mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
06  Skręcanie
Skręcanie
Tensor naprężenia:
M
"Õ
x
ÉÄ…xy= - z
0 ÉÄ…xy ÉÄ…xz
( )
I " y
x
Ã=
0 0
M
[ ] " Õ
x
sym 0
ÉÄ…xz= +z
( )
I " z
x
Tensor odkształcenia:
ÉÄ…xy ÉÄ…xz
0
2G 2 G
µ=
0 0
[ ]
sym 0
gdzie:
G  moduł Kirchhoffa (moduł sztywności poprzecznej)
Ć( y , z)  funkcja określająca spaczenie przekroju, zależna od jego kształtu
" Ć "Ć
I = y- z+ y2+z2 d A  stała skręcania
+"
x
[ ]
" z " y
A
Funkcję Ć( y , z) znajduje się jako rozwiązanie następującego równania różniczkowego:
"2Ć "2 Ć
+ = 0
" y2 " z2
ze statycznymi warunkami brzegowymi wynikającymi z przyłożonego obciążenia
Åš
zewnętrznego. Definiuje się wielkość nazywaną jednostkowym kątem skręcenia,
Åš=d È
będącą nieskończenie małym przyrostem całkowitego kąta skręcenia pręta: .
d x
M
x
M (x )<"d È
Ponadto pokazuje się, że Ś= , skąd oczywiście
G I d x
x
Całkowity kąt skręcenia pręta w punkcie x oblicza się jako:
x x
M
x
È= Åš d x + C = d x + C
+" +"
G I
0 0 x
gdzie stałą całkowania C określa się z warunków brzegowych (podporowych). Jeśli mamy
do czynienia z prętem, w którym rozkład momentu skręcającego jest przedziałami stały i w
GI
którym sztywność skrętna jest również przedziałami stała, to kąt skręcenia zmienia
x
się liniowo w każdym przedziale i przyrasta o:
M Li
xi
" Èi = ,
GI
xi
M , I Li
gdzie to moment skręcający i stała skręcania w danym przedziale, zaś to
xi xi
długość tego przedziału. Całkowity kąt skręcenia takiego pręta, gdy jest on utwierdzony z
jednej strony, jest równy:
n
M Li
xi
Èc =
"
GI
i=1 xi
Po wyznaczeniu stanu naprężenia w każdym przekroju pręta, poszukuje się maksymalnego
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
06  Skręcanie
naprężenia stycznego . Warunek projektowania prętów skręcanych
ÉÄ…max= ÉÄ…2 +ÉÄ…2
"
xy xz
sprowadza się do nierówności:
ÉÄ…max }* ks
gdzie k oznacza wytrzymałość na ścinanie.
s
Skręcanie prętów o przekroju kołowym i rurowym
Rozpatrujemy pręt o przekroju kołowym o średnicy D = 2 R. Z rozwiązania odpowiedniego
równania różniczkowego otrzymujemy Ć(x , y )a"0 . Stąd:
Ä„ R4 Ä„ D4
Stała skręcania:
I = I0 = I +I = =
x y z
2 32
M M
x x
Naprężenia styczne: ÉÄ…xy=- z ÉÄ…xz= y
I I
0 0
M M
x x
Naprężenie wypadkowe: ÉÄ… = ÉÄ…2 +ÉÄ…2 = y2+z2 = r
"
"
xy xz
I0 I0
Stała skręcania jest równa biegunowemu momentowi
bezwładności. Wypadkowe naprężenie styczne w danym punkcie
jest proporcjonalne do odległości tego punktu od środka pręta.
W środku jest ono równe 0. Maksymalne naprężenie styczne
otrzymuje się na obwodzie przekroju poprzecznego pręta:
M
x
ÉÄ…max= R
I0
Definiuje siÄ™ tzw. wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie pręta kołowego:
I
Ä„ R3 Ä„ D3
0
W = = =
x
R 2 16
M
x
Ämax = = }* f
Warunek wytrzymałości dla skręcanego pręta kołowego:
d
W
x
W przypadku przekroju rurowego o średnicy zewnętrznej D i
średnicy wewnętrznej d rozkład naprężeń jest taki sam, inna jest
jedynie stała skręcania, która jest tutaj biegunowym momentem
bezwładności dla przekroju rurowego a nie kołowego:
4
I0 Ä„ (D4-d 4)
Ä„( D4-d )
I = W = =
0 x
32 R 16 D
M M
16 D
x x
ÉÄ… = r ÉÄ…max= R = M Å"
x
I I0
Ä„( D4-d4)
0
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
06  Skręcanie
Skręcanie prętów o przekroju eliptycznym
Rozpatrujemy pręt o przekroju elipsy o półosiach a i b (a>b).
