mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
NAJWAŻNIEJSZE WZORY:
Całkowity kąt skręcenia pręta utwierdzonego jednostronnie z przedziałami stałym
rozkładem momentu skręcającego oraz przedziałami stałą sztywnością skrętną:
L L
n
M ( x) M Li
x xi
� = Ś( x)d x = d x =
+" +" "
GI ( x) G I
i=1
0 0 x xi
Skręcane prętów kołowych:
Ą R4 Ą D4
Stała skręcania (przekrój kołowy): I = =
x
2 32
4
Ą( D4-d )
Stała skręcania (przekrój rurowy): I =
x
32
Ą R3 Ą D3
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie: W = =
x
2 16
M
x
Wypadkowe naprężenie ścinające: �ąw = r
I
x
max max
M M
x x
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax = R =
I W
x x
Skręcanie prętów prostokątnych:
h
I =� b3 h
Stała skręcania:
x
( )
b
h
W =ą b2 h
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie:
x
( )
b
max
M
x
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax =
W
x
h /b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10 >10
ą(h /b) 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
�(h/b) 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
Skręcanie prętów cienkościennych otwartych:
n
hi
Stała skręcania: I = b3 hi �
"
x i
( )
bi
i =1
� hi /bi M max
( )
x
Maksymalne naprężenie ścinające w i-tym prostokącie: �ąmax, i = �" bi
I
ą hi/bi x
( )
Skręcanie prętów cienkościennych zamkniętych:
4 A2
0
I = 4 � A2
0
x
Stała skręcania: dla
ds �=const. : I =
x
S
."
�(s)
W = 2 A0�min
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie:
x
max
M
x
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax =
2 As �min
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 1
Wyznaczyć naprężenia styczne oraz całkowity kąt skręcenia
pręta skręcanego momentem skupionym
Dane:
materiał  stal St3S Pręt  przekrój kołowy � 4 :
Ą D4
Moduł Kirchhoffa G=82GPa Stała skręcania: I = = 0,00251 cm4
x
32
Ą D3
k = 125 MPa
Wytrz. na ścinanie Wskaz
nik wytrz.: W = = 0,0125 cm3
s
x
16
Długość pręta: L = 2 m
Obciążenie: M = 1 Nm
Z równania równowagi sumy rzutów wektorów momentu na oś X znajdujemy reakcję
podporową:
X =M -R = 0 �! R=M
"
STAN GRANICZNY NOŚNOŚCI:
Dokonując cięcia w dowolnym punkcie o współrzędnej x znajdujemy rozkład momentów
skręcających:
M ( x) = M
x
M
1 Nm
x
Naprężenie: �ąmax= = = 80 MPa < ks
W
0,0125�"10-6 m3
x
�ąmax
�"100 % = 64 %
Warunek nośności:
k
s
STAN GRANICZNY UŻYTKOWALNOŚCI:
M
1 rad
x
Jednostkowy kąt skręcenia: Ś = = H" 0,486
[ ]
G I m
82�"109�"0.00251�"10-8
x
Kąt skręcenia:
x x
M M M x
x x x
�(x) = Ś d x+C = d x+C = [x ]x+C = + C
+" +"
0
G I G I G I
0 0 x x x
Z warunków brzegowych (podporowych) znajdujemy wartość stałej całkowania C:
�(0)=0 �! �(o)=C=0
Ponieważ rozkład momentu skręcającego oraz sztywności jest przedziałami stały, można po
prostu napisać:
M L
x
�całk =
G I
x
Całkowite skręcenie pręta (całkowity kąt skręcenia końcówki pręta)
M L
1 Nm�"2m
x
�(L) = = H" 0,972 rad H" 56"
G I
82�"109 Pa�"0,00251�"10-4 m4
x
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 2
Dany jest pręt cienkościenny, rurowy, skręcany obciążeniem rozłożonym równomiernie na
całej długości. Wyznaczyć maksymalne naprężenie styczne oraz całkowity kąt skręcenia.
