia zależności.
Niektóre z nich są poniżej możliwości tej książki. Jednakże, będziemy omawiać niektóre z
prostszych przypadków, zaczynając od szeregu czasowego analizowanych statystyk.
Kilka rodzajów modeli czasowych szeregowych zostało tutaj rozbudowanych. Główne
modele to średnia krocząca(MA), auotregresywne modele(AR) lub pomieszanie tych dwóch.
Ukażemy tylko autoregresywne modele w tej sekcji ponieważ są łatwiejsze do zastosowania.
Jednakże, czytelnicy którzy mają podstawy w czasowych modelach szeregowych powinni
rozważyć zastosowanie średniej ruchomej.
Jako przykład tego prostego założenia, rozważmy jednolity rozkład, która miał
zastosowanie w przykładach 12.1 oraz 12.12. Załóżmy, iż jednolity rozkład zastosowany jest
w przedziale większym niż po stronie średniej stopy procentowej. Zatem, jeśli
długoterminowa przeciętna stopa to i, otrzymujemy więc jednolity rozkład zgodnie z
przedziałem
Teraz załóżmy, iż kolejne stopy procentowe mogą być połączone poprzez wzór:
Gdzie . Ta zależność pokazuje, iż jednolita dystrybucja ma zastosowanie
centralnie w , to jest zgodnie z przedziałem dla
każdej kolejnej wartości t  1.
Stała k jest względna do ciężaru otrzymanego w długoterminowej przeciętnej stopie
procentowej i poprzedniego okresu stopy. Jeśli k=0, wtedy otrzymujemy niezależność i
stosujemy wynik z Sekcji 12.2. Jeśli k=1, wtedy otrzymujemy całkowitą wagę w stosunku do
poprzedniego okresu stopy. Tymczasowa wartość k daje nam częściowy ciężar dla i oraz dla
. W rzeczywistości wykonujemy liniową interpolację pomiędzy dwoma z nich.
Ta prosta ilustracja dotyczy zastosowania autoregresywnego procesu pojedynczej
kolejności AR(1). Taki proces powoduje, iż stopa procentowa w jednym okresie jest wyższa
niż w poprzednim.
Kolejne wyniki zostały uzyskane poprzez zastosowanie logarytmicznie  normalnego
rozkładu w sposób zależny. Zostanie to zrealizowane poprzez specyfikacje formy jako
określonego wzoru (12.26). Zakładamy, iż długoterminowa przeciętna siła stopy procentowej
otrzymywana jest poprzez to jest :
Dla t = 1,2,3& ..
Teraz zastosujmy proces AR(1) i rozwińmy go szerzej niż przedstawiliśmy go powyżej. Ten
proces zakłada, iż jest oparty na długoterminowej przeciętnej sile okresu
poprzedniego. Zatem, ma ono następująca formę:
Widać tutaj ewidentne podobieństwo do wzoru (12.27). Wyrażenie e(t) jest mylnym pojęciem
i zakłada, iż e(t) jest dla t = 1,2,3& . są niezależne i identycznie rozpowszechnione według
rozkładu normalnego ze średnią i wariancją .
Potwierdzamy te rezultaty beż żadnych dowodów. Wariancja przedstawiona
jest jako:
A kowariancja pomiędzy a ukazana jest jako:
Dla t>s. Powyższe wzory wymagają aby . Zauważ, iż k = 0, mamy więc
niezależność i wyniki, zastosowane w Sekcji 12.2.
Bardziej rozwinięta czasowo szeregowa procedura znajduje się w autoregresywnym
procesie podwójnej kolejności  AR(2). Ten proces zakłada, iż oparte jest na
długoterminowej przeciętnej sile i siłach z poprzednich okresów. Zatem, uzyskujemy
następującą formę:
Błędne pojęcie e(t) jest określone tak samo jak w procesie AR(1). Różnica ukazana jest
następująco:
Kowariancja pomiędzy a przedstawiona jest jako:
Dla t>s, gdzie
I gdzie i są odwzajemnione jako główne z
ródło charakterystycznego równania
Jest możliwe, iż powyższe równanie posiada nierzeczywiste z
ródło. Wyżej wymienione
wzory wymagają trzech warunków:
Ponownie zauważmy, że jeśli , mamy wtedy niezależność i wyniki
zastosowane w Sekcji 12.2.
Powyższe zastosowanie procesów AR(1) oraz AR(2) jest w rzeczywistości
analityczne. Jednakże, kolejnym podejściem, które może być zastosowane jest symulacja.
Inne modele stosujące zależność, mogą być również użyte oraz realizowane wraz z
symulacją. Ważne jest, iż żaden model nie może być stosowany z empirycznymi danymi,
przed użyciem, w celu sprawdzenia jak radzi sobie model z aktualnymi wynikami.
Przykład 12.5 Załóżmy, iż długoterminowa obowiązująca stopa procentowa w
określonej sytuacji wynosi 6% a w poprzednim roku 9%. Porównaj zależność przedstawioną
we wzorze (12.27) w okresie 3 lat, zakładając, iż stopa w każdym roku jest dokładnie równa
stopie opartej na długoterminowej przeciętnej stopie i stopie z poprzedniego roku.
(1) Jeśli k = .2.
(2) Jeśli k = .8.
1. Załóżmy, że:
Regresja wartości do średniej stopy 6% jest natychmiastowa.
2. Załóżmy, że:
W tym przypadku regresja w stosunku do średniej jest znacznie wolniejsza.
Celem tego przykładu jest zilustrowanie domniemanej zależności przedstawionej przez różne
wartości k. Oczywiście w praktyce aktualna roczna stopa procentowa jest bardziej
prawdopodobna niż oszacowana stopa oparta na długoterminowej przeciętnej stopie i stopy z
poprzedniego roku, tak że powyższa równa zależność będzie znacznie podwyższona.
Jednakże, efekt wyboru k, będzie wyraz
ny w pojęciach wielkości regresji w stosunku do
długoterminowej przeciętnej stopy procentowej jak na powyższej ilustracji.
Przykład 12.6 Wiemy, iż idzie w parze z procesem AR(1) ze średnią = .09,
różnicą = .003, oraz kowariancją pomiędzy sąsiadującymi wartościami = .002. Oszacowana
wartość wynosi .075. Znajdz
aktualną wartość .
Podzieliliśmy wzór (12.31) wzorem (12.30) aby uzyskać:
Oznaczmy aktualne wartości poprzez oraz oczekiwane wartości poprzez . Ze
wzoru (12.29) otrzymujemy:
Co daje nam:
Przykład 12.7 Wiemy, że idzie w parze z procesem AR(2) ze średnią równą .08.
Następujące wartości przedstawione są poprzez tabelę
Actual  Aktualnie
Estimated  Oczekiwane
Znajdz
oczekiwaną wartość dla
Jeśli zastosujemy wzór (12.32) dla oraz 4, otrzymamy:
W skróconym zapisie otrzymujemy:
Są to dwa równania z dwoma niewiadomymi, które mogą być rozwiązane stosując
oraz . Zauważ, iż wartości k spełniają trzy wymagane warunki.
Zatem, otrzymujemy:
12.5 Drzewo Dwumianowe
Kolejnym zależnym modelem stopy procentowej jest model dwumianu. Ten model
tworzy szereg przyszłych ścieżek stopy procentowej, dotyczących ciągu ruchów górnych i
dolnych w stopie procentowej. Przedstawiona graficznie prezentacja zwana jest zwykle
dwumianem kratowym lub drzewem dwumianu.
