11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 1
11 Ł
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION
11.1. Zadanie Boussinesq'a
Zadanie to ma zastosowanie przy analizie rozkładu naprężeń w gruncie poniżej fundamentu.
P
x
y
R
tzr z
F
r
F
trz
Rys.11.1. Półprzestrzeń sprężysta obciążona siłą skupioną
Zakładamy występowanie osiowej symetrii naprężeń (od siły osiowej):
ąr ,ąą ,ąz ,ąrz=ązr ,ąr ą=ąą r=ąą z=ąz ą=0 (11.1)
Równania teorii sprężystości w przypadku osiowej symetrii mają postać:
a) Równania równowagi (dla wyciętego elementu}:
"ąr "ązr
(11.2)
ą ą1 śąąr-ąąźą=0
" r " z r
"ąz " ąrz
(11.3)
ą ą1 ąrz=0
" z " r r
b) Równania geometryczne:
" u
ąr= (11.4)
" r
" w
ąz= (11.5)
" z
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 2
u
ąą= (11.6)
r
" w " u
ąązr=ąąrz= ą (11.7)
" r " z
c) Równania fizyczne:
1
ąr= [ąr-ąśąąąąązźą] (11.8)
E
1
ąą= [ąą-ąśąąząąrźą] (11.9)
E
1
ąz= [ąz-ąśąąrąąąźą] (11.10)
E
1
ąązr=ąąrz= ąrz (11.11)
G
d) Równania fizyczne w zapisie odwrotnym:
ą
ąr=2G ąrą e (11.12)
śą źą
1-2 ą
ą
ąą=2G ąąą e (11.13)
śą źą
1-2ą
ą
ąz=2G ązą e (11.14)
śą źą
1-2 ą
ąrz=ązr=G ąąrz (11.15)
gdzie
e=ąrąąząąą (11.16)
Mamy zatem 10 równań i 10 niewiadomych ( , , , , , , , , ł , u, w).
r z F rz zr r F z rz
Zadanie rozwiązujemy w przemieszczeniach tzn. szukamy dwóch funkcji przemieszczeń
u=u(r,z) i w=w(r,z).
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 3
Wykorzystując równania fizyczne i geometryczne w równaniach równowagi dochodzimy do dwóch
równań przemieszczeniowych
1-2 ą
"2 u 1 " u u "2 u 1 "2 w
ą - ą ą =0 (11.17)
" r2 r " r r2 2śą1-ąźą " z2 2śą1-ąźą " r " z
1-2 ą
"2 w "2 w 1 " w 1 "2 u 1 " u
ą ą ą ą =0 (11.18)
śą źą
śą źą
" z2 2śą1-ąźą " r2 r " r 2śą1-ąźą " z " r r " z
Rozwiązanie układu równań (11.17) i (11.18) podał Boussinesq'e w następującej postaci:
r2 r
uśąr , zźą= A ąB (11.19)
R3 RśąRązźą
z2 1 1
wśąr , zźą=A ą 3-4 ą ąB
śą źą
,
[ ]
R R R
(11.20)
gdzie
R= r2ąz2
ćą
Podstawiając (11.19) i (11.20) do (11.12), (11.13), (11.14), (11.15) przy wykorzystaniu równań
geometrycznych otrzymuje się składowe stanu naprężenia następującej postaci
z 3 z r2 B z3
ąr=2G A śą1-2 ąźą - ą z2-r2ą (11.21)
śą źą
{ [ ] }
R
R3 R3 R2śąRązźą2
z 1
ąą=2G A 1-2 ą ąB
śą źą (11.22)
[ ]
R3 RśąRązźą
3 z3 z z
ąz=-2G A ą 1-2 ą ąB (11.23)
śą źą
{ [ ] }
R5 R3 R3
3 r z3 r r
ąrz=ązr=-2G A ą 1-2 ą ąB (11.24)
śą źą
{ [ ] }
R5 R3 R3
Stałe A i B wyznaczamy z warunków:
1) Na dowolnej płaszczyznie z=const. wypadkowa z naprężeń musi być równa sile P.
z
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 4
Wycinamy elementarny pierścień:
r
dr
Rys.11.2. Elementarny pierścień
ąz dF =2Ćą r ąz dr (11.25)
Dla całego przekroju poziomego:
"
(11.26)
2Ćą ąz rdr=-P
+"
0
z
Rys.11.3. Rozkład naprężeń
z
2) Na płaszczyznie z=0 nie działają żadne siły za wyjątkiem punktu przyłożenia siły P (oznacza to, że
naprężenia na tej płaszczyxnie są równe zero).