Zadanie rozwiązać metodą ścisłą i przybliżoną. Sprawdzić jak zmieni się wartość
maksymalnego naprężenia oraz całkowitego kąta skręcenia po rozcięciu rury wzdłuż
tworzącej na całej długości pręta.
Dane:
Obciążenie: m = 1 kNm/m
Długość pręta: L = 1 m
Promień zewn.: R = 2,5 cm
Grubość: t = 2 mm
Moduł Kirchhoffa: G = 85 GPa
Reakcja podporowa: R = m L = 1 kNm
Rozkład momentów skręcających: M (x) = -R+mx = m(x- L) [kNm]
#"M #"= M#"x=0 = mL=-1kNm
Maksymalny moment skręcający:
max
Metoda ścisła (pręt lity):
Ą R4- Ą (R-t )4 = Ą
Stała skręcania: I = [R4-(R-t)4] = 17,402 cm4
x
2 2 2
M
1�"103 �"2,5�"10-2 = 143,66�"106 Pa
max
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax = �"R=
I
17,402�"10-8
x
Całkowity kąt skręcenia:
L
L L
M (x) m(x- L) m x2 mL2
" �= dx+C= dx+C= -Lx +C=- +C
+" +"
[ ]
GI GI GI 2 2GI
x x x 0 x
0 0
Z warunku utwierdzenia w x = 0 wyznaczamy stałą całkowania C = 0. Kąt skręcenia:
mL2 1�"103�"12
" � = - = - = -0,0338 [rad] �! " � H" -1,94"
2GI
2�"85�"109�"17,402�"10-8
x
Metoda przybliżona (pręt cienkościenny zamknięty):
Dla profilu cienkościennego zamkniętego o stałej grubości ścianki wykorzystać możemy
uproszczone wzory Bredta:
4 A2 4 � A2
0 0
I = =
x
W = 2 A0 �min
ds S x
."
�(s)
2
1
Pole obszaru ograniczonego linią środkową: As=Ą R- t = 18,096 cm2
( )
2
1
S = 2Ą R- t = 15,080 cm
Długość linii środkowej:
( )
2
�min = t = 2 mm
Minimalna grubość przekroju:
4 � A2
0
Stała skręcania:
I = = 17,372 cm4
x
S
Wskaz
nik wytrzymałości: W = 2 A0�min = 7,238 cm3
x
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
Zarówno rozkład momentu skręcającego jak i jednostkowego kąta skręcenia nie zależy w
tym przypadku od wyznaczonych charakterystyk geometrycznych przekroju  obowiązują
tu te same wzory, które wyznaczono uprzednio:
M M
max max
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax = = = 138,16 MPa
W 2 As �min
x
mL2
Całkowity kąt skręcenia: " � = - = -0,0339 [rad] �! " � H" -1,94"
2GI
x
Pręt rozcięty (pręt cienkościenny otwarty):
Po rozcięciu profilu w jednym miejscu wzdłuż
tworzącej rury na całej długości pręta, traktowany jest
on jako profil cienkościenny otwarty. Aproksymować go
można pojedynczym prostokątem o szerokości równej
grubości ścianki i długości równej długości linii
środkowej:
1
ą(75) =
h
b = � = 0,2 cm 3
�! = 75,4 �!
{
h = S =15,080 cm b 1
{�(75) =
3
h
I =� b3 h = 0,0402 cm4
Stała skręcania:
x
( )
b
h
W =ą b2 h = 0,201 cm3
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie:
x
( )
b
M
max
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax = = 4975,124 MPa
W
x
mL2
Całkowity kąt skręcenia: " � = - = -14,633 [rad ] �! -838,4"
2GI
x
ZADANIE 3
Dany jest pręt o przekroju kołowym o średnicy D, skręcany stałym momentem
k
skręcającym M, wykonany z materiału o wytrzymałości na ścinanie i module
s
Kirchhoffa G. Wyprowadzić wzory na minimalną średnicę pręta dla zadanego obciążenia
oraz na maksymalne obciążenie dla zadanego przekroju pręta z uwagi na wytrzymałość i
�dop.