Model dwumianu rozpoczyna siÄ™ obecnÄ… stopÄ… procentowÄ…, co pozostaje poziomem
ponad niektóre określone okresy a następnie porusza się zarówno w górę jak i w dół z
ustanowionym prawdopodobieństwem. Nie może pozostawać to poziomem, zatem, nazwa
 dwumian dotyczy faktu, iż są dwie możliwości wyniku, gdzie prawdopodobieństwo
sumuje siÄ™.
Proces powtarza się w kolejnych okresach w przyszłości. Ilość okresów jest wyższa w
stosunku do modelu opartego na określonym zastosowanemu. Każdy kolejny okres jest
równy pod względem długości a prawdopodobieństwa ruchów górnych i dolnych pozostają
niezmienione w każdym okresie.
Metoda dwumianu jest przykładem błądzenia losowego, terminu uzyskanego w
zastosowanych statystykach. Początkowa wartość dla każdego okresu jest końcowym
punktem poprzedniego okresu. Również i wynik w każdym okresie jest niezależny od
okresów poprzednich.
Drzewo dwumianu ilustruje graficznie różnicę.
Zamknięte drzewo
Otwarte drzewo
Po okresach n, zamknięte drzewo będzie miało n + 1 zamknięte punkty a otwarte
drzewo bez żadnych podwojeń, będzie posiadało końcowe punkty . Otwarte drzewa są
bardziej złożone niż zamknięte.
Zamknięte drzewo nazywane jest dwumianem dodatkowym jeśli górne i dolne ruchy
mają taką samą wartość. Na przykład, jeśli każdy ruch stopy procentowej jest mniej więcej
1%-towy, model nazywany wtedy jest  dodatkowym .
Zamknięte drzewo nazywane jest wielokrotnym modelem dwumianu jeśli każdy górny
i dolny ruch jest stale wielokrotny do poprzedniej stopy procentowej. Model ten posiada
wyraz
ną zaletę  stopy procentowe nigdy nie będą negatywne tak jak przy modelu
dodatkowym.
Tak jak w poprzednich rozdziałach, określamy stopę procentową dla okresu czasu t 
1 do t jako . Zatem, drzewo zaczyna siÄ™ od , stopÄ… procentowÄ… dla pierwszego okresu,
a następnie odgałęzia się od niego.
Często stosowany wielokrotny model przedstawiony jest jako:
If up move  jeśli jest to ruch górny
If down move  jeśli jest to ruch dolny
Parametr k jest często określany jako parametr lotności w tym rodzaju modelu wielokrotnego.
Określmy prawdopodobieństwo ruchu górnego i dolnego. Prawdopodobieństwo ruchu
dolnego będzie wynosiło 1  p. Rysunek 12.2 przedstawia ogólne dwuokresowe drzewo
wielomianu wielokrotnego opartego na powyższym zapisie.
Rysunek 12.2 Dwuokresowe drzewo wielomianu
Następnie rozważmy ilość z
ródeł stopy procentowej w stosunku do drzewa. Jeśli
byłyby n okresy w tym modelu, wtedy pojawi się maksymalnie takie z
ródła.
Niektóre z
ródła mogą lub nie mogą być podwojone co zależy od określonego
zastosowania. Na przykład, na Rysunku 12.2 środkowa wartość dla oparta jest na
jednym górnym i jednym dolnym ruchu w takiej samej kolejności. Jednak, dwa z
ródła nie są
równoważne jeśli chodzi o obliczenie obecnych wartości od ponad dwóch lat. Oba z
ródła
stosują stopę procentową w pierwszym roku ale mają różną w kolejnym roku.
Chociaż pokazaliśmy jak budować drzewo stopy procentowej, jest jeszcze coś o czym
warto wspomnieć. Typowym powodem budowy takiego drzewa na pierwszym miejscu jest
kalkulacja finansowej wartości dla wszystkich z
ródeł, które mogą być obliczone
Jednym z najpowszechniejszych zastosowań drzewa stopy procentowej jest ocena
obligacji. Przedstawimy ilustracyjnie niektóre obligacje kalkulacyjne w Przykładach 12.9 oraz
12.10.
Technika oceny jest procesem rekursywnym, które zaczyna się po prawej stronie
końca drzewa i powraca do początku lewej strony. Załóżmy więc obligacje kuponu, gdzie
okres opłacenia kuponu zachodzi w tym samym czasie co okres drzewa.
Niech V będzie wartością obligacji, to jest obecną wartością przyszłego przepływu
gotówki, na początku okresu. Następnie, określmy obecne wartości na koniec okresu:
- gotówka przepływa w ruchu górnym
- gotówka przepływa w ruchu dolnym
- wartość w ruchu górnym
- wartość w ruchu dolnym
Zauważ różnicę pomiędzy przepływami gotówki występującymi na koniec okresu,
oznaczonym poprzez R, oraz obecną wartość przyszłego przepływu gotówki występującą
póz
niej, oznaczonym poprzez V.
Wzór rekursywny otrzymujemy poprzez:
Gdzie jest stopą procentową dla określonego okresu w kwestii ukazanej na drzewie.
Czytelnik może być ciekawy wyboru długości okresów. We wzorze (12.38)
wybieramy okres drzewa tak aby współistniał z częstotliwością kuponu obligacji dla
ułatwienia. To daje nam typowy wynik w półrocznej częstotliwości dla obligacji, ale także
typową miesięczną częstotliwość dla kredytu hipotecznego.
Praktyczne zastosowania są opracowane na komputerze a także krótszy okres może
być wybrany aby uniknąć przepływu gotówki w środku okresu. Wzór (12.38) wciąż działa,
jeśli nie ma przepływu gotówki poprzez ustanowienie, iż . W
rzeczywistości, stosowanie drzew z wieloma gałęziami i krótszymi okresami według
ustalonego terminu przedziału dla całej kalkulacji, może poprawić ścisłość wyników w wielu
zastosowaniach.
Jest także możliwe pod pewnymi warunkami aby skrócić okres do zera i stworzyć
model prawdopodobieństwa. Nie będziemy próbować rozwinąć tego modelu w tej sekcji.
Jednakże, zauważmy ze Sekcja 12.6 będzie prezentowała niektóre stochastyczne modele
prawdopodobieństwa stopy procentowej.
Przykład 12.8 Drzewo dwumianu z roczną obowiązującą stopą procentową jest
zbudowane wg wartości 3 letniego zerowego kuponu obligacji i wynosi 1000$ do zapłaty.
Początkowa stopa procentowa w drzewie to 10%. Model wielokrotności z
prawdopodobieństwem p = 5 i parametrem przesunięcia k = .2 będzie tutaj zastosowany.
(1) Przelicz wartość tej obligacji z drzewa
(2) Przelicz wartość tej obligacji używając 10%-towego wskaz
nika poziomu
dochodowości..
1. Wraz z zerowym kuponie obligacyjnym nie mamy przepływu gotówki w stosunku do
czasu t = 3. Drzewo ma 3 okresy i jest to ukazane na Rysunku 12.3
Rysunek 12.3 Drzewo wielomianu dla Przykładu 12.5
Zauważmy, iż gałęzie pomiędzy czasami t = 2 oraz t = 3 nie będą stosowane dla
jakichkolwiek kalkulacji w tym przykładzie. Wszystkie stopy procentowe, które zostaną
użyte są już znane w czasie t = 2. ( to jest: początek 3 roku).