ąz=0 - tożsamość
(11.27)
ąrz=ązr=0 stąd śą1-2 ąźą AąB=0
Otrzymujemy:
P P
A= B=-śą1-2 ąźą (11.28)
4 ĆąG 4 ĆąG
Funkcje przemieszczeń u(r,z); w(r,z) przyjmą ostatecznie postać:
P r2 r
uśąr , zźą= -śą1-2ąźą (11.29)
[ ]
4 ĆąG RśąRązźą
R3
2śą1-ąźą
P z2
w śąr , zźą= ą (11.30)
[ ]
4 ĆąG R
R2
Natomiast funkcje składowych stanu naprężenia będą postaci:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 5
śą1-2 ąźą
P 3 z r2
ąr= - (11.31)
[ ]
2Ćą RśąRązźą
R5
P z 1
ąą= 1-2ą -
śą źą (11.32)
[ ]
2Ćą
R3 RśąRązźą
-3 P z3
ąz= (11.33)
2Ćą
R5
-3 P r z2
ąrz=ązr= (11.34)
2Ćą
R5
Rozwiązania te obowiązują dla całej półprzestrzeni za wyjątkiem małego otoczenia punktu
przyłozenia siły. W punkcie tym rozwiązanie jest osobliwe. Naprężenia i przemieszczenia przyjmują
wartości nieskończenie duże.
Przemieszczenia punktów płaszczyzny ograniczającej półprzestrzeń z=0 będą postaci (korzystamy ze
wzorów (11.29) i (11.30)):
-śą1-2 ąźąśą1ąąźą
uśąr ,0źą= P (11.35)
2Ćą Er
1-ą P
w śąr ,0źą= (11.36)
Ćą Er
Stan naprężenia w punktach znajdujących się na osi (O,z) (r=0):
P
O
z
Rys.11.4. Zbiór punktów leżących na osi (O,z)
1-2ą
P
ąr=ąą= (11.37)
2Ćą 2 z
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 6
-P 3
ąz=
(11.38)
2Ćą
z2
ąrz=ązr=0 (11.39)
Wykażemy następującą osobliwość rozkładu naprężeń w półprzestrzeni sprężystej obciążonej siłą
skupioną. Całkowite naprężenie w dowolnym punkcie poziomej płaszczyzny, tzn. wypadkowa z naprężeń
, wynosi:
z rz
(11.40)
p= ą2ąą2
ćą
z rz
3 P z6 z4 r2 3 P z6 z4 r2
(11.41)
p= ą = ą
2Ćą
R10 R10 2Ćą R2 R6 R6
ćą ćą
P
ą
R
p
z
d
z
trz
r
Rys.11.5. Wypadkowa p z naprężeń ,
z rz
z
=cos ą (11.42)
R
r
=sin ą (11.43)
R
R
=cos ą (11.44)
d
3 P
p= cos6 ąącos4 ą sin2 ą
ćą (11.45)
2Ćą R2
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 7
3 P cos2ą
p= (11.46)
2Ćą R2
Naprężenie wypadkowe p skierowane jest do początku układu
3 P z3
ąz
#" #"= 2Ćą
R5 = z
=cos ą (11.47)
p
3 P z2 R
2Ćą
R2 R2
Jeżeli wyobrazimy sobie kulę o dowolnej średnicy d styczna do płaszczyzny ograniczającej
półprzestrzeń w punkcie zero, to na wszystkich poziomych polach elementarnych na powierzchni tej kuli
całkowite naprężenia będą jednakowe i równe
3 P
p=
R2 (11.48)
2Ćą
cos2 ą
Mając rozwiązanie problemu półprzestrzeni obciążonej siłą skupioną możemy przez zastosowanie
zasady superpozycji wyznaczyć przemieszczenia i naprężenia od dowolnego obciążenia rozłożonego na
półprzestrzeni.
Przykładowo napiszemy wzór na ugięcia pionowe półrzestrzeni od dowolnego obciążeniapionowego
q(,)
P śą1-ą2źą
(11.49)
wz=0=
Ćą Er
y
S powierzchnia,
d
na którą działa
obciążenie q(,)
d
r
K
y
x
x
Rys.11.6.