nie przekroczenie dopuszczalnego kąta skręcenia
Ą D4 warunek sztywności: " � = M L <�dop
Stała skręcania: I =
x
GI
32
x
M
Ą D3
�max = Wskaz
nik wytrzymałości: W = warunek wytrzymałości:
s
x
W
16
x
Minimalna średnica:
16 M 32 ML
3 4
�max < k �! Dmin > " � < �dop �! Dmin >
s
Ą ks Ą G �dop
" "
Maksymalne obciążenie:
Ą D3 ks Ą D4G �dop
�max < k �! M < " � < �dop �! M <
s max max
16 32 L
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 4
Wyznaczyć rozkład momentów skręcających, kąta skręcenia oraz maksymalnych naprężeń
ścinających dla pręta kołowego o średnicy zmiennej na grubości, obciążonego jak na
rysunku:
Moduł Kirchhoffa: G=85 GPa
Średnica podstawowa: d =20 mm
Długości odcinków:
L1 = 60 cm L2 = 60 cm L3 = 70 cm L4 = 50 cm
Obciążenie:
M = 0,5 kNm M = 0,2 kNm M = 0,1 kNm
1 2 3
Ł M =0 -RA+M -M +M = 0 �! RA = 0,4 kNm
Reakcja w utwierdzeniu:
x 1 2 3
Rozkład momentów skręcających:
AB : x"(0;0,6): M = RA = 0,4 kNm
x1
BC : x"(0,6 ;1,2): M = RA = 0,4 kNm
x2
M =
x
CD: x"(1,2 ;1,9): M = M -M = -0,1 kNm
x3 3 2
{
DE : x"(1,9 ;2,4): M = M = 0,1 kNm
x4 3
Rozkład stałej skręcania:
Ą(2d )4
AB : I = = 2,513�"10-7 m4
x1
32
Ą(1,5d )4 = 7,952�"10-8 m4
BC : I =
x2
32
I =
x
Ą d4
CD: I = = 1,571�"10-8 m4
x3
32
4
{
Ą d
DE : I = = 1,571�"10-8 m4
x4
32
Rozkład wskaz
nika skręcania:
Ą(2 d)3
AB : W = = 1,257�"10-5m3
x1
16
Ą (1,5d )3 = 5,301�"10-6 m3
BC : W =
x2
16
W =
x
3
Ą d
CD : W = = 1,571�"10-6 m3
x3
16
{
Ą d3
DE : W = = 1,571�"10-6 m3
x4
16
Rozkład maksymalnych naprężeń stycznych:
AB: �ąmax=31,822 MPa
M
BC : �ąmax=75,457 MPa
x
�ąmax= =
W
CD : �ąmax=-63,654 MPa
x
{
DE : �ąmax=63,654 MPa
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
Rozkład kąta skręcenia:
Ponieważ obciążenie oraz sztywność pręta są przedziałami stałe, zatem rozkład kąta
skręcenia będzie przedziałami liniowy. Wystarczy jedynie wyznaczyć kąty skręcenia na
granicach przedziałów:
�A = 0 rad
(z warunków podporowych)
M L1 M L1
x1 x1
�B = �A+ = = 0,0112 rad = 0,642"
GI GI
x1 x1
M L2 M L1 M L2
x2 x1 x2
�C = �B+ = + = 0,0467 rad = 2,676"
GI GI GI
x2 x1 x2
M L3 M L1 M L2 M L3
x3 x1 x2 x3
�D = �C+ = + + = -0,0057 rad = -0,327"
GI GI GI GI
x3 x1 x2 x3
M L4 M L1 M L2 M L3 M L4
x4 x1 x2 x3 x4
�E = �D+ = + + + = 0,0317 rad = 1,816"
GI GI GI GI GI
x4 x1 x2 x3 x4
ZADANIE 5
Dany jest wał o zmiennej średnicy obciążony trzema równoważącymi się momentami.