Ponieważ nie ma przepływu gotówki do czasu t = 3, możemy przyspieszyć proces opisany
w tej sekcji. Bardziej niż używając wzoru (12.38), możemy pominąć wartość do zapłaty
$1000 na okres 3 lat w prawidłowych stopach procentowych z drzewa. Wartości
wymagane przy kalkulacji są określone poniżej:
Path  ścieżka
Probablility  prawdopodobieństwo
Present value  obecna wartość
Wartość 3-letniego zerowego kuponu obligacyjnego jest przeciętna w stosunku do
różnych ścieżek stopy procentowej, to jest:
2. Wartość tej obligacji, użytej jako stały dochód 10% stopy jest równa:
Zauważmy, iż wartość jest większa niż wartość uzyskana w części 1 pomimo całkowitej
symetrii stóp procentowych w części 1 przy początkowej wartości
Intuicyjnie ma to sens. Część 1 ma ważną stopę procentową, podczas gdy część 2 już jej
nie posiada. Większa stopa procentowa prowadzi do wyższego dochodu stóp a zatem i
niższych cen. Jest to prawdą nawet dla zerowego kuponu obligacyjnego.
Przykład 12.9 Chciałbyś zainwestować $1000 na jeden rok, gdzie norma wartości
obligacji wynosiłaby 7.6% wraz z półrocznymi kuponami. Obecna dochodowa stopa
procentowa wynosi 8% zamiennie co pół roku. Drzewo dwumianu z półrocznymi
okresami zostanie tu zastosowane. Model wielokrotności gdzie p = .4 oraz przesunięcie
parametru k = .2 jest wybrany. Przekalkuluj wartość tej obligacji, używając drzewa
wielomianu.
Początkowa stopa procentowa jest obecną półroczną stopą dochodu równą .08/2 = 4.
Drzewo dwumianu jest przedstawione na Rysunku 12.4
Time (half years)  czas (pół roku)
Rys. 12.4 Drzewo dwumianowe dla Przykładu 12.6
Podobnie jak w Przykładzie 12.8, wartości nie musza być obliczane, ponieważ
nie będą używane do żadnych kalkulacji. Wszystkie stopy procentowe, które będą użyte
są już znane, jako czas zakładamy t = 1 (to jest: początek okresu 2).
Ponieważ jest to obligacja kuponu, musimy zastosować wzór (12.38) , cofając się do
drzewa. Czas oznaczamy t = 2 we wszystkich przypadkach, otrzymujemy więc:
(wartość płatności + kupon)
Oraz
V = O ( wiązanie zostało spłacone)
Stosując wzór (12.38) jako czas t = 1 na górnej gałęzi, otrzymujemy:
Stosując wzór (12.38) gdzie t = 1 na dolnej gałęzi, otrzymujemy:
W końcu, stosując wzór (12.38) gdzie czas t = o, otrzymujemy:
Przykład 12.10 Opracujmy po raz kolejny Przykład 12.9, jeśli jest to obligacja płatna na
żądanie na każdej akcji o wartości nominalnej.
Obligacja nie pojawi się od razu o czasie t = 0 ponieważ jej wartość $997.02 jest
mniejsza niż jej wartość nominalna $1000. Także nie pojawi się w czasie t = 1 jeśli stopy
procentowe wzrosną, ponieważ ich wartość na tym etapie będzie równa $990.46.
Jednakże, obligacja pojawi się w czasie t = 1, jeśli stopy procentowe obniżą się,
ponieważ wartość na tym etapie będzie wynosiła $1004.25. Zatem, musimy ponownie
obliczyć wartość w czasie t = 0 zastępując $1004.52 i wywołując wartość $1000. To daje
wartości w czsie t = 0
Zatem, wartość obligacji płatnej na żądanie jest mniejsza niż wartość innej niepłatnej
na żądanie obligacji. Obligacje płatne na żądanie wiążą się z większą niepewnością, cena
takiej obligacji powinna być niższa aby rekompensować ilość kupców dla większej
niepewności.
W rzeczywistości, w praktycznym zastosowaniu jednym z podstawowych użyć
drzewa dwumianowego jest wycena papierów wartościowych i innych finansowych
zagadnień w procentowych przepływach gotówki. Obligacje płatne na żądanie są bardzo
ważnym przykładem takiej gwarancji.
12.6 Stochastyczne Modele Prawdopodobieństwa
Końcowa kategoria zależności stopy procentowej to model stochastyczny
prawdopodobieństwa. To w rzeczywistości jest rodzina modeli, zbudowana w podobny
sposób ale z innymi właściwościami i charakterystyką. Omówimy cztery takie modele
we wzrastającej kolejności złożoności i zaawansowania.
Teoria poniższych modeli stochastycznych prawdopodobieństwa, jest stosunkowo
zaawansowana. Wymaga ona zastosowania stochastycznych rachunków oraz
rozwiązania różniczkowych równań.
Nie będziemy próbować rozwinąć wszystkich poniższych teorii w tej prostej książce.
Zatem, zaprezentujemy materiał logicznie i użyjemy nieciągłych przybliżeń w różnych
zastosowaniach modeli.
Ponieważ modele są prawdopodobieństwem w naturze, jest oczywiste użycie siły
stopy procentowej omówionej w Rozdziale 1. Oczywiście, różna siła odsetek
zawsze może być przekształcona w równoważność stopy procentowej nad przedziałem
czasowym, jeśli to konieczne. Dlatego też, te modele stosują początkową wartość,
, i tworzą następnie wartości z tych modeli. Wszystkie modele przedstawione
w Sekcji 12.6 sa oparte na procesie Weinera. Jeżeli zmienna następuje po Procesie
Weinera, wtedy zmiany zachodzące w w niewielkich odstępach czasowych, będą
niezależne i będą podążać według normalnego rozkładu. Następnie zastosujemy prawo
własności, tak, że średnia normalnego rozkładu jest proporcjonalna do czasu t, a
odchylenie standardowe jest proporcjonalne do .
Niech y będzie wartością standardowego zwykłego rozkładu, to jest: z i
Kolejno utworzy się następująca relacja w stosunku do krótkiego okresu
czasu:
W ten sposób jest normalnie rozłożone ze średnią 0 i odchyleniem standardwoym
W końcu, uzyskujemy model ciągły poprzez określenie limitu jako i
oznaczenia wyniku poprzez różniczkę dz
BÅ‚Ä…dzenie losowe ( Ruchy Browna)
Najprostszym stochastycznym modelem prawdopodobieństwa jest błądzenie losowe,
które często nazywane jest Ruchami Browna. Jest to bardzo dobrze znany model w
stosowanych statystykach z wieloma rodzajami zastosowań. Czytelnik zauważy, iż
prezentujemy odrębną wersje błądzenia losowego. W Sekcji 12.5.
BÅ‚Ä…dzenie losowe opisane jest jako:
Parametr a zwykle zwany jest parametr dryft, ponieważ powoduje błądzenie losowe w
stosunku do przesunięcia wolnego w górę jeśli lub w dół jeśli .
Standardowe odchylenie w tym procesie, to jest , często zwane jest parametrem lotności.
Odrębnym przybliżeniem dla tego modelu jest:
Który staje się następującym wzorem zastępczym (12.39)
Zauważ, iż parametr dryft a, jest proporcjonalny do t, podczas gdy standardowe
odchylenie procesu jest proporcjonalne do .
Innymi słowy, w porównaniu do okresów t, średnia tego procesu to:
A wariancja to:
Następujące obserwacje dotyczące tego modelu są ważne, ponieważ:
1. Zastosowanie parametru dryft a, w stosunku do długich przedziałów
czasowych jest wątpliwy, ponieważ jego rezultatem będzie nieokreślony
długotrwały wzrost lub spadek . Jednakże, jego zastosowanie może być
odpowiednie dla krótszych przedziałów, zależnie od sytuacji. Zauważmy
również, iż dryft może być całkowicie wyeliminowany poprzez regulację a =
0.
2. Wynik tego modelu może okazać się negatywnymi wartościami dla , co
jest wyraz
nie nieuzasadnione.
