Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
Notatki do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów
Notatki do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne
1. Skręcanie przekrojów kołowych  definicje, pojęcia, wzory
Teoria dotycząca skręcania  na podstawie wykładu i książek: [1], [2], ewentualnie także [3].
Kilka poniższych rysunków ilustruje pojęcia i wzory związane ze skręcaniem przekrojów kołowych.
Rysunek 2: Rozkład Rysunek 3: Wektory
Rysunek 1: Proste skręcanie Rysunek 4: Deformacja i
naprężeń w przekroju naprężenia odkształcenie
poprzecznym
1.a) NAPR
ŻENIA
Tensor naprężenia dla przypadku skręcania ma postać określoną poniżej; w tym stanie, zgodnie z równaniami Hooke'a,
generowany jest przestrzenny stan odkształcenia:
1 1
0 Å‚xy Å‚xz
2 2
0 Äxy Äxz
zwiÄ…zki konstytutywne 1
TÃ=
Äyx 0 0 T = Å‚yx 0 0
µ
Ô!
2
[ ]
Äzx 0 0
1
[ ]
Å‚zx 0 0
2
Związek funkcji naprężenia z funkcją siły przekrojowej ma postać:
M ( x)
Nm
x
ÉÄ…xy( x , z) = Å" z Å"m = Pa
4
gdzie Mx(x) jest momentem skręcającym w przekroju o odciętej x,
[ ]
I ( x)
m
x
natomiast Ix(x) jest momentem biegunowym bezwładności w tym
M (x)
x Nm
ÉÄ…xz(x , y) = Å" y
Å"m = Pa
przekroju.
4
I (x) [ ]
x m
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 1
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
M (x)
x
Gdy zamiast układu kartezjańskiego, skorzystamy z biegunowego, wzór na naprężenia ma postać: .
ÉÄ…( x , Á) = Å"Á
I ( x)
x
Ä„ R4 Ä„ D4
Wzór na biegunowy moment przekroju kołowego: I = I = I = I + I = = .
x 0 p y z
2 32
1.b) ODKSZTAA
CENIA I DEFORMACJA
Związek funkcji przekrojowej z funkcją odkształcenia ma postać:
M (x)
x
gdzie Mx(x) jest momentem skręcającym w przekroju o odciętej x, natomiast Ix(x) jest
Å‚xy( x , z) = Å" z
G(x)Å"I (x)
x momentem biegunowym bezwładności w tym przekroju. G(x) jest modułem
M ( x)
x
Kirchhoffa (zależnym od materiału, w związku z czym może być zmienny na długości
Å‚xz( x , y) = Å" y
G(x)Å"I (x)
x elementu).
Następujące pojęcia mają związek z deformacją i odkształceniem w przypadku prostego skręcania:
M (x)
rad
x
¸(x) =
" jednostkowy kąt skręcenia:
[ ]
GÅ"I (x) m
x
M (x) dx
x
Ä…(x) = ¸(x)dx = [rad ]
+" +"
" bieżący kąt skręcenia:
G(x)Å"I ( x)
x
l
M (x) dx
x
" całkowity kąt skręcenia (dla elementu o ciągłej charakterystyce): ą(x) = [rad ]
+"
G(x)Å"I ( x)
0 x
i
M Å"li
x
" całkowity kąt skręcenia (dla elementu o skokowo zmiennej charakterystyce): ą(x) = [ rad]
"
i
Gi Å"I
i
x
2. Przykłady prętów kołowych  przypadki statycznie wyznaczalne
Przypomnienie: reakcje możemy wyznaczyć z równań równowagi wtedy, gdy liczba tych równań odpowiada liczbie
nieznanych reakcji. Mówimy wówczas o układach statycznie wyznaczalnych.
Dla układów statycznie wyznaczalnych pracujących w stanie prostego skręcania rozpatruje się najczęściej następujące
zagadnienia: znalezienie sił przekrojowych, znalezienie naprężeń, wyznaczenie wykresu jednostkowego i bieżącego kąta
skręcenia, wyznaczenie całkowitego kąta skręcenia.
Zgodnie z warunkiem wytrzymaÅ‚oÅ›ciowym Ämax }* ks (ks - dopuszczalne naprężenia na Å›cinanie) lub warunkiem
użytecznoÅ›ci ¸max }* ¸ lub Ä…max }* Ä… lub Ä…total }* Ä… można także wyznaczać potrzebne parametry konstrukcji:
dop dop dop
średnicę, materiał, wymiary.