Ä„ a3 b3
Ä„ a b2
I =
W =
x
x
2
a2+b2
M 2 M 2 M
x x x
ÉÄ…A = ÉÄ…max = = ÉÄ…B=
W
Ä„ a b2 Ä„ a2 b
x
Skręcanie prętów o przekroju prostokątnym
Rozpatrujemy pręt o przekroju prostokątnym o wymiarach b i h, przy czym zakładamy, że
b < h. Z rozwiązania odpowiedniego równania różniczkowego otrzymujemy:
"
F Å"sin kn y Å"sinh kn z
( ) ( ) kn=(2 n+1)Ä„
n
Ć( y , z) = yz- b
"
gdzie
h
n=0
8 b
kn cosh k
n
( ) F =(-1)n
n
2
(2n+1)2 Ä„2
Stąd otrzymujemy wzory na stałą skręcania i wartości naprężeń:
h
tgh kn
"
( )
2
1 64 b h
StaÅ‚a skrÄ™cania: I = - Å" b3 h = ² b3 h
"
x
[ ]
( )
3 h b
Ä„5 (2 n+1)5
n=0
ß#
²(h/ b)
Naprężenia styczne:
"
M (-1)nÅ"cos(kn y)Å"sinh (kn z)
8 b
x
ÉÄ…xy = -
"
I
h
Ä„2 n=0
x
(2 n+1)2Å"cosh kn
[ ]
( )
2
"
M (-1)nÅ"sin(kn y)Å"cosh(kn z)
8 b
x
ÉÄ…xz = 2 y - Å"
"
I
h
Ä„2 n=0
x
(2 n+1)2Å"cosh kn
[ ]
( )
2
ÉÄ…xz
Maksymalne naprężenia styczne  w połowie długości dłuższego boku. Są to
jednocześnie maksymalne z wypadkowych naprężeń stycznych występujących w
całym przekroju:
"
M b M b
8 1 h
x x
ÉÄ…xz ( y=Ä…b/2, z=0) = Ä… 1 - Å" = Ä… Å‚
"
( )
I I b
hÅ"Ä„Å"(2n+1)
Ä„2 (2 n+1)2Å"cosh
x n=0 x
[ ]
( )
b 2
ß#
Å‚(h/ b)
ÉÄ…xy
Maksymalne naprężenia styczne  w połowie długości krótszego boku:
"
M b
8 (-1)n tgh hÅ" (2 n+1) = " M x b ´ h
Ä„
x
ÉÄ…xy( y=0,z=Ä…h/ 2) = " Å" Å"
"
( ) ( )
[ ]
I I b
Ä„2 (2n+1)2 b 2
x n=0 x
ß#
´ (h/ b)
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
06  Skręcanie
Rozkład naprężeń stycznych:
ÉÄ…xy ÉÄ…xz
Naprężenia Naprężenia Naprężenia wypadkowe
ÉÄ… = ÉÄ…2 +ÉÄ…2
"
xy xz
Definiuje siÄ™ tzw. wskaz
nik wytrzymałości na skręcanie pręta prostokątnego:
h
b3 h²
( )
I b
²( h/b)
h
x
W = = = Ä… b2 h
, gdzie Ä…(h/b) =
x
( )
b
Å‚(h /b)
h h
b Å‚ b Å‚
( ) ( )
b b
M
x
ÉÄ…max = }* f
Warunek projektowania skręcanego pręta kołowego:
d
W
x
Dla celów obliczeniowych funkcje zależne od stosunku długości boków przekroju
określające rozkład naprężeń stycznych zostały stabelaryzowane:
h/b 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 3,5 4 5 6 8 10 "
Ä…(h/b) 0,2082 0,2212 0,2310 0,2390 0,2459 0,2576 0,2672 0,2751 0,2817 0,2915 0,2984 0,3071 0,3123 0,3333
²(h/b) 0,1406 0,1717 0,1958 0,2143 0,2287 0,2494 0,2633 0,2733 0,2808 0,2913 0,2983 0,3071 0,3123 0,3333
Å‚(h/b) 0,6753 0,7763 0,8476 0,8966 0,9301 0,9681 0,9854 0,9934 0,9970 0,9994 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000
´(h/b) 0,6753 0,7111 0,7280 0,7359 0,7394 0,7418 0,7423 0,7424 0,7425 0,7425 0,7425 0,7425 0,7425 0,7425
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