3. Lotność jest taka sama bez względu czy jest większe czy mniejsze. Wiele
modeli mogłoby być wygodniejszych jeśli chodzi o lotność, zależną od
wielkości ,podanego w punkcie czasu.
4. Wartości nie posiadają średniej zwrotu warunkowego. Innymi słowy, nie
ukazują tendencji stopniowego ruchu w kierunku długoterminowego
wskaz
nika w stosunku do czasu. Zatem, jeśli długoterminowa przeciętna
wynosi 5% a obecna = 10%, jest prawdopodobne, iż następny ruch
będzie wyższy od aktualnego, ponieważ będzie wolniejszy.
Rendleman  Bartter Model
Rendleman  Bartter Model może być opisany jako geometryczne błądzenie losowe.
Model określony jest następująco:
Główną koncepcją jest utworzenie dwóch parametrów oraz proporcjonalnych do
obecnej wagi
Odrębne przybliżenie dla tego modelu to:
Lub
Obserwacja 1 powyżej jest również zastosowaniem tego modelu. Jednakże, ten model nie
posiada słabych punktów, które opisane są w obserwacjach 2 i 3, będących podstawowymi
motywacjami dla ich rozwoju. Chociaż słaby punkt jest wciąż obecny w obserwacji 4.
Na dodatek, ten model ma kolejny słaby punkt. Ponieważ lotność jest proporcjonalna
do wielkości określonego punktu w czasie, wzrostowe ruchy zastosowane są w wysokiej
wartości , co może spowodować, iż wartości mogą osiągnąć nierealistyczne wysokie
poziomy.
Vasicek Model
Naszym trzecim modelem jest Model Vasicek. Podstawowym celem tego modelu jest
ukazanie średniej zwrotu warunkowego. Model ten jest przedstawiony w następujący sposób:
Termin dotyczy średniej zwrotu warunkowego. Parametr b jest
długoterminową siłą odsetek w stosunku do tego co prezentuje model. Parametr c mierzy
wskaz
nik zwrotu warunkowego w stosunku do średniej. Na przykład, jeśli c = .2, wtedy
przeciętnie model zamykać będzie się w 20% odstępie pomiędzy obecnym a
długoterminowym w każdym okresie.
Odrębne przybliżenie dla tego modelu to:
Lub
Wyżej wymieniony słaby punkt w obserwacji 4 jasno jest rozwiązany przez ten model,
który przedłuża podstawową motywację tego modelu na pierwszym miejscu. Również
możliwy słaby punkt w obserwacji 1 nie jest obecny. Jednakże, słaby punkt w
obserwacjach 2 i 3 jest jak najbardziej obecny.
Jest to również ważne aby zauważyć dwa szczególne skrajne przypadki modelu
Vasick. Jeśli c = 0, model staje się błądzeniem losowym bez dryftu. Jeśli zaś c = 1, model
staje się normalnym rozkładem z . Sedno sprawy leży w tym, iż możemy
uogólnić Model Vasick jako mieszankę normalnego rozkładu oraz Ruchu Browna.
Model Cox-Ingersoll-Ross
Nasz czwarty i ostatni stochastyczny model prawdopodobieństwa to Model Cox-
Ingersoll-Ross. Jest najbardziej zaawansowanym z tych czterech modeli i próbuje
wyeliminować wszystkie słabe punkty, opisane powyżej dla trzech powyższych modeli.
Dzieje się to poprzez modyfikacje Modelu Vasick w celu lotności parametru
proporcjonalnego do
Model ten opisany jest w następujący sposób:
Odrębne przybliżenie dla tego modelu to:
Lub
Z powodu swoich interesujących właściwości, Model Cox-Ingersoll_Ross, stał się dość
powszechnie używany w stopach procentowych, w celu wykorzystania stochastycznego
modelu prawdopodobieństwa.
Praktyczne rozważania:
Zamykamy tą sekcję poprzez wykaz czterech praktycznych rozważań, przydatnych w
zastosowaniu tych modeli.
1. Odrębne wersje tych modeli wymagają ostrożnego zdefiniowania t, oraz tego
jak często chcemy obliczyć nową siłę odsetek. Na przykład, możemy chcieć
określić t = 1 jako okres jednego roku, ale i poprawić ścisłość modelu poprzez
częstsze zmiany w sile odsetek. Zatem, na przykład, jeśli ustalimy, iż
, utworzymy kwartalne wartości lub jeśli ustalimy, iż
, utworzymy wartości miesięczne.
2. Modele te wymagają oszacowania lotności parametrów i możliwie
innych parametrów a, b i/lub c. Te parametry muszą być spójne z tym jak
określimy pojedynczy okres, to jest: t = 1, jak powyżej.
3. Modele analogiczne są często realizowane poprzez użycie symulacji.
Głównym założeniem jest utworzenie przypadkowych liczb, które
zastosowanie odnajdą w utworzeniu wartości y ze standardowego normalnego
rozkładu, to jest: z i Zatem, jeśli chcielibyśmy utworzyć
wartość używając miesięcznych wartości z przeciągu roku,
potrzebujemy 12 imitowanych standardowych zwykłych zmiennych y.
4. W użyciu modeli analogicznych, końcowa wartość jednego okresu staje się
początkową wartością następnego okresu. Zatem, modele są stosowane
rekursywnie z okresu na okres.
Przykład 12.11 Obecna siła odsetek wynosi .07. Oszacuj siłę odsetek z jednego roku na
przyszły, to jest: w czasie t = 1. Użyj błądzenia losowego (Ruch Browna) z kwartalnym
dopasowaniem, to jest: . Lotność parametru oraz
parametr dryft a = -.004. Następne cztery standardowe zwykłe zmienne były utworzone
używając symulacji +2, -.5, +1, 0.
Cztery standardowe normalne zmienne mogą być rozumiane jako ilość standardowych
odchyleń ponad lub poniżej średniej wynoszącej 0. Były one wybrane dowolnie aby
przedstawić wyraz
niej działanie modelu. Przeciętnie te cztery określone wartości są w pewien
sposób większe niż średnia.
Interpretacja parametru dryft polega na tym, iż zredukujemy siłę odsetek poprzez
.004 lub .4% na rok pod wpływem neutralnych warunków. Wyjaśnienie parametru lotności
jest takie, iż standardowe odchylenie siły odsetek w ciągu jednego roku wynosi .01 lub 1%, w
stosunku do obecnej siły odsetek, która wynosi 7%.
Teraz zastosujmy wzór (12.41b) rekursywnie cztery razy:
Z początkową wartością . To daje nam następujące wyniki:
Zatem odpowiedz
to .0785 lub 7.85%.
Wynik parametr dryft a = -.004, to ruch dolny w kierunku siły odsetek ze stopą
procentową -.001 na kwartał. Jednakże, ten wynik to więcej niż potrącenie przez pozytywne
powyższe wartości y ponad średnią. Cała tendencja w czwartym kwartale jest przypisana
dryftu. Jeśli parametr dryft będzie wynosił zero, wtedy siła odsetek pozostanie niezmienna w
ciągu tego kwartału.
Przykład 12.12 Opracuj ponownie Przykład 12.11 używając Modelu Rendeiman-
Bartter.
Zastosujmy wzór (12.45b) rekursywnie 4 razy. W celu osiągnięcia wyników
porównywalnych do Przykładu 12.11, pomnóżmy parametry a oraz przez 1/.07 aby
zneutralizować wynik poprzez umieszczenie we wzorze
Otrzymujemy:
Co daje wynik:
Zatem, odpowiedz
to .0783, lub 7.83%.