Należy rozwiązać przykłady: 15.5.1, 15.5.2 z książki [2] oraz zadania nr: 5.1 / str. 63 i 5.3 / str. 65 z książki [4].
Uwaga! Może się zdarzyć, że (tak jak w zadaniu 5.1) należy przeliczyć obroty i moc silnika na moment skręcający, który
one powodujÄ…. ProszÄ™ samemu odnalez
ć odpowiedni wzór  będzie on wymagany.
3. Przykłady prętów kołowych  przypadki statycznie niewyznaczalne
W tych przypadkach, kiedy nie mamy wystarczającej liczby równań do obliczenia reakcji, trzeba znalez
ć warunki, które
dadzą równania na nadprogramowe niewiadome. Dla skręcania zagadnienie to dotyczy najczęściej obustronnie
utwierdzonej konstrukcji. W związku z tym dodatkowym warunkiem będzie geometryczny warunek: całkowity kąt
skręcenia równy zero.
Należy rozwiązać przykład 15.5.3 z książki [2] oraz zadania nr: 5.10 / str. 69 , 5.12 / str. 70 z książki [4].
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 2
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
4. Skręcanie przekrojów prostokątnych
Teoria dotycząca skręcania prętów prostokątnych  na podstawie wykładu i książek: [1], [2], ewentualnie
także [3].
Dla przekrojów prostokątnych rozkład naprężeń jest nieliniowy, ilustruje go Rysunek 5.
Podstawowe wzory przedstawione są poniżej. Są to wzory przybliżone, a wartości
współczynników Ä… i ² należy odczytać z Tabela 1.
h
I =² b3h
" Moment biegunowy przekroju: .
x
( )
b
h
W =Ä… b2h
" Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie: .
x
( )
b
max
M
x
" Maksymalne naprężenie styczne w przekroju: ÉÄ…max =
W
x
Rysunek 5: Rozkład naprężeń przy
M b
h
x
Ä' = ´
" Maksymalne naprężenie w połowie krótszego boku:
skręcaniu prostym pręta prostokątnego ([5])
max
( )
I b
x
h/b 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 3,5 4 5 6 8 10 "
Ä…(h/b) 0,2082 0,2212 0,2310 0,2390 0,2459 0,2576 0,2672 0,2751 0,2817 0,2915 0,2984 0,3071 0,3123 0,3333
²(h/b) 0,1406 0,1717 0,1958 0,2143 0,2287 0,2494 0,2633 0,2733 0,2808 0,2913 0,2983 0,3071 0,3123 0,3333
Å‚(h/b) 0,6753 0,7763 0,8476 0,8966 0,9301 0,9681 0,9854 0,9934 0,9970 0,9994 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000
´(h/b) 0,6753 0,7111 0,7280 0,7359 0,7394 0,7418 0,7423 0,7424 0,7425 0,7425 0,7425 0,7425 0,7425 0,7425
Tabela 1: Współczynniki do obliczania przekrojów prostokątnych skręcanych ([5])
5. Skręcanie przekrojów cienkościennych otwartych
Teoria dotycząca skręcania prętów cienkościennych otwartych  na podstawie wykładu i książek: [1], [2],
ewentualnie także [3].
" Przekrój rozważamy jako złożony z poszczególnych małych
prostokątów. Wówczas dla każdego prostokąta osobno oblicza się
hi
I =²i b3 hi
moment biegunowy: , natomiast moment
xi
( )
bi i
n
I = I
biegunowy całego przekroju to .
"
x xi
i=1
" Moment skręcający przekrój rozkłada się na poszczególne
M
x
M = Ixi
prostokÄ…ty wg wzoru: .
xi
I
x
" W każdym prostokącie składowym należy obliczyć maksymalne
Rysunek 6: Podział przekrojów cienkościennych na figury
składowe przy skręcaniu ([5])
M M ²i b3 hi ²i M
xi x i x
ÉÄ…max ,i = = = bi
naprężenie styczne .
W Ä…i bi2hi Ä…i x
I
Ix
xi
Ä…i I
x
W = min
" Zastępczy wskaz
nik wytrzymałości dla całego przekroju: .
x
²i bi
( )
i
Należy rozwiązać przykład 15.7.1.1, 15.7.1.2 z książki [2].