06  Skręcanie
Skręcanie prętów o przekroju cienkościennym otwartym
(metoda przybliżona)
1) Dokonujemy aproksymacji danego
przekroju sumą n prostokątów
2) Rozdzielamy całkowity moment
skręcający na składowe prostokąty
n
M = M
"
x xi
i=1
3) Zakładamy, że każdy i-ty prostokąt w danym przekroju obróci się o taką samą
wartość jednostkowego kąta skręcenia (taka jak dla całego przekroju)
M
xi
" Åši = = Åš Ò! M =G Åš I = G Åš b3 hi ²i
xi xi i
ß#
i
G I
xi
Ixi
4) Ponieważ każdy prostokąt musi się obrócić o tę samą wartość jednostkowego kąta
skręcenia, możemy napisać:
n n n
M
x
M = M = Åš G b3 hi²i = G Åš b3 hi ²i Ò! Åš=
" " "
x xi i i
n
i=1 i=1 i =1
G b3 hi ²i
"
i
i =1
n
M
x
5) Wprowadzamy zastÄ™pczÄ… staÅ‚Ä… skrÄ™cania I = b3 hi ²i Ò! Åš=
"
x i
G I
i=1 x
M
x
6) Obliczamy moment przypadajÄ…cy na każdy z prostokÄ…tów: M = b3 hi ²i
xi i
I
x
7) Poszukujemy maksymalnego naprężenia stycznego dla każdego z prostokątów:
M M ²i b3 hi ²i M
xi x i x
ÉÄ…max , i = = = bi
W
I Ä…i b2 hi Ä…i I x
xi
x i
Ä…i I
x
Zastępczy wskaz
nik wytrzymałości dla całego przekroju W = min
x
²i bi
( )
i
Dla bardzo cienkich przekrojów można przyjąć Ä…=²=1/3 . Wtedy:
n
3 M M
1
x x
Åš = I = b3 hi ÉÄ…max ,i = bi
"
x i
n
3 I
i =1 x
G b3 hi
"
i
i=1
Największe naprężenie występuje zatem w tej części przekroju, której odpowiada
największa grubość.
mgr inż. Paweł Szeptyński  Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki ustrojów prętowych
06  Skręcanie
Skręcanie prętów o przekroju cienkościennym zamkniętym
(metoda przybliżona  wzory Bredta)
1) Zakładamy, że na grubości ścianki przekroju
rozkład naprężeń jest równomierny.
2) Grubość ścianki przekroju oznaczamy przez
´ . W ogólnoÅ›ci może ona być zmienna,
okreÅ›lona pewnÄ… funkcjÄ… ´(s).
´min.
3) Znajdujemy minimalną grubość ścianki
4) W połowie odległości między konturem zewnętrznym i wewnętrznym wrysowujemy
As
linię środkową. Pole obszaru ograniczonego linią środkową oznaczamy przez
zaś obwód tego obszaru (długość linii środkowej) oznaczamy przez S.
5) Wskaz
nik wytrzymałości oraz stałą skręcania wyznacza się na podstawie tzw.
wzorów Bredta:
4 A2
0
I =
x
W = 2 A0 ´min
x ds
."
´(s)
ds 1 S
= ds =
Dla staÅ‚ej gruboÅ›ci Å›cianki ´(s) = ´ = const. mamy: ." ."
´ ´
´(s)
4 ´ A2
0
Wtedy stała skręcania jest równa:
I =
x
S
6) Maksymalne naprężenia styczne
M M
x x
ÉÄ…max = =
W 2 As´min
x
PrzykÅ‚adowo, dla przekroju rurowego o Å›ciance gruboÅ›ci ´ i Å›redniej promienia
zewnętrznego i wewnętrznego równej R, mamy:
W = 2 Ä„ R2´
I = 2 Ä„ R3 ´
x x