Wynik użycia geometrycznej wersji Ruchu Browna jest nie do końca oczywistym w
ciągu tak krótkiego okresu ze stosunkowo małymi zmianami w sile odsetek. Rezultat stałby
się bardziej oczywisty jeśli poziom odsetek wzrósłby lub spadł drastycznie.
Przykład 12.13 Opracuj ponownie Przykład 12.11 używając Modelu Vasicek z
parametrami b - .05 oraz c = .20.
Wytłumaczenie parametru b = .05 jest takie, iż długoterminowa siła odsetek jest to 2%
poniżej obecnego poziomu. Wytłumaczenie dla parametru c = .20 jest takie, iż wskaz
nik
zwrotu warunkowego do średniej to 20% na rok. Zastosujemy wzór (12.47b) rekursywnie
cztery razy:
Otrzymujemy więc:
Zatem, odpowiedz
to .0774 lub 7.74%
Wyniki w tym przykładzie są zbliżone do wyników z Przykładu 12.11. Ten wynik jest
przypisany faktowi, iż zwrot warunkowy do średniej jest przybliżony .2 (.05-.07) = -.004 na
rok, i jest taki sam jak parametr dryft a, z Przykładu 12.11
Przykład 12.14 Opracuj ponownie Przykład 12.13 używając Modelu Cox-Ingersoll-
Ross.
Zastosujemy wzór (12.49b) rekursywnie cztery razy. W celu uzyskania wyników
porównywalnych do Przykładu 12.13 pomnożymy parametr przez . Aby
zneutralizować wynik poprzez umieszczenie we wzorze.
Otrzymujemy więc:
Co daje wynik:
Zatem odpowiedz
to .0774 lub 7.74%.
Według tych warunków w ciągu krótkiego okresu czasu Model Cox-Ingersoll_Ross
daje prawie identyczne wyniki jak Model Vasicek. Większe różnice powstałyby wraz z
większymi tendencjami poziomu odsetek górnych lub dolnych w ciągu dłuższych okresów
czasu.
12.7 Test Scenariusza
W praktycznym zastosowaniu dla wielu sytuacji w Rozdziałach 11 i 12 podejście
zwane testem scenariusza, stało się bardzo popularne. Ta technika, jest w istocie
rodzajem zaawansowanej symulacji, która wymaga obszernych zdolności
komputerowych do jej zrealizowania, ponieważ ilość obliczeń jest bardzo wysoka. W
tym podejściu, każdy  scenariusz odnosi się do innego rodzaju stopy procentowej.
Na przykład, rozważmy analizę dopasowania wkładów i zobowiązań wobec instytucji
finansowych. Ważne jest aby oszacować przyszłe przepływy gotówki z wkładów i
przyszłe wypływy gotówki z zobowiązań.
Te napływy i wypływy gotówkowe mogą wiązać się z naturalną niepewnością
jeśli chodzi o ilość, prawdopodobieństwo spłaty oraz synchronizację. Ważne jest też,
aby rozpoznać w budowie scenariusza, iż te przepływy gotówki mogą być także
uzależnione od rodzajów stopy procentowej . Na przykład, jeżeli chodzi o wkład,
wspomniany już wcześniej, napływy gotówki wzrastają wraz z obligacjami oraz z
przedpłatą hipoteki co uzależnione jest od poziomu stóp procentowych.
Poziom nadwyżek, co może być pozytywne lub negatywne, jest obliczany na koniec
okresu projektu dla każdego scenariusza. Te wyniki powodują symptom zakresu możliwych
rezultatów. Także inne statystyczne pomiary mogą być obliczane w miejscach wyników, na
przykład średnia i standardowe odchylenie.
Wiele decyzji musi być podjętych w zastosowaniu testu scenariusza. Jedna z nich to
ilość używanych scenariuszy, to jest ilość różnych dróg stopy procentowej, które musza być
rozwiązane. Zwiększając ilość dróg prawdopodobnie zapewnia się lepszy obraz możliwych
wyników rozkładów. Jednakże,  prawo malejących zysków w pewnym stopniu zajmuje tu
miejsce. Nie jest prawdą, iż podwajając stos komputerowych wydruków wytwarzamy więcej
cennych informacji. Także, czas i rozważania wydatkowe są bardzo ważne. Zatem, znaczenie
nauki zależy od wysiłku, który w nią włożymy. W końcowej analizie, ilość stosowanych
scenariuszy nie jest jednoznaczna.
Kolejną decyzją jest częstotliwość zmian w stopach procentowych używanych w teście
scenariusza, to jest miesięcznie, kwartalnie, rocznie, itd. Ponownie jest to wymiana pomiędzy
wzrostem poziomu zaawansowania a wzrostem złożoności, czasu oraz kosztu analizy. Tu
również decyzja jest niejednoznaczna i oparta na wielu takich samych rozważaniach jak przy
określaniu ilości stosowanych scenariuszy.
Ważnym przemyśleniem jest rozwinięcie ścieżek stopy procentowej dla różnych
scenariuszy krzywej dochodowości. W rzeczywistości, w wielu przypadkach testu
scenariusza, krzywa j dochodowości jest zaplanowana. Doświadczenie pokazuje, że ogólne
krótkoterminowe stopy procentowe są niestałe niż długoterminowe stopy procentowe. Zatem,
różnice przyszłych zachowań krzywej dochodowości powinny być nieodłączną częścią testu
scenariusza. Innymi słowy, analityk nie powinien ignorować krzywej dochodowości i tym
samym bezwarunkowo przypuszczać, że jej kształt jest taki sam w każdym scenariuszu.
Podobny temat to przypuszczenie wystÄ…pienia wskaz
ników reinwestycji. To
przypuszczenie jest ważne, jeśli analiza dotyczy szczegółowego okresu czasu. Może to
wiązać się z przypuszczeniami na temat przyszłych zachowań, jak i wyłącznie z finansowymi
przypuszczeniami.
Kolejnym ważnym rozważaniem w tworzeniu scenariuszów jest możliwość wolnego od
ryzyka arbitrażu w jednej lub w większej ilości ścieżek stopy procentowej. Wraz z istnieniem
możliwości wolnego od ryzyka arbitrażu w podanej ścieżce stopy procentowej lub
umiejscowienia ścieżek podczas planowania całej krzywej dochodowości, wzrasta zapytanie
o wewnętrzną zwięzłość dotyczącą scenariusza lub scenariuszy. Istnieją techniki dla
wyeliminowania wolnego od ryzyka arbitrażu, lecz te techniki są poniżej poziomu tej książki.
Istnieją ogólne metody występujące w określaniu ścieżek stopy procentowej w teście
scenariusza. PierwszÄ… jest metoda teraz
niejsza. Pod wpływem tej metody analityk
bezpośrednio określa wszystkie stopy procentowe w różnych ścieżkach. Ta metoda oferuje
maximum elastyczności dla analityka w kwestii wyboru scenariusza. Jest to również
wyszczególnione poprzez głównych ustawodawców instytucji finansowych.
Typowe testowane scenariusze zawierają mieszankę optymistycznych wartości
środkowych oraz pesymistycznych scenariuszy z przynajmniej jednym  najgorszym
przypadkiem . Stopa procentowa zawiera zarówno wyższą jak i niższą lotność. Ścieżki
odzwierciedlają główną długotrwałą koniunkturę wzrostową lub obniżoną w ciągu okresu
czasu. Ścieżki ukazują również główny zastój gospodarczy lub hiperinflację, wykorzystywane
podczas rozważania nad  najgorszym przypadkiem scenariusza.