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 3
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
Przekrój aproksymowany jest układem trzech prostokątów:
h1
b1=5mm , h1 = 20 mm , = 4, Ä…1 = 0,282 , ²1 = 0,281
b1
h2
b2=5 mm , h2 = 30 mm , = 6, Ä…2 = 0,299 , ²2 = 0,299
b2
h3
b3=5mm , h3 = 10 mm , = 2, Ä…3 = 0,246 , ²3 = 0,229
b3
3
Rysunek 7: Przekrój ceowy do Zadania 1 ([5])
I = b3hi ²i = 2110 mm4
Moment biegunowy:
"
x i
i=1
Wskaz
nik wytrzymałości:
Ä…i I
x
W = min
x
²i bi = min(423,5 ; 422 ; 453,3) = 422 mm3
( )
i=1,2 ,3
Zadanie 2 (Na podstawie [5])
Pręt obustronnie utwierdzony jest obciążony momentem skupionym M. Wyznaczyć reakcje podporowe i maksymalne
naprężenie styczne. Porównać wyniki dla obu rodzajów przekroju poprzecznego (A) i (B).
Dane:
B
"
M = 50 kNm
x
L1 = 20 cm L2 = 30 cm
" ,
L = L1+ L2 = 50 cm
"
" moduł Kirchhoffa: G = 82 GPa
" dopuszczalne naprężenie przy ścinaniu:
k = 125 MPa
s
Rysunek 8: Ilustracja do zadania 2 ([5])
" wymiar a=5cm
1) Zadanie jest statycznie niewyznaczalne.
2) Po przyjęciu układu współrzędnych oraz oznaczeniu punktów charakterystycznych A-C, przyjmujemy także symboliczne
oznaczenia reakcji na podporach.
3.a) Nieznane reakcje podporowe wyznaczymy z warunku równania równowagi rzutu sumy sił na oś x:
B A C C B A
X = M M M = 0 Ò! M =M M &
"
x x x x x x
3.b) & oraz z warunku zerowania się przemieszczeń w punktach x=0 i x=L,
czyli Ä…tot = 0
.
Rozkład momentów skręcających na długości pręta znajduje się na
rysunku 9.
A
x"(0, L1) Ô! M
x
M (x) =
A B C
{
x"(L1, L) Ô! M M = M
x x x
Rysunek 9: Rozkład momentów skręcających
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 4
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
Całkowity kąt skręcenia na końcu pręta:
A A B A B
M Å"L1 (M M )Å"L2 M (L1+ L2) M L2
x x x x x
Ä…tot = + = = 0 .
GI GI GI GI
x x x x
A zatem wyliczamy wartość nieznanej reakcji podporowej:
L2
1
A B A B
Ä…tot = M L M L2 = 0 Ò! M = M = 30 kNm
[ ] .
x x x x
G I L
x
C B A
Reakcja na drugiej podporze: M = M M = 20 kNm .
x x x
Do dalszych obliczeń wybieramy maksymalny moment skręcający:
max A
M = M = 30 kNm .
x x
4) Maksymalne naprężenia dla przekroju prostokątnego należy zacząć od parametrów geometrycznych:
b = 2 a = 10 cm , h = 4a = 20 cm , a zatem: Ä…(h/b) = Ä…(2)= 0,246 .
Wskaz
nik wytrzymałości przy skręcaniu wynosi: W =ą(h/b)b2h = 492 cm3 .
x
max
M
30Å"103 Nm
x
StÄ…d maksymalne naprężenie Å›cinajÄ…ce: ÉÄ…max= = = 60,98MPa .
W
0,492Å"10 6 m3
x
ÉÄ…max
Å"100 % = 81,3 %
Warunek nośności można sprawdzić porównując dopuszczalne i maksymalne naprężenia: .
ks
5) Maksymalne naprężenia dla przekroju dwuteowego również należy zacząć od parametrów geometrycznych:
b1 = a = 5 cm h1 = 3a = 15 cm ²1=²(3) = 0,263 Ä…1 = Ä… (3) = 0,267
, ;
b2 = a = 5 cm h2 = 2 a = 10 cm ²2=²(2) = 0,229 Ä…2 = Ä… (2) = 0,246
, ;
b3 = a = 5 cm h3 = 3a = 15 cm ²3=²(3) = 0,263 Ä…3 = Ä…(3) = 0,267
, ;
" Dla powyższych wartości należy obliczyć momenty biegunowe przypadające na pojedyncze elementy, tj półki:
I = I = ²1b3 h1 = ²3 b3h3 = 493,13cm4 i Å›rodnik: I = ²2b3 h2 = 286,25 cm4 oraz moment biegunowy dla
x1 x3 1 3 x2 2
3
I = ²i b3 hi = 1270cm4
całego przekroju: .