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 8
Ugięcie w punkcie K wywołane obciążeniem elementarnym q(,)dd wynosi:
qśąą ,ąźąd ą d ąśą1-ą2źą
(11.50)
dw śą x , yźąz=0=
Ćą Er
gdzie:
(11.51)
r= śąą-xźą2ąśąą- yźą2
ćą
Przemieszczenie wywołane całym obciążeniem (w pkt.K)
1-ą2
qśą x.yźą
(11.52)
wśą x , yźą= d ą d ą
,"
Ćą E r
a
q
w
r=a
w
r=0
a
Rys.11.7.Ugięcie pod wpływem obciążenia kołowego
Przykładowo jeżeli obciążenie q jest rozłożone na polu koła o promieniu a i wypadkowa tego
obciążenia wynosi P, to po obliczeniu przemieszczeń pionowych półpłaszczyzny otrzymamy:
P
q=
(11.53)
Ćą a2
2śą1-ą2źą 2śą1-ą2źą
(11.54)
wr=0= qa= P
E Ćą E a
4śą1-ą2źą 4śą1-ą2źą P
wr=a= qa= (11.55)
Ćą E
Ćą2 E a
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 9
wr=0
Ćą
= =1,57 (11.56)
wr=a 2
Naprężenia na osi OZ (r=0):
z3
ąz=q -1ą
3 (11.57)
[ ]
śąa2ąz2źą2
3
2śą1ąąźą z
q z
ąr=ąą= śą-1ą2ąźąą - (11.58)
2 śą źą
[ ]
a2ąz2 a2ąz2
ćą ćą
W przypadku, gdy obciążenie przekazywane jest za pośrednictwem nieodkształcalnego kołowego
walca, to wszystkie punkty doznają jednakowych przemieszczeń.
Rozwiązanie ma postać:
P
w0
a
r
qśr
qmin=
P
2
qśr=
Ąa2
Rys.11.8.Oddziaływanie walca na podłoże
P
qśąrźą=
(11.59)
2Ćą a a2ąr2
ćą
P
qmin=
(11.60)
2Ćą a2
P śą1-ą2źą
(11.61)
w0=
2 Ea
stąd wniosek:
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 10
qśr Ćą aśą1-ą2źą
(11.62)
w0=
2 E
Ugięcie stempla na sprężystym podłożu jest przy zachowaniu identycznego obciążenia średniego
proporcjonalne do jego średnicy.
Zadanie:
Wyznaczyć ugięcie powierzchni ograniczającej półprzestrzeń sprężystą w punktach A i B pod
wpływem obciążenia słupem wysokiego napięcia, którego rozstaw pionowych nóg wynosi a.
a
1
2
P
P
a/2
A
x
a/2
B
P P
4
3
P P
A,B
a/2 a/2
P
A
a 2
r = l =
2
P P
B
a/2
a 5
2
Rys.11.9. Rysunek pomocniczy do zadania
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
11. PÓAPRZESTRZEC SPRŻYSTA OBCIŻONA SIA SKUPION 11
W punkcie A:
w przemieszczenie punktu A od obciążenia na jedną nogę:
A1
P śą1-ą2źą 2
ćą
(11.63)
wA1=
Ćą Ea
uwzględniając, że
a 2
ćą
(11.64)
r=l=
2
Całkowite przemieszczenie pkt. A wynosi:
4 2śą1-ą2źą P
ćą
(11.65)
wA=
Ćą Ea
W punkcie B:
wB=2 wB4ą2 wB1 (11.66)
śą1-ą2źą P 2śą1-ą2źą P a
, bo r= (11.67)
wB4= =
2
Ćą Er Ćą Ea
śą1-ą2źą P 2śą1-ą2źą P
a 5
ćą
wB1= = , bo (11.68)
r=
Ćą Er 2
Ćą E a 5
ćą
Całkowite ugięcie wynosi:
4śą1-ą2źąśą 5ą1źą P
ćą
wB= (11.69)
Ćą E a 5
ćą
Dla porównania
wB 1ą 5
ćą
= =1,025 (11.70)
wA
10
ćą
Aściukiewicz P., Baron P., Gawron U., Krzysztoń A., Ratajczak D., Wojciechowski M. AlmaMater
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
F 11 Półprzewodnik akceptorowyFCS 11 polprzewodniki 2011Rut 11 Polprzewodniki11 Zagadnienia brzegowej teorii sprężystościiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiid269Wyklad 11 dynamika osrodkow sprezystych11 (311)ZADANIE (11)Psychologia 27 11 2012359 11 (2)11PJU zagadnienia III WLS 10 11więcej podobnych podstron