Wyznaczyć maksymalne naprężenie styczne oraz względny kąt skręcenia końcowych
przekrojów pręta. Porównać uzyskane wyniki z przypadkiem zastąpienia pręta kołowego
prętem kwadratowym o tym samym polu.
Dane:
L1 = 30 cm
L2 = 20 cm
L = L1+L2 = 50 cm
k = 125 MPa
Materiał  Stal St3S: G = 82 GPa
s
Rozkład momentów skręcających:
x"(0, L1) �! M =30 Nm
I
M (x) =
{
x"(L1, L) �! M =10 Nm
II
Przekrój kołowy:
D1 = 16 mm D2 = 12 mm
Średnice pręta:
Ą D4 Ą D4
1 2
Stałe skręcania:
I = = 0,643 cm4 I = = 0,204 cm4
x1 x2
32 32
4
Ą D3 Ą D2
1
Wskaz
niki wytrzymałości:
W = = 0,804 cm3 W = = 0,339 cm4
x1 x2
16 16
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
Maksymalne naprężenia styczne:
M 16 M
�ąmax
I I
�ąmax = = = 37 MPa �"100 % = 29,6 %
przedział I
W ks
Ą D3
x1
1
M 16 M
�ąmax
II II
�ąmax = = = 29,5 MPa �"100 % = 23,6 %
przedział II
W ks
Ą D3
x2
2
Względny kąt skręcenia końcowych przekrojów pręta:
M Li M L1 M L2
i I II
" � = = + = 0,029 rad �! " � H" 1,66"
"
GI G I G I
i xi x1 x2
Przekrój kwadratowy:
Dla przekroju kwadratowego h :b=1 �! ą(1) = 0,208 �(1) = 0,141
Ą D2
1
przedział I
h1 = b1 = = 1,418 cm
4
"
pr
I = �b3 h1 = 0,570 cm4
x1 1
pr
W = ą b2 h1 = 0,593 cm3
x1 1
Ą D2
2
przedział II
h2 = b2 = = 1,064cm
4
"
pr
I = �b3 h2 = 0,181 cm4
x2 2
pr
W = ą2 b2 h2 = 0,250 cm3
x2 2
Maksymalne naprężenia styczne:
M
�ąmax
I
�ąmax = = 50,6 MPa �"100 % = 40,47 %
przedział I
pr
k
W
s
x1
M
�ąmax
II
�ąmax = = 40 MPa �"100 % = 32 %
przedział II
pr
k
W
s
x2
Względny kąt skręcenia końcowych przekrojów pręta:
M Li
i
" � = = 0,033 rad �! " � H" 1,88"
"
GI
i xi
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 6
Obliczyć maksymalne obciążenie M dla pręta skręcanego jak na rysunku, jeśli
k =130 MPa
wytrzymałość na ścinanie , zaś dopuszczalny maksymalny kąt skręcenia
s
�dop=0,02 rad
wynosi . Moduł Kirchhoffa: G = 83 GPa
L1 = 35 cm
L2 = 40 cm
Charakterystyki geometryczne:
Przedział AB: h/b = 2 �! ą(2)=0,246 , �(2)=0,229
h
I = � b3 h = 7,328�"10-8
Stała skręcania
x1
( )
b
h
W = ą b2 h = 3,936�"10-6
Wskaz
nik wytrzymałości
x1
( )
b
Przedział AB: h /b = 1 �! ą(1)=0,208 , �(1)=0,141
h
I = � b3 h = 2,256�"10-8 m4
Stała skręcania
x2
( )
b
h
W = ą b2 h = 1,664�"10-6
Wskaz
nik wytrzymałości
x2
( )
b
Reakcja w utwierdzeniu:
Ł M =0 -R+5M +M =0 �! R=6M
x
Rozkład momentów:
AB : x"(0; 0,35) M =6 M
x1
M ( x)=
x
{
BC : x"(0,35; 0,75) M =M
x2
Warunek wytrzymałości:
M
x
Naprężenia styczne: �ąmax = < ks �! M x x
W
x
1�"130�"10 �"3,936�"10-6 = 85,28 Nm
6
M Przedział AB:
x1 s x1
6
Przedział BC: M x2 x2
Warunek sztywności:
Wszystkie wektory obciążenia zwrócone są w jedną stronę, zatem kąt skręcenia stale
przyrasta w jedną stronę. Maksymalny kąt skręcenia występuje więc na końcu pręta i jest
równy:
M L1 M L2
6 M�"0,35 M�"0,4
x1 x2
�max = + = + = M�"5,589�"10-4 1
[ ]
GI GI Nm
83�"109�"7,328�"10-8 83�"109�"2,256�"10-8
x1 x2
0,02
�max < �dop �! M < = 35,785 [Nm ]
Z warunku na kąt skręcenia:
5,589�"10-4
M = 35,785 Nm
Ostatecznie:
dop
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 7
Dobrać średnicę porównawczą d pręta skręcanego jak na rysunku, jeśli wytrzymałość na
k =125 MPa �dop=1"
ścinanie , zaś dopuszczalny kąt skręcenia wynosi . Moduł
s
Kirchhoffa: G = 83 GPa
Charakterystyki geometryczne:
Przedział AB:
Ą(2 d )4 = 1,571 d
4
Stała skręcania: I =
x1
32
Ą(2d )3 = 1,571d3
Wskaz
nik wytrzymałości: W =
x1
16
Przedział BC:
4
Ą d
4
Stała skręcania: I = = 0,0982 d
x2
32
Ą d3
Wskaz
nik wytrzymałości: W = = 0,196 d3
x2
16
Rozkład momentów skręcających:
AB : x"(0; 0,2) M =130 Nm
x1
M ( x)=
x
{
BC : x"(0,2 ;0,26) M =-20 Nm
x2
Warunek wytrzymałości:
M M
x x
Maksymalne naprężenia styczne: �ąmax = < k �! W >
s x
W ks
x
M
130
x1
3
Przedział AB: W > �! d > = 8,715�"10-3 [m]
x1
k
1,571�"125�"106
s "
M
x2
Przedział BC: W > �! d >3 20 = 9,346�"10-3 [m]
x2
k
0,196�"125�"106
"
s
Warunek sztywności:
Pręt ma przedziałami stały rozkład momentów i sztywności, zatem kąt skręcenia zmienia
się liniowo wewnątrz przedziałów. Maksymalne wartości może osiągnąć tylko na granicach
przedziałów. Wartości kątów muszą być wyrażone w radianach 1" H" 0,0175 rad .
M L1
130�"0,2
x1
�B = = < 0,0175 rad �! d >4 130�"0,2 = 10,332�"10-3[m]
4
GI
83�"109�"1,571d 83�"109�"1,571�"0,0175
"
x1
M L1 M L2
(-20)�"0,06
130�"0,2
x1 x2
�C = + = + < 0,0175rad �!
GI GI
83�"109�"1,571d4 83�"109�"0,0982d4
x1 x2
1 130�"0,2 20�"0,06
4
�! d > - = 7,389�"10-3 [m]
( )
1,571 0,0982
83�"109�"0,0175
"
Ostatecznie: d >10,332 mm
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 8
Statycznie niewyznaczalny pręt o przekroju prostokątnym obustronnie utwierdzony,
obciążony niesymetrycznie momentem skupionym M. Wyznaczyć reakcje podporowe i
maksymalne naprężenie styczne. Porównać wynik z tym, jaki otrzymałoby się, gdyby
przyjąć przekrój dwuteowy, jak na rysunku.
Dane:
M = 50 Nm
L1 = 20 cm
L2 = 30 cm
L = L1+L2 = 50 cm
Stal St3S
Moduł Kirchhoffa: G = 82 GPa
k = 125 MPa
graniczne naprężenie przy ścinaniu:
s
Zadanie statycznie niewyznaczalne  nieznane reakcje podporowe wyznaczymy z
warunku zerowania się wyliczonych przemieszczeń w punktach x = 0 i x = L po
RB
zastąpieniu podpory w punkcie B nieznaną siłą reakcji .