"
x i
i=1
" Znając momenty biegunowe można podzielić momenty skręcające przypadające na poszczególne części
M M
x x
M =M = Å"I = Å"I = 11,626 kNm
przekroju, i tak mamy momenty przypadające na półki: i moment
x1 x3 x1 x3
I I
x x
M
x
M = Å"I = 6,749 kNm
przypadający na środnik: .
x2 x2
I
x
M + M + M = 2Å"11,626 kNm+ 6,749 kNm = 30 kNm = M
Dla sprawdzenia: .
x1 x2 x3 x
M ²1 M ²3
x x
ÉÄ…max1 = ÉÄ…max3 = b1 = b3 = 116,11 MPa
" Maksymalne naprężenia w półkach:
Ä…1 I Ä…3
I
x x
M ²2
x
ÉÄ…max2 = b2 = 109,73 MPa
Maksymalne naprężenia w środniku:
Ä…2
I
x
ÉÄ…max
Å"100 % = 93 %
Warunek nośności: .
ks
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 1
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
6. Skręcanie przekrojów cienkościennych zamkniętych (metoda przybliżona)
Teoria dotycząca skręcania przekrojów cienkościennych zamkniętych  na podstawie wykładu i książek: [1],
[2], ewentualnie także [3].
Najważniejsze wzory dotyczące skręcania przekrojów cienkościennych zamkniętych:
1
4´ A2
ds
s
" moment biegunowy: I = 4 A2Å" dla ,
´=const. : I =
x s
x
[." ]
´( s)
S
W = 2 As ´min
" wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie: ,
x
max
M
x
" maksymalne naprężenie Å›cinajÄ…ce: ÉÄ…max = ,
2 As´min
As
gdzie jest polem powierzchni ograniczonym linią środkową.
Rysunek 10: Skręcanie przekroju
cienkościennego ([5])
Zadanie 3 ([5])
Wyznaczyć moment biegunowy oraz wskaz
nik wytrzymałości dla
foremnego, sześciokątnego profilu cienkościennego (Rysunek 11).
Długość jednego boku sześciokąta środkowego:
bÅ" 3 1Å"t Å"tg30" = 8,845 mm
"
a = 2Å"
( )
2 2
Długość linii środkowej: S = 6a = 53,072 mm
2
"
As = 6Å"a 3 = 203,258 mm2
Pole zawarte wewnątrz linii środkowej: . Rysunek 11: Ilustracja do Zadania 3 ([5])
4
4 t A2
s
Moment biegunowy: I = = 6227,587 mm4 .
x
S
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie: W = 2 As t = 813 mm3 .
x
Zadanie 4 (Na podstawie [5])
Dany jest wspornik wykonany z pręta cienkościennego, rurowy, skręcany stałym momentem M=1kNm. Wyznaczyć
maksymalne naprężenie styczne oraz całkowity kąt skręcenia. Zadanie rozwiązać metodą ścisłą (jak dla przekrojów
kołowych/rurowych) i przybliżoną (dla przekrojów cienkościennych zamkniętych). Sprawdzić jak zmieni się wartość
maksymalnego naprężenia oraz całkowitego kąta skręcenia po rozcięciu rury wzdłuż tworzącej na całej długości pręta
(przekrój cienkościenny otwarty).
Dane:
Obciążenie: M=1kNm
Długość pręta: L = 1 m
Promień zewn.: R = 2,5 cm
Grubość: t = 2 mm
Moduł Kirchhoffa: G = 85 GPa
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 2
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
1) Metoda ścisła (przekrój kołowy/rurowy):
Ä„ R4 Ä„(R t)4 Ä„
Moment biegunowy: I = = [R4 (R t)4]= 17,402 cm4
x
2 2 2
M 1Å"103 Å"2,5Å"10 = 143,66Å"106 Pa
2
ÉÄ…max = Å"R=
Maksymalne naprężenie ścinające:
I
17,402Å"10 8
x
M (x) MÅ"x
Całkowity kąt skręcenia na przedziale x" )#0 ; L*# ą( x) = dx = + C
: +"
GI GÅ"Ix
x
Z warunku utwierdzenia w x = 0 wyznaczamy stałą całkowania C = 0.
MÅ"L 1Å"103Å"1
Kąt skręcenia: ą( L) = = = 0,0676[rad ]
GÅ"I
85Å"109Å"17,402Å"10 8
x
2) Metoda przybliżona (profil cienkościenny zamknięty):
2
1
Pole obszaru ograniczonego linią środkową: As=Ą R t = 18,096 cm2 .
( )
2
1
S = 2Ä„ R t = 15,080 cm
Długość linii środkowej: .
( )
2
´min = t = 2 mm
Minimalna grubość przekroju: .
4´ A2
s
Moment biegunowy: I = = 17,372 cm4 .
x
S
Wskaz
nik wytrzymaÅ‚oÅ›ci: W = 2 A0 ´min = 7,238 cm3 .
x
M M
ÉÄ…max = = = 138,16 MPa
Maksymalne naprężenie ścinające: .
W 2 As ´min
x
MÅ"L
Całkowity kąt skręcenia: ą ( L) = = 0,0678 [rad ]
.
GI
x
3) Pręt rozcięty (przekrój cienkościenny otwarty):
Po rozcięciu profilu w jednym miejscu wzdłuż tworzącej rury na
całej długości pręta, traktowany jest on jako profil cienkościenny
otwarty. Aproksymować go można pojedynczym prostokątem o
szerokości równej grubości ścianki i długości równej długości linii
Rysunek 12: Przekrój rozcięty ([5])
środkowej (Rysunek 12):
1
Ä…(75) =
h
b = ´ = 0,2cm 3
Ò! = 75,4 Ò!
{
h = S=15,080 cm b 1
²(75) =
{
3
h
I =² b3h = 0,0402 cm4
Moment biegunowy: .
x
( )
b
h
W =Ä… b2h = 0,201 cm3
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie: .
x
( )
b
M
ÉÄ…max = = 4975,124 MPa
Maksymalne naprężenie ścinające: .
W
x
MÅ"L
Ä…( L) = = 29,266 [rad]
Całkowity kąt skręcenia: .
GI
x
Należy rozwiązać przykład 15.7.1.3, 15.7.1.4 z książki [2] oraz wybrane zadania z rozdziału 6 od str. 73
z książki [4].
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 3
Arkusz 09: Skręcanie  przekroje dowolne. Arkusz przeznaczony do ćwiczeń z przedmiotu  Podstawy wytrzymałości materiałów na
II roku dziennych studiów Wydziału Inżynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 20142015.
" Umiejętność rozwiązywania zadań prętów statycznie wyznaczalnych i niewyznaczalnych (wykres kąta
skręcenia, jednostkowego kąta skręcenia, momentów skręcających; wykresy naprężeń w elemencie
i w przekroju poprzecznym; warunki projektowe, wyznaczanie średnic, wymiarów oraz dopuszczalnych
obciążeń)  wszystkie rodzaje przekrojów.
" Znajomość wzorów i umiejętność ich wykorzystania (naprężenia, odkształcenia, deformacje, moment
skręcający od pracującego silnika)  wszystkie rodzaje przekrojów.
" Postać macierzy naprężenia i odkształcenia dla skręcania prostego. Definicja skręcania.
7. Literatura
[1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciała stałego", Wydawnictwo PK, Kraków 2007
[2] Bodnar A.  Wytrzymałość materiałów. Podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych , wydanie drugie
poszerzone i poprawione, Kraków 2004, rozdział 15
[3] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Wytrzymałość materiałów", Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009
[4] Niezgodziński M., Niezgodziński T. "Zadania z wytrzymałości materiałów", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012
[5] dr inż. Paweł Szeptyński, ilustracje i zadania
© Copyright: Anna StrÄ™k. Autorem arkusza jest Anna StrÄ™k. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okreÅ›lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z póz
n. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie arkusza niż
podane w jego przeznaczeniu. 4