Jednakże, przy tworzeniu wyników opartych na scenariuszach, ważne jest dla analityka
aby przydzielić prawdopodobieństwa do różnych scenariuszy. Jednym z powszechnym
błędów jest założenie, iż wszystkie scenariusze są równie prawdopodobne. Jednym razem
prawdopodobieństwa są przydzielone do różnych scenariuszy a kolejnym razem statystyczne
pomiary takie jak średnia i standardowe odchylenie mogą być obliczane poprzez wszystkie
scenariusze.
Chociaż oferując dużą elastyczność analitykowi, obecna metoda ma ważne słabe
punkty. Jednym z nich jest to, iż metoda jest nieodłącznie dowolna ponieważ ścieżki stopy
procentowej są oparte na subiektywnym postanowieniu analityka lub ścieżek opisanych przez
ustawodawców. Kolejnym słabym punktem , jest to, iż metoda może być całkiem
czasochłonna, ponieważ ważne jest aby określić różne stopy procentowe wymagane dla
różnych scenariuszy. Kolejne dwie metody nie wymagają subiektywnych postanowień
analityka i określają ścieżki stopy procentowej w bardziej systematyczny i skuteczny sposób.
Drugim typem metody jest metoda prawdopodobieństwa. Jedną z powszechnych metod
prawdopodobieństwa jest użycie techniki drzewa dwumianu. Powinno być zauważone, iż
występuje dokładna odwrotność pomiędzy cenami obligacji a stopą procentową. Zatem,
zakładając, iż ceny obligacji poruszają się dzięki błądzeniu losowemu, to jest to
równoznaczne do założenia, iż stopy procentowe poruszają się dzięki błądzeniu losowemu.
Pod wpływem tej metody, prawdopodobieństwo ruchu wzrostowego w stopie procentowej
danego okresu wynosi p, podczas gdy prawdopodobieństwo obniżonego ruchu wynosi 1  p.
JeÅ›li p = ½, wtedy wskaz
niki podwyższą się lub obniżą przypadkowo w stosunku do ich
obecnego poziomu, zakładając, iż czynniki wzrostu i obniżenia są odwzajemnione. Jeśli p
, wtedy nastąpi długotrwała koniunktura wzrostowa w przeciągu czasu, podczas
gdy przeciwna okaże się prawdziwa w momencie kiedy Lotność wyników
jest hamowana poprzez wielkość możliwych wzrostowych i obniżonych ruchów.
Trzecim rodzajem tej metody jest metoda stochastyczna. Prawdopodobnie
najpowszechniejsza stosowana metoda stochastyczna polega na założeniu, iż kolejne wartości
następują po logarytmicznie normalnym rozkładzie. Jedną z zalet stochastycznej
metody jest zdolność do łatwości rozliczenia lotności stopy procentowej. Może być również
ukazane to, że powszechne założenia są całkowicie stosowane co powoduje, iż ta metoda staje
się skrajnym przypadkiem metody drzewa dwumianu w momencie kiedy drzewa podziału
zmniejszają się do zera. Jednym z problemów metody prawdopodobieństwa jak i
stochastycznej jest taki, iż stopy procentowe mogą pojawiać się w niektórych ścieżkach po
ilości okresów czasowych, co wydaje się nieracjonalnie wysokie lub niskie. Jednym z
rozwiązań jest zmniejszenie założonych lotności w ruchu stóp procentowych. Kolejnym
rozwiązaniem jest zastosowanie granic na wysokość lub niskość wskaz
ników. Jednakże,
żadna z tych metod, które są w stanie rozwiązać problem, nie jest idealna.
Analiza czasowa jest użyteczna w połączeniu z tworzeniem scenariuszy. To zmusza
analityka do rozważań na temat przeszłych danych w budowie scenariuszy. Jednakże, ważne
jest aby zapamiętać, iż  przyszłość nie kopiuje przeszłości . Zatem, niektóre scenariusze
mogą dotyczyć warunków, które nie występowały wcześniej.
W końcu, ważne jest także to aby nie ignorować znaczenia przejściowych wyników,
poprzez zbytnie koncentrowanie się na rezultatach na koniec okresu planowania. Na przykład,
dla określonego scenariusza, jeśli ukażemy pozytywny rezultat na koniec okresu planowania,
ale w negatywnym świetle w połowie okresu, możemy nie uzyskać korzystnego scenariusza.
W skrócie, bliższa analiza tego określonego scenariusza jest niezbędna.
Powyższe rozważania są krótkim streszczeniem na temat dyskusji testu scenariusza.
Ciężko jest być tutaj bardzo dokładnym w dyskusji o tej technice ponieważ jest tak wiele
różnych możliwości przeprowadzenia testu scenariusza, które są prowadzone przez
analityków ( a nawet więcej!). Niemniej jednak, ta sekcja powinna być użyteczna w
zapewnieniu czytelnikowi ogólnej aprecjacji różnych stosowanych metod i dotyczących ich
rozważań.
Przykład 12.15 Zainwestowano $1000 na pięć lat w nieznana siłę odsetek, które
zmieniają się co roku. Założone jest, iż siła odsetek wiąże się z AR(1) procesem gdzie
, Pięć przypadkowych utworzonych liczb, które tworzą
następujące wartości ze standardowej zwykłej dystrybucji:
. Siła odsetek w ciągu roku zakończona jest
na .10. Znajdz
skumulowaną wartość inwestycji na koniec pięciu lat dla tej ścieżki stopy
procentowej.
Pięć kolejnych wartości zostało utworzonych we wzorze (12.29):
Zatem, skumulowana wartość na koniec pięciu lat dla tej ścieżki stopy procentowej
będzie wynosiła:
Dla najbliższej wartości dolara.
W tymże rodzaju problemu, duża ilość ścieżek stopy procentowej będzie utworzona w
ten sposób. Statystyczne pomiary, takie jak średnia i standardowe odchylenie, mogą być
obliczane dla rozkładów skumulowanych wartości, które utworzone zostały poprzez
symulacjÄ™.
Przykład 12.16 Firma ubezpieczająca wydaje roczny zabezpieczony kontrakt
inwestycyjny (GIC), który udziela rocznych kredytów ze wskaz
nikiem odsetek równym 8.5%.
Firma decyduje się zainwestować wyniki ze sprzedaży GIC w trzymiesięczne papiery
wartościowe na początku każdego kwartału. Stopa procentowa zarobiona przez pierwszy
kwartał wynosi 8.4% wymiennie co kwartał. Zakładamy, iż przyszłe stopy procentowe
poruszają się według błądzenia losowego, gdzie prawdopodobieństwo ruchu wzrostu w stopie
procentowej wynosi .4 a ilość ruchów wzrostu i obniżeń w każdym kwartale wynosi .5% oraz
.4% odpowiednio wymiennie co kwartał. Znajdz
prawdopodobieństwo tego, iż firma straci
pieniÄ…dze w GIC.
Drzewo dwumianu w tym przypadku, jest drzewem otwartym, co jest przedstawione na
Ilustracji 12.1 a nie typowym drzewem zamkniętym. Zatem, są ścieżki stopy
procentowej.
Będziemy pracować nad kwartalnymi stopami procentowymi. Stopą procentową dla
pierwszego kwartału jest .021. Ilość każdego ruchu wzrostu w stopie procentowej wynosi
.00125, podczas gdy ilość obniżonego ruchu wynosi .001.
Wyniki dla ośmiu ścieżek stóp procentowych są podsumowane w Tabeli 12.2.
Tabela 12.2 Podsumowanie Ścieżek Stopy Procentowej dla przykładu 12.16
Number  ilość
Path  ścieżka
Probability  prawdopodobieństwo
Accumulated value  skumulowana wartość
 Pod wpływem GIC, firma musi zapłacić 1.085 na koniec roku na każdego
zainwestowanego dolara. Firma straci pieniądze dla ścieżek 7 oraz 8 w Tabeli 12.2. Zatem,
prawdopodobieństwo straty wynosi .144 + .216 = .36.
12.8 Modele bardziej zaawansowane
Ten rozdział jest niewątpliwie złożony oraz wymagający dla wielu czytelników.
Pomimo tego, jest on podstawowym wprowadzeniem do stochastycznych modeli stopy
procentowej. Celem tej końcowej sekcji jest zapewnienie krótkiego nietechnicznego
opisu czterech pozostałych zaawansowanych modeli w wszechstronnym zastosowaniu,
co przekracza możliwości tej książki.
1. Pierwszym z nich jest rozwinięcie wielookresowe modeli wolnych od
arbitrażu, dotyczących krzywej dochodowości. Wymóg dla tego modelu
został opisany w Sekcji 12.7.
2. Modele Vasicek oraz Cox-Ingersoll-Ross dotyczÄ… zwrotu warunkowego w
stosunku do długoterminowej siły odsetek jako ich podstawowej cechy.
Bardziej złożony model w tej ogólnej kategorii to model powracającej
podwójnej średniej, w którym długoterminowa siła odsetek powraca nawet
na poziomie dłuższym terminowo. Chociaż brzmi to zupełnie zbędnie i
skomplikowanie na początku, ten model udowodnił możliwość utworzenia
bardziej realistycznych scenariuszy odsetek dla testu scenariusza.
3. Model Black-Derman-Toy jest bardziej złożonym modelem połączonym z
krzywą dochodowości w drzewo dwumianu. Jest także tak zaprojektowany
aby dopasować się do aktualnych światowych danych poprzez proces
zwany wzorcowaniem. Ten model udowadnia, iż świetnie modeluje lotność
krzywej dochodowości z czasem.
4. W końcu, otrzymujemy różne typy modeli liniowo-zamiennych. Te modele
zamieniają się przypadkowo pomiędzy dwoma lub więcej rozkładami.
Udowadniają skuteczność w pewnych typach zastosowań, w szczególności
w zwrotach kapitału własnego.
ZAA

CZNIK 12
y
ródło wariancji opłaty rocznej
Zamierzymy znalez
ć wariancję sum
Gdzie są niezależne i identycznie rozproszone zmienne. Wzór (3.23) dla
oraz wzór (3.25) dla mają tą samą formę.
Niech oraz będą pierwszym i drugim momentem początkowym, to
jest:
Dla k = 1, 2, & & , n. Z niezależności otrzymujemy:
Co oznaczymy poprzez
Wzór, który chcemy udowodnić to:
Dowód osiągnęliśmy poprzez indukcję matematyczną.
Niech n = 1. Wiemy, iż:
Prawa strona wzoru udowadnia, iż:
Zatem, wzór uzyskujemy dla n = 1.
Teraz załóżmy, iż wzór dotyczy n  1. Definiując:
Otrzymujemy:
Musimy oszacować te trzy terminy.
Z wywołanego założenia mamy:
Z niezależności otrzymujemy:
Dla kowariancji otrzymujemy:
Musimy pokazać, iż suma tych trzech pojęć potwierdza nam hipotezę. Czytelnik powinien
sprawdzić czy (A) + (D) + (F) daje pierwsze pojęcie we wzorze; (B) + (G) daje drugie
pojęcie; a (C) + (E) + (H) daje trzecie pojęcie.
Zatem, dowód indukcji matematycznej został ukończony.
ĆWICZENIA
12.2 Niezależne stopy procentowe
1. Uzyskaj wzór (12.9)
2. Uzyskaj wzór (12.11)
3. SumÄ™ 1000$ zainwestowano na trzy lata. ObowiÄ…zujÄ…ca stopa procentowa wynosi 8% przez
pierwszy rok. ObowiÄ…zujÄ…ca stopa procentowa w drugim roku jest prawdopodobnie 1%,
wyższa lub niższa niż w pierwszym roku. Podobnie, obowiązująca stopa procentowa w
trzecim roku jest prawdopodobnie 1% wyższa lub niższa niż stopa w drugim roku.
a. Znajdz
średnią stopy procentowej w okresie trzech lat
b. Znajdz
odchylenie standardowe stopy procentowej w okresie trzech lat
c. Znajdz
jak najwięcej możliwych akumulacji na końcu trzech lat
d. Znajdz
jak najmniej możliwych akumulacji na końcu trzech lat
e. Znajdz
akumulację na końcu trzech lat w średniej stopy procentowej
f. Znajdz
średnią wartości akumulacji na końcu trzech lat
g. Znajdz
odchylenie standardowe akumulacji na końcu trzech lat
4. Załóżmy, iż jest obowiązująca stopą procentową przedstawioną w Przykładzie 12.1, to
jest: jednolicie w przedziale [.07,.09] dla t = 1, 2, 3.
a. Znajdz
tak aby
b. Znajdz
średnią obecnej wartości 1, zapłaconej na końcu trzech lat.
c. Znajdz
tak aby .
d. Znajdz
odchylenie standardowe obecnej wartości w (b).
5. Opracuj ponownie Ćwiczenie 4(b) oraz (d) dla obecnej wartości płatności 1, dokonanej na
końcu każdego roku w przeciągu trzech lat.
6. Załóżmy, iż jest nominalną stopą procentową, następującą po rozkładzie
normalnym z i dla
a. Znajdz
średnią i odchylenie standardowe skumulowanej wartości 100, na końcu
dwóch lat.
 b. Opracuj ponownie (a) dla skumulowanej wartości płatności 100, zrealizowanej na
początku każdej połowy roku w przeciągu dwóch lat.
7. Rozwiń wzory dla:
a. , oparte na wzorze (12.5).
b. , oparte na wzorze (12.8)
c. , oparte na wzorze (12.11).
d. , oparte na wzorze (12.14).
12.3 Model logarytmicznie-normalny
8. W Przykładzie 12.3(1), dla odchylenia standardowego, potwierdz
, iż odpowiedz
może być
uzyskana poprzez naprzemianległe podejście do zastosowania wzoru (12.4a).
9. Załóżmy, iż następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym z oraz
Znajdz
wzory dla:
10. Załóżmy, iż następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym z
oraz . Znajdz
średnią i odchylenie standardowe dla:
11. Załóżmy, że oraz , Załóżmy także, że
następuje po rozkładzie logarytmicznie-normalnym. Znajdz
średnią i różnicę
.
12. Załóżmy, iż dla t = 1, 2, 3. Załóżmy także, iż następuje
po rozkładzie logarytmicznie-normalnym z Znajdz
dwuczłonowy 95%-
towy przedział prawdopodobieństwa dla skumulowanej wartości inwestycji 1 na końcu trzech
lat.
13. Używając tych samych danych jak w ćwiczeniu 12, znajdz
średnią oraz wariancję
skumulowanej wartości inwestycji 1, zrealizowanej na końcu każdego roku w przeciągu
trzech lat.
14. 35-latek zainwestował pewną kwotę aby tym razem uzyskać emeryturę z funduszu,
przynajmniej 100.000 $ w wieku 65 lat. Zwrot w każdym roku jest niezależny od wyników
rocznych. Użyj Twierdzenia Centralnego Limitu aby określić ilość pieniędzy jaką 35-latek
potrzebuje teraz do zainwestowania, aby uzyskać 95% prawdopodobieństwo w momencie
kiedy jest rozproszone jednolicie w przedziale .
12.4 Modele szeregu czasowego
15. Oszacuj dla t = 6, 7, 8 przy wartościach podanych w Przykładzie 12.6, stosując
przyszłe rzeczywiste wartości adekwatne do szacowanych wartości.
16. a. Pokaż, iż wzór (12.33) upraszcza się do wzoru (12.30) jeżeli
b. Pokaż, iż wzór (12.34) upraszcza się do wzoru (12.31) jeżeli .
17. Oszacuj dla procesu AR(2) w Przykładzie 12.7 opartym na danych dla Z = 1, 2, 3,
4, zakładając, iż błędy są rozłożone normalnie ze średnia = 0 i zakładając, iż zbiorowa
wariancja równa jest próbce wariancji.
18. Zakładając, iż wartość dla procesu AR(2) w Przykładzie 12.7 jest rzeczywiście
równy .0002.
a. Znajdz

b. Znajdz

19. Wiadomo, iż jest rozłożone normalnie i następuje po procesie AR(1). Następujące
wartości są podane poniżej:
Actual  rzeczywiste
Estimated  szacowane
a. Znajdz

b. Jeżeli , znajdz
.
20. Fundusz inwestycyjny zarobił 6% podczas zeszłego roku. Dla każdego z następnych
dwóch lat dochód z funduszu inwestycyjnego jest prawdopodobny:
a. Pokaż, iż
b. Pokaż, iż
12.5 Drzewa dwumianu
21. Opracuj ponownie Przykład 12.8 (1) stosując wzór (12.38)
22. Model dwumianu z roczną stopą procentową, utworzony jest w stosunku do wartości
trzyletniej obligacji kuponowej, przypadającej do zapłaty 1000$. Początkowa stopa
procentowa w drzewie wynosi 10%. Każda stopa procentowa porusza się wzrostowo z 1% i
prawdopodobieństwem p = 5 lub obniża się poprzez 1% z prawdopodobieństwem 1  p = .5.
a. Oblicz wartość obligacji z drzewa.
b. Oblicz odchylenie standardowe obecnej wartości tej obligacji z drzewa.
c. Porównaj wartość obligacji z drzewa oraz wartość, używającą średniej stopy
procentowej.
23. Jednoroczna obligacja 9%-towa z półrocznymi kuponami warta jest 1000$. Zastosujemy
tu drzewo dwumianu z półrocznymi okresami. Obecny wskaz
nik dochodu wynosi 9%
wymiennie co pół roku. Każda nominalna stopa procentowa wzrasta poprzez 1% z
prawdopodobieństwem p = .3 lub obniża się poprzez 1% z prawdopodobieństwem 1  p = .7.
a. Przelicz wartość tej obligacji z drzewa.
 b. Przelicz poziom prawdopodobnego wskaz
nika zwrotu.
24. Opracuj ponownie ćwiczenie 23(a) jeżeli obligacja jest płatna na żądanie na każdym
terminie płatności dywidendy na przyszłe akcje o wartościach nominalnym.
25. Opracuj ponownie Przykład 12.9 jeżeli obecny wskaz
nik dochodu wynosi 8% wymiennie
co kwartał. Zastosuj drzewo dwumianu z przedziałami kwartalnymi.
26. Pomnożony model dwumianu z prawdopodobieństwem p = .4 i parametrem lotności k =
.2 jest tutaj wykorzystany. PoczÄ…tkowa stopa procentowa w drzewie wynosi 10%.
a. Znajdz
średnią wartości a(3)
b. Znajdz
średnią wartości
c. Znajdz
średnią wartości
d. Znajdz
średnią wartości
12.6 Modele stochastyczne prawdopodobieństwa
27. Wzory (12.42) oraz (12.43) dają średnią i wariancję procesu , zgodnie z błądzeniem
losowym. Znajdz
oraz , zgodnie z trzema modelami.
28. Dla Modelu Vasicek określonego przez wzór (12.46):
a. Pokaż, że kiedy c = 0, model staje się błądzeniem losowym bez dryftu.
b. Pokaż, że kiedy c = 1, model staje się rozkładem normalnym z .
29. Obecna siła stopy procentowej wynosi .06. Zgodnie z błądzeniem losowym z
dopasowaniem półrocznym, oszacowane siły odsetek wynoszą:
oraz . Znajdz

oszacowane siły odsetek używając Modelu Rendelman-Bartter z takimi samymi parametrami
oraz .
30. Norma wartości obligacji w jednym roku wynosi 1000$, i posiada 7.8% półrocznych
kuponów. Obecna siła odsetek wynosi .08. Użyj błądzenia losowego z półrocznymi korektami
aby oszacować siłę odsetek na przyszłość. Parametr lotności wynosi oraz
.
a. Znajdz
wartość obligacji
b. Znajdz
poziom krzywej dochodowości
c. Znajdz
wartość obligacji, jeśli standardowa normalna zmienna wynosi .5, używając
symulacji
31. Odrzuć cztery standardowe normalne zmienne utworzone przy użyciu symulacji w
Przykładach 12.11-12.14. Opracuj ponownie te cztery przykłady aby znalez
ć jak największą i
jak najmniejszą możliwą siłę stopy procentowej w jednym roku w stosunku do przyszłości.
Załóżmy, iż wskaz
nik standardowych normalnych zmiennych wynosi 4., to jest:
standardowych odchyleń.
12.7 Test scenariusza
32. Załóżmy, iż obowiązująca stopa procentowa w ciągu roku zakończona jest na 8%. Ścieżki
stopy procentowej będą utworzone w ciągu najbliższych 10 lat zgodnie z drzewem
dwumianu. Załóżmy, iż obowiązujący wskaz
nik zarówno wzrośnie jak i zmaleje o 10% w
byłym poziomie każdego roku i że ruch w każdym kierunku jest równie prawdopodobny.
a. Znajdz
jak najwięcej możliwych obowiązujących wskaz
ników po 10 latach
b. Znajdz
jak najmniej możliwych obowiązujących wskaz
ników po 10 latach.
c. Znajdz
obowiÄ…zujÄ…cy wskaz
nik po 10 latach, jeśli jest 5 wzrostów i 5 obniżeń.
d. Wytłumacz dlaczego odpowiedzi z punktu c, nie wynoszą 8%.
e. Znajdz
prawdopodobieństwo wyniku w punkcie c.
f. Wiemy, iż wynik w nadwyżce 15% jest nierealny. Znajdz
prawdopodobieństwo, iż
wskaz
nik jest ograniczony w 15% na koniec 10 lat.
33. Krótkoterminowe stopy procentowe są bardziej zmienne niż długoterminowe stopy
procentowe. W celu przyjrzeniu się temu zjawisku, został tu zastosowany projekt techniczny,
dla którego kolejne miejsce wskaz
ników w ścieżce stopy procentowej jest utworzone przez
wzór:
Gdzie jest odchyleniem standardowym miejsca wskaz
nika .Z - jest wartością z
rozkładu normalnego standardowego a k jest stałą. Odchylenie standardowe jest
większe dla krótkoterminowych wskaz
ników niż dla długoterminowych. Załóżmy, iż obecny
jednoroczny wskaz
nik miejsca wynosi 7% z odchyleniem standardowym .1, podczas gdy
obecny pięcioletni wskaz
nik miejsca wynosi 8% z odchyleniem standardowym .05.
Wskaz
niki są zaplanowane na ponad pięć następnych lat dla obu ich miejsc. Pięć
przypadkowych liczb jest utworzonych z normalnego standardowego rozkładu: +1.65, -.26,
+.73, +1.17, +.98. Te wartości są używane w celu zaplanowania ścieżki stopy procentowej dla
obu miejsc wskaz
ników. Stała k jest równa 1. Znajdz
dwa miejsca wskaz
ników na końcu
pięciu lat i pokaż, iż krzywa dochodowości staje się odwrócona