Z równania równowagi rzutu sumy sił na oś x: X = M -RA-RB = 0 �! RB=M -RA
"
Rozkład momentów skręcających na długości pręta:
x"(0, L1) �! RA
M (x) =
{
x"(L1, L) �! RA-M = - RB
Całkowity kąt skręcenia na końcu pręta:
RA�"L1 (RA-M )�"L2 RA( L1+L2) M L2
�(L1+ L2)= + = -
GI GI GI GI
x x x x
�(L1+ L2)=0
Ponieważ pręt jest utwierdzony na końcu, stąd , z czego wyliczamy wartość
nieznanej reakcji podporowej:
L2
1
�(L1+ L2) = RA L-M L2 = 0 �! RA = M = 30 Nm
[ ]
G I L
x
Reakcja na drugiej podporze:
L2 L-L2 L1
RB = M -RA = M -M = M = M = 20 Nm
L L L
max
Maksymalny moment skręcający: M = RA = 30 Nm
x
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
Przekrój prostokątny:
b = 2 a = 1 cm
h = 4 a = 2 cm
�(h /b) = �(2) = 0,229
ą(h/b) = ą(2) = 0,246
Stała skręcania: I = �(h/b)b3 h = 0,458 cm4
x
Wskaz
nik wytrzymałości przy skręcaniu: W =ą(h/b)b2 h = 0,492 cm3
x
max
M
30 Nm
x
Maksymalne naprężenie ścinające: �ąmax= = = 60,98MPa
W
0,492�"10-6 m3
x
�ąmax
�"100 % = 81,3%
Warunek nośności:
ks
Przekrój dwuteowy:
b1 = a = 0,5 cm h1 = 3 a = 1,5 cm �1=�(3) = 0,263 ą1 = ą (3) = 0,267
b2 = a = 0,5 cm h2 = 2 a = 1 cm �2=�(2) = 0,229 ą2 = ą(2) = 0,246
b3 = a = 0,5 cm h3 = 3 a = 1,5 cm �3=�(3) = 0,263 ą3 = ą (3) = 0,267
3
Stała skręcania: I = �i b3 hi = 0,127 cm4
"
x i
i =1
M
x
Momenty przypadające na półki: M =M = �1b3 h1 = 11,626 Nm
x1 x3 1
I
x
M
x
Moment przypadający na środnik: M = �2b3 h2 = 6,749 Nm
x1 2
I
x
M +M +M = 2�"11,626 Nm+6,749 Nm = 30 Nm = M
Sprawdzenie:
x1 x2 x3 x
M �1
x
Maksymalne naprężenia w półkach: �ąmax1 = �ąmax3 =
ą1 b1 = 116,11 MPa
I
x
M �2
x
Maksymalne naprężenia w środniku: �ąmax2 =
ą2 b2 = 109,73 MPa
I
x
�ąmax
�"100 % = 93 %
Warunek nośności:
ks
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 9
Dany jest obustronnie utwierdzony pręt o przekroju kołowym, obciążony jak na rysunku.
Dobrać minimalną średnicę pręta z uwagi na warunek wytrzymałości  wytrzymałość na
k =50 MPa
ścinanie wynosi . Dla dobranej średnicy wyznaczyć rozkład kąta skręcania,
s
przyjmując G = 34 GPa .
Zadanie statycznie niewyznaczalne  nieznane reakcje podporowe wyznaczymy z
warunku zerowania się wyliczonych przemieszczeń w punktach x = 0 i x = L po
zastąpieniu jednej z podpór nieznaną siłą reakcji.
M = -10-10+6+RE = RE-14 [ Nm]
1
M = -10+6+ RE = RE-4 [Nm ]
2
M = RE+6 [ Nm]
3
M = RE [Nm]
4
L1=0,2 m , L2=0,3 m , L3=0,3 m , L4=0,15 m
GI =const.
Przekrój stały na długości pręta  sztywność na skręcanie:
x
Całkowity kąt skręcenia na końcu pręta:
L L
4
M Li 1
M (x)
i
" � = Ś dx = dx = = M L1 + M L2 + M L3 + M L4 =
+" +" " [ ]
1 2 3 4
GI GI GI
i=1
0 0 x xi x
0,95 RE-2,2
1
= (RE-14)�"0,2+(RE-4)�"0,3+(RE+6)�"0,3+ RE�"0,15 = = 0 �! RE=2,316 [ Nm ]
[ ]
GI GI
x x
Ł M =0 : �! RA = 10+10-6-RE = 11,684
Z równania równowagi:
x
Rozkład momentów:
M = RE-14 = -11,684 [Nm]
1
M = RE-4 = -1,684 [Nm]
2
M =#"M #"= 11,684 Nm
�!
max 1
M = RE+6 = 8,316 [ Nm]
3
M = RE = 2,316 [ Nm]
4
Wymiarowanie pręta:
M
max
�max = s
16�"M
W 3 16�"11,684
max 3
x
�! D> = = 10,597�"10-3 m �! przyjęto D=11 mm
Ą ks
"
Ą�"50�"106
Ą D3 "
}
W =
x
16
Ą D4
Stała skręcania dla przyjętej średnicy przekroju: I = = 0,144 cm4
x
32
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
Względny obrót przekroju w poszczególnych punktach charakterystycznych:
M L1 (-11,684)�"0,2
1
�B = = = -0,0477 rad �! �B = -2,735"
GI
34�"109�"0,144�"10-8
x
M L2
(-1,684)�"0,3
2
�C = �B + = -0,0477 + = -0,0580 rad �! �C = -3,323"
GI
34�"109�"0,144�"10-8
x
M L3
8,316�"0,3
3
�D = �C + = -0,0580 + = -0,0070 rad �! �D = -0,401"
GI
34�"109�"0,144�"10-8
x
M L4
2,316�"0,15
4
�E = �D + = -0,0070 + = 0 rad �! �B = 0"
GI
34�"109�"0,144�"10-8
x
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 10
Wyznaczyć rozkład momentów zginających i kąta
skręcenia statycznie niewyznaczalnego skręcanego pręta
o przekroju prostokątnym. Wyznaczyć maksymalną
wartość parametru obciążenia M, jeśli moduł Kirchhoffa
k =120 MPa
G=82 GPa , wytrzymałość na ścinanie
s
�dop=2"
zaś dopuszczalny maksymalny kąt skręcenia .
L1 = 20 cm , L2 = 50 cm , L = L1+L2 = 70 cm
Charakterystyki geometryczne przekroju: h /b=1,333
Wartości parametrów ą i � wyznaczamy poprzez interpolację liniową:
ą(1,5)-ą(1,0)
ą(1,0)=0,208 ą(1,5)=0,231 ą(1,333)= (1,333-1,0)+ą(1,0)=0,223
1,5-1,0
�(1,5)-�(1,0)
�(1,0)=0,141 �(1,5)=0,196 �(1,333)= (1,333-1,0)+�(1,0)=0,178
1,5-1,0
Stała skręcania: I =� b3 h = 19,224�"10-8 m4
x
Wskaz
nik wytrzymałości: W =ąb2h = 8,028�"10-6 m4
x
Zadanie statycznie niewyznaczalne  nieznane reakcje podporowe wyznaczymy z
warunku zerowania się wyliczonych przemieszczeń w punktach x = 0 i x = L po
zastąpieniu jednej z podpór nieznaną siłą reakcji.
Z równowagi momentów:
M
Ł M =-RA-2M + �"L+RB=0 �! RB=RA+M
x
L
Rozkład momentów skręcających:
AB: x"(0, L1) �! M =RA-M x
AB
L
M ( x) =
x
{BC : x"( L1, L) �! M =RA+2 M -M x
BC
L
Rozkład jednostkowego kąta skręcenia:
1
ŚAB= RA-M x
[ ]
M (x) GI L
x
Śx( x) = =
GI
1 M
x
ŚBC= RA+2 M - x
{
[ ]
GI L
x
Rozkład kąta skręcenia:
x
�(x) = Ś(�)d � =
+"
0
x
1 M
�AB= ŚAB d �+C = RA x- x2 +C
+"
[ ]
GI 2 L
x
0
=
L1
x
M L2
1 M
1
�BC= ŚABd �+ ŚBC d �+C = RA L1- + RA(x-L1)+2 M (x-L1)- (x2- L2) +C
{
+" +"
1
( ) ( )
[ ]
GI 2 L 2 L
x
0 L1
Stałą całkowania wyznaczamy z warunków brzegowych (utwierdzenie na początku pręta):
�(0)=�AB(xA=0)=0 �! C =0
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
Całkowity kąt skręcenia:
1 M x2+2M (x- L1) = RA L-M L
�(L) = �BC( xC=L) = RA x- -2 L2 =0
[ ] ( )
#"
GI 2 L 2
x x= L
Ł M =0
Z powyższego warunku kinematycznego oraz z równania równowagi
x
otrzymujemy:
L2 13 L2 1
M M
,
RA = 1-4 = - M RB = RA+M = 3-4 = M
( ) ( )
2 L 14 2 L 14
Rozkład momentów skręcających:
13 1
AB: M =M - - x
AB
[ ]
14 0,7
M ( x) =
x
13 1
BC : M =M - +2- x
{
BC
[ ]
14 0,7
Rozkład kąta skręcenia:
M 13 1
�AB = - x- x2
[ ]
GI 14 2�"0,7
x
�(x) =
M 13 1
�BC = - x- x2+2( x-0,2)
{
[ ]
GI 14 2�"0,7
x
Maksymalny moment skręcający:
M =17 M
max
14
Maksymalny kąt skręcenia:
Moment skręcający (pochodna kąta skręcenia) nie osiąga nigdzie wartości zerowej, a więc
rozkład kąta skręcenia nie ma lokalnego ekstremum wewnątrz przedziałów
charakterystycznych. Wartości ekstremalne osiągane są na krańcach tych przedziałów:
3 M
�max=
14GI
x
Maksymalna wartość parametru obciążenia M:
" Z uwagi na graniczny stan nośności (warunek sztywności):
M
14�"W
max
�ąmax = < ks �! M < �"ks = 793,355 Nm
x
W 17
x
" Z uwagi na graniczny stan użytkowalności (warunek sztywności):
�dop = 0,035 rad
Dopuszczalna wartość kąta musi być wyrażona w radianach
14
�max < �dop �! M < G I �dop = 2574,734 Nm
x
3
Ostatecznie: M <793,4 Nm
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
08  Skręcanie - ZADANIA
ZADANIE 11
Wyznaczyć stałą skręcania oraz wskaz
nik wytrzymałości dla foremnego,
sześciokątnego profilu cienkościennego.
Długość jednego boku sześciokąta środkowego:
b�""3 1�"t
a = 2�" - �"tg 30" = 8,845 mm
( )
2 2
Długość linii środkowej: S = 6a = 53,072 mm
a2 3
"
Pole zawarte wewnątrz linii środkowej: A0 = 6�" = 203,258 mm2
4
4 t A2
0
Stała skręcania:
I = = 6227,587 mm4
x
S
Wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie: W = 2 A0t = 813 mm3
x
ZADANIE 12
Wyznaczyć stałą skręcania oraz wskaz
nik wytrzymałości
dla ceowego profilu cienkościennego.
Przekrój aproksymowany jest układem trzech prostokątów:
h1
b1=5 mm , h1 = 20 mm , = 4, ą1 = 0,282 , �1 = 0,281
b1
h2
b2=5 mm , h2 = 30 mm , = 6, ą2 = 0,299 , �2 = 0,299
b2
h3
b3=5 mm , h3 = 10 mm , = 2, ą3 = 0,246 , �3 = 0,229
b3
3
Stała skręcania: I = b3 hi �i = 2110 mm4
"
x i
i=1
ąi I
x
Wskaz
nik wytrzymałości: W = min
x
�i bi = min(423,5 ; 422 ; 453,3) = 422 mm3
( )
i=1